15 EJERCICIOS BSICOS SOBRE POLGONOS REGULARES

Ejercicios Resueltos

1. Cul es el permetro de un cuadrado de 15 metros de lado?.

Sean: L=Longitud del lado. P=Permetro. Entonces: L=15 m. P=15 + 15 + 15 + 15 = 60. Es decir 60 metros. O lo que es lo mismo: P=5 15 = 60 metros.

2. Cuntas diagonales tiene un pentgono regular?.

Sean: L=Nmero de lados. D=Cantidad de diagonales (diagonales totales de la figura). Entonces: L=5; D?

Por tanto, el pentgono regular tiene 5 diagonales.

Sean: = ngulo central. = ngulo exterior. = ngulo interior. Entonces:

8 =360; 8

360= =45; de donde resulta que =45, luego el ngulo

52

10225

2)3( ====D LL

3. Calcular el valor del ngulo central y de cada uno de los ngulos interiores de un octgono regular.

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central mide 45. Como = , entonces 45= . Luego el ngulo exterior mide 45. Como 180=+ , entonces 18045 =+ ; 45180 = ; 135= . Luego el ngulo interior mide 135.

4. Cuntos lados tiene un polgono regular, si uno de sus ngulos interiores es de 175?.

Sean:

= ngulo central. = ngulo exterior. = ngulo interior. Entonces:

175= 180=+ ; 180175 =+ ; 175180 = ; 5=

Luego el ngulo exterior mide 5. Como = , entonces 5= Luego el ngulo central de nuestro polgono mide 5. Nuestro polgono tiene n ngulos centrales iguales, luego:

N5=360; 5

360=n ; n=72. Nuestro polgono tiene 72 lados, porque el nmero de ngulos centrales iguales y el nmero de lados son iguales.

5. Hallar el nmero de diagonales de un enegono.

Sea: L=Nmero de lados del polgono. D=Nmero de diagonales.

Aplicamos:

2)3( = LLD

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Y entonces ( ) 27

254

269

2399 ====D Luego el polgono tiene 27

diagonales. 6. Hallar el nmero de lados de un polgono que tiene 54 diagonales.

Sea: L=Nmero de lados del polgono. D=Nmero de diagonales. Aplicamos:

2)3( = LL D

Entonces:

;2

)3(54 = LL )3(254 = LL ; )3(108 = LL ; ; LL 3108 2 = Luego: . 010832 = LL Ahora aplicando la frmula para hallar las soluciones de una ecuacin de segundo grado, tendremos:

2213

24413

2108493 ==+=L ; Luego obtenemos las dos soluciones

siguientes: 12 L= -9 Como es imposible tener una cantidad negativa de lados, entonces la solucin correcta ser: L=12. El polgono tiene 12 lados.

7. Hallar el valor de un ngulo interior de un decgono.

Un decgono tiene 10 lados, 10 ngulos centrales, 10 ngulos interiores y 20 ngulos exteriores.

Sean:

= ngulo central. = ngulo exterior. l i t i

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Entonces 36010 = ; 10360= ; 36= ;

Luego el ngulo central mide 36. Como = , entonces 36= ; Luego el ngulo exterior tambin mide 36. Y ahora, como 180=+ ; 18036 =+ ; 36180 = ; 144= Luego el ngulo interior mide 144.

8. Cuntos lados tiene un polgono regular cuyo ngulo interior mide 162?

Un polgono regular tiene tantos lados como ngulos centrales iguales. Sean:

= ngulo central. = ngulo exterior. = ngulo interior. X=Nmero de ngulos centrales. Entonces:

360 =x 162=

Como = Entonces:

180=+ ; 180162 =+ ; 162180 = ; 18= Luego tambin ser: .18= Entonces:

360 =x ; ; 36018 =x 2018360 ==x ; Luego x=20.

El polgono tiene 20 ngulos centrales iguales. El polgono tiene 20 lados.

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9. Cul es la longitud del lado de un cuadrado cuya rea es de 25 metros cuadrados?.

Sean: S=Supeficie (rea) del cuadrado. P=Permetro del cuadrado. A=Apotema.

Aplicamos la frmula para calcular la superficie:

2APS = ; como el permetro es 4L, entonces, sustituyendo tendremos

2425 AL=

Entonces, ; AL225 = AL225 = ; AL5,12 =

Entonces, resulta que L=2A y por tanto AL =2

; AL5,12 = ;

2

5,12 LL= ; ; ; LL25 = 225 L= 225 L= ; L=5 ; Luego el lado mide 5 metros.

10. Hallar la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que su diagonal mide 12 centmetros.

La diagonal divide al cuadrado en dos tringulos rectngulos, y por tanto podemos aplicar el Teorema de Pitgoras. Sean: d=Longitud de la diagonal del cuadrado. c=Longitud del lado del cuadrado (todos poseen la misma longitud).

Entonces, tendremos ; ; ; 222 ccd += 22 2cd = 22 212 c=

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; 22144 c= 22

144 c= ; ; 272 c= 272 c= ; c=72 ; Entonces, calculando la raz c=49,8 Luego el lado mide 8,49 centmetros.

11. El lado de un tringulo equiltero mide 2 centmetros. Halla su rea.

Sean: L=Longitud del lado del tringulo equiltero. P=Permetro. a=Apotema. S=Superficie (rea) del tringulo.

Sabemos que 2aPS = ; sustituyendo el permetro, obtenemos

22 aLS = ;

223 aS = ; Sabemos que La =23 ; entonces

La =23 ; 223 =a ; 23

2=a ; 3

1=a ;

Luego ; aS 3= 73,173,13

33

313 ====S cm2

Luego su rea mide 1,73 centmetros cuadrados.

12. Calcular la apotema de un cuadrado cuya rea es de 36 metros cuadrados.

Sean: S=Superficie (rea) del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. a=Apotema.

Entonces aplicando la frmula para calcular la superifice tendremos

2aPS = ;

Sustituyendo el permetro, 2

4 aLS = ; aLS 2= ; aL236 = ;

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aL2

36 = ; ; Como el lado es igual que dos veces la apotema,

aL18 =

, y sustituyendo aL 2= aL18 = ; aa218 = ; ; 2218 a= 22

18 a= ;

; 29 a= 29 a= ; a=3 ; Luego la apotema mide 3 metros.

13. El lado de un hexgono regular mide 8 cm. Hallar el radio de una circunferencia inscrita.

Aplicando Pitgoras, tendremos 22 ma2 +=r

Como 28

2=== L 4 cm. EntM onces:

El radio de la circunferencia coincide con la apotema del hexgono. Hallaremos por tanto la apotema del hexgono. Sean: L=Longitud del lado del hexgono. M=Mitad de la longitud del lado del hexgono. r=Radio de la circunferencia inscrita. a=Apotema.

; ; ; ; 222 mar += 222 4+= ar 1622 += ar 168 22 += a ; ; ; 1664 2 += a 21664 a= 248 a= 248 a= ; a=48 ; ; a=9,6 La apotema del hexgono mide 6,9 centmetros.

14. Calcular el permetro de un cuadrado inscrito en un crculo del 3 cm. de radio.

Sean: r=Radio de la circunferencia. P=Permetro del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. d=Longitud de la diagonal del cuadrado.

La diagonal del cuadrado lo divide en dos tringulos rectngulos, luego podemos aplicar Pitgoras:

; ; 222 LLd += 222)2( LLr += 22 24 Lr = ; ; ; 22 234 L= 2294 L= ; 2236 L= 2

236 L= ; ; 218 L= 218 L= ; L=18 ;

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; L=2,4 Luego el permetro ser 8,162,44 ==P cm.

15. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyo lado es de 6 cm.

Sean: L=Longitud del lado del cuadrado. r=Radio de la circunferencia circunscrita.

Tenemos que aplicando Pitgoras ( ) 2222 LLr += ; 2224 LLr += ; 22 24 Lr = ; ; ; ; 22 624 =r 3624 2 =r 724 2 =r

4722 =r ;

; 182 =r 18=r ; 2,4=r ; Luego el radio de la circunferencia mide 4,2 centmetros.

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