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Plan de clase N°1
Matemática OA2 – OAa
2º Medio
Texto Escolar 2021
Unidad de Currículum y Evaluación
Febrero 2021
Plan de clases
Matemática
2° Medio – OA2 – OAa
Texto Escolar 2021
UCE – MINEDUC
Febrero 2021 2
¿Qué aprenderán?
OA 2. Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y
logaritmos:
• comparando representaciones de potencias de exponente racional con
raíces enésimas en la recta numérica
• convirtiendo raíces enésimas a potencias de exponente racional y
viceversa
• describiendo la relación entre potencias y logaritmos
• resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que involucren potencias,
logaritmos y raíces enésimas
OA a. Resolver problemas utilizando estrategias como las siguientes: Simplificar
el problema y estimar el resultado.
• Descomponer el problema en sub-problemas más sencillos.
• Buscar patrones.
• Usar herramientas computacionales.
Actitud: Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente a la
resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas
reales.
Evaluación
Para este OA se ha sugerido evaluar formalmente, mediante una serie de
problemas y ejercicios de desarrollo que evidencien:
• Establecer las relaciones entre potencias y raíces (Texto del estudiante p.
19).
• Convertir raíces enésimas a potencias de exponente racional y viceversa
(Texto del estudiante p. 22).
• Ubicar raíces en la recta numérica (Programa p. 78).
• Describir la relación entre logaritmos y potencias determinando logaritmos
de diferentes bases (Texto del estudiante p. 28).
• Reconocer las ventajas que conlleva la aplicación de los logaritmos (Texto
del estudiante p. 31, Programa p. 78)
• Resolver problemas de la vida diaria o de otras asignaturas que involucran
potencias, raíces enésimas y logaritmos (Texto del estudiante p. 23,
actividad 6; p. 34, actividad 1; p. 35 actividades 2 y 3; p. 36 actividad 5).
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ACTIVIDADES DE APOYO SOCIOEMOCIONAL
Se sugiere una lista de actividades socioemocionales para que las asignaturas
incorporen en forma sistemática prácticas para favorecer un clima escolar positivo.
Estas actividades se presentan según los distintos momentos de la clase, facilitando así
su aplicación. Se incluyen actividades para inicio de la clase, para el cierre, para
iniciar trabajo grupal y para enfrentar conflictos.
La siguiente propuesta puede ser implementada flexiblemente ajustándose a los
contextos y necesidades de los estudiantes, tanto en las experiencias remotas como
presenciales de aprendizaje.
ACTIVIDADES PEDAGÓGICAS SUGERIDAS
Actividades sugeridas para el inicio de clases
Actividades sugeridas para el cierre de clases
Actividades sugeridas para antes de un trabajo en grupo
Actividades sugeridas para enfrentar conflictos
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RUTA DE APRENDIZAJE
Para responder la pregunta:
Clase 1
Representa y explica el
significado de raíces
cuadradas y cúbicas.
¿Cuál es la relación entre las potencias, raíces y logaritmos?
Clase 2
Ubica raíces enésimas
exactas en la recta numérica.
Clase 4
Compara el término raíz
con la necesidad de
incluir el término
logaritmo.
Clase 3
Ubica raíces enésimas
no exactas en la recta numérica.
Clase 5
Determina condiciones
para la base y el
argumento del
logaritmo.
Clase 6
Identifica y aplica la
noción del logaritmo
para representar
números en escalas y la
reducción de las
operaciones.
Clase 7
Resuelve problemas
identificando si la
situación corresponde a
la noción de potencia,
raíz enésima o logaritmo.
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¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que el estudiante represente y explique el significado de raíces
cuadradas y cúbicas.
Clase 1 Enmarcar
Motivar el acercamiento al OA 2 por medio de figuras que representen
cuadrados y donde sea posible identificar los números cuadrados.
Mostrar un ejemplo indicando que para el tercer cuadrado se pueden contar
9 cruces. Solicitar a la clase que anoten la cantidad de cruces para cada
cuadrado, guiándose por las líneas punteadas. Preguntar sobre el nombre de
estos números o cómo se les podría llamar y esperar como respuesta números
cuadrados.
Explicar la relación entre el lado y el área por medio de indicando que cada
cruz está en un espacio de 1𝑐𝑚2 y preguntando ¿cuánto mide en 𝑐𝑚 los lados
del cuadrado respectivo? Mostrar un ejemplo de lo solicitado, en el cuadro
con 9 cruces el lado mide 3 cm.
Anotar en la pizarra los diferentes ejemplos que saldrán en el pleno. ¿Qué
relación hay entre el 9 y el 3? ¿qué significa la expresión “raíz cuadrada”?
Refiriéndose a lo trabajado sobre las raíces cuadradas en 8° Básico.
El trabajo anterior se puede acompañar con el completar la siguiente tabla:
Número
a
Raíz cuadrada
√𝒂
Explicaci
ón
25 √𝟐𝟓 = 5 5 ∙ 5 = 25
49
81
169
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400
625
256
100
36
900
Ampliar el conocimiento
Explicar el paso entre las figuras 2D y las figuras 3D, considerando que lo que
había antes con cruces ahora se tiene con cubos y cubitos, presente la
imagen de cubos compuestos de cubitos de 1𝑐𝑚3.
Explicar la formación de cubos por medio de unidades de cubos:
- En los cuatro dibujos amarillo, verde, azul y rojo anota la cantidad de
cubitos que pueden formar un cubo.
- Si se juntan en cada caso los cubitos a un cubo grande del mismo
color sin dejar espacios, ¿Qué medida en cm tiene cada arista del
cubo?
Respuestas esperadas: 1 cubito → (13); cubo verde: 8 cubitos → (23);
cubo azul: 27 cubitos → (33); cubo rojo: 64 cubitos → (43).
Explicar el término “raíz cúbica” como la medida de la arista en un cubo,
preguntar ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 8 𝑐𝑚3? Y
escribir en la pizarra un ejemplo la arista mide 2𝑐𝑚 junto con la explicación
del porque
2𝑐𝑚 ∙ 2𝑐𝑚 ∙ 2𝑐𝑚 = 8𝑐𝑚3
- ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 1𝑐𝑚3?
- ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 27𝑐𝑚3?
- ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 64𝑐𝑚3?
- ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 1 000𝑐𝑚3?
Explicar como se completan las siguientes frases:
- La raíz cúbica de 8 es 2, porque 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8, en símbolos √83
= 2
- La raíz cúbica de 27 es. . . . . . . . . ., porque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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en símbolos…………..
- La raíz cúbica de 64 es. . . . . . . . ., porque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en
símbolos…………..
- La raíz cúbica de 125 es. . . . . . . . . , porque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
en símbolos………
- La raíz cúbica de 1 000 es . . . . . . . ., porque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
en símbolos………
¿Por qué se dice raíz cúbica? Explica con los ejemplos que hiciste y compara
la expresión con la expresión raíz cuadrada. Explica el símbolo de raíz cúbica
√3
en comparación con la raíz cuadrada √ .
Práctica independiente
Proponer actividades del texto o del cuaderno de actividades que
involucren la raíz cuadrada y cúbica. Puede utilizar las actividades de la
hoja de trabajo de la clase 1.
Ticket de salida
Se espera que los alumnos apliquen el conocimiento adquirido acerca de
raíces cuadradas y cúbicas en ejemplos geométricos, por ejemplo, determinar
los lados (aristas) de las siguientes figuras.
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que el estudiante ubique raíces enésimas exactas hasta el grado 5 en la
recta numérica.
Clase 2 Enmarcar
Desarrollar la idea de la “dimensión” de las raíces enésimas exactas, hasta
grado 5, ubicándolas en la recta numérica realizando preguntas tales cómo
¿qué figura vendrá luego del cubo? ¿Qué tipo de raíz se utilizaría en este caso
para determinar el lado?
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Elaborar una tabla de potencias en la cual marcan las celdas que se refiere a
la raíz enésima considerada y ubicarlas en la recta numérica, por ejemplo:
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5
5 25 125 625 3 125
Ampliar el conocimiento
Explicar las tablas de potencias y raíces enésimas hasta 5 y la escritura de ellas.
Se puede apoyar de la explicación del Texto del estudiante p. xx. Las
preguntas orientadoras que se pueden utilizar son:
• ¿qué significa la raíz cuarta de 625?
• ¿de qué forma se escribe la búsqueda del lado de una figura regular en
4D?
• ¿Qué significa la raíz cuadrada de 625?
Elaborar una tabla con potencias y explicar la ubicación de las raíces exactas
hasta grado 5, utilizando la recta numérica.
Relacionar las raíces con la escritura en potencias de estas por medio de la
pregunta:
¿Cómo se pueden representar raíces enésimas con potencias? Estudiar los
ejemplos:
• √64 = 8 porque 8 ∙ 8 = 64
Comparación con 641
2 ∙ 641
2 = 641
2+
1
2 = 641 = 64
Se verifica que √64 = 641
2
• √1253
= 5 porque 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125
Comparación con 1251
3 ∙ 1251
3 ∙ 1251
3 = 1251
3+
1
3+
1
3 = 1251 = 125
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Se verifica que √1253
= 1251
3
Representar como en el ejemplo anterior las raíces enésimas de √644
y √325
con
potencias, por ejemplo:
• √644
= 641
4 = 4 porque 641
4 ∙ 641
4 ∙ 641
4 ∙ 641
4 = 641
4+
1
4+
1
4+
1
4 = 641 = 64
• √325
= 321
5 = 2 porque 321
5 ∙ 321
5 ∙ 321
5 ∙ 321
5 ∙ 321
5 = 321
2+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2 = 321 = 32
• Generalizar √𝑎𝑛
, √𝑏𝑚
como potencias √𝑎𝑛
= 𝑎1
𝑛 y √𝑏𝑚
= 𝑏1
𝑚
Práctica independiente
Elaborar una tabla con potencias y raíces exactas hasta grado 4.
2 22 = 4 √4 = 2 23 = 8 √83
= 2 24 = 16 √164
= 2
3 32 = 9 √9 = 3 33 = 27 √273
= 3 34 = 81 √814
= 3
4 42 = 16 √16 = 4 43 = 64 √643
= 4 44 = 256 √2564
= 4
5
6
7
Relevar algunas generalidades que se van desarrollando en cada caso, por
ejemplo, en las potencias de 4 las unidades se alternan entre 6 y 4, en las
potencias de 6, la unidad es siempre 6, este tipo de observaciones orienta
para la búsqueda de raíces.
Explicar la relación entre las raíces enésimas y sus potencias respectivas, en
cada caso verificar el resultado como una explicación de esta igualdad.
Raíz enésima Potencia Explicación
√83
81
3 = 2 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
√814
√1 0245
2431
5 = 3
6251
4 = 5
√273
Ticket de salida
Ubicar la raíz cubica de 343 en la recta numérica, o bien solicitar entre que
números se ubica la raíz cubica de 343, o de forma directa preguntar ¿cuál es
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la raíz cúbica de 343?
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que el estudiante ubique raíces enésimas no exactas hasta el grado 5
en la recta numérica.
Clase 3 Ampliar el conocimiento
Estimar y aproximar hasta la décima las raíces enésimas no exactas mediante
la multiplicación y utilizando la calculadora para facilitar y comprobar los
cálculos. Para que los estudiantes no utilicen el botón de la raíz enésima en la
calculadora se puede comenzar con aproximar realizando multiplicaciones,
como en el siguiente ejemplo donde se quiere estimar √24
.
• Explicar la elección de los números que se van a multiplicar,
considerando raíces de grado 4 conocidas, tales como √14
= 1 y √164
=
2, lo cual significa que la √24
debe estar entre 1 y 2.
• Explicar la aproximación hasta el décimo indicando que los números
que se deben analizar son 1,1; 1,2 y 1,3.
• Calcular las multiplicaciones de los decimales y redondear hasta la
décima usando la calculadora:
1,1 ∙ 1,1 ∙ 1,1 ∙ 1,1 ≈ 1,5 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2 ≈ 2,1 1,3 ∙ 1,3 ∙ 1,3 ∙ 1,3 ≈
2,9
• Explicar la elección del 2,1 dado que 2,1 está más cerca al 2 que 1,5
entonces √24
≈ 2,1
• Dibujar una recta numérica y ubicar √24
Explicar la comparación de raíces no exactas, considerando raíces con el
mismo grado, pero con diferentes radicandos, por ejemplo, ordenar de menor
a mayor las raíces √73
, √53
, √83
√63
• Determinar con la calculadora el valor de las raíces enésimas y
redondearlas a la décima.
√53
≈ 1,7 ; √63
≈ 1,8 ; √73
≈ 1,9
• Ordenar utilizando correctamente el símbolo menor
√53
< √63
< √73
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• Relevar las observaciones por medio de preguntas ¿Qué regularidad
observas? Esperando frases del tipo: Si el radicando es mayor que el
otro, la raíz es mayor.
Explicar la comparación de raíces no exactas, considerando raíces de
diferentes grados, pero con el mismo radicando, por ejemplo, ordenar de
mayor a menor las raíces √53
, √5, √54
• Determinar con la calculadora el valor de las raíces enésimas y
redondearlas a la décima.
√5 ≈ 2,2, √53
≈ 1,7, √54
≈ 1,5
• Ordenar utilizando correctamente el símbolo mayor
√5 > √53
> √54
• Relevar las observaciones por medio de preguntas ¿Qué regularidad
observas? Esperando frases del tipo: Si el grado es mayor que el otro, la
raíz es menor.
Conjeturar sobre el “comportamiento” de la raíz enésima √𝑎𝑛
para 𝑎 > 1 o 𝑎 < 1
y el grado 𝑛 cuando se va hacia el infinito, respondiendo y ejemplificando la
pregunta: ¿Qué pasa, si se consideran raíces con el mismo radicando que
aumentan sucesivamente el grado?
Según esta secuencia √32
≈ 1,7, √33
≈ 1,4, √34
≈ 1,3, …, √38
≈ 1,1 y la
representación de estos números redondeados a la décima en rojo en la recta
numérica, se puede decir que se acercan al 1 por el lado derecho.
Si se considera la secuencia √0,22 ≈ 0,4, √0,23 ≈ 0,6, √0,24 ≈ 0,7, …√0,28 ≈ 0,8 y su
representación aproximada a la décima en azul sobre la recta numérica, se
puede decir que se acercan al 1 por la izquierda.
Práctica independiente
Proponer ejercicios donde se repita el mismo proceso realizado en la práctica
guiada, ejercicios para ordenar raíces, variando el grado y el radicando,
ejercicios para comparar y conjeturar considerando el radicando entre 0 y 1 y
otros radicandos que sean mayores a 1. Puede utilizar las actividades de la
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hoja de trabajo de la Clase 3, y de ejercicios tales como:
1) Conjetura acerca del orden de las siguientes raíces cúbicas.
√643
, √273
, √1253
, √83
a) Determínalas y confirma o rechaza la conjetura.
b) Describe una regularidad.
c) Ejemplifica numéricamente la frase “si se comparan dos raíces cúbicas,
la raíz con el mayor radicando es mayor que la otra”.
2) Conjetura acerca de raíces de diferentes grados, pero con el mismo
radicando.
√𝟐𝟓𝟔𝟒
, √𝟐𝟓𝟔𝟐
, √𝟐𝟓𝟔𝟖
a) Determínalas y confirma o rechaza la conjetura.
b) Describe una regularidad.
c) ¿Qué piensas de la frase “si se comparan dos raíces con el mismo
radicando, la raíz con el mayor grado es menor que la otra”?
Integración
Estimar raíces enésimas por la operación inversa de potenciar y completar la
tabla como en el ejemplo.
Raíz enésima Aproximación
inferior
Aproximación
superior
Ubicación
√503
33 = 27 43 = 64 Entre 3 y 4
más cerca
de 4
√3004
√5005
√2003
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que el estudiante compare el término raíz con la necesidad de incluir el
término logaritmo.
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Clase 4 Enmarcar
Motivar a los estudiantes por medio de la pregunta ¿Qué relación podemos
encontrar entre las raíces y las potencias? Explicando que hay muchas formas
de expresar las igualdades de potencias haciendo referencia a las bases, para
esto se debe recordar algo ya conocido, como lo es la relación entre la
potencia y la raíz. Relevar en cada caso el uso de las frases y explicar la
necesidad de una nueva denominación que se llama “raíz cuadrada” para
determinar la base de una potencia de exponente 2 conociendo el valor de la
potencia, en el ejemplo 9.
Ejemplo
Igualdad 32 = 9
Base 3
Descripción en
palabras.
El número 3 es la base de una potencia del
exponente 2 para que el valor de la
potencia sea 9
Igualdad con el
nuevo símbolo
√
√9 = 3
En palabras: La raíz cuadrada de 9 es 3.
Ampliar el conocimiento
Explicar la relación que hay entre los logaritmos y las potencias, como una
necesidad de una nueva denominación que se llama “logaritmo” para
determinar el exponente de una potencia de base 2 conociendo el valor de la
potencia.
Ejemplo
Igualdad 25 = 32
Exponente 5
Descripción
en palabras.
El número 5 es el exponente de una
potencia de la base 2 para que el valor de
la potencia sea 32
Igualdad con
el nuevo
símbolo
log
log2 32 = 5
En palabras: El logaritmo de 32 a base de 2
es 5.
Explicar las siguientes denominaciones: log𝑎 𝑏 = 𝑐
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a es la base del logaritmo, b es el argumento del logaritmo y c es el “valor” del
logaritmo o exponente de la potencia.
Relevar la relación entre logaritmo y potencia y que la palabra “logaritmo” es
una denominación antigua de “Exponente”, se espera que los estudiantes
luego de completar la tabla concluyan que el “logaritmo” tiene el mismo
significado que “exponente”.
Práctica independiente
Proponer ejercicios en la cual se vea la relación entre las frases y la igualdad
simbólica y en los cuales puedan expresar varios logaritmos. Puede utilizar las
actividades de la hoja de trabajo de la Clase 4.
Por ejemplo, completar las siguientes tablas:
a)
Ejercicio 1 Ejercicio 2
Igualdad 52 = 25 202 = 400
Base
Descripción
en
palabras.
Igualdad
con el
nuevo
símbolo
√
b)
Ejercicio1 Ejercicio 2
Igualdad 34 = 81 0,13 = 0,001
Exponente
Descripción
en
palabras.
Igualdad
con el
nuevo
símbolo
log
c)
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potencia base exponente valor logaritmo
23 2 3 8 log2 8 = 3
𝟓𝟒
𝟏𝟎𝟓
(𝟎, 𝟏)𝟐
(𝟏
𝟐)𝟑
Ticket de salida
A partir de una tripleta de números que se refiere a una potencia (base,
exponente, valor) se elaboran las igualdades con raíz enésima y el logaritmo
respectivo.
Base Exponente Potencia (valor) Raíz enésima Logaritmo
5 3 125 √1253
= 5 log5 125 = 3
2 7
10 5
0,1 4
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que el estudiante determine condiciones para la base y el argumento
del logaritmo.
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Clase 5 Enmarcar
Relevar la relación entre las raíces y los logaritmos haciendo conexiones entre
el argumento del logaritmo, el resultado de las potencias y de las reglas de los
logaritmos. Para esto, promover el uso de las nociones de restringir y de
condiciones del logaritmo, además de promover el razonamiento grupal con
ejemplos y preguntas orientadoras:
• ¿Qué se observa en el valor de las siguientes potencias 12, 13,14, …, 1𝑛?
• Compara con el valor de las potencias 02, 03, 04, …, 0𝑛 y (−1)2,
(−1)3, (−1)4, … , (−2)1𝑛
• ¿qué significan estas observaciones para el algoritmo en base 1, en
base 0?
Ampliar el conocimiento
Explique el significado de los resultados vistos anteriormente, ejemplificando y
respondiendo a la pregunta ¿Qué significan los resultados previamente vistos
para los siguientes logaritmos?
1. log1 5
No tiene sentido porque ninguna potencia de base “1” puede tener un
valor 5.
2. log0 3
No tiene sentido porque ninguna potencia de base “0” puede tener un
valor 3.
3. log−2 𝑏
No tiene sentido porque los valores de las potencias cambian entre
positivo y negativo según un exponente par o impar.
Concluir respondiendo en base a lo anterior, a la pregunta ¿Qué se debe exigir
para las bases de logaritmos? Se esperaría construir una respuesta similar a: Lo
anterior, indica que se deben excluir las bases 0, 1 y todas las bases negativas,
ya que no hace sentido preguntar por ellas, dado que las potencias son
siempre 0, 1 o se intercambian según el exponente.
Explique las restricciones acerca de las bases y proponga la pregunta ¿qué se
puede constatar para todos los argumentos de logaritmos? Para responder
que los argumentos de los logaritmos deben ser mayores de 0.
Práctica guiada
Explicar con ejemplos sencillos la comparación de los logaritmos. Comparar
logaritmos con la misma base y con diferentes argumentos para concluir que si
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dos logaritmos tienen la misma base, el logaritmo con el mayor argumento
tiene el mayor valor, completando una tabla como en el ejemplo.
1.
Logaritmo loga q loga p q > p
log2 16 log2 8 16 > 8
valor 4 3 4 > 3
Explicar la comparación de los logaritmos con el mismo argumento
construyendo la propiedad si dos logaritmos tienen el mismo argumento, el
logaritmo con la mayor base tiene el menor valor. Comparar logaritmos con el
mismo argumento con diferentes bases, completando una tabla como en el
ejemplo.
2.
Logaritmo loga k logb k a > b
log9 729 log3 729 9 > 3
valor 3 6 3 < 6
Práctica independiente
Ofrecer ejercicios que desarrollen la relación entre las raíces, las potencias y los
logaritmos, las comparaciones entre logaritmos y determinando el valor del
logaritmo. Se sugiere realizar las actividades 3 y 4 de la página 29; 6 y 7 de
la página 32 del texto del estudiante. Según el contexto se sugiere completar
las siguientes tablas:
a)
Logaritmo 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒒 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒑 𝑞 > 𝑝
valor
b)
Logaritmo 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒌 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒌 𝑎 > 𝑏
valor
Ticket de salida
Proponer un ejercicio que implique elegir el símbolo correcto de comparación
entre los logaritmos.
Logaritmo <, >, = Logaritmo
log3 712 log3 800
log𝑎 25 log𝑎 32
log0,1 12 log0,2 12
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¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que el estudiante identifique y aplique la noción del logaritmo para
representar números en escalas y la reducción de las operaciones.
Clase 6 Enmarcar
Explique las ventajas de los logaritmos basándose en la representación, para
esto muestre con un ejemplo, la utilidad de los logaritmos para representar la
información. Comenzar con la imagen y con la descripción de esta, la escala
muestra el rango de las frecuencias de los sonidos perceptibles para el oído
humano que van desde aproximadamente 20Hz hasta 20 000Hz.
Para descubrir las ventajas del logaritmo se sugieren las siguientes preguntas:
• ¿Se puede representar este rango de frecuencias de sonidos en una
escala lineal con aumento constante de frecuencias?
• La frecuencia inicial es de 20Hz que aumenta en octavas. ¿Cómo se
avanza en la escala con el aumento por el doble, el cuádruple,
óctuple, el 16 veces más grande?
• Compara estos múltiplos con potencias de base 2.
• ¿A qué distancia de la frecuencia inicial se encuentra la sexta octava?
• Considerando las respuestas anteriores, ¿cuáles son las ventajas de esta
escala logarítmica?
Relevar en las posibles respuestas el tamaño del rango de frecuencias que se
logra en pasos equidistantes en la escala y la facilidad para registrar en un
paso, en dos pasos, en tres pasos o cuatro pasos el doble, el cuádruple, el
óctuple, el 16 veces más fuerte. Explicar con símbolos identificando los pasos
en la escala con los exponentes de las potencias de base 2, el doble 21 , el
cuádruple 22 , el óctuple 23, el 16 veces 24, el 32 veces 25 y el uso del lenguaje
referido al exponente.
Ampliar el conocimiento
Explicar por medio de una tabla la multiplicación de dos números que se
puede remplazar con la suma de los logaritmos respectivos. Ejemplificando
con logaritmos de base 2 y proponiendo ejercicios con logaritmos en base 2 y
10.
Plan de clases
Matemática
2° Medio – OA2 – OAa
Texto Escolar 2021
UCE – MINEDUC
Febrero 2021 19
Multiplicar o Dividir
con números
16 ∙ 64 24 ∙ 26 24+6 = 210 = 1 024
Sumar o Restar
con logaritmos de
base 2
log2 16 + log2 64
4 + 6
10
1 024
Razonar en conjunto sobre el número más grande, utilizando expresiones
numéricas que permiten utilizar las ventajas o reglas de los logaritmos, por
ejemplo, preguntando ¿Cuál de las tres expresiones es el número más grande
que se puede representar con tres cifras 9, 9, 9? Dialogando sobre las dos
posibilidades 𝟗𝟗𝟗, 𝟗(𝟗𝟗) y sin realizar los cálculos. Verificar en conjunto y
representándolos con logaritmos de base 10 que la segunda alternativa es
mayor que la primera:
999 → 𝐿𝑜𝑔999 = 99 ∙ 𝑙𝑜𝑔9 y 9(99) → 𝐿𝑜𝑔9(99) = 99 ∙ 𝑙𝑜𝑔9
Entonces 99 = 9 ∙ 11 y 99 = 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9
Práctica independiente
Ofrecer problemas y ejercicios para apreciar las ventajas de los logaritmos, por
ejemplo, una actividad con una línea de tiempo de la historia humana o de la
existencia del universo que requiere una línea de tiempo en escala
logarítmica, ejercicios que muestran la ventaja de los logaritmos en la
potenciación de números que se reduce a la multiplicación de los logaritmos
respectivos, por ejemplo log2 83 = 3 ∙ log2 8, ejercicios de expresiones
algebraicas que se refieren a la aplicación de las regularidades logaritmos en
la multiplicación, división y potenciación, utilizando logaritmos de diferentes
bases preferentemente de 10 con el símbolo “Log” que está presente en la
calculadora. Se sugiere realizar las actividades 8 y 9 de la página 33 del
texto del estudiante.
Ticket de salida
Proponer un ejercicio que implique reducir las expresiones algebraicas
aplicando las propiedades del logaritmo.
• log𝑘 𝑎3 + log𝑘 𝑎 =
• log𝑘(𝑎 ∙ 𝑏) − log𝑘 𝑏2 =
¿Qué se espera lograr?
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Se espera lograr que el estudiante resuelva problemas identificando si la situación
corresponde a la noción de potencia, raíz enésima o logaritmo.
Clase 7 Práctica guiada
Explicar las condiciones del problema y lo que se requiere para responder a las
preguntas. Por ejemplo, en el caso de los objetos en movimiento, estos tienen
que ejercer un rendimiento mecánico contra la resistencia de aire, lo cual
depende en forma cúbica de la velocidad con la cual se desplaza el objeto.
Motivar con imágenes y resaltar el rendimiento mecánico, la velocidad y el
objeto.
Explicar las respuestas a las preguntas anotando la información y desarrollando
paso a paso en la pizarra.
a) ¿Cómo cambia el rendimiento mecánico, si se duplica la velocidad?
Explicar la respuesta haciendo la diferencia en cambios lineales y los no
lineales, en este caso en una dependencia cúbica de la velocidad si se
duplica la velocidad el rendimiento mecánico cambia al óctuplo del
rendimiento anterior. Expresar de manera simbólica lo anterior, nominando al
rendimiento por 𝑃, a la velocidad 𝑣 y a 𝑘 como un factor constante.
Según la información inicial, se tiene:
• Rendimiento mecánico con velocidad 𝑣 → 𝑃 = 𝑘 ∙ 𝑣3 reconociendo
que el cambio de forma cúbica se refiere a potencias con exponente
3.
• Nuevo rendimiento con el doble de velocidad 2𝑣 → 𝑃 = 𝑘 ∙ (2𝑣)3 = 𝑘 ∙
8𝑣3 = 8 ∙ 𝑘 ∙ 𝑣3
• 8 ∙ 𝑘 ∙ 𝑣3 = 8 ∙ 𝑃
b) ¿Cómo ha cambiado la velocidad, si el rendimiento mecánico es 27
veces más grande?
Explicar la respuesta como un proceso inverso al anterior, se entrega la
información sobre el rendimiento y se pregunta por la velocidad, lo cual
significa elevar al cubo y sacar la raíz cúbica, simbólicamente se debe extraer
la raíz cúbica de 27 → √273
= 3, por lo cual la velocidad ha cambiado al triple.
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c) ¿Cómo ha cambiado la velocidad, si el rendimiento mecánico se hizo 8
veces más grande?
Explicar la respuesta relevando las partes del problema que son similares a las
anteriores para concluir que se debe extraer la raíz cúbica de 8 → √83
= 2.
d) ¿Cómo ha cambiado la velocidad si el rendimiento mecánico se
triplicó?
Explicar la respuesta relevando las similitudes con los casos anteriores y utilizar
la calculadora para responder que se debe extraer la raíz cúbica de 3 → √33
≈
1,4.
Práctica independiente
Ofrecer problemas similares al del rendimiento mecánico y que exijan el
trabajo con logaritmos, raíces y potencias como los que se muestran a
continuación. Puede utilizar las actividades de la hoja de trabajo de la
Clase 7, se sugiere realizar las actividades de la página 34 a 36 del Texto
del estudiante.
1) En los medios sociales se describe la notoriedad de una persona según los
amigos de 1° grado y las personas que conocen a los amigos de la
persona, pero no la persona misma, son conocidos de 2° grado y los
conocidos de 3° grado son los amigos de los amigos de los amigos y así
sucesivamente
a. Si tienes 20 amigos, ¿cuántos conocidos de 5° grado deberías tener?
b. Si una persona tiene 50 625 personas de 4° grado, ¿cuántos amigos en
total tiene?
c. Si una persona tiene 50 amigos, ¿cuántos conocidos de 5° grado tiene?
Compara este resultado con la población total de América del Sur.
2) La acidez de una sustancia se determina mediante el valor pH. Entre la
concentración c de los iones de hidrógeno en 𝑚𝑜𝑙/𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 y el valor del pH
existe la relación 𝑝𝐻 = −𝑙𝑜𝑔𝑐
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a. Calcula el valor pH de:
• Lejía de bicarbonato de 𝑐 = 2 ∙ 10−14𝑚𝑜𝑙/𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
• Tomates de 𝑐 = 6,3 ∙ 10−5𝑚𝑜𝑙/𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
• Limones de 𝑐 = 3,2 ∙ 10−3𝑚𝑜𝑙/𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
b. Calcula la concentración de iones de hidrógeno de:
• Agua jabonada de 𝑝𝐻 = 10
• Sangre 𝑝𝐻 = 7,5
• Agua mineral 𝑝𝐻 = 4,5
Ticket de salida
La escala “Richter”, que mide la amplitud de un terremoto en el epicentro, es
una escala logarítmica a base 10.
• Si aumenta la amplitud de un terremoto en 1°, ¿cuántas veces más
grande es la amplitud en comparación con la anterior?
• Si una planta nuclear está diseñada para resistir movimientos
equivalentes a 9°, ¿cuántas veces más grande es una amplitud que
equivale a 9,75°?