planificación expresiones algebraicas_2013

LICEO CHILOÉ

PLANIFICACIÓN DE CLASES

Sector: Matemática Profesor: Mario O. Riffo Zamorano Curso: 2º A

Unidad: Expresiones algebraicas fraccionarias

N° de hrs. semanales: 7 N° de clases de la unidad: 17 Fechas de la UnidadDesde 21/08 Hasta 02/10

CLASE N°: 1 FECHA: 19/08

Establecer estrategias para operar fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinar los valores que indefinen estas expresiones.

Desarrollar multiplicación de binomios con término común; cuadrado de un binomio y suma por diferencia.

Resuelven multiplicación entre binomios con término común; cuadrado de un binomio y suma por diferencia.

Evaluación formativa.

Repasan los pasos para multiplicar expresiones algebraicas utilizando la propiedad distributiva.

Desarrollan las multiplicaciones entre los binomios siguientes: (a+b ) ⋅ (a+c )=a2+a (b+c )+bc(a−b )⋅ (a−c )=a2+a (b−c )−bc(a+b ) ⋅ (a−c )=a2+a (−b−c )+bcEl término común se eleva al cuadrado, luego el término común multiplica la suma de los términos no comunes y finalmente los términos no comunes se multiplican entre sí.Generalizan procedimiento para multiplicar binomios entre síEstablecen equivalencias entre las expresiones : a (b+c)=ab+acResuelven ejercicios dados.

Guía de ejercicios

Extienden el procedimiento para el cálculo del cuadrado de un binomio: (a±b)2=a2±2ab+b2, definiendo regla general

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Desarrollar el cubo de un binomio Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.

Calculan el cubo de binomios aplicando modelo general.


Repasan el procedimiento para obtener el cuadrado de un binomio:(a±b)2=a2±2ab+b2

Definición: se llama cubo de binomio a la multiplicación de un binomio por sí mismo tres veces. (a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)=(a+b)3

Desarrollan el cubo del binomio aplicando propiedades de las potencias:

(a±b )3 ⟶(a±b)2(a±b) ⟶(a2±2ab+b2 )(a±b)⟶a3±3a2b+3ab2±b3

Establecen que para hacer el cálculo directo de un cubo de binomio se necesita:1º Identificar el primer y segundo término del binomio.2º Su producto corresponde al cubo del primer término más (o menos) el triple del primer término por el cuadrado del segundo más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más (o menos) el cubo del segundo término.Observan la aplicación en un ejemplo desarrollado por el profesor, luego realizan ejercicios de manera autónoma guiándose por el ejercicio modelado.

Guía de ejercicios

Comparan resultados y aclaran dudas. Sintetizan el procedimiento para realizar el cálculo.

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Factorizar polinomios con factor común Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.

Factorizan expresiones algebraicas con un monomio como factor común.

Factorizan expresiones algebraicas con un polinomio como factor común


Recuerdan procedimiento para calcular el máximo común divisor (mcd). Ej. El mcd entre 72;84 y 48. Al descomponer en factores primos: 72=23 ⋅32; 84=22 ⋅3 ⋅7 ;48=24 ⋅3. Luego se eligen los factores que se repiten entre ellos con el menor exponente: 22 ⋅3=12

Observan procedimiento para obtener el mcd entre términos algebraicos:¿Cuál es el mcd de 6a2 x3b5 y10a3b2 y? 6a2 x3b5= 2⋅3 ⋅a2⋅ x3⋅ b5 10a3b2 y =2⋅5 ⋅a3⋅b2⋅ ySe repiten las expresiones 2;a2y b2 por lo tanto: mcd

(6 a2 x3b5 y10a3b2 y )=2a2b2

Establecen que factorizar significa buscar en un polinomio como producto, los factores que lo originaron. Observan tres casos de factorización con un monomio como factor común:2 x+6 y ;5 xy−2 y; 8 x2 y−6 x3 z−4 x2 yzSe explica que en los tres casos se expresa cada término de la expresión algebraica en una multiplicación hasta encontrar un factor común para los términos.Observan e identifican polinomios como factor común en expresiones polinómicas dadas. Factorizan diferencia de cuadrados recordando que en este caso, la factorización corresponde a una suma por diferencia.Realizan ejercicios de aplicación.

Guía de ejercicios

Sintetizan los pasos para factorizar en una suma por diferencia:a) Verificar si cada término de la diferencia corresponde a un

cuadrado perfecto. b) (b) identificar los términos (a y b) que al término resulten (a2yb2)

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Factorizar trinomios cuadrados perfectos Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.

Factorizan trinomios de cuadrados perfectos.


Recuerdan que un polinomio está ordenado de manera descendente respecto a una letra si ésta aparece en sus términos con exponente cada vez menor.

Observan que para reconocer un trinomio cuadrado perfecto, es preciso ordenarlo de manera descendente, respecto a alguna de las letras del término cuadrado, luego recuerdan las regularidades que se observan en el desarrollo de un cuadrado perfecto: (a±b)2=a2±2ab+b2 Establecen que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto corresponde a un cuadrado de binomio, en consecuencia, esto es lo primero que se debe identificar, verificando si los dos términos extremos son cuadrados perfectos > 0; Luego se identifican los términos que originaron los cuadrados perfectos. Finalmente se verifica si el término medio corresponde al doble producto de términos hallados en el paso anterior. Ejemplo: 4 a2+20ab+25b2 se identifican qué términos al

cuadrado resultan el primer y tercer término respectivamente: 4 a2=(2a)2

y 25b2 ¿(5b)2 , luego se verifica que el doble producto entre esos

términos sea igual al segundo término del trinomio 2 (2a ⋅5b )=¿ 20ab.

Luego 4 a2+20ab+25b2= (2a+5b)2

Guía de ejercicios

Repasan el procedimiento para factorizar trinomios de cuadrados perfectos.

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Factorizar trinomios de la forma: x2+ px+q con término común.

Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.

Factorizan usando productos notables.Evaluación formativa.

Recuerdan el desarrollo del producto notable de binomios con término común: (a+b ) ⋅ (a+c )=a2+a (b+c )+bc

Establecen que la factorización de un trinomio con término común corresponde al producto de binomios con término común.Definen los pasos para factorizar estas expresiones:1) Identificar el término común y verificar que la expresión esté elevada al cuadrado.2) En los otros términos se reconoce al que multiplica el término común y al que no está multiplicado por éste (término libre).3) se verifica que existan dos términos que sumados resulten aquel que multiplica el término común, y que multiplicados correspondan al término libre. Estos términos corresponden a los términos no comunes. 4) Esta factorización se realiza multiplicando los binomios correspondientes a la suma o resta (según el signo) de cada término común con cada término no común. x2+5x−6 = x2+ (2+3 ) x+2 ⋅3 = ( x+2 )(x+3)Factorizan ejercicios dados usando productos notables.

Guía de ejercicios

Repasan el procedimiento para factorizar trinomios de la forma: x2+ px+q con término común.

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Factorizar trinomios de la forma: ax2+ px+q



Recuerdan el procedimiento para factorizar trinomios de la forma: x2+ px+q con término común.

En este caso, al término cuadrado lo multiplica un coeficiente que no es cuadrado perfecto: ax2+ px+qDefinen los pasos para factorizar estas expresiones:1) Identificar el término común con su coeficiente respectivo2) Se multiplica la expresión por a /a, en que a es el coeficiente del término cuadrado3) Se buscan números que sumados resulten p y multiplicados den como producto aq4) Se busca un factor común en cada binomio del numerador y se factoriza, para simplificar por el denominador a 6 x2−7 x+2=¿

6 ⋅6 x2−6 ⋅7 x+6 ⋅26

=(6 x)2−6 ⋅7 x+1 2

6=

(6 x−3 )(6 x−4)6

=(3⋅2 x−3 )(3⋅ 2x−2 ⋅2)

6

=3 (2 x−1 ) 2(3 x−2)

6=(2x−1 )(3x−2)

Guía de ejercicios

Repasan el procedimiento para factorizar trinomios de la forma: ax2+ px+q

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Factorizar sumas y diferencias de cubos Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.


Observan en dos casos el producto entre un binomio y un trinomio:

(x+ y )(x2−xy+ y2)=¿ x3+ y3( x− y ) (x2+ xy+ y2 )=x3− y3

(x+ y )(x−xy+ y )=¿

En este caso, el resultado de la multiplicación corresponde a una suma o diferencia de los cubos de los términos involucrados. Establecen el procedimiento para factorizar este tipo de expresiones: Identifican los términos que originan el cubo, luego el binomio corresponderá a la suma (diferencia) de estos términos y el trinomio corresponderá a la suma de los cuadrados de estos términos menos (más) el producto de los mismos.

x3+ y3=( x+ y)(x2−xy+ y2)x3− y3= (x− y ) (x2+xy+ y2 )Observan ejemplo de aplicación de los modelos matemáticos definidos. Factorizan ejercicios dados usando productos notables.

Guía de ejercicios

Establecen y puntualizan diferencias entre modelo matemático para la suma y modelo para la diferencia de cubos.

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Evaluar la multiplicación entre binomios y factorización de trinomios y diferencias cuyo factores son productos notables.


Evaluación sumativa.

Evaluación sumativa.Control escrito.

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Analizar la validez de una expresión algebraica fraccionaria.

Determinar restricciones para expresiones algebraicas dadas.

Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria.

Determinan signos de una expresión algebraica

Determinan restricciones para expresiones algebraicas dadas.


Reconocen los factores de un término algebraico con coeficiente fraccionario. Establecen la restricción que afecta al denominador de un término para que éste no sea indefinido

Definen expresión algebraica: fracción cuyo numerador y denominador son expresiones algebraicas.Reconocen que toda expresión algebraica puede escribirse como fracción de denominador 1, de igual forma, un denominador sin factores literales se puede escribir como parte del coeficiente de cada término.

Ejemplos: 2 s+3 t=2 s+3 t1

; 2 s+3 t

5 =

2 s5

+ 3t5

Definen las restricciones de las expresiones algebraicas:El denominador de una expresión algebraica debe ser distinto de cero:2 s+3 t5u+3

, se debe cumplir que 5u+3=0, es decir, u≠−35

Determinan signos de una expresión algebraica:Determinan restricciones para expresiones algebraicas dadas.Encuentran expresiones equivalentes a otras dadas cambiando sus signos.

Guía de ejercicios.

Las restricciones pueden referirse directamente a valores específicos que no pueden tomar las letras involucradas, o bien a relaciones que no pueden darse entre ellas, para evitar que el denominador sea cero

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Simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.


Simplifican expresiones algebraicas fraccionarias.


Mediante lluvia de ideas recuerdan el concepto de número primo: cuando 2 términos no tienen factores comunes, además del 1, se dice que son primos entre sí. Una fracción cuyo numerador y denominador son números primos entre sí, se dice que es irreductible.

Analizan expresiones algebraicas y su correspondiente factorización.a. 3b2 x−3ab2=3b2 (x−a )b. xc−ac=c ( x−a )c. 6b3 y−6b3=6 b3( y−1)

Observan que a. y b. se pueden factorizar por ( x−a ); por otro lado a. y c. se pueden factorizar por 3b2. En consecuencia las expresiones de cada par indicado no son primas entre sí, en cambio las expresiones b. y c. no son primas entre sí.Una expresión algebraica fraccionaria cuyo numerador y denominador no son primos entre sí se dice irreductible.Simplificar una expresión algebraica fraccionaria es dividir su numerador y denominador por una misma expresión que sea factor común de ambos términos. Observan ejemplo dado y simplifican expresiones algebraicas fraccionarias.


El proceso de simplificación para expresiones algebraicas fraccionarias es análogo al que se realiza para las fracciones numéricas.

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Simplificar factorizando expresiones algebraicas fraccionarias.


Factorizan y simplifican expresiones algebraicas fraccionarias.


Recuerdan procedimientos para la factorización de la diferencia de cuadrados y trinomios de la forma a x2+ px+q2

Observan que en ocasiones, al factorizar el numerador y el denominador de una expresión algebraica fraccionaria, no se evidencian los factores comunes, pero un adecuado cambio de signo permite encontrarlos.Ejemplo:

b2−a2

2a2+ab−3b2 =(b+a ) (b−a )

(a−b ) (2a+3b ), con a≠b ; y a≠−3b

2A simple vista no existen un factor común, pero tras un cambio de signo se obtiene:

(b+a ) (b−a )−(b−a ) (2a+3b )

=−(b+a )

(2a+3b )Analizan otros casos, luego simplifican expresiones algebraicas fraccionarias dadas.


Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias, se factoriza completamente el numerador y el denominador, luego se revisa si existen factores comunes entre ellos, si existen, se divide por ellos hasta obtener una fracción irreductible.

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Multiplicar y dividir expresiones algebraicas fraccionarias.


Multiplican y dividen expresiones algebraicas fraccionarias


Recuerdan las reglas de la multiplicación de números racionales, considerando la regla de los signos.

Para multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se sigue un procedimiento análogo, factorizando previamente para facilitar la simplificación:Ejemplo.b2+8b+12b2−1

⋅ b2+2b+1b+2

=(b+2 ) (b+6 )(b+1 ) (b−1 )

⋅(b+1 ) (b+1 )b+2

=¿

(b+6 )(b−1 )

⋅(b+1 )

1=b

2+7b+6b−1

Observan procedimiento análogo, pero aplicado a la división.Aplican procedimiento en la división de expresiones algebraicas fraccionarias compuestas, presentándolas como división lineal entre fraccionesMultiplican y dividen expresiones algebraicas fraccionarias dadas, reduciendo cada expresión.


Para reducir una expresión algebraica fraccionaria compuesta, se efectúan las operaciones revisadas, para así obtener una expresión algebraica fraccionaria, cuyos términos sean expresiones enteras.

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Determinación de mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas


Determinan mínimo común múltiplo entre expresiones algebraicas dadas.


Mediante lluvia de ideas recuerdan procedimiento para determinar mínimo común múltiplo; repasan la factorización de trinomios de la forma: x2+ px+q con término común.

El procedimiento para determinar el mínimo común múltiplo en expresiones algebraicas es similar al que se usa en números:Ejemplo: factorizar las expresiones:3 x2−12 y 9 x−183(x¿¿2−4)¿ 32(x−2)3 ( x−2 )(x+2) 32(x−2)Se escribe el producto de todos los factores encontrados. Si hay algún factor que se repite, se elige el de mayor exponente.

3 x2−12; 9 x−18⟹32(x−2)(x+2) Observan segundo ejemplo y determinan mínimo común múltiplo entre expresiones algebraicas dadas.


Para realizar la adición y la sustracción entre expresiones algebraicas, es necesario calcular el mínimo común múltiplo entre éstas.

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Adición y sustracción entre expresiones algebraicas fraccionarias.


Desarrollan adiciones de expresiones algebraicas fraccionarias


Repasan procedimiento para obtener mínimo común múltiplo entre expresiones algebraicas fraccionarias. Realizan adiciones entre fracciones numéricas con distinto denominador.

Observan que el procedimiento para realizar la adición y la sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias es similar a la adición y sustracción de fracciones numéricas con distinto denominador:Ejemplo:

xx+ y

+ y

2x2+4 xy+2 y2

x+ y=( x+ y ) ; 2 x2+4 xy+2 y2=¿2(x2+2xy+ y2 ¿=2(x+ y)2

Luego, mcm⟹ 2(x+ y )2

xx+ y

+ y2x2+4 xy+2 y2 =

2 (x2+x y )+ y2(x+ y )2 =2 x2+2xy+ y

2(x+ y )2

Desarrollan adiciones de expresiones algebraicas fraccionarias dadas.


Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias, si sus denominadores son iguales, éste se mantiene y se suman o restan sus numeradores; de no ser así, se determina el m.c.d. y se procede de manera análoga a la adición de fracciones numéricas.

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Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias. Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria.

Resuelven ecuaciones algebraicas fraccionarias


Recuerdan las restricciones que afectan a un término algebraico fraccionario.

Definen el concepto de ecuación algebraica fraccionaria: es aquella en la que alguno de sus términos corresponde a una expresión algebraica fraccionaria. Para resolverla se multiplican ambos lados de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores, lo que permite transformarla en una ecuación entera. Al obtener la solución en una ecuación con incógnitas en algún denominador, se debe verificar su pertinencia, ya que este valor podría indefinir a alguna de las expresiones algebraicas fraccionarias de la ecuación. Ejemplo:

8x+1

− 5x−1

= −10

x2−1⟶m.c .m .(x2−1)

Multiplicando se obtiene:8( x−1)−5(x+1)=−10

3 x=3⟹ x=1Como el valor 1 indefine una expresión algebraica de la ecuación, se dice que la ecuación no tiene solución.Analizan y resuelven ecuaciones algebraicas fraccionarias dadas:


Si la solución de una ecuación algebraica fraccionaria es un valor que indefine alguno de las expresiones que forman la ecuación, se dice que la ecuación no tiene solución.

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Analizar situaciones que involucran ecuaciones algebraicas fraccionarias.


Plantean y resuelven ecuaciones de problemas dados.


Recuerdan pasos para resolver una ecuación fraccionaria algebraica.

Analizan un problema: Un grupo de amigos organiza un viaje en camioneta. Según sus cálculos, consumirán $115.284 en combustible; en el último momento, dos amigos señalan que tienen problemas para viajar, por lo que el resto debe aportar $4.826 adicionales. ¿Cuántas personas realizarán el viaje?Sea x el número de amigos que viajarían, x-2 los que realmente viajarán;115.284x

dinero que debía aportar cada uno para el viaje;

115.284x−2

dinero que deberá aportar cada uno de los que viaja.Luego la

ecuación será:115.284x

+4826=115.284x−2

Resuelta la ecuación se obtiene x=8 ;o bien x=−6 la solución pertinente es x=8, por ser positiva; luego viajarán 8−2=6 personas.


Comparan resultados y exponen en plenario las soluciones halladas.

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Síntesis de la Unidad Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria.

Reconocen conceptos claves y los relacionan

adecuadamente.

Revisan las características principales de las contenidos de la unidad

Realizan síntesis de la unidad: Construyen mapa conceptual que relacione los conceptos claves revisados en la unidad

Guía de ejercicios

En plenario comentan los mapas construidos y se revisan en la pizarra un mapa general que construyen en conjunto.

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Aprendizajes revisados durante la Unidad Evaluación sumativa Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria.

Evaluación sumativa

Prueba de Unidad: Expresiones algebraicas fraccionarias Prueba de unidad

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