Planeacin y control de proyectos con PERT-CPMIndice1. Antecedentes.

3. Planeacin y control de proyectos con PERT-CPM4. Red de Actividades5. Enfoque de tres estimaciones de PERT.6. Mtodo CPM para trueques entre tiempo y costo7. Eleccin entre PERT y CPM8. Diferencias Entre PERT y CPM9. Bibliografa1. Antecedentes.Dos son los orgenes delmtododel camino crtico: el mtodoPERT(Program Evaluation and Review Technique)desarrollopor la Armada de losEstados UnidosdeAmrica, en 1957, para controlar los tiempos de ejecucin de las diversas actividades integrantes de losproyectosespaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos detiempodisponibles. Fue utilizado originalmente por elcontrolde tiempos delproyectoPolaris y actualmente se utiliza en todo elprogramaespacial.El mtodo CPM (Crtical Path Method), el segundo origen del mtodo actual, fue desarrollado tambin en 1957 en los Estados Unidos de Amrica, por un centro deinvestigacin de operacionespara la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimizacin de loscostosde operacin mediante laplaneacinadecuada de las actividades componentes del proyecto.Ambosmtodosaportaron los elementos administrativos necesarios para formar el mtodo del camino crtico actual, utilizandoel control de los tiempos de ejecucin y los costos de operacin, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menorcostoposible.2. UsosEl campo deaccinde este mtodo es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeo. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes caractersticas:a. Que el proyecto sea nico, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mnimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crtico.c. Que se desee el costo de operacin ms bajo posible dentro de un tiempo disponible.Dentro del mbito aplicacin, el mtodo se haestadousando para la planeacin y control de diversas actividades, tales comoconstruccinde presas, apertura de caminos, pavimentacin, construccin de casas y edificios, reparacin de barcos,investigacindemercados, movimientos de colonizacin, estudios econmicos regionales,auditorias, planeacin de carreras universitarias,distribucinde tiempos de salas deoperaciones, ampliaciones de fbrica, planeacin de itinerarios para cobranzas, planes deventa, censos depoblacin, etc.3. Planeacin y control de proyectos con PERT-CPMLa bunaadministracinde proyectos a granescalarequiere planeacin,programacinycoordinacincuidadosa de muchas actividades interrelacionadas. Al principiar la dcada de 1950 se desarrollaronprocedimientosformales basados en uso deredesy de lastcnicasde redes para ayudar en estas tareas. Entre los procedimientos mas sobresalientes se encuentran el PERT (tcnica deevaluaciny revisin deprogramas) y el CPM (mtodo de la ruta critica).Aunque originalmente lossistemastipo PERT se aplicaron para evaluar la programacin de un proyecto de investigacin y desarrollo, tambin se usan para controlar el avance de otros tipos de proyecto especiales. Como ejemplos se pueden citar programas de construccin, la programacin decomputadoras, la preparacin de propuestas ypresupuestos, la planeacin de lmantenimientoy la instalacin de sistemas de computo, este tipo de tcnica se ha venido aplicando aun a laproduccinde pelculas, a las compaaspolticasy a operaciones quirrgicas complejas.Elobjetivode los sistemas tipo PERT consiste en ayudar en la planeacin y el control, por lo que no implica mucha optimizacin directa. Algunas veces el objetivo primario es determinar laprobabilidadde cumplir con fechas de entrega especificas. Tambin identifica aquellas actividades que son ms probables que se conviertan en cuellos de botella y seala, por e4nde, en que puntos debe hacerse el mayor esfuerzo para no tener retrasos. Un tercer objetivo es evaluar el efecto de los cambios del programa. Por ejemplo, se puede valorar el efecto de un posiblecambioen la asignacin derecursosde las actividades menos criticas a aquellas que se identificaron con cuellos de botella. Otra aplicacin importante es la evaluacin del efecto de desviarse de lo programado.Todos los sistemas tipo PERT empleanuna redde proyecto para visualizar grficamente la interrelacin entre sus elementos. Esta representacin delplande un proyectomuestratodas las relaciones de procedencia, respecto al orden en que se deben realizar las actividades. En la Fig. 1 s muestran estas caractersticas para laredde proyecto inicial para la construccin de una casa. Esta red indica que la excavacin debe hacerse antes de poner los cimientos y despus los cimientos deben completarse antes de colocar las paredes. Una vez que se levantan las paredes se pueden realizar tres actividades en paralelo. Al seguirla red hacia delante se ve el orden de las tareas subsecuentes.En la terminologa de PERT, cada arco de la red representa una actividad, es decir, una de las tareas que requiere el proyecto, cada nodo representa un evento que por lo general se define con el momento eque se terminan todas las actividades que llegan a ese nodo, Las puntas de flecha indican la secuencia en la que3 debe ocurrir cada uno de esoseventos. Lo que es mas, un evento debe preceder a la iniciacin de las actividades que llegan a ese nodo. Las puntas de flecha indican la secuencia en la que debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo que es mas, un evento debe preceder a la iniciacin de las actividades que salen de ese nodo. (En la realidad, con frecuencia se pueden traslapar etapas sucesivas de un proyecto, por lo que la red puede representar una aproximacin idealizada del plan de un proyecto.)El nodo hacia el que todas las actividades se dirigen es el evento que corresponde a la terminacin desde su concepcin, o bien, si el proyecto ya comenz, el plan para su terminacin. En l ultimo caso, cada nodo de la red sin arcos que llegan representa el evento de continuar una actividad en marcha o el evento de iniciar una nueva actividad que puede comenzar en cualquier momento.Cada arco juega un doble papel, el de representar una actividad y el de ayudar a representar las relaciones de procedencia entre las distintas actividades. En ocasiones, se necesita un arco para definir las relaciones de procedencia aun cuando no haya una actividad real que representar. En este caso, se introduce una actividad ficticia que requiere un tiempo cero, en donde el arco que representa esta actividad ficticia se muestra como una flecha punteada que indica esa relacin de procedencia. Por ejemplo, considrese el arco 5 8 que representa una actividad ficticia en la Fig. 1; el nico objeto de este arco es indicar que la colocacin de la tubera debe estar terminada antes depodercomenzar los exteriores.Una regla comn para construir este tipo de redes es que dos nodos no pueden estar conectados directamente por mas de un arco. Las actividades ficticias tambin se pueden usar para evitar violar esta regla cuando se tienen dos o ms actividades concurrentes; en la Fig. 1 se ilustra esto con el arco 11 12. El nico propsito de este arco es indicar que debe terminarse la colocacin de pisos antes de instalar los acabados interiores sin tener dos arcos del nodo 9 al nodo 12.Una vez desarrollada la red la red de un proyecto, el siguiente paso es estimar el tiempo que se requiere para cada actividad. Estas estimaciones para el ejemplo de la construccin de una casa de la figura 1. se muestran en la figura 2 con los nmeros mas oscuros (en unidades de das detrabajo) que aparecen junto a los arcos. Estos tiempos se usan para calcular dos cantidades bsicas para cada evento, a saber, su tiempo ms prximo y su tiempo ms lejano.El tiempo ms prximo para un evento es el tiempo (estimado) en el que ocurrir el evento si las actividades que lo proceden comienzan lo mas pronto posible.Los tiempos ms prximos se obtienen al efectuar una pasada hacia delante a travs de la red, comenzando con los eventos iniciales y trabajando hacia delante en el tiempo, hasta los eventos finales, para cada evento se hace un calculo del tiempo en el que ocurrir cada uno, si cada evento procedente inmediato ocurre en su tiempo ms prximo y cada actividad que interviene consume exactamente su tiempo estimado. La iniciacin del proyecto se debe etiquetar con el tiempo 0. esteprocesose muestra en la tabla 1. para el ejemplo considerado en las figuras 1 y 2. los tiempos ms prximos que se obtuvieron estn registrados en la figura 2, con el primero de los dos nmeros que se dan para cada nodo.El tiempo ms lejano para un evento es l ultimo momento (estimado) en el que puede ocurrir sin retrasar la terminacin del proyecto mas all de su tiempo ms prximo.Tabla 1. Calculo de los tiempos ms prximos para el ejemplo de la construccin de una casa.EventoEvento inmediatoAnteriorTiempo Tiempomas + de laprximo actividadTiempo= mximo msprximo

1______0

210 + 22

322 + 46

436 + 1016

5416 + 420

6416 + 622

7416+725

520+5

8520+029

622+7

9725+833

10829+938

11933+437

12933+538

1137+0

131038+244

En este caso los tiempos ms lejanos se obtienen sucesivamente para los eventos al efectuar una pasada hacia atrs a travs de la red, comenzando con los eventos finales y trabajando hacia atrs en el tiempo hasta los iniciales. Para cada evento l calculo del tiempo final en el que puede ocurrir un evento de manera que los que le siguen ocurran en su tempo mas lejano, si cada actividad involucrada consume exactamente su tiempo estimado. Este proceso se ilustra en la tabla 2, en donde 44 das es el tiempo ms prximo y el tiempo ms lejano para la terminacin del proyecto de construccin de la casa. Los tiempos ms lejanos para la terminacin del proyecto de construccin de la casa. Los tiempos mas lejanos que se obtuvieron se encuentran tambin en la figura 2 como el segundo numero que se da para cada nodo.Sea la actividad ( i , j ) la actividad que va del evento i al evento j en la red del proyecto.La holgura para un evento es la diferencia entre su tiempo ms lejano y su tiempo ms prximo.La holgura para una actividad ( i , j ) e3s la diferencia entre [ el tiempo mas lejano del evento] y [el tiempo mas prximo del evento i mas el tiempo estimado para la actividad].As, si se supone que todo lo dems marcha a tiempo, la holgura para un evento indica cuanto retraso se puede tolerar para llegar a ese evento sin retrasar la terminacin del proyecto, y la holgura para una actividad indica lo mismo respecto a un retraso en la terminacin de esa actividad. En a tabla 3 se ilustran los calculo de estas holguras para el proyecto de la construccin de una casa.Una ruta critica de un proyecto es una ruta cuyas actividades tienen la holgura cero. (Todas las actividades y eventos que tienen holgura cero deben estar sobre una rutacrtica, pero no otras.)Tabla 2. Calculo de los tiempos ms lejanos para el ejemplo de la construccin de una casaEventoEvento inmediatoAnteriorTiempo Tiempomas - de lalejano actividadTiempo= mnimo msprximo

13_____44

121344-638

111238-038

101344-242

91238-533

1138-4

81042-933

7933-825

6833-726

5833-020

725-5

4725-716

626-6

520-4

3416-106

236-42

122-20

Tabla 3. Calculo de las holguras para el ejemplo de la construccin de una casa.EventoHolguraActividadHolgura

123456789101112130 0 = 02 - 2 = 06 6 = 016 - 16 = 020 20 = 026 - 22 = 425 25 = 033 - 29 = 433 33 = 042 - 38 = 438 37 = 138 - 38 = 044 44 = 0(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(4,6)(4,7)(5,7)(6,8)(7,9)(8,10)(9,11)(9,12)(10,13)(12,13)2 - (0+2) = 06 - (2+4) = 016 - (6+10) = 020 - (16+4) = 026 - (16+6) = 425 - (16+7) = 225 - (20+5) = 033 - (22+7) = 433 - (25+8) = 042 - (29+9) = 438 - (33+4) = 138 - (33+5) = 044 - (38+2) = 444 - (38+6) = 0

Si se verifica en la tabla 3 las actividades que tienen holgura cero, se observa que el ejemplo de la construccin de una casa tiene una ruta critica, 1 2 3 4 5 6 7 9 12 13, como se muestra en la figura 2 con las flechas mas oscuras. Esta secuencia de actividades criticas debe mantenerse estrictamente a tiempo, si se quiere evitar retrasos en la terminacin del proyecto. Otros proyectos pueden tener mas de una ruta critica; por ejemplo ntese lo que pasara en la figura 2 si el tiempo estimado de la actividad (4,6) se cambiara de 6 a 19.Resulta interesante observar en la tabla 3 que mientras que todos los eventos sobre la ruta critica (inclusive el 4 y el 7 ) necesariamente tienen holgura cero, no es as para la actividad (4 , 7), ya que su tiempo estimado es menor que la suma de los tiempos estimados para las actividades (4 , 5 ) y (5 , 7). En consecuencia, estas ultimas actividades estn en la ruta crtica, pero la actividad (4 , 7) no lo est.Estainformacinsobre los tiempos ms cercanas y ms lejanos, las holguras y la ruta crtica, es invaluable para eladministradordel proyecto. Entre otras cosas, le permite investigar el efecto de posible mejoras en la planeacin para determinar en donde debe hacerse un esfuerzo especial para mantenerse y evaluar el impacto de los retrasos.Graficas PERTLa grfica PERT es una grfica original de redes no medidas que contiene losdatosde las actividades representadas por flechas que parten de un evento i y terminan en un evento j.

En la parte superior de la flecha se indica el nmero de identificacin, generalmente los nmeros de los eventos (i-j). En la parte inferior aparece dentro de un rectngulo la duracin estndar (t) de la actividad. En la mitad superior del evento se anota el nmero progresivo, en el cuarto inferior izquierdo la ltimalecturadel proyecto y en el cuarto inferior derecho la primera lectura del proyecto.Esta grfica tiene como ventaja la de informar las fechas ms tempranasyms tardas de iniciacin y terminacin de cada actividad, sin tener que recurrir a lamatrizde holguras.

Veamos cmo se presenta la ampliacin de la fbrica por medio de una grfica PERT.4. Red de ActividadesSe llama red la representacin grfica de las actividades que muestran sus eventos, secuencias, interrelaciones y el camino critico. No solamente se llama camino critico al mtodo sino tambin a la serie de actividades contadas desde la iniciacin del proyecto hasta su terminacin, que no tienen flexibilidad en su tiempo de ejecucin, por lo que cualquier retraso que sufriera alguna de las actividades de la serie provocara un retraso en todo el proyecto.Desde otro punto de vista, camino critico es la serie de actividades que indica la duracin total del proyecto. Cada una de las actividades se representa por una flecha que empieza en un evento y termina en otro.Se llama evento al momento de iniciacin o terminacin de una actividad. Se determina en un tiempo variable entre el ms temprano y el ms tardo posible, de iniciacin o de terminacin.A los eventos se les conoce tambin con los nombres de nodos.Evento Evento

I jEl evento inicial se llama i y el evento final se denomina j. El evento final de una actividad ser el evento inicial de la actividad siguiente.Las flechas no sonvectores, escalares ni representan medida alguna. No interesa la forma de las flechas, ya que se dibujarn d acuerdo con las necesidades y comodidad de presentacin de la red. Pueden ser horizontales, verticales, ascendentes, descendentes curvas, rectas, quebradas, etc.En los casos en que haya necesidad de indicar que una actividad tiene una interrelacin o continuacin con otra se dibujar entre ambas una lnea punteada, llamada liga, que tiene una duracin de cero.La liga puede representar en algunas ocasiones un tiempo de espera para poder iniciar la actividad siguienteVarias actividades pueden terminar en un evento o partir de un mismo evento.

(a) Incorrecto, (b) Correcto.Al construir la red, debe evitarse lo siguiente:1. 2. Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan a un mismo evento. Esto produce confusin de tiempo y de continuidad. Debe abrirse el evento inicial o el evento final en dos eventos y unirlos con una liga.(a) Incorrecto; (b) Correcto.

3. Partir una actividad de una parte intermedia de otra actividad. Toda actividad debe empezar invariablemente en un evento y terminar en otro. Cuando se presenta este caso, a la actividad base o inicial se le divide en eventos basndose en porcentajes y se derivan de ellos las actividades secundadas.4. Dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos deben relacionarse con el evento inicial o con el evento final.(a) Incorrecto; (b) Correcto5. Enfoque de tres estimaciones de PERT.Hasta ahora se ha supuesto implcitamente que se puede obtener estimaciones con una exactitud razonable del tiempo requerido para cada actividad del proyecto. En la realidad, con frecuencia existe bastante incertidumbre sobr cuales sern estos tiempo; de hecho se trata de una variable aleatoria que tiene cierta distribucin de probabilidad. La versin original de PERT toma en cuenta esta incertidumbre usando tres tipos diferentes de estimaciones par los tiempos de las actividades, con el fin de obtener informacin basica sobre su distribucin de probabilidad. Esta informacin para todos los tiempos de las actividades se utiliza para estimas la probabilidad de terminar el proyecto en la fecha programada.Las tres estimaciones empleadas por PERT para cada actividad son una estimacin ms probable, una estimacin optimista y una estimacin pesimista. La estimacin mas probable (denotada por m ) intenta ser la estimacin mas realista del tiempo que puede consumir una actividad. En trminos estadsticos, es una estimacin de lamoda(el punto mas alto) de la distribucin de probabilidad para el tiempo de la actividad. La estimacin optimista (denotada por a) procura ser el tiempo poco probable pero posible si todo sale bien; es en esencia una estimacin de la cota inferior de la distribucin de la probabilidad. Por ultimo, se intenta que la estimacin pesimista (denotada por b) sea el tiempo poco probable pero posible si todo sale mal. En trminos estadsticos, se trata en esencia de una estimacin de la cota superior de la distribucin de probabilidad. En la figura 3 se muestra la localizacin ideal de estas tres estimaciones con respecto a la distribucin de probabilidad.Tiempo transcurridoFigura 3.Modelode distribucin de probabilidad para loas tiempos de las actividades en el enfoque de tres estimaciones de PERT: m = estimacin probable, a = estimacin optimista y b = estimacin pesimista.Se hacen dos suposiciones para convertir m, a y b en estimaciones delvaloresperado ( te ) y la variancia (s 2) del tiempo que requiere la actividad. Una suposicin es que s , la desviacin estndar (raz cuadrada de la variancia), es igual a un sexto del intervalo de los requerimientos de tiempo razonablemente posibles; esto es,

es la estimacin deseada de la variancia. El razonamiento para hacer esta suposicin es que se considera que las colas de muchas distribuciones de probabilidad (como en la distribucin normal) estn mas o menos a tres desviaciones estndar de la media, de manera que existe una dispersin de alrededor de seis desviaciones estndar entre las colas, por ejemplo, lascartasde control que se usan normalmente para elcontrol estadsticode lacalidadestn construidas de manera que la dispersin entre los limites de control se estima en seis desviaciones estndar.Para obtener la estimacin del valor esperado ( te ), tambin es necesaria una suposicin sobre la forma de la distribucin de probabilidad, se supone que la distribucin es ( al menos aproximadamente) una distribucin beta. Este tipo de distribucin tiene la forma que se muestra en la figura 3, que es razonable para este propsito.Si se usa el modelo ilustrado en la figura 3 el valor esperado del tiempo de una actividad es aproximadamenteNtese que el medio del intervalo (a + b)/ 2 se encuentra entre a y b de manera que te es la media aritmtica ponderada de la moda y la mitad del intervalo, con un peso de dos tercios para la moda. Aunque la suposicin de una distribucin beta es arbitraria, sirve para el propsito de localizar el valor esperado a m, a y b de una manera que parece ser razonable.Despus de calcular el valor esperado y la variancia estimados para cada una de las actividades, se necesitan tres suposiciones adicionales (o aproximaciones) para poder calcular la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo. Una es que los tiempos de las actividades son estadsticamente independientes. Una segunda es que la ruta critica ( en trminos de los tiempos esperado) siempre requiere un tiempo total mayor que cualquier otra ruta. Esto implica que el valor esperado y la variancia, es sencillo encontrar la probabilidad de que esta variable aleatoria normal ( tiempo del proyecto) sea menor que el tiempo de terminacin programado.6. Mtodo CPM para trueques entre tiempo y costoLas versiones originales de CPM y PERT difieren en dos aspectos importantes. Primero, el CPM supone que los tiempos de las actividades son deterministicos ( es decir, se pueden predecir de manera confiable sin incertidumbre significativa), por lo que no necesita las tres estimaciones que se acaban de describir. Segundo, en lugar de dar una importancia primordial al tiempo (explcitamente), el CPM asigna la misma importancia al tiempo y al costo y pon esto derelieveal construir un a curva de tiempo-costo para cada actividad, con la que se muestra en la figura 4. Esta curva representa la relacin entre el costo directo presupuestado para la actividad y su tiempo de duracin resultante.Figura 4. Curva tiempo-costo para la actividad (i,j).Por lo general la grafica se basa en dos puntos: el normal y el intensivo o de quiebre. El punto normal da el costo y el tiempo necesario cuando la actividad se realiza en la forma normal, sin incurrir en costos adicionales (horas extras de mano de obra, equipo omaterialesespeciales para ahorrar tiempo, etc.), Para acelerar la actividad. Por el contrario, el punto de quiebre proporciona el tiempo y el costo necesario cuando se realiza la actividad en forma intensiva o de quiebre, esto es se acelera completamente sin reparar en costos, con el fin de reducir su tiempo de duracin lo mas que se pueda. Como una aproximacin, se supone entonces que todos los trueques intermedios entre tiempo y costos son posibles y que se encuentran sobre el segmento de lnea que une a estos dos puntos. (Obsrvese en el segmento de lnea oscuro en la Fig. 4). As, las nicas estimaciones que tienen que obtener elpersonaldel proyecto son el costo y el tiempo para estos dos puntos.El objetivo fundamental del CPM es determinar el trueque entre tiempo y costo que debe emplearse en cada actividad para cumplir con el tiempo de terminacin del proyecto que se programo a un costo mnimo. Una forma de determinar lacombinacin optima del tiempo y costo es aplicar programacin lineal. para descubrir esto, es necesario introducir notacin nueva, parte de la cual se resume en la figura 4. SeaDij = tiempo normal para la actividad (i , j)CDij = costo (directo) normal para la actividad (i , j)dij = tiempo de quiebre para la actividad (i , j)Cdij = costo (directo) de quiebre para la actividad (i , j)Lasvariablesde decisin para el problema son xij dondexij = tiempo de duracin de la actividad (i , j)Entonces existe una varible de decisin xij para cada actividad, pero no lo hay par alosvaloresde i y j que no tienen una actividad correspondiente.Para expresar el costo directo de la actividad ( i, j) como unafuncin(lineal) de Xjj dentese la pendiente de la lnea que pasa por los puntos normal y de quiebre para la actividad (i , j) por

tambien definase Kij como la interseccin con el eje del costo directo de esta linea, com se muestra en la fig. 4, por tanto,costo directo de la actividad (i , j) = Kij + Sij xij,en consecuencia,costo directo total del proyecto =en donde la sumatoria se extiende sobre todas las actividades (i , j). Ahora se puede establecer y formular matemticamente el problema.El problema: dado un tiempo T (mximo) de terminacin del proyecto, seleccinese la xjj que minimice el costo directo total del proyecto.Formulacin DeProgramacin Lineal. Para tomar en cuenta el tiempo de terminacin del proyecto en la formulacin de programacin lineal del problema, se necesita una variable ms para cada evento. Esta variable adicional esyk = tiempo ms prximo (desconocido) para el evento k, el cual es una funcin determinstica de Xij.Cada yk es una variable auxiliar, es decir, una variable que se introduce al modelo por ser conveniente en la formulacin y que no representa una decisin. El mtodo simplex trata a las variables auxiliares igual que a las variables de decisin (xij ) normales.Para ver cmo se introducen las yk a la formulacin, considrese el evento 7 de la figura 1 Por definicin, su tiempo ms prximo es:y7 = mx {y4 + x47, y5 + x57},En otras palabras y7 es la cantidad ms pequea tal que las dos restricciones siguientes se cumplen:y4 + x47