I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA PLAN DE ASIGNATURA

GUÍA DIDÁCTICA

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO: PA-01-01

VERSIÓN: 1.0

FECHA: 16-03-2012

PÁGINA: 1 de 14

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: UNDÉCIMO

Periodo: SEGUNDO – GUIA 1

Docente: ALEXANDRA URIBE Duración:

20 horas

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR:

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de

medición

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

Define e interpreta gráficamente el límite de una función.

Aplica propiedades algebraicas en el cálculo de límites.

EJE(S) TEMÁTICO(S):

MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA

“Cada acción genera una fuerza de energía que regresa a nosotros de igual manera… Cosechamos lo que sembramos.

Y cuando optamos por acciones que producen alegría y éxito a los demás, el fruto de nuestro karma es también alegría y éxito”.

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía.

Sigue las instrucciones del docente.

Resuelve las actividades en el cuaderno.

Aclara tus dudas.

EXPLORACIÓN

1. Cada vez que un tirador da en el blanco gana 500 puntos, y cada vez que falla, pierde 300. Sabiendo que después de 15

disparos, obtuvo 2.700 puntos, ¿cuántas veces dio en el blanco? A) 7 B) 6 C) 9 D) 8

2. ¿Cuantos puntos hay en total en un par de dados? A) 50 B) 36 C) 42 D) 30

3. Juan compró un kilo de plátanos el lunes y se comió la tercera parte. El martes se comió la mitad de los que le quedaron, y el

miércoles se comió los dos últimos. ¿Cuantos plátanos entraron en el kilo? A) 9 B) 8 C) 6 D) 7

4. Antonio recorrió 300 km con su bicicleta y utilizó por igual tres neumáticos para recorrer dicha distancia. ¿Cuántos kilómetros

utilizó cada neumático? A) 100 B) 200 C) 300 D) 120

5. El cuentakilómetros de mi coche muestra 72927 km, que es un número capicúa (se lee igual empezando por el final). ¿Cuántos

kilómetros debo recorrer, como mínimo, para poder ver otro número capicúa en mi cuentakilómetros? A) 10001

km B) 1100 km C) 110 km D) 10 km

CONCEPTUALIZACIÓN

LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL

El concepto de límite dentro de la estructura del cálculo infinitesimal, es sin lugar a dudas, uno de los más importantes y también

uno de los más sencillos para conceptualizar de manera intuitiva y práctica. En la vida diaria hablamos de velocidad límite, el

límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología, o de estirar un resorte al límite. Todas estas frases sugieren que el

límite es una especie de ´cota´ que a veces no puede ser alcanzada y en otras puede ser superada. El propósito de la presente guía

apunta a la comprensión de tendencia o convergencia de una función o curva hacia un punto, así como, a la aplicación de los

procedimientos algebraicos necesarios para lograrlo.

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El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el

infinito.

DESARROLLO INTUITIVO DEL CONCEPTO DE LÍMITE:

A través de los límites se puede describir y estimar la forma en que varía una función f(x). Así por ejemplo, para funciones que

varían continuamente, los cambios pequeños en x producen ligeras modificaciones en f(x). Igualmente, otras funciones pueden

tomar valores que producen saltos o cambios significativos. En este sentido, justamente el concepto de límite nos proporciona los

métodos precisos para distinguir estos comportamientos de las funciones.

Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se

puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto

de .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de

límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que

para todo número real x en el dominio de la función .

Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido

el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan

cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición

asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

NOTACIÓN:

. Se lee: límite cuando x tiende a c de efe de equis es igual a ele.

LÍMITES LATERALES

El límite cuando: x → x0

+ ≠ x → x0

-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

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Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como

tal, no existe.

TRABAJANDO CON CALCULADORA:

1). Considera la función

2). Utiliza la calculadora para completar la siguiente tabla:

3). Realiza la gráfica de la función y establece conclusiones sobre el comportamiento de la función para valores próximos a 1-

En las tablas hemos escrito valores de x suficientemente cercanos al valor x = c dado y hemos consignado las correspondientes

imágenes obtenidas mediante el uso de una calculadora. A partir de estas imágenes hemos inferido el valor del límite o hemos

determinado que no existe.

UN EJEMPLO DE QUE EL LÍMITE NO EXISTE

Esto está bien para introducir el concepto y tratar de aclarar su significado. En algunas ocasiones esto nos permite también tener

una idea bastante acertada del límite, sin embargo el uso de gráficas o de tablas para calcular límites no es todo lo eficiente que

quisiéramos. Básicamente tenemos algunos problemas:

A veces no se conoce la gráfica de una función, o es muy difícil de trazar.

Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboración de la tabla utilizando únicamente una sencilla

calculadora.

No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto.

Como sucede muy a menudo en matemáticas, se puede tomar atajos que nos permiten efectuar cálculos más rápidos y, a la vez, con

la certeza de la validez de los resultados obtenidos. En el caso de los límites esto se logra con el uso adecuado de algunos teoremas

que daremos a continuación como propiedades de los límites.

Primeramente, comentaremos dos límites especiales.

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Dos límites especiales

1. El límite de una función constante

De la gráfica podemos ver que para cualquier valor de c tenemos que

Ejemplos.

2. El límite de la función identidad

De la gráfica podemos observar que para cualquier valor x = c se tiene que

Ejemplos:

Propiedades de los límites

Los límites especiales comentados anteriormente junto con las propiedades generales de los límites que vamos a dar aquí, nos

permitirán calcular una gran cantidad de límites sin recurrir a tablas o a gráficas.

Propiedades generales

Si k es un escalar:

Límite de Expresión

Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

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Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e

Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal .

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite

cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación

Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a potencia

Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que

también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

A continuación se da una serie de ejemplos que ilustran las propiedades indicadas. En todos los casos los cálculos están basados en

los límites de la función constante y de la función identidad ya dados.

APLICACIONES DE LAS PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Ejemplos .

a. ( x + 15 ) = x + 15 = 3 + 15 = 18

b. ( x - 15 ) = x - 15 = 3 - 15 = -12

c. 4x = 4 · x = 4 · 5 = 20

d.

e. x3 = [ x]

3 = 2

3 = 8

f. x1/2

= [ x]1/2

= 41/2

= 2

Ejemplos .

1. Calcular (x2 + 2x + 3).

Solución: Tenemos

(x2 + 2x + 3) = x

2 + 2x + 3

= [ x ]2+ 2 · x + 3

= 22+2 · 2 + 3

= 4 + 4 + 3

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= 11

2.

3.

Si usted observa detenidamente estos últimos cuatro ejemplos se dará cuenta que basta evaluar la función en el valor hacia el que

tiende x. Esto es cierto en muchos casos, como sucede en los siguientes:

Pero la evaluación directa no siempre funciona. Consideremos nuevamente

Si intentamos evaluar en 2 obtenemos

y esta es una expresión indefinida.

Límites determinados e indeterminados

Decimos que el límite es determinado si al evaluar la función en el valor hacia el que x tiende se obtiene el valor del límite. En

caso contrario se dice que es indeterminado. Existen varias formas indeterminadas; la que acabamos de ver se llama la forma

indeterminada 0/0. Cuando al intentar calcular un límite se obtiene una forma indeterminada debemos echar mano de otros

aspectos de la función para encontrar el límite propuesto.

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Volvamos a Lo que sucede aquí es que ( x - 2 ) = 0 y entonces la propiedad del límite de un cociente no se

puede aplicar porque el límite del denominador es igual a 0. Sin embargo, en el ejemplo 3 habíamos dicho, mediante el uso de una

tabla, que = 4. ¿Será que la tabla nos engañó o habrá una manera de verificar que este valor es correcto?

La respuesta a esta pregunta está fundamentada en la siguiente propiedad:

Teorema 2: Dos límites coinciden si:

Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a c y si f(x) = g(x) para todo x del

intervalo con x distinto a c entonces

f(x) = g(x)

En otras palabras, lo que está diciendo el teorema es que no importa lo que pase en c, si las funciones coinciden para valores

cercanos a c los límites indicados son iguales. En el siguiente dibujo se dan tres funciones que coinciden excepto en c. Se ve en

ellas que los límites cuando x tiende a c tienen que ser iguales.

Lo que todo esto significa es: si se logra transformar adecuadamente la función dada en otra que sea equivalente a ella (salvo en el

valor c dado) y si la función nueva tiene un límite determinado, entonces: éste es también el límite de la función original.

Regresando una vez más a

,

sabemos que

= = x + 2

siempre que x distinto de 2.

De esta manera, según el teorema:

= ( x + 2) = 2 + 2 = 4 tal como lo indicaba la tabla.

CÁLCULO DE LÍMITES: MÉTODOS

A partir del ejemplo anterior vemos que con el objeto de realizar estas transformaciones se utiliza los conocimientos del álgebra

básica tales como operaciones con fracciones racionales, factorización de polinomios, racionalización y simplificación de

expresiones algebraicas en general.

A continuación se presenta varios ejemplos que ilustran estos procedimientos. En todos los casos se trata de límites indeterminados

de la forma 0/0. Cuando esté calculando límites haga siempre en primer lugar la evaluación porque si el límite no es indeterminado

no es necesario realizar las transformaciones por más "extraña" que sea la función.

PRIMER MÉTODO: FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR

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1.

3.

SEGUNDO MÉTODO: RACIONALIZAR Y SIMPLIFICAR

Ejemplo.

Calcular .

Solución: En los casos anteriores utilizamos factorización y simplificación para obtener una nueva función. Aquí lo más

conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por:

Ejemplo.

Ejemplo.

Calcular

2.

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Solución: Aquí racionalizamos el denominador:

Tercer método: combinación de los anteriores

Ejemplo.

Ejemplo .

Ejemplo

Calcular

Solución: En este caso procedemos por "doble racionalización", del siguiente modo:

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Ejemplo.

Calcular

Solución: Transformamos la función utilizando las operaciones con expresiones algebraicas.

Ejemplo . Calcular

Solución:. Tenemos entonces:

LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades:

Límites trigonométricos especiales:

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

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1. Sea f una función cuya gráfica se presenta a continuación. Determina el valor de los límites laterales y verifica si existe

o no los limites en los puntos x = 0 y x = 2. Justifica tu respuesta.

2. Sea f la función definida como se muestra en la fórmula. Determina si existen los siguientes límites.

EJERCICIOS DE CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES

Calcular los siguientes límites:

1 2 3 4

5 En los puntos x = -1 y x =1 6 7

Calcular los límites de funciones logarítmicas:

1 2 3 4 5

Calcular, por comparación de infinitos, los siguientes límites:

1 2 3 4 5 6

Hallar los siguientes límites:

1 2 3 4

Calcular los límites:

1 2 3 4

Hallar los siguientes límites:

1 2 3 4 5

Hallar los siguientes límites trigonométricos:

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Ejercicio adicionales: Halla:

Responde las preguntas 1 y 2 con base en la siguiente información:

2...........tan

2...........

)(

xsix

xsix

xf

1. Acerca del límite de la función cuando x toma valores cercanos a 2

la afirmación precisa es:

a. No existe porque la función no está definida para 2

x

b. No existe porque la función tangente tiende hacia -.

c. No existe porque los límites por izquierda y derecha no existen.

d. No existe porque los límites laterales son diferentes.

2. Los límites a izquierda y derecha de la función cuando x tiende a 2

3 son respectivamente:

a. y - b. y c. y 2

3 d.

2

3 y

2

3

3. Si realizo una sustitución directa el resultado de 54lim 2

8

xx

x es: a. 107 b. 59 c. 43 d. 91

4. Factorizando el resultado de 1

34lim

2

2

1

x

xx

x es: a.1 b. -1 c. 4 d.

0

0

5. Luego de factorizar, el resultado de 67

1610lim

2

23

2

xx

xxx

x es: a. 0 b.

5

2 c. 1 d. -4

6. El resultado de 3

21lim

3

x

x

x es: a. 4 b. indeterminado c. 0 d.

3

1

7. El resultado de

x

xx 6

1

81

lim0

es: a. -5 b. 0 c.

3

4 d. -2

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8. El resultado de 6

23lim

2

23

2

xx

xxx

x es: a.

5

2 b.

5

2 c. 1 d. -1

9. El resultado de

x

xx 2

1

41

lim0

es: a. -5 b. 0 c.

2

1 d. -2

Teniendo en cuenta la gráfica calcula los límites pedidos:

10. ____)(lim1

xfx

11. ____)(lim3

xfx

12. ____)(lim1

xfx

13. ____)(lim4

xfx

14. ____)(lim1

xfx

15. ____)(lim0

xfx

16. ____)(lim6

xfx

SOCIALIZACIÓN

Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas.

COMPROMISO

Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía.

Encuentre el límite (si existe) de cada una de las siguientes expresiones.

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ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

Aura Alexandra Uribe Rozo

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

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