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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALDATOS AGRUPADOS

En ocasiones se necesitan calcular las diversas medidas de dispersión a partir de datos que han sido agrupados en intervalos de clase y presentados como una distribución de frecuencia. Si los datos consisten en una gran cantidad de valores, y si los cálculos se tienen que hacer en forma manual o con una calculadora, se puede ahorrar una gran cantidad de trabajo agrupando los datos antes de calcular las medidas dispersión Cuando se calculan medidas dispersión a partir de datos agrupados, se deben hacer ciertas suposiciones respecto a los datos. Como una consecuencia de hacer estas suposiciones, los valores de las medidas descriptivas calculados de esta manera se deben considerar como aproximaciones a los valores verdaderos.


LA MEDIA. Cuando se calcula la media a partir de datos agrupados, se hace la suposición de que cada observación que cae dentro de un intervalo de clase determinado es igual al valor del punto medio de ese intervalo. El punto medio de un intervalo de clase es llamado marca de clase. Se obtiene la marca de clase sumando los límites de clase respectivos y dividiéndolos entre 2. La experiencia ha demostrado que la suposición por lo general es satisfactoria. Como lo son las suposiciones hechas acerca de las otras medidas descriptivas calculadas a partir de datos agrupados.

En vista de que cada observación toma el valor de la marca de clase del intervalo en el que cae, se calcula la media multiplicando cada marca de clase por su frecuencia correspondiente. Luego se suman los productos resultantes y se divide el total entre el número de observaciones. Se puede expresar el procedimiento para datos de muestra por:

n

fxx

k

iii

1

k = El número de intervalos de clase.xi = La marca de clase del i-ésimo intervalo de clase.fi = la frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.



LA MEDIANA.

La mediana para una distribución de frecuencia es el valor, o punto, sobre el eje horizontal del histograma de la distribución en el que una línea perpendicular divide el área del histograma en dos partes iguales.


donde:Lm = Límite inferior de la clase mediana.LM= Límite superior de la clase medianan = Número de datos.Fm= Frecuencia acumulada de la clase medianaFm-1 = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase medianafm = Frecuencia de la clase mediana.Ic = Longitud del intervalo de la clase mediana.

Lm LMMd

Fm-1

Fm

A B

CE

D


LA MODA. Cuando se trata de datos agrupados para hallar la moda debemos determinar antes que todo la clase modal en la cual se halla ésta. Dicha clase corresponde a aquella que presente mayor frecuencia (absoluta). Una vez localizada la clase modal, procedemos por interpolación para determinarla. Esta interpolación nos conduce a la siguiente fórmula para la media:


donde: Lm = Límite inferior de la clase modal (la clase de mayor frecuencia).d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la de la clase que la antecede.d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la de la clase que le sigue.Ic = Longitud del intervalo de la clase modal.

fi+1

fi-1

IC

LMLm

MO

A

B C

D


LA MEDIA GEOMÉTRICA.

Para calcular la media geométrica cuando se trata de datos agrupados, se debe sacar la raíz n-ésima del producto de las respectivas marcas de clase de cada grupo elevadas a la k-ésima frecuencia, matemáticamente se puede expresar por:

donde: n = Número de datos.k = El número de intervalos de clase.xi = La marca de clase del i-ésimo intervalo de clase.fi = la frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.

n fi

k

i

ixG1


ó


LA MEDIA ARMÓNICA.

La media armónica para datos agrupados se encuentra aplicando la siguiente fórmula:

donde: n = Número de datos.k = El número de intervalos de clase.xi = La marca de clase del i-ésimo intervalo de clase.fi = La frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.

k

i i

i

x

fn

H

1




El peso en kilogramos de un grupos de estudiantes del sexo masculino en un curso de educación física, son los siguientes:

Clases fi

52.5 – 57.5 857.5 – 62.5 962.5 – 67.5 667.5 – 72.5 472.5 – 77.5 277.5 – 82.5. 1

Total 30

Encuentre la media Aritmética , Geométrica , Armónica , la mediana y la Moda. Compare los resultados utilizando la fórmula de la correspondencia entre la media aritmética, la mediana y moda medidas de tendencia central.

EJEMPLO



Fi Fa Xi Fi*Xi Fi*LogXi Fi/xi52,5 57,5 8 8 55 440 13,9229 0,1454557,5 62,5 9 17 60 540 16,0034 0,1562,5 67,5 6 23 65 390 10,8775 0,0923167,5 72,5 4 27 70 280 7,38039 0,0571472,5 77,5 2 29 75 150 3,75012 0,0266777,5 82,5 1 30 80 80 1,90309 0,0125

30 1880 53,8373 0,48407

IntervalosSOLUCIÓN

Media Aritmética Media Geométrica

Media Armónica




30 1880 53,8373 0,48407

Intervalos

Lm

fm Fm-1

Ic=62.5 - 57.5 =5

CALCULO DE LA MEDIANA


30 1880 53,8373 0,48407

Intervalos



Lm

Ic=62.5 - 57.5 =5

Frecuencia Modal

d1d2CALCULO DE LA MODA

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