1PROYECTO FIN DE CARRERAIMPLEMENTACINENMATLABDETCNICASMATEMTICASENELANLISIS DE EXPERIMENTOSAlumno:Martn Abenza JimnezI.T.Agrcola (Industrias)Director/es:Sergio Amat PlataSonia Busquier Sez2IMPLEMENTACIN EN MATLAB DE TCNICAS MATEMTICASEN EL ANLISIS DE EXPERIMENTOS1.OBJETIVO DEL PROYECTO .12.Introduccin a MATLAB 22.1Comandos bsicos 32.2Ayuda en lnea .62.3El entorno en Matlab 82.4Vectores y matrices .. 102.5Polinomios . 132.6Grficos 142.7Programas . 162.8Introduccin a la programacin .. 172.9Clculo simblico 233. Anlisis de la varianza. (ANOVA) 243.1 Bases del anlisis de la varianza 253.2 Algunas propiedades .. 273.3 Pruebas para la homocedasticidad ..283.4 Modelos de Anova . 293.4.1Modelo I o de efectos fijos 303.4.2Modelo II o de efectos aleatorios .313.5 Pruebas a posteriori .323.6 Anlisis de la varianza de dos factores 333.7 Identidad de la suma de cuadrados 343.8 Contrastes de hiptesis en el anova de 2 vas 353 3.8.1 Modelo I ..36 3.8.2 Modelo II .37 3.8.3 Modelo mixto . 403.9 Tamaos muestrales desiguales en un Anova de 2 vas 403.10Casos particulares: Anova sin repeticin y Bloques completos aleatorios .. 413.11 Anlisis de la varianza de ms de dos factores ..43ANEXO 1: Contrastes de hiptesis .44ANEXO 2: Sucesos independientes ..50ANEXO 3: Comparacin de medias 524. Ajuste por mnimos cuadrados..585. Aplicacin: PURN DE CERDO EN EL VALLE DELGUADALENTN PARA BRCOLI Y MELN DE AGUA. (Artculo realizadopor: ngel Faz Cano, Jos Luis Tortosa, Manuel Andujar, Miriam Llona, Juan B. Lobera, AlfredoPalop y Sergio Amat)..616. Bibliografa. 7441. Objetivo del proyectoElobjetivoprincipaldeesteproyectoeslaimplementacinenMATLABdeANOVA(anlisisdelavarianza).Estatcnicaestadsticafue introducida para obtener de forma rigurosa la dependencia entrelasvariablesdeexperimentosagronmicos.Posteriormenteseextendi a otras ramas de la ciencia. Por su sencillez nos centraremosenelanlisisdeunsolofactor.Confirmadadichadependencia,elobjetivoesvercomoessta.Losajusteslinealesocuadrticossonlosmsutilizados.Presentaremoslaimplementacindeestosajustes.Elproyectoserautocontenido,poniendoenrelievetodoslosaspectostericosnecesariosparalacomprensindelosmtodosmatemticosascomounaintroduccinaMATLAB.Cabradestacarquenuestra Universidad tiene licencia Campus de MATLAB.Un experimento que puede ser estudiado con estas tcnicas es el usodel purn de cerdo como abono orgnico, cabra citar el gran nmerode granjas en la Regin de Murcia. Por otra parte, el gran contenidode nitrato (contaminante) hace necesaria la bsqueda de la cantidadptimadel purnvertido.ComentaremoslosresultadosobtenidosenunproyectodeinvestigacindenuestraUniversidadenelValledelGuadalentn.52. INTRODUCCIN A MATLABMatlabesunprogramainteractivoparaclculonumricoytratamiento de datos. Contiene muchas herramientas y utilidades quepermitenademsdiversasfuncionalidades,comolapresentacingrficaendosytresdimensiones.Estostilesestnagrupadosenpaquetes(toolboxes).AMatlabselepuedenaadirpaquetesespecializados para algunas tareas (por ejemplo, para tratamiento deimgenes).TrabajarconMatlabcomportaaprenderunlenguajesimple.Enestaintroduccinseexplicanloselementosbsicosdeeste lenguaje.Matlab es un programa command-driven, es decir, que se introducenlasrdenesescribindolasunaaunaacontinuacindelsmbolo(prompt) que aparece en una interfaz de usuario (una ventana). EstaintroduccincontieneejemplosquesepuedenescribirdirectamenteenlalneadecomandosdeMatlab.Paradistinguiresoscomandos,juntoconlarespuestadelprograma,seempleanuntipodeletradiferente:>> 2+2ans =4Una manera de seguir esta introduccin consiste en abrir Matlab e irutilizandosuscomandos.Estedocumentocontienelossiguientesapartados:Comandos bsicosAyuda en lneaEl entorno MatlabVectores y matricesPolinomios6GrficosProgramacinIntroduccin a la programacinClculo simblico2.1 Comandos bsicosEn esta seccin se explica cmo usar Matlab a modo de calculadora.Vamosaempezarconunejemplosencillo:lasoperacionesmatemticas elementales.>>X =2+3X =5Si no se asigna el resultado a ninguna variable, Matlab lo asigna pordefecto a la variable ans (answer):>> 2+3ans =5Parasaberculeselvalorasignadoaunasolavariable,bastaintroducir el nombre de la variable:>> xx = 5La notacin para las operaciones matemticas elementales es lasiguiente:7^ exponenciacin* multiplicacin/ divisin+ suma- restaElordenenqueserealizanlasoperacionesdeunalneaeselsiguiente:primero,laexponenciacin;luego,lasmultiplicacionesydivisiones; y finalmente, la suma y las restas. Si se quiere forzar undeterminadoorden,sedebendeutilizarparntesis,queseevalansiempre al principio. Por ejemplo, para hallar dos entre tres,>> 2/2+1ans = 2( en efecto: primero se calcula 2/2 y luego se le suma 1).>> 2/ (2+1)ans = 0.6667Primero se calcula el parntesis (2+1) y luego se realiza la divisin.Dosobservaciones.Elpuntodecimales.(nounacoma).YenMatlab, las maysculas y las minsculasson distintas. Es decir, X esuna variable diferente de x.EnMatlabestntambindefinidasalgunasfuncioneselementales.Lasfunciones,enMatlab,seescribenintroduciendoelargumento8entreparntesisacontinuacindelnombredelafuncin,sindejarespacios. Por ejemplo:>> y=exp(0)y = 1(lafuncinexpeslaexponencial).Heaquunatablaconalgunasfunciones elementales:sin senocos cosenotan tangentesec secantecsc cosecantecot cotangenteexp exponenciallog logaritmonaturalsqrt raz cuadradaabs valor absolutoPara obtener las funciones trigonomtricas inversas, basta aadir unaadelantedelnombre.Yparalasfuncioneshiperblicas,unahalfinal. Por ejemplo, atanh(x) es el arcotangente hiperblica de x:>> z=atanh(2)z = 0.5493 + 1.5708i( z es un nmero complejo).92.2 Ayuda en lneaEstedocumentoestanslounaintroduccin-muyresumida-dellenguajeydelmanejodeMatlab.Antesdeseguir,esconvenienteindicarcmopuedeobtenersemsinformacinsobrecualquierdetalle referente a Matlab, desde dentro del mismo, se puede obtenercualquier explicacin sobre un tema en particular. El comando help. Para obtener informacin sobre una determinadafuncin,bastatecleardesdelalneadecomandoshelpseguidodelnombre de la funcin. Por ejemplo:>> help roundROUND Round towards nearest integer.ROUND(X) rounds the elements of X to the nearest integers.See also FLOOR, CEIL, FIX.Si se escribe slo help, se obtiene un ndice de temas. Tambin puedeobtenerse informacin sobre uno de los temas de esa lista: as, helpelfunproporcionainformacinsobrelasfuncionesmatemticaselementales. Laventanadeayuda.PuedellamarsetecleandohelpwinobienescogiendodelmenHelpeltemHelpWindow.Seobtieneunaventana nueva, y haciendo doble click con el ratn sobre un captulosepasaaunelencodelostemscontenidos,queasuvezpuedenescogerse para una explicacin msdetallada. Con los botones BackyForwardsenavegahaciaatrsohaciaadelante.Tambinpuedeescribirsedirectamenteenlazonasuperiorizquierdaelnombredelcomandodeseado:porejemplo,parabuscarinformacinsobresqrt...10En la barra See also aparecen comandos relacionados. La informacineslamismaquelaobtenidaconelcomandohelp,peroconlacomodidaddepresentarseenunaventanaaparteenvezdeenlalnea de comandos. La ayuda interactiva. Se obtiene escogiendo del men Help el temHelpDesk,otecleando helpdeskenlabarradecomandos.Selanzaelnavegadoryseobtieneundocumentodeinicioconunndicedetemasenhipertextodondeestnlosmanualesyotrasutilidades,comounbuscador.Paraleerelmanual,senecesitaelprogramaAcrobat Reader.Lainformacinqueseobtieneesmuchomscompletaqueenlosotrosdoscasos,locualpuederesultarinconvenientesiunodeseasimplemente, por poner un caso, conocer la sintaxis de una funcin.112.3 El entorno Matlab Edicindelalneadecomandos.Conlasflechasdeltecladosepuedenrecuperarlasrdenesanteriores,sintenerquevolverateclearlas.As,enelcasodeunaequivocacinenuncomandocomplicado>> d2_f=(y2-2*y1+y3)/deltax^2)??? -2*y1+y3)/deltax^2)Missing operator, comma, or semi-colon.envezdevolveratecleartodo,puederecuperarselainstruccinpulsandolatecla"flechahaciaarriba",desplazarsehastaelerror(falta un parntesis) con la flecha hacia a la izquierda, y arreglarlo:>> d2_f=(y2-2*y1+y3)/(deltax^2)Enocasiones,esinteresantenopresentarelresultadoenlapantalla(porejemplo,cuandosetratadeunalistadedatosmuylarga).Esoseconsigueponiendounpuntoycomaalfinaldelainstruccin.>> y=sqrt(4);El resultado no aparece, pero sin embargo el clculo se ha realizado:>> yy =2El comando who indica las variables con las que se est trabajando:>> who12Your variables are:Fyf indice n_punt t_mdelta_f f_max manchastyComandos relacionados con el sistema operativo:pwd Present working directory(directorio de trabajo actual)cd cambiar de direccindir listadodelosficherosdeldirectorio actualEstoscomandossonmuysimilaresalosanlogosdeMS-DOSoUNIX.Guardarycargarficherosdedatos.Seempleanloscomandossave y load, respectivamente.oparaguardardatos:save[nombredelfichero][variable] -asciiopararecuperardatos:load[nombredelfichero][variable] -asciiPor ejemplo: con estas dos rdenes>> cd a:13>> save toto.dat y -asciise cambia el directorio de trabajo a a:\ y se guarda all el contenidodelavariableyenelfichero toto.datconformatotexto(poresosepone -ascii).2.4 Vectores y matricesUnvectorsedefineintroduciendoloscomponentes,separadosporespacios o por comas, entre corchetes:>> v=[sqrt(3) 0 -2]v =1.7321 0 -2.0000Paradefinirunvectorcolumna,seseparanlasfilasporpuntosycomas:>> w=[1;0;1/3]w =1.000000.3333La operacin transponer (cambiar filas por columnas) se designa porel apstrofe:>> w'ans =1.0000 0 0.333314Lasoperacionesmatemticaselementalespuedenaplicarsealosvectores:>> v*wans =1.0654>> v+w'ans =2.7321 0 -1.6667Para crear un vector de componentes equiespaciados se emplean losdos puntos:>> x=4:2:10x =4 6 8 10(los componentes de x van desde 4 de 2 en 2 hasta 10).Para introducir matrices, se separa cada fila con un punto y coma:>> M = [1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9]M =1 2 34 5 67 8 9Para referirse a un elemento de la matriz se hace as:15>> M(3,1)ans =7Parareferirseatodaunafilaoatodaunacolumnaseempleanlosdos puntos:>> v1=M(:,2)v1 =258(v1 es la segunda columna de M).Conlasmatricestambinfuncionanlasoperacionesmatemticaselementales. As>> M^2ans =303642668196102 126 150Sisequiereoperarenloselementosdelamatriz,unoporuno,seponeunpuntoantesdeloperador.Sisequiereelevaralcuadradocada uno de los elementos de M, entonces>> M.^216ans =14916 25 3649 64 81Algunas funciones definidas sobre matrices:Det determinanteInv matriz inversaPoly polinomio caracterstico transpuesta(Para ms informacin: help elmat)2.5 PolinomiosSeaEste polinomio se representa por un vector p>> p=[1 -3 +2]p = 1 -3 2Para hallar las races del polinomio, se hace>> roots(p)ans =21y si se quiere hallar el valor de P(x) para un determinado valor de x(por ejemplo, para x=0)>> polyval(p,0)17ans =22.6 GrficosLasposibilidadesdeMatlabsonmuygrandes.Seindicaacontinuacin cmo realizar grficos sencillos. Para ms informacin, oparaconocerlaversatilidaddeMatlab:captuloHandleGraphicsObjectdelHelpDesk,elmanualUsingMATLABGraphicsolaayudaen lnea help graph2d.Veamoscmosepuederepresentarlafuncinsenoentre0y10.Para empezar creemos una variable x que vaya de cero a 10:>> x=0:0.1:10;yacontinuacin,calculemossin(x)almacenandoelresultadoenlavariable y:>> y=sin(x);Para trazar el grfico, se emplea la funcin plot:>> plot(x,y)y se obtiene en otra ventana el grfico:18Entre los muchos comandos que se pueden utilizar para modificar losgrficos, es muy til el empleado para cambiar la escala de los ejes.La orden es:axis([x1 x2 y1 y2])donde x1, x2 son los lmites inferior y superior del eje x, e y1 e y2 losdel eje y.Pararepresentarunosdatosconsmbolosdecolores,seaadealcomando plot, entre apstrofes, la especificacin. Vamos a crear unavariablecondosfilasquecontengalosnmerosdel1al10enlaprimera fila, y eldoble de esos nmeros en la segunda, y dibujarloscon puntos rojos:>> x(1,:)=0:10;>> x(2,:)=2*x(1,:);>> xx =0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10190 2 4 6 8 101214161820>> plot(x(1,:),x(2,:),'ro')(Para ver las especificaciones posibles, teclear help plot. Por ejemplo,'ro'estableceungrficodecolorrojo:rydepuntos:o.)Sinoseindica nada, el grfico se traza con una lnea azul.Otrasfuncionesmuytiles:grid,quetrazaunacuadrcula,xlabel('ttulox')eylabel('ttuloy'),quesirvenparaponerunttuloenlos ejes.Paraimprimirunafigura,bastaseleccionarprintdelmendelafigura y para guardarla print*ps.2.7 ProgramasRealizarunprogramaenMatlabesfcil.Bastaabriruneditordetexto(comoelBlocdeNotasdeWindows)yescribirloscomandosunoacontinuacindeotro.Luegoeseficherodetextodebeguardarse con la extensin .m, y a eso se le llama un programa:20Una vez guardado el fichero (en el ejemplo, ndata.m) en el directorioactual,desdelalneadecomandosdeMatlabbastaescribirndatapara que se ejecute el programa.2.8 Introduccin a la programacin en MATLABLascondicionesseconstruyenconoperadoresrelacionales,comoson los siguientes:> mayor que< menor que== igual que~= Diferente que= mayor o igual queLa ramificacin ms simple, expresada en este diagrama de flujo, seobtiene con la siguente sintaxis:if (condicin)sentencias21end(loquevaencursiva,hayquesustituirloporlasexpresionesadecuadas; if y end son palabras clave del lenguaje informtico, y nosepuedenutilizarparaotracosa,p.ej.unavariablenopuede-nodebera- llamarse if).Un caso concreto:if(length(sitios)>1)recta=polyfit(x,y,1);endLedoenlenguajecorriente:silalongituddelvectorsitiosesmayorque1,serealizaelajustelinealindicadoenlainstruccinrecta=polyfit(x,y,1).Casocontrario(silalongituddelvectorsitiosesmenor o igual a 1) esa instruccin no se ejecuta (y el programa sigueen la instruccin que venga despus de end).Existelaposibilidaddeejecutarciertassentenciassilacondicinesverdadera, y otras diferentes si la condicin es falsa:if (condicin)sentencias Aelsesentencias Benddichodeotramanera:silacondicinsecumple,seejecutanlassentencias A; si no, se ejecutan las sentencias B.Otraposibilidadderamificacinmltiplelaofrecelaconstruccinswitch. La sintaxis es:22switch variablecase valor1,sentencias Acase valor2,sentencias Bcase ......end(Comoantes,loescritoencursivadebesustituirseporlasexpresiones adecuadas). Las palabras clave son switch, case, end.Laramificacinswitchoperadelasiguientemanera.Alllegaralaexpresin switchvariable, si variable tiene el valor valor1 se ejecutan lassentenciasA;sivariabletomaelvalorvalor2,lassentenciasB;yassucesivamente. Es importante notarquelavariableslodebetomarunospocosvalores:valor1,valor2,etc.paraqueelprogramaseramifiqueenunaspocasramas.Notienesentidointentarunaramificacinswitchconunavariablequepuedatomarunnmeroinfinito de valores.Hay ocasiones en las que es necesario repetirelmismoconjuntodeinstruccionesmuchasveces,cambiandoalgunosdetalles.Pongamosun caso. Sea un vector x(i) con n componentes; se quiere construir la"media mvil" de x con tres elementos, que consiste en ir tomando lamediaaritmticadecadatrespuntosconsecutivos.Esdecir:desdei=2 hasta n-1, media(i-1)=(x(i)+x(i-1)+x(i+1))/3.(Detalles: se empieza a contar en i=2 porque para el primer elementode x no existe el elemento anterior; y se acaba en n-1 por anloga23razn; adems, el primer componente de media es el correspondientea i=2, de ah que se asigne el resultado a media(i-1)).Eso es lo que se consigue con un bucle for, cuya sintaxis es:for contador=inicio:paso:fin,sentenciasendLaspalabrasclavessonforyend.Estebucleponeenmarchaunavariable llamada contador que va desde inicio hasta fin de paso en paso.Cada vez que las sentencias se ejecutan, contador aumenta en un valorpaso(quesiseomite,seleasignaautomticamenteelvalor1).Cuandocontadorllegaalvalorfin,elbucleseacabayelprogramacontina con las sentencias que haya ms all de end.Obsrvese que un bucle como el indicado se implementaun nmerofijo de veces: desde inicio hasta fin de paso en paso.En ocasiones, sinembargo, no se sabe de antemano cuntas veces habr que ejecutarlassentenciasdelbucle.Porejemplo:siesnecesariorepetirunaserie de sentencias hasta que se cumpla una determinada condicin,ynosesabeaprioricuntasvecessernecesariorealizaresasoperaciones. En ese caso se emplea un bucle while:while(condicin),sentenciasendEste bucle ejecuta las sentencias mientras la condicin sea verdadera.Esposiblesustituirlacondicinporunavariable.Enefecto:unavariable que toma el valor cero corresponde a una condicin falsa. Si24lavariabletomaunvalordiferentedecero,esequivalenteaunacondicin verdadera. As, se puede escribirx=10;while(x)sentenciasx=x-1;endParax=10,la"condicin"esverdaderapuestoquexesdiferentedecero.Ntesequeelcontadorxhayquemodificarlomanualmente(lnea x=x-1) puesto que, al revs que lo que ocurre con el bucle for,este no gestiona ningn contador. En cuanto x tome el valor cero, la"condicin" es falsa y el bucle acaba.Atencin:esfcilcaerenbuclesinfinitos.Enelejemploanterior,sifaltalalneax=x-1ylassentenciasnomodificanelvalordex,la"condicin"siempresercierta(puesx=10)yelprogramanuncasaldr del bucle: ejecutar una y otra vez las sentencias.Elprogramase"cuelga",yhayqueinterrumpirlodesdeeltecladoapretandolasteclas Ctrl+C.Los comentarios son lneas que no se ejecutan, en las que se escribenaclaracionesexplicativas.Paraqueunalneanoseejecute,bastaescribir al principio de ella el smbolo %.Suele ser bueno definir las variables al principio. Ello evita tenerque buscarlas a lo largo del cdigo para cambiar su valor cuando seanecesario.Adems,siesposible,esmejordefinirlosvectoresymatricesalprincipioconsudimensinadecuada.Enelcasodequehaya que ir rellenando los valores de un vector, el programa va msrpido si se define el vector vaco al principio (con el comando ones o25zeros)queiraadiendocomponentesalvectorconformesevancalculando.Porltimo,tambinpuedenprogramarsefunciones.Laprimerainstruccindeunficheroquecontengaunafuncindenombrefundebe ser:function [argumentos de salida]=fun(argumentos de entrada)Es conveniente que el fichero que contenga la funcin se llame comoella;as,lafuncinanteriordeberaguardarseenelficherofun.m;porejemplo,sisedeseaprogramarunafuncinquecalcule,medianteelalgoritmodeEuclides,elmximocomndivisordedosnmerosnaturales,bastaescribirunficheroeuclides.mcuyocontenido sea:function m=euclides(a,b)% Clculo del mximo comn divisor de dos nmeros naturales% mediante el algoritmo de Euclidesif a0c=rem(a,b);a=b;b=c;endm=a;Si,unavezescritoelficheroanterior,enelespaciodetrabajooenun programa se escribe la instruccinmcd=euclides(33,121)en la variable mcd se almacenar el valor 11.Lasvariablesdeunafuncinsonsiemprelocales.Portanto,aunqueen el seno de la funcin se modifiquen los argumentos de entrada, elvalordelasvariablescorrespondientesquedainalterado.Porejemplo,enlafuncineuclides.msemodificaelvalordelosargumentos de entrada, pero, sin embargo:26>>x=15;>>mcd=euclides(x,3);>>xx =15Sisepretendequelasmodificacionesdeunargumentodeentradaafectenalavariablecorrespondiente,debersituarsedichoargumento, adems, en la lista de argumentos de salida.2.9 Clculo simblicoHastaahora,lasoperacionesquesehanmostradosehanrealizadoconnmeros.Eltoolboxdeclculosimblicopermiterealizarclculos abstractos:>> diff('sin(x)')ans =cos(x)Las expresiones simblicas se introducen entre apstrofes.A continuacin se da una tabla con algunas funciones de este toolbox,junto con un ejemplo de cada una:diff derivadadiff('sin(x)')int integral int('x^2')solve resolucin deecuacionessolve('x^2-3*x+2=0')ezplot grficos ezplot('exp(x)')Evidentemente,lasexpresionespuedensertodolocomplicadasquese quiera>> solve('x=cos(x)')27ans =.73908513321516064165531208767387>>int('(x^4+4*x^3+11*x^2+12*x+8)/((x^2+2*x+3)^2*(x+1))')ans =log(x+1)+1/8*(-4*x-8)/(x^2+2*x+3)-1/4*2^(1/2)*atan(1/4*(2*x+2)*2^(1/2))3. ANLISIS DE LA VARIANZAElanlisisdelavarianza(oAnova:Analysisofvariance)esunmtodoparacomparardosomsmedias.Cuandosequierecompararmsdedosmediasesincorrectoutilizarrepetidamenteelcontraste basado en la t de Student por dos motivos:Enprimerlugar,ycomoserealizaransimultneaeindependientemente varios contrastes de hiptesis, la probabilidad deencontrar alguno significativo por azar aumentara. En cada contrasteserechazalaH0 silatsuperaelnivelcrtico,paraloque,enlahiptesisnula,hayunaprobabilidad.Siserealizanmcontrastesindependientes,laprobabilidaddeque,enlahiptesisnula,ningnestadsticosupereelvalorcrticoes(1-)m,porlotanto,laprobabilidad de que alguno lo supere es 1 - (1 - )m, que para valoresdeprximosa0esaproximadamenteigualam.Unaprimerasolucin,denominadamtododeBonferroni,consisteenbajarelvalor de , usando en su lugar /m, aunque resulta un mtodo muyconservador.28Porotrolado,encadacomparacinlahiptesisnulaesquelasdosmuestrasprovienendelamismapoblacin,porlotanto,cuandosehayanrealizadotodaslascomparaciones,lahiptesisnulaesquetodas las muestras provienen de la misma poblacin y, sin embargo,para cada comparacin, la estimacin de la varianza necesaria para elcontraste es distinta, pues se ha hecho en base a muestras distintas.Elmtodoqueresuelveambosproblemaseselanova,aunqueesalgomsqueesto:esunmtodoquepermitecompararvariasmediasendiversassituaciones;muyligado,portanto,aldiseodeexperimentosy,dealgunamanera,eslabasedelanlisismultivariante.3.1 Bases del anlisis de la varianzaSupngansekmuestrasaleatoriasindependientes,detamaon,extradas de una nica poblacin normal. A partir de ellas existen dosmaneras independientes de estimar la varianza de la poblacin 2:1) Una llamada varianza dentro de los grupos (ya que slo contribuyeaellalavarianzadentrodelasmuestras),ovarianzadeerror,ocuadradosmediosdelerror,yhabitualmenterepresentadaporMSE(MeanSquareError)oMSW(MeanSquareWithin)quesecalculacomo la media de las k varianzas muestrales (cada varianza muestralesunestimadorcentradode 2ylamediadekestimadorescentradosestambinunestimadorcentradoymseficientequetodos ellos). MSE es un cociente: al numerador se le llama suma decuadrados del error y se representa por SSE y al denominador gradosdelibertadporserlostrminosindependientesdelasumadecuadrados.292)Otrallamadavarianzaentregrupos(slocontribuyeaellalavarianzaentrelasdistintasmuestras),ovarianzadelostratamientos, o cuadrados medios de los tratamientos y representadaporMSAoMSB(MeanSquareBetween).Secalculaapartirdelavarianzadelasmediasmuestralesyestambinuncociente;alnumerador se le llama suma de cuadrados de los tratamientos (se lerepresenta por SSA) y al denominador (k-1) grados de libertad.MSA y MSE, estiman la varianza poblacional en la hiptesis de que laskmuestrasprovengandelamismapoblacin.LadistribucinmuestraldelcocientededosestimacionesindependientesdelavarianzadeunapoblacinnormalesunaFconlosgradosdelibertadcorrespondientesalnumeradorydenominadorrespectivamente,porlotantosepuedecontrastardichahiptesisusando esa distribucin.Si en base a este contraste se rechaza la hiptesis de que MSE y MSAestimen la misma varianza, se puede rechazar la hiptesis de que lask medias provengan de una misma poblacin.Aceptando que las muestras provengan de poblaciones con la mismavarianza,esterechazoimplicaquelasmediaspoblacionalessondistintas,demodoqueconunnicocontrastesecontrastalaigualdad de k medias.Existeunaterceramaneradeestimarlavarianzadelapoblacin,aunque no es independiente de las anteriores. Si se consideran las knobservacionescomounanicamuestra,suvarianzamuestraltambin es un estimador centrado de 2:SesuelerepresentarporMST,seledenominavarianzatotalocuadrados medios totales, es tambin un cociente y al numerador se30lellamasumadecuadradostotalyserepresentaporSST,yeldenominador (kn -1) grados de libertad.Los resultados de un anova se suelen representar en una tabla comola siguiente:Fuente devariacinG.L. SS MS FEntre gruposTratamientosk-1 SSA SSA /(k-1) MSA /MSEDentroError(n-1)k SSE SSE /k(n-1)Total kn-1 SSTF se usa para realizar el contraste de la hiptesis de medias iguales.La regin crtica para dicho contraste es F > F(k-1,(n-1)k)3.2 Algunas propiedadesEs fcil ver en la tabla anterior queGLerror+ GLtrata = (n - 1) k + k - 1 = k + k - 1 = nk - 1 = GLtotalNo es tan inmediato, pero las sumas de cuadrados cumplen la mismapropiedad,llamadaidentidadopropiedadaditivadelasumadecuadrados:SST = SSA + SSEElanlisisdelavarianzasepuederealizarcontamaosmuestralesigualesodistintos,sinembargoesrecomendableigualestamaospor dos motivos:311) La F es insensible a pequeas variaciones en la suposicin de igualvarianza, si el tamao es igual.2) Igual tamao minimiza la probabilidad de error tipo II.3.3 Pruebas para la homocedasticidadParaqueestecontrastedehiptesis,basadoenlaF,loseadelaigualdaddemediasesnecesarioquetodaslasmuestrasprovengande una poblacin con la misma varianza 2, de la que MSE y MSA sonestimadores. Por lo tanto es necesario comprobarlo antes de realizarel contraste. Del mismo modo que no se puede usar repetidamente laprueba basada en la t para comparar ms de dos medias, tampoco sepuedeusarlapruebabasadaenlaFparacompararmsdedosvarianzas.Lapruebamsusadaparacontrastarsivariasmuestrassonhomocedsticas(tienelamismavarianza)eslapruebadeBartlett.Lapruebasebasaenque,enlahiptesisnuladeigualdaddevarianzasypoblacionesnormales,unestadsticocalculadoapartirde las varianzas muestrales y MSE sigue una distribucin.Otraspruebasparacontrastarlahomocedasticidaddevariasmuestras son la de Cochran y la de la F del cociente mximo, ambassimilares y de clculo ms sencillo pero restringidas al caso de igualestamaosmuestrales.LadeCochranesparticularmentetilparadetectar si una varianza es mucho mayor que las otras.Enelcasodequelasmuestrasnoseanhomocedsticas,nosepuede, en principio, realizar el anlisis de la varianza.Existen, sin embargo, soluciones alternativas: Sokal y Rohlf describenunapruebaaproximada,basadaenunasmodificacionesdelasfrmulas originales.32Haysituacionesenquelaheterocedasticidadesdebidaafaltadenormalidad. En estos casos existen transformaciones de los datos queestabilizan la varianza: la raz cuadrada en el caso de Poisson, el arcoseno de la raz cuadrada de p para la binomial, el logaritmo cuando ladesviacin estndar es proporcional a la media.En la prctica, si las pruebas de homocedasticidad obligan a rechazarla hiptesis nula, se prueba si con alguna deestastransformacioneslosdatossonhomocedsticos,encuyocasoserealizaelanovaconlos datos transformados.Hayquetenerencuentaqueestaspruebasvan"alrevs"delohabitual.Lahiptesisnulaesloquesequiereprobar,enconsecuencia hay que usarlas con precaucin.3.4 Modelos de anlisis de la varianzaEl anova permite distinguir dos modelos para la hiptesis alternativa:modelo I o de efectos fijos en el que la H1 supone que las k muestrasson muestras de k poblaciones distintas y fijas.modeloIIodeefectosaleatoriosenelquesesuponequelaskmuestras,sehanseleccionadoaleatoriamentedeunconjuntodem>k poblaciones.La manera ms sencilla de distinguir entre ambos modelos es pensarque, si se repitiera el estudio un tiempo despus, en un modelo I lasmuestrasseraniguales(nolosindividuosquelasforman)esdecircorresponderan a la misma situacin, mientras que en un modelo IIlas muestras seran distintas.33Aunque las suposiciones iniciales y los propsitos de ambos modelossondiferentes,losclculosylaspruebasdesignificacinsonlosmismosyslodifierenenlainterpretacinyenalgunaspruebasdehiptesis suplementarias. 3.4.1 Modelo I o de efectos fijosUn valor individual se puede escribir en este modelo como es lamedia global, iesla constante del efecto, o efectofijo,quediferencia a las k poblaciones. Tambin se puede escribir:representaladesviacindelaobservacinj-simadelamuestrai-sima,conrespectoasumedia.Aestetrminoselesuelellamarerroraleatorioy,teniendoencuentalassuposicionesinicialesdelanlisis de la varianza son k variables (una para cada muestra), todascon una distribucin normal de media 0 y varianza 2.La hiptesis nula en este anlisis es que todas las medias son igualesque puede escribirse en trminos del modelo como:ComoenH0secumplenlascondicionesdelapartadoanteriorsetratar de ver como se modifican las estimaciones delavarianzaenH1.En H0 MSA y MSE son estimadores centrados de 2, es decir y usandoel superndice 0 para indicar el valor de las variables en H034E[MSA0] = 2E[MSE0] = 2SepuedeverqueMSEesigualenlahiptesisnulaqueenlaalternativa. Por lo tanto:E[MSE] = E[MSE0] = 2Sin embargo al valor esperado de MSA en lahiptesis alternativa sele aade un trmino con respecto a su valor en la hiptesis nulaAlsegundosumandodivididopornselellamacomponentedelavarianza aadida por el tratamiento, ya que tiene forma de varianza,aunque estrictamente no lo sea pues i no es una variable aleatoria.La situacin, por lo tanto, es la siguiente: en H0, MSA y MSE estiman2; en H1, MSE estima 2 pero MSA estima. Contrastar la H0es equivalente a contrastar la existencia de la componente aadida o,loqueeslomismo,queMSEyMSAestimen,ono,lamismavarianza.ElestadsticodecontrasteesF=MSA/MSEque,enlahiptesisnula,se distribuye segn una F con k - 1 y (n - 1)k grados de libertad. Encaso de rechazar la H0, MSA - MSE estima. 3.4.2 Modelo II o de efectos aleatoriosEn este modelo se asume que las k muestras son muestras aleatoriasde k situaciones distintas y aleatorias. De modo que un valor aisladoYij se puede escribir como:35donde es la media global, ij son variables (una para cada muestra)distribuidasnormalmente,conmedia0yvarianza2(comoenelmodeloI)yAiesunavariabledistribuidanormalmente,independiente de las ij, con media 0 y varianza.La diferencia con respecto al modelo I es que en lugar de los efectosfijos i ahora se consideran efectos aleatorios Ai.Igual que en el modelo I se encuentra que MSE no se modifica en laH1 yquealvaloresperadodeMSAseleaadeeltrminodecomponenteaadida(queaquesunaverdaderavarianzayaque Aies una variable aleatoria):Parallegaraesteresultadoseutilizalaasuncindeindependenciaentre Ai y ij y es, por tanto, muy importante en el modelo y convieneverificar si es correcta en cada caso.Portanto,enH0tantoMSAcomoMSEestiman2,mientrasqueenH1, MSE sigue estimando 2 y MSA estima. La existencia deestacomponenteaadidasecontrastaconF=MSA/MSEyencasoafirmativo, la varianza de Ai se estima como:3.5 Pruebas a posterioriEn general, en un modelo II el inters del investigador es averiguar siexiste componente aadida y en su caso estimarla.Sin embargo, en un modelo I, lo que tiene inters son las diferenciasentre los distintos grupos.36Laspruebas"aposteriori"sonunconjuntodepruebasparaprobartodas las posibles hiptesis del tipo i j = 0.Existenvarias,(Duncan,Newman-Keuls,LSD):todasellasmuyparecidas. Usan el rango (diferencia entre medias) de todos los paresdemuestrascomoestadsticoydichorangodebesuperarunciertovalor llamado mnimo rango significativo para considerar la diferenciasignificativa.LaprincipaldiferenciaconrespectoalatdeStudentradicaenqueusanMSEcomoestimadordelavarianza,esdecirunestimadorbasado en todas las muestras.Unamanerasemigrficahabitualderepresentarlosresultadosesdibujarunalneaqueunacadasubconjuntodemediasadyacentesentre las que no haya diferencias significativas.3.6 Anlisis de la varianza de dos factoresEsundiseodeanovaquepermiteestudiarsimultneamentelosefectos de dos fuentes de variacin.Una observacin individual se representa como:Elprimersubndiceindicaelniveldelprimerfactor,elsegundoelniveldelsegundofactoryeltercerolaobservacindentrodelamuestra.Losfactorespuedenserambosdeefectosfijos(sehablaentoncesdemodeloI),deefectosaleatorios(modeloII)ounodeefectos fijos y el otro de efectos aleatorios (modelo mixto). El modelomatemtico de este anlisis es:modelo Imodelo II37modelo mixtodonde es la media global, i o Ai el efecto del nivel i del 1 factor, jo Bj el efecto del nivel j del 2 factor y ijk las desviaciones aleatoriasalrededordelasmedias,quetambinseasumequeestnnormalmentedistribuidas,sonindependientesytienenmedia0yvarianza 2.A las condiciones de muestreo aleatorio, normalidad e independencia,este modelo aade la de aditividad de los efectos de los factores.A los trminos ( )ij, (AB)ij, (B)ij, se les denomina interaccin entreambosfactoresyrepresentanelhechodequeelefectodeundeterminado nivel de un factor sea diferente para cada nivel del otrofactor.3.7 Identidad de la suma de cuadradosLa suma de cuadrados total en un anova de 2 vas, es:(dondepararepresentarlasmediassehausadolaconvencinhabitual de poner un punto (.) en el lugar del subndice con respectoal que se ha sumado) que dividida por sus grados de libertad, abn -1,estimalavarianza2enelsupuestodequelasabmuestrasprovengan de una nica poblacin.Se puede demostrar queque es la llamada identidad de la suma de cuadrados en un anova dedosfactores.Lossucesivossumandosrecibenrespectivamenteelnombredesumadecuadradosdel1factor(tienea-1gradosdelibertad y recoge la variabilidad de los datos debida exclusivamente al381factor),del2factor(conb-1gradosdelibertadyrecogelavariabilidaddelosdatosdebidaexclusivamenteal2factor),delainteraccin(con(a-1)(b-1)gradosdelibertad,recogelavariabilidad debida a la interaccin) y del error (con ab(n - 1) gradosdelibertad,recogelavariabilidaddelosdatosalrededordelasmedias de cada muestra).Los resultados de un anlisis de la varianza de dos factores se suelenrepresentar en una tabla como la siguiente:Fuente devariacinGL SS MS1 factor a - 1 SSA SSA/(a - 1)2 factor b - 1 SSB SSB/(b - 1)Interaccin (a - 1)(b - 1) SSAB SSAB/[(a - 1)(b - 1)]Error ab(n - 1) SSE SSE/[ab(n - 1)]Total abn - 1 SSTLos grados de libertad tambin son aditivos.En ocasiones se aade una primera lnea llamada de tratamiento o desubgruposcuyosgradosdelibertadysumadecuadradossonlassumasdelosdelprimer,segundofactorylainteraccin,quecorresponderanalasumadecuadradosygradosdelibertaddeltratamientodeunanlisisdeunavaenquelasabmuestrasseconsiderarn como muestras de una clasificacin nica.Para plantear los contrastes de hiptesis hay que calcular los valoresesperados de los distintos cuadrados medios.3.8Contrastesdehiptesisenunanlisisdelavarianzadedos factores39Delmismomodoquesehizoenelanovadeunava,paraplantearloscontrastesdehiptesishabrquecalcularlosvaloresesperadosde los distintos cuadrados medios. Los resultados son:3.8.1 Modelo IMS Valor esperadoMSAMSBMSABMSEPorlotanto,losestadsticosMSAB/MSE,MSA/MSEyMSB/MSEsedistribuyen como una F con los grados de libertad correspondientes ypermiten contrastar, respectivamente, las hiptesis:i) no existe interaccin (MSAB/MSE)ii)noexisteefectodelprimerfactor,esdecir,diferenciasentreniveles del primer factor (MSA/MSE)iii) no existe efecto del segundo factor ( MSB/MSE)40Si se rechaza la primera hiptesis de no interaccin, no tiene sentidocontrastar las siguientes. En este caso lo que est indicado es realizarunanlisisdeunavaentrelasabcombinacionesdetratamientospara encontrar la mejor combinacin de los mismos.3.8.2 Modelo IIMS Valor esperado MSA MSB MSAB MSEdondeson,respectivamentelascomponentesaadidaspor el primer factor, por el segundo y por la interaccin, que tienen lamisma forma que los del modelo I, sin ms que cambiari y j por Aiy Bj, respectivamente.La interaccin se contrasta, como en el modelo I, con MSAB/MSE, sise rechaza la hiptesis nula se contrastaran cada uno de los factorescon MSA/MSAB y MSB/MSAB.EnunmodeloII,comonoseestinteresadoenestimarlosefectosdelosfactoressinoslolaexistenciadelacomponenteaadida,stienesentidocontrastarlaexistenciadelamismaparacadafactorincluso aunque exista interaccin.Aqu el problema se plantea cuando no se puede rechazar la hiptesisnulayseconcluyequenoexisteinteraccin:entoncestantoMSEcomoMSABestiman2,entoncesculseeligeparacontrastarlacomponente aadida de los factores?41En principio, parece razonable escoger su media(lamediadevariosestimadorescentradosestambinunestimadorcentradoymseficiente),sinembargosiseelige MSABseindependizaelcontrasteparalosfactoresdeunposibleerrortipoIIenelcontrasteparalainteraccin. Hay autores que por ello opinan que es mejor usar MSAB,perootrosproponenpromediarsisepuedeasegurarbajalaprobabilidad para el error tipo II. La media de los cuadrados mediosse calcula dividiendo la suma de las sumas de cuadrados por la sumade los grados de libertad.EjemploApartirdelasiguientetabladeunanovade2factoresmodeloII,realizar los contrastes adecuados.Fuente devariacinG.L. SS MS1 factor 4 315,8 78,952 factor 3 823,5 274,5Interaccin 12 328,9 27,41Error 100 2308,0 23,08Total 119 3776,2 Seempezaracontrastandolaexistenciadeinteraccin:f=27,41/23,08 = 1,188 como F0,05(12,100) =1,849nosepuede,alnivelde significacin del 95%, rechazar la hiptesis nula y se concluye queno existe interaccin.Si usamos MSAB para contrastar los factores:421factor:f=78,95/27,41=2,880comoF0,05(4,12) =3,26noserechazalahiptesisnulayseconcluyelanoexistenciadecomponente aadida por este factor.2factor:f=274,5/27,41=10,015comoF0,05(3,12) =3,49serechazalahiptesisnulayseaceptalaexistenciadecomponenteaadida por este factor.Elresultadodelanlisises:noexistecomponenteaadidaporlainteraccin, tampoco por el 1 factor y s existe componente aadidapor el 2.La estimacin de esta componente es: como a partir de los grados delibertad de la tabla podemos calcular a = 5, b = 4 y n = 6 resulta quelaestimacindees274,5-27,41=247,09;porlotantoque representa un 35,7% de componente aadidapor el segundo factor.Sisehubieraoptadoporpromediar,loscuadradosmediospromediadosson(328,9+2308,0)/(12+100)=23,54con112gradosde libertad y hubiera resultado significativo tambin el 1 factor.Lasalidadeunpaqueteestadstico,p.e.elStatgraphics,paraunanova de 2 factores modelo II433.8.3 Modelo mixtoSupngaseelprimerfactordeefectosfijosyelsegundodeefectosaleatorios, lo que no supone ninguna perdida de generalidad, ya queel orden de los factores es arbitrario.MS Valor esperadoMSAMSBMSABMSESecontrastanlainteraccinyelfactoraleatorioconeltrminodeerror, si la interaccin fuera significativa no tiene sentido contrastar elefecto fijoysinolofuera,elefectofijosecontrastaconeltrminode interaccin o con el promedio de interaccin y error.3.9TamaosmuestralesdesigualesenunanovadedosfactoresAunquelospaquetesestadsticossuelenhacerelanovadedosfactores,tantoenelcasodetamaosmuestralesigualescomodesiguales, conviene resaltar que el anlisis es bastante ms44complicadoenelcasodetamaosdesiguales.Lacomplicacinsedebeaquecontamaosdesigualeshayqueponderarlassumasdecuadradosdelosfactoresconlostamaosmuestralesynoresultanortogonales(susumanoeslasumadecuadradostotal)loquecomplica no slo los clculos sino tambin los contrastes de hiptesis.Poresto,cuandosediseaunanlisisfactorialdelavarianzaserecomienda disearlo con tamaos iguales. Hay ocasiones en que, sinembargo,porladificultaddeobtenerlosdatosoporprdidadealgunodeellosesinevitablerecurriralanlisiscontamaosdesiguales. Algunos autores recomiendan, incluso, renunciar a algunode los datos para conseguir que todas las muestras tengan el mismotamao. Evidentemente esta solucin es delicada pues podra afectara la aleatoriedad de las muestras.3.10 Casos particulares: Anova de dos factores sin repeticinEnciertosestudiosenquelosdatossondifcilesdeobteneropresentan muy poca variabilidad dentro de cada subgrupo es posibleplantearseunanovasinrepeticin,esdecir,enelqueencadamuestraslohayunaobservacin(n=1).Hayquetenerencuentaque, como era de esperar con este diseo, no se puede calcular SSE.El trmino de interaccin recibe el nombre de residuo y que, como nosepuedecalcularMSE,nosepuedecontrastarlahiptesisdeexistencia de interaccin.Esto ltimo implica tambin que:a)enunmodeloI,parapodercontrastarlashiptesisdeexistenciadeefectosdelosfactoresnodebehaberinteraccin(sihubierainteraccin no tenemos trmino adecuado para realizar el contraste).b) en un modelo mixto existe el mismo problema para el factor fijo.45Bloques completos aleatoriosOtrodiseomuyfrecuentedeanovaeseldenominadodebloquescompletosaleatoriosdiseadoinicialmenteparaexperimentosagrcolasperoactualmentemuyextendidoenotroscampos.Puedeconsiderarse como un caso particular de un anova de dos factores sinrepeticinocomounaextensinalcasodekmuestrasdelacomparacindemediasdedosmuestrasemparejadas.Setratadecomparar k muestras emparejadas con respecto a otra variable cuyosefectos se quieren eliminar.En este diseo a los datos de cada individuo se les denomina bloquey los datos se representan en una tabla de doble entrada anloga a ladelanovadeclasificacinnicaenlaquelasacolumnassonlostratamientosylasbfilaslosbloques,elelementoYij delatablacorrespondealtratamientoiyalbloquej.Lashiptesisquesepueden plantear son:(igualdad de medias de tratamientos)y tambin, aunque generalmente tiene menos inters:(igualdad de medias de bloques)A pesar del parecido con la clasificacin nica, el diseo es diferente:all las columnas eran muestras independientes y aqu no. Realmentees un diseo de dos factores, uno de efectos fijos: los tratamientos, yel otro de efectos aleatorios: los bloques, y sin repeticin: para cadabloque y tratamiento slo hay una muestra.El modelo aqu es:dondeieselefectodeltratamientoiyBjeldelbloquej.Nohaytrminodeinteraccinyaque,alnopodercontrastar su existencia no tiene inters. Al ser un modelo mixto46exige la asuncinde no existencia de interaccin y los contrastes sehacen usando el trmino MSE como divisor.3.11 Anlisis de la varianza de ms de dos factoresEsunageneralizacindeldedosfactores.Elprocedimiento,porlotanto, ser:1) encontrar el modelo, teniendo en cuenta si los factores son fijos oaleatorios y todos los trminos de interaccin.2)subdividirlasumadecuadradostotalentantostrminosortogonalescomotengaelmodeloyestudiarlosvaloresesperadosde los cuadrados medios para encontrar los estadsticos que permitanrealizar los contrastes de hiptesis.Un modelo de tres factores fijos, por ejemplo, ser:Lostresprimerossubndicesparalosfactoresyelcuartoparalasrepeticiones,ntesequeaparecentrminosdeinteraccindesegundoytercerorden,engeneralenunmodelodekfactoresaparecentrminosdeinteraccindeorden2,3,...hastakyelnmerodetrminosdeinteraccindeordennserelnmerocombinatorioCk;n.Estegrannmerodetrminosdeinteraccindificultaelanlisisdemsdedosfactores,yaquesondifcilesdeinterpretarycomplicanlosvaloresesperadosdeloscuadradosmediosporloquetambinresultadifcilencontrarlosestadsticospara los contrastes.Por estas razones no se suele emplear este tipodeanlisisycuandointeresaestudiarvariosfactoresalavezserecurre a otros mtodos de anlisis multivariante.47ANEXO 1Contrastes de hiptesisUnahiptesisestadsticaesunasuposicinrelativaaunaovariaspoblaciones,quepuedeserciertaono.Lashiptesisestadsticassepuedencontrastarconlainformacinextradadelasmuestrasytanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometer un error.La hiptesis formulada con intencin de rechazarla se llama hiptesisnulayserepresentaporH0.RechazarH0implicaaceptarunahiptesis alternativa (H1).La situacin se puede esquematizar:H0 cierta H0 falsaH1 ciertaH0 rechazada Error tipo I ( ) Decisin correcta (*)H0 no rechazada Decisin correcta Error tipo II ( )(*) Decisin correcta que se busca = p(rechazar H0|H0 cierta) = p(aceptar H0|H0 falsa)Potencia =1- = p(rechazar H0|H0 falsa)Detalles a tener en cuenta1 y estn inversamente relacionadas.2 Slo pueden disminuirse las dos, aumentando n.Lospasosnecesariospararealizaruncontrasterelativoaunparmetro son:1. Establecer la hiptesis nula en trminos de igualdad482.Establecerlahiptesisalternativa,quepuedehacersedetresmaneras, dependiendo del inters del investigadoren el primer caso se habla de contraste bilateral o de dos colas, y enlos otros dos de lateral (derecho en el 2 caso, o izquierdo en el 3) ouna cola.3. Elegir un nivel de significacin: nivel crtico para 4.Elegirunestadsticodecontraste:estadsticocuyadistribucinmuestral se conozca en H0 y que est relacionado con y establecer,enbaseadichadistribucin,laregincrtica:reginenlaqueelestadstico tiene una probabilidad menor que si H0 fuera cierta y, enconsecuencia, si el estadstico cayera en la misma, se rechazara H0.Obsrveseque,deestamanera,seestmssegurocuandoserechaza una hiptesis que cuando no. Por eso se fija como H0 lo quesequiererechazar.Cuandonoserechaza,nosehademostradonada,simplementenosehapodidorechazar.Porotrolado,ladecisin se toma en base a la distribucin muestral en H0, por eso esnecesario que tenga la igualdad.5.Calcularelestadsticoparaunamuestraaleatoriaycompararloconlaregincrtica,oequivalentemente,calcularel"valorp"delestadstico (probabilidad de obtener ese valor, u otro ms alejado dela H0, si H0 fuera cierta) y compararlo con .Ejemplo:Estamos estudiando el efecto del estrs sobre la presin arterial.Nuestra hiptesis es que la presin sistlica media en varonesjvenes estresados es mayor que 18 cm de Hg.49Estudiamos una muestra de 36 sujetos y encontramos1. Se trata de un contraste sobre medias. La hiptesis nula (lo quequeremos rechazar) es:2. La hiptesis alternativaes un contraste lateral derecho.3.Fijamos"apriori"elniveldesignificacinen0,05(elhabitualenBiologa).4. El estadstico para el contraste esy la regin crtica T>tSi el contraste hubiera sido lateral izquierdo, la regin crtica seraT 052Para calcular eltamao muestraldebemos, adems defijar y , concretarH1Concretando H1: =0 + .Si n suficientementegrande para poderusar la normal, esdecirresulta queSi el contraste fuera a dos colas habra que cambiar z por z/253ANEXO 2Sucesos independientesDossucesossonindependientessiyslosip(AB)=p(A)p(B).Si dos sucesos son independientesy del mismo modo p(B|A) = p(B).Esta propiedad coincide ms con la idea intuitiva de independencia yalgunos textos la dan como definicin. Hay que notar, sin embargo,que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes.Regla de la probabilidad totalSellamaparticinaconjuntodesucesosAitalesqueA1A2...An=yAiAj= i jesdecirunconjuntodesucesosmutuamenteexcluyentesyquecubren todo el espacio muestralRegladelaprobabilidadtotal:SiunconjuntodesucesosAiformanuna particin del espacio muestral y p(Ai) 0 Ai, para cualquier otrosuceso B se cumple54Teorema de BayesSi los sucesos Ai son una particin y B un suceso tal que p(B) 055ANEXO 3Comparacin de mediasLa hiptesis nulaH0: 1 2 = d0Generalmente d0=0Hay 3 situaciones distintas:1conocidos (poco frecuente).2desconocidos pero iguales.3desconocidos pero distintos.Losestadsticossondistintos(zen1yten2y3)peroelprocedimientoeselmismo.Enlos3casossesuponequelasmuestras son independientes.Todosasumennormalidad.Sinosecumplierahayqueusarlosllamados test no paramtricos.Contrastes sobre independencia de v.a. cualitativasSequiereestudiarunposiblefactorpronsticodelxitodeunaterapia,p.e.ciertogradodealbuminuriacomomalpronsticoenladilisis.Losresultadosdeunestudiodeestetiposepuedencomprimir en una tabla 2x2 del tipo F nF E a b m = a+bnE c d n = c+d e = a+c f = b+d T56Se estudian T individuos, a tienen al factor (F) y tiene xito la terapia(E), b no tienen al factor (nF) y tiene xito la terapia, ...Ojo!Apesardelaaparente"inocencia"deestatabla,puedesignificarcosasdistintassegneldiseodelestudio.Notodaslasprobabilidadesdelasquesehablamsabajosepuedenestimarsiempre.H0 es que el factor F y el xito E son independientes (F no es factorpronstico) y H1 que estn asociados (s es factor pronstico). Si sonindependientesp(EF)=p(E)p(F).Apartirdelosdatosdelatablalasmejoresestimacionesdeestasprobabilidadesson ,porlotantoenH0 ,enconsecuenciaelvaloresperadoparaesaceldaenH0 es(cocienteentre el producto de los totales marginales y el gran total), del mismomodosecalculanlosdemsvaloresesperadosyseconstruyeelestadsticoquesedistribuyesegnunadistribucinconocidadenominada2,que depende de un parmetro llamado "grados de libertad" (g.l.) Losg.l. en esta tabla son 1. Esto se puede generalizar a tablas CxF y losgrados de libertad son (C-1)x(F-1).57Tabla de contingencia EJERC * SUPERRecuento SUPER Total 0 1 EJERC 0 15 25 40 1 10 50 60Total 25 75 100Pruebas de 2Valor gl Sig. asint.(bilateral)Sig. exacta(bilateral)Sig. exacta(unilateral)Chi-cuadrado dePearson5,556 1 ,018 Correccin decontinuidad4,500 1 ,034 Razn deverosimilitud5,475 1 ,019 Estadstico exactode Fisher ,033 ,017Asociacin linealpor lineal5,500 1 ,019 N de casos vlidos 100 a. Calculado slo para una tabla de 2x2.58b.0casillas(,0%)tienenunafrecuenciaesperadainferiora5.Lafrecuencia mnima esperada es 10,00.Estadsticos de fuerza de la asociacinCul es la fuerza de la asociacin? Ni elestadstico2nisuvalorpasociado miden esa fuerza, es decir se puede encontrar un alto valorde2(pequeovalordep)conunaasociacindbilsieltamaomuestral fuera grande. Hay varios estadsticos propuestos para mediresta fuerza:1DiferenciaderiesgooReduccinabsolutadelriesgo(RAR):Apartirdelatabladelejemploanteriorpodemosestimarlaprobabilidad(riesgoenlaterminologaepidemiolgica)dequeunindividuoquehagaejerciciotengaxito:ytambinlaprobabilidaddequelotengaunoquenolohaga:.SellamaDiferenciaderiesgooReduccinabsolutadelriesgoaestadiferencia:0,20quepuedeoscilarentre-1y1;0indicanoasociacin.2 Reduccin relativa del riesgo (RRR): La magnitudde la diferenciade riesgo es difcil de interpretar: una diferencia de 0,001 puede sermuchoopocodependiendodelriesgobasal.ParasuperarestadificultadsedefinelaRRRcomolareduccinabsolutadelriesgodivididaporelriesgobasaloriesgodelgrupodereferencia.Enelejemplo,siconsideramoscomoreferenciaelnohacerejercicio,elRRR sera 0,20/0,63 = 0,32.3Riesgorelativo(RR):Otrondicerelativoeselriesgorelativodefinidocomoelcocienteentrelosriesgos.EnelejemploanteriorRR=0,83/0,63=1,32. Los individuos que hacen ejercicio tienen una59probabilidad de xito 1,32 veces mayor que los que no. El RR puedeoscilar entre 0 y ; 1 indica no asociacin. Es el estadstico preferido.4 Odds ratio (OR): Es un estadstico menos intuitivo que el RR. Paracaracterizar un proceso binomial se puede usar su probabilidad (p) oel cociente p/q llamado odds. En el ejemplo anterior, para el ejerciciop=0,83yelodds=0,83/0,17=4,88,esdecires4,88vecesmsprobable tener xito que notenerlosisehaceejercicioyparaelnoejercicio p = 0,63 y el odds = 0,63/0,37=1,70. Para comparar ambosprocesospodemosusarsucocienteuoddsratioOR=4,88/1,70=2,87.Eloddsparaelejercicioes2,87vecesmayorqueparaelnoejercicio.ElORtambinpuedeoscilarentre0y;1indicanoasociacin. Queda como ejercicio para el lector comprobar que el ORsepuedeestimarcomoelcocientedelosproductoscruzadosdeloselementosdelatabla,OR=(50x15)/(10x25)=3.Ladiferenciaconelanterior es debida a errores de redondeo.QuventajastieneelORfrentealRR?.Enprincipioparecemenosintuitivoaunqueunjugadornoopinaralomismo.DehechoelORprovienedelmundodelasapuestas.SiqueremoscomparardosjuegosqudamsinformacinelORoelRR?...ysiqueremoscomparar dos estrategias teraputicas?Porotroladosielestudiodelejemploanteriorsehubierahechodeotra forma: muestreando por un lado individuos con xito y por otrosinxito(diseocaso-control)elRRnosepodraestimarysinembargo el OR s y de la misma forma (se puede demostrar usandoel teorema de Bayes).Adems,cuandoseestudianfenmenosconprobabilidadesbajas(tpicamente enfermedades) el OR tiende al RR.60Seandosfenmenosconprobabilidadesp1yp2prximasacero,enconsecuencia q1 y q2 estarn prximos a 1 y sucociente tambin,por lo tantoResumiendo, el OR se puede estimar en diseos como el caso-controlenlosqueelRRnosepuedeysiseestudianfenmenosconbajaprevalenciaelORestimaelRR.AdemselOResunbuenindicadoren s mismo.5 Nmero necesario a tratar (NNT): En el contexto de la evaluacindetratamientos(ensayosclnicos)sesueleusarestendicedefinidocomoelnmerodepersonasquesenecesitaratratarconuntratamientoparaproducir,oevitar,unaocurrenciaadicionaldelevento. Del mismo modo se define nmero necesario para perjudicar(NNP)paraevaluarefectosindeseables.Secalculacomoelinversodel RAR. En el ejemplo NNT = 1/0,20 = 5 que se interpreta como porcada5pacientesquehaganejercicioseconsiguequeunotengaxito.614. Ajuste por mnimos cuadradosMuyamenudoseencuentraenlaprcticaqueexisteunarelacinentredos(oms)variables.Porejemplo:lospesosdeloshombresadultos dependen en cierto modo de sus alturas; las longitudes de lascircunferenciasylasreasdeloscrculosdependendelradio,ylapresindeunamasadegasdependedesutemperaturaydesuvolumen.Sitodoslosvaloresdelasvariablescumplenexactamenteunarelacinexacta,entoncessedicequelasvariablesestnperfectamentecorrelacionadasoquehayunacorrelacinperfectaentreellaso,massencillamente,queexisteunafuncinounafrmula que las relaciona.Estamosinteresadosendeterminarlarelacinfuncionalentredosmagnitudes x e y como resultado de experimentos.Supongamos que intuimos que entre x e y existe la relacin linealy=ax+bydeseamosdeterminarlosparmetrosaybapartirdenmedidas de x e y. a es la pendiente de la recta, es decir, la tangentedelnguloqueformaconelejedeabscisas,yblaordenadaenelorigen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.Anteunproblemadeestetipo,loprimeroqueconvienehaceresrepresentargrficamentelosresultadosparaobservarsilosvaloresmedidos se aproximan a una recta o no.Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se empleaelllamadomtododelosmnimoscuadrados.Paraunvalordexdeterminado,larectadeajusteproporcionaunvalordiferentedeydelmedidoenelexperimento.Estadiferenciaserpositivaparaalgunos puntos y negativa para otros, puesto que los puntos se62disponenalrededordelarecta.Porestemotivo,lasumadeestasdiferencias para todos los puntos es poco significativa (las diferenciasnegativas se compensan con las positivas).Porello,paramedirladiscrepanciaentrelarectaylospuntos,seemplea la suma de los cuadrados de las diferencias, con los que nosaseguramos de que todos los trminos son positivos.Detodaslasposiblesrectasquepodemostrazar,caracterizadasporlos parmetros a y b, la recta que mejor se ajusta a los puntos es laque hace mnima la suma.Las condiciones de mnimo (primeras derivadas nulas) conducen a lasecuaciones normalesque permiten determinar los parmetros.Algunasconsideracionesimportantessobreelcoeficientedecorrelacin lineal:Esunacantidadsindimensiones,esdecirnodependedelasunidades empleadas. Por ejemplo, si se est buscando hallar elcoeficiente de correlacin entre el peso y la altura de los niosendeterminadaciudad,entonceselresultadoserelmismoindependientemente de si el peso de todos los nios se mide enKilogramosoengramoseindependientementedesilaalturade todos los nios se mide en metros o centmetros.Se verifica siempre que:Sielcoeficientedecorrelacinesiguala1,entonceshayunacorrelacinlinealpositivaperfecta,esdecirquelosdatosseajustanperfectamenteaunarectadependientepositiva,esdecirunarectaquecrece,oseaquecuandoxaumenta,entonces tambin lo hace y.Si el coeficiente de correlacin es igual a -1, entonces hay unacorrelacinlinealnegativaperfecta,esdecirquelosdatosseajustan perfectamente a una recta de pendiente negativa, es63decirunarectaquedecrece,oseaquecuandoxaumenta,entonces y disminuye.Encualquierotrocaso,paraaceptarsihayunacorrelacinlinealaceptable,nohayningunareglaestricta.Normalmente,paraaceptarlaexistenciadedichacorrelacin,elcoeficientedebesermayorque0,7omenorque-0,7.Encasocontrario,se suele rechazar la existencia de correlacin lineal.Que puede deducirse si se rechaza la existencia de correlacin linealsi,porejemplo,seencuentrauncoeficientedecorrelacinlinealde0,3 entre dos variables?Lo nico que puede deducirse es que los datos no se ajustan auna recta.Pero esto no significa que no haya relacin entre ellos dado quepodran ajustarse a una parbola o a cualquier otra curva. Slosededucequenohaycorrelacinlinealaunquepudierahaberuna correlacin no lineal.Esteeselgraninconvenientedelcoeficientedecorrelacinlineal:nosirveparadecidirsihayonounaposiblerelacinentredosvariables,slosirveparadecidirsihayonounaposible relacin lineal entre dos variables.Ellohaceque,definitivamente,lanicamaneradedecidirinicialmente sidebe sospecharseonolaexistenciaderelacinentredosvariablesesestudiardetenidamenteeldiagramadedispersin correspondiente, o sea la nube de puntos.Y, en su caso, slo despus habr que decidir con que curva seintentan ajustar los datos.Deformaanlogasepuedenbuscarajustespolinmicosdegradomayor a uno (y por lo tanto nolineales). En este trabajo usaremos elparablico.645. aplicacin: PURN DE CERDO EN EL VALLE DELGUADALENTN PARA BRCOLI Y MELN DE AGUA. (1 factor,Modelo 1).Enresumen,elartculodescribeelexperimentorealizadoenlacomarca del ValledelGuadalentnenloscultivosdebrcoliymelnde agua.En estoscultivossevaaplicarpurndecerdocomoabonoorgnico,para vercomoinfluyeenlascaractersticasfsico-qumicasdelsuelo(Cu, Zn, pH, CEC, nitrgeno total, conductividad electrnica, hongos,bacterias,coniformes)antesydespusdehaberloaplicado.SeanalizanlosresultadosconunprogramaoriginalhechoenMATLABdonde se aplica ANOVA (anlisis de la varianza).Esta tcnica estadstica fue inventada para obtener de forma rigurosaladependenciaentrelasvariablesdeexperimentosagronmicos.Posteriormente se extendi a otras ramas de la Ciencia.En conclusin, los resultados del primer ao de experimentacin concultivosdebrcoliindicaronimportantescambiosenlascaractersticas qumicas del suelo, especialmente el contenido de Cu yZn. La conductividad elctrica decrece debido principalmente al riegodelaparcela.HayunligeroaumentoenelpHyCEC.ElNTotalyelcarbono orgnico no varan.Encultivosdemelndeaguaseobservaquedecrecelaconductividad elctrica y se produce un ligero incremento del pH.ElZnyCutienennivelesbastantealtosalprincipio,peroluegodecrecen, el carbono orgnico y el N no cambian con la aplicacin deestos purines.Los resultados de esta tcnica en produccin de melones de agua enelprimeraodeexperimentacinsonmaspequeosqueenelbrcoli.65Losnitratoscontenidosenlaparcelaquenoestabaabonadaconpurines de cerdo eran superiores a las que si la llevaban.En general, la microbiologa que haba en el suelo era ms elevada enla superficie que en el subsuelo (30-60 cm) cuando se aplicabanlospurines de cerdo.Bacteriasycoliformesaumentanconlaaplicacindeestospurines,porencambiolosactinomicetosyhongosnotenanuncambiosignificativo.Enesteexperimento,comosepuedeobservar,seincrementaenelsueloelnmerodebacteriasycoliformes,perosinafectaralapoblacin de actinomicetos y hongos.Pormsquecontinuramosutilizandopurinesdecerdoenestoscultivos,lascaractersticasmicrobiolgicasdespusdeunaodeexperimentacin,bacterias,hongos,actinomicetosycoliformesretornan a los niveles del fondo del suelo.Por ltimo incluimos tres programas en MATLAB donde programamosANOVAdeunfactor,rectayparboladeregresin.TambinmostramosdosgrficascorrespondientesalnitrgenoyalPhasociados a las distintas dosis de purn en el cultivo de la sanda. Losdatos corresponden a la superficie. Se puede observar una influenciaescasa, siendo lineal en el nitrgeno y parablica en el Ph.66Programa 1function fo=analvar1(Y,n,a,falfa)%Calcula el fo del analisis de varianza de un solo factor%grados de libertadg1=a-1;g2=0;for i=1:a g2=g2+n(i);endN=g2; %despues se usag2=g2-a;%calculo de yi.for i=1:a my(i)=0; for j=1:n(i)my(i)=my(i)+Y(i,j); endend%calculo de y.. y de sum_1:a yi.^2/niMy=0;Cmy=0;for i=1:a My=My+my(i); Cmy=Cmy+my(i)*my(i)/n(i);end%calculo de sum_1:asum_1:ni yij^2Cy=0;for i=1:a for j=1:n(i)Cy=Cy+Y(i,j)*Y(i,j); endend%calculo de foSSt=Cmy-My*My/N;SST=Cy-My*My/N;SSE=SST-SSt;fo=(SSt/g1)/(SSE/g2);if(fo>falfa) input('Las medias no son de la misma muestra, influye el factor')elseinput('Las medias son de la misma muestra, no influye el factor')end67Programa 2% Programa de REGRESIN LINEAL // RECTA DE MNIMOS CUADRADOS% Problema a estudiar: %Dado un conjunto finito y discreto de puntos (x(i),y(i)), i=1:n, se trata de encontrar % una curva que sin pasar necesariamente por dichos puntos se ajuste en el sentido que se % precise a dichos datos, (depende de si usamos mnimos cuadrados, pol.de Chebychev,...). % RECTA DE MNIMOS CUADRADOS:% La recta y=p(x)=a+bx, donde a y b se determinan de manera que la expresin% Sumatorio desde 1:n de a+b(x(i)-f(i))^2 sea mnimo, la llamaremos recta de% mnimos cuadrados.% Imponiendo las condiciones de mnimo, resultan las ecuaciones:% a*n+b*(Sumatorio i=1:n de los x(i))=(Sumatorio i=1:n de los f(i))% a*(Sumatorio i=1:n de los x(i))+b*(Sumatorio i=1:n de los x(i)^2)=% =(Sumatorio i=1:n de los x(i)*f(i))% siendo n el nmero total de datos, a y b se obtienen al resolverlas.% La bondad del ajuste,es decir, la aproximacin de la recta a los datos, se% halla mediante la siguiente expresin, que cuanto ms prximo a cero sea,% mejor ser la aproximacin.% Sumatorio i=1:n de (p(x)-f(i))^2 % Programa:% Datos de entrada % x ==> vector de datos de las abcisas % y=f(x)==> vector de datos de las ordenadas % dato ==> valor de la abcisa que se quiere calcular su imagen% Datos de salida % fdato ==> valor de la imagen % bondad ==> bondad del ajuste % einf ==> error mximo % e1 ==> error medio % e2 ==> error cuadrtico medio% los coeficientes a y b function [fdato,bondad,einf,e1,e2,a,b]=Mregre(x,y,dato)% n ==> nmero total de datos n=length(x); %Inicializacin de las variables % xx ==> sumatorio de los x(i) xx=0; % yy ==> sumatorio de los y(i) yy=0; % x2 ==> sumatorio de los x(i)^2 x2=0; % xy ==> sumatorio del producto de x(i)*y(i) xy=0; % bondad ==> sumatorio para la bondad del ajuste bondad=0;68 for i=1:n xx=x(i)+xx; yy=y(i)+yy; x2=x(i)^2+x2; xy=x(i)*y(i)+xy; end % resolvemos el sistema A=[n xx;xx x2]; B=[yy xy]; v=A\B'; a=v(1); b=v(2); % clculo de la bondad del ajuste for i=1:nbondad=(a+b*x(i)-y(i))^2+bondad; end % cculo de la imagen del dato fdato=a+b*dato; % clculo de errores% error mximo: el mximo del conjunto formado por abs((a+b*x(i))-y(i)) con i=1:n for i=1:ne(i)=abs(a+b*x(i)-y(i)); endeinf=max(e);% error medio: (1/n)*Sumatorio de abs((a+b*x(i))-y(i)) desde i=1:n ee1=0; for i=1:nee1=e(i)+ee1; end e1=(1/n)*ee1;% error cuadrtico medio: [(1/n)*Sumatorio de abs((a+b*x(i))-y(i))^2 desde i=1:n ]^0.5 ee2=0; for i=1:nee2=e(i)^2+ee2; end e2=((1/n)*ee2)^(1/2);69Programa 3% Programa de REGRESIN no LINEAL // PARABOLA DE MNIMOS CUADRADOS% Problema a estudiar: %Dado un conjunto finito y discreto de puntos (x(i),y(i)), i=1:n, se trata de encontrar % una curva que sin pasar necesariamente por dichos puntos se ajuste en el sentido que se % precise a dichos datos, (depende de si usamos mnimos cuadrados, pol.de Chebychev,...). % PARABOLA DE MNIMOS CUADRADOS:% La recta y=p(x)=a+bx+cx, donde a, b y c se determinan de manera que la expresin%Sumatoriodesde1:nde(a+bx(i)+cx(i)^2-f(i))^2seamnimo,lallamaremosparabola de% mnimos cuadrados.% Imponiendo las condiciones de mnimo (gradiente =0), resultan las ecuaciones:% a*n+b*(Sumatorio i=1:n de los x(i))+b*(Sumatorio i=1:n de los x(i))+% c*(Sumatorio i=1:n de los x(i)^2)%=(Sumatorio i=1:n de los f(i))% a*(Sumatorio i=1:n de los x(i))+b*(Sumatorio i=1:n de los x(i)^2)+% c*(Sumatorio i=1:n de los x(i)^3)% =(Sumatorio i=1:n de los x(i)*f(i))% a*(Sumatorio i=1:n de los x(i)^2)+b*(Sumatorio i=1:n de los x(i)^3)+% c*(Sumatorio i=1:n de los x(i)^4)% =(Sumatorio i=1:n de los x(i)^2*f(i))% siendo n el nmero total de datos, a, b y c se obtienen al resolverlas.% La bondad del ajuste,es decir, la aproximacin de la recta a los datos, se% halla mediante la siguiente expresin, que cuanto ms prximo a cero sea,% mejor ser la aproximacin.% Sumatorio i=1:n de (p(x)-f(i))^2 % Programa:% Datos de entrada % x ==> vector de datos de las abcisas % y=f(x)==> vector de datos de las ordenadas % dato ==> valor de la abcisa que se quiere calcular su imagen% Datos de salida % fdato ==> valor de la imagen % bondad ==> bondad del ajuste % einf ==> error mximo % e1 ==> error medio % e2 ==> error cuadrtico medio % los coeficientes a, b y c function [fdato,bondad,einf,e1,e2,a,b,c]=Mregrenoli(x,y,dato) % n ==> nmero total de datos n=length(x); %Inicializacin de las variables % xx ==> sumatorio de los x(i) xx=0; % yy ==> sumatorio de los y(i) yy=0;70 % x2 ==> sumatorio de los x(i)^2 x2=0; % x3 ==> sumatorio de los x(i)^3 x3=0; % x4 ==> sumatorio de los x(i)^4 x4=0; % xy ==> sumatorio del producto de x(i)*y(i) xy=0;% xxy ==> sumatorio del producto de x(i)*x(i)*y(i) xxy=0; % bondad ==> sumatorio para la bondad del ajuste bondad=0; for i=1:n xx=x(i)+xx; yy=y(i)+yy; x2=x(i)^2+x2; x3=x(i)^3+x3; x4=x(i)^4+x4; xy=x(i)*y(i)+xy; xxy=x(i)*x(i)*y(i)+xxy; end % resolvemos el sistema A=[n xx x2;xx x2 x3;x2 x3 x4]; B=[yy xy xxy]; v=A\B'; a=v(1); b=v(2); c=v(3); % clculo de la bondad del ajuste for i=1:nbondad=(a+b*x(i)+c*x(i)*x(i)-y(i))^2+bondad; end % cculo de la imagen del dato fdato=a+b*dato; % clculo de errores% error mximo: el mximo del conjunto formado por abs((a+b*x(i))-y(i)) con i=1:n for i=1:ne(i)=abs(a+b*x(i)+c*x(i)*x(i)-y(i)); endeinf=max(e);% error medio: (1/n)*Sumatorio de abs((a+b*x(i))-y(i)) desde i=1:n ee1=0; for i=1:nee1=e(i)+ee1; end e1=(1/n)*ee1;71% error cuadrtico medio: [(1/n)*Sumatorio de abs((a+b*x(i))-y(i))^2 desde i=1:n ]^0.5 ee2=0; for i=1:nee2=e(i)^2+ee2; end e2=((1/n)*ee2)^(1/2);72Grfica Nitrgeno0 5 10 150.20.150.10.0500.050.10.150.20.250.373Grfica Ph0 5 10 15505101520x 103746. Bibliografahttp://fisica.unav.es/angel/matlab (introduccin a MATLAB)http://www.hrc.es (anlisis de la varianza)http://www.hrc.es (anexo 1)http://www.hrc.es (anexo 2)http://www.hrc.es (anexo 3)Artculo: PURN DE CERDO EN EL VALLE DEL GUADALENTNPARABRCOLIYMELNDEAGUA.(Artculorealizadopor:ngelFazCano,JosLuisTortosa,ManuelAndujar,MiriamLlona,JuanB.Lobera,AlfredoPalopySergio Amat; profesores de la U.P.C.T), CATENA 2004.