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PROYECTO FORMATIVO EN MATEMÁTICA

1. GENERALIDADES

Título : VIBRACIONES MECÁNICAS ESTRUCTURALES

Curso : ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES - FC

Cursos que se integran

: Álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, Lenguaje, Economía General, y Desarrollo Humano.

Competencias : Potenciar las capacidades de comunicación, de investigación, del uso de tecnologías, de resolución de problemas, del trabajo en equipo y una actitud emprendedora; a través del estudio multidisciplinario de una situación problemática de contexto relacionada con las vibraciones que soporta una estructura; haciendo uso de modelos matemáticos, del análisis económico, y de una oportuna toma de decisiones con responsabilidad social

Duración : 10 semanas

Metodología : El Proyecto se desarrollará a lo largo de 10 semanas de clases en forma progresiva y secuencial, con entregas parciales desde la recopilación de información, su procesamiento, la solución al problema y la sustentación oral ante un panel de jurados, previa presentación del informe final escrito. Será desarrollado en grupos de 8 personas, con un claro protagonismo de sus integrantes y una asesoría permanente del docente.

2. CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA

Se dice que un cuerpo vibra cuando experimenta cambios alternativos, de tal modo que sus

puntos oscilen sincrónicamente en torno a sus posiciones de equilibrio, sin que el campo

cambie de lugar. Como otro concepto de vibración, se puede decir que es un intercambio de

energía cinética en cuerpos con rigidez y masa finitas, el cual surge de una entrada de energía

dependiente del tiempo.

En la era moderna, en donde los avances

tecnológicos están a la puerta, grandes aportes

de la matemática y métodos de análisis

permitieron a resolver algunos problemas en el

campo de las vibraciones mecánicas

Las vibraciones mecánicas se estudian en

ecuaciones diferenciales ordinarias, ya

que ellas ejemplifican modelos

matemáticos del mundo real.

En la actualidad el estudio en este campo es tan

grande que basta con ver algunos de sus causa-

efecto para entender su importancia. La gente de

una u otra forma está constantemente relacionada con este fenómeno, por ejemplo, el buen

funcionamiento de los amortiguadores de un automóvil permite un mejor manejo entre los

tripulantes, el mal aislamiento de alguna maquinaria industrial puede dañar la infraestructura

de la misma y zona aledaña pudiendo ser conjuntos habitacionales

En este proyecto, los estudiantes entienden y explican un modelo que permita

comprender las vibraciones mecánicas.

La Ingeniería Civil estudia la respuesta dinámica de estructuras. En ocasiones, se diseñan

estructuras que resultan muy susceptibles a la acción de cargas dinámicas producidas por la

acción del viento y sismos, además de otras menos consideradas, como las producidas por

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máquinas, vehículos y ascensores. Además, las exigencias de seguridad y confort en las

estructuras son mayores ahora que en el pasado por lo que es necesario realizar un estudio

detallado de sus propiedades dinámicas (modos naturales de oscilación), ya sea mediante

modelado o por el análisis de sus vibraciones.

Por fortuna, no es necesario esperar a que

ocurra un terremoto para estudiar la

respuesta de un edificio, ya que es suficiente

con observar pequeños niveles de excitación

que pueden ser originados tanto por

vibración ambiental como forzada, es decir,

experimentalmente. Las técnicas de

vibración forzada y vibración ambiental para

pruebas en edificios son muy similares.

Ambos métodos se basan en pequeños

niveles de excitación, por lo que pueden ser

usados para determinar varias formas

modales y frecuencias características de vibración y sus correspondientes valores de

amortiguamiento.

3. ETAPAS

PRIMERA ETAPA:

3.1 Búsqueda de información y organización.

I. Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento: Dirección Nacional de

Construcción

La Dirección Nacional de Construcción es el órgano de línea encargado de proponer

lineamientos de política, normas y procedimientos referidos a la construcción de

infraestructura, así como a promover el desarrollo, evaluar su aplicación y estimular la

iniciativa privada a fin de mejorar las condiciones de infraestructura y, por ende, el nivel

de vida de la población.

a) Elabore una lista de acciones que la Dirección Nacional de Construcción ha realizado

a nivel nacional, con el fin de promover la Normatividad para el Diseño y Construcción

de Edificaciones Seguras.

El territorio del Perú se encuentra

asentado sobre dos placas tectónicas

activas: la Sudamericana y la Nazca,

conformantes del Anillo de Fuego del

Pacífico, donde tiene lugar el 80% de

la actividad sísmica y volcánica de la

Tierra. Por ello, nuestro país es

susceptible a la ocurrencia de

terremotos, deslizamientos, tsunamis

y erupciones volcánicas que,

sumados al precario proceso de

ocupación y desarrollo de sus ciudades, al inadecuado manejo de los recursos naturales

y económicos, así como al rápido crecimiento demográfico, lo exponen,

Fuente: imágenes de google

Fuente: imágenes de google

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permanentemente, a amenazas y riesgos cuya falta de previsión ha ocasionado la

pérdida de vidas.

b) Elabore una lista de los últimos sismos que han ocurrido en el Perú y elabore un

cuadro en el que se muestre el daño ocasionado a los diversos tipos de edificaciones.

c) Investigue qué acciones de mejora han ejecutado las autoridades de los gobiernos

local, regional y/o nacional con el fin de reconstruir las zonas afectadas por los

sismos.

d) Investigue que materiales alternativos se deben promocionar en la construcción de

viviendas sismos resistentes. Muestre gráficos que ilustren la aplicación de estos

materiales.

d1) ¿Se aplican en la actualidad en el Perú?

d2) ¿En qué localidades de nuestro país se están utilizando estos materiales

alternativos den la construcción de viviendas?

d3) ¿Qué instituciones privadas o del gobierno promocionan el uso de estos materiales

alternativos?

II. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA.

Suponga que una compañía fabrica dos productos que se usan como insumos en la construcción de edificios. Para obtener un dólar por la venta del producto B, la compañía gasta $0,35 en materiales, $0,15 en mano de obra y $0,10 en gastos generales. Para obtener un dólar por la venta del producto C, la compañía gasta $0,35 en materiales, $0,25 en mano de obra y $0,15 en gastos generales

a) Defina dos vectores, �⃗⃗� y �⃗� , que representen el costo por dólar de ingreso de los dos productos.

b) Suponga que el directorio de la compañía quiere invertir 𝑥1 dólares en la fabricación

del producto B y 𝑥2 dólares en la fabricación del producto C. Modele un vector que describa los diversos costos que tendrá la compañía en materiales, mano de obra y gastos generales.

c) Defina una matriz 𝑈 cuyas columnas describan los costos por dólar de producción para los productos B y C. Esta matriz se llamará matriz de costo unitario.

d) Sea �⃗⃗� = (𝑥1; 𝑥2) un vector de producción, se define la transformación 𝑇:ℝ2 → ℝ2 como

𝑇(�⃗⃗� ) = 𝑈�⃗⃗� .

d1) Modele la regla de correspondencia de la transformación lineal 𝑇.

d2) Interprete, en términos de la situación problemática planteada, la linealidad de 𝑇. Plantee algunos ejemplos que ilustren sus respuesta.

SEGUNDA ETAPA: 3.2 Estudio de casos

CASO 1: Vibraciones en un edificio de una sola planta.

A modo de introducción, comenzamos

modelando las vibraciones en un edificio de

una sola planta. En cualquier caso, cuando se

inicia la catástrofe, el edificio experimenta

excesiva deflexión lateral, causando daño

permanente a la estructura. Es muy difícil

modelar los detalles del movimiento de un

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edificio. Sin embargo, el modelo de edificios como estructuras idealizadas consta

de pisos relativamente pesados, extensos y paredes elásticas. Teniendo en

cuenta cada planta de un edificio como una masa puntual situada en el centro de

masa del piso (figura 1), la analogía con el sistema masa/ resorte/ amortiguador

del sistema (figura 2) es clara.

Las paredes proporcionan fuerzas elásticas que actúan en dirección opuesta a la

dirección del movimiento cuando cada planta se desplaza de su posición de

equilibrio. La rigidez total del edificio depende de las rigideces de las partes de la

estructura.

La primera tarea es derivar la ecuación de movimiento para un edificio de una

sola planta. A continuación examinamos diversas vibraciones libres y

amortiguadas del edificio. Continuando, vemos los efectos de una fuerza

sinusoidal considerando tanto la ausencia y presencia de amortiguación. Con

una comprensión del comportamiento básico en un edificio de una sola planta,

se procede luego en edificios de varios pisos. Ambas vibraciones forzadas y no

forzadas son consideradas. Por último, uno de los pisos del edificio se modela

por el comportamiento real del edificio a ser observado.

a) Ignorando los efectos de amortiguación (omitir los amortiguadores en las

figuras 1 y 2), muestre que los argumentos estándares nos conducen al

problema con valor inicial (PVI) para el desplazamiento del centro de masa

del techo:

𝑚𝑢′′ + 𝑘𝑢 = 0, 𝑢(0) = 𝑢0, 𝑢(0) = 𝑢1 (1)

Las constantes 𝑚 y 𝑘 representan la masa total del techo y la rigidez general de las paredes, respectivamente.

b) ¿Puede decir usted cómo el edificio reacciona a diversas condiciones

iniciales?

c) ¿Puede suponer si el desplazamiento inicial 𝑢0 y la velocidad inicial 𝑢1 son

diferentes de cero.

d) Desde que √𝑚/𝑘 tiene unidades de tiempo, haga

𝑡 = √𝑚

𝑘 𝜏 ; 𝑢 = 𝑢0𝑦

en el PVI de (1) y reduzca al PVI no dimensional

𝑦′′ + 𝑦 = 0 ; 𝑦(0) = 1 ; 𝑦′(0) = 𝑣 =𝑢0

𝑢1√

𝑚

𝑘 (2)

donde la derivada es con respecto a la variable 𝜏.

e) Multiplique la EDO dada en (2) por y′, y obtenga

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𝑑

𝑑𝜏𝐸(𝜏) = 0

donde 𝐸(𝜏) =1

2[(𝑦′)2 + 𝑦2]

Se exige a los estudiantes interpretar este resultado analíticamente (la derivada de la energía es cero), y grafíquela a través de un diagrama de fase (círculo centrado en el origen), que les permite concluir que la energía se conserva en el sistema. Note que para este sistema particular, la energía es proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen hasta la trayectoria. Es fácil ver el cambio de la energía cinética y potencial en el plano de fase.

Cuando 𝑦′ = 0, toda la energía se almacena elásticamente por el resorte, y cuando 𝑦 es cero, toda la energía es cinética.

CASO 2: Vibraciones forzadas En el caso anterior, la dinámica del sistema depende de ciertas constantes intrínsecas a él. Supongamos ahora que se aplican una fuerza externa llamada excitación 𝐹𝐸 sobre el sistema masa-resorte-amortiguador.

En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por

𝐹 = 𝐹𝑅 + 𝐹𝐴 + 𝐹𝐸 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝐹𝐸

donde donde 𝑐 > 0 es la constante de proporcionalidad. De acuerdo con la segunda ley de Newton y ordenando los términos, se obtiene

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑘𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐹𝐸

O bien la forma

𝑚𝑥′′(𝑡) + 𝑐𝑥′(𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 𝐹𝐸 (3)

La fuerza externa de excitación 𝐹𝐸 desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca un aumento. Cuando la fuerza de excitación 𝐹𝐸 sea distinta de cero, diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador está forzado. a) Considere 𝐹𝐸 = 𝐹0 cos(𝜔𝑒𝑡). Explique la relación que debe existir entre las soluciones

de la EDO homogénea y 𝜔𝑒, para determinarla solución de la EDO dada por (3).

b) Un sistema masa-resorte-amortiguador, con masa igual a 5 kg, constante 𝑐 igual a 5

N.s/m y 𝑘 = 1,03N. Si se aplica una fuerza de excitación 𝐹𝐸 = 150 cos(2𝑡)

b1) Resuelva la EDO que se obtiene al sustituir en (3) los valores dados.

b2) Determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo, suponiendo que

𝑥(0) = 0 metros y 𝑣(0) = 0 m/s.

b3) ¿Qué tipo de movimiento provoca la fuerza de excitación a medida que trascurre el

tiempo?

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Tercera Etapa:

3.3 Responsabilidad social y contaminación ambiental.

El cuerpo humano siempre está expuesto a vibraciones mecánicas producidas por

diferentes tipos de fuentes. La vibración es un agente o fenómeno físico complejo que

puede producir diversidad de efectos nocivos sobre el cuerpo humano que van desde

sensación de incomodidad o molestia hasta efectos en tejidos blandos y sistema

circulatorio. Las vibraciones también pueden influir en la capacidad de ejecución de

tareas o representar un riesgo para la salud o la seguridad de las personas.

Las vibraciones mecánicas pueden medirse

en todos los ámbitos donde sean producidas

ya sea por maquinaria (sistemas HVAC,

compresores, ascensores, bombas, etc.),

vehículos (tierra, mar y aire), actividades

(industriales, ocio, domésticas) y vibraciones

estructurales en edificios percibidas por el

cuerpo humano.

El uso del término contaminación acústica se

ha generalizado a nivel mundial entre

organismos públicos, organizaciones no

gubernamentales y diversos investigadores

que se abocan a la atención y al estudio del problema del ruido.

a) Elabore un organizador gráfico que ilustre algunas situaciones típicas de trabajo y

entretenimiento que causan vibraciones mecánicas

b) Describa con detalle las consecuencias más importantes de la contaminación acústica

para la salud.

c) Investigue lo relacionado con el día internacional contra el ruido. ¿En nuestro país

se toma en serio la contaminación sonora?

d) Investigue si, en materia de contaminación por vibraciones mecánicas, a la fecha

existe alguna Norma Oficial Peruana por medio de la cual se pueda regular la emisión

de este agente contaminante.

e) Elabore un cuadro en el que se muestren los conceptos sonido, ruido, presión acústica

y sus respectivas unidades de medida.

f) Elabore una gráfica en la que se muestra la escala comparativa de medición del

sonido.

4. REFERENCIAS

[1] Portal web de la Dirección Nacional de Construcción: www.vivienda.gob.pe/dnc

[2] Rich Marchand. Learning Differential Equations by Exploring Earthquake Induced Estructural Vibrations: A case Study. Journal de Ingeniería, vol 15-N◦6, pag 477-485, 1999. [3] PAOT. Contaminación por ruido y vibraciones: Implicaciones en la salud y calidad de vida de la población urbana. México [4] Ortiz, L. Identificación de cambios en el comportamiento estructural de un edificio experimental, mediante el análisis de vibración ambiental y vibración forzada, empleando técnicas de identificación de sistemas. Tesis. México. 2010 http://www.gripweb.org/gripweb/sites/default/files/TESIS_LG_Ortiz.pdf /

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