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PLANOS EN EL ESPACIO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Clculo IV(G,B)
Semestre 99-00 B
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Planos en el espacio
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Planos en el espacio
Tres puntos no alineados P, Q, R
Eje X
Eje Y
Eje Z
P R
Q
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Planos en el espacio
v
u
Un punto P y direcciones no paralelas u, v
Eje X
Eje Y
Eje Z
P
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Planos en el espacio
Un punto P y un vector ortogonal
Eje X
Eje Y
Eje Z
P
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Planos en el espacio
Cul es la condicin geomtrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano que pasa por P0 y es ortogonal a ?
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Planos en el espacio
P0
P (x,y,z)
Eje X
Eje Y
Eje Z
P-Po
P(x,y,z) si y slo si P-Po
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Planos en el espacio
Ecuacin del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a
=(a,b,c)
El punto P(x,y,z) si y slo si P-Po, es decir
si .(P-Po)=0 (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-zo)=0.
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo
Si d= axo+byo+czo
ax+by+cz=d Ecuacin normal
del plano
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Planos en el espacio
Cul es la condicin geomtrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano determinado por las
direcciones no paralelas u, v y el punto P0?
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Planos en el espacio
Po
P
u
Eje X
Eje Y
Eje Z
v
tu
sv
tu+sv
vsutOPOP o
O
vsutPPo
PoP
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Planos en el espacio
Ecuacin del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) con vectores directores
u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3)
P(x,y,z) si y slo si
(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)
Ecuaciones paramtricas del
plano
vsutOPOP o
33o
22o
11o
svtuzz
svtuyy
svtuxx
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Planos en el espacio
Cul es la condicin geomtrica que debe
satisfacer un punto para estar en el plano que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?
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Planos en el espacio
P R
Q
Pasa por P con normal =(Q-P)x(R-P)
Pasa por P con vectores directores u=(Q-P) y v=(R-P)
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Planos en el espacio
Ecuacin del plano que pasa por los tres puntos no alineados
P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)
ax+by+cz=d Ecuacin normal
(a,b,c)=
332211
332211
prprpr
pqpqpq
kji
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Planos en el espacio
Ecuacin del plano que pasa por los tres puntos no alineados
P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)
)pr(s)pq(tpz
)pr(s)pq(tpy
)pr(s)pq(tpx
33333
22222
11111
Ecuaciones paramtricas
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Planos en el espacio
Ejercicio N1
Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas
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Planos en el espacio
Ejercicio N2
Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)
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Planos en el espacio
Ejercicio N3
Sea L: 4
2z2
y1
6x39 y : 3x-2y+6z=-5
Hallar la ecuacin de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen.
Hallar la ecuacin del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.
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Planos en el espacio
Ejercicio N4
Sea L: y : x-y+z=1
Hallar la distancia de la recta L al plano .
t3z
t22y
t1x
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Planos en el espacio
PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)
025
121
kji
=(2,5,8)
2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.1
2x+5y+8z=12
Solucin N1:
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Planos en el espacio
u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0)
Ecuaciones paramtricas
t1z
s2t2y
s5t2x
Vectores directores del plano:
Solucin N1:
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Planos en el espacio
Pasar de las ecuaciones paramtricas a la ecuacin normal
z1t
ys2t2
x2s5t
t1z
s2t2y
s5t2x
12z8y5x200
10
z101
z101
y22
x251
2
z22y
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Planos en el espacio
0dcb2a3
0dc0b2a
0dcb0a2
0dczbyax
Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuacin: ax+by+cz-d=0
Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) estn en el plano, se debe cumplir:
Sistema homogneo en la variables a,b,c,d
que debe tener infinitas soluciones.
Solucin N1:
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Planos en el espacio
0
1123
1021
1102
1zyx
Por lo tanto, el determinante de la
matriz del sistema debe ser nulo
123
021
102
)1(
123
121
102
z
113
101
112
y
112
102
110
x
1123
1021
1102
1zyx
2x+5y+8z-12=0
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Planos en el espacio
El vector director de la recta es el vector normal al plano.
Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)
Su vector director es: (4,-4,1)
=(4,-4,1)
4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0
Ecuacin del plano: 4x-4y+z+16=0
Solucin N2:
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Planos en el espacio
Solucin N3:
El vector director de la recta debe ser paralelo al
vector normal al plano, por lo tanto =(3,-2,6). Como adems debe pasar por el (0,0,0), la ecuacin de la
recta buscada es:
t ,
t6z
t2y
t3x
t60z
t20y
t30x
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Planos en el espacio
Solucin N3:
Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y como el (0,0,0)
queremos que est en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera sobre la recta, por ejemplo,
para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v =(1,-1,6)
u v
611
213
kji
=(8,-16,-4)
Ecuacin normal: 2x-4y-z=0
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Planos en el espacio
Solucin N3:
Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramtricas
u v
Ecuacin paramtricas del Plano
s6t2z
sty
st3x
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Planos en el espacio
Solucin N4:
Vector director de la recta u=(1,2,1)
Sustituimos las ecuaciones de L en la del plano y
obtenemos:
Vector normal del plano =(1,-1,1)
(1,2,1).(1,-1,1)=0 u L y son paralelos
d (1+t)-(2+2t)+(3+t)=1?
21
La recta y el plano no se cortan
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Planos en el espacio
Solucin N4:
Un punto de la recta Q=(1,2,3)
Un punto del plano P=(1,1,1)
PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)
d
P
Q
3
1)1,1,1(
)2,1,0).(1,1,1(d
PQoyPrd
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Planos en el espacio
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS
Paralelos:
Sus vectores normales son paralelos
Ortogonales:
Sus vectores normales son ortogonales
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Planos en el espacio
Un plano
Son paralelos
Una recta:
Son secantes
El conjunto vaco
Son paralelos
La interseccin de dos planos puede ser:
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Planos en el espacio
Una recta
La recta est incluida en el plano
Un punto:
Son secantes
El conjunto vaco
El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano
La interseccin de un plano y una recta puede ser:
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Planos en el espacio
El ngulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores
El ngulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales
El ngulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano
ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS