1. 1. INSTITUTO TCNICO SAN RAFAEL CONGREGACIN DE RELIGIOSOS TERCIARIOS CAPUCHINOS PROVINCIA SAN JOS PROCESO GESTIN FORMATIVA Cdigo: PGF-04-R10 PROCEDIMIENTO FORMACIN ACADMICA GUIAS DE ESTUDIO Fecha de Aprobacin: 02/05/15 Grado: DCIMO Asignatura: MATEMTICAS IV Perodo Nombre del Docente: Nombre del Estudiante: Unidad de Competencia: El pensamiento espacial y sistemas geomtricos, se definen mediante las grficas en el plano cartesiano de la circunferencia, parbola, elipse e hiprbola, permitindole al estudiante resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cnicas. Eje: PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMTRICOS COMPETENCIAS Cognitivo: Define las grficas en el plano cartesiano de la circunferencia, parbola, elipse e hiprbola Procedimental: Resuelve problemas aplicando las ecuaciones de la circunferencia de la parbola, elipse e hiprbola. Convivencial: Toma una actitud crtica frente a los distintos problemas matemticos argumentndolos de manera correcta. Estndares relacionados con el eje: Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geomtricas de figuras cnicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de estas figuras. Revis: Verific: Aprob para copias:
2. 2. MOTIVACION Qu ficha completara la siguiente sucesin? Aqu hay 5 igualdades a las que les falta una tarjeta para que se cumplan. Colcalas en su lugar.
3. 3. IDEO 1 VIDEO 2
4. 4. FUNDAMENTACIN COGNITIVA. El estudio profundo de las secciones cnicas se inici tras el descubrimiento de que los planetas se mueven alrededor del sol en rbitas casi elpticas, con el sol en uno de sus focos, (Kepler). Se conoci adems que los cuerpos podan moverse alrededor del sol en rbitas que se aproximaban mucho a las otras clases de secciones cnicas. Los cometas por ejemplo, que tienen rbitas hiperblicas o parablicas, se aproximan al sol una vez y se alejan definitivamente, aunque en ciertas ocasiones es difcil saber si el cometa se mueve en una rbita parablica o elptica muy larga, que le traer de nuevo a su punto de origen cientos o miles de aos ms tarde. Las secciones cnicas tienen caractersticas importantes tambin en la reflexin de las ondas sonoras y luminosas y se utilizan en la construccin de reflectores cuando se necesita iluminar intensamente un espacio pequeo, como en microciruga. La parbola se emplea en reflectores, antenas de radar, faros de automviles y telescopios. Uno de los dispositivos focales del telescopio del observador Hale en el monte Palomar posee un espejo hiperblico. Distancia entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relacin: Pendiente de una recta En el plano cartesiano, toda recta l que corta el eje x, forma con ste dos ngulos suplementarios. Sea el ngulo medido desde el semieje positivo x hasta la recta l, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. es denominado ngulo de inclinacin de la recta l. as: PAUSA TECNOLOGICA: Leyes de Kepler 1/2 y 2/2. Visite el siguiente enlace y en clase se socializar los conocimientos adquiridos: http://www.youtube.com/watch?v=xbkSFj2zDUA&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=RAth_4-5SKs&feature=fvwrel Si es el ngulo de inclinacin de la recta l, y 0, entonces, la pendiente m de la recta l, se define como. m = tan
5. 5. La pendiente de una recta se puede determinar conociendo dos puntos distintos de ella. Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos distintos de la recta l, tales que x1 x2, y el ngulo de inclinacin de l. Si por el punto P se traza una paralela al eje x y por el punto Q, se traza una paralela al eje y, entonces la forma del tringulo rectngulo PQR, donde las coordenadas del punto R son (x2,y1) y QPR = por ser ngulos correspondientes entre paralelas. Al aplicar la definicin de tangente, en tringulo PQR, se tiene que, PR RQ =tan pero, )( 12 yyRQ = y )( 12 xxPR = , de modo que: 12 12 tan xx yy m == Ejemplo: dados los puntos (-1,1) y (2,-2) calcular la distancia entre ellos y su pendiente. Para calcular la pendiente utilizamos la formula y remplazamos ( )( ) ( )22 1212 +=d ( ) ( )22 33 +=d 18=d Ahora para calcular la pendiente remplazamos en la formula ( )12 12 =m 1 3 3 = =m Si P(x1 ,y1 ) y Q(x2 ,y2 ) con x1 x2 , son dos puntos distintos de la recta l, entonces: y
6. 6. ACTIVIDAD 1 Hallar la distancia y la pendiente que pasa por cada par de puntos 1. P (-5,-2), Q (-5,-3) 2. R (2,-5), S (0,2) 3. M (10,-3), N (-2,4) 4. W (-3,-2), V (-6,2) 5. H (4,-1), I (3,9) 6. D (4,-1), E (-8,4) 7. B (1,3), C (2,6) 8. F (-3,-6), G (-2,-4) Ecuaciones de la recta Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se calcula mediante la ecuacin: Se puede obtener la ecuacin de la recta a partir de la frmula de la pendiente: Esta forma de obtener la ecuacin de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen slo los dos puntos, por lo que tambin se le llama ecuacin de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas. Forma simplificada de la ecuacin de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuacin general de la recta, y2 y1 = m(x2 x1): Esta es la segunda forma de la ecuacin de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. Tambin se
7. 7. puede utilizar esta ecuacin para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuacin dada. ACTIVIDAD 2 Graficar la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. Luego, escribir su ecuacin en forma cannica. 1. P (-5,-3), m = 4/3 2. P (-2,-1), m = -4/2 3. P (1,3), m = 2 4. P (4,8), m = -1 5. P (2,6), m = -3 6. P (1,0), m =-1/4 7. P (-1,2), m = 0 8. Calcular la ecuacin de la recta para cada uno de las puntos de la actividad 1 Elementos de la circunferencia Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; dimetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lgicamente, pasa por el centro; cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud mxima son los dimetros; recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; recta tangente, la que toca a la circunferencia en un slo punto; punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia; arco, segmento curvilneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un dimetro. Longitud de la circunferencia La longitud de una circunferencia es:
8. 8. donde es la longitud del radio y (nmero pi) es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el dimetro. Ecuaciones de la circunferencia Ecuacin en coordenadas cartesianas En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuacin . Cuando el centro est en el origen (0, 0), la ecuacin anterior se simplifica al . La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniomtrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria. De la ecuacin general de una circunferencia, se deduce: resultando: Si conocemos los puntos extremos de un dimetro: , la ecuacin de la circunferencia es: EJEMPLOS: 1. Determinar si el punto P dado a continuacin, pertenece o no pertenece a la circunferencia (x+2)2 + (y-1)2 = 25 a. P(4,-1) Solucin: Haciendo P (x,y) = (4,-1) se tiene que: (x+2)2 + (y-1)2 = (4+2)2 + (-1-1)2 = 62 + (-2)2 = 40 Las coordenadas del punto no satisfacen la ecuacin, por lo tanto, (4,-1) no pertenece a la circunferencia. 2. Hallar la ecuacin general de la circunferencia con centro (-2, 1) y radio 2. Solucin: En la ecuacin cannica se hace C (h,k) = (-2,1) y r = 2, es decir,
9. 9. (x+2)2 + (y-1)2 =4 Luego, se desarrollan los binomios, se transponen los trminos y se simplifica, as : X2 + y2 + 4x 2y + 1 = 0 ACTIVIDAD 3 1. (x-4)2 + (y-2)2 = 9 2. (x+5)2 + (y-4)2 = 8 3. (x+6)2 + (y-3)2 = 4 4. (x-3)2 + (y-6)2 = 2 5. (x-3)2 + (y+5)2 = 16 LA PARBOLA Definicin: la parbola es el conjunto de puntos del plano que est a la misma distancia de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz. Se pueden observar parbolas en el chorro de agua de una fuente o en la trayectoria de una pelota en el aire. Se puede dibujar tambin de modo continuo con una cuerda, como e ve en la figura: Parbola contraccin y elementos. Elementos de la parbola. En la parbola se distinguen los siguientes elementos: El eje de simetra o eje focal, es la recta con respecto a la cual una rama de la parbola se refleja en la otra. El vrtice, es el punto de interseccin entre la parbola y su eje de simetra. El foco, es el punto sobre el eje de simetra, que est separado del vrtice por una distancia igual a la que separa el vrtice de la directriz. La directriz, es la recta perpendicular al eje de simetra, tal que la distancia del vrtice a la directriz es igual a la distancia del vrtice al foco. Es decir, el vrtice es el punto medio del segmento que une el foco y la directriz. El lado recto, es la cuerda perpendicular al eje de simetra de la parbola, que pasa por el foco. Su longitudes cuatro veces la distancia del vrtice al foco. ECUACIN CANONICA DE LA PARABOLA CON VRTICE EN (0,0)
10. 10. Cuando la parbola est ubicada en el plano cartesiano, de manera que su vrtice es el punto (0,0), su ecuacin se determina considerando dos casos: la parbola cuyo eje focal o de simetra coincide con el eje x y la parbola cuyo eje focal coincide con eje y . Ecuacin de la parbola con vrtice en (0,0) y eje de simetra el eje x Si p es la distancia del vrtice al foco de la parbola con vrtice en (0,0) y eje de simetra el eje x, entonces, las coordenadas del foco son F (p,0). Como la distancia del foco al vrtice es igual a la distancia del vrtice a la directriz, entonces, la ecuacin de la directriz es x = -p. La proyeccin de cualquier punto P (x,y) de la parbola en la directriz, es de la forma M (-p,y). As, la distancia entre M y P es: ( ) ( )[ ] ( ) pxyypxPMd +=+= 22 , Adems, por definicin de la parbola, se cumple que: ( ) ( )PMdFPd ,, = ( ) ( ) pxypx +=+ 22 0 pxy 42 = La ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (0,0), foco en (p,0) y el eje x como eje de simetra, es: pxy 42 = De manera similar la ecuacin de la parbola con vrtice en (0,0), foco en (0,p) y el eje y como eje de simetra, es: pyx 42 = Ejemplo: determinar los elementos de la parbola xy 242 = La ecuacin xy 242 = corresponde a la formula pxy 42 = , por lo tanto, la parbola tiene vrtice en (0,0), y el eje de simetra coincide con el eje x. Para determinar p, se igualan las ecuaciones xy 242 = y pxy 42 = . De tal manera que px4 = x24 ; p = 6. Como p es mayor que cero, entonces, la parbola se abre hacia la derecha. As, los elementos de la parbola son: Vrtice: V (0,0) Foco: F (p,0) = (6,0) Eje focal o eje e simetra: eje x Directriz: x = -p, es decir, x = -6 ECUACIN CANNICA DE LA PARABOLA CON VERTICE EN (h,k) Sea (h,k) un punto distinto del origen del plano cartesiano. Para deducir la ecuacin de una parbola con vrtice en (h,k), se consideran dos casos: la parbola con eje de simetra paralela al eje x y la parbola con eje de simetra paralelo al eje y. Ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (h,k) y eje simetra paralelo al eje x Sea p la distancia del vrtice al foco de una parbola con vrtice en (h,k) y eje paralelo al eje x. Entonces, las coordenadas del foco son F(h+p,k).
11. 11. Adems, la directriz est dada por x=h p y la ecuacin del eje de simetra es y = k. Ahora , si P(x,y) es un punto de la parbola, entonces su proyeccin sobre la directriz, es de la forma M(h-p,y). Luego, ( ) ( )[ ] ( ) ( ) phxphxyyphxPMd +=+=+= 222 , Y por definicin de la parbola, se tiene que: d( P,F) = d(M,P) ( )[ ] ( ) phxyyphx +=+ 22 ( ) ( ) 222 )( phxkyphx +=+ phpxkkyy 442 22 =+ ( ) )(4 2 hxpky = La ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (h,k) y eje de simetra paralelo al eje x, es: ( ) )(4 2 hxpky = donde p es la distancia del vrtice al foco. De igual forma la ecuacin de la parbola con eje focal paralelo al eje y, vrtice en (h,k) es: ( ) )(4 2 hypkx = donde p es la distancia del vrtice al foco. EJEMPLO: Encontrar la ecuacin cannica de la parbola que cumple con las condiciones dadas. a. Vrtice en (-3,4) y foco en (-5,4). Solucin La parbola con vrtice en (-3,4) y foco en (-5,4) es una parbola cuyo eje focal o eje de simetra es paralelo al eje x, y su grafica se abre hacia la izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la izquierda del vrtice. La distancia p del vrtice al foco est dada por la diferencia de las abscisas de estos puntos p = -5 (-3) = -2 y como el vrtice es V(h,k) = (-3,4), al remplazar en la ecuacin cannica, se tiene que (y-4)2 = 4(-2)(x-(-3)), entonces, (y-4)2 = -8(x+3)
12. 12. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS. Estas actividades sern propuestas por el docente, durante el desarrollo de los temas.
13. 13. EVALUACIN. ASPECTO COGNITIVO. Evaluaciones parciales. Evaluacin de perodo. ASPECTO PROCEDIMENTAL. Desarrollo de las actividades de la gua. Realizacin de actividades complementarias. Realizacin de consultas. ASPECTO CONVIVENCIAL. Participacin positiva y activa durante el desarrollo de las clases. Responsabilidad y honestidad y puntualidad en todas las actividades propuestas. Trabajo en grupo. Disciplina.
14. 14. BIBLIOGRAFA - WEBGRAFA http://www.paulovi.edu.pe/aulavirtual/docentes/ulises/01_ludica.pdf http://www.sectormatematica.cl/contenidos/distancia.htm Trigonometra y geometra analtica. Santillana Supermat. Tomo 5. Voluntad.