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PLANOS EN EL ESPACIO

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Clculo IV(G,B)

Semestre 99-00 B

Planos en el espacio


Tres puntos no alineados P, Q, R

Eje X

Eje Y

Eje Z

P R

Q


v

u

Un punto P y direcciones no paralelas u, v

Eje X

Eje Y

Eje Z

P


Un punto P y un vector ortogonal

Eje X

Eje Y

Eje Z

P


Cul es la condicin geomtrica que debe

satisfacer un punto P para estar en el plano que pasa por P0 y es ortogonal a ?


P0

P (x,y,z)

Eje X

Eje Y

Eje Z

P-Po

P(x,y,z) si y slo si P-Po


Ecuacin del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a

=(a,b,c)

El punto P(x,y,z) si y slo si P-Po, es decir

si .(P-Po)=0 (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-zo)=0.

a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo

Si d= axo+byo+czo

ax+by+cz=d Ecuacin normal

del plano



satisfacer un punto P para estar en el plano determinado por las

direcciones no paralelas u, v y el punto P0?


Po

P

u

Eje X

Eje Y

Eje Z

v

tu

sv

tu+sv

vsutOPOP o

O

vsutPPo

PoP


Ecuacin del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) con vectores directores

u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3)

P(x,y,z) si y slo si

(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)

Ecuaciones paramtricas del

plano

vsutOPOP o

33o

22o

11o

svtuzz

svtuyy

svtuxx



satisfacer un punto para estar en el plano que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?


P R

Q

Pasa por P con normal =(Q-P)x(R-P)

Pasa por P con vectores directores u=(Q-P) y v=(R-P)


Ecuacin del plano que pasa por los tres puntos no alineados

P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)

ax+by+cz=d Ecuacin normal

(a,b,c)=

332211

332211

prprpr

pqpqpq

kji


Ecuacin del plano que pasa por los tres puntos no alineados

P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)

)pr(s)pq(tpz

)pr(s)pq(tpy

)pr(s)pq(tpx

33333

22222

11111

Ecuaciones paramtricas


Ejercicio N1

Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas


Ejercicio N2

Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)


Ejercicio N3

Sea L: 4

2z2

y1

6x39 y : 3x-2y+6z=-5

Hallar la ecuacin de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen.

Hallar la ecuacin del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.


Ejercicio N4

Sea L: y : x-y+z=1

Hallar la distancia de la recta L al plano .

t3z

t22y

t1x


PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)

025

121

kji

=(2,5,8)

2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.1

2x+5y+8z=12

Solucin N1:


u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0)

Ecuaciones paramtricas

t1z

s2t2y

s5t2x

Vectores directores del plano:

Solucin N1:


Pasar de las ecuaciones paramtricas a la ecuacin normal

z1t

ys2t2

x2s5t

t1z

s2t2y

s5t2x

12z8y5x200

10

z101

z101

y22

x251

2

z22y


0dcb2a3

0dc0b2a

0dcb0a2

0dczbyax

Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuacin: ax+by+cz-d=0

Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) estn en el plano, se debe cumplir:

Sistema homogneo en la variables a,b,c,d

que debe tener infinitas soluciones.

Solucin N1:


0

1123

1021

1102

1zyx

Por lo tanto, el determinante de la

matriz del sistema debe ser nulo

123

021

102

)1(

123

121

102

z

113

101

112

y

112

102

110

x

1123

1021

1102

1zyx

2x+5y+8z-12=0


El vector director de la recta es el vector normal al plano.

Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

Su vector director es: (4,-4,1)

=(4,-4,1)

4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0

Ecuacin del plano: 4x-4y+z+16=0

Solucin N2:


Solucin N3:

El vector director de la recta debe ser paralelo al

vector normal al plano, por lo tanto =(3,-2,6). Como adems debe pasar por el (0,0,0), la ecuacin de la

recta buscada es:

t ,

t6z

t2y

t3x

t60z

t20y

t30x


Solucin N3:

Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y como el (0,0,0)

queremos que est en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera sobre la recta, por ejemplo,

para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v =(1,-1,6)

u v

611

213

kji

=(8,-16,-4)

Ecuacin normal: 2x-4y-z=0


Solucin N3:

Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramtricas

u v

Ecuacin paramtricas del Plano

s6t2z

sty

st3x


Solucin N4:

Vector director de la recta u=(1,2,1)

Sustituimos las ecuaciones de L en la del plano y

obtenemos:

Vector normal del plano =(1,-1,1)

(1,2,1).(1,-1,1)=0 u L y son paralelos

d (1+t)-(2+2t)+(3+t)=1?

21

La recta y el plano no se cortan


Solucin N4:

Un punto de la recta Q=(1,2,3)

Un punto del plano P=(1,1,1)

PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)

d

P

Q

3

1)1,1,1(

)2,1,0).(1,1,1(d

PQoyPrd


POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS

Paralelos:

Sus vectores normales son paralelos

Ortogonales:

Sus vectores normales son ortogonales


Un plano

Son paralelos

Una recta:

Son secantes

El conjunto vaco

Son paralelos

La interseccin de dos planos puede ser:


Una recta

La recta est incluida en el plano

Un punto:

Son secantes

El conjunto vaco

El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano

La interseccin de un plano y una recta puede ser:


El ngulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores

El ngulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales

El ngulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano

ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS

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