03/06/13

EJERCICIOS CPM Y PERT

Ejemplo 1: Dibujo de la Red CPM

Se ha organizado un equipo de proyectos en Manufacturing Technology (MTI)para disear y desarrollar una versin ligeramente distinta de uno del robotindustrial de la empresa. El nuevo robot se conoce como Random AccessMobile Orthogonal Vision (RAMOV). Ramov es mvil, tiene capacidad visual,es multiaxial y es programable en el piso de la planta. Uno de los clientes msimportantes de MTI, un gran fabricante automotriz, planea reemplazar en cincofbricas un banco de mquinas con los nuevos robots, en sus lneas deensamble. El cliente desea ver en dos meses una demostracin del robot, unapropuesta tcnica y una propuesta de costo. Lo primero que hizo el equipo delproyecto fue enlistar y describir sus actividades, determinar su orden y estimarcun tiempo tomara cada una de las actividades. Esta informacin sobreactividades y eventos del proyecto aparecen en la tabla que incluimos acontinuacin. Preparare un programa CPM partiendo de la informacin dedicha tabla.

Actividad Actividadespredecesoras

inmediatas

Duracinde la

actividad(das)

a - 20b a 10c b 8d a 11e c,d 7f e 6g d 12h e 13i g,h 5

Evento:1. El proyecto se ha iniciado.2. El diseo RAMOV se ha terminado.3. Las unidades prototipo se han construido.4. Las pruebas de prototipo se han terminado5. Se han completado las estimaciones de materiales.6. La afinacin del diseo RAMOV est terminada.7. La propuesta tcnica y las estimaciones de costo de mano de obra estn

terminadas.8. Las unidades RAMOV se han demostrado y se ha entregado la

propuesta al cliente. El proyecto se ha terminado.

03/06/13

Solucin:

Note que tanto la actividad c como la actividad d son predecesores inmediatosde la actividad e. Para mostrar que la actividad d debe quedar terminada antesdel inicio de la Terminal e, se utiliza una actividad falsa. Una actividad ficticia noinvolucra trabajo ni tiempo; simplemente muestra la relacin de precedencia, esdecir, el orden de las actividades.

Ejemplo 2: Anlisis de las trayectorias.

Ahora que en el ejemplo 1 se desarroll el diagrama de red para el proyectoRAMOV, analice las trayectorias a travs de la red. Determine cul de ellas esla ruta crtica y cuanto se espera que tome la terminacin del proyecto.

Solucin:

1. Primero, escriba la duracin de cada actividad debajo de su flecha. Porejemplo a = 20 se escribe debajo de la flecha a:

2. Atray

Traa-ba-ba-da-da-d

* Ru

Ladetepro

1 2 3 4 6 8

5 7

a b c e f

d ficticia h i

g

continuaciectoria:

yectorias-c-e-f-c-e-h-i-e-f-e-h-i-g-i

ta crtica

trayectoria mrmina la du

yecto demore

1a = 20

d

n, identifique

s larga esracin de tod63 das en te

2 b = 10

= 11las trayectoria

Dura20 +20 +20 +20 +20 +

de 64 das, yo el proyecto;rminarse.

3

5

c = 8

fictic

g

s y calcule

cin de las t10 + 8 + 7 +10 + 8 + 7 +11 + 7 + 6 =11 + 7 + 1311 + 12 + 5

se trata dpor lo tan

4 e = 7

ia h

= 12la duracin d

rayectorias (da6 = 5113 + 5 = 63*44

+ 5 = 56= 48

e la ruta crticto, se espera

6

7

f = 6

= 13 i =8

5

e cada

s)

a, queque el

03/06/13

Ejemplo 3: Clculo de la terminacin ms temprana (EF) de asactividades.

De la red en ejemplo calcule la terminacin ms temprana (EF) de cadaactividad. Escriba la EF de cada actividad en la parte izquierda del recuadrosobre su flecha. Empiece por el evento 1 y muvase de izquierda a derecha porla red para determinar el valor de EF correspondiente a la actividad. La EFrepresenta el tiempo transcurrido ms temprano desde el inicio del proyecto enel que podamos terminar una actividad. Para todas las actividades queempiezan un proyecto, sus EF son iguales a sus duraciones. Por ejemplo, laEF de la actividad a es 20, lo mismo que su duracin, puesto que es laactividad con que empieza el proyecto. Para las dems actividades, la EF deuna actividad es la EF de su predecesor inmediato ms su duracin (D).Calculemos los valores de EF:

Obsinmmstienmay

De= 3

20

EF

30 38 45 51EFa = 20EFb = EFaEFc = EFbEFd = EFaEFe = EFcEFf = EfeEFg = EFdEFh = EfeEFi = Efh +

erve queediatamente

grande entre dos actividaor que EFg =

EFi = EFh

manera simila8 es mayor qu

EFe = EFc

1 a = 20

d

+ Db = 20 ++ Dc = 30 ++ Dd = 20 ++ De = 38 +

+ Df = 45 + 6+ Dg = 31 +

+ Dh = 45 + 1Di = 58 + 5

cuando unapredecesorase todas las ides inmedia43 , EFh deb

+ Di = 58 + 5

r, la actividade EFd = 31, d

+ De = 38 +

2 b = 10

= 11

3110 = 308 = 3811 = 317 = 45= 5112 = 433 = 58= 63

actividad ti, para el clculonmediatas predtas predecesoraer emplearse

= 63

e tiene dos preber utilizarse

7 = 45

3

5

c = 8

g =

43ene dosde su EF

ecesoras.s: h y g. D

para calcula

edecesoresEFc para c

4 e = 7h =

12

58o ms activdeber utilizarsEjemplo, la actado que EFh =r EFi:

: c y d. Dado qalcular EFe:

6

7

f = 613 i

6

8

= 5

3

idadese la EFividad i

58 es

ue EFc

03/06/13

El EF ms grande de las actividades que terminan en el evento 8 representa eltiempo esperando de terminacin de todo el proyecto y la duracin de la rutacrtica. En este ejemplo, la EF ms grande EFi = 63, por lo que se espera queel proyecto RAMOV quede terminado 63 das despus de su inicio.

Ejemplo 4: Clculo de la terminacin ms tarda (LF) y la holgura (S).

El LF es el tiempo ms tardo transcurrido desde el principio de un proyecto enque podemos terminar una actividad sin retrasar la finalizacin del proyecto.Siguiendo a lo largo de la red CPM de derecha a izquierda, se escriben losvalores de LF en la parte derecha del recuadro sobre cada flecha de actividad.Las actividades que terminan en el ltimo evento de un proyecto siempre tienenuna LF que es igual a la LF ms grande entre todas las actividades delproyecto. Si una actividad tiene ms de una actividad inmediatamentesucesora, su LF es el ms pequeo LF D entre sus actividades sucesorasinmediatas. El valor de la holgura (S de una actividad se calcula restando su EFde su LF y colocando su valor en la parte superior del recuadro, por encima dela flecha.

Mediante una pasada de izquierda a derecha a travs de la red, se hancalculado las terminaciones ms tempranas (EF) de todas las actividades delproyecto. Calculemos ahora la terminacin ms tarda (LF) y la holgura (S)correspondiente a cada actividad.

Solucin:

Emderpartardactisiemporacti

20 20 30 30 38 38 45 45 51 63

0 0 0 0 12

SEF LFpiece con elecha a izquiete derecha deo transcurridvidad. La LF

pre ser la Llo tanto, de 6vidades.

LFi = EFi =LFf = EFf =

1 a = 20

d

evento 8 en erda a travsl recuadro soo desde elpara todas laF ms grand

3 das, que es

6363

2 b = 10

= 11

31 38

7

l extremo derede la red. Escrbre su flecha.inicio que pods actividadese del proyecto.el mismo de E

3

5

c = 8

g =

43cho del diaiba la LF dLa LF repremos utilizque terminaLa LF de lFi, la EF m

4 e = 7h =

12

58

5815grama y muve cada actividaesenta el tiempar para terminn en el ltimo

as actividades fs grande de to

6

7

f = 613 i

658

0

8

= 5

3 63

0

ase ded en lao msar unaeventoe i es,

das las

03/06/13

La LF para cualquier otra actividad se calcula restando la duracin (T) de lasactividades inmediatas sucesoras (la actividad a su derecha inmediata dentrode la red) de la terminacin ms tarda de la actividad inmediata sucesora (LF).Las terminaciones ms tardas de las actividades dentro del proyecto secalculan como sigue:

LFh = LFi Di = 63 5 = 58LFg = LFi Di = 63 5 = 58LFe = LFh Dh = 58 13 = 45*LFd = LFe De = 45 7 = 38*LFc = LFe De = 45 7 = 38LFb = LFc Dc = 38 8 = 30LFa = LFb Db = 30 10 = 20*

* Tienen ms de una actividad sucesora.

Observe que si una actividad tiene ms de una actividad inmediata sucesora(actividades a su inmediata derecha en la red) su LF se calcula comparando losvalores de LF-D de todas las actividades sucesoras inmediatas. Se utilizarentonces la LF D de valor ms pequeo para su LF. Por ejemplo, lasactividades e, d, y a arriba citadas tienen un asterisco (*) para indicar quetienen ms de una actividad sucesora. Tome por ejemplo la actividad e: lasactividades f y h suceden a la actividad e. LFe se calcula entonces como sigue:

Por lo tanto LFe = 45.

Calculo de la holgura (S) correspondiente a cada actividad.

Para cada actividad, S = LF EF. En cada actividad reste su EF de su LF yescriba el valor de S en la parte superior del recuadro, sobre la flecha. Laholgura de todas las actividades en la ruta crtica es igual a 0.Actividades adyacentes en secciones de trayectoria comparten la holgura. Porejemplo, considere la trayectoria a-b-g-i, de la red CPM. La actividad d tienesiete das de holgura, la actividad g tiene 15 das de holgura, pero la sumas delas duraciones de las actividades a lo largo de la trayectoria es de 48 das.Existe, por lo tanto, un total de 63-48 = 15 das de holgura a lo largo de sutrayectoria, por lo que siete das de holgura se comparten entre las actividadesd y g.

Ejemplo 5: Clculo del inicio ms temprano (ES) y del inicio ms tardo(LS).

De la red del ejemplo calcule el inicio ms temprano (ES) y el inicio ms tardo(LS) correspondiente a cada actividad.

Solucin:

Obtenga los valores EF, LF y S de cada actividad colquelos en la tabla quesigue a continuacin. Acto seguido, calcule los valores ES y LS de cada una delas actividades utilizando las siguientes frmulas: ES = EF D LS = LF D

03/06/13

Actividad Duracinde la

actividad

Inicioms

temprano(ES)

Terminacinms

temprana(EF)

Inicioms

tardo(LS)

Terminacinms tarda

(LF)

Holgura(S)

a 20 0 20 0 20 0b 10 20 30 20 30 0c 8 30 38 30 38 0d 11 20 31 27 38 7e 7 38 45 38 45 0f 6 45 51 57 63 12g 12 31 43 46 58 15h 13 45 58 45 58 0i 5 58 63 58 63 0

Hemos demostrado la forma en que el anlisis CPM desarrolla informacinpara la gerencia: duracin del proyecto, actividades crticas y holgura de lasactividades. Estos clculos se desarrollan al principio del proyecto y semodifican cuando se tengan nuevas estimaciones, conforme avanza dichoproyecto. Estas actualizaciones resultan en nuevos informes peridicos que seenvan a los gerentes de proyecto. Los informes de excepcin CPM, los deactividades en falla y los de actividades comprimidas son ejemplos de informesque proporcionan a los gerentes de proyecto informacin a la fecha sobredetalles del proyecto, permitiendo as un estrecho control de las actividades.

Tcnica de Evaluacin y Revisin de Programas

PERT es prcticamente idntico a CPM en lo que se refiere a sus funciones,diagramas de red, clculos internos y los informes resultantes deadministracin de proyectos. Las excepciones menores giran alrededor de lasestimaciones de los tiempos de las actividades.En CPM, la duracin de una actividad se basa en una simple estimacin deltiempo. En PERT, para cada actividad se hacen tres estimaciones de tiempo: eltiempo pesimista (Tp) si se tiene mala suerte; el tiempo ms probable (Tm)que es la mejor estimacin consensual y el tiempo optimista (To) si todo salebien. De estas tres estimaciones, para cada actividad se calcula una media(Te) y una varianza (Vt).

Te = (To + 4 Tm + Tp) / 6Vt = [(Tp To) / 6]2

Por qu PERT utiliza estimaciones mltiples de tiempos de actividades? Porque hay incertidumbre respecto a la duracin de las actividades. Al estimar untiempo pesimista y uno optimista se da una gama probable de duraciones. Eltiempo ms probable es nuestra mejor estimacin de la duracin. Tresestimaciones de tiempo permiten el desarrollo de una duracin promedio y deuna varianza para cada una de las trayectorias de la red. Definiendo ascompletamente la distribucin de la duracin de las trayectorias. La duracinmedia de una trayectoria es igual a la suma de las duraciones medias de susactividades y la varianza de una trayectoria es igual a la suma de las varianzas

03/06/13

de sus actividades Cuando la distribucin de la duracin de una trayectoria sesupone normal, y se calcularon su media y su varianza, podemos hacerenunciados probabilsticas sobre dicha trayectoria. Por ejemplo: 1) Slo hayuna probabilidad de 10% que la ruta crtica resulte superior a 35 semanas, 2)hay una probabilidad de 35% de que el proyecto pueda terminarse en mediosde 50 semanas.La capacidad de hacer enunciados probabilsticas sobre la duracin de lastrayectorias del proyecto es la nica diferencia existente entre CPM y PERT.PERT utiliza Te para las duraciones de actividades; todos los dems clculosson idnticos en ambos mtodos.

Ejemplo 6: Anlisis PERT del proyecto.

El cliente pidi al equipo estimar la probabilidad de que el proyecto pudieraquedar terminado dentro de 65 das. Para responder, el equipo desarroll tresestimaciones de duracin de cda una de las actividades del proyecto.Desarrolle un anlisis PERT del proyecto y responda a la pregunta del cliente.

Solucin:

1. Primero calcule la media y la varianza de cada actividad:

Actividad To(tiempo

optimista)

Tm(Tiempo

probable)

Tp(Tiempo

pesimista)

Te =(To+ 4

Tm+Tp)/6

Vt =[(TpTo)/6]

2

a 18 20 22 20,00 0,44b 8 10 14 10,33 1,00c 5 8 9 7,67 0,44d 10 11 12 11,00 0,11e 7 7 7 7,00 0,00f 4 6 7 5,83 0,25g 10 12 14 12,00 0,44h 12 13 15 13,17 0,25i 5 5 5 5,00 0,00

2. Despus dibuje la red PERT y calcule la terminacin ms temprana (EF), laterminacin ms tarda (LF), y la holgura (S) correspondiente a cada actividad.Determine la trayectoria o ruta crttica.

03/06/13

Come-h

3. D

Sum

Vpatpat

4. D

Supc-e-1,46

Enc

Util1,25denoti(ap

20 20 10,33 10,33 38 38 45 45 50,83 63,17

0 0 0 0 12,34

SEF LFo se puede-i es la ruta cr

espus, calcu

e las varianz

h = Va + Vb +

h = (Vpath)1/2 =

espus, calcu

oniendo queh-i es normadas:

uentre a cun

Z

izando la tablencontramo

65 das es dcia. La maroximadamen

1 a = 20

d

observar en ltica y se espe

le la desviac

as de las acti

Vc + Ve + Vh +(2,13) 1/2 = 1

le la probabil

la distribucinl con una me

M

tas desviacio

= (65 63,17

a de distribucs que la probe 0,89435 (ala noticia ete 10,6%) de

2 b=10,33

= 11

31 38

7

a red que arribara que tome 63

in estndar de

vidades a lo lar

Vi = 0,44 + 1,0,46 Das.

idad de termina

del tiempo dedia de 63.17 d

edia = 63,17 Dpath = 1,25

nes estndar d

) / path = (65 6

in de probabilabilidad de queproximadamens que existeque el proyecto

3

5

c=7,67

g =

43 5

15se muestr,17 das.

la ruta crti

go de la rut

+ 0,44 + 0

r el proyect

terminacinas y una d

as

e la media e

3,17) / 1,46

idad normael proyecto

te 89,4%)una prob

tarde ms

4 e = 7h=1

12

8,17

58,17,17

65a, la trayectoria

ca:

a crtica a-b-c-e

+ 0,25 + 0 = 2.

o dentro de 65

de la trayectoesviacin estn

st 65 das:

= 1,25

l, para el valorse termine en

pero esa es laabilidad de 0de 65 das.

6

7

f =5,833,17 i

63,1758,17

0 08

= 5

63,17a-b-c-

-h-i:

13

das:

ria a-b-dar de

de Z =menosbuena,10565

03/06/13

En el anlisis PERT debemos tener cierto cuidado al interpretar el significadode una ruta crtica. La ruta crtica en un anlisis PERT es simplemente latrayectoria que tiene la duracin esperada ms larga. La ruta crtica del ejemplofue la trayectoria a-b-c-e-h-i, que tena una duracin esperada de 63,17 das, yexiste una probabilidad de 10,6% que esta trayectoria pudiera tomar ms de 65das. En la red RAMOV puede haber una o ms trayectorias que tenganduraciones esperadas ms pequeas, pero sujetas a gran incertidumbre. Estastrayectorias no crticas pueden tener, de hecho, una mayor probabilidad derequerir ms de 65 das para su terminacin que la trayectoria a-b-c-e-h-i. Enestos casos, la varianza de la ruta crtica disminuye la importancia de lavarianza real de la duracin del proyecto. El significado en este punto es quecuando se utiliza PERT al determinar la probabilidad de exceder alguna fechaparticular de terminacin del proyecto, los analistas deben poner atencin a laruta crtica y a otras rutas o trayectorias con duraciones esperadas cercanas ala crtica.

03/06/13

EJEMPLO 7Una empresa constructora ha elaborado un proyecto para construir una seriede chals.Las actividades que tiene que realizar son las siguientes:

Actividad Descripcin DasA Urbanizacin de la zona 2B Acometida de la luz en la urbanizacin 1,5C Construccin de los bloques de viviendas 1D Acometida de luz en las viviendas 0,5E Pavimentado de las calles 5F Pavimentado de las aceras 4G Construccin de la piscina 1,5H Trabajos en servicios auxiliares de la urbanizacin 0,5I Trabajos en la urbanizacin interna 6J Acometida del gas en las viviendas 4K Acometida de electricidad en las viviendas 2L Carpintera en las viviendas 3M Control y verificacin 5

Camino crtico

Grfica GANTT.

03/06/13

EJEMPLO 8Teniendo en cuenta las siguientes actividades o situaciones en el proceso deinstalacin de un equipo de control de contaminacin en una central trmica, sepide:a) Realizar la representacin grfica del modelo PERT-CPM.Actividad Descripcin Duracin(das)PrecedenteA Instalacin de componentes internos 4 ---B Instalacin de componentesexternos6 ---C Modificacin de estructuras internas 4 AD Instalacin de la estructura externa 8 BE Instalar el sistema de control 4 CF Instalar el dispositivo de control 10 DG Pruebas y verificacin 4 E, F