UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

ESCUELA POLITCNICA SUPERIOR

INGENIERA INDUSTRIAL

DEPARTAMENTO DE INGENIERA TRMICA Y DE FLUIDOS

PROYECTO FINAL DE CARRERA:

ESTUDIO NUMRICO Y EXPERIMENTAL DE LA FUERZA DE BJERKNES

AUTORA: ELENA IGUALADA VILLODRE

TUTOR: JAVIER RODRGUEZ RODRGUEZ

2

3

CAPTULO1:INTRODUCCIN.........................................................................................................6

CAPTULO2:FORMULACINDELPROBLEMA..............................................................................14

ECUACIONESGENERALES.........................................................................................................14

NOMENCLATURA......................................................................................................................15

2.1OSCILACINRADIALDELABURBUJA.................................................................................16

2.1.1 Adimensionalizacin...............................................................................................17

2.2 VELOCIDADDELCAMPOFLUIDO...................................................................................18

2.2.1 Adimensionalizacin...............................................................................................19

2.3VELOCIDADDELABURBUJA...............................................................................................19

2.3.1Adimensionalizacin....................................................................................................22

2.4 POSICINDELABURBUJA..............................................................................................23

2.5 RDENESDEMAGNITUDESPERADOS...........................................................................24

2.6 ECUACIONES ADIMENSIONALES TENIENDO EN CUENTA EL EFECTO DE LA CAPA DELPIDOSDELASUPERFICIEDELABURBUJA..............................................................................25

2.7 ECUACIONES ADIMENSIONALES SIN TENER EN CUENTA EL EFECTO DE LA CAPA DELPIDOSDELASUPERFICIEDELABURBUJA..............................................................................26

2.8 PROBLEMALINEALIZADO...............................................................................................27

2.9 ANLISISDERESONANCIA.............................................................................................30

2.9.1 Frecuenciaderesonancia.......................................................................................32

2.10 RESULTADOSNUMRICOS..........................................................................................33

2.10.1 Fisicadim.................................................................................................................33

2.10.2 Frnum......................................................................................................................33

2.10.3 Arvectorial...............................................................................................................36

CAPTULO3:ANLISISMEDIANTEELMTODODELASESCALASTEMPORALESMLTIPLES.......38

3.1HIPTESIS............................................................................................................................38

3.2ANLISISDERDENESDEMAGNITUD...............................................................................39

3.3PROMEDIADODELASECUACIONES...................................................................................43

CAPTULO4:VALIDACINNUMRICADELANLISISMEDIANTE ELMTODODE LAS ESCALASTEMPORALESMLTIPLES.............................................................................................................48

4.1CAMPOFLUIDOEXTERNO...................................................................................................48

4.2VALIDACINGENERALDELPROBLEMA..............................................................................49

4.2.1Partculapesada...........................................................................................................50

4

4.2.2Velocidadinicialnuladelapartcula...........................................................................52

4.2.3Partculaconvelocidadinicial......................................................................................52

4.2.4Ausenciadecampofluido............................................................................................53

4.2.5Ausenciadeinsonacin...............................................................................................54

4.3VALIDACINDELPROBLEMAPROMEDIADOPARATIEMPOSLARGOS..............................55

4.3.1ClculodelnmerodeStokes.....................................................................................61

CAPTULO5:ANLISISEXPERIMENTAL.........................................................................................70

5.1ENSAYOSEXPERIMENTALES................................................................................................70

5.2PLANTEAMIENTOTERICODELPROBLEMA......................................................................72

5.2.1Burbujasinsonadasalafrecuenciaderesonancia......................................................74

5.2.2Burbujasinsonadasconondasacsticasdistintas......................................................78

5.3ANLISISDELOSRESULTADOSEXPERIMENTALES.............................................................79

5.3.1Calibracin...................................................................................................................79

5.3.2Cdigotrajanalysis....................................................................................................80

5.3.3Cdigogettrajectories..............................................................................................82

5.3.4Cdigobjerknesanalysis...........................................................................................83

5.4CLCULODELASVELOCIDADESINVOLUCRADAS...............................................................88

5.4.1Velocidadascensionaldelaburbuja...........................................................................88

5.4.2Velocidadestacionariabajoelefectodelultrasonido................................................97

5.5ENSAYOSCONRESULTADOSCONTRARIOSALOSTERICOS...........................................103

CAPTULO6:CONCLUSIONES......................................................................................................106

REFERENCIAS...............................................................................................................................108

5

RESUMEN

Enelpresentedocumentose llevaacabounestudiosobreelcomportamientodeburbujasqueenelsenodeun lquido son sometidasaun campoacsticoquevara con laposiciny conel tiempo.Elobjetivo de conocer el movimiento de burbujas en estas condiciones es su uso como agentes decontrasteparalaobtencindeimgenesmedianteultrasonidosenelmarcodelasaplicacionesmdicas.

Alolargodeestamemoriasedesarrollarnlasecuacionestericasquerigenelcomportamientodelaburbujaydellquidoquelarodeaantelascondicionesdescritas.Sepropondrnmodelossimplificadosdel problema, tales como una linealizacin de las oscilaciones radiales de la burbuja o un estudiomediante escalas temporales mltiples. Finalmente se expondrn los experimentos realizados,analizandosusresultadosdemodoquequedenvalidadoseldesarrollotericopropuestoysusolucinnumrica.

6

CAPTULO 1: INTRODUCCIN

Unaburbujanoesniungas,niun lquidoniun slidooplasma.Nopuedeexistirenunanica fasematerial,sinoquerequierealmenosdosparaformarse.Enesteestudiosernconsideradaslasburbujasformadasenelsenodeunlquido,esdecir,volmenesdegasyvaporrodeadosporunafaselquida.Enmuchoscasos lasburbujasalcanzanuna formaesfricadebidoa la tensinsuperficial,movindoseatravsdellquidodebidoalefectoqueproducensobreellaslasfuerzasdepresindetodotipo,desdeestticasydinmicas(comoporejemplolasondasacsticas)hastafuerzasdeflotabilidadodearrastre.

Lasburbujasaparecenenmuchasdisciplinas, tantoen fenmenosnaturales comoen losdesarrollostecnolgicosasociadosaellos.Dehecho,elestudiodelasburbujasydesucomportamientohasidoyarecogidoen librosyartculoscomo loscitadosal finaldeldocumento.En lamayorade loscasos lasburbujasgeneradasen los fenmenos fsicosnoseencuentranaisladas,sinoqueaparecen formandoagrupaciones.Sinembargo,elestudiodeunaburbujaaisladaeselpuntodepartidaparadescribirelcomportamientode estructurasms complejas como conjuntosdeburbujasque toman la formadeclusters,filamentosynubes.Algunasaplicacionesactualesdelasburbujas,comolaaplicacinalaquevadestinadaesteestudio,requierenprecisamentelageneracindeburbujasaisladasqueacabamosdecomentar. Esto se consiguemediante luz lser pulsada o concentrada empleada para la produccinprecisadeburbujaseninvestigacin.

Lasprimerasinvestigacionescientficasdemayorrelevanciasobreburbujastuvieronlugarenelmarcodelatecnologamarina,debidoa laformacindeburbujasporrupturadelaguaen lospropulsoresdelosbarcosalgiraraaltavelocidad;seestudiaselfenmenosdeformacindeburbujasporcavitacin.

En la actualidadunade lasprincipales vasde investigacin consisteen laaplicacindeburbujasenmedicinaparalageneracindeimgenesconelusodeultrasonidos,ondassonorasquepresentanunafrecuenciasuperiorallmitesuperiordeaudicindelserhumano,queseencuentraaproximadamenteenunos20KHz.Seempleanmicroburbujas,burbujascuyoradioesdelordendelmicrmetro,conunacubiertaensusuperficieamododecpsula; recibenelnombredeagentesdecontrasteyseutilizanparamejorarelcontrastedelasimgenes.Losultrasonidosactansobrelasburbujasdirigindolasalazonadeseadaatravsdelflujosanguneoconelobjetivodeobtenerimgenesquepuedanayudaraladeteccinporejemplodeproblemascardiacos.

Enelpresentedocumentodetratardeestudiarelcomportamientodelasburbujasbajoelefectodeunultrasonido en relacin a la aplicacin comentada. Las burbujas involucradas en esta aplicacin sonburbujasaisladascuyasuperficieescubiertaconunacapaprotectora.Sinembargo,nuestrosequiposnonospermitengenerarburbujasaisladas,por loqueennuestrosexperimentostrataremosdecaptarelmovimientodeburbujasquenoseveanafectadasporlasqueseencuentranasualrededoroqueestnsuficientementealejadasdelrestodecomponentesdelapoblacindeburbujas.

A continuacin explicaremos los estudios desarrollados para caracterizar el comportamiento de unaburbujabajounainsonacinacsticaultrasnica.

7

Oscilacindelaburbuja,(LauterbornyKurz,2010)

Unaburbujaenunlquidopuedeserconsideradacomounsistemaoscilatorio.Enelcasodeunaburbujaesfrica podemos emplear una nica variable para describir su forma y tamao: el radio cuyavariacinserdeterminadaatravsdeunmodelodeecuacionesquedescribaelcomportamientodeloscilador.Paraformularestemodelosernecesarioconocerparmetrosrelativosallquidoquerodeaalaburbujaascomodelgasovaporcontenidosenella.LosparmetrosusadosenelmodelobsicodeRayleighsonlapresinexternaenellquido,ladensidaddellquido,lapresinenelinteriordelaburbuja ysuradioinicial:

32

Como se puede advertir en elmodelo, la diferencia entre las presiones del lquido y del gas es laresponsabledelasoscilacionesdelaburbuja.

Si tenemosen cuenta lapresindel campo acstico yotrosparmetrosde losquedependeelsistema,comoelexponentepolitrpicodelgascontenidoen laburbuja, laviscosidaddinmicadellquidoysutensinsuperficial,elmodelodeRayleighadquierelasiguienteforma:

32

24

2

2

Siendolapresindelgasenelinteriordelaburbujaenreposo,lapresinestticaenellquidoylapresindevapor,quesetomarcomoconstante.

Lapresinacsticasecaracterizacomounapresindevariacinsinusoidalconunaamplitudyunafrecuencia angular . Estemodelo, junto con algunas variantes delmismo, es conocido como elmodelodeRayleighPlesset.

Otro modelo para caracterizar las variaciones radiales es el modelo de Gilmore, que incorpora laradiacinacsticaenellquidoprocedentedelasuperficiedelaburbujaoscilante,queactuaracomolamembranadeunaltavoz.Estemodeloproponelasiguienteformulacin:

1

321

3 1

1

donde

8

2

24

1

EstemodelopresentaalgunosparmetrosadicionalesconrespectoalmodelodeRayleighPlesset,comolavelocidaddelsonidoenellquidoencondicionesnormales,lavelocidaddelsonidoenlapareddelaburbujaC,laentalpaH,losparmetrosA,BydelaecuacindeestadoquerelacionalapresinydensidaddelgasdelaburbujaylaconstantedevanderWaalsb.

UnmodeloquevamsallqueeldeGilmoreeselmodelodeKellerMiksis,queademsdeincorporarlaradiacinacsticadelaburbuja,introduceuntiempoderetardo /enlasecuaciones:

1

32

1

3 1

donde

2

24

2

stos son los tres modelos bsicos para la descripcin de la oscilacin radial. En nuestro estudiopartiremos de un modelo basado en la ecuacin de RayleighPlesset que ha sido extendido paracaracterizar el movimiento de los agentes de contraste en aplicaciones ultrasnicas por Chomas yMorgan(referenciaDayton2002).

32

2

2

/

/

,

4

22

12

9

, 2

2

/

/

4

22

2

Este modelo difiere del modelo bsico de RayleighPlesset en que incorpora los parmetroscorrespondientesalacubiertadelaburbujayelefectodeunaradiacinacsticaamortiguada.Ademsparaelprimertrminodeladerechadelaigualdad,quesecorrespondeconlapresindelgasinterior,

incluyeunacorreccindebidaalasfuerzasdevanderWaals/ delaqueprescindiremosen

nuestroanlisis.

Compararemosnuestromodelopara lasoscilacionesradialesconelmodelodeGilmoreresolviendoelproblema para las condiciones de las figuras 2 y 3 del artculo Physiscs of bubble oscillations,(LauterbornyKurz,2010).

Ejemplo1

Setomancomocondicionesdelproblemalassiguientes:

120

20

70

0

Figura1.1Ejemplo1,modeloGilmore

10

Figura1.2Ejemplo1,modelomodificadoRayleighPlesset

Larespuestadenuestromodeloesmuysimilara ladelmodelodeGilmore.Ladiferenciaestenquehemos impuestocomocondicin inicialqueelvalordel radio seaeldepartida, introduciendoasundesfasetemporalenlasolucinquehacequelascontraccionesradialessedenmstarde.

Ejemplo2

Lascondicionesson:

5

20

130

0

11

Figura1.2Ejemplo2,modeloGilmore

Figura1.4Ejemplo2,modelomodificadoRayleighPlesset

12

Enestecasoambasrespuestastambinpresentanundesfasetemporalperovemosquelaformadelasoscilaciones y sumdulo coinciden.Queda por tanto validado elmodelo propuesto para la burbujaoscilante.

Desplazamientodelaburbuja

Elcampoacsticoalquesometemosa laburbujaestambindependientede laposicin.Elgradienteespacialdelcampodepresionesejercerunafuerzanetasobrelaburbujaquedependerdesutamaoydelgradienteespacialdepresin.Comodicha fuerza varaperidicamente, la fuerzaneta sobre laburbujasepuedetomarcomolamediatemporalenunperiodode lafuerzaoscilatoria;estafuerzaesconocida como Fuerza de Bjerknes, cuyos efectos sobre la burbuja son objeto de estudio en estedocumento.

Parauncampoacsticounidimensionalsuexpresines:

,

43

,

Ademsde la fuerzadebidaalcampoacstico,actuarnsobre laburbujauna fuerzade resistenciaofuerzaviscosadebidaalaviscosidaddelfluidoenelquesemueve,unafuerzallamadademasavirtualylafuerzadeflotabilidad,Theacousticbubble,Leighton(1994)

En losprximoscaptulostrataremosdedesarrollarestateoradeformamsdetallada,resolviendoelproblema propuesto de forma numrica y validando los resultados apoyndonos en ensayosexperimentales.

13

14

CAPTULO 2: FORMULACIN DEL PROBLEMA

ECUACIONES GENERALES

Unamicroburbujasometidaa laaccindeuncampoacsticode longituddeondamuchomayorque su tamao se comportar como un oscilador no lineal para un amplio rango de presionesacsticas.Lafrecuenciaderesonanciadesteosciladorserfuncindeltamaoinicialdelaburbujaydelapresinacsticaconlaquelaestamosinsonando.

En este estudio se analizar el comportamiento no lineal de las oscilaciones de las burbujassometidas aun campo acstico,proponindose asimismounmodelo linealque ser vlidoparapequeasoscilacionesradiales.

Alolargodetodoelanlisisconsideraremoslassiguienteshiptesisdepartida:

Lalongituddeondadelcampoacsticodepresinesmuysuperioraltamaodelasburbujas:

Porelloelgradientedepresinacsticonoafectaalasoscilacionesradiales. Poblacindeburbujasdetamaouniforme:

En los experimentos no es posible conseguirlo, por lo que trataremos de generar burbujasaisladas.

Concentracindeburbujassuficientementepequeaparadespreciar la radiacinacsticadelasmismas.

Elfluidoinfluyesobrelaburbujaperolaburbujanoinfluyesobreelfluido.

A continuacin vamos a analizar lasecuacionesque rigenel comportamientode laburbuja,quepresentardosmovimientos como consecuenciade lasvariaciones temporalesyespacialesde lapresinqueactasobreella:

1. Unmovimientodetraslacin,porelhechodemoverseenelsenodeunlquido.2. Unmovimientodeoscilacinradialdebidoalaexcitacinexternaconultrasonidos.

15

NOMENCLATURA

presinhidrostticadelagua(10Pa)

radioinicialdelaburbuja(~10)

tensinsuperficialdelagua(0.072/)

densidaddelagua(1000/)

densidaddelaburbuja(~1/)

viscosidaddinmicadelagua(10 )

velocidaddelsonidoenelagua(1500/)

exponentepolitrpicodelgasquecontienelaburbuja(~1.4)

viscosidaddinmicadelacapadelpidosquerecubrelaburbuja

mduloelsticodelacapadelpidosquerecubrelaburbuja

espesordelacapadelpidosquerecubrelaburbuja

amplituddelaondaacstica(~10 10)

frecuenciadeinsonacin(~)

frecuenciaangulardeinsonacin, 2

longituddeondadelaondaacstica(~)

nmerodeondaangulardelaondaacstica, 2/(~)

constantedevanderWaals

vectorqueindicaladireccindepropagacindelaonda,vectordirectordelnmerodeonda,

16

2.1 OSCILACIN RADIAL DE LA BURBUJA

Lavariacintemporalde lapresinqueactasobre laburbujainduceunmovimientodeoscilacindesuradio,provocandoasuncambiodevolumendelaburbujaquecomoveremosmsadelanteinfluirtambinensumovimientotraslacional.

Para describir la oscilacin radial de la burbuja utilizaremos un modelo basado en la ecuacin deRayleighPlesset,aadiendoelefectodelaexistenciadeunacapadelpidosenlaburbujayelefectodelcampoacstico.Dayton,2002

32

2

2

/

/

, 4

22

12

1

Siendo

, 2

2

/

/

4

22

2

Estemodelocalcula lapresindelgasqueocupael interiorde laburbujaconsiderndolocomo ideal,para lo cual se introduce una correccin dada por la constante de van derWaals b. Para nuestroanlisisnosolvidaremosdelefectodelasfuerzasdevanderWaals,esdecir,tomaremoselvalordelaconstante b como nulo. Considerando esta simplificacin derivamos (2) y sustituimos en (1),obteniendoasunasolaexpresinparadescribirlasoscilacionesdelaburbuja.

32

2

2

1 3

4

21

2

1 3

12

3

17

2.1.1 Adimensionalizacin

Parmetrosfundamentales:,

32

2

2 1

3

4

2

1

2

1 3

12

Siendo

32

2

2

1

3

4

2

1

2

1 3

12

32

1

1

1 3

1

1

1

1

1 3

4

Estaecuacin tieneerroresdelordende 2M ,por loque sloesvlidapara 1

18

2.2 VELOCIDAD DEL CAMPO FLUIDO

Paradeterminar lavelocidaddel lquidoenelquesemueve laburbuja,plantearemos laecuacindecantidaddemovimientoparaellquido:

(1.1)(1.2)(1.3)

(1.2) Despreciamos este trmino ya que esperamos velocidades de traslacin muy inferiores a lavelocidad del sonido en el lquido considerado, es decir, porque el nmero deMach basado en lavelocidaddetraslacindelaburbujaesmuypequeo,MaxeyRiley(1983).

(1.3) , con , . Aunque la presin hidrosttica del lquido esdependientedelaposicinydeltiempo,susoscilacionestienenunalongituddeondamuchomayorquela longitudde onda acstica. Puestoque estamos estudiando el efectodel lquido sobre laburbuja,vamosa considerar lapresinhidrosttica comouniforme yaquenoshallamosenunentornode laburbujaenelque lasnicasvariacionesdepresinapreciables son lascorrespondientesa lapresinacstica.

Conlocual,podemosexpresarelgradientedepresincomosigue:

cos

Comparamosahoralosrdenesdemagnituddelostrminos1y3:

~ ~

Una vez obtenido el orden demagnitud de la velocidad del lquido, lo compararemos con el de lavelocidaddeoscilacindelaburbuja:

~

~

~

1

Comosepuedecomprobar, lavelocidaddeoscilacindelradiode laburbujaesmuchomayorque lavelocidaddellquido.

5

19

2.2.1 Adimensionalizacin

Parmetrosfundamentales:,

6

2.3 VELOCIDAD DE LA BURBUJA

Paradeterminar lavelocidadde laburbujavamosaplantear laecuacindelequilibriode fuerzasqueactansobrelamisma,Dayton2002:

6 12

7

(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)

Analizamosahoracadaunodelostrminosqueintervienen:

(3.1): Lamasade laburbujaes considerada como constante yaque,aunque sudensidad y volumenvaren, su producto se mantiene constante. Por ello, para indicar que esta masa es constante,

tomaremosparaesteprimertrminoladensidadyvolumeniniciales:dtvdVbbr

00

(3.2): Fuerza neta experimentada por una burbuja esfrica de volumen Vb en un campo de presinestacionaria con gradiente de presin p . Esta fuerza se conoce como Fuerza de Bjerknes y es elresultadode la interaccindelcampofluidocon lasoscilacionesde lasburbujas,esdecir,es lafuerzanetaqueejerceelcampofluidosobrelaspartculas.

LaFuerzadeBjerknesprimariasemanifiestadesplazandoalapartculadesuposicin,enladireccindepropagacin de la onda acstica. Por otro lado, la Fuerza de Bjerknes secundaria aparece entre lasburbujashaciendoqueseatraiganoserepelanenfuncindesioscilanenfaseonorespectivamente.

EnesteestudionoconsideraremoslacomponentesecundariadelaFuerzadeBjerknesentreburbujas;trataremosdejustificarelefectodelacomponenteprimariasobreelmovimientodelasmismas.

20

En el caso de que el tamao de la burbuja seamuchomenor que la longitud de onda del campoacstico,R

21

Finalmente,cuando losesfuerzosviscososdel flujosondespreciables,esdecir,paraRe>>1, lafuerzaderesistenciavienedadapor:

dondeesunaconstantequedenuevodependede la formadelcuerpoydesuorientacinrespectoaladireccindelmovimiento.

ParanuestroproblemahemosescogidolafuerzadeStokesparaunaesferargidapuestoqueesla utilizada por lamayora de los autores ya que elnmerodeReynoldsde traslacin de laburbuja es bajo y la capa de lpidos que la recubre le da una cierta rigidez. Adems estaexpresin permite que la partcula presente variaciones en su radio sin que se cumpla lacondicindeadherenciaensusuperficie.

Segundacomponente:

Este trmino es conocido como demasa aadida omasa virtual. La expresin utilizada estdeducidaparaun flujopotencial, loquesuponealtosnmerosdeReynolds,mientrasqueennuestroproblemaelReynoldsdetraslacinespequeo.

Apesardeello,estamismaexpresinesaplicablealmovimientodeburbujasenel senodefluidos viscosos, Leighton (1994). Si una esfera se mueve en el seno de un fluido que seencuentraenestadoestacionariosalvoporlapresenciadelamisma,lainerciadelaesferaseveincrementada de forma aparente por lamitad de lamasa del fluido desplazado. Estamasavirtualsedebeaque laesferadebeponerelfluidoenmovimiento,desplazndolodelespacioqueellamismaocupary trasladndoloalespacioquedejarvaco. Lamagnitudde lamasavirtualdesplazadadependede la formadelcuerpo,siendoparaunaesfera lamasade lquidocorrespondientealamitaddesuvolumen.

Podemosasimismo intuirque laexpresinempleada servlidaaunquenuestro flujono seapotencial.Cuandolaburbujaseponeenmovimiento,silaaceleracinessuficientementerpiday la velocidad de la burbuja cambia en un tiempo , la capa viscosa formada en el lquido

permanecer confinada a las proximidades de la esfera a una distancia , que sermuchomenorqueelradiosiemprequeeltiemposealosuficientementepequeo.

Terceracomponente:

SetratadelaintegraldeBasset,componentequeesdespreciadaporlamayoradelosautores,porloquenolaincluiremosennuestroanlisis.

(3.5):Fuerzadeflotabilidadsobrelaburbuja.Puestoquelaburbujasemueveenelsenodeunlquido,estarsometidaalafuerzadelagravedadcomoconsecuenciadesupesoyalempujedeArqumedes.

22

Laflotabilidadfavoreceelascensodelaburbujaenellquidoycontribuyeasuaceleracin,porloqueaparece con signo positivo en el equilibrio de fuerzas. Cuando comparemos los resultadosexperimentalesconlostericosserimportantetenerencuentaestetrmino.Serdesarrolladoenlossiguientes apartados aunque slo ser tenido en cuenta para la verificacin de los resultadosexperimentales.

2.3.1 Adimensionalizacin

Parmetrosfundamentales:,

6 12

43

43

1

6

12

43

43

43

43

6

1243

43

63

4 44

12

44

98

1

32

12

12

23

4

12

32

98

32

4

8

2.4 POSICIN DE LA BURBUJA

Laposicindelcentrodelaburbujavendrdadaporlaintegracindesuvelocidad:

9

posicindelcentrodelaburbuja

Queadimensionalizadaqueda:

10

24

2.5 RDENES DE MAGNITUD ESPERADOS

EnelequilibriodefuerzassobrelaburbujaesperamosquelafuerzaviscosaylafuerzadeBjerknesseandominantesyaqueenlassituacionesprcticasalasquenosenfrentamoslavelocidadqueadquierelaburbuja movida por la fuerza de Bjerknes est limitada por un equilibrio entre dicha fuerza y laresistenciaviscosa.

Por ello hemos adimensionalizado el problema a partir de ambas fuerzas, con lo que en formaadimensionalserndeordenunidad:

~ ~6

43 ~

/~

6 ~

~1

~1

~1

EsteReeselcorrespondientealmovimientode traslacinde laburbujaenel lquido.ElReynoldsdetraslacinyeldelnmerodeMachtendrnunosrdenesdemagnitudentornoa:

~50,~0.02

Hay que sealar que el nmero de Reynolds empleado para las adimensionalizaciones, , es elasociadoalaoscilacindelaburbujayserunordendemagnitudsuperioralReynoldsdetraslacin.Loutilizamos puesto que es el obtenido de forma natural al adimensionalizar las ecuaciones con losparmetroselegidos.

25

2.6 ECUACIONES ADIMENSIONALES TENIENDO EN CUENTA EL EFECTO DE LA CAPA DE LPIDOS DE LA SUPERFICIE DE LA BURBUJA

Oscilacionesradialesdelaburbuja:

32

1

1

1 3

1

1

1

1

1 3

Velocidaddellquido:

Velocidaddelaburbuja:

2

3

2

98

32

4

Posicindelaburbuja:

26

2.7 ECUACIONES ADIMENSIONALES SIN TENER EN CUENTA EL EFECTO DE LA CAPA DE LPIDOS DE LA SUPERFICIE DE LA BURBUJA

Oscilacionesradiales:

32

1

1 3 1

1

1

Velocidaddellquido:

Velocidaddelaburbuja:

2

3

2

98

32

4

Posicindelaburbuja:

27

2.8 PROBLEMA LINEALIZADO

Proponemosahoraunmodelolinealparalasoscilacionesdelaburbuja;paraellosupondremosquesuradiovariarpococonrespectoasuvalorinicialcomoconsecuenciadelgradientedepresinalquesevesometida:

1 ,con 1

Sinembargo,estemodelonospermiteobtenerconclusionesanalticasparaamplitudesdelaoscilacinradialnotanpequeas.

Encasodequetuvieseunordendemagnitudmayor,aparecerantrminosdetransferenciadecaloren laecuacinque finalmentepodramosmodelarvariandoalgunosparmetros: losefectos trmicossonimportantesenunrangomuyampliodeparmetros,perofinalmente,inclusoenelrangonolinealdelasoscilacionesradiales,puedenmodelarsesimplementeconunexponentepolitrpicomenorqueelvalorisentrpicoyconunaviscosidadmayorqueladellquido,Prosperetti(1977).

A continuacin sustituimos esta expresin en la ecuacin adimensionalizada para las oscilacionesradiales correspondiente al caso general (en el que tengamos una capa de lpidos recubriendo laburbuja):

1 32

1

1

1 1 3

1

1

1

1 3

1 1

1

1

1 1

1

1

1 3 1 3

1

1

1 3

1 3 1

1

1

Puestoquelaamplitudadimensionaldelaondaacsticaesderordendelaamplituddelaoscilacinradialadimensional,podemossimplificarlas:

28

1

3

3 1

3 3

1

11

3 1

3 1 1

3 3

1

1

1

1 11

Siendo 3

3 1

3 3

Conelobjetivodeverificarsiestaaproximacinesviable,integraremoslaecuacinparalasoscilacionesradialestantoenelcasogeneralcomoenellinealycompararemoslosresultados.

steesel cometidodel cdigode simulacin alque llamamos radialoscilation. Las condicionesdelproblemaquehemossupuestoparalacomparacinsonlassiguientes:

5

1

10

10

Laintegracinserealizaduranteuntiemposuficientementelargodemodoquelaburbujaalcanceelrgimenestacionarioensusoscilaciones.

29

Figura 2.1 Oscilacin radial para el modelo lineal y no lineal

Figura 2.2 Zoom oscilacin radial, modelo lineal y no lineal

30

Comovemosen lasgrficas,no cometemosunerror significativoalmodelar lasoscilaciones radialescomolineales,inclusocuandolaamplituddelainsonacinacsticanoesespecialmentepequea,comoeselcaso.

2.9 ANLISIS DE RESONANCIA

Recordamosenestepuntoqueparaunamismaamplituddel campodepresiones la respuestade laburbujadependerdelafrecuenciadelaseal,siendolaamplituddesusoscilacionesmximacuandolafrecuenciadeexcitacinsecorrespondeconladeresonanciadelsistema.

Conesteanlisis sepretendeobtener laexpresinquenos relacione la frecuenciade resonanciadelsistema conparmetros comoel tamaodeburbuja y amplitudde la sealde insonacin.Paraelloestudiaremos la ecuacin para las oscilaciones radiales, adimensionalizndola con respecto a unafrecuenciapropiadelsistemaalaquellamaremos.

Elresultadoparalaecuacindeoscilacionesradialesenformaadimensionalserelsiguiente:

32

1

1

1 3

1

1

1

1

1 3

12

Esta ecuacin tiene errores del orden 2M , por lo que slo es vlida para 1

31

1

1

1

13

Quedandoasdefinidalafrecuenciacaractersticadelsistema(sindimensionesyconellasrespectivamente)como:

3

3 1

3 314

3

3 12

3 32

15

Enelcasoparticulardeburbujassincapadelpidos:

1

3

1

3 1 1

3

1

3 1

16

Considerandoademsquelaburbujaestquieta:

1

3

1

3 1 1

3

1

3 1

17

Lafrecuenciacaractersticaparaestesistemasimplificadoseraentonces:

3

3 12

Unavezestudiada laadimensionalizacindelproblemaenbaseauna frecuenciapropiadel sistema,plantearemoselcasoquenosocupa,esdecir,enelquelafrecuenciadeexcitacinsecorrespondeconlafrecuenciacaractersticadelsistema:

,

1

1

1

1

18

32

2.9.1 Frecuencia de resonancia

Elradiodelaburbujavariarcomounaondasinusoidalquepodemosexpresardeformacomplejacomosigue:

Sustituimosestaexpresinen(18):

1

1

1 1 1

1

1 1

1

|| 1

1 1

1

Porladefinicindelafrecuenciaderesonancia,stavendrdadaporelmximoenlaamplituddelradiodelaburbuja,porloqueprocedemosahallarelmximode||:

||

21

1 1

1

0

1

1 12

1

1

19

33

2.10 RESULTADOS NUMRICOS

2.10.1 Fisicadim

Apartirdeunrangoderadios (entre1y10)yde frecuenciasde insonacin (entre0.5y9MHz) dados, el programa nos ofrece una tabla con los parmetros adimensionalesM, Re y correspondientes. Tambin presenta una tabla con la frecuencia de resonancia tericadimensional.

Resultaportantotilparateneruna ideadelrangodenmerosadimensionalesen losquenosmovemossinperderdevistalafsicadelproblema.

2.10.2 Frnum

Elobjetivodeesteprogramaescomparar la frecuenciade resonancia terica con lanumricapara burbujas de distintos tamaos. La frecuencia de resonancia terica es la desarrolladaanteriormente a partir de la ecuacin de oscilaciones radiales, mientras que la numrica seobtienesometiendoalaburbujaacamposdepresionesdedistintasfrecuenciasyseleccionandoaquellaparaquelaamplituddesuoscilacinradialseamxima.

Lassiguientesfiguraspresentanlosresultadosparaburbujasdeunrangodetamaosentre5y10micras con saltos de 0.05micras, insonando a frecuencias entre 0.2 y 0.8MHz con saltos de0.1MHz. Sera recomendable repetir la simulacin con mayor precisin en las frecuencias deinsonacin,pues la frecuenciade resonancia tericaque seobtieneesuna funcinescalonadaque sigue lamisma tendencia que la esperada tericamente. La elevada capacidad de clculoexigidapararesolverelproblemahacequenoseaposiblerealizarlasimulacinenunordenadorconvencional.stafaltadeprecisinimplicaerroresalahoradecalcular,Mylaamplituddelaresonancia.Elhechodequelaamplituddeoscilacinseamximaparalosradiosdeburbujasenlosquelafrecuenciatericacoincideconlanumricahacequeelmodeloseaconsistente.

34

Figura2.3Frecuenciaderesonanciatericaynumrica

Figura2.4alafrecuenciaderesonanciatericaynumrica

35

Figura2.5alafrecuenciaderesonanciatericaynumrica

Figura2.6Amplituddelasoscilacionesalafrecuenciaderesonancianumrica

36

Enestaltimagrficaserepresenta laamplitudde lasoscilacionesdelradiode laburbujaenelcasoenelqueseinsonaalafrecuenciaderesonancia.Vemosquesealcanzanamplitudesquesedesvanhastaenun45%50%delvalorinicialdelradio.Enestoscasos,sicaracterizamoselradiode la burbuja como 1 , el valor de ya no esmuchomenor que 1, por lo que a lafrecuenciaderesonancialaaproximacinlinealdelradionoestanprecisa.

2.10.3 Arvectorial

Describeel comportamientodeburbujasdeundeterminado tamaoenel senodeun campoacsticoresolviendoelsistemadadoporlasecuaciones(4),(6),(8)y(10),esdecir,lasecuacionesparalaoscilacinradial,lavelocidaddellquidoydelaburbujaysuposicinparaelcasogeneral.Adems proporciona el valor de la frecuencia de resonancia terica del sistema. Su formatovectorialpermitecompararelcomportamientodedistintostamaosdemicroburbujassometidasadistintasvariacionesdepresin.Acontinuacinsemuestran losresultadospara lassiguientescondiciones:

Datosazules 1, 4.69, 10

Datosrojos 5, 0.72, 10

Datosverdes 10, 0.34, 10

37

(zoom)

Figuras2.7Oscilacinradial,velocidaddellquidoydelaburbuja

yposicindelaburbuja

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.8

1

1.2

1.4

1.6Oscilacin radial de la burbuja

a

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10-4 Velocidad del liquido

u

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Velocidad de la burbuja

v

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-2

0

2

4

6

8

10

12Posicion de la burbuja

x

data1data2data3

1150 1160 1170 1180 1190 1200 1210 1220 1230

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Oscilacin radial de la burbuja

a

1190 1200 1210 1220 1230 1240 1250 1260 1270

-3

-2

-1

0

1

2

3

x 10-4 Velocidad del liquido

u

1360 1370 1380 1390 1400 1410 1420 1430

-2

0

2

4

6

8

10

x 10-3 Velocidad de la burbuja

v

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-2

0

2

4

6

8

10

12Posicion de la burbuja

x

data1data2data3

38

CAPTULO 3: ANLISIS MEDIANTE EL MTODO DE LAS ESCALAS TEMPORALES MLTIPLES

3.1 HIPTESIS

Ennuestroproblemaestamosconsiderandoelmovimientodeunaburbujaenelsenodeuncampofluidoestacionariodevelocidadypresin sobre laqueactaunaondaacsticaplanadeamplitudAyfrecuenciaangular.Lapresinqueactasobrelaburbujaserentonces:

. ,

Paraesteestudioconsideraremoselrgimenlineal,esdecir,oscilacionesradialesdepequeaamplitud( 1 , 1),paraelcualsonvlidaslassiguienteshiptesis:

Hip.1.Elproblemapresentadostiemposcaractersticos,ToilliezySzeri(2008): Untiempocorto,caractersticodelaoscilacinradialdelaburbuja

~1

Un tiempo largo, o tiempo caracterstico de residencia de la burbuja en el campo fluidoconsiderado

~, 1

Hip.2. El fluidoexterno a laburbujapresentaun flujo estacionarioqueesperturbadopor elgradientedepresin introducidopor laondaacstica,por loqueparece intuitivopensarquepodemosdescomponersucampodepresionesydevelocidadesenunvalormedioyunvalorfluctuante.ProponemosparaelloladescomposicindeReynolds,queimponecomocondicinqueelpromediotemporalde las fluctuacionesde lasvariablesestudiadas(quesonperidicas

deperiodo 2

)seanuloalolargodeunperiodo.

Dichopromediotemporalvienedadoporlasiguienteexpresin:

2

. , , 0

, 0

Hip.3.Unadescomposicinsimilaresaplicablealasvariablesdelaburbuja:

, 0

39

, 0

Advirtaseque lasfluctuacionesde lasvelocidadesdependennicamentedeynode laposicindentrodelcampo fluidoyaqueparaesteanlisis tomaremoselpuntodevistaLagrangiano,esdecir,estudiamoselcomportamientodelaburbujasiguindolaensumovimiento.

Ntese asimismo que las variables del campo fluido externo presentan un valormedio que nodependedeltiempo,sinodelaposicindentrodelcampo,mientrasqueelvalormediodelasvariablesde laburbujadependedeltiempoderesidencia:eneltiempocortoseven lasfluctuacionesyelvalormedioestomadocomoconstante,peroparauntiempotgrandeveremosqueelvalorpromediodelostiemposcortosvara.

Como puede apreciarse, dentro de las variables de la burbuja a las que se ha aplicado ladescomposicindeReynoldsnoseincluyeelradio;estosedebeaqueelradiodelaburbujafluctacon,peropresentaunvalorpromedioconstanteeneltiempo:

3.2 ANLISIS DE RDENES DE MAGNITUD

A continuacin aplicaremos la descomposicin de Reynolds planteada a las ecuacionesadimensionalizadasquesedesarrollaronenelapartado2.

EcuacinparalasoscilacionesradialesPuestoquenoseaplicaladescomposicinenescalastemporalesalradiodelaburbuja,estaecuacinpermaneceinalterada.

32

1

1

1 3

1

1

1

1

1 3

1

Ecuacinparalavelocidaddellquido

40

2

Ecuacinparalavelocidaddelaburbuja

98

1

12

4

AntesdeaplicarladescomposicinenescalastemporalesdespreciaremosparaesteanlisiseltrminodeflotabilidadpuestoqueesmuypequeoencomparacinconlafuerzaviscosaolafuerzadeBjerknesysupresencianosernecesariaparajustificarlosresultadosquesedesprendandeestapartedelestudio.Portanto,laecuacindelaquepartimosser:

98

1

12

Aplicamos inicialmente la descomposicin de Reynolds a la velocidad del lquido eintroducimoslaaproximacinacsticadelcampodepresiones:

98

1

12

98

1

12

12

12

32

41

12

32

98

1

12

12

12

12

32

98

1

32

Parahacernosunaideadelordendemagnituddeltrminodevaloresmediosvamosacompararel gradiente de la presin externa con el trmino dominante, que es el correspondiente algradientedelapresinacstica(fuerzadeBjerknes):

~

1

~

1

ParaunflujodeRebajo,comoelnuestro,

1

Esto quiere decir que las variaciones de presin son pequeas comparadas con la presinacstica.

Adems, una de las hiptesisde partida para nuestroproblema es 1 , es decir, que la

longituddeondadelcampoacsticoesmuchomenorquelalongitudcaractersticadelcampofluido.

Estimamosahoraelordendemagnituddelotrocomponentedeltrminodevaloresmedios:

~

Portanto,amenosque

1(locualnosueleserelcaso),podremosdespreciareltrminode

valoresmedios,quedandolasiguienteecuacincomoresultantedelequilibriodefuerzassobrelaburbuja:

42

12

32

98

1

32 3

Aplicaremos ahora la descomposicin de Reynolds a las variables de la burbuja bajo lassiguienteshiptesis:

,

12

32

98

1

32

12

32

32

98

98

1

32

EcuacinparalaposicindelaburbujaPartimosdeestaecuacinadimensional:

Aplicando la descomposicin de Reynolds obtenemos las hiptesis empleadas para ladescomposicinenelequilibriodefuerzassobrelaburbuja.

,

4

43

3.3 PROMEDIADO DE LAS ECUACIONES

En el apartado anterior llevamos a cabo la descomposicin de las variables en las dos escalastemporalesdelproblemadelasiguienteforma:

. , , 0

, , 0

, , 0

, , 0

Dondetequivalealtiempolargoyequivalealtiempocorto.

Unavezdiferenciadaslasdosescalastemporales,nosdispondremosapromediarlasecuacionesparaeltiempolargot,demodoqueperdamosresolucindeloqueocurreaescalasmspequeasypodamosverlaevolucindellquidoylaburbujaduranteeltiempoderesidenciadestaenelcampofluido.

Elproblemadehaber realizadoesadescomposicinde las variablesesquehemos introducidoenelproblemadosescalastemporalesquetenemosquerelacionar:

En el tiempo corto observamos las fluctuaciones del valor respecto a un valor medio constante:.Paraeltiempolargo,dejamosdevisualizarlasfluctuacionesyvemosunvalor(correspondientealvalormedioparatiemposcortos)quevaraconeltiempolargo,yquesecorrespondecon

.

con (cuandothavariadodelordende~,prcticamentenosehaenterado).

Transformaremosnuestrasecuacionesenecuacionesdiferencialesparaunnicotiempodelasiguienteforma:

,

,

,

,

0 por la propia definicin de promedio que estamos empleando y por la condicin

impuestaporladescomposicindeReynoldsutilizada

,

44

Porello,directamenteomitimos ladiferenciaentretiempos largosycortosen lasecuaciones,yaquecomohemoscomprobadofinalmentenosquedaunaecuacinequivalentequenosdarlaevolucindelasdistintasvariablesparatiemposlargos.

EcuacinparalasoscilacionesradialesComoyaexplicamosenelapartadoanterior,noaplicaremosladescomposicindeReynoldsalradiodelaburbujapuestoquesuvalorpromedioesconstanteconeltiempoyporqueademsno satisface la condicin impuesta a las fluctuaciones: las fluctuacionesdel radionopuedentenerunpromedionulopueslaburbujanopuedealcanzarradiosnegativos.

Igualmente no tiene sentido promediar la ecuacin para las oscilaciones radiales ya que atiempos largos se pierde informacin de lo que ocurre a escalas pequeas y por tanto laoscilacinradialresultanula.

32

1

1

1 3

1

1

1

1

1 3

5

Ecuacinparalavelocidaddellquido

0 6

Ecuacinparalavelocidaddelaburbuja

12

32

98

32 3

Puestoqueelpromediadodeestaecuacinesmscomplejo,loharemostrminoatrmino:

Primertrmino

12

12

12

12

45

Podemosintegrarporparteselltimotrmino:

12

3

12

3

3

Porlotanto

12

12

32

Segundotrmino

32

32

32

Asumiendoquelaoscilacinesperidica:

13 0

Adems,sepuedevolvera integrarporpartesy teniendoencuenta laecuacin (2)sepuedeafirmar:

12

3

3

12

3

12

3

13

12

13

Portanto:

32

12

32

46

Tercertrmino

98

98

98

Uniendotodoslostrminos:

12

32

12

32

98

32

12

98

7

Ecuacinparalaposicindelaburbuja

,

8

Esteanlisisdelproblemaatravsdelmtodode lasmltiplesescalastemporalesservalidadoenelsiguientecaptuloconsiderandounflujoexternoconcreto.

47

48

CAPTULO 4: VALIDACIN NUMRICA DEL ANLISIS MEDIANTE EL MTODO DE LAS ESCALAS TEMPORALES MLTIPLES

Para validar el estudio del problema realizado en el captulo anterior, vamos a proponer un casoconcretodadoporunflujoexternoconocidoenelquesituaremosalaburbujaypodremosobservarlaevolucindelamismaparatiemposlargos.

4.1 CAMPO FLUIDO EXTERNO

Queremoscomprobarqueelestudiodelproblemadesdeelpuntodevistadelasescalastemporalesmltiplestienevalidez,porloseraplicadoauncasoenelqueelflujoexternoseasencilloytengasolucinanalticayaqueasconoceremosdeantemanosurespuestaypodremoscompararconellalosresultadosdenuestroanlisis.

Elflujoexternoescogidoparaestacomparacinseconocecomocontraflujo.Lasecuacionesquelodefinensonlassiguientes:

Dondeesunaconstantedevalorconocido.

Puestoqueconocemos laexpresinanalticadelcampofluido,podremosdeterminareltiempoderesidencia de la burbuja en elmismo conmayor precisin.Quedan por tanto determinadas lasescalasdetiemposdelproblema:

~Tiempocaractersticodeoscilacinradialdelaburbuja~Tiempoderesidenciacaractersticoenelcampofluidoconsiderado

Parapoderobservarmuchasoscilacionesdenuestraburbujadentrodelrangodevalidezdelcampofluidosetienequecumplirlasiguienterelacinentreambasescalasdetiempo:

~ 1

En los siguientes apartados se proponen distintas formas de verificar nuestro anlisis de formanumrica.

49

4.2 VALIDACIN GENERAL DEL PROBLEMA

Enprimer lugarpartiremosde lasecuacionesadimensionalizadasdesarrolladasenelapartadodeAnlisis de rdenes de magnitud correspondiente al Captulo 3, en el que se introduce laaproximacin acstica del campo de presiones en las ecuaciones generales y se aplica ladescomposicindeReynoldsalavelocidaddellquido.

Ya que el campo fluido considerado est definido para las direcciones x e y, proyectaremosnuestras ecuaciones, salvo la correspondiente a la oscilacin radial, sobre las direccionescoordenadas, para lo cual ser necesario determinar cul es nuestro vector normal : vamos aconsiderarquelainsonacinseproduceenladireccinyconsentidodearribaabajo.Portantoelvectornormalser

Lasecuacionesproyectadasresultantessonlassiguientes:

1. Ecuacinparalavelocidaddellquido

2

0

2. Ecuacinparalavelocidaddelaburbuja

12

32

98

1

32 3

ProyeccinsobrelacoordenadaX:

12

32

98

1

ProyeccinsobrelacoordenadaY:

12

32

98

1

32

50

3. Ecuacinparalaposicindelaburbuja

4

Integraremosestasecuaciones junto con laecuacinpara lasoscilaciones radiales imponiendo comocondiciones inicialeselvalor inicialdelradio, laamplitudde laondaacsticay laposicin inicialde laburbujaenelcampofluido.Elrestodevariablespresentarncondicininicialnula.

Paralosejemplosquesepresentanmsadelantetomaremosestascondiciones:

10

10

500

5 10

Esta integracin tiene lugar en elprograma bjerkflow que se adjunta al final de lamemoria. Paraprobarestecdigosupondremoscondicioneslmitecomolassiguientes:

4.2.1 Partcula pesada

Paraestecaso,larelacindedensidadesentrelaburbujayelfluidodebeser:

~10

Laburbujahacelasvecesdeunperdigndeacero,porloquedebeseguirunatrayectoriarectahastaqueempiezaaafectarleelrozamientoy finalmentesealineacon las lneasdecorrientedelcampofluidoparadistanciasmuylargas.

Siobservamoslaecuacin3,quenosdalaexpresinparalavelocidaddelaburbuja,vemosque

la aceleracin de la burbuja est multiplicada por un factor

. Las oscilaciones

radiales sondeordenunidad,mientrasqueeneste caso la relacindedensidadesesdeunorden de magnitud superior. Esto quiere decir que el movimiento de la burbuja estar

51

dominado por los trminos inerciales, siendo mucho menor la influencia de la fuerza deBjerknes.Talycomohemosmencionadoanteriormente,estoserashastaquelosefectosdelrozamientosehagandemasiadograndesyfinalmenteobliguenalapartculaaseguiralcampofluido,amortiguandosumovimientoinicial.

Como vemos a continuacin, para la ecuacin de la velocidad de la burbuja en la direccinortogonalaladeinsonacintenemosuntrminolinealyuntrminoamortiguador,quees:

12

32

98

1

12

32

98

1

12

32

98

1

Partiendodeunaposicin(4,15),elresultadoes:

Figura4.1Burbuja(izquierda)vspartculainfinitamentepesada(derecha)

Comosepuedeobservar,enelcasoenelquelapartculaesmspesadaqueelfluidoexterno,stasigueunalnearectaaproximadamentedurantelamitaddesutiempoderesidenciaenelcampo, comenzando a desviarse para seguir las lneas de corriente en la segundamitad. Seadvierteportantoencomparacinconelcasode laburbujaqueel rozamiento leafectamstardealsermspesada.

52

4.2.2 Velocidad inicial nula de la partcula

Altenervelocidadinicialnula,lapartculapermanecequietaensuposicininicialsinenterarsedel campo fluido a su alrededorhastaqueel rozamiento sehacemuy grande yhaceque lapartculacomienceaseguirlaslneasdecorrientedelcampo.

4.2.3 Partcula con velocidad inicial

En este caso, puesto que la partcula parte con una velocidad inicial determinada, ha decontinuarmovindoseconesamismavelocidad,describiendounatrayectoria rectilnea,hastaqueelrozamientocobra lasuficiente importanciayhaceque lapartcula finalmentesealineeconelcampofluido.

Damosalapartculalavelocidadinicialcorrespondienteasuposicininicialenelcampofluido.

Comparamos estos casos, en los que la partcula parte sin velocidad inicial o con ella,considerandounaposicininicialde(3,3):

Figura4.2Burbujaconvelocidadinicialnula(izquierda)vsburbujaconvelocidaddepartida

Enestecasoladiferenciaentrelatrayectoriadelaburbujaenamboscasosapenassediferenciapuestoqueestamosutilizandouncampofluidodeelevadaintensidad,perosinosfijamosbienpodemosvercomocuandolaburbujapresentaunavelocidadinicialigualalacorrespondienteasuposicinenelcampo,continamovindoseconesavelocidadduranteunciertotiempohastaquelafriccinejercidaporelcampohacequefinalmentesigasuslneasdecorriente.

53

Otro factorquepermitediferenciar ambos casos es la longitud recorrida: cuando la burbujapartedel reposo,continasinmoverseduranteun tiempo;porello,enunmismo tiempoderesidenciaenelcampolaburbujaquepartedelreposorecorrerunadistanciamenor.

4.2.4 Ausencia de campo fluido

Eneste casoel stream ratedel campo fluidoesnulo:m=0.Esdecir, laburbuja semovernicamenteporefectodelafuerzadeBjerknes,noexistiendocontribucindelmovimientodelcampofluidoenelquesedesplaza.

Eltiempoderesidenciaserinfinitomedidoenunidadesdetiempodeoscilacin.

Paraunaposicininicialde(5,5)elresultadoeseste:

Figura4.3Burbujaenausenciadecampofluido

Vemos que, como la partcula se mueve nicamente como consecuencia de la fuerza deBjerknes,sutrayectoriatienelamismadireccinysentidoquelainsonacinacstica,verticalyhaciaabajo.Seobservaunapequeadesviacindelatrayectoriarespectoaladireccinvertical,lacualsedebealosefectosinerciales.

54

4.2.5 Ausencia de insonacin

Estecasoeselcontrarioalanterior:ahoraconsideramosquelaburbujanoesinsonada,esdecir,A=0,por loquenohay fuerzadeBjerknesy laburbujadeber seguirde forma casiperfecta(salvoporefectosdesudensidad)laslneasdecorrientedelcampofluido.

Locomprobamospartiendodecadaunodeloscuatrocuadrantes.

Posicininicial(5,15): (5,15):

(5,15): (5,15):

Figura4.4Burbujaenausenciadeinsonacin

55

4.3 VALIDACIN DEL PROBLEMA PROMEDIADO PARA TIEMPOS LARGOS

Enestasegundapartetrataremosdevalidarnuestroanlisisutilizandolospromediostemporalesdedosformasdistintasatravsdelcdigobjerkflowpromedio.

Tomaremoscomodatosdepartidaenamboscasoslossiguientes:

10

10

5 10

5 10

10

Esdecir,asumimosque laburbuja ser insonadaa su frecuenciade resonancia, siendo calculadastadeformaterica,ytomaremoscomotiempolargountiempoadimensionalqueserdiezvecesmayoraltiempocorto.

Lasformasqueproponemospararesolverelproblemasonstas:

1. El problema completo a resolver est dado por las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) proyectadassobre los ejes coordenados, teniendo en cuenta para ello que escogemos como direccin ysentidodelainsonacinlosdelvectorunitario Esteproblemaseresuelveparatiemposcortos(delordendeltiempocorrespondienteavariasoscilaciones de la burbuja) y sin campo externo, obtenindose un vector de soluciones

correspondientealvectordetiempos:

; ; ; ; ; ;;

Acontinuacinseprocedeapromediareneltiempoestassoluciones,paralocualseutilizanlosvaloresde la segundamitaddel vector tiempo con el finde asegurarnoshaber alcanzado lasolucinestacionaria.Deestaformahemoslogradoobtenerunnicovalorpromedioasociadoalaescalatemporalpequea.Elsiguientepasoconsisteenintroduciresosvalorespromediadoscomovariablesdelproblemaparatiemposlargos:

nuestrosistemadeecuacionesestdadoahorapor lasexpresionespromediadas (5),(6), (7) y (8), en las que introducimos la presencia de un campo externo, que siguesiendoelcontraflujo.Lascondicionesinicialesparalapartculasernsuposicininicialylavelocidaddelcampocorrespondienteaestaposicin.

56

Integramos el problema para tiempos largos (del orden de 10 veces el tiempo corto) y

obtenemos un vector de soluciones correspondiente al vector de tiempos que nopresentaroscilaciones,yaquelasvariablesdeentradaeranvaloresmedios.Paraunaposicininicialde(5,1),elvectordesolucionesnosofrecelaevolucindelaburbujaquepudeverseenlaimagen:

Figura4.6Evolucindelaposicindelaburbuja

2. Resolvemoselproblemacompletosinpromediarcon flujoexterno integrndolopara tiempos

largos,obteniendoelvectorsolucinasociadoalostiempos.Estasolucinpresentaroscilacionesyaque lasvariablesnohansidopromediadasenningnmomento.

En este caso, para la misma posicin inicial, la burbuja se mueve de lamisma manera. Locomprobaremos representando las soluciones e para una partcula que parte de laposicin(5,1)enlassiguientesgrficas:

57

Velocidadalcanzadaporlaburbuja

Figura4.6Velocidadmediatotaldelaburbuja

Para ambas formas de resolucin los resultados coinciden. En la grfica vemos que lavelocidadenlacoordenadaypermanececonstanteyquelavelocidadenxespositivaycreciente. Si comprobamos la evolucin de la burbuja en el campo que aparece en lasfiguras anteriores, vemos que sta enseguida pasa a seguir las lneas de corriente delcampo,queterminansiendoasntotashorizontalesqueavanzanenx;porellosuvelocidadenlacoordenadahorizontalvacreciendoyhacindosecadavezmspositivamientrasqueen lacoordenadavertical lavelocidadesconstanteyvienedadaporelefectodelcampoacstico.

58

VelocidaddebidaalafuerzadeBjerknes

Figura4.6Velocidaddebidaalainsonacinacstica

En esta grfica estamos representando la velocidad adimensional de la burbuja debidaexclusivamentealefectodelcampoacsticoalqueestsometida,yaquelehemosrestadolacomponenteintroducidaporelcampofluidoexterno.Vemosque la componente yde la velocidad tieneun valorpequeopero constante atiemposlargosyquecoincideconelvalordelavelocidadverticaltotal.Talcomoexplicamosenlagrficaanterior,laburbujaalcanzamuyrpidolaasntotahorizontal,porloqueensurecorridomantienesuposicinverticalyconellosuvelocidadenydebidaalcampo.Lacomponente remanenteenestacoordenadasedebeenteramentea lacontribucinde lafuerzadeBjerknes.Sinembargo lavelocidaden lacomponentexsehacenegativa.Estoquieredecirque laburbujavuelvehaciasuposicininicial.Puededeberseaquelaintegracindelproblemaseproducepara tiempos superiores alde residencia (~500, ~50000)de laburbuja en el campo, lo que es coherente con el trmino exponencial que aparece alintegrarlasecuaciones.

59

Coordenadasdelaburbuja

Figura4.7Posicindelaburbuja

Al igual que en las figuras anteriores, las soluciones de ambosmtodos coinciden y nosmuestran loque esperbamos: laburbuja alcanza la asntotahorizontal avanzando en lacoordenadahorizontalymanteniendoconstantesucoordenadavertical.

60

Zoomparalacoordenadaydelaburbuja

Figura4.8Zoomparalacoordenadaverticaldelaposicindelaburbuja

Simiramosde cerca lasdos solucionesvemosqueenelprimer caso,enelque se integra lasolucinpromediadaenparauntiempolargot,obtenemosunvalorparalaposicindey=0.Sin embargo, la segunda solucin, en la que se integra el problema para tiempos largos sinrealizar promedios, nos dice que la burbuja se quedara oscilando entorno a una posicinligeramentenegativa.

sta ltima solucin se ajustams con el resultado esperado: si la burbuja no es insonada,esperamos que siga las lneas de corriente del campo y que finalmente alcance la asntotahorizontalcorrespondiente,queenestecasoesy=0;peroenelcasodeestar sometidaauncampoacsticoendireccin ,actuarsobrelapartculaunafuerzaadicionalconocidacomofuerzadeBjerknesquedesplazarsuposicinasintticaenesamismadireccinysentido.

Elerrorenlasolucinqueutilizalospromediostemporalespuededebersealasimplificacindetrminosen laobtencinde lasecuacionespromediadas, locualdebeserestudiadoenmayorprofundidad.

61

4.3.1 Clculo del nmero de Stokes

El nmero de Stokes es un nmero adimensional que caracteriza el comportamiento de laspartculas suspendidas enun flujo. Es el resultadodel cociente entre el tiempodifusivo y elconvectivo.EnesteapartadoqueremoscalcularelvalorcrticoparaelnmerodeStokesquehaceque laburbuja atraviese la asntota horizontal (y=0) que divide el campo fluido en dos zonas coninformacinopuestaenladireccinvertical.En general, si S>>1, lapartcula continaen lnea recta, sin seguir las lneasde corrientedelcampo,por loqueatraviesa labarreraquerepresentaparanuestrocampofluidoelejex,queseparalaszonasdelcampoconsentidocontrarioenladirecciny.Sinembargo,siS

62

12

18

12

18

DefinimoselnmerodeStokescomo:

12

18

Laecuacindiferencialadimensionalizadaaresolvereslasiguiente:

Imponemosahoralascondicionesiniciales:

0: 1, 1

0

1 0

1 1 4

2

12

12

1 4

DeaquobtenemosqueelvalorcrticoparaelnmerodeStokes,queesde=1/4:

SiS>1/4,obtenemosracescomplejasconjugadas, loquetraducidoalplanofsicoquieredecirque la burbuja atraviesa la barrera del eje x, y al recibir informacin contraria en los doscuadrantes (enuncuadrante las lneasdecorrientetienensentidoverticalhaciaabajoyenelotrotienensentidoverticalhaciaarriba),quedaroscilandoentornoalejex.

SiS

63

6

62

12

6

12

18

Adimensionalizamosapartirdelosvaloresinicialesdelflujo:

12

/

18

12

18

12

18

DefinimoselnmerodeStokescomo:

12

18

Laecuacindiferencialadimensionalizadaaresolvereslasiguiente:

Imponemoslascondicionesiniciales:

0: 1, 1

0

1 0

1 1 4

2

12

12

1 4

64

EnestecasoelnmerodeStokesesunacantidadpositiva,por loqueeldiscriminantenosehacenuncanegativoylasracesdelaecuacinsonsiemprepositivas.Estosetraduceenquelaburbujanunca sequedaroscilandoen torno a ladireccin xporque la informacinque lellegadeambosladoseslamisma.

RealizaremosacontinuacinelclculodellmitedelStokesparaburbujargidasometidaaunainsonacinacstica.Planteamoselequilibriodefuerzasenladirecciny:

6

6

62

12

6

Donde

, cos

sin

12

18

1

Adimensionalizamos:

12

/

18

1

12

18

12

18

18

Definimoslossiguientesparmetros:

12

18

18

Conloquelaecuacinquedaas:

65

,

0

0

Vemosquepara lasdosexponencialesseanulan,conloquenosqueda:

0 Esdecir,quecuandotenemosinsonacinacsticalaburbujanosequedaroscilandoentornoal eje x, sino que lo hace desplazada una distancia hacia abajo equivalente almdulo de lafuerzadeBjerknes.Estoescoherenteconlosresultadosobtenidosparalacoordenadaverticaldelaburbujaenelapartadoanterior.

A continuacin plantearemos algunos casos concretos en los que podamos comprobar si laburbujapasaonolaasntotadelejexenfuncindelnmerodeStokesasociado.

ParaellohayquetenerencuentaqueelvalordeS=1/4essimplementeunvalororientativoennuestroproblema,yaquemarcaellmiteenelquelaburbujaatraviesaonolabarreracuandonotenemosinsonacinacstica.EnnuestrocasosquetenemosfuerzadeBjerknes,porloqueestevalordeSslonossirvecomoreferencia.

Porotrolado,sabemosquecuantomsintensoseaelcampoexterno,esdecir,amayorvalordem,mayorserelnmerodeStokesyhabrmayorprobabilidaddequelaburbujaatravieselabarrera.

66

CASOA:LaburbujanoatraviesaelejeX

Vamosaanalizarelcomportamientodeunaburbujaquepartedelaposicin(5,1).

Lascondicionesdelejemplosonlassiguientes:

10

10

5 10

5000

10

El nmero de Stokes resultante tiene un valor de S=0.0557

67

Figura4.10Evolucindelaposicinvertical,casoS=0.056

Tal y como vimos en el apartado anterior, si resolvemos el problemamediante promedios,obtenemosquelapartculaalcanzalamismaposicinasintticaalaquellegaraencasodenoser insonada.Sinembargo,sinoutilizamos lospromediostemporalesobtenemos larespuestaesperada, es decir, que la fuerza deBjerknesque acta sobre la partcula la desplaza a unaposicinasintticaqueseencuentrapordebajode ladeterminadaporelcampo,deacuerdoconladireccinysentidodeavancedelaondaacstica.

CASOB:LaburbujaatraviesaelejeX

Las condiciones de partida para este ejemplo son las mismas que las del caso anterior aexcepcin del valor de la intensidad del campo: para conseguir que la burbuja atraviese laasntota del eje X hemos de aumentar su nmero de Stokes; ya que este es directamenteproporcionala la intensidaddel campoexterno, laaumentaremosenunordendemagnitud:

5 10

ElnmerodeStokespara laburbujapasaaserdeS=0.5567,unordendemagnitudsuperior,haciendoquelaburbujaatravieseelejehorizontal:

68

Figura4.11BurbujaconS=0.56

Figura4.12Evolucindelaposicinvertical,casoS=0.56

69

Comopuedeaprecierseenambasgrficas,laburbujaatraviesaelejeX,entrandoenelcuartocuadranteyalhacerlo, comienzaa seguir las lneasde corrientedelmismo,que le llevandenuevoalejeX.Elejehorizontalseparadoscuadrantesdelflujoqueobliganalaburbujaaseguirsentidoscontrariosendireccinvertical.Porello,laburbujasequedaroscilandoentornoasuposicindeequilibrio,queesy=0cuandonohaycampoacstico,peroqueennuestrocasoserunaposicinverticalligeramentenegativaporefectodelafuerzadeBjerknes.

70

CAPTULO 5: ANLISIS EXPERIMENTAL

Enesteltimocaptulotrataremosdevalidarelestudiotericorealizadoa lo largode lamemoriamedianteunanlisisexperimentaldelproblema.

5.1 ENSAYOS EXPERIMENTALES

Ennuestrosensayostratamosdesimularlascondicionesdelproblemaestudiadodeformaterica.

Lasinstalacionesyequiposempleadosson:

Seempleaunapeceradecristaldedimensionessuficientesparaevitarque lasondassonorasreflejenenelcristalyperturbenlosresultadosdelensayo.

Lapecerasellenaconaguadesionizadaparaquenodisuelvaelaire.Aesteaguaseleaadeunpoco de leja para mantenerla limpia y con el objetivo de volverla conductora, ya que esnecesarioparapodergenerarlasburbujasporelectrolisis.

Lasburbujassongeneradasporelectrolisisutilizandounpardeelectrodosquesesumergenenladisolucinyloscualesseconectanaunafuentedealimentacincontinua.Esnecesarioqueelaguaempleadaseaconductora.Porelloaadimoslejaalaguadesionizada.

Elelectrodoenelquesegeneranlasburbujasdehidrgenosesitaenelfondodelapeceraydispuesto en direccin vertical, de modo que al generarse, las burbujas ascienden hacia elexteriorenlnearectaporflotabilidad.

La onda acstica se obtiene a travs de un transductor de 0.5 MHz que se conecta a ungeneradordepulsos.Conseguimosunasealsinusoidaldefrecuenciayduracinconocidascuyaamplitudpuedesermodificadaa travsdelgeneradorperode lacualdesconocemossuvalorabsoluto.Portanto,laamplituddelaondaserunparmetrolibreennuestroproblema.

Conelobjetivodegrabarelcomportamientodelasburbujasensuascensoatravsdellquidoyensumovimientodebidoalainsonacin,seutilizaunacmaradealtavelocidadconunobjetivomicroscpico,capardedetectarconnitidezburbujasdehasta510dedimetro.

Se emplea un foco fro de luz continua de alta intensidad para iluminar el recorrido de lasburbujasyqueaspuedasercaptadoconclaridadpor lacmara.Laventajadeesteequipoesque genera una elevada intensidad luminosa sin producir calor, por lo que no altera lascondicionesdelexperimento.

71

Apesardequesetratadereproducirlascondicionestericaslomsfielmenteposible,nosepuedeconseguiralcienporcienyaqueelmontajeylosequiposutilizadosintroducenciertaincertidumbreenlosresultados:

Tantoeltransductorcomoelelectrodoseencuentranenelinteriordelapecera.Uncambiodeposicindelosmismosparaobtenerunanuevasesinsuponemoverelfluido;sinoseesperaeltiemposuficienteaquelascorrientesgeneradasensuinteriorsedisipen,ellquidopresentarunavelocidaddearrastrequeharque lasburbujasasciendanconunavelocidadsuperiora laquepresentanporflotabilidad.

La propia generacin de burbujas en el electrodo puede conferirles una cierta velocidad desalidaquesercaptadaencasodequesegrabeelmovimientode lasburbujas justo trassergeneradas. Sin embargo, si nos alejamosdel electrodo este efectodesaparece, pues la pocainerciadelasburbujashacequeenseguidapierdanesavelocidaddepartida.

Unade lashiptesisdepartidaennuestroestudiotericoconsisteenasumirquedisponemosde una poblacin de burbujas de tamao uniforme; sin embargo, no podemos controlar eltamaodelasburbujasgeneradas.Elnicoparmetroquepodemoscontrolarensugeneracineselvoltajedelaalimentacindeloselectrodos,quepermiteproporcionarunamayoromenorconcentracin de burbujas en funcin de si lo aumentamos o lo bajamos respectivamente.Aunqueaumentemoselvoltajedelaalimentacinelctrica,enningncasolaconcentracindeburbujasgeneradasertalquehayaquetenerencuentasuradiacinacstica.

Tenerburbujasaisladasseran lascondiciones idealesparanuestroestudioyaquepodramosvercmosecomporta laburbujaexclusivamenteporefectode lafuerzaprimariadeBjerknes.Sinembargo,lasburbujassegeneranporelectrolisisenelevadasconcentraciones,porloqueseencuentranmuycerca lasunasde lasotrasyentraen juego la fuerzasecundariadeBjerknes,que ante un pulso acstico tiende a acercar las burbujas entre s o a repelerlas. Un factorfundamental en la fuerza secundaria es la masa de la partcula. Los llamados cluster oaglomeracindeburbujasactancomopoderososimanesyafectanalmovimientodetodaslaspartculasasualrededor,distorsionandoastotalmenteelcampo.Comosepuedecomprender,estoincrementaenormementeladificultaddeobtenersesionesvlidas.

Lacmaraconlaquesegrabanlastrayectoriasdelaspartculasessoportadaporuntrpodequesecolocasobreelsuelo.Elmerohechodepisarcercadelacmarapuedealterarlagrabacin,aligualquepuedegenerarmovimientoenelaguadelapecera,crendosecorrientesquepuedenafectaralavelocidaddelaburbuja.

Unavezanalizadostodoslosfactoresquepuedenintroducirerrorenlasmedidas,nosdisponemosdesarrollarelplanteamientotericoconelquecompararemoslasmedidasexperimentales.

72

5.2 PLANTEAMIENTO TERICO DEL PROBLEMA

Lasecuacionesquenospermitirnobtener laevolucintericade lasvariablesdel lquidoyde laburbujateniendoencuentalascondicionesdelosensayossonlasquesepresentanacontinuacin.Tomaremos como eje horizontal de referencia el de ascenso de las burbujas al exterior porflotabilidadycomoejeverticalelperpendicularaste.Adoptamosestosejescoordenadosconelfindequecoincidanconlasimgenesgrabadas.Portanto,ysegnladisposicindeltransductorenlosensayos,lasondasacsticastendrnunadireccinysentidodadosporelvectorunitario .Proyectaremoslasecuacionessobrelosejeselegidos.

Lasnovedadesqueintroduciremosrespectoalasecuacionesempleadasenlosdesarrollostericosanterioressonestas:

Enelequilibriodefuerzassobrelaburbujaesfundamentalquenodespreciemoslaflotabilidad,puestoquesucompensacincon la fuerzaviscosanospermitircalcular lavelocidada laqueasciendenlasburbujasenausenciadeultrasonido.

La presin de insonacin ser caracterizada por una onda sinusoidal creciente en amplituddurantelosprimerosciclosyaqueesoesprecisamenteloqueocurreconelgeneradordepulsosdellaboratorio.Lasealdelultrasonidovendrdadapor:

1

siendo el tiempo correspondiente a los primeros ciclos de crecimiento de la onda.Consideraremosquelaondacreceparalosprimerosdiezciclos.

Ecuacinparalasoscilacionesradiales

32

1

1

1 3

1

1

1

1

1 3

1 /1

EcuacinparalavelocidaddellquidoProyeccinsobreelejeX:

02

73

ProyeccinsobreelejeY:

1 /

1 /

3

EcuacinparalavelocidaddelaburbujaTal y como explicamos antes, en esta parte del estudio debemos mantener el trmino deflotabilidad,cuyaexpresinadimensionalfuedesarrolladaenelcaptulo2.

ProyeccinsobreelejeX:

12

32

98

1

4

4

ProyeccinsobreelejeY:

12

32

98

1

32

5

Ecuacinparalaposicindelaburbuja

6

7

74

5.2.1 Burbujas insonadas a la frecuencia de resonancia

Enesteapartado resolveremos lasecuacionesqueacabamosdeplantearparaelcasodeunaburbujainsonadaasufrecuenciaderesonancia.Elmotivodeplantearesteejemploesquesilaonda acstica presenta una frecuencia igual a la propia de la burbuja, garantizamos que laamplituddesusoscilaciones radialessermximaypor tanto tambin loserelefectode lafuerza de Bjerknes sobre ella; de esta forma podremos comprobar claramente elcomportamientoqueprovocaenlasburbujaslapresenciadeunultrasonido.

Proponemosporejemploelcasodeunaburbujade30detamaoinsonadaconunaondade 10deamplitud.

Elsistemaesintegradoduranteuntiempoadimensionaldet=10.000,loquesecorrespondecon10.000/2 ciclos y conun tiempode td=t/=15msquees suficienteparaque se alcance elrgimenestacionario.Analizaremosunaaunalaevolucindelasdistintasvariables.OSCILACINRADIAL

Figura5.1Oscilacionesradialesdelaburbuja

75

En este caso representamos el radio adimensional de la burbuja . Como vemos, la

burbujaseexpandeysecontraeencadaciclo,oscilandoentornoasutamaooriginal.Yaquelamedia del radio es constante con el tiempo, no nos aportar informacin el hecho derepresentarestavariablefrentealtiempoensegundos.Lagrficanosofreceuna informacin relevante:en susoscilaciones laburbujavara su radiohastaenun10%conrespectoasutamaooriginal.Estaamplituddelasoscilacioneseselevada,loquenosindicaqueelefectodelultrasonidoenelmovimientodellquidoydelapartculaserconsiderable.VELOCIDADDELLQUIDO

Figura5.2Evolucindelavelocidaddellquido

Segn lascondicionesdenuestroproblema,el lquidoquerodeaa laburbujaseencuentraenreposo salvo por la presencia del ultrasonido. Por ello, como vimos en el estudiomedianteescalas temporales mltiples, podemos descomponer la velocidad del lquido en unacomponentemedia,queserconstanteeneltiempo, yunafluctuacindebidaa lapresenciadelcampoacstico:

76

0

Lavelocidadrepresentadasecorrespondecon lacomponente fluctuante.Elultrasonidoactuaenladireccinvertical,loquejustificaquelafluctuacinenlacoordenadaxseanula.VELOCIDADDELABURBUJA

Figura5.3Evolucindelavelocidaddelaburbuja

Debidoa losejescoordenadosescogidos, lacomponentehorizontalde lavelocidades laquealcanzalaburbujaensuascensinatravsdellquidocomoconsecuenciadelaflotabilidad.Encuantoa lacomponentevertical,estavelocidadesconsecuenciadelefectode lafuerzadeBjerknes, que comomuestra la figura es negativa, es decir, la burbuja tiende a alejarse deltransductordelquepartelaonda.

77

POSICINDELABURBUJA

Figura5.4Evolucindelavelocidaddelaburbuja

Enconcordanciaconlasvelocidades,vemosquelaburbujaavanzapositivamentealolargodelejehorizontal,esdecir,subehaciaelexteriorde lapecera,mientrasquedesciendeporelejevertical,alejndosedeltransductor.

78

5.2.2 Burbujas insonadas con ondas acsticas distintas Enesteapartadobuscamoscomprobarsi los resultadosdenuestroproblemason losmismostantosiempleamosunasealacsticasinusoidalcomosisetratadeunasealcoseno.Deestaforma tratamosde comprobarque el comportamientode laburbuja es independientede lacondicininicialdelultrasonido.

Almodularnuestroultrasonidodeacuerdoconlasealgeneradaconelequipodellaboratorio,leintroducimosalaondapurauntrminoamortiguadorqueactahaciendoquelaamplituddelaondacrezcadesdecerohastasuvalorestacionariodurantelosprimerosciclos.Estetrminonos permite usar una seal seno o una seal coseno indistintamente ya que hace que lacondicininicialdelproblemaenamboscasossealamisma:

, 1 / 0,0 0

, 1 / 0,0 0

Portanto,lasrespuestasobtenidasinsonandoconambassealescoincidensalvoporundesfasede/2,comocabaesperar.

Comomuestraecharemosunvistazoalaevolucindelaposicindelaburbujaestudiadaenelapartadoanterior:

Figura5.5Posicinparalaburbujainsonadaconsealseno(1)ycoseno(2)

79

Figura5.6Desfaseentrelasrespuestasparaunasealseno(1)ycoseno(2)

5.3 ANLISIS DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

5.3.1 Calibracin

Parapoderobtener informacinrealde las imgenesgrabadasesnecesariocalibrarlas.Todaslassesionesdeensayohansidograbadasconlamximaamplificacindelacmara(elmximozoom),porloquelamismacalibracinesvlidaparatodasellas.

Seutilizaparaellounaagujadecalibracincuyodimetroesconocido:

203

Medimosenlaimageneldimetrodelaagujaenpixelsylocomparamosconsuvalorreal;deestaformaobtendremoslaescalaaaplicaralasburbujasdelaimagenparaobtenersutamaoreal.

84,1 200

80

Figura5.7Imagenagujadecalibracin

20384

20384

Consideraremos una sesin experimental que nos sirva de apoyo para explicar los cdigos queutilizamosparatraducirlosvdeosgrabadosendatosaprovechables.

5.3.2 Cdigo trajanalysis

Esteprogramapermitedetectar loscentroidesde lasburbujas,esdecir, lascoordenadasxeydesuscentros,paradiferentesinstantesdetiempo.

Comoyaexplicamos,noesposiblegenerarburbujasaisladasporelectrolisis,sinoquestasseproducenenelevadasconcentraciones.Esto implicaque lasburbujasquenosintereserecogerennuestrasesinestarnrodeadasdeotrassituadasenotrosplanosyqueportantoseverndemodomenosntido,oporpartculas cuyo tamao esdelordendelerror cometido en lamedida.

Para discriminar entre las burbujas que nos interesa analizar y las que no, se utilizan dosumbrales:

Unvalorcorrespondientealmnimoniveldegrisquehadetenerlapartculaenlaimagen.Deestaformaeliminamoslassombraspertenecientesalasburbujasqueseencuentranenplanosquenoestnbienenfocadosporlacmara

Untamaomnimoquehandetenerlaspartculasparatenerlasencuenta,demodoquenoseanalicenaquellasburbujasparalasquelaimprecisinensumedidaseademasiadoelevada.

81

El programa nos ofrece una matriz de salida llamada centroids que contiene la siguienteinformacin:

Lastresprimerascolumnasalmacenan lascoordenadashorizontalyverticalde laposicindelcentrodelaburbujaeneltiempo.

Lacuartacolumnacontieneinformacinacercadeltamaodelaburbuja;almacenaelvalordesureaalaquellamamasa

Las tresltimascolumnasguardanelvalorde losmomentosde inerciade laburbujayseduproductodeinercia.Comoveremosmsadelante,estosdatosnosserntilesparadeterminarelgradodeesfericidaddelapartcula.Utilizaremos como ejemplo una sesin en la que conseguimos tener una sola burbuja en elplanoenfocado.Losejesdelasimgenesgrabadascoincidenconlosqueseleccionamosparaelplanteamientoterico:

Lasburbujasavanzanen sentidopositivodelejehorizontalde la imagen,desdeelelectrodohacialasuperficielibredellquido

Eltransductorseencontraraenlapartesuperiordelaimagen,generandopulsosacsticosqueavanzanensentidonegativodelejeverticalMostramosacontinuacinunadelasimgenesdelasesin:

Figura5.8ImagensesinexperimentalA

Analizaremos la trayectoria de la burbuja que se distingue de forma totalmente ntida. Sutrayectorianoseverafectadapor laburbujadesenfocadaqueseencuentra trasellayaqueest en otro plano y como veremos ambas llevan trayectorias paralelas, seal de que noaparecenfuerzassecundariasdeBjerknesentreellas.Ademsdeofrecernoslamatrizdedatosantesmencionada,elcdigoproporcionaenlaquesesiguelatrayectoriadelasburbujasquesuperanlosumbrales.

82

Figura5.9TrayectoriasdadasporelprogramaTrajanalysis

En las trayectoriasde ambasburbujas se comprueba la inexistenciade fuerza secundariadeBjerknesentre lasmismaspuestoquesemantienenparalelas.Losescalonesqueseaprecian,dosenelcasode laburbujaconsiderada,sedebenalefectode lafuerzadeBjerknessobre laburbuja,que talycomopredice la teorahaceque laburbuja sedesplaceen ladireccindelultrasonidoalejndosedesufuente.

5.3.3 Cdigo gettrajectories

Para poder ejecutar este programa es necesario utilizar como entrada la matriz de datoscentroidsjuntoconunumbralparaelniveldegrisdelasburbujas.

EsteprogramarepresentalastrayectoriasdeloscentrosdelasburbujasqueseleccionayrecogecadaunadeellasenunamatrizconloscamposX,Y,t.

Figura5.10TrayectoriasdadasporelprogramaGettrajectories

Latrayectoriapertenecientealaburbujaquevamosaanalizarenestasesineslanmero2.

83

5.3.4 Cdigo bjerknesanalysis

Dentrodeestecdigotenemosqueseleccionarlatrayectoriaquequeremosanalizar,quecomoacabamosdedecir,serlanmerodos.

Enlosprogramasanterioreslasdistanciasquesealmacenanestndadasenpixels;sinembargoenesteprogramaseaplicaelfactordeescalade lacalibracinde las imgenesparaconvertiresosvaloresenreales.

Una transformacin similar ha de hacerse para convertir los tiempos entre imgenes ensegundosde tiempo real.Paraestaconversinseemplea la tasaconocidacomo fps (framespersecondoimgenesporsegundo):

Secalculanademslossiguientesvalores:

Elradiodelaburbuja.ApartirdelasimgeneselprogramacalculaelreadelaburbujacomoladeuncrculoderadioR,porloqueseobtieneelradiocomo /,siendoAesreadelaburbuja.

Los autovalores del tensor de inercia, I1 e I2. A partir de ellos se calcula un parmetro decircularidaddelaburbuja

/2

Laburbujaseresfricacuandolosautovaloresseanigualesolomsparecidosposible,dandolugaraunparmetrodecircularidaddevalornulo.

Lavelocidaddelaburbuja,aplicandodiferenciasfinitas.Estosclculossonrepresentadosenlasgrficasqueanalizamosacontinuacin:

84

Figura5.11Coordenadasdelaburbujaensutrayectoria

Enestagrficasehantraspuestolosejescoordenadosdelasimgenesgirndolos90gradosensentidocontrarioalasagujasdelreloj.Elobjetivoesrepresentarlatrayectoriadelapartculadeformamsintuitiva,yaquelaimagenquerecogelacmaraestgiradarespectoalexperimentoreal.Lasflechasnosindicanelefectodelultrasonidoenlatrayectoriadelaburbuja.

Figura5.12Radiodelaburbuja

85

Elradiodelaburbujaseencuentraentornoaunas30.1.Simedimosdirectamentelospixelsqueocupalaburbujaenlaimagenyleaplicamoslaescaladecalibracinobtenemosestemismovalor.

Figura5.13Velocidaddelaburbuja

Lagrficapara lavelocidadnosmuestraunavalorestacionario (salvo ruidonumrico)queseencuentraentornoa5mm/s.seseraelvalordelavelocidadalaqueasciendelaburbujaenelaguaporefectodelaflotabilidad.Siresolvemosnuestroproblematericoimponiendoquelaamplituddelaondaacsticaesnula,obtendremosesamismavelocidadcomovelocidaddelaburbujaenelejehorizontal,queparaunaburbujade30.1esdeunos1.973mm/s.Esimportantequeelvalortericoyelexperimentalpresentenelmismoordendemagnitud;sinembargo hay alrededor de unos 3mm/s de diferencia entre ambos. Probablemente estadiferencia se deba a que el lquido presente una velocidad de arrastre que se sume a lavelocidadquepresentalaburbujacomoconsecuenciadelaflotabilidad.Sinembargo,comoenestevdeoslotenemosunaburbujaanalizable,nopodemoscalcularesavelocidaddearrastre.Este clculo es realizado en el siguiente apartado para dos sesiones de ensayo en las quepodemosanalizardosburbujasquenointerfierenentres.Si nos fijamos vemos que la velocidad presenta dos picos que coinciden con los pulsos deinsonacinacstica.Parapodercompararconlosvalorestericos,asumiremosqueenlospicosdevelocidad tenemosun flancode subidayotrodebajada,entre los cuales seencuentraelvalorcorrespondientealrgimenestacionariodeinsonacin.

86

Figura5.14Zoomvelocidaddelaburbuja

Estevalorestacionarioesdealrededordeunos11mm/s.Teniendoencuentaqueenlagrficaserepresentaelmdulodelavelocidaddelaburbuja,yasumientoquelavelocidadascensionaleslavelocidadenelejex,calcularemoslavelocidadenelejeyqueserladebidaalafuerzadeBjerknes:

11/ 5/

9.8/

Lavelocidadmediaestacionariadebidaalainsonacinesdeunos12.8mm/scaluladadeformatericaparaunaamplitudde la sealacsticade 10.Conestevalorescogidopara laamplitudconseguimosque laresolucinnumricadelproblemanosofrezcaunavelocidaddelordende laexperimental, loquenos indicaquedehabersealcanzadoelrgimenestacionarioenelexperimento,laamplitudrealdelasealescercanaalaseleccionada.SivariamoselvalordeAen la resolucinnumricaseraposibleobtenerunvalor igualaldelensayo,peropararealizarlacomparativahemosadmitidolasuposicindequeenelpicodelavelocidaddelaburbujaenlagrficasealcanzaelrgimenestacionario,cuandoesposiblequelaburbujaseencontraratodavaenelflancodesubidayqueportantonosehubiesealcanzadoelestacionariocuandoelpulsoacsticoacaba.Porotrolado,parasabersipuedehabersealcanzadoelrgimenestacionariobajolainsonacin,hayquetenerencuentaeltiempoqueduraelpulsoacsticoenelensayo.Paraestasesinseutilizunciclodecargadel2%,porloqueladuracindelultrasonidoesde2ms.

87

Simiramosenlagrfica,vemosqueelpicotoralduraunos3ms,deloscualesdeinvierteentre1,5y2msenelflancodesubidahastaalcanzarelpuntomximo.Estoquieredecirqueen laduracin del pulso acstico la burbuja aumenta su velocidad y llega almximo cuando hantranscurridoalrededorde2msdeliniciodelaseal.Si vemos la grfica terica para la velocidad en y vemos que para ese tiempo se estalcanzandoelrgimenestacionario.

Figura5.15Componentesdelavelocidaddelaburbujaencasodeserinsonadaconunaonda

seno(1)yconunaondacoseno(2)

Portanto,squeesposiblequelaburbujahubiesealcanzadoelrgimenestacionariodurantelainsonacin o estuviese a punto de alcanzarlo, siendo muy razonable entonces el resultadonumricoobtenidoconlacondicinparalaamplituddelaondaacsticaquehemoselegido.

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5.4 CLCULO DE LAS VELOCIDADES INVOLUCRADAS

Compararemos lasvelocidades tericasyexperimentalesy trataremosde justificar lasdiferenciasentreambas.

5.4.1 Velocidad ascensional de la burbuja

Setratadelavelocidadalaquelaburbujaasciendeatravsdellquidocomoconsecuenciadelaflotabilidad,enausenciadeultrasonido.

En caso deque la velocidad a la que la burbuja asciende en el vdeodifiera de la calculadatericamente,tendremosqueplantearnosposiblescausasquejustifiquenestadiferencia:

1. Esposiblequeenelensayoel lquidopresenteunavelocidadmediadistintadecero.Actuarcomouna componentedearrastrede lasburbujas,que seaadira su velocidad tericadeascenso.

Parapodercomprobarsiellquidopresentaunavelocidaddearrastrehemosdecontarcomomnimocondosburbujasanalizablesenelvdeoqueademshandeaparecerjuntas,yaquelavelocidad media del lquido por la que se ven afectadas puede deberse a la aparicin decorrientes internas como consecuenciade vibraciones en elmontaje,que finalmente se irndisipando, amortigundose su velocidad hasta desaparecer; por ello las burbujas analizadasdeben salir juntas en las imgenes, asegurndose as que actuar sobre ellas la mismacomponentedelcampofluido.

Asimismo,paracalcularelvalorde lavelocidadmediadel lquidose requierencomomnimodosburbujasconelfindeestablecerunacorrelacinentresuradioylavelocidaddellquido.Lavelocidad correspondiente a una burbuja de radio nulo ser la componente de arrastre queintroduceelcampofluidoexterno.

2. Lageneracinde lasburbujasenelelectrodopuedeconferirlesunaciertavelocidaddesalida,que podremos apreciar si grabamos justo a la salida del electrodo. Las burbujas tienen unainerciamuypequea,porloqueelefectodeestavelocidadseirperdiendodeformapaulatinahastadesparecertotalmentecuandolaburbujaseencuentratodavamuycercadelelectrodo.Silavelocidadmediadelaburbujavadecreciendoconeltiempo,serunasealdequepresentaunacomponenteinercial.

EstudiaremosestasposibilidadesparalassesionesexperimentalesByC

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SesinBEstudiaremoslasdosburbujasqueaparecenenlaimagen:

Figura5.16Burbujasanalizadas,sesinexperimentalBLlamaremosburbuja1alademenortamaoy2alagrande.Calcularemosdeformadetalladaelrangodevaloresentrelosqueseencuentralavelocidadtericayexperimentaldecadaunadeellas.Burbuja1

Figura5.17Velocidadtotal,burbujapequea

90

Segn lagrfica lavelocidadmediade laburbujaesde 7 0.5/,por loque losvaloresmximoymnimoparalavelocidadexperimentalson:

6.5/

7.5/

Figura5.18Radio,burbujapequea

El radiode laburbujaserde 48.65 0.75.Calcularemos lasvelocidades tericasenausenciadeinsonacinparaestosdosvaloresextremosdelradio.Deestaformaconseguiremosel rangode velocidades tericasmxima (asociada al radiomximode laburbuja) ymnima(paraelmnimoradio):

47.9

4.997/ 49.4

5.315/

Comovemos,entrelavelocidadmnimaexperimentalylamximatericaexisteunadiferenciadeun26.34%respectoalaprimeradeellas.

91

Burbuja2

Figura5.19Velocidadtotal,burbujagrande

Lavelocidadmediaexperimentalesde 12.45 0.45/ 12/

12.45/

Figura5.20Radio,burbujagrande

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Elradiodelaburbujaesde 75.4 0.4.Lasvelocidadestericasparaestosradiosson:

75 12.25/

75.8 12.513/

En el caso de la burbuja de mayor tamao, las velocidades experimentales y tericas seencuentranenelmismorango.

Vemos quepara las dosburbujas su velociadmedia es constante con el tiempo, lo quenosindicaquenopresentanunacomponente inercial.Teniendoencuentaestoy ladiferenciaderesultadosenlaburbujademenortamao,supondremosquelavelocidadmediadellquidoesnonulayemplearemosdosformasdistintasparacalcularla:

Enprimerlugar,proponemosestablecerunacorrelacinentrelasvelocidadesexperimentalesylosradiosdelasburbujas.Tomaremosparaello,porejemplo,elmnimoradiodelaspartculasysuvelocidadmnima:

47.9 75

6.5/ 12/Larectaquerelacionaambospuntoses

0.203 3.221/Lavelocidadqueintroduceellquidoseralacorrespondienteaunaburbujaderadionulo,queen este caso es de 3.221/. Se trata de una velocidad negativa que puededebersealaexistenciadeflujosresidualesenellquidooinclusoaoscilacionesdelacmara.

Elhechodequesea labubujapequea laquepresentaunavelocidaddistintaa latericanoshacesuponerquesqueexisteunarrastreporpartedellquido.Lasburbujascreadasapartirdelaelectrolisisdelaguanosontotalmente limpias,sinoquesiemprepresentanensusuperficieunacapadeporqueraque lasrodea.Estacubiertaafectaa laburbujademaneradifernteenfuncindesutamao:Lacubiertaafectamsalasburbujaspequeas,haciendoquesuentrefaseconellquidoactecomounaparedrgidaenlaquesedalacondicindenodeslizamiento.Sin embargo, una burbujams grande presentams espacio en su interior para que el gascontenidosepongaencirculacin,conloqueellquidoescapazdeponerenmovimientoelgasinteriordelapartcula,haciendoquelacubiertanosecomportecomoslida.Aspues,elarrastreejercidoporellquidoseapreciardeformamsprecisaenlasburbujasdemenortamao.Deacuerdoconestocalcularemosdichavelocidaddemodoqueseajusteconelcomportamientodelaburbujapequea.

6.5 4.997 1.503/Enestascondicioneslavelocidadexperimentaldelaburbujagrandedeberaser:

1.503 12.25 13.753/Deesta forma estamos ajustando la velocidadde laburbujapequea ydesjustando lade laburbujagrande,cuyosvaloresyaconvergan;perocomoacabamosdeexplicar,debidoalefecto

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de la cubierta lo nico que sabemos es que la burbuja quenos da informacinms precisaacercadesuvelocidadeslademenortamao.Tras ajustar la velocidad de arrastre del lquido obtenemos valores muy prximos a losexperimentales.Elordendemagnituddeloserroresexistentesdepuedeachacaradiferenciasen la viscosidad dinmica y la tensin superficial del lquido debido a la temperatura, a laspartculasque recubren lasburbujas,etc.Siadems tenemosencuenta losefectos trmicos,estoserroresquedaranmsquejustificados.

SesinCParaestasesinanalizaremoselcomportamientodelasdosburbujasaisladasquesevenenlaimagen.Llamaremosburbuja1alademenortamaoy2alagrande.

Figura5.21Burbujasanalizadas,sesinexperimentalC

Burbuja1

Figura5.22Velocidadtotal,burbujapequea