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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA

ESCUELA DE MATEMATICA

PERFIL DEL PROYECTO DE SEMINARIO TITULADO:

METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONESDIFERENCIALES PARCIALES

Estudiante: Willian Armando Miranda Tobar. Carne: MT09001

Asesor : MSc. Carlos Ernesto Gamez Rodrıguez.

Co-asesor : Dr. Simon Alfredo Pena Aguilar.

Ciudad Universitaria, Ciclo II - 2013.

INDICE 3

Indice

1. Introduccion 6

2. Bosquejo Historico 8

3. Objetivo General 10

4. Objetivos Especıficos 10

5. Preliminares 11

5.1. Acerca de la ecuaciones diferenciales parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.1.1. ¿Que es una ecuacion diferencial parcial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.1.2. Las tres ecuaciones diferenciales parciales basicas. . . . . . . . . . . . . . 14

5.2. Aproximando las derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2.1. Formula para la primera derivada vıa series de taylor. . . . . . . . . . . . 17

5.2.2. Formulas para la segunda derivada a traves de series de taylor . . . . . . 18

5.3. El metodo de diferencias finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3.1. La notacion ”big o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3.2. El uso de 4f (x) /h para aproximar f ′ (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3.3. La aproximacion de O (h2) para f ′ (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4. Desarrollos de fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.5. Definiciones del algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.5.1. Sistemas tridiagonales y banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.5.2. Sistemas tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.6. Condiciones iniciales y condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.6.1. Condiciones iniciales: posicion, velocidad y temperatura. . . . . . . . . . 27

5.6.2. Condiciones de frontera: dirichlet (valor fijo) y neumann (flujo fijo). . . . 27

5.6.3. Algunas leyes de conservacion para la ecuacion de calor . . . . . . . . . . 28

5.6.4. Linealidad: superposicion y homogeneizacion. . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.6.5. Separacion de variables en la ecuacion del calor 1d. . . . . . . . . . . . . 30

6. Problemas parabolicos 33

6.1. La ecuacion del calor 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2. Problema Modelo de la ecuacion de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

INDICE 4

6.3. Metodo de diferencias finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.4. Pseudocodigo para el metodo explicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.5. Metodo de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.6. Version alternativa del metodo de crank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.7. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7. Ecuaciones hiperbolicas 43

7.1. La ecuacion de onda 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.1.1. Sistemas de ecuaciones hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.2. Diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.3. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1.4. Error global y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.1.5. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.1.6. Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2. Problema modelo de la ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2.1. Solucion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2.2. Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2.3. Pseudocodigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3. Ecuacion de adveccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8. Solucion Numerica a Ecuaciones Diferenciales Parciales 60

8.1. Problemas de valores de frontera para EDPs elıpticas de segundo orden . . . . . 60

8.2. La discretizacion de 5 puntos del laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.2.1. Analisis vıa el principio del maximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.2. Analisis de fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2.3. Analisis vıa un estimador de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2.4. Fronteras curvadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3. El metodo de Elemetos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3.1. La formulacion debil del problema de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3.2. Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.3.3. Un metodo de elementos finitos simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.3.4. Aplicacion a problemas mas generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

INDICE 5

9. Problemas Elıpticos 86

9.1. Metodo de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2. Metodo Iterativo de Gauss Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.3. Ejemplo Numerico y Pseudocodigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.4. Metodos de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10.Referencias Bibliograficas 100

1 INTRODUCCION 6

1. Introduccion

Las ecuaciones diferenciales son modelos matematicos que estudian problemas que surgen en dis-

ciplinas muy diversas. Desde sus comienzos han contribuido de manera muy notable a solucionar

muchos problemas y a interpretar numerosos fenomenos de la naturaleza. Su origen historico es

inherente de sus aplicaciones a las ciencias naturales e ingenierıa, ya que para resolver muchos

problemas significativos se requiere la determinacion de una funcion que debe satisfacer una

ecuacion en la que aparece su derivada.

Muchos fenomenos fısicos pueden ser modelados matematicamente por las ecuaciones diferen-

ciales. Cuando la funcion que esta siendo estudiada involucra dos o mas variables independientes,

la ecuacion diferencial es por lo general una ecuacion diferencial parcial. Dado que las funciones

de varias variables son intrınsecamente mas complicadas que las de una variable, las ecuaciones

diferenciales parciales puede llevar a algunos de los mas difıciles problemas, pues la solucion

analıtica puede no existir, es ahı cuando se utilizan diversos metodos numericos.

El presente trabajo pretende ser una introduccion al extenso tema de metodos numericos para

ecuaciones diferenciales parciales. Estara dividido preliminarmente en 4 capıtulos. En el capitulo

1 se espera dar la teorıa basica necesaria para iniciar nuestro estudio, se explicara el concepto

de ecuacion diferencial parcial y una clasificacion de estas y en el capitulo 2 se explicaran

algunos metodos numericos para la solucion de un problema modelo de la ecuacion de calor.

En los siguientes capıtulos se explicaran estos mismos metodos aplicados a otras ecuaciones

importantes.

El trabajo se centrara en saber aplicar estos metodos a ecuaciones de tipo hiperbolico (problemas

que refieren fenomenos oscilatorios: vibraciones de cuerda, membranas, oscilaciones electromag-

neticas), ecuaciones de tipo parabolico (problemas que se presentan al estudiar los procesos de

o conductibilidad termica y difusion), ecuaciones de tipo elıptico (problemas que aparecen al

estudiar procesos estacionarios, o sea que no cambian con el tiempo).

Las ecuaciones diferenciales parciales, se clasifican en lineales si la variable dependiente y todas

sus derivadas aparecen elevadas a la primera potencia. Sea u (x, y) una funcion de dos variables

independientes, tenemos la forma general de una ecuacion diferencial parcial de segundo grado

A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = 0

Y algunas de las ecuaciones en las cuales centraremos nuestra atencion en nuestro estudio son:

la ecuacion de calor unidimensional∂u

∂t= α

∂2u

∂x2

1 INTRODUCCION 7

la ecuacion de onda:∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2

y la ecuacion de Laplace en dos dimensiones:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

Las cuales se pueden resolver por metodos analıticos o numericos, entre los primeros se encuentra

la separacion de variables donde se plantea una solucion del tipo u (x, t) = X (x)T (t), de manera

que la EDP de segundo orden se transforma en dos EDO´s.

2 BOSQUEJO HISTORICO 8

2. Bosquejo Historico

El analisis ha sido durante trescientos anos una de las ramas mas importantes de la matematica,

y las ecuaciones diferenciales constituyen la parte central del analisis, ademas es la que mejor

permite comprender las ciencias fısicas y la tecnica. Las cuestiones que plantean proporcionan

una fuente de teorıa e ideas que permiten avanzar al pensamiento.

En la historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar varias etapas, donde cada una

de ellas marca un avance definitivo. Una primera etapa comienza desde los inicios hasta 1,820

cuando Cauchy publica su teorema de existencia, que da inicio a la segunda etapa. La tercera

comienza en 1,870 con M. S. Lie (1,842-1,899) y la aplicacion de la teorıa de grupos continuos

a las ecuaciones diferenciales, particularmente aquellos de la dinamica de Hamilton-Jacobi. La

cuarta comienza en 1,880 con el trabajo de E. Picard (1,856-1,941) y su teorema de existencia. La

construccion de las ecuaciones diferenciales es analoga a la teorıa de las ecuaciones algebraicas

de Galois. La ultima etapa comienza en 1,930 donde el analisis se hace mas general. Ya E. H.

Moore en 1,908 estudia ecuaciones con un numero infinito numerable de variables; ahora se

estudiaran ecuaciones diferenciales de dimension infinita, y comienza el calculo de variaciones y

el analisis funcional.

Quiza se podrıa situar la primera idea sobre ecuacion diferencial hacia finales del siglo XVI

y principios del siglo XVII en los trabajos realizados por John Napier (1,550-1,617) cuando

invento los logaritmos. Vistas las tablas confeccionadas por el, si se utilizara el simbolismo

moderno del calculo infinitesimal, se podrıan considerar como la resolucion numerica de una

ecuacion diferencial.

Las ecuaciones diferenciales encontraran un gran numero de aplicaciones durante la segunda

mitad del siglo XVIII. Su estudio llego a ser una de las disciplinas matematicas mas importantes

debido a su utilizacion como herramienta fundamental en el campo cientıfico y por la gran

cantidad de problemas practicos que con ellas se podıan resolver. Los matematicos mas famosos

del siglo XVIII contribuyeron enormemente al desarrollo de las ecuaciones diferenciales. Se

pueden citar de una manera especial por la importancia de sus trabajos en este campo a Euler

(1,707-1,783), Clairaut (1,713-1,765), D’Alembert (1,717-1,783), Daniel Bernoulli (1,700-1,782),

Lagrange (1,736-1,813) y Laplace (1,749-1,827). Se estudiaron los distintos tipos de ecuaciones

diferenciales integrables por cuadraturas, se elaboraron los primeros procesos de aproximacion

y se introdujeron conceptos fundamentales dentro de la teorıa como los de solucion singular y

solucion general de una ecuacion diferencial. Se estudiaron algunos tipos de ecuaciones de orden

superior y se elaboraron los cimientos para una teorıa geometrica de las ecuaciones en derivadas

parciales.

2 BOSQUEJO HISTORICO 9

La busqueda de soluciones aproximadas a problemas matematicos en general, es un proceso

antiguo. Se puede citar como ejemplo los polinomios de Taylor que aproximan a una funcion

o los polinomios interpoladores obtenidos por Newton y Lagrange para ajustar una funcion

polinomica a una tabla de n valores, o el metodo de Newton para hallar una solucion aproximada

de una ecuacion, o por ultimo, el metodo de Euler para el calculo de una solucion aproximada

de una ecuacion diferencial.

El primer estudio riguroso de la teorıa matematica encerrada en la resolucion numerica de

ecuaciones diferenciales se debe a Germund Dahlquist, matematico sueco (1,925-2,005) que

escribio su tesis en el ano 1,956, siendo publicada en 1,959. Es el primero en escribir una teorıa

que explique conceptos como estabilidad o el orden alcanzable.

3 OBJETIVO GENERAL 10

3. Objetivo General

Estudiar e implementar diferentes metodos numericos para resolver ecuaciones

diferenciales parciales tomando en cuenta los aspectos teoricos sobre estabilidad,

convergencia entre otros aspectos del analisis matematico.

4. Objetivos Especıficos

Explicar algunos de los metodos mas usados para resolver ecuaciones diferenciales parciales

de manera numerica.

Dar la teorıa basica necesaria para un estudio detallado del tema que nos ocupa.

Aplicar los metodos estudiados para resolver problemas parabolicos, mostrando la solucion

analıtica y la solucion numerica a la ecuacion de calor.

Aplicar los metodos estudiados para resolver problemas hiperbolicos, mostrando la solucion

analıtica y la solucion numerica a la ecuacion de onda.

Proveer los codigos de implementacion de los metodos estudiados en GNU Octave y MAT-

LAB.

Visualizar graficamente las soluciones a las ecuaciones diferenciales parciales estudiadas.

5 PRELIMINARES 11

5. Preliminares

5.1. Acerca de la ecuaciones diferenciales parciales.

5.1.1. ¿Que es una ecuacion diferencial parcial?

Una ecuacion en derivadas parciales (EDP) de orden n ∈ N es una ecuacion en la que aparece

una funcion desconocida que depende (al menos) de dos variables reales, junto a algunas de sus

derivadas parciales hasta orden n. Cuando la funcion incognita solo depende de una variable

real, se trata de una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) de orden n.

Se dice que una EDP es lineal si es lineal respecto de la funcion desconocida y de todas sus

derivadas parciales. En otro caso, se dice que es no lineal.

Dada una funcion u(x, y), es habitual utilizar la siguiente notacion abreviada para designar sus

derivadas parciales

∂u

∂x(x, y) = ux (x, y)

∂u

∂y(x, y) = uy (x, y)

∂2u

∂x2(x, y) = uxx (x, y)

∂2u

∂x∂y(x, y) = uxy (x, y)

∂2u

∂y∂x(x, y) = uyx (x, y)

∂2u

∂y2(x, y) = uyy (x, y) ...

A partir de ahora, supondremos que las funciones que manejamos son suficientemente regulares

de forma que todas las derivadas parciales que aparecen estan bien definidas y sean continuas.

Por otra parte, si la funcion u es de clase C en un cierto dominio (existen todas las derivadas

parciales o hasta orden 2 de dicha funcion y son continuas en el dominio), se sabe que uyx(x, y) =

uxy(x, y), gracias al Teorema de Schwarz (igualdad de las derivadas cruzadas). Por ello, en las

EDP de segundo orden solo aparecera uxy (y no uyx(x, y)). En general, es irrelevante el orden

en el cual se aplican k (o menos) derivadas parciales a una funcion de clase Ck en un cierto

dominio.

Definicion (Ecuacion diferencial en derivadas parciales) Se llama ecuacion diferencial en

derivadas parciales a la ecuacion de la forma:

F

(x1, x2, ..., xn, u,

∂u

∂x1

,∂u

∂x2

, ...,∂u

∂xn, ...,

∂mu

∂k1x1∂k2x2...∂knxn

)= 0 (5.1)

que relaciona las variables independientes xi ∀i = 1, 2, ..., n , la funcion que se busca y sus

derivadas parciales. Se cumple que ki ∀i = 1, 2, ..., n son enteros no negativos tales que k1 +k2 +

...+ kn = m.

Definicion (Orden) Se llama orden de una EDP, el orden superior de las derivadas parciales

que figuran en la ecuacion.

5 PRELIMINARES 12

Ası, por ejemplo si x, y son variables independientes, u = u(x, y) es la funcion buscada, entonces:

a) yux − xuy = 0 es una EDP de 1er orden

b) uxx − uyy = 0 es una EDP de 2do orden

Definicion (Solucion) Sea la EDP definida en (6.1) de orden m, se llama solucion de dicha

EDP en cierta region D de variacion de las xi, ∀i = 1, 2, · · ·, n a una funcion cualquiera u =

u(x1, x2, ..., xn) ∈ Cm(D) (conjunto de funciones continuas en la region D junto con todas las

derivadas de hasta orden m inclusive), tal que al sustituir u, y sus derivadas en (6.1) la ultima

se convierte en la identidad respecto a xi, ∀i = 1, 2, · · ·, n en la region D.

Algunas ecuaciones diferenciales parciales de problemas aplicados:

A continuacion se listan algunas de las ecuaciones diferenciales parciales mas importantes y los

fenomenos fısicos que gobierna:

La ecuacion de onda en tres variables (x, y, z) y tiempo t es

∂2u

∂t2=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

la funcion u representa el desplazamiento en el tiempo t de una partıcula cuya posicion de reposo

en (x, y, z). Con las condiciones de frontera apropiadas, esta ecuacion gobierna las vibraciones

de un cuerpo elastico tridimensional.

La ecuacion de calor es∂u

∂t=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

la funcion u representa la temperatura en el tiempo t en un cuerpo fısico en el punto que tiene

de coordenadas (x, y, z).

La ecuacion de laplace es∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0

gobierna la distribucion del estado estacionario de la temperatura en un cuerpo o la distribucion

del estado estacionario da la carga electrica en un cuerpo. La ecuacion de Laplace tambien

gobierna el potencial electrico, gravitacional y magnetico y el potencial de velocidad de flujos

de irrotacionales de fluidos incompresibles.

La ecuacion biarmonica es∂4u

∂x4+ 2

∂4u

∂x2∂y2+∂4u

∂y4= 0

se produce en el estudio de la tension elastica y de su solucion se puede conocer la tension

normal para un cuerpo elastico.

5 PRELIMINARES 13

Las ecuaciones de Navier-stokes son

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ u

∂u

∂y+∂p

∂x=

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ u

∂u

∂y+∂p

∂y=

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

donde u y v son componentes del vector velocidad en un flujo de fluido. La funcion p es la

presion, y el fluido se asume que es incompresible pero viscoso.

En tres dimensiones, los siguientes operadores son utiles al escribir muchas ecuaciones diferen-

ciales parciales estandar

∇ =∂

∂x+

∂

∂y+

∂

∂z

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2laplaciano

Por ejemplo, tenemos

Ecuacion de calor1

k

∂u

∂t= ∇2u

Ecuacion de difusion∂u

∂t= ∇ (d∇u) + ρ

Ecuacion de onda1

v2

∂2u

∂t2= ∇2u

Ecuacion de laplace ∇2u = 0

Ecuacion de poisson ∇2u = −4πρ

Ecuacion de helmhotz ∇2u = −k2u

La Ecuacion de Difusion con difusion contante d tiene la misma estructura que la ecuacion de

calor por que la transferencia de calor es un proceso de difusion.

Ejemplos adicionales de la mecanica cuantica, electromagnetismo, hidrodinamica, elasticidad,

y otros podrıan tambien ser dados, pero los cinco ecuaciones diferenciales parciales mostradas

ya exhiben una gran diversidad. Las ecuaciones de Navier-Stokes, en particular, ilustran un

problema complicado: un par de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, simultaneas.

Para encontrar una unica solucion a una ecuacion diferencial parcial, las condiciones iniciales

deben ser impuestas a la funcion solucion. Por lo general, estas condiciones se dan en forma

de valores de frontera que se prescriben en todo o en parte del perımetro de la zona en la que

se busca la solucion. La naturaleza de la frontera y los valores de frontera son por lo general

factores determinantes en la creacion de un esquema numerico apropiado para la obtencion de

la solucion aproximada.

5 PRELIMINARES 14

5.1.2. Las tres ecuaciones diferenciales parciales basicas.

Las tres ecuaciones diferenciales parciales basicas son: ondas, calor y Laplace/Poisson. Todas

las EDPs que estudiaremos a provienen de modelos fısicos: la vibracion vertical de las cuerdas

de una guitarra o la membrana de un tambor; la evolucion de la temperatura en piezas 1D, 2D

o 3D; los equilibrios elasticos y termicos de los problemas anteriores, etc. Esto proporciona una

valiosa intuicion del comportamiento que deben tener las soluciones de las EDPs consideradas

y podremos interpretar fısicamente los resultados obtenidos.

Podemos proponer una clasificacion de las EDP’s de segundo orden de dos o variables indepen-

dientes:

Definicion: Sea la EDP de segundo orden

A (x, y)∂2u (x, y)

∂x2+ 2B (x, y)

∂2u (x, y)

∂x∂y+ C (x, y)

∂2u (x, y)

∂y2+ a (x, y)

∂u (x, y)

∂x+

b (x, y)∂u (x, y)

∂y+ c (x, y)u (x, y) = f (x, y)

en cierta region Ω ⊂ R2. Se dice:

1. Hiperbolica en Ω si 4 = B2 − AC > 0 en Ω.

2.Parabolica en Ω si 4 = B2 − AC = 0 en Ω.

3.Elıptica en Ω si 4 = B2 − AC < 0 en Ω.

Matlab incluye una caja de herramientas para ecuaciones en derivadas parciales (PDE Toolbox)

que contiene muchos comandos para tareas como la que describe el dominio de una ecuacion, la

generacion de mallas, el calculo de soluciones numericas, y la grafica.

En Matlab, el comando pdetool invoca una interfaz grafica de usuario (GUI), que es un entorno

grafico independiente para la resolucion de ecuaciones diferenciales parciales. Uno dibuja el

dominio e indica el lımite, rellena los menus con el problema y las especificaciones de frontera,

y selecciona los botones para resolver el problema y la trama de los resultados.

Aunque esta interfaz puede proporcionar un entorno de trabajo comodo, hay situaciones en las

que se necesitan funciones de lınea de comandos para la flexibilidad adicional.

Por ejemplo, este software puede manejar las EDP de los siguientes tipos:

b∂u

∂t−∇ · (c∇u) + au = f Parabolica

b∂2u

∂t2−∇ · (c∇u) + au = f Hiperbolica

−∇ · (c∇u) + au = f Eliptica

5 PRELIMINARES 15

para x y y en dos dimensiones con dominio Ω.

La ecuacion del calor en 1D.

Consideramos la evolucion de la temperatura en una barra homogenea de longitud L sin focos

ni sumideros de calor internos. Notamos por u(x, t) la temperatura del punto x ∈ [0, L] en el

instante t ≥ 0. Tambien podemos considerar una barra de longitud infinita, en cuyo caso x ∈ R.

La EDP que modela la evolucion de la temperatura es

ut = k2uxx , t ∈ (0, L) , t > 0

El parametro k2 = κ/cρ > 0 depende de la conductividad termica κ, la densidad ρ y el calor

especıfico c del material que conforma la barra.

La ecuacion de ondas 1D (cuerda vibrante).

Consideramos el movimiento ondulatorio vertical de una cuerda vibrante horizontal de longitud

L de densidad constante y composicion homogenea no sometida a fuerzas externas. Notamos

por u(x, t) el desplazamiento vertical respecto la posicion de equilibrio del punto x ∈ [0, L] de

la cuerda en el instante t ∈ R. Tambien podemos considerar una cuerda vibrante de longitud

infinita, en cuyo caso x ∈ R. La EDP que modela el movimiento es

utt = c2uxx x ∈ (0, L) t ∈ R

Aquı los sımbolos utt y uxx denotan las segundas derivadas parciales respecto el tiempo y la

posicion, respectivamente. El parametro c > 0 depende de las propiedades fısicas del material

y sera interpretado a mas adelante como la velocidad a la que viajan las ondas en el material

considerado.

Equilibrios elasticos y termicos 1D.

Equilibrio significa que el estado del cuerpo no cambia, sino que se mantiene estacionario en el

tiempo, luego buscamos soluciones u = u(x) que no dependan del tiempo y ası desaparecen las

derivadas parciales ut y utt . En tal caso, las EDPs utt = c2uxx y ut = k2uxx se reducen a la

EDO lineal de segundo orden u′′ = 0, cuyas unicas soluciones son las funciones lineales de la

forma u(x) = ax+ b, con a, b ∈ R.

Queda probado pues que los unicos equilibrios elasticos de una cuerda vibrante o equilibrios

termicos de una barra son los estados (desplazamiento o temperatura) lineales.

Las versiones multidimensionales.

Antes de dar las versiones multidimensionales de las ecuaciones anteriores, necesitamos recordar

el operador Laplaciano 4. Dada una funcion u : Ω ⊂ Rn → R que depende de n variables

5 PRELIMINARES 16

x = (x1, ..., xn), su Laplaciano es la suma de sus n derivadas parciales dobles:

4u =n∑j=1

∂2u

∂x2j

= ux1x1 + ...+ uxnxn

Por ejemplo, si la funcion u depende de una unica variable x, entonces 4u = uxx. En cambio,

si depende de dos variables x, y, entonces 4u = uxx + uyy. Ademas, cuando la funcion dependa

de la posicion x = (x1, ..., xn) y el tiempo t, interpretaremos que el Laplaciano solo afecta a las

variables de posicion, sin incluir el termino utt .

Las versiones n-dimensionales de las ecuaciones anteriores son las siguientes.

La ecuacion de ondas que modela el movimiento ondulatorio de un cuerpo elastico Ω ⊂ Rn es

utt = c24 u, u = u (x, t) , x = (x1, ..., xn) ⊂ Ω, t ∈ R

La ecuacion del calor que modela la evolucion de la temperatura en un cuerpo Ω ⊂ Rn es

ut = k24 u, u = u (x, t) , x = (x1, ..., xn) ⊂ Ω, t > 0

Desde un punto de vista fısico, solo interesan los casos 1D, 2D o 3D. Es decir, n ≤ 3. Al igual que

en las versiones 1D estamos suponiendo que el cuerpo es completamente homogeneo y que no

existen fuerzas exteriores (ecuacion de ondas) ni fuentes o sumideros de calor internas (ecuacion

de calor).

La ecuacion de Laplace/Poisson.

A partir de las versiones n-dimensionales de las ecuaciones de ondas y calor, vemos que tanto

los equilibrios termicos como los equilibrios elasticos de un cuerpo Ω ⊂ Rn estan modelados por

la llamada ecuacion de Laplace

4u = 0, u = u (x, t) , x = (x1, ..., xn) ⊂ Ω

La ecuacion de Poisson es la version no homogenea de la ecuacion de Laplace. Consiste en, dada

una funcion F : Ω ⊂ Rn → R, buscar las soluciones de la ecuacion

4u = −F (x) , u = u (x, t) , x = (x1, ..., xn) ⊂ Ω

La ecuacion de Poisson admite muchas interpretaciones fısicas. Aquı tan solo mencionamos que

modela los equilibrios elasticos de un cuerpo Ω ⊂ Rn sometido a la accion de una fuerza externa

F (x).

5 PRELIMINARES 17

5.2. Aproximando las derivadas.

La determinacion de la derivada de la funcion f en el punto x no es un problema numerico

que sea tan facil, especıficamente, si f(x) se puede calcular con n dıgitos de precision, es difıcil

calcular f ′(X) numericamente con n dıgitos de precision. Esta dificultad se puede remontar a

la resta entre cantidades que son casi iguales. En esta seccion, estudiaremos varias alternativas

para el calculo numerico de f ′(x) y f ′′(X).

5.2.1. Formula para la primera derivada vıa series de taylor.

En primer lugar, consideremos el metodo, sobre la definicion de f(x). El cual consiste en selec-

cionar uno o mas valores pequenos para h y escribimos:

f ′ (x) ≈ 1

h[f (x+ h)− f (x)]

¿Cual es el error involucrado en esta formula?, para encontrarlo usamos el Teorema de taylor

(suponga que f ∈ Cn [a, b], que f (n+1) existe en [a, b] y x0 ∈ [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] , existe

un numero ξ (x) entre x0 y x tal que f (x) = Pn (x) +Rn (x) donde

Pn = f (x0)+f ′ (x0) (x− x0)+1

2!f ′′ (x0) (x− x0)2+...+

1

n!f (n) (x0) (x− x0)n =

n∑k=0

1

k!f (k) (x0) (x− x0)k

y

Rn =1

(n+ 1)!f (n+1) (ξ (x)) (x− x0)n+1 .

En ente caso, Pn (x) es el n-esimo polinomio de Taylor para f con respecto a x0 y Rn (x) se

llama el termino del residuo o error de truncamiento asociado a Pn (x). La serie infinita obtenida

al tomar el limite de Pn (x) cuando n→∞ es la serie de taylor para f entorno a x0.)

f (x+ h) = f (x) + hf ′ (x) +1

2h2f ′′ (ξ)

arreglado esta ecuacion tenemos

f ′ (x) =1

h[f (x+ h)− f (x)]− 1

2hf ′′ (ξ)

Entonces vemos que la aproximacion dada tiene un error de 12hf ′′ (ξ) = O (h), donde ξ esta en

el intervalo que tiene por puntos finales x y x+ h.

Esa ultima ecuacion muestra que en general cuando k → 0, la diferencia entre f ′ (x) y la

estimacion h−1 [f (x+ h)− f (x)] se aproxima a cero con la misma tasa que h lo hace, es decir

O (h). De hecho, si f ′′ (x) = 0, entonces el termino del error seria 16hf ′′′ (γ), el cual converge a

cero con la misma rapidez que O (h2), pero usualmente f ′′ (x) no es cero.

Es ventajoso tener una convergencia en los procesos numericos que se aproxime a cero con

potencias superiores, para el caso queremos aproximar f ′ (x) con un error que se comporte

5 PRELIMINARES 18

como O (h2), para obtenerlo desarrollamos las dos series de Taylor

f (x+ h) = f (x) + hf ′ (x) +1

2!h2f ′′ (x) +

1

3!h3f ′′′ (x) +

1

4!h4f (4) (x) + ... (5.2)

f (x− h) = f (x)− hf ′ (x) +1

2!h2f ′′ (x)− 1

3!h3f ′′′ (x) +

1

4!h4f (4) (x)− ... (5.3)

y restando tenemos

f (x+ h)− f (x− h) = 2hf ′ (x) +2

3!h3f ′′′ (x) +

2

5!h5f (5) (x) + ...

Esto conduce a una formula muy importante para aproximar f ′ (x):

f ′ (x) =1

2h[f (x+ h)− f (x− h)]− 1

3!h2f ′′′ (x)− 1

5!h4f (5) (x)− ...

Expresando de otro modo

f ′ (x) ≈ 1

2h[f (x+ h)− f (x− h)]

con un termino para el error de − 13!h2f ′′′ (x) que hace que sea O (h2).

5.2.2. Formulas para la segunda derivada a traves de series de taylor

En la solucion numerica de las ecuaciones diferenciales, a menudo es necesario aproximar segun-

das derivadas. Vamos a deducir la formula mas importante para lograr esto. Basta con sumar

las dos series de Taylor de la ecuacion (5.2) , (5.3) y se obtiene

f (x+ h) + f (x− h) = 2f (x) + 2h2f ′′ (x) + 2

[1

4!h4f (4) (x) + ...

]cuando despejamos f ′′ (x) obtenemos

f ′′ (x) =1

h2[f (x+ h)− 2f (x) + f (x− h)] + E

donde el error de la serie es

E = −2

[1

4!h2f (4) (x) +

1

6!h4f (6) (x) + ...

]y llevando a cabo el mismo proceso usando la formula de taylor con resto, se obtiene que

E = − 112h2f (4) (ξ) para algun ξ en el intervalo (x− h, x+ h). Y hemos obtenido la aproximacion

f ′′ (x) ≈ 1

h2[f (x+ h)− 2f (x) + f (x− h)]

con error O (h2)

5 PRELIMINARES 19

5.3. El metodo de diferencias finitas.

Estudiaremos un procedimiento para aproximar la derivada de una funcion f (x) en el punto x,

esta derivada esta definida como

f ′ (x) = lımh→0

4f (x)

h

donde 4f(x)h

es conocido como el cociente diferencial de f (x) en x y 4f (x) es definido por

4f (x) := f (x+ h)− f (x)

5.3.1. La notacion ”big o”

Definicion. Se dice que f(h) es de orden g(h) cuando h → 0 y h 6= 0, se denotara por

f(h) = O(g(h)), si existen numeros reales M > 0 y k > 0 tales que,

|f(h)| ≤M |g(h)|

siempre que |h| < k.

Definicion. Sean p y f funciones, se dice que p(h) aproxima a f(h) con un orden de aproxi-

macion O(hn), lo que se denota por f(h) = p(h) +O(hn), si existe un numero real M > 0 y un

numero natural n tales que,|f(h)− p(h)||hn|

≤M

para h suficientemente pequeno.

Al considerar el caso en que p(x) es la n-esima aproximacion por polinomios de Taylor a f(x)

alrededor de x0 , es decir

f(x) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

para algun c entre x y x0. Cuando x− x0 → 0, por la definicion anterior se tiene que

O((x− x0)n+1) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

ası

f(x) = p(x) +O((x− x0)n+1)

es decir, p(x), con p(x) el primer termino del lado derecho de la igualdad, se aproxima a f(x)

con un orden de aproximacion O((x−x0)n+1). Luego, el Teorema de Taylor o se puede enunciar

de la siguiente forma:

5 PRELIMINARES 20

Teorema (Teorema de Taylor). Si f ∈ Cn+1 [a, b] y x0 ∈ [a, b], entonces para cada x ∈ [a, b],

f (x0 + h) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!hk +O

(hn+1

)donde h = x− x0.

La derivada f ′ (x) es un caso de una cantidad numerica Q definida como

Q = lımh→0

F (h)

donde F (h) es la formula que aproxima a Q. De hecho Q puede ser obtenida hasta la precision

definida usando Q ≈ F (h) donde h es suficientemente pequeno.

El error cometido en la aproximacion es dado por σ (h) = |Q− F (h)| y es conocido como el

error de truncamiento. Este error es inherente a la formula F (h) .

Es deseable conocer la tasa a la que σ (h) decae cuando h → 0. Esto es normalmente hecho

encontrando el termino significativo de la serie de Maclaurin de σ (h). Expresando σ (h) como

σ (h) = cnhn + cmh

m + ...

donde n < m y ci son constantes. Cuando esto ocurre decimos que la aproximacion F (h) para

Q es de n-esimo orden.

Como ilustracion, supongamos que queremos aproximar la solucion exacta del valor de la funcion

f en el punto x + h en la proximidad del punto x. La aproximacion obvia de n-esimo orden es

el polinomio de Taylor Pn (x+ h) el cual establece:

f (x+ h) = f (x) + f ′ (x)h+ ...+ fn (x)hn

n!+Rn (x, h)

donde

Pn (x+ h) := f (x) + f ′ (x)h+ ...+ fn (x)hn

n!

y Q = f (x+ h) y la aproximacion es f (x+ h) = Pn (x+ h). El error de truncamiento es dado

por :

σ (h) = Rn (x, h) =fn+1 (x)hn+1

(n+ 1)!+fn+2 (x)hn+2

(n+ 2)!+ ...

el termino significativo de σ (h) es entonces fn+1(x)hn+1

(n+1)!.

Cuando decimos que la aproximacion Q ≈ f (x+ h) es de n-esimo orden, estamos diciendo que

cnhn (donde c es una constante) es el termino significativo de la serie de Maclaurin para σ (h). En

esta caso podemos escribir que σ (h) = O (hn) o equivalentemente escribimos Q = F (h)+O (hn)

5 PRELIMINARES 21

denotando que O (hn) decrece con cnhn. Esto debido a que

σ (h) = cnhn

(1 +

cmcnhm−n + ...

)

y que(

1 + cmcnhm−n + ...

)→ 1 cuando h→ 0.

Consecuentemente, cuando cn 6= 0 tenemos σ (h) = O (hn)⇒ σ (h) ≈ cnhn cuando h ≈ 0.

5.3.2. El uso de 4f (x) /h para aproximar f ′ (x)

La primera aproximacion que podemos hacer a la derivada f ′ (x) consiste en usar el cociente

diferencial para aproximarla en el punto x, es decir f ′ (x) ≈ 4f(x)h

donde h ≈ 0. Queremos

usar la expresion anterior para determinar el orden de la aproximacion. Comenzamos por la

expansion de Maclaurin de f (x) en el punto x+ h:

f (x+ h) = f (x) + f ′ (x)h+ ...+ fn (x)hn

n!+Rn (x, h)

de la expresion anterior obtenemos

f ′ (x) =f (x+ h)− f (x)

h− f ′′ (x)

h

2− ...− fn (x)

hn−1

n!

donde podemos interpretar Q = f ′ (x) , F (h) = f(x+h)−f(x)h

y σ (h) = f ′ (x)− 4f(x)h

.

Observe que la aproximacion f ′ (x) = f(x+h)−f(x)h

es exacta cuando f ′ (x) es lineal. Ademas, esta

aproximacion es de primer orden, es decir O (h) y es conocida con el nombre de aproximacion

en avance de Euler si h > 0, o Euler en retroceso si h < 0.

5.3.3. La aproximacion de O (h2) para f ′ (x)

Substrayendo

f (x− h) = f (x)− f ′ (x)h+ f 2 (x)h2

2− f 3 (x)

h3

3!+ ...

de

f (x+ h) = f (x) + f ′ (x)h+ f 2 (x)h2

2+ f 3 (x)

h3

3!+ ...

los terminos asociados a las derivadas de orden par se cancelan y queda

f ′ (x) =f (x+ h)− f (x− h)

h− f 3 (x)

h2

6− f 5 (x)

h4

120− ...

De esta forma se obtiene la aproximacion de diferencias centradas de f ′ (x) en x:

F (h) =δf (x)

2h=f (x+ h)− f (x− h)

2h

que es de segundo orden O (h2) es decir σ (h) ≈ −f3(x)6

h2.

5 PRELIMINARES 22

5.4. Desarrollos de fourier

Ahora vamos a introducir las series de Fourier. Estas surgieron historicamente al resolver por el

metodo de separacion de variables un problema de contorno de ecuaciones en derivadas parciales.

Cuando estas formulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1,753, muchos matematicos

pensaron que era imposible expresar una funcion f(x) cualquiera como suma de senos y cosenos.

Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargo de recopilar datos para convencer al mundo

cientıfico de tal posibilidad.

Utilizaremos las siguientes formulas para calcular desarrollos de Fourier.

El desarrollo de Fourier completo de una funcion f : [−L,L]→ R es

f (x) ∼ a0

2+∑n≥1

an cos(nπxL

)+ bn sin

(nπxL

),

an = 1L

´ L−L f (x) cos

(nπxL

)dx

bn = 1L

´ L−L f (x) sin

(nπxL

)dx

Este hecho se basa en que el sistema de vectores

1, sin(πxL

), sin

(2πxL

)..., cos

(πxL

), cos

(2πxL

), ...

es un sistema ortogonal de funciones con respecto del producto escalar (f (x) , g (x)) =´ L−L f (x) g (x) dx.

Analogamente se puede definir la serie de Fourier de una funcion f(x) definida en un intervalo

[a, b] haciendo una traslacion del punto medio a+b2

al origen. Tomo L = b − a+b2

= b−a2

y

−L = a− a+b2

= a−b2

.

Definicion. Se llama serie de Fourier de una funcion f(x) en el intervalo [a, b] a

f (x) ∼ a0

2+∑n≥1

an cos

(nπxb−a

2

)+ bn sin

(nπxb−a

2

)donde

an =2

b− a

ˆ b

a

f (x) cos

(2nπx

b− a

)dx y bn =

2

b− a

ˆ b

a

f (x) sin

(2nπx

b− a

)dx

.

Definicion (Funcion par, funcion impar)

Decimos que una funcion f(x) es par si f(−x) = f(x). Decimos que una funcion f(x) es impar

si f(−x) = −f(x).

Propiedades

El producto de dos funciones pares es par. El producto de dos funciones impares es par. El

producto de una funcion par por una impar es impar.

Si f (x) es par ⇒´ a−a f (x) dx = 2

´ a0f (x) dx. Si f (x) es impar ⇒

´ a−a f (x) dx = 0.

El desarrollo de Fourier en cosenos de una funcion f : [0, L]→ R es (Sea f(x) una funcion par.)

f (x) ∼ a0

2+∑n≥1

an cos(nπxL

), an =

2

L

ˆ L

0

f (x) cos(nπxL

)dx

5 PRELIMINARES 23

donde

an =1

L

ˆ L

−Lf (x) cos

(nπLx)dx =

2

L

ˆ L

0

f (x) cos(nπxL

)dx

por ser f (x) y cos (x) funciones pares con lo que el producto es tambien una funcion par.

bn = 1L

´ L−L f (x) cos

(nπLx)dx = 0 por ser el producto de una funcion par (f (x)) por una impar

(sin (x)) un funcion impar.

Es decir, la serie de Fourier de una funcion par en el intervalo [−L,L] es una serie en la que solo

aparecen cosenos.

El desarrollo de Fourier en senos de una funcion f : [0, L]→ R es (f (x)una funcion impar)

f (x) ∼∑n≥1

bn sin(nπxL

), bn =

2

L

ˆ L

0

f (x) sin(nπxL

)dx

Haciendo calculos analogos se obtiene a0 = an = 0 Es decir, la serie de Fourier de una funcion

impar en el intervalo [−L,L] es una serie en la que solo aparecen senos.

5.5. Definiciones del algebra lineal

Definicion. Se dice que una matriz A de n×n es invertible, si existe una matriz A=1 de n×n,

con AA=1 = A=1A = I, donde I es la matriz identidad. La matriz A=1 se llama inversa de A.

Una matriz que no tiene inversa se le da el nombre de no invertible o singular.

Definicion. (Matriz tridiagonal) Una matriz A = (aij) de n×n se dice tridiagonal si aij = 0,

siempre que |i− j| > 1, esto es

a11 a12 0 . . . . . . 0

a21 a22 a23. . .

...

0 a32 a33 a34. . .

......

. . . . . . . . . . . . 0...

. . . . . . . . . an−1,1

0 . . . . . . 0 an,n−1 ann

5.5.1. Sistemas tridiagonales y banda

En muchas aplicaciones, se encuentran sistemas lineales extremadamente grandes que tienen

estructura de banda. Las matrices banda a menudo ocurren en la solucion de ecuaciones difer-

enciales ordinarias y parciales. Es ventajoso desarrollar codigos computacionales disenados es-

pecıficamente para tales sistemas lineales, ya que reducen la cantidad de espacio utilizado.

En la practica es importante el sistema tridiagonal. Aquı, todos los elementos distintos de

cero en la matriz de coeficientes deben estar en la diagonal principal o en las dos diagonales

5 PRELIMINARES 24

justo por encima y por debajo de la diagonal principal (por lo general llamada superdiagonal y

subdiagonal, respectivamente):

d1 c1

a1 d2 c2

a2 d3 c3

. . . . . . . . .

ai−1 di ci. . . . . . . . .

an−2 dn−1 cn−1

an−1 dn

x1

x2

x3

...

xi...

xn−1

xn

=

b1

b2

b3

...

bi...

bn−1

bn

(5.4)

Todos los elementos que no estan en las diagonales mostradas son 0´s . Una matriz tridiagonal

es caracterizada por la condicion aij = 0 si |i− j| ≥ 2. En general se dice que una matriz tiene

estructura de banda si existe un entero k (menor que n) tal que aij = 0 siempre que |i− j| ≥ 2.

Los requisitos de almacenamiento de una matriz banda son menores que los de una matriz en

general, del mismos tamano. Entonces, una matriz diagonal n×n requiere solo n localizaciones

en la memoria de una computadora, y una matriz tridiagonal requiere solo 3n − 2. Este hecho

es importante si se utilizan matrices banda de orden muy grande.

Para matrices banda, el algoritmo de eliminacion gaussiana podrıa hacerse muy eficiente si se

sabe de antemano que el pivoteo es innecesario, a continuacion se desarrollara un codigo para

resolver un sistema tridiagonal.

5.5.2. Sistemas tridiagonales

La rutina que se describe en el procedimiento tri, desarrollado en el libro de Cheney Kincaid,

Numerical Mathematics and Computing, sexta edicion (pag 281), esta disenado para resolver

un sistema lineal de n ecuaciones con n incognitas, como el que se muestra en la ecuacion (5.4)

.

Tanto la fase de eliminacion hacia adelante y la fase de sustitucion hacia atras se incorporan

en el procedimiento, y ningun pivote es usado, es decir, las ecuaciones de pivote son los dados

por el ordenamiento natural 1, 2, ..., n. Por lo tanto, se utiliza eliminacion de Gauss de forma

trivial.

En el paso 1, restamos a1/d1 veces la fila 1 a la fila 2, creando ası un 0 en la posicion a1. Solo

las entradas d2 y b2 son alteradas. Observe que c2 no se altera.

En el paso 2, se repite el proceso, utilizando la nueva fila 2 como la fila pivote. Ası es como el

5 PRELIMINARES 25

di´s y de bi’s se modifican en cada paso:d2 ← d2 −(a1d1

)c1

b2 ← b2 −(a1d1

)b1

y en general, obtenemos di ← di −(ai−1

di−1

)ci−1

bi ← bi −(ai−1

di−1

)bi−1

(2 ≤ i ≤ n)

Al final de la fase de eliminacion hacia adelante, la forma del sistema es el siguiente:

d1 c1

d2 c2

d3 c3

. . . . . .

di ci. . . . . .

dn−1 cn−1

dn

x1

x2

x3

...

xi...

xn−1

xn

=

b1

b2

b3

...

bi...

bn−1

bn

Por supuesto, que los bi’s y di’ s no son lo que eran en el comienzo de este proceso, pero los ci’s

si lo son.

La fase de sustitucion hacia atras resuelve de xn, xn−1, ..., x1 como sigue:

xn ←bndn

xn−1 ←1

dn−1

(bn−1 − cn−1xn)

Finalmente, obtenemos xi ← 1di

(bi − cixi+1) para i = n− 1, n− 2, ..., 1.

En el procedimiento Tri para un sistema tridiagonal, utilizamos vectores (ai), (di), y (ci) de las

diagonales de la matriz de coeficientes y el vector (bi) para el lado derecho, y para que guarde

la solucion el vector (xi)

5 PRELIMINARES 26

Note que se estan modificado los datos originales en los vectores (di) y (bi).

Al analizar detenidamente este procedimiento, se puede apreciar que no es necesario darle al

programa el valor n y el vector (xi) que guarda la solucion del sistema tridiagonal. En Matlab

podemos adecuar este procedimiento para que sea una funcion que nos devuelva la solucion (xi),

asi

function x = tri(a,d,c,b)

%tri a,d,c,b y x son vectores de longitud n devuelve vector x sol del

sistema tridiagonal

%A*x=b donde A(1:n,1:n)=d; A(1:n-1,2:n)=a; A(2:n,1:n-1)=c;

%ejemplo: resolver [1 4 0;2 -1 1; 0 -2 1][x ;y ;z]=[17 9 4]

%a=[2 2 0]; d=[1 -1 -1]; c=[4 1 0]; b=[17 9 4];

%tri(a,d,c,b)

n1=length(a); n2=length(b); n3=length(c); n4=length(d);

if n1~=n2 || n1~=n3 || n1~=n4

error(’a,b,c y d tienen que tener la misma longitud.’)

end

%longitud comun

n = n1;

for i=2:n

xmult=a(i-1)/d(i-1);

d(i)=d(i)-xmult*c(i-1);

b(i)=b(i)-xmult*b(i-1);

end

x(n)=b(n)/d(n);

for i=n-1: -1:1;

x(i)=( b(i)-c(i)*x(i+1) ) / d(i);

5 PRELIMINARES 27

end

end

Por ejemplo, Resolver el sistema tridiagonal

x1 +4x2 = 17

2x1 −x2 +x3 = 9

2x2 −x3 = 4

Los vectores para nuestra funcion son: a = [2, 2, 0], d = [1,−1,−1] ,c = [4, 1, 0] y b = [17, 9, 0]

y la solucion es x = [5, 3, 2].

Los sistemas tridiagonales aparecen en problemas con ecuaciones diferenciales parciales aplican-

do el metodo de Crank-Nicolson para encontrar la solucion (Vease 6.5). En los cuales usaremos

bastante esta funcion tri en Matlab.

5.6. Condiciones iniciales y condiciones de frontera.

Cuando la ecuacion estudiada tienen infinitas soluciones y queremos tener una solucion concreta

anadiremos a la ecuacion un numero adecuado de condiciones adicionales, que pueden ser de

dos tipos.

5.6.1. Condiciones iniciales: posicion, velocidad y temperatura.

Estas condiciones fijan el estado del objeto en el instante inicial. Empezamos por la ecuacion

de onda, que es de segundo orden en el tiempo, luego necesita exactamente dos condiciones

iniciales; a saber, fijar

La posicion inicial : u(x, 0) = f(x) para x ∈ Ω; y

La velocidad inicial : ut(x, 0) = g(x) para x ∈ Ω.

En cambio, la ecuacion del calor es de primer orden en el tiempo, luego basta fijar la temperatura

inicial : u(x, 0) = f(x) para x ∈ Ω. Y, para acabar, la ecuacion de Laplace es estatica, luego no

tiene sentido fijar el estado inicial del objeto, ya que ese estado es justamente la incognita del

problema. Serıa como preguntar de que color es el caballo blanco de Santiago.

5.6.2. Condiciones de frontera: dirichlet (valor fijo) y neumann (flujo fijo).

Estas condiciones (tambien llamadas condiciones de contorno) determinan la interaccion del

objeto con el medio que lo rodea, luego solo tienen sentido cuando el objeto estudiado tiene

frontera. Por ejemplo, (En la ecuacion de ondas) la cuerda vibrante infinita no tiene frontera y

las cuerdas de una guitarra sı. Hay de dos tipos de condiciones de frontera.

5 PRELIMINARES 28

Tipo Dirichlet : Consisten en fijar el valor de la funcion incognita en los puntos de la frontera.

Tipo Neumann: Consisten en “fijar el flujo” (es decir, el valor de la derivada en la direccion

normal a la frontera) de la funcion incognita en los puntos de la frontera.

Diremos que estas condiciones son homogeneas cuando el valor (o el flujo) fijado sea igual a

cero.

Ejemplo 1. Un PVI de calor 1D en una barra de longitud L con condiciones de frontera de

tipo Neumann consiste en las ecuaciones

ut = k2uxx x ∈ (0, L) t > 0

u (x, 0) = f (x) x ∈ (0, L)

ux (0, t) = h1 (t) t > 0

ux (L, t) = hr (t) t > 0

donde la temperatura f : [0, L]→ R y los flujos h1, hr : [0,+∞)→ R son funciones conocidas.

Ejemplo 2. Un problema de Poisson 2D en un cuadrado de lado 2L con condiciones de frontera

de tipo Dirichlet homogeneas consiste en unas ecuaciones de la formauxx + uyy = G (x, y) x ∈ (−L,L) y ∈ (−L,L)

u (±L, y) = 0 y ∈ (−L,L)

u (x,±L) = 0 x ∈ (−L,L)

5.6.3. Algunas leyes de conservacion para la ecuacion de calor

Para entender porque se han denominado a las condiciones de tipo Neumann como condiciones

de“flujo fijo”, vamos a explicar una ley de conservacion referente a la evolucion de la temperatura

en una barra. Sea u(x, t) una solucion del problema considerado en el ejemplo 1 e introducimos

la funcion

T (t) =1

L

ˆ L

0

u(x, t)dx

que mide la temperatura promedio de la barra en el instante t. Su derivada es

T ′ (t) =1

L

ˆ L

0

ut(x, t)dx =k2

L

ˆ L

0

uxx(x, t)dx =k2

L[ux (x, t)]x=L

x=0 =k2

L(hr (t)− h1 (t))

Las propiedades que hemos usado son: derivada bajo el signo de la integral (primera igualdad),

la ecuacion del calor (segunda), el teorema fundamental del calculo (tercera) y las condiciones

de frontera (cuarta). Por tanto, la diferencia hr(t)=h1(t) nos dice cual es la tasa de variacion

de la temperatura promedio T (t). En otra palabras, las funciones hr(t) y h1(t) nos dicen a que

velocidad se escapa/entra el calor por los extremos de la barra.

Pregunta. ¿Que signo deben tener hr(t) y h1(t) para que tengamos una entrada continua de

5 PRELIMINARES 29

calor por los extremos derecho e izquierdo, respectivamente? (Respuesta: La primera funcion

debe ser positiva y la segunda negativa.)

Por ejemplo, cuando las condiciones de Neumann son homogeneas: hr(t) = h1(t) ≡ 0, vemos

que la temperatura promedio se mantiene constante, ya que la barra esta aislada termicamente

(ni entra, ni sale calor por los extremos).

Pregunta. La temperatura promedio tambien se conserva, pese a que existe flujo de calor por

los extremos, cuando hr(t) = h1(t) 6= 0. ¿Como se explica esto? (Respuesta: El calor que entra

por un extremo, escapa por el otro.)

Observacion. Si aislamos termicamente un cuerpo multidimensional, el promedio de su temper-

atura tambien se mantiene constante.

5.6.4. Linealidad: superposicion y homogeneizacion.

Existen varios trucos simples que se pueden aplicar en todos los problemas lineales que aparecen

en este tema, pero los explicaremos a traves de ejemplos concretos para no dispersarnos.

Superposicion. Consideramos los dos PVIs de calor 1D en una barra de longitud L dados por

vt = k2vxx x ∈ (0, L) t > 0

v (x, 0) = f (x) x ∈ (0, L)

vx (0, t) = 0 t > 0

vx (L, t) = 0 t > 0

,

wt = k2wxx x ∈ (0, L) t > 0

w (x, 0) = 0 x ∈ (0, L)

wx (0, t) = h1 (t) t > 0

wx (L, t) = hr (t) t > 0

Ambos problemas tienen condiciones de frontera de tipo Neumann. La diferencia estriba en

que el primero tiene una unica condicion no homogenea: la temperatura inicial, mientras que el

segundo tiene dos: las condiciones de frontera en los extremos de la barra.

Entonces, dadas dos soluciones cualesquiera v(x, t) y w(x, t) de estos problemas, su superposicion

(suma) u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) es una solucion del PVI de calor 1D presentado en el ejemplo

1, que tiene tres condiciones no homogeneas.

En general, podemos “trocear” cualquier problema lineal en varios subproblemas de forma que

cada subproblema tenga pocas (quiza incluso solo una) ecuaciones/condiciones no homogeneas,

siendo, por tanto, mas simple que el problema original. En tal caso, si conseguimos resolver todos

los subproblemas, la superposicion (suma) de sus soluciones cumplira el problema original.

Homogeneizacion. Este truco es similar al anterior, pero en vez de “trocear” el problema

original en varios subproblemas simples, ahora queremos simplificarlo mediante un cambio de

variables astuto.

Para fijar ideas, consideramos el PVI de calor 1D en una barra de longitud L = 1 con condiciones

de frontera de tipo Dirichlet constantes

5 PRELIMINARES 30

ut = k2uxx x ∈ (0, 1) t > 0

u (x, 0) = x2 x ∈ (0, 1)

u (0, t) = 1 t > 0

u (1, t) = 2 t > 0

La funcion v(x) = x + 1 cumple las condiciones de frontera: v(0) = 1 y v(1) = 2. Por tanto, si

realizamos el cambio de variables w(x, t) = u(x, t)− v(x), el problema original se transforma en

wt = k2wxx x ∈ (0, 1) t > 0

w (x, 0) = x2 − x− 1 x ∈ (0, 1)

w (0, t) = 0 t > 0

w (1, t) = 0 t > 0

que es un problema bastante mas simple pues hemos homogeneizado las dos condiciones de

frontera, sin deshomogeneizar la EDP.

5.6.5. Separacion de variables en la ecuacion del calor 1d.

Objetivo. En este ejemplo del metodo de separacion de variables, veremos que al resolver la

ecuacion del calor 1D con condiciones de contorno de tipo Dirichlet constantes, la temperatura

tiende o al equilibrio termico (en ingles, steady state). Homogeneizaremos las condiciones de

contorno antes de separar variables mediante un cambio de variables “astuto”.

Problema fısico. Tenemos una barra de longitud L > 0 compuesta por un material de conduc-

tividad termica κ, densidad ρ y calor especıfico c. Notamos k2 = κ/cρ. La temperatura inicial

de la barra viene dada por una funcion f : [0, L] → R. Finalmente, mantenemos constante la

temperatura de la barra en ambos extremos: α ∈ R es la temperatura en el izquierdo y β ∈ Res la temperatura en el derecho.

Modelo matematico. Las ecuaciones que modelan este problema son

ut = k2uxx x ∈ (0, L) t > 0

u (x, 0) = f (x) x ∈ (0, L)

u (0, t) = α t > 0

u (L, t) = β t > 0

Pasos del metodo.

1. Encontrar unas funciones v(x) y g(x) tales que el cambio de variables w(x, t) = u(x, t)=v(x)

transforme el problema original en el problema con condiciones de contorno homogeneas

5 PRELIMINARES 31

(∗)

wt = k2wxx x ∈ (0, L) t > 0

w (x, 0) = g (x) x ∈ (0, L)

w (0, t) = 0 t > 0

w (L, t) = 0 t > 0

Expresar v(x) y g(x) en terminos de las cantidades α, β, L y de la funcion f(x).

2. Imponer que w(x, t) = X(x)T (t) cumpla la parte homogenea del problema (*). Escribir el e

PVF asociado a la funcion X(x) y el problema asociado a la funcion T (t).

3. Resolver el PVF asociado a la funcion X(x).

4. Teniendo en cuenta los VAPs del PVF anterior, resolver el problema asociado a T (t).

5. Calcular los modos normales (es decir, las FUPs) de la parte homogenea del problema (*).

6. Probar que, a nivel formal, la solucion del problema original cumple lımt→+∞ u(x, t) = v(x)

7. Interpretar fısicamente estos resultados.

Desarrollo del metodo.

1. Al imponer que la funcion w(x, t) = u(x, t)− v(x) cumpla la EDP wt = k2wxx resulta

0 = wt − k2wxx = (ut − k2uxx)− (vt − k2vxx) = 0− k2v′′(x)⇒ v′′(x) = 0

Al imponer que la funcion w(x, t) = u(x, t)− v(x) cumpla las condiciones de contorno queda0 = w(0, t) = u(0, t)− v(0) = α− v(0)⇒ v(0) = α

0 = w(L, t) = u(L, t)− v(L) = β − v(L)⇒ v(L) = β

La unica funcion v(x) tal que v′′(x) = 0, v(0) = α y v(L) = β es v(x) = α + (β − α)x/L. La

grafica de la funcion v(x) es la linea recta que une los puntos (0, α) y (L, β).

Finalmente, g(x) = w(x, 0) = u(x, 0)− v(x) = f(x)− α + (α− β)x/L.

2. Al imponer que la funcion w(x, t) = X(x)T (t) cumpla:

La ecuacion del calor wt = k2wxx , se obtiene que X(x)T ′(t) = k2X ′′(x)T (t), luego

X ′′ (x)

X (x)=

T ′ (t)

k2T (t)= λ ∈ R

La condicion de frontera w(0, t) = 0, vemos que indica X(0) = 0 y

La condicion de frontera w(L, t) = 0, vemos que X(L) = 0.

5 PRELIMINARES 32

Por tanto, obtenemos dos problemas separados:

(a)

X ′′(x)− λX(x) = 0

X(0) = X(L) = 0(b)T ′(t)− λk2T (t) = 0

El problema (a) es un PVF asociado a la funcion X(x).

3. Sabemos del tema Ecuaciones Lineales que la solucion del PVF asociado a la funcion X(x)

es; n ≥ 1

VAPs: λ = λn = −n2π2/L2

FUPs: X (x) = Xn (x) = sin (nπx/L)

4. La solucion de problema (b) para λ = λn = −n2π2/L2 es T (t) = Tn (t) = exp (−n2k2π2t/L)

, n ≥ 1.

5. Ası pues, los modos normales (las FUPs) de la parte homogenea del problema (*) son

wn (x, t) = Tn (t)Xn (x) = exp(−n2k2π2t/L

)sin(nπxL

)n ≥ 1

Teniendo en cuenta que Xn(x) es una funcion acotada y Tn(t) tiende a cero cuando t → +∞,

resulta que lımt→+∞wn(x, t) = 0 para toda x ∈ (0, L) y para todo entero n ≥ 1.

6. La solucion final w(x, t) =∑

n≥1 bnwn (x, t) del problema (*) se determina imponiendo la

condicion no homogenea

g (x) = w (x, 0) =∑n≥1

bnwn (x, 0) =∑n≥1

bn sin(nπxL

)

Es decir, bn = 2L

´ L0g(x) sin

(nπxL

)dx, n ≥ 1, son los coeficientes del desarrollo de Fourier en

senos de la funcion g(x) en el intervalo [0, L]. Por tanto, deshaciendo el cambio de variables, la

solucion u(x, t) = v(x) + w(x, t) del problema original cumple

lımt→+∞

u (x, t) = v (x) + lımt→+∞

w (x, t) = v (x) +∑n≥1

bn lımt→+∞

wn (x, t) = v (x)

7. Hemos probado que cuando el tiempo tiende a infinito, la temperatura tiende al equilibrio

termico consistente en que la temperatura viene dada por la recta que une las temperaturas e en

los extremos. Algo acorde con nuestra experiencia fısica, la cual nos ensena que el calor tiende

a distribuirse de la forma mas uniforme posible.

6 PROBLEMAS PARABOLICOS 33

6. Problemas parabolicos

6.1. La ecuacion del calor 1D.

Consideramos la evolucion de la temperatura en una barra homogenea de longitud L sin focos

ni sumideros de calor internos. Notamos por u(x, t) la temperatura del punto x ∈ [0, L] en el

instante t ≥ 0. Tambien podemos considerar una barra de longitud infinita, en cuyo caso x ∈ R.

La EDP que modela la evolucion de la temperatura es

ut = αuxx , t ∈ (0, L) , t > 0

El parametro α = k/cρ depende de la conductividad termica k, la densidad ρ y el calor especıfico

c del material que conforma la barra.

Deduccion de la ecuacion del Calor unidimensional

Sea una varilla delgada de longitud L, ubicada a lo largo del eje x y sea u(x, t) la funcion de

temperatura en cada punto de la misma y en cualquier instante t; en este modelo se considera que

la temperatura en una seccion transversal A, es la misma para todos sus puntos; dependiendo

solamente de su posicion en x.

Se considera ası un elemento comprendido entre dos secciones ubicadas en x y (x + ∆x). Si la

varilla tiene las siguientes caracterısticas:

Es homogenea, es decir densidad constante: ρ; Calor especıfico c y conductividad termica k,

constantes; No hay fuentes de calor en su interior, ni escapa calor al medio (aislada).

La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un elemento de masa m en una

cantidad ∆u viene dada por

Q = mc∆u = ρA∆xc∆u

El flujo termico que ingrasa al elemento es

Qt = −kA∂u∂x

= −kAux (x, t)

y el que sale es

Qt = −kAux (x+ ∆x, t)

de manera que el flujo neto en el elemento de varilla sera

kA [ux (x+ ∆x, t)− ux (x, t)]


derivando Q e igualando a esta ultima ecuacion tenemos

k

ρc

ux (x+ ∆x, t)− ux (x, t)

∆x= ut

cuando ∆x→∞ se llega a la ecuacion de onda ∂u∂t

= α∂2u∂x2

, donde α = kρc

se denomina difusion

termica.

En version bidimensional de la ecuacion es:

∂u

∂t= α

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)Condiciones iniciales y de frontera

Para encontrar una solucion a la ecuacion de calor de una o dos dimensiones, es necesario

especificar ademas condiciones iniciales (CI) y condiciones de frontera (CF). Las CI denotan la

distribucion de temperatura en el instante inicial (t = 0) y en el caso unidimensional tendrıa

la forma u(x, 0) = f(x). Las CF indican las restricciones que debe satisfacer la funcion de

temperatura o sus derivadas, en los bordes o fronteras de la region; en el caso unidimensional

podrıa ser, por ejemplo: u (0, t) = T1

u (L, t) = T2

∂u∂x

(0, t) = 0

∂u∂x

(L, t) = 0

Ası, resolver una EDP, sujeta a CI y CF, constituye un Problema con Valores en la Frontera

(PVF).

Solucion de la Ecuacion de Calor mediante separacion de variables

En este ejemplo se busca determinar la distribucion de temperatura u(x, t) en una varilla de

longitud L, con temperatura inicial f(x) y cuyos extremos se mantienen a temperatura constante

nula; resulta ası el siguiente PVI∂u∂t

= α∂2u∂x2

0 < x < L t > 0

u (0, t) = u (L, t) = 0 t > 0

u (x, 0) = f (x) 0 < x < 1

Una alternativa para hallar una solucion analıtica de este modelo es mediante separacion de

variables

u (x, t) = X (x)T (t)⇒ XT ′ = αX ′′T ⇒ X ′′

X=

T ′

αT= cte

X (x) = a sin(nπLx)

, T (t) = be−α(nπL )

2t ⇒ un (x, t) = abe−α(

nπL )

2t sin

(nπLx)

u (x, t) =∞∑n=1

Ane−α(nπL )

2t sin

(nπLx)


u (x, 0) =∞∑n=1

An sin(nπLx)

= f (x)⇒ An =2

L

L

0

f (x) sin(nπLx)dx

Resultando

u (x, t) =2

L

∞∑n=1

L

0

f (x) sin(nπLx)dx

e−α(nπL )

2t sin

(nπLx)

donde la solucion encontrada viene representada por desarrollos en series de Fourier.

6.2. Problema Modelo de la ecuacion de Calor

Consideramos un problema modelo de corto alcance para introducir algunas de las ideas esen-

ciales. Por razones tecnicas se dice que es un problema de tipo parabolico. En el tenemos la

ecuacion de calor en una variable acompanada de las condiciones de frontera adecuadas para un

determinado fenomeno fısico: ∂2

∂x2u (x, t) = ∂

∂tu (x, t)

u (0, t) = u (1, t) = 0

u (x, 0) = sinπx

(6.1)

Esta ecuacion gobierna la temperatura u (x, t) en una varilla delgada de longitud 1 cuando los

extremos estan a una temperatura 0, bajo el supuesto que la temperatura inicial de la varilla

esta dada por la funcion sinπx, como podemos ver en la figura:

En el plano xt, la region en la cual se busca la solucion esta descrita por las desigualdades

0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0. En la frontera de esta region, los valores de u son conocidos:


6.3. Metodo de diferencias finitas.

Un enfoque fundamental en la solucion de tal problema es el metodo de diferencias finitas.

Se procede mediante el reemplazo de las derivadas en la ecuacion por diferencias finitas. Dos

formulas son utiles en este contexto:

f ′ (x) ≈ 1

h[f (x+ h)− f (x)]

f ′′ (x) ≈ 1

h2[f (x+ h)− 2f (x) + f (x− h)]

Si aplicamos estas formulas a la ecuacion diferencial (6.1), con posiblemente diferentes pasos de

longitud h y k, el resultado es

1

h2[u (x+ h, t)− 2u (x, t) + u (x− h, t)] =

1

k[u (x+ k, t)− u (x, t)] (6.2)

esta ecuacion es interpretada ahora como un medio para avanzar a la solucion paso a paso en

la variable t. Es decir, si u (x, t) es conocida en 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ t ≤ t0, la ecuacion (6.3) nos

permite evaluar la solucion para t = t0 + k.

La ecuacion (6.3) puede ser reescrita de la forma

u (x, t+ k) = σu (x+ h, t) + (1− 2σ)u (x, t) + σu (x− h, t) donde σ =k

h2(6.3)

Un croquis que muestra la ubicacion de los cuatro puntos que participan en esta ecuacion se da

en la figura:


Como la solucion se conoce en la frontera de la region, es posible calcular una solucion aprox-

imada en el interior de la region usando sistematicamente la ecuacion (6.4) porque la ecuacion

(6.3) es solo una diferencia finita analoga a la ecuacion (6.1).

Para obtener una solucion aproximada en la computadora, nosotros seleccionamos valores para

h y k y usamos la ecuacion (6.4). Usando este algoritmo, podemos continuar con la solucion

indefinidamente en la variable t, los calculos involucran solo los valores anteriores de t.

6.4. Pseudocodigo para el metodo explicito

Para mayor simplicidad, seleccionamos h = 0.1 y k = 0.005, ası el coeficiente σ = 0.5, esta

eleccion hace que el coeficiente 1− 2σ sea cero. Nuestro pseudocodigo primero imprime u(ih, 0)

para 0 ≤ i ≤ 10 por que se conocen los valores en la frontera, luego se calcula e imprime u(ih, 0)

para 0 ≤ i ≤ 10 usando la ecuacion (6.4) y los valores de frontera u = (0, t) = u(1, t) = 0. Este

proceso se continua hasta que t alcanza el valor 0.1. Los vectores u y v se usan para almacenar

la solucion aproximada en t y t+ h, respectivamente. Como la solucion analıtica al problema es

u(x, t) = exp(−π2t) sin (πx), el error puede se impreso en cada paso.

El procedimiento descrito es un ejemplo de un metodo explicito. Los valores aproximados de

u (x, t+ k) son calculados explıcitamente en terminos de u (x, t).

Como h debe ser pequeno para representar de manera precisa la derivada por la formula de

diferencias finitas, el correspondiente valor de k debe ser pequeno tambien. Valores tales como

h = 0.1 y k = 0.005 son representativos, ası como h = 0.01 y k = 0.0005. Con valores pequenos

de k, se necesitan muchos calculos para avanzar bastante en la variable t.

A continuacion se presenta el codigo para su implementacion en Matlab:

n=10; m=20; h=0.1; k=0.005;

u=zeros(n+1,m+1); v=zeros(n+1,m+1); er=zeros(n+1,m+1);

u(2:n-1,1)=sin(pi*(2:n-1)*h);


v(2:n-1,1)=sin(pi*(2:n-1)*h);

t=0;

for j=2:m+1;

for i=2:n;

u(i,j)=(k/h^(2))*(u(i-1,j-1)+u(i+1,j-1));

v(i,j)= exp(-pi^2*t)*sin(pi*i*h);

er(i,j)=v(i,j)-u(i,j);

end

t=j*k;

end

disp(u)

disp(v)

disp(er)

x=0:h:1; y=0:k:k*20;

[a b]= meshgrid(y,x);

surf(a, b, u)

hold on

%grafica de la sol. exacta de la EDP

a=0:0.1:1; b=0:.005:.005*20;

[x y]= meshgrid(a,b);

z=exp(-pi^2.*y).*sin(pi.*x);

%intercambie el orden de x e y

surf(y,x,z)

hold off

El cual devuelve la aproximacion, el valor exacto y el error cada valor en distintas matrices, se

grafican las aproximaxion y la exacta en la misma figura:


6.5. Metodo de Crank-Nicolson

Un procedimiento alternativo del tipo metodo implicito se conoce con el nombre de sus inven-

tores, John Crank y Phillis Nicolson (Ingleses), y se basa en una simple variante de la ecuacion

1

h2[u (x+ h, t)− 2u (x, t) + u (x− h, t)] =

1

k[u (x, t)− u (x, t− k)]

si la solucion numerica de la malla de puntos x = ih, t = jk se ha obtenido hasta cierto nivel

en la variable t, la ecuacion anterior gobierna los valores de u en el siguiente nivel de t.

Ademas la ecuacion anterior se puede escribir como

−u (x− h, t) + ru (x, t)− u (x+ h, t) = su (x, t− k)

donde r = 2 + s y s = h2

k.

La localizacion de los cuatro puntos en esta ecuacion se muestra en la figura:


En el nivel t, u es desconocido, pero en el nivel (t− k), u es conocido, entonces podemos

introducir incognitas ui = u (ih, t) y cantidades conocidas bi = su (ih, t− k) y escribir nuestra

ecuacion en forma matricial:

r −1

−1 r −1

−1 r −1. . . . . . . . .

−1 r −1

−1 r

u1

u2

u3

...

un−2

un−1

=

b1

b2

b3

...

bn−2

bn−1

(6.4)

se ha utilizado el supuesto que u (0, t) = u (1, t) = 0.

Este metodo es estable, veremos que si los valores iniciales de u (x, 0) estan en el intervalo

[α, β], entonces los valores subsecuentemente calculados usando la ecuacion tambien estaran

en [α, β], lo que excluye cualquier crecimiento inestable. Como la solucion se construye linea a

linea de manera uniforme, solo necesitamos verificar que los valores de la primera linea calculada,

u (x, k), estan en [α, β]. Sea j el ındice mas grande ui que ocurre en la linea t = k. Entonces

−uj−1 + ruj − uj+1 = bj. Como uj es el mas grande de los u’s, uj−1 ≤ uj y uj+1 ≤ uj. Ası,

ruj = bj + uj−1 + bj+1 ≤ bj + 2uj. Como r = 2 + s y bj = su (jh, 0), la desigualdad anterior

conduce a uj ≤ u (jh, 0) ≤ β.

Como uj es el mayor de los ui, tenemos que ui ≤ β para todo i, similarmente ui ≥ α para todo

i. Estableciendo de este modo nuestra afirmacion

Pseudocodigo

A continuacion llevamos a cabo el metodo de Crank-Nicolson, escrito en Matlab:

n=10; m=20; h=0.1; k=0.005;

s=h^2/k; r=2+s;

c=zeros(1,n-1); d=zeros(1,n-1); u=zeros(n-1,m); v=zeros(1,n-1);

u(:,1)=sin(pi*h*(1:n-1) ’);

for j=1:m

v=s*u(:,j);

u(:,j+1)=tri(-ones(1,n-1),r*ones(1,n-1) ,-ones(1,n-1),v);

t=j*k;


end

disp(u)

x=0.1:h:0.9; y=0:k:k*20;


surf(a, b, u)

hold on

%grafica de la sol. exacta de la EDP

a=0:0.1:1; b=0:.005:.005*20;

[x y]= meshgrid(a,b);

z=exp(-pi^2.*y).*sin(pi.*x);

%intercambie el orden de x e y surf(y,x,z)

hold off

El cual devuelve solo la aproximacion y graficando junto con la solucion exacta tenemos:

En el, h = 0.1, k = h2/2, y la solucion se continua hasta t = 0.1. Los valores r = 4 y s = 2.

Calculamos e imprimimos solo los valores de u para puntos interiores de cada linea horizontal.

Para los puntos de la frontera tenemos u (0, t) = u (1, t) = 0.

Se usaron los mismos valores para k y h en el pseudocodigo de los dos metodos (explicito y

Crank-Nicolson), por lo que puede hacerse un comparacion en las salidas.


6.6. Version alternativa del metodo de crank

Otra version del metodo de Crank Nicolson se obtiene de la siguiente manera:

Las diferencias centrales de(x, t− 1

2k)

en la ecuacion

1

h2[u (x+ h, t)− 2u (x, t) + u (x− h, t)] =

1

k[u (x, t)− u (x, t− k)]

producen

1

h2

[u

(x+ h, t− 1

2k

)− 2u

(x, t− 1

2k

)+ u

(x− h, t− 1

2k

)]=

1

k[u (x, t)− u (x, t− k)]

como los valores de u son conocidos solo para los enteros multiplos de k, los terminos tales como(x, t− 1

2k)

son reemplazados por el promedio de los valores de u en los puntos adyacentes de la

malla, esto es;(x, t− 1

2k)≈ 1

2[u (x, t) + u (x, t− k)] entonces nosotros tenemos

1

2h2[u (x+ h, t)− 2u (x, t) + u (x− h, t) + u (x+ h, t− k)− 2u (x, t− k) + u (x− h, t− k)]

=1

k[u (x, t)− u (x, t− k)]

la forma computacional de esta ecuacion es

−u (x− h, t)+2 (1 + s)u (x, t)−u (x+ h, t) = u (x− h, t− k)+2 (s− 1)u (x, t− k)+u (x+ h, t− k)

donde

s =h2

s≡ 1

σ

Los seis puntos en esta ecuacion se muestran en la figura:

Esto conduce al sistema tridiagonal de la forma 6.4 con r = 2 (1 + s) y

bi = u ((i− 1)h, t− k) + 2 (s− 1)u (ih, t− k) + u ((i+ 1)h, t+ k)

7 ECUACIONES HIPERBOLICAS 43

6.7. Estabilidad

El corazon del metodo explicito es la ecuacion

u (x, t+ k) = σu (x+ h, t) + (1− 2σ)u (x, t) + σu (x− h, t)

la cual muestra como los valores de u para t + k dependen de los valores de u en el paso del

tiempo anterior, t. Si introducimos los valores de u en la malla escribiendo uij = u (ih, jk),

entonces podemos reunir todos los valores para un t-nivel en un vector v(j) como sigue:

v(j) = [u0j, u1j, u2j, ..., unj]T

y nuestra ecuacion inicial ahora podrıa escribirse de la forma ui,j+1 = σui+1,j + (1− 2σ)uij +

σui−1,j.

Esta ecuacion muestra como v(j+1) es obtenido de v(j). Esto es simplemente v(j+1) = Av(j),

donde A es la matriz cuyos elementos son

1− 2σ σ

σ 1− 2σ σ

σ 1− 2σ σ. . . . . . . . .

σ 1− 2σ σ

σ 1− 2σ

Las ecuaciones nos dicen que v(j) = Av(j−1) = A2v(j−2) = A3v(j−3) = ... = Ajv0.

A partir de las consideraciones fısicas, la temperatura en la barra deberıa aproximarse a cero.

Despues de todo, el calor se pierde a traves de los extremos de la varilla, que se mantuvieron a

temperatura cero. Por lo tanto Ajv0 deberıa converger a cero cuando j →∞.

7. Ecuaciones hiperbolicas

7.1. La ecuacion de onda 1D

El prototipo de una ecuacion diferencial parcial hiperbolica lineal es la ecuacion unidimensional

ut + aux = 0 (7.1)

donde a es una contante, t representa el tiempo y x representa la variable espacial. Para que

esta ecuacion sea resoluble, las condiciones iniciales de la misma deben ser establecidas. En este

caso es dado u (0, x) es igual a una funcion u0 (x). La incognita es u (t, x) para todo valor de t


positivo.

La solucion a la ecuacion es u (t, x) = u0 (x− at). Observe que esta solucion puede facilmente

ser verificada reemplazandola en la ecuacion ut + aux = 0 (esto prueba la existencia de una

solucion a la ecuacion ut + aux = 0).

Analizando la solucion podemos observar que:

La solucion en cualquier tiempo t = T es una copia desplazada de la funcion original

u0 (x).

El desplazamiento sera hacia la derecha si a es positiva y hacia la izquierda si a es negativa.

El tamano de este desplazamiento es |a|T , esto significa que la solucion en el punto (t, x)

depende exclusivamente del valor de ξ = x− at.

Las lineas en el plano (t, x) sobre la cual x−at es constante es denominada da caracterıstica,

y ademas, sobre la linea caracterıstica la funcion u (t, x) tienen un valor constante igual a

u0 (ξ).

Note que a = (x− ξ) /t tiene dimension de distancia sobre tiempo. Ası podemos asociar a

una velocidad: la velocidad de propagacion. La ecuacion modela una onda que se propaga

con una velocidad a sin cambio en su forma.

Un hecho importante en la solucion de ecuaciones diferenciales hiperbolicas es que la ecuacion

ut + aux = 0 solo tiene sentido si u (t, x) es diferenciable, sin embargo la solucion presentada

u0 (x− at) depende de este requerimiento. Observe que una onda discontinua tambien se propaga

con la misma ley.

7.1.1. Sistemas de ecuaciones hiperbolicos

Sea un sistema de ecuaciones de la forma

ut + Aux = F (t, x) (7.2)

donde u ∈ Rn, entonces el sistema anterior se denomina hiperbolico si la matriz A ∈ Rn×n es

diagonalizable con autovalores reales.

Recordemos. Una matriz A es diagonalizable si existe una matriz no singular M tal que MAM−1

es una matriz diagonal, esto es MAM−1 = A donde (λ)i,i = λi son los autovalores de A, y

justamente estos autovalores son la velocidades caracterısticas del sistema.


Definiendo ahora w = Mu entonces el sistema dado se transforma en

wt + Awx = MF =∼F

que es equivalente a tener n sistemas de la forma wit + λiwix =

∼Fi

que tienen la forma de la

ecuacion diferencial parcial hiperbolica lineal de onda. Al igual que la ecuacion de onda, para

completar el sistema dado las condiciones iniciales estan dadas por u (0, x) = u0 (x). Note que

con el cambio de variable que realizamos tenemos entonces w (0, x) = w0 (x) := Mu0 (x).

El sistema (7.2) tambien se denomina desacoplado por que la solucion de cada wi no depende

de ninguna otra solucion wj.

7.1.2. Diferencias finitas

Definimos inicialmente una malla en el plano (t, x). Sean h y k dos numeros reales positivos,

entonces la malla estara compuesta por los puntos (tn, xm) = (nk,mh), donde n y m son enteros

arbitrarios. El conjunto de puntos (tn, xm) para un valor fijo dado de n es llamado malla al nivel

n.

La funcion u (tn, xm) es el valor de la funcion u (t, x) en el punto (tn, xm) de la malla. Mientras

que denotamos por vnm el valor de la funcion v en el punto (tn, xm).

Note que hacemos esto para diferenciar el valor de la solucion u (tn, xm) de la ecuacion diferencial

de su correspondiente aproximacion vnm.

Aproximacion temporal

Usamos el metodo de diferencias finitas para aproximar las derivadas de la ecuacion diferencial.

Por ejemplo, la aproximacion temporal de primer orden (Euler en avance) de ∂u/∂t (tn, xm)

sera:∂u

∂t(nh,mk) ≈ 1

k[u ((n+ 1) k,mh)− u (nk,mh)]

la aproximacion de Euler en retroceso sera:

∂u

∂t(nh,mk) ≈ 1

k[u (nk,mh)− u ((n− 1) k,mh)]

mientras que la aproximacion de segundo orden sera

∂u

∂t(nh,mk) ≈ 1

2k[u ((n+ 1) k,mh)− u ((n− 1) k,mh)]

Aproximacion espacial.

Analogamente, la aproximacion espacial de Euler en avance sera:

∂u

∂x(nh,mk) ≈ 1

h[u (nk, (m+ 1)h)− u (nk,mh)]


la aproximacion de euler en retroceso sera

∂u

∂x(nh,mk) ≈ 1

h[u (nk,mh)− u (nk, (m− 1)h)]

Ambas aproximaciones de Euler (en avance y retroceso) son de primer orden, mientras que una

aproximacion de segundo orden es:

∂u

∂x(nh,mk) ≈ 1

2h[u (nk, (m+ 1)h)− u (nk, (m− 1)h)]

Usando las aproximaciones temporales y espaciales arriba definidas es posible obtener algunas

de las tıpicas aproximaciones de diferencias finitas para la ecuacion (7.1)

1

k

[vn+1m − vnm

]+ a

1

h

[vnm+1 − vnm

]= 0

1

k

[vn+1m − vnm

]+ a

1

h

[vnm − vnm−1

]= 0

1

k

[vn+1m − vnm

]+ a

1

2h

[vnm+1 − vnm−1

]= 0

1

2k

[vn+1m − vn−1

m

]+ a

1

2h

[vnm+1 − vnm−1

]= 0

1

k

[vn+1m − 1

2

(vnm+1 + vnm−1

)]+ a

1

2h

[vnm+1 − vnm−1

]= 0

Varios otros esquemas de diferencias finitas pueden ser desarrollados y de hecho varios mas

son encontrados en la literatura. Esto es debido justamente a la simplicidad del metodo de

diferencias finitas, que es uno de los motivos por lo que es popular.

Sin embargo, no todos los esquemas de diferencias finitas poseen buenas propiedades de eficiencia

y precision. De hecho observando la lista de esquemas mostrados, la pregunta que surge es:

Cuales de estos esquemas dan soluciones que aproximan convenientemente la solucion de la

EDP que esta siendo aproximada por el esquema, a continuacion discutimos las propiedades

que deben seguir los esquemas de diferencias finitas.

7.1.3. Consistencia

La propiedad mas basica que un esquema debe tener para ser util, es que sus soluciones aprox-

imen la solucion de la ecuacion diferencial correspondiente y que la aproxime mejor cuando h y

k tienden a cero.

Consideremos las ecuaciones diferenciales parciales de la forma

P (∂t, ∂x)u = f (t, x)

que son de primer orden con respecto a t.


Ejemplos de ecuaciones que son de primer grado en el tiempo son las ecuaciones de onda (7.1)

y las tres siguientes ecuaciones:

ut − buxx + aux = 0

ut − cutxx + buxxxx = 0

ut + cutx + aux = 0

Cuando implementamos un esquema de diferencias finitas, burdamente hablando nos interesa

saber si la solucion de la ecuacion a diferencias finitas vnm converge a la solucion u (t, x) de la

EDP hiperbolica. Formalizamos esto con la definicion siguiente.

Definicion. Un esquema de diferencias finitas de un paso que aproxima una ecuacion diferencial

parcial es un esquema convergente si para cualquier solucion de la ecuacion diferencial parcial,

u (t, x) y soluciones al esquema de diferencias finitas, vnm, tal que v0m converge a u0 (x) cuando

mh converge a x, tenemos que vnm converge a u (t, x) cuando (nk,mh) converge a (t, x) cuando

h y k convergen a cero.

De forma a demostrar la convergencia de un determinado metodo introducimos dos propiedades

que deben cumplir el esquema de diferencias finitas de forma que su solucion converja a la

solucion de la EDP. Las propiedades son consistencia y estabilidad. Esto por que en general

probar la convergencia directamente es mas difıcil de testar de el esquema cumple estas dos

propiedades. Para esto un determinado esquema de diferencias finitas lo denotamos por Pk,hv =

f y la EDP por Pu = f .

Definicion Dada una ecuacion diferencial parcial Pu = f y un esquema de diferencias finitas,

Pk,hu = f , decimos que el esquema de diferencias finitas es consistente con la ecuacion difer-

encial si para cada funcion suave φ (t, x), Pφ − Pk,hφ → 0 cuando h, k → 0 la convergencia es

convergencia puntual en cada punto de la malla.

Es importante resaltar que consideramos una funcion suave a aquella que es suficientemente

diferenciable.

Ejemplo Esquema de avance de tiempo y avance de espacio.

para la ecuacion (7.1) , el operador P es ∂∂t

+ a ∂∂x

tal que Pφ = φt + aφx . Para el esquema de

avance de tiempo y avance de espacio el operador de diferencias Pk,h esta dado por

Pk,h =1

k

[φn+1m − φnm

]+ a

1

h

[φnm+1 + φnm

](7.3)

donde φnm = φ (nk,mh).

Como la funcion φ (t, x) es suave, entonces podemos usar una serie de Maclaurin con respecto


a t y x en el punto (tn, xm). Obtenemos

φn+1m = φnm + kφt +

1

2k2φtt +O

(k3)

φnm+1 = φnm + hφx +1

2k2φxx +O

(h3)

evaluando las derivadas en el punto (tn, xm), usando las expansiones desarrolladas arriba para

computar la expresion (7.3), obtenemos

Pk,hφ = φt + ahφx +1

2kφtt + a

1

2hφxx +O

(k3)

+O(h3)

Ası,

Pφ− Pk,hφ = −1

2kφtt − a

1

2hφxx +O

(k2)

+O(h2)→ 0 cuando (h, k)→ 0

consecuentemente el esquema es consistente.

Ejemplo, El esquema de lax-Friedrich

Pk,hφ =1

k

[φn+1m − 1

2

(φnm+1 + φnm−1

)]+ a

1

2h

[φnm+1 + φnm−1

]usando las series de Taylor

φnm±1 = φnm ± hφx +1

2h2φxx ± h3φxxx +O

(h4)

donde las derivadas son evaluadas en (tn, xm). Usando series de Taylor tenemos

1

2

(φnm+1 + φnm−1

)= φnm +

1

2h2φxx +O

(k4)

y1

2h

(φnm+1 + φnm−1

)= φnm +

1

6h2φxxx +O

(k4)

y sustituyendo estas expresiones en el esquema, obtenemos

Pk,hφ = φt + ahφx +1

2kφtt −

1

2k−1h2φxx +

1

6ah2φxxx +O

(h4 + h−1h2 + k2

)entonces Pφ− Pk,hφ→ 0 cuando h, k → 0, es decir es consistente mientras k−1h2 → 0.

7.1.4. Error global y convergencia

Interrogante: Cuan bien aproxima vnj la solucion exacta?

Consideramos el error puntual (escribimos funciones suaves) Enj = vnj − unj podemos extender a

funciones

Ek (x, t) = vk (x, t)− u (x, t)


Enj es el valor puntual de Ek (xj, tn). Con estas definiciones el metodo es convergente si: ‖Ek (·, t)‖ →

0 cuando k → 0 ∀t ≥ 0.

Norma Usaremos ‖·‖ :=´∞−∞ |v (x)| dx y la norma-1 discreta ‖vn‖1 = h

∑j

∥∥vnj ∥∥Definicion El error de truncamiento mide cuan bien la ecuacion en diferencias modela la

ecuacion diferencial localmente.

Ejemplo Considere Lax-Friedrich

1

k

[vn+1j − 1

2

(vnj−1 + vnj+1

)]+

1

2ha(vnj+1 − vnj−1

)= 0

usando u en vez de v tenemos:

Lk (x, t) =1

k

[u (x, t+ k)− 1

2(u (x− h, t) + u (x+ h, t))

]+

1

2ha [u (x+ h, t)− u (x− h, t)]

como siempre asumimos funciones suaves, tenemos

Lk (x, t) =1

k

[u+ kut +

1

2k2utt + ...

]−(u+

1

2h2uxx + ...

)+

1

2ha

[2hux +

1

3h3uxxx + ...

]= ut + aux +

1

2

(kutt −

1

kh2uxx

)+O

(h2)

Note que ut + aux = 0 entonces

Lk (x, t) =1

2

(kutt −

1

kh2uxx

)+O

(h2)

pero ut0− auxutt = −auxt = −autx = −a (−aux)x = a2uxx

entonces

Lk (x, t) =1

2k

(a2 − 1

k2h2I

)uxx (x, t) +O

(k2)

= O (k) cuando k → 0

y kh

= cte cuando se refina la malla |Lk (x, t)| ≤ Ck entonces el metodo de lax friedrich es de

primer orden.

Definicion Para un metodo de 2 niveles, definimos el error de truncamiento como

Lk (x, t) =1

k[u (x, t+ k)−Hk (u (·, t) , x)]

Definicion El metodo es consistente si ‖Lk (·, t)→ 0‖ cuando k → 0


Definicion El metodo es de orden p si pera toda funcion condicion inicial con soporte compacto,

existe una constante CLtal que

‖Lk (·, t)‖ ≤ CLkp ∀k < k0 t < T

7.1.5. Estabilidad

Consistencia no es suficiente para garantizar la convergencia de la solucion de diferencias finitas

a la solucion de la EDP. Sea

‖w‖h =

(m=∞∑m=−∞

|wm|

)1/2

para una funcion de la malla w. La expresion ‖w‖h es equivalente a la norma L2 de w. Usando

esta norma introducimos la definicion de estabilidad.

Definicion Para la ecuacion de primer orden, un esquema de diferencia finitas Pk,hvnm = 0

es estable si existe un entero J y numeros positivos h0 y k0 tal que para cualquier tiempo T

positivo, existe una constante CT tal que

‖vn‖ ≤

(CT

J∑j=0

(∥∥vj∥∥h

))1/2

para 0 ≤ nk ≤ T , 0 < h < h0 y 0 < k < k0

La expresion anterior es equivalente a

‖vn‖h ≤ C∗T∑(∥∥vj∥∥

h

)para alguna constante C∗T . Note ademas que los valores de h0 y k0 se refieren a que la condicion

es valida para valores de h y k suficientemente pequenos.

Ahora mostramos algunos ejemplos donde la condicion de estabilidad puede verificarse directa-

mente.

Ejemplo Probemos una condicion suficiente para satisfacer la estabilidad para el esquema en

avance de tiempo1

k

[vn+1m − vnm

]+ a

1

h

[vnm+1 − vnm

]= 0

considerando esquemas de la forma

vn+1m = αvnm + βvnm+1

de la cual, el esquema en avance de tiempo y avance de espacio es un caso especial. Mostremos

que el esquema es estable si |α| + |β| ≤ 1. El analisis es similar para el esquema de avance de


tiempo y retroceso de espacio 1k

[vn+1m − vnm] + a 1

h

[vnm − vnm−1

]= 0. Tenemos

∞∑m=−∞

∣∣vn+1m

∣∣2 =∞∑

m=−∞

∣∣αvnm + βvnm+1

∣∣2≤

∞∑m=−∞

|α|2 |vnm|2 + 2 |α| |β| |vnm|

∣∣vnm+1

∣∣+ |β|2∣∣vnm+1

∣∣2≤

∞∑m=−∞

|α|2 |vnm|2 + |α|

∣∣∣β (|vnm|2 +∣∣vnm+1

∣∣2)∣∣∣+ |β|2∣∣vnm+1

∣∣2=

∞∑m=−∞

(|α|2 + 2 |α| |β|+ |β|2

)|vnm|

2

= (|α|+ |β|)2∞∑

m=−∞

|vnm|2

donde usamos la desigualdad 2xy ≤ x2 +y2. Luego el esquema es estable si |α|+ |β| ≤ 1. Para el

esquema de avance de tiempo y avance de espacio la condicion |α|+ |β| ≤ 1 es que |1 + aλ|+ |aλ|es como maximo 1. Entonces vemos que este esquema es estable si −1 ≤ aλ ≤ 0.

7.1.6. Convergencia.

Para simplificar representamos el metodo de diferencias finitas como un+1j = Hk (un; j) con los

conceptos de consistencia y estabilidad podemos usar el teorema de Lax-Richtmyer. Teorema

fundamental en la teorıa de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales.

Teorema. Un esquema de diferencias consistente para una ecuacion diferencial parcial para el

cual el problema de valor inicial es bien puesto, es convergente si y solamente si es estable.

7.2. Problema modelo de la ecuacion de onda

La ecuacion de onda con una variable en el espacio es

∂2u

∂t2=∂2u

∂x2(7.4)

la cual gobierna la vibracion de una cuerda (vibracion transversal en un plano) o la vibracion

en una varilla (vibracion longitudinal). Es un ejemplo de una ecuacion diferencial lineal de

segundo orden del tipo hiperbolico. Si se utiliza la ecuacion (7.4) para modelar la vibracion de

una cuerda, entonces u(x, t) representa la desviacion en el tiempo t de un punto de la cadena

cuya coordenada x es cuando la cadena esta en reposo.

Para plantear un problema modelo, suponemos que los puntos de la cadena tienen coordenadas

x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1.


Luego supongamos que en el instante t = 0, las deflexiones satisfacen las ecuaciones u(x, 0) =

f(x) y ut(x, 0) = 0. Supongamos tambien que los extremos de la cadena se mantienen fijos.

Entonces u(0, t) = u(1, t) = 0. Un problema de valores de frontera completamente definido,

entonces, es

utt − uxx = 0

u (x, 0) = f (x)

ut (x, 0) = 0

u (0, t) = u (1, t) = 0

(7.5)

La region en el plano xt, donde se busca una solucion es la franja semi-infinita definida por las

desigualdades 0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0.

Como en el problema de conduccion de calor de, los valores de la funcion desconocida se pre-

scriben en el lımite de la region mostrada

7.2.1. Solucion analıtica

El problema modelo (7.5) es tan simple que puede ser resuelto de inmediato. En efecto, la

solucion es

u (x, t) =1

2[f (x+ t) + f (x− t)] (7.6)

A condicion de que una funcion f posee dos derivadas y se ha extendido a toda la lınea real,

por definicion se tienef (−x) = −f (x) y f (x+ 2) = f (x).

Para comprobar que la ecuacion (7.6) es una solucion, calculamos las derivadas usando la regla

de la cadena:


ux = 12

[f ′ (x+ t) + f ′ (x− t)] ut = 12

[f ′ (x+ t)− f ′ (x− t)]uxx = 1

2[f ′′ (x+ t) + f ′′ (x− t)] utt = 1

2[f ′′ (x+ t) + f ′′ (x− t)]

Obviamente utt = uxx. Tambien u (x, 0) = f (x). Por tanto, tenemos ut (x, 0) = 12

[f ′ (x)− f ′ (x)] =

0

Al consultar las condiciones en los extremos, utilizamos las formulas por el cual se extendio f :

u (0, t) =1

2[f (t) + f (−t)] = 0

u (1, t) =1

2[f (1 + t) + f (1− t)]

=1

2[f (1 + t)− f (1− t)]

=1

2[f (1 + t)− f (t− 1 + 2)] = 0

La extension de f en su dominio original a toda la recta real hace que sea una funcion periodica

impar de periodo 2. Impar significa que f (−x) = −f (x) y la periodicidad es expresada por

f (x+ 2) = f (x), para todo x.

Para calcular u (x, t), necesitamos conocer f y solo dos puntos del eje x, que son x + t y x − tcomo en la figura siguiente

7.2.2. Solucion numerica

El problema modelo se utiliza aquı para ilustrar de nuevo el principio de la solucion numerica.

La eleccion de tamanos de paso h y k para x y t, respectivamente, y el uso de las aproximaciones

conocidas para las derivadas, tenemos de la ecuacion (7.4)

1

h2[u (x+ h, t)− 2u (x, t) + u (x− h, t)] =

1

k2[u (x, t+ k)− 2u (x, t) + u (x, t− k)]

que puede tambien ser reordenada como


u (x, t+ k) = ρu (x+ h, t) + 2 (1− ρ)u (x, t) + ρu (x− h, t)− u (x, t− k) (7.7)

donde ρ = k2

h2.

La figura siguiente muestra el punto (x, t+ k) y los puntos cercanos que entran en la ecuacion

(7.7)

Las condiciones de frontera en el problema (7.5) pueden ser escritas comou (x, 0) = f (x)

1k

[u (x, k)− u (x, 0)] = 0

u (0, t) = u (1, t) = 0

(7.8)

El problema definido por las ecuaciones (7.7) y (7.8) puede ser resuelto comenzando en la lınea

de t = 0, donde u es conocida, y luego avanzar una lınea a la vez con t = k, t = 2k, t = 3k, ....

Note que de la ecuacion (7.8), nuestra solucion aproximada satisface

u (x, k) = u (x, 0) = f (x) (7.9)

El uso de la aproximacion O(k) para ut conduce a una baja precision en la solucion computa-

rizada al problema (7.5). Supongamos que hay una fila en la cuadrıcula con puntos (x,−k).

Dejamos t = 0 en la ecuacion (7.7), y tenemos

u (x, k) = ρu (x+ h, 0) + 2 (1− ρ)u (x, 0) + ρu (x− h, 0)− u (x,−k)

Ahora la aproximacion de la diferencia central

1

2k[u (x, k)− u (x,−k)] = 0

para ut (x, 0) = 0 se puede utilizar para eliminar el punto de la cuadrıcula ficticia (x,−k). Ası


que en lugar de la ecuacion (7.9), ponemos

u (x, k) =1

2ρ [f (x+ h) + f (x− h)] + (1− ρ) f (x)

porque u (x, 0) = f (x).

Los valores de u (x, nk) , n ≥ 2, pueden ahora ser calculados de la ecuacion (7.7).

7.2.3. Pseudocodigo

n=10; m=20; h=0.1; k=0.05;

u=zeros(n+1,m+1); v=zeros(n+1,m+1);

ro=(k/h)^2;

for i=2:n

x=i*h;

w(i)=f(x);

v(i)=(ro/2)*(f(x-h)+f(x+h))+(1-ro)*f(x);

end

for j=1:m+1

for i=2:n

u(i,j)=ro*(v(i+1)+v(i-1))+2*(1-ro)*v(i)-w(i);

end

for i=2:n

w(i)=v(i);

v(i)=u(i,j);

t=j*k;

x=i*h;

end

end

disp(u)

x=0:h:1;

y=0:k:k*20;


surf(a, b, u)

%solucion exacta

x=0:h:1; y=0:k:k*20;


u=sin(pi.*a).*cos(pi.*b)

surf(a, b, u)

Este pseudocodigo requiere el acompanamiento de funciones para calcular los valores de f (x)

y de la solucion exacta. Nosotros elegimos f (x) = sin (πx) en el ejemplo. Asumimos que x este

en el intervalo [0, 1], pero cuando h o n cambien, el intervalo puede ser [0, b], esto es,nh = b. La

solucion numerica se calcula en las t lineas que corresponden a 1k, 2k, · · · ,mk.

A continuacion se presentan las graficas de la solucion aproxiamada y la solucion exacta


Los tratamientos mas avanzados muestran que las proporciones ρ = k2

h2no debe exceder a 1 si la

solucion de las ecuaciones en diferencias finitas converge a una solucion del problema diferencial

cuando k → 0 y h → 0. Por otra parte, si ρ > 1, los errores de redondeo que se producen

en una etapa del computo probablemente se magnifiquen en etapas posteriores y por lo tanto

arruinarıan la solucion numerica.

En Matlab, PDE Toolbox tiene una funcion para producir la solucion de problemas hiperbolicos

utilizando la formulacion de elementos finitos del problema escalar de EDP.

Un ejemplo que se encuentra en la documentacion de MATLAB encuentra la solucion numerica

del problema de la propagacion de ondas de dos dimensiones ∂2u∂t2

= ∇2u en el cuadrado −1 ≤x, y ≤ 1 con condiciones de frontera de Dirichlet en la izquierda y la derecha de la frontera,

u = 0 para x = ±1 y con valores cero en la derivada normal en los limites superior e inferior

de la frontera. Ademas, hay condiciones de frontera Neumman ∂u/∂ν = 0 para y = ±1. Las

condiciones iniciales

u (0) = arctan(

cos(π

2x))

y

du (0) /dt = 3 sin (πx) exp(

sin(π

2y))

son elegidas para evitar poner demasiada energıa en los modos mas altos de vibracion.

7.3. Ecuacion de adveccion

Nos enfocamos ahora en la ecuacion de adveccion (Adveccion es la variacion de un escalar en

un punto dado por efecto de un campo vectorial)

∂u

∂t= −c∂u

∂x


aquı, u = u (x, t) y c = c (x, t) en el que se puede considerar a x como el espacio y t el tiempo. La

ecuacion de adveccion es una ecuacion diferencial parcial hiperbolica que gobierna el movimiento

de un escalar conservado, que es advectado por un campo de velocidad conocida. Por ejemplo, la

ecuacion de adveccion se aplica al transporte de sal disuelta en el agua. Incluso en una dimension

espacial y la velocidad constante, el sistema sigue siendo difıcil de resolver.

Dado que la ecuacion de adveccion es difıcil de resolver numericamente, el interes general se cen-

tra en soluciones de choque discontinuas, que son notoriamente difıciles para manejar esquemas

numericos.

Usando la aproximacion por diferencias hacia adelante en el tiempo y las diferencias centrales

para las aproximaciones en el espacio, tenemos

1

k[u (x, t+ k)− u (x, t)] = −c 1

2h[u (x+ h, t)− u (x− h, t)]

y esto da

u (x, t+ k) = u (x, t)− 1

2σ [u (x+ h, t)− u (x− h, t)]

donde σ = hkc (x, t). Todas las soluciones numericas crecen en magnitud por todo el tiempo con

pasos de tamano k. Para todos σ > 0, este esquema es inestable por el analisis de la estabilidad

de Fourier.

Metodo de Lax

En las diferencias centrales del esquema anterior, reemplazamos el primer termino del lado

derecho u (x, t) por 12

[u (x, t− k) + u (x, t+ k)], y obtenemos

u (x, t+ k) =1

2[u (x, t− k) + u (x, t+ k)]− 1

2σ [u (x+ h, t)− u (x− h, t)]

=1

2(1 + σ)u (x− h, t) +

1

2(1 + σ)u (x, t− k)

Este es el metodo de Lax, y este simple cambio hace que el metodo condicionalmente estable.

Metodo Upwind

Otra forma de obtener un metodo estable es mediante el uso de una aproximacion en un solo

lado para ux en la ecuacion de adveccion, siempre y cuando la parte se toma en la direccion

contra el viento (upwind). Si c > 0, el transporte esta a la derecha. Esto se puede interpretar

como el viento a velocidad c soplando, la solucion de izquierda a derecha. Ası si la direccion

contra el viento esta a la izquierda para c > 0 y hacia la derecha para c < 0.

Por lo tanto, la aproximacion de diferencias contra el viento es

ux (x, t) ≈

−c [u (x, t)− u (x− h, t)] /h c > 0

−c [u (x+ h, t)− u (x, t)] /h c < 0


entonces el esquema para la ecuacion de adveccion nos queda

u (x, t+ k) = u (x, t)− σ

−c [u (x, t)− u (x− h, t)] /h c > 0

−c [u (x+ h, t)− u (x, t)] /h c < 0

Metodo lax-wendroff

El esquema de Lax-Wendroff es de segundo orden en el espacio y el tiempo. La siguiente es una

de varias formas posibles de este metodo. Empezamos con un desarrollo en serie de Taylor sobre

un paso de tiempo:

u (x, t+ k) = u (x, t) + kut (x, t) +1

2k2utt (x, t) +O

(k3)

Ahora usamos la ecuacion de adveccion para sustituir las derivadas del tiempo en el lado derecho

por los derivados del espacio:

ut = −cuxutt = (−cux)t

= −ctux − c (ux)t

= −ctux − c (ut)x

= −ctux + c (cux)t

Aquı, tenemos que c = c (x, t) y asumimos que c no es constante. Sustituyendo para ut y uxx

tenemos que

u (x, t+ k) = u (x, t)− ckux +1

2k2 [−ctux + c (cux)x] +O

(k3)

donde se evalua todo en el lado derecho en (x, t). Si aproximamos la derivada espacial con

diferencias de segundo orden, vamos a tener un sistema de segundo orden en el espacio y el

tiempo:

u (x, t+ k) ≈ u (x, t)− ck 1

2h[u (x+ h, t)− u (x− h, t)]

+1

2k2

[−ct

1

2h[u (x+ h, t)− u (x− h, t)] + c (cux)x

]La dificultad de este esquema se presenta cuando c depende del espacio y hay que evaluar el

ultimo termino de la expresion anterior. En el caso en el que c es una constante, obtenemos

c (cux)x = c2uxx

≈ 1

2h[u (x+ h, t)− 2u (x, t) + u (x− h, t)]


El esquema de Lax-Wendroff convierte en

u (x, t+ k) = u (x, t)− 1

2σ [u (x+ h, t)− u (x− h, t)]

+1

2cσ2 [u (x+ h, t)− 2u (x, t) + u (x− h, t)]

donde σ = c (k/h). Como lo hace el metodo de Lax, este metodo tiene la disipacion numerica

(perdida de amplitud), sin embargo, es relativamente debil.

8 SOLUCION NUMERICA A ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 60

8. Solucion Numerica a Ecuaciones Diferenciales Par-

ciales

8.1. Problemas de valores de frontera para EDPs elıpticas de se-

gundo orden

Iniciamos con un tipico problema fısico de aplicacion en ecuaciones diferencales parciales, el

modelo de flujo de calor. Supongamos que tenemos un cuerpo solido ocupando una region Ω ⊂R3, la distribucion de temperatura del cuerpo puede estar dada por una funcion u : Ω× J → Rdonde J es un intervalo de tiempo en el que estamos interesados y u (x, t) es la temperatura en

un punto x ∈ Ω en el tiempo t ∈ J . El calor contenido (la cantidad de energia termica ) en el

subcuerpo D ⊂ Ω esta dada por

calor contenido en D =

ˆD

cu dx

donde c es el producto de el calor especifico de el material y la densidad del material. Como la

temperatura podrıa variar con el tiempo, el calor deberıa estar contenido en D. La velocidad

de cambio del calor en D esta dada por

velocidad de cambio del calor en D =∂

∂t

ˆD

cu dx =

ˆD

∂ (cu)

∂t(x, t) dx

Ahora cualquier cambio de calor en D deberıa estar representado por el calor que fluye dentro o

fuera de D a traves de la frontera o por el calor que entra de fuentes externas (por ejemplo, si el

cuerpo fuera en un horno de microondas). Las leyes de Fourier de la conduccion del calor dicen

que el flujo de calor en la direccion opuesta del gradiente de la temperatura con una velocidad

proporcional a la magnitud del gradiente. Esto es, el flujo de calor, en cualquier punto y en

cualquier tiempo, esta dada por

flujo de calor = −λ gradu

donde la cantidad positiva λ es llamada la conductividad de el material (Por lo general λ es un

escalar, pero si el material es termicamente anisotropico, es decir, se ha preferido direcciones de

flujo de calor, como puede ser un material fibroso o laminado, λ puede ser una matriz definida

positivade 3× 3). Ademas el calor que fluye fuera de D esta dado por

velocidad de flujo de calor fuera de D = −ˆ∂D

(λ grad u) · n ds

Ahora el teorema de la divergencia dice que para cualquier campo vectorial v,´∂Dv · n ds =


´D

div v dx. Asi

velocidad de flujo de calor fuera de D = −ˆD

div (λ grad v) dx

La concervacion de la energia esta dada por

ˆD

∂ (cu)

∂tdx−

ˆD

div (λ grad v) dx =

ˆD

f dx

donde f es la velocidad a la cual el calor por unidad de volumen esta siendo andido por una

fuente externa (Si el calor se esta extrayendo, f es negativa). Asi la cantidad

∂ (cu)

∂t− div (λ grad v) = −f

desaparece la integral en cualquier region suavemente delimitada por una subregion D. Esto

pasa si y solo si esta cantidad desaparece. Asi derivando la ecuacion tenemos:

∂ (cu)

∂t= div (λ grad v) + f enΩ× J

La funcion fuente f , el coeficiente del material c y λ y la solucion u pueden ser todas funciones

de x y t. Si el material es homogeneo y si no cambia con el tiempo, entonces c y λ son constantes

y la ecuacion se simplifica para ser la ecuacion de calor

µ∂u

∂t= 4u+ f

donde µ = c/λ y tenemos que f = f/λ. Si el coeficiente del material depende de la temperatura

u, lo cual puede pasar, tenemos una EDP no lineal generalizada de la ecuacion de calor.

La ecuacion de calor no solo gobierna el flujo de calor, si no tambien todos los tipos de procesos

de difusion donde alguna cantidad de flujo de las regiones de mayor concentracion a las regiones

de menor concentracion. La ecuacion de calor es el prototipo de ecuacion diferencial parcial

parabolica.

Ahora supongamos que nuestro cuerpo alcanza un estado de equilibrio: la temperatura no esta

cambiando. Entonces la derivada en el tiempo es cero y tenemos

−div (λ grad v) = f en Ω (8.1)

donde ahora u y f son funciones de f solo . Para un material homogeneo, esto se convierte en

la ecuacion de Poisson

−4u = f


que es el prototipo de una ecuacion diferencial elıptica. Para un material no homogeneo podemos

dejar el estado de equilibio de la ecuacion de calor de la forma divergente como en (8.1) o

diferenciar fuera y obtenemos

−λ4u+ grad λ · gradu = f

Para determinar el estado de equilibrio de la distribucion de la temperatura en un cuerpo

necesitamos conocer no solo las fuentes y los sumideros dentro del cuerpo (dado por f), pero

tambien que esta sucediendo en la frontera Γ := ∂Ω. Por ejemplo en una situacion comun en la

que la frontera tuvo lugar en una determinada temperatura

u = g en Γ (8.2)

La EDP (8.1) junto con la condicion de frontera de Dirichlet (8.2) forman un problema de

valor de frontera elıptico. Bajo una amplia variedad de circunstancia que pueden mostrarse este

problema tiene solucion unica. El siguiente teorema es un ejemplo:

Teorema. Sea Ω un dominio suavemente delimitado en Rn, y sea λ : Ω → R+, f : Ω → R ,

g : Γ → R son funciones C∞. Entonces existe una unica funcion u ∈ C2(Ω)

que satisface la

ecuacion diferencial (8.1) y la condicion de frontera (8.2). Ademas u es C∞.

En lugar de las condiciones de frontera de Dirichlet impuestas a las temperatura, a menudo

encontramos la condiciones de frontera de Neumann impuestas al flujo de calor (flujo sobre la

frontera):∂u

∂n= g en Γ

por ejemplo, si g = 0, esto dice que la frontera esta aislada. Podrıamos tener condiciones de

Dirichlet en una parte de la frontera y condiciones de Neumann en otro.

8.2. La discretizacion de 5 puntos del laplaciano

Con la motivacion de la seccion anterior, consideremos la solucion numerica del problema de

valor de frontera elıptico

4u = f en Ω, u = g en Γ (8.3)

para simplificar consideremos primero un dominio muy simple Ω = (0, 1) × (0, 1), el cuadrado

unidad en R2. Ahora que este problema ha sido simplificado podemos atacarlo analiticamente

es decir, por separacion de variables, pero es muy usual usar un problema modelo cuando

estudiamos metodos numericos.

Sea N un entero positivo y sea h = 1/N . Consideremos la malla en R2

R2h := (mh, nh) : m,n ∈ Z


Notemos que cada punto x ∈ R2h tiene cuatro vecinos cercanos en R2

h, cada una a la izquierda,

a la derecha, arriba y abajo. Sea Ωh = Ω ∩ R2h, el conjunto de puntos interiores de la malla,

consideramos esto una discretizacion del dominio Ω. Tambien definamos Γh como el conjunto

de puntos de la malla en R2h los cuales no pertenecen a Ωh, pero los cuales tienen un vecino

cercano en Ωh. Tambien tenemos Ωh = Ωh ∪ Γh. En la figura tenemos Ωh para h = 1/8 y • son

los puntos en Ωh , los puntos en Γh.

Para la discretizacion (8.3) debemos buscar una funcion uh : Ωh → R que satisfaga

4huh = f en Ωh, uh = g en Γh (8.4)

Donde 4h es un operador, a ser definido, el cual toma una funcion en Ωh (funciones malla) y

la lleva a una funcion en Ωh, que deberia aproximar al laplaciano en el sentido que si v es un

funcion suave en Ω y vh = v |Ωh es el asociado a la funcion malla,entonces queremos

4huh ≈ 4v |Ωh

para h pequeno.

Antes de definir 4h, volvamos al caso unidimensional. Esto es, dada una funcion vh definimos

la malla de puntos nh, n ∈ Z, queremos definir una funcion D2hvh en la malla de puntos, asi que

D2hvh ≈ v′′ |Zh si vh = v |Zh . Un procedimiento natural es construir un polinomio cuadratico p

interpolando vh y tres puntos consecutivos de la malla (n− 1)h, nh, (n+ 1)h y sea D2hvh (nh)

un valor constante de p′′. Esto da la formula

D2hvh (nh) = 2vh [(n− 1)h, nh, (n+ 1)h] =

vh ((n− 1)h)− 2vh (nh) + vh ((n+ 1)h)

h2

D2h es conocido, como los tres puntos de diferencias aproximadas de d2/dx2. Sabemos que si

v ∈ C2 es un entorno de nh, entonces limh→0 [x− h, x, x+ h] = v′′ (x) /2. De hecho, por la

formula de la expansion de Taylor, tenemos

D2hv (x) = v′′ (x) +

h2

12v(4) (ξ) , para algun ξ ∈ (x− h, x+ h)


entonces D2h es la aproximacion de segundo orden para d2/dx2.

Volviendo a la definicion de 4h ≈ 4 = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2, simplificamos usando los tres puntos

que aproximan a ∂2/∂x2 y a ∂2/∂y2, escribiendo vm,n para v (mh, nh) tenemos

4hv (mh, nh) =vm+1,n − 2vm,n + vm−1,n

h2+vm,n+1 − 2vm,n + vm,n−1

h2

=vm+1,n + vm−1,n + vm,n+1 + vn,n−1 − 4vm,n

h2

de la estimacion del error en el caso unidimensional vemos que v ∈ C4(Ω)

4hv (mh, nh)−4v (mh, nh) =h2

12

[∂4v

∂x4(ξ, nh) +

∂4v

∂y4(mh, η)

]para algunos ξ, η. Entonces:

Teorema(*). Si v ∈ C2(Ω)

entonces

limh→0‖4h −4v‖L∞(Ωh) = 0

Si v ∈ C4(Ω), entonces

‖4h −4v‖L∞(Ωh) ≤h2

6M4

donde M4 = max

(∥∥∥ ∂4v∂x4

∥∥∥L∞(Ωh)

,∥∥∥∂4v∂y4

∥∥∥L∞(Ωh)

).

La EDP discreta 4huh = f en Ωh es un sistema de (N − 1)2 ecuaciones lineales con valores

desconocidos para uh en la malla de puntos. Como los valores de uh estan dados en la frontera de

la malla de puntos, podriamos considerar (8.4) como un sistema de (N − 1)2 ecuaciones lineales

en (N − 1)2 incognitas.

Por ejemplo, en el caso que N = 4 el sistema es:

−4 1 0 1 0 0 0 0 0

1 −4 1 0 1 0 0 0 0

0 1 −4 0 0 1 0 0 0

1 0 0 −4 1 0 1 0 0

0 1 0 1 −4 1 0 1 0

0 0 1 0 1 −4 0 0 1

0 0 0 1 0 0 −4 1 0

0 0 0 0 1 0 1 −4 1

0 0 0 0 0 1 0 1 −4

u1,1

u2,1

u3,1

u1,2

u2,2

u3,2

u1,3

u2,3

u3,3

=

h2f1,1 − u1,0 − u0,1

h2f2,1 − u2,0

h2f3,1 − u3,0 − u4,1

h2f1,2 − u1,2

h2f2,2

h2f3,2 − u4,2

h2f1,3 − u0,3 − u1,4

h2f2,3 − u2,4

h2f3,3 − u4,3 − u3,4


la matriz puede ser escrita como A I O

I A I

O I A

donde I es la matriz identidad 3× 3, O es la matriz cero 3× 3 y

A =

−4 1 0

1 −4 1

0 1 −4

Para N en general la matriz puede ser particionada sobre (N − 1)× (N − 1) bloques, cada uno

en R(N−1)×(N−1):

A I O · · · O O

I A I · · · O O

O I A · · · O O...

......

. . ....

...

O O O · · · I A

donde I y O son la matriz identidad y la matriz cero en R(N−1)×(N−1), respectivamente, y

A ∈ R(N−1)×(N−1) es una matriz tridiagonal con −4 en la diagonal y 1 arriba y abajo de la

diagonal. Esto asume que las incognitas estan ordenadas

u1,1, u2,1, ..., uN−1,1, u1,2, ..., uN−1,N−1

y las ecuaciones estan ordenadas similarmente.

Note que la matriz tiene muchas propiedades especiales:

Es dispersa, con a lo mas 5 elementos distintos de cero por fila, (La mayorıa de sus

componentes son ceros).

Es un bloque tridiagonal, con bloques diagonales y tridiagonales.

Es simetrica, ( A = At).

Es diagonal dominante estricta, ( |aii| ≥∑n

j=1,j 6=i |aij|).

Los elementos de la diagonal son negativos, todos los otros son no negativos.

Es definida negativa, (el determinante de cada submatriz es negativo).


8.2.1. Analisis vıa el principio del maximo.

Ahora probaremos que el problema (8.4) tiene solucion unica y proberamos el error estimado.

La clave sera el principio discreto del maximo.

Teorema.(Principio Discreto del Maximo) Sea v una funcion en Ωh que satisface 4hu ≥0 en Ωh entonces maxΩh v ≤ maxΓh v . La igualdad se cumple si y solo si v es constante.

Demostracion. Supongamos que maxΩh v ≥ maxΓh v. Tomemos x0 ∈ Ωh donde el maximo es

alcanzado. Sea x1, x2, x3 y x4 sus vecinos cercanos. Entonces

4v (x0) =4∑i=1

v (xi)− h24hv (x0) ≤4∑i=1

v (xi) ≤ 4v (x0)

como v (xi) ≤ v (x0). Por tanto la igualdad vale siempre y v alcanza su maximo en todos los

vecinos cercanos de x0 tambien. Aplicando el mismo argumento a todos los puntos en el interior

y a todos sus vecinos,etc. Concluimos que v es constante.

Observaciones.

1.El analogo del principio discreto del maximo, obtenido de invertir las desigualdades y reem-

plazando max por min, es cierta.

2.Este es el analogo discreto del principio del maximo para el operador Laplaciano.

Teorema Existe una solucion unica al problema de valor de frontera discreto (8.4).

Demostracion. Como tratamos con un sistema lineal cuadrado, es suficiente probar no singu-

laridad, es decir, que si 4huh = 0 en Ωh y uh = 0 en Γh, entonces uh ≡ 0. Usando el maximo

discreto y el principio discreto del maximo, vemos que en este caso uh es 0 en todas partes.

El siguiente proposician es un resultado de estabilidad de la norma del maximo.

Teorema La solucion uh de (8.4) satisface

‖uh‖L∞(Ωh) ≤1

8‖f‖L∞(Ωh) + ‖g‖L∞(Γh) (8.5)

Este es un resultado de estabilidad en el sentido que requiere que el mapeo (f, g) → uh este

uniformemente acotado con respecto a h.

Demostracion. Introducimos la funcion de comparacion φ =[(x− 1/2)2 + (y − 1/2)2] /4, la

cual satisface 4hφ = 1 en Ωh, y 0 ≤ φ ≤ 1/8 en Ωh. Sea M = ‖f‖L∞(Ωh) entonces

4h (uh +Mφ) = 4huh +M ≥ 0

ası

maxΩh

uh ≤ maxΩh

(uh +Mφ) ≤ maxΓh

(uh +Mφ) ≤ maxΓh

g +1

8M


Por tanto uh esta acotado superiormente por el lado derecho de (8.5). Un argumento similar

aplicado a −uh da el teorema.

Aplicando un resultado de estabilidad a el error u− uh podemos acotar el error en terminos del

error de consistencia 4hu−4u.

Teorema. Sea u la solucion del problema de Diricleth (8.3) y sea uh la solucion del problema

discreto (8.4). Entonces

‖u− uh‖L∞(Ωh) ≤1

8‖4u−4hu‖L∞(Ωh)

Demostracion. Como 4huh = f = 4u en Ωh, 4h (u− uh) = 4hu−4u. Tambien u−uh = 0

en Γh. Aplicando el teorema anterior (con uh reemplazado por u−uh ), obtenemos el resultado.

Combinando con el teorema (*), obtenemos el error estimado:

Corolario. Si u ∈ C2(Ω)

entonces

limh→0‖u− uh‖L∞(Ωh) = 0

Si u ∈ C2(Ω), entonces

‖u− uh‖L∞(Ωh) ≤h2

48M4

donde M4 = max

(∥∥∥ ∂4v∂x4

∥∥∥L∞(Ω)

,∥∥∥∂4v∂y4

∥∥∥L∞(Ω)

).

Observacion. La cantidad ‖4u−4hu‖ es el error de consistencia de la discretizacion, y

el resultado limh→0 ‖u− uh‖L∞(Ωh) = 0 , significa que la discretizacion es consistente. Una

estimacion de la forma ‖v‖ ≤ Ch ‖f‖ cuando 4hv = f en Ωh y v = 0 en Γh, es un estimado de

la estabilidad, y si se mantiene con Ch independientemente de h, decimos que la discretizacion

es estable. Con los resultados anteriores se muestra que

consistencia + estabilidad ⇒ convergencia

De hecho los tres conceptos estan definidos con respecto a normas especificas.

8.2.2. Analisis de fourier.

Definamos L (Ωh) como el conjunto de funciones Ωh → R, ls cuales son isomorfismos de RM ,

M = (N − 1)2. Algunas veces pensaremos estas funciones en Ωh extendido por cero a Γh. El

Laplaciano discreto entonces define un isomorfismo de L (Ωh) sobre si mismo. El resultado de

estabilidad de la seccion previa dice simplemente que∥∥4−1

h

∥∥ ≤ 18

donde el operador norma

es con respecto a la norma L∞ en L (Ωh). En esta seccion usamos analisis de Fourier para

establecer un resultado similar de estabilidad para el analogo discreto de la norma L2.


Primero consideremos el caso unidimensional. Con h = 1/N sea Ih = h, 2h, ..., (N − 1)h, y

sea L (Ih) el espacio de funciones en Ih, las cuales estan en espacios vectoriales de dimension

N − 1.

En L (Ih) definimos un producto interno

〈u, v〉h = h

N−1∑k=1

u (kh) v (kh)

con la norma correspondiente ‖v‖h.

El espacio L (Ih) es el analogo discreto de L2 (I) donde I es el intervalo unitario. En este

ultimo espacio las funciones sinπmx, m = 1, 2, ... , forma una base ortogonal consistiendo de

eigenfunciones de el operador d2/dx2. Los correspondientes eigenvalores son π2, 4π2, 9π2, ....

Ahora establecemos el analogo discreto de este resultado.

Definimos φm ∈ L (Ih) como φm = sin πmx, m = 1, 2, ..., x ∈ Ih. Resulta que estas funciones

malla son precisamente los eigenvalores del operador D2h. De hecho

D2hφm (x) =

sinπm (x+ h)− 2 sinπmx+ sin πm (x− h)

h2=

2

h2(cos πmh− 1) sinπmx

entonces

D2hφm = −λmφm, λm =

2

h2(1− cos πmh) =

4

h2sin2 πmh

2

note que

0 < λ1 < λ2 < ... < λN−1 <4

h2

Note tambien que para pequeno m << N , λm ≈ π2m2. En particular λ1 ≈ π2 . Para obtener

una cota estrictamente menor, notemos que λ1 = 8 para N = 2 y λ1 incrementa con N .

Como el operador D2h es simetrico con respecto al producto interno en L (Ih), y los eigenvalores

λm son distintos, se sigue que los eigenvectores φm son mutuamente ortogonales,(esto puede

mostrarse usando identidades trigonometricas).

Como estos hay N − 1 de ellos, forman una base de L (Ih).

Teorema. Las funciones φm, m = 1, 2, ..., N − 1 forman una base ortogonal de L (Ih). Con-

secuentemente, cualquier funcion v ∈ L (Ih) puede ser expandida como v =∑N−1

m=1 amφm con

am = 〈v, φm〉h / ‖φm‖2h y ‖v‖2

h =∑N−1

m=1 a2m ‖φm‖

2h .

De esto obtenemos inmediatamente el resultado de estabilidad para el Laplaciano unidimen-

sional. Si v ∈ L (Ih) y D2hv = f , podemos expandir v en terminos de φm:

v =N−1∑m=1

amφm, ‖v‖2h =

N−1∑m=1

a2m ‖φm‖

2h


entonces

f = −N−1∑m=1

λmamφm, ‖f‖2h =

N−1∑m=1

λ2ma

2m ‖φm‖

2h ≥ 82 ‖v‖2

h

por tanto ‖v‖h ≤ ‖f‖h /8 .

La extension al caso de dos dimensiones es sencillo. Usemos la base φmn = φm ⊗ φn, es decir,

φmn (x, y) := φm (x)φn (y) , m, n = 1, ..., N − 1

para L (Ωh). Es facil ver que estas (N − 1)2 funciones forman una base ortogonal para L (Ωh)

provisto de nuestro producto interno

〈u, v〉h = h2

N−1∑m=1

N−1∑n=1

u (mh, nh) v (mh, nh)

y la norma correspondiente ‖·‖h. Ademas φmn es un eigenvector de 4h con eigenvalor λmn =

λm + λn ≥ 16. El siguiente teorema se sigue inmediatamente.

Teorema. El operador 4h define un isomorfismo de L (Ωh) en si mismo. Ademas∥∥4−1

h

∥∥ ≤ 116

donde la operacion norma es con respecto a la norma ‖·‖h en L (Ωh).

Como ‖v‖h ≤ ‖v‖L∞(Ωh) tambien tenemos consistencia con respecto a la norma discreta 2.

8.2.3. Analisis vıa un estimador de energia

Sea v un funcion malla. Definamos el operador diferencias hacia atras como

∂x (mh, nh) =v (mh, nh)− v ((m− 1)h, nh)

h, 1 ≤ m ≤ N, 0 ≤ n ≤ N

y denotamos

〈v, w〉h = h2

N∑m=1

N∑n=1

v (mh, nh)w (mh, nh)

con la correspondiente norma ‖·‖h, lo cual coincide con la notacion de las funciones malla, de

la seccion anterior, que se eliminan en Γh.

Lema. Si v ∈ L (Ωh) entonces ‖v‖h ≤ ‖∂xv‖h.


Demostracion. Para 1 ≤ m ≤ N, 0 ≤ n ≤ N ,

|v (mh, nh)|2 ≤

(N∑i=1

|v (ih, nh)− v ((i− 1)h, nh)|

)2

=

(h

N∑i=1

|∂xv (ih, nh)|

)2

≤

(h

N∑i=1

|∂xv (ih, nh)|2)(

h

N∑i=1

12

)

= h

N∑i=1

|∂xv (ih, nh)|2

Ademas

hN∑m=1

|v (mh, nh)|2 ≤ hN∑i=1

|∂xv (ih, nh)|2

y

h2

N∑m=1

N∑n=1

|v (mh, nh)|2 ≤ h2

N∑i=1

N∑n=1

|∂xv (ih, nh)|2

Este es el resultado analogo discreto de la desigualdad de Poincare, que acota una funcion en

terminos de su gradiente, siempre y cuando la funcion se elimine en una parte de la frontera. La

constante implıcita de 1 en el lımite puede ser mejorada. El siguiente resultado es un analogo

discreto del teorema de Green (esencialmente, la integracion por partes).

Lema. Si v, w ∈ L (Ωh) entonces −〈4hv, w〉h = 〈∂xv, ∂xw〉h + 〈∂yv, ∂yw〉h .

Demostracion. Sea v0, v1, ..., vN , w0, w1, ..., wN ∈ R con w0 = wN = 0 entonces

N∑i=1

(vi − vi−1) (wi − wi−1) =N∑i=1

viwi +N∑i=1

vi−1wi−1 −N∑i=1

vi−1wi −N∑i=1

viwi−1

= 2N−1∑i=1

viwi −N−1∑i=1

vi−1wi −N−1∑i=1

viwi−1

= −N−1∑i=1

(vi+1 − 2vi + vi−1)wi

Por lo tanto

−hN−1∑i=1

v ((i+ 1)h, nh)− 2v (ih, nh) + v ((i+ 1)h, nh)

h2= h

N∑i=1

∂xv (ih, nh) ∂xw (ih, nh)

y asi

−⟨D2xv, w

⟩h

= 〈∂xv, ∂xw〉h


similarmente −⟨D2yv, w

⟩h

= 〈∂yv, ∂yw〉h , asi el lema se sigue.

Combinando la desigualdad discreta de Poincare con el teorema discreto de Green, inmediata-

mente tenemos el resultado de estabilidad. Si v ∈ L (Ωh), entonces

‖v‖2h ≤ ‖∂xv‖

2h ≤ ‖∂xv‖

2h + ‖∂yv‖2

h = −〈4hv, v〉h ≤ ‖4hv‖h ‖v‖h

ası

‖v‖h ≤ ‖4hv‖h , v ∈ L (Ωh)

el cual es un resultado de estabilidad.

8.2.4. Fronteras curvadas.

Hasta ahora hemos estudiado un problema de modelo de la discretizacion del problema de

Poisson en el cuadrado. En este apartado se considera una variante que se puede utilizar para

discretizar el problema de Poisson en un dominio bastante general.

Sea Ω un conjunto abierto acotado en R2 con frontera Γ. Consideremos de nuevo el problema de

Dirichlet para la ecuacion de Poisson (8.3), y de nuevo el conjunto Ωh = Ω ∩R2h, Si (x, y) ∈ Ωh

y el segmento (x+ sh, y) , 0 ≤ s ≤ 1 permanece en Γ, entonces el punto (x+ sh, y), el cual

pertenece a Ωh , es un vecino de (x, y) a la derecha. Si este segmento no esta en Ω, definimos

otro tipo de vecinos a la derecha, el cual permanezca en Γ. Es decir definimos el vecino del

punto (x+ sh, y) donde 0 < s ≤ 1 como el valor mas grande para el cual (x+ th, y) ∈ Ω para

todos los 0 ≤ t < s. Los puntos de Γ asi construidos (como vecinos a la derecha o izquierda

o arriba o abajo de puntos en Ωh) constituyen Γh. Asi todo punto en Ωh tiene cuatro vecinos

cercanos cada uno de los cuales pertenece a Ωh := Ωh∪Γh. Tambien definimos

Ωh como aquellos

puntos en Ωh para los cuales sus cuatro vecinos estan en Ωh. En la figura estan los puntos en

Ωh con los elementos de

Ωh encerrados en un cırculo y los triangulos son los puntos en Γh.

Con el fin de discretizar la ecuacion de Poisson que necesitamos, para construir un analogo dis-

creto de el Laplaciano 4hv para funciones malla en Ωh. Por supuesto en

Ωh, 4hv esta definido

con los 5-puntos usuales de Laplaciano. Para (x, y) ∈ Ωh\

Ωh, sean (x+ h1, y) , (x, y + h2) , (x− h3, y) y (x, y − h4)


sus cuatro vecinos cercanos (con 0 < hi ≤ h), y sea v1, v2, v3 y v4 que denotan los valores de v de

estos cuatro puntos. Dejando v0 = v (x, y) tambien, vamos a definir 4hv (x, y) como una com-

binacion lineal de los cuatro valores vi. Con el fin de derivar la formula, consideremos primero

la aproximacion de d2v/dx2 (0) por una combinacion lineal de v (−h−) , v (0) y v (h+), para una

funcion v de una variable. Por el teorema de Taylor tenemos

α−v (−h−) + α0v (0) + α+v (h+) = (α− + α0 + α+) v (0) + (α+h+ − α−h−) v′ (0)

+1

2

(α+h

2+ + α−h

2−)v′′ (0) +

1

6

(α+h

3+ − α−h3

−)v′′′ (0) + ...

Por lo tanto, para obtener una aproximacion coherente debemos tener

α− + α0 + α+ = 0, α+h+ − α−h− = 0,1

2

(α+h

2+ + α−h

2−)

= 1

que dan

α− =2

h− (h− + h+), α+ =

2

h+ (h− + h+), α0 =

−2

h−h+

Note que hemos obtenido la aproximacion de diferencias divididas usual para d2v/dx2:

α−v (−h−) + α0v (0) + α+v (h+) =[v (h+)− v (0)] /h+ − [v (0)− v (−h−)] /h−

(h− + h+) /2

= 2v [−h−, 0, h+]

Volviendo al caso de dos dimensiones, y aplicando las consideraciones anteriores para ambos

∂2v/∂x2 y ∂2v/∂y2 llegamos a la formula de Shortley-Weller para 4hv:

4hv (x, y) =2

h1 (h1 + h3)v1+

2

h2 (h2 + h4)v2+

2

h3 (h1 + h3)v3+

2

h2 (h2 + h4)v4−

(2

h1h3

+2

h2h4

)v0

Usando el teorema de Taylor con residuo vemos que para v ∈ C3(Ω)

‖4v −4hv‖L∞(Ωh) ≤2M3

3h

donde M3 es el maximo de la norma L∞ de la tercera derivada de v. Por supuesto, que en la

malla de puntos en

Ωh , el error de truncamiento es en realidad O (h2), pero para los puntos

malla con vecinos en la frontera, esto de reduce a O (h) .

La solucion aproximada para (8.3) es uh : Ωh → R determinada nuevamante por (8.4) . Este

es un sistema de ecuaciones lineales con una incognita para cada punto de Ωh. En general

las matrices no seran simetricas, pero mantienen otras buenas propiedades para el caso de las

cuadradas.


Es dispersa, con a lo mas cinco elementos por fila

Los elementos de la diagonal son negativos, y los que no estan en la diagonal no son

negativos.

Es diagonal dominante.

Usando estas propiedades podemos obtener el principio discreto del maximo con practicamente

la misma demostracion que en un teorema anterior, y entonces el resultado de estabilidad como

en el teorema se seguira como antes. De esta manera obtenemos una resultante de convergencia

de O (h).

De hecho este resultado puede ser mejorado. Aunque el error de truncamiento ‖4u−4hu‖L∞(Ωh)

sea solo O (h), este es O (h2) en todos los puntos excepto el los vecinos de la frontera, para los

cuales es O (h−1) de los puntos O (h−2) de Ωh. Ademas, estos puntos estan entre h de la fron-

tera, donde la solucion se conoce con exactitud. Por ambas razones la contribucion para el error

a partir de estos puntos es mas pequeno que se ve desde el simple argumento esbozado en el

parrafo anterior.

Teorema. Sea u la solucion de (8.3) y sea uh la funcion malla que satisface (8.4). Entonces

‖u− uh‖L∞(Ωh) ≤M4d

2

96h2 +

2M3

3h3

donde d es el diametro del disco mas pequeno que contiene a Ω y Mk = maxi+j=k∥∥∂ku/∂xi∂yi∥∥∞

.

Ası, la tasa de convergencia es O (h2) como en el caso del cuadrado, y cerca de los puntos

el lımite contribuyen solo un termino de orden superior (a pesar del hecho de que el error de

truncamiento es de orden inferior allı).

8.3. El metodo de Elemetos Finitos

8.3.1. La formulacion debil del problema de Dirichlet.

Empezamos por considerar la ecuacion de Poisson con condiciones de contorno Dirichlet ho-

mogeneas en un dominio acotado Ω:

4u = f en Ω, u = 0 enΓ (8.6)


Asumamos que f es continua en Ω. Ahora si multiplicamos la ecuacion diferencial por una

funcion de prueba v e integramos sobre Ω, tenemos que

ˆΩ

4uv dx =

ˆΩ

fv dx

y recıprocamente, si esta ecuacion es satisfecha por todas las funciones integrables v, entonces

u satisface la ecuacion de Poisson. De hecho, es suficiente que esta ecuacion sea satisfecha por

todas las funciones C∞ con soporte compacto sobre Ω. En particular, si v es una funcion C1 en

Ω la cual se elimina en Γ, podriamos integrar por partes para obtener

ˆΩ

grad u · grad v dx = −ˆ

Ω

fv dx (8.7)

Asi es evidente que una funcion C2 la cual se elimina en Γ satisface la ecuacion de Poisson si y

solo si satisface (8.7) para toda funcion C2 la cual se elimina en Γ. El uso de funciones C2 es,

sin embargo, no muy natural para la formulacion (8.7). Un espacio mas natural serıa el espacio

de Sobolev

H1 (Ω) =v ∈ L2 (Ω) | ∇v ∈ L2 (Ω)

Este es un espacio de Hilbert con producto interno

〈u, v〉H1(Ω) =

ˆΩ

(uv + grad u · grad v) dx

y la correspondiente norma

‖v‖1 = ‖v‖H1(Ω) :=√‖v‖2

L2(Ω) + ‖ grad v‖2L2(Ω)

(Nota: Estamos usando la misma notacion L2 (Ω) tanto para los valores reales como para los

valores vectoriales al cuadrado de funciones integrables.) Tambien definimos

H1 (Ω) =

v ∈ H1 (Ω) | v |Γ≡ 0

A continuacion, definimos la formulacion debil del problema de Dirichlet para la ecuacion de

Poisson:

Encontramos u ∈H1 (Ω) tal que

ˆΩ


Ω

fv dx para todo v ∈ V (8.8)

La formulacion debil encaja en un marco abstracto de trabajo el cual veremos con frecuencia.

Tenemos un espacio de Hilbert V (es decir,H1 (Ω) ) una forma bilineal B : V × V → R (dada


por el lado izquierdo de (8.8)), es un funcional lineal F : V → R (dado por el lado derecho de

(8.8)), y la formulacion debil es

Encontrar u ∈ V tal que B (u, v) = F (v) para todo v ∈ V (8.9)

Es claro que si u es una funcion C2 que satisface la formulacion clasica (8.6) de nuestro problema

de frontera, entonces u ∈H1 (Ω) y u satisface la formulacion debil (8.8). Por el contrario, si u

resuelve la formulacion debil, y si u es C2, entonces u es una solucion clasica para el problema

de frontera.

Sin embargo, la formulacion clasica y la formulacion debil no son totalmente equivalentes, ya

que puede suceder que exista una solucion a la formulacion debil que no es C2.

Se puede demostrar que la solucion de la formulacion debil es suave automaticamente si tanto la

funcion de fuerza f es suave y el dominio tiene un lımite suave, pero tales teoremas regularidad

elıpticas no son triviales.

Observacion. En la definicion de los espacios de Sobolev H1 (Ω) yH1 (Ω) hemos pasado por

alto varios puntos. En la definicion del espacio anterior, asumimos que esta claro lo que se

entiende por grad v cuando v ∈ L2 (Ω). Brevemente, dada una funcion v en L2, una funcion w

de valores vectoriales en L2 es igual al grad v si y solo si´

Ωv div φ dx = −

´Ωw ·φ dx para toda

funcion vectorial φ en C∞ con soporte compacto en Ω. Un punto mas sutil es que en la definicion

deH1 (Ω), se ha supuesto que esta claro lo que se entiende por v |Γ para v ∈ H1 (Ω). Esto no

es evidente. Por ejemplo, ciertamente no hay manera de dar sentido a v |Γ para una funcion

arbitraria v ∈ H1 (Ω) (que se define solo en casi todas partes, y no puede ser definido en cualquier

parte). De hecho, se puede demostrar que existe un mapeo unico acotado γ : H1 (Ω)→ L2 (Γ)

tal que γv = v |Γ para todo v ∈ H1 (Ω) ∩ C(Ω). Este es un ejemplo del teorema de la traza,

y requiere un cierto esfuerzo para establecer. Por v |Γ simplemente queremos decir γv, para

cualquier v ∈ H1 (Ω).

La formulacion debil es en muchos sentidos una formulacion muy natural del problema de

Dirichlet para la ecuacion de Poisson.

Una indicacion de esto es que es muy sencillo, para determinar la existencia y unicidad de las

soluciones debiles. Se establece primero la desigualdad de Poincare, que establece que existe

una constante c que solo depende del dominio Ω, de manera que ‖u‖L2(Ω) ≤ c ‖u‖H1(Ω) para

todo u ∈H1 (Ω). Se sigue que en el espacio

H1 (Ω), la cantidad

√‖ grad u‖L2 es una norma

equivalente a la norma completa H1, y asi el lado derecho de () define un producto interno enH1 (Ω) el cual es equivalente al producto interno de H1. Existencia y unicidad de una solucion

debil es entonces una consecuencia inmediata del teorema de representacion de Riesz.

Observacion. Ademas de la formulacion debil del problema de contorno (), hay una formu-


lacion variacional estrechamente relacionada. En este buscamos u ∈H1 (Ω) que minimiza el

funcional de energıa

E (w) :=

ˆΩ

| grad w|2 dx+

ˆΩ

fw dx

donde w ∈H1 (Ω). Si u es la solucion de formulacion debil y w ∈

H1 (Ω) con w 6= u pero de

otra manera arbitraria, podriamos escribir w = u+ v con 0 6= v ∈H1 (Ω), y entonces

E (w) =1

2

ˆΩ

| grad u|2 dx+

ˆΩ

grad u · grad v dx+1

2

ˆΩ

| grad v|2 dx+

ˆΩ

fu dx

ˆΩ

fv dx

= E (w) +

[ˆΩ

grad u · grad v dx+

ˆΩ

fv dx

]+

1

2

ˆΩ

| grad v|2 dx

El termino entre parentesis se desaparece si u es una solucion debil, y el termino final es positivo

si v 6= 0. Por lo tanto E(u) < E(w), y u es de hecho el minimizador. A la inversa, si u minimiza

E sobreH1 (Ω) y v ∈

H1 (Ω) es arbitrario, entonces la funcion cuadratica G : R→ R dada por

G (t) = E (u+ tv) = E (u) +

[ˆΩ


ˆΩ

fv dx

]+t2

2

ˆΩ

| grad v|2 dx

tiene un minimo en t = 0, y esto muestra inmediatamente que u es una solucion debil. Por lo

tanto la idea de una solucion debil y una solucion variacional (un minimizador de la energıa

funcional) son equivalentes para este problema. Para los problemas que no son simetricos sin

embargo (por ejemplo, si la EDP fuera 4u+∂u/∂x = f ) no existe una formulacion variacional

natural, mientras que la formulacion debil sigue siendo valida.

8.3.2. Metodo de Galerkin

En la formulacion debil, buscamos una funcion en el espacio de ensayoH1 (Ω) que satisfece

la ecuacion debil (8.8) para todo v en el espacio de ensayoH1 (Ω). En el metodo de Galerkin

elegimos un espacio finito dimensional Sh ⊂H1 (Ω), que usamos en lugar de

H1 (Ω) como ensayo

y espacio de ensayo. Esto es, uh ∈ Sh satisfaciendo la formulacion debil discreta

ˆΩ

grad uh · grad v dx = −ˆ

Ω

fv dx para todo v ∈ Sh

Vamos a demostrar que esa funcion uh existe y es unica. Sea φ1, ..., φN cualquier base de Sh.

Entonces estamos buscando uh =∑N

j=1 αjφj tal que

ˆΩ

grad uh · grad φi dx = −ˆ

Ω

fφi dx i = 1, ..., N

(Por linealidad, es suficiente con que la ecuacion debil poseen para cada funcion una base.) Esto


significa queN∑j=1

αj

ˆΩ

grad φj · grad φi dx = −ˆ

Ω

fφi dx

Si definimos la matriz de rigidez M ∈ RN×N como

Mij =

ˆΩ

grad φj · grad φi dx

y el vector de carga F ∈ RN como

Fi = −ˆ

Ω

fφi dx

entonces el vector de coeficiente α se determina como la solucion del sistema lineal

Mα = F

La matriz M es claramente simetrica, y tambien definida positiva, como para cualquier vector

α ∈ RN

αTMα =∑ij

αiαj

ˆΩ

grad φj · grad φi dx

=

ˆΩ

grad

(∑j

αjφj

)· grad

(∑i

αiφi

)dx

=

ˆΩ

| grad v|2 dx

donde v =∑

j αjφj . Dado que esta ultima cantidad es una norma de v es positivo a menos que

v ≡ 0, lo que solo ocurre si α = 0.

Por lo tanto el metodo de Galerkin es implementable. Si elegimos un espacio Sh para el que po-

damos encontrar una base que no sea demasiado complicada, podemos calcular las N2 integrales

dadas por la matriz de rigidez y las N integrales dadas por el vector de carga y, a continuacion,

resolver el sistema lineal resultante N ×N simetrico definida positiva para encontrar los coefi-

cientes de uh con respecto a la base.

Observacion. En lugar de comenzar con la formulacion debil y la restriccion de las pruebas y

espacios de ensayo para un subespacio de dimension finita, podemos comenzar con la formulacion

variacional y restringir el espacio de ensayo de Sh. Es decir, definimos uh ∈ Sh para ser el

minimizador de E(v) sobre v ∈ Sh . Esto se conoce como el metodo de Ritz. Siguiendo la

prueba para el caso continuo vemos que uh es de hecho la solucion Galerkin. Este punto de

vista, que la solucion aproximada se determina mediante la restriccion de la minimizacion de

la energıa a un espacio de dimension infinita, fue la primera motivacion para el metodo de

los elementos finitos. Sin embargo, se obtiene una mayor generalidad mediante el uso de la


formulacion debil y el metodo de Galerkin en lugar de la formulacion variacional y el metodo

de Ritz.

8.3.3. Un metodo de elementos finitos simple.

El metodo de los elementos finitos consiste en el metodo de Galerkin junto con la eleccion de un

tipo particular de subespacio Sh. Es decir particionamos Ω en un numero finito de triangulos

disjuntos u otras piezas simples, y tomar Sh para ser un espacio de polinomios a trozos con

respecto a esta particion.

Mas especıficamente, supongamos que, por ahora, Ω es un polıgono. Dado un triangulacion Th

definimos M10 (Th) para ser el espacio de funciones lineales continuas por partes subordinadas

a esta triangulacion, que es el espacio de las funciones continuas en Ω que restringen a los

polinomios de grado a lo mas 1 en cada T ∈ Th. El superındice 1 se refiere al grado del

polinomio y el subındice 0 al hecho de que la continuidad de C0 se cumple. Es facil comprobar

que un polinomio a trozos esta en H1 si y solo si es continuo: el gradiente de un polinomio

continuo a trozos es la funcion de L2 obtenida tomando el gradiente triangulo por triangulo.

Por lo tanto para cualquier triangulacion, M10 (Th) es un subespacio de H1. Como un subespacio

deH1 (Ω), tenemos que

Sh =M1

0 (Th) = M10 (Th) ∩

H1 (Ω)

Este es el espacio elemento finito mas simple para el problema de Dirichlet. Una base para Sh

esta dada por las funciones sombrero asociados con todos los vertices interiores.

Recordemos que las funciones sombrero son funciones locales basicas en que cada soporte son

unos pocos triangulos. Es decir, el soporte de φj es la union de los triangulos que comparten

el vertice xj), y solo habra algunas otras funciones basicas cuyo soporte contiene uno de estos

triangulos, es decir, las funciones basicas asociadas a los vertices de los triangulos en el soporte

de φj.

Si φj es cualquier otra funcion basica, entonces las entradas correspondientes de la matriz de

rigidez son ˆΩ

grad uh · grad φi dx = 0

Como consecuencia vemos que con la funcion sombrero basica, la matriz de rigidez es dispersa

(solo habra unos pocos elementos no nulos por fila, y este numero no aumentara cuando refi-

namos la malla, con tal de no permitir que los angulos del triangulo para disminuyan). Tambien

las entradas de la matriz de rigidez, que son distintas de cero se calculan facilmente: son sumas

de las integrales de polinomios mas un par de triangulos (de hecho, excepto para las entradas

de la diagonal de la matriz de rigidez, mas de dos triangulos). Esto se suma en gran medida a

la eficiencia de la aplicacion del metodo de Galerkin.

Ahora podemos definir mas o menos el metodo de elementos finitos: es el metodo de Galerkin


utilizando un espacio de prueba, de polinomios a trozos con una base local.

Ahora a trabajar con un ejemplo sencillo. Tomamos por Ω el cuadrado unidad con una malla

uniforme y dividimos Ω en n × n subcuadrados de tamano h = 1/n y dividimos cada una de

ellas en dos triangulos usando la diagonal de pendiente positiva. Como en la figura, tenemos

una malla uniforme del cuadrado.

Ahora bien, si φ es una funcion lineal, entonces ∂φ/∂x es constante, y podemos encontrar

mediante la evaluacion de φ en dos puntos distintos en una lınea horizontal, y tomando un

cociente de diferencias. Dado que cada uno de nuestros triangulos tiene un horizontal y un

borde vertical, y ya que conocemos los valores de las funciones sombrero basicas en los vertices,

podemos calcular facilmente las derivadas parciales de las funciones basicas. Esto se muestran en

la siguiente figura, en la que tenemos los valores de ∂φ/∂x y ∂φ/∂y para las funciones sombrero.

Entonces es facil calcular la matriz de rigidez, escribimos φij para la funcion basica asociada al

vertice xij = (ih, jh) y tenemos

ˆgrad φij · grad φkl dx =

4 i = k, j = l

−1 i = k ± 1, j = l o i = k, j = l ± 1

0 otro caso

En otras palabras, la matriz de rigidez para elementos finitos linales a trazos para el oper-

ador laplaciano en en cuadrado unitario con una malla uniforme es exactamente la matriz del

laplaciano de 5 puntos.


Si ponemos

fi,j :=1

h2

ˆfφij

y escribimos la solucion del elemento finito como uh =∑

i,j Uijφij, tenemos

4Uij − Ui−1,j − Ui+1,j − Ui,j−1 − Ui,j+1

h2− fi,j = 0

Note que´φijdx = h2 y si f es al menos C2, entonces fi,j = f (xij) +O (h2).

A partir de este hecho y del analisis anterior del laplaciano de 5 puntos, es facil obtener una

estimacion O(h2) de la convergencia en los vertices. De hecho, como veremos, una de las

grandes ventajas del metodo de los elementos finitos es que no hay un enfoque muy natural

para el analisis de errores (que no implica una relacion con el metodo de diferencias finitas).

Las estimaciones mas naturales se obtienen en H1(Ω) y L2(Ω) (estimaciones de error en L∞(Ω)

tambien se puede obtener, pero son mas complicados).

En circunstancias mas generales, si la solucion u ∈ H2(Ω), entonces

‖u− uh‖H1(Ω) ≤ Ch ‖u‖H2(Ω) , ‖u− uh‖L2(Ω) ≤ Ch2 ‖u‖H2(Ω)

para alguna constante C. Notemos que a diferencia de la estimacion de diferencias finitas, las

normas son las normas de funciones en Ω, no solo en los vertices de la malla. Notemos tambien

que solo se requiere que u ∈ H2, ni siquiera C2, para tener convergencia O (h2).

Por el contrario, en el caso de diferencias finitas necesitabamos u ∈ C4. Por ejemplo, si la

funcion f esta solo en L2, entonces no puede ser definida en los puntos de la malla y en metodo

de diferencias finitas estandar no es significativo, mientras que el metodo de elementos finitos

es aplicable y se da en este caos convergencia de segundo orden.

Mas aun, las mismas estimaciones de error tienen un dominio bastante arbitrario con una

triangulacion arbitraria. En este caso h debe interpretarse como el diametro del triangulo mas

grande de la triangulacion (excepto que tenemos que hacer cumplir una cota con el angulo mas

paqueno del triangulo).

8.3.4. Aplicacion a problemas mas generales.

Otra ventaja del metodo de elementis finitos elemento es la facilidad con la que se puede adaptar

a una amplia variedad de problemas.

8.3.4.1. EDPs elıpticas mas general. Por ejemplo, supongamos que reemplazamos la


ecuacion de Poisson 4u = f una EDP de segundo grado mas general

2∑i,j=1

∂

∂xi

(aij

∂u

∂xj

)+

2∑i=1

bj∂

∂xj+ cu = f

donde los coeficientes aij, bj y c pueden ser funciones de x. De nuevo, podemos multiplicar por

una funcion de prueba v ∈H1 (Ω) e integrar sobre Ω por partes para obtener una formulacion

debil del problema de Dirichlet en la forma (8.9). La unica diferencia es que ahora

B (u, v) =

ˆΩ

∑i,j

aij∂u

∂xi

∂v

∂xj−∑i

bi∂u

∂xiv − cuv dx

Restringiendo las funciones de prueba Sh, se obtiene un metodo de elementos finitos como antes.

Si la EDP es elıptica, lo que significa que la matriz aij(x) es simetrica definida positiva, entonces

el comportamiento del metodo de elementos finitos para este problema sera muy similar a el

problema de Poisson. Ası, el metodo de los elementos finitos es capaz de manejar coeficientes

variables, ecuaciones anisotropicos y terminos de orden inferior.

Incluso podemos permitir que los coeficientes dependan de la solucion u, y ası tener un PDE no

lineal. En ese caso, la forma B(u, v) sera lineal en v pero no lineal en u. Y de nuevo el metodo

de elementos finitos puede aplicarse, aunque, por supuesto, el sistema resultante de ecuaciones

algebraicas sera no lineal.

8.3.4.2. Neumann condiciones de contorno. Sin embargo, otra ventaja del metodo de

elementos finitos, es su flexibilidad en el manejo de las diferentes condiciones de contorno (que

puede ser muy difıcil para los metodos de diferencias finitas). Considere por ejemplo la ecuacion

de Poisson en un polıgono, pero supongamos que algunas partes estan sujetas a la condicion de

contorno Dirichlet u = 0 y algunas a la condicion de contorno Neumann, ası que el problema es

encontrar u satisfaciendo

4u = f en Ω, u = 0 en ΓD,∂u

∂n= 0 en ΓN

donde ΓD y ΓN son subconjuntos abiertos disjuntos de Γ tal que Γ = ΓD ∪ ΓN , la primera cosa

que puede pensarse es buscar u en un subespacio de H1(Ω), que satisfaga ambas condiciones de

frontera, es decir, en v ∈ H1(Ω)/v |ΓD≡ 0, ∂v/∂n ≡ 0

Sin embargo, esto no funciona, ya que no hay manera de definir ∂v/∂n para v ∈ H1. Dicha

funcion esta bien definida en la restriccion (o ΓD), pero sus primeras derivadas, que son funciones

L2, no lo estan. Para ver la forma de evitar este problema, vamos a multiplicar la ecuacion de

Poisson con una funcion de prueba v suave e integramos sobre Ω.


La formula de Green para la integracion por partes nos muestra la manera de evitar este prob-

lema. Para cualquier u y v tenemos

ˆΩ


Ω

4uv dx+

ˆΓ

∂u

∂nv ds

Si u satisface la ecuacion de Poisson, entonces

ˆΩ

4uv dx =

ˆΩ

f v dx

y si u satisface las condiciones de frontera de Neumann, entonces

ˆΓ

∂u

∂nv ds =

ˆΓD

∂u

∂nv ds

Definimos

H1D (Ω) =

v ∈ H1 (Ω) /v |ΓD≡ 0

Notemos que en este espacio se ha impuesto la condicion de contorno Dirichlet, pero la condicion

de contorno Neumann ha sido ignorada (ya que no hay manera de que tenga sentido en H1).

Esto nos lleva a la formulacion debil para el problema mixto Dirichlet / Neumann de valor de

frontera: Encuentrar u ∈ H1D(Ω) tal que

ˆΩ


Ω

f v dx para todo u ∈ H1D(Ω)

Al igual que para el problema de Dirichlet puro, como una consecuencia facil del teorema de

representacion de Riesz y la desigualdad de Poincare, este problema tiene una solucion unica.

Al derivar la formulacion debil, hemos mostrado que si u es una solucion clasica al problema de

contorno, entonces satisface esta formulacion debil. Por el contrario, si u resuelve el problema

debilmente formulado, y u es C2, entonces podemos integrar por partes para encontrar que

−ˆ

Ω

4uv dx+

ˆΓ

∂u

∂nv ds = −

ˆΩ

f v dx para todo u ∈ H1D(Ω)

Tomando primero v que sea suave y tenga soporte compacto en Ω, concluimos que 4u = f en

Ω, por tanto´

Γ∂u∂nv ds = 0 para todo u ∈ H1

D(Ω), como tal funcion puede ser arbitraria en ΓN ,

concluimos que ∂u/∂v = 0 en ΓD.

En resumen: la formulacion debil para el problema mixto Dirichlet / Neumann de valor de

frontera tiene una solucion unica. Esta coincide con la solucion clasica siempre que sea C2 y

siempre que exista la solucion clasica. Tengamos en cuenta que las condiciones de contorno de

Dirichlet y Neumann son tratadas de forma completamente diferente en la formulacion debil.


La condicion de Dirichlet se impone a priori por la construccion de esta en el espacio de prueba.

La condicion Neumann no esta agregada en el espacio de prueba, sino que surge como consecuen-

cia de la formulacion debil. La terminologıa utilizada para esto es que la condicion de Dirichlet

es una condicion de contorno esencial, mientras que la condicion de Neumann es natural.

Una vez que tenemos la formulacion debil podemos utilizar el metodo de Galerkin con cualquier

subespacio Sh de H1D (Ω). Esto conduce a un problema de una matriz simetrica definida positiva.

Mientras nos encargamos de que cada arista del triangulo en la frontera pertenece enteramente

a cualquiera ΓD o ΓN podemos construir facilmente un espacio lineal por tramos de elementos

finitos:

M10D (Th) = M1

0 (Th) ∩H1D (Ω)

A nivel local se da pra las funciones sombrero en todos los vertices de triangulacion, excepto los

pertenecientes a ΓD.

No se considero el caso de las condiciones de Neumann puras porque el problema de contorno

4u = f en Ω, ∂u∂n

= 0 en Γ en no esta bien planteado.

El teorema de Green implica que no existe una solucion menos que´

Ωf = 0, y si hay una

solucion, podemos anadir cualquier constante a esa para obtener otra solucion. Si se considera en

cambio la ecuacion diferencial4u+u = f , o, mas generalmente, −div(A grad u)+cu = f , donde

A es una matriz simetrica definida positiva y c > 0, este problema se va y las consideraciones

que se aplican igual que el problema puro Neumann (ΓN = Γ, ΓD = Γ).

8.3.4.3. Condiciones de contorno no homogeneas. Hasta ahora hemos considerado las

condiciones de contorno homogeneas de Dirichlet y Neumann. Ahora hablamos de condiciones de

contorno no homogeneas. Las condiciones de contorno naturales son sencillas. Si ∂u∂n

= g en ΓN ,

entonces para cualquier funcion de prueba v ∈ H1D(Ω),

ˆΓ

∂u

∂nv ds =

ˆΓN

gv ds

y asi la formulacion debil se convierte en: Encontrar u ∈ H1D(Ω) tal que

ˆΩ


Ω

f v dx+

ˆΓN

gv ds para todo v ∈ H1D(Ω)

Esto es de nuevo de la forma B(u, v) = F (v), donde ahora F (v) contiene un termino adicional

que surge de los datos Neumann. Condiciones de contorno esenciales deben construirse en

el espacio de prueba. Es decir, si la condicion de contorno es u = g en Γ (para simplificar

supongamos ΓN = ∅), buscamos

u ∈ H1g (Ω) :=

v ∈ H1(Ω)/v |Γ≡ g


Las ecuaciones debiles son tadavia

ˆΩ


Ω

f v dx para todo v ∈ H1D(Ω)

esto es, el espacio de prueba permanece homogeneo. Para ver que todavıa hay una solucion

unica, seleccionamos cualquier funcion ug ∈ H1(Ω) de forma que ug |Γ= g. Entonces

H1g (Ω) =

ug + v \ v ∈

H1 (Ω)

y las ecuaciones debiles son satisfechas por u = ug + u0 si y solo si u0 ∈H1 (Ω) y

B (u0, v) = F (v)−B (ug, v) para todo v ∈H1 (Ω)

Para la solucion de elementos finitos podemos usar de nuevoM1

0 (Th) como espacio de prueba,

pero no podemos usar como espacio de prueba a M10 (Th) ∩H1

g (Ω), ya que, a menos que g sea

lineal a trozos, este espacio esta vacıo. En su lugar utilizamos M10 (Th) ∩ H1

g (Ω) donde g es

una aproximacion lineal por tramos de g (con respecto a la particion de Γ en los bordes de los

triangulos de Th), por ejemplo, su interpolador lineal a trozos, o L2(Γ)−proyeccion.

8.3.4.4. Condiciones de contorno de Robin. Como otro ejemplo, consideramos el problema

de Poisson con condiciones de contorno de Robin, que modelan la ley de enfriamiento de Newton

en la frontera (flujo de calor a traves de la frontera es proporcional a la diferencia entre la

temperatura del cuerpo y la temperatura exterior). Esto da la condicion de frontera

∂u

∂n= α (g − u)

donde g es la temperatura exterior y α es una constante positiva (positiva ya que que el flujo

de calor hacia fuera del dominio es positivo y proporcional a −∂u/∂n y el calor debe fluir hacia

fuera si u supera g. Sustituyendo g por αg llegamos a un problema de frontera como

4u = f en Ω,∂u

∂n+ αu = g en Γ

Dado que la condicion de frontera implica primeras derivadas, estas no se puede imponer en

H1(Ω). Por lo tanto, la condicion de frontera Robin demostrara ser una condicion de contorno

natural. Para encontrar la formulacion debil correcta, se multiplica por una funcion de prueba

e integramos por partes para obtener

ˆΩ

grad u · grad v dx−ˆ

Γ

∂u

∂nv dx = −

ˆΩ

f v dx


Usando la condicion de frontera podemos reescribier esto como

ˆΩ


ˆΓ

αuv dx = −ˆ

Ω

f v dx+

ˆΓ

gv dx

La formulacion debil es, pues, otra vez de la forma: Encuentrar u ∈ V tal que B(u, v) = F (v)

para todo v ∈ V , donde V = H1(Ω), como para el problema de Neumann puro, pero ahora

B (u, v) =

ˆΩ


ˆΓ

αuv dx, F (v) = −ˆ

Ω

f v dx+

ˆΓ

gv dx

En vista de la desigualdad de Poincare, B es de nuevo una forma bilineal simetrica acotada en

H1 ×H1 y F es una forma lineal acotada. Por otra parte B(u, u) ≥ ‖ grad u‖2L2 , y B(u, u) = 0

solo si u ≡ 0 (ya que para tal u, grad u = 0 y u = 0 en Γ).

De esto se deduce (por un pequeno argumento que omitimos) que B es equivalente al producto

interior habitual en H1(Ω). Por lo tanto las condiciones de contorno de Robin se pueden

incorporar facilmente en la formulacion debil, y por lo tanto en un elemento de discretizacion

finito.

8.3.4.5. Fronteras curvadas. Finalmente consideramos, en pocas palabras, el caso en el

que Ω tiene una curva en lugar de frontera poligonal. Esto no hace efecto en la formulacion

debil, pero el diseno de los elementos finitos de subespacios de H1(Ω) o H1D(Ω) o

H1(Ω) no es

trivial, y ha engendrado muchos algoritmos, codigos y papers. Por ahora las fronteras curvadas

seran manejadas normalmente en el metodo de los elementos finitos, pero que no se requiere un

esfuerzo adicional.

En el caso de condiciones de contorno naturales, hay una posibilidad obvia. Podemos triangular

un dominio curva utilizando triangulos ordinarias a excepcion de una capa de triangulos que

contienen un borde curvado cerca de la frontera.

En la figura tenemos una porcion de la triangulacion usando triangulos curvilineales cerca de la

frontera.

Entonces podemos especificar un espacio de funciones lineales a trozos como antes, mediante la

determinacion de una funcion en cada triangulo, recta o curva, dando los valores de los vertices.

La unica dificultad con este enfoque es que puede que no sea facil de calcular las integrales

9 PROBLEMAS ELIPTICOS 86

necesarias en la matriz de rigidez.

En el caso de condiciones de contorno de Dirichlet hay una considerable dificultad adicional.

Supongamos que tenemos un triangulo curvilıneo con dos vertices en la frontera conectados

por una curva e contenida en la frontera . Una funcion lineal en el triangulo que se anula

en los dos vertices se desvanecera en toda la lınea recta que los conecta, no en la curva e.

Una forma de superar este problema no es que se enfrentan. En lugar de ello, solo tiene

que reemplazar el dominio original con un dominio h poligonal obtenida por interpolacion de

los vertices de la frontera por una curva poligonal. Por supuesto, esto introduce una fuente

adicional de error. En justa circunstancias generales se puede demostrar que este nuevo error

no se degrada la exactitud de los metodos de elementos finitos basado en elementos finitos lineales

a trozos, pero se degrada la exactitud de elementos de orden finito superiores. Esto se puede

superar utilizando simultaneamente orden superior interpolacion polinomica hasta la frontera,

por ejemplo, la aproximacion de los bordes curvados de los triangulos por curvas parabolicas al

utilizar los elementos finitos cuadraticas. Sin embargo, otra posibilidad es no utilizar funciones

polinomicas de prueba en absoluto en los triangulos curvos. En su lugar se puede construir un

buen mapeo de un triangulo de referencia de borde recto a unos triangulos curvilıneos y utilizar

funciones polinomicas en el triangulo de referencia.

Las funciones de prueba utilizados en el triangulo curvilıneo son entonces la composicion de la

aplicacion inversa al triangulo de referencia y los polinomios en el triangulo de referencia. Una

estrategia que resulta ser relativamente facil de implementar y de mantener una buena precision

es usar un mapeo polinomico del polinomio referencia para el polinomio verdadero utilizando

polinomios como el mismo grado como las funciones de prueba en el triangulo de referencia.

Este esquema se conoce como elementos finitos isoparametricos .

9. Problemas Elıpticos

Una de las mas importantes ecuaciones diferenciales parciales de la fısica matematica y la

ingenierıa es la ecuacion de Laplace, que tiene la siguiente forma en dos variables:

∇2u ≡ ∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

Estrechamente relacionado con esta, tenemos la ecuacion de Poisson:

∇2u = g(x, y)

Estos son ejemplos de ecuaciones elıpticas. Las condiciones de contorno asociados con ecuaciones


elıpticas generalmente difieren de aquellos para ecuaciones parabolicas e hiperbolicas. Consid-

eramos aquı un problema modelo para ilustrar los procedimientos numericos que se utilizan a

menudo.

Problema Modelo de la ecuacion de Helmholtz

Supongamos que una funcion u = u(x, y) de dos variables es la solucion a un cierto problema

fısico. Esta funcion es desconocida, pero tiene algunas propiedades que, en teorıa, determinan

su unicidad. Suponemos que en una region R dada en el plano xy,∇2u+ fu = g

u (x, y) conocida en la frontera de R(9.1)

Aquı, f = f(x, y) y g = g(x, y) se dan como funciones continuas definidas en R. La valores en

la frontera podrıan ser dados por una tercera funcion u(x, y) = q(x, y) en el perımetro de R.

Cuando f es una constante, esta ecuacion diferencial parcial se llama la ecuacion de Helmholtz.

Se origina en la busqueda de soluciones oscilatorias de las ecuaciones de onda.

9.1. Metodo de diferencias finitas

Como antes, nos encontramos con una solucion aproximada de un problema tal por el metodo

de diferencias finitas. El primer paso es seleccionar las formulas aproximadas para los derivadas

de nuestro problema. En la situacion actual, utilizamos la formula estandar

f ′′ (x) ≈ 1

h2[f (x+ h)− 2f (x) + f (x− h)] (9.2)

derivada en una seccion anterior. Si usamos una funcion de dos variables, obtenemos la formula

de 5 puntos para la aproximacion de la ecuacion de Laplace:

∇2u ≈ 1

h2[u (x+ h, y) + u (x− h, y) + u (x, y + h) + u (x, y − h)− 4u (x, y)] (9.3)

Esta formula involucra los 5 puntos mostrados en la figura


El error local inherente en la formula de 5 puntos es, como teniamos antes

−h2

12

[∂4u

∂x4(ξ, y) +

∂4u

∂x4(x, η)

](9.4)

y por esta razon, la formula (9.3) se dice que proporciona una aproximacion de orden O(h2).

En otras palabras, si las mallas se utilizan con mas y mas pequeno espacios h→ 0, entonces el

error que se comete en la sustitucion ∇2u por su aproximacion de diferencias finitas va a cero

tan rapidamente como lo hace h2. La ecuacion (9.3) se llama la formula de cinco puntos porque

se trata de valores de u en (x, y) y en los cuatro puntos mas cercanos de la malla.

Notemos que cuando la ecuacion diferencial (8.1) se sustituye por el analogo de diferencias

finitas, hemos cambiado el problema. Incluso si el problema de diferencias finitas analogo se

resuelve con total precision, la solucion es la de un problema que solo simula la original. Esta

simulacion de un problema por otro se vuelve mejor y mejor a medida h se hace para disminuir

a cero, pero el costo de la computacion aumentara inevitablemente. Tambien debemos senalar

que otras representaciones de los derivadas pueden ser utilizados. Por ejemplo, la formula de

nueve puntos es

∇2u ≈ 1

6h2[ 4u (x+ h, y) + 4u (x− h, y) + 4u (x, y + h) + 4u (x, y − h) + u (x+ h, y + h)(9.5)

+u (x− h, y + h) + u (x+ h, y − h) + u (x− h, y − h)− 20u (x, y) ]

Esta formula es de orden O(h2). En el caso especial de que u es una funcion armonica (lo que

significa que es una solucion de la ecuacion de Laplace), la formula de nueve puntos es de orden

O(h6).

Por lo tanto, es una aproximacion muy precisa en el uso de metodos de diferencias finitas y la

solucion de la ecuacion de Poisson ∇2u = g, con g una funcion armonica. Para los problemas

mas generales, la formula de nueve puntos( 9.5) tiene el mismo termino de error orden que el

de cinco puntos formula (9.3) (es decir, O(h2)), y no serıa una mejora sobre el mismo.

Si la separacion de malla no es regular (por ejemplo, h1, h2, h3, h4 y estan a la izquierda, abajo,

derecha, arriba igualmente espaciados, respectivamente), entonces tenemos que en (x, y) la

formula irregular de cinco puntos es

∇2u ≈ 112h1h3 (h1 + h3)

[h1u (x+ h3, ty) + h3u (x− h1, y)] +1

12h4h2 (h2 + h4)

[h2u (x, y + h4) + h4u (x, y − h2)]

−2

(1

h1h3

+1

h2h4

)u (x, y) (9.6)

que es solo de orden h cuando h1 = αih para 0 < αi < 1. Esta formula se utiliza por lo general

cerca de puntos de contorno, como en la figura siguiente


Si la malla es pequena, sin embargo, los puntos de contorno se pueden mover ligeramente para

evitar el uso de (9.6). Esta perturbacion de la region R (en la mayorıa de los casos para h

pequeno) produce un error no mayor que el introducido usando el esquema irregular (9.6).

Volviendo al problema modelo (9.1), cubrimos la region R por puntos de la malla

xi = ih yj = jh (i, j ≥ 0) (9.7)

Introducimos la notacion abreviada:

uij = u(xi, yi), fij = f(xi, yi), gij = g(xi, yj) (9.8)

Con esto, la formula de cinco puntos adquiere una forma sencilla en el punto (xi, yj):

(∇2u

)ij≈ 1

h2[ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 + 4uij] (9.9)

Si esta aproximacion se hace en la ecuacion diferencial (9.1), el resultado es

−ui+1,j − ui−1,j − ui,j+1 − ui,j−1 +(4− h2fij

)uij = −h2gij (9.10)

Los coeficientes de esta ecuacion se pueden ilustrar por una estrella de cinco puntos en la que

cada punto se corresponde con el coeficiente de u en la malla


Para ser mas especıficos, se supone que la region R es el cuadrado unidad y que la malla tiene

el espaciamiento h = 1/4

Obtenemos una ecuacion lineal de la forma (9.10) para cada uno de los nueve puntos interioresde la malla. Estas nueve ecuaciones son las siguientes:

−u21 − u01 − u12 − u10 + (4− h2f11)u11 = −h2g11

−u31 − u11 − u22 − u20 + (4− h2f21)u21 = −h2g21

−u41 − u21 − u32 − u30 + (4− h2f31)u31 = −h2g31

−u22 − u02 − u13 − u11 + (4− h2f12)u12 = −h2g12

−u32 − u12 − u23 − u21 + (4− h2f22)u22 = −h2g22

−u42 − u22 − u33 − u31 + (4− h2f32)u32 = −h2g32

−u23 − u03 − u14 − u12 + (4− h2f13)u13 = −h2g13

−u33 − u13 − u24 − u22 + (4− h2f23)u23 = −h2g23

−u43 − u23 − u34 − u32 + (4− h2f33)u33 = −h2g33

Este sistema de ecuaciones puede ser resuelto a traves de la eliminacion de Gauss, pero exam-inando mas de cerca. Hay 45 coeficientes. Como u es conocido en los puntos de frontera, nosmovemos estos 12 terminos a la derecha, dejando solo 33 elementos distintos de cero de los 81en nuestro sistema de 9× 9. La eliminacion de Gauss estandar hace que una gran cantidad derelleno, en la eliminacion de avance de fase, es decir, las entradas que son cero son sustituidospor valores distintos de cero. Por lo tanto, buscamos un metodo que conserva la estructura


dispersa de este sistema. Para ilustrar como escasa este sistema de ecuaciones es, lo escribimosen notacion matricial:

Au = b (9.11)

Supongamos que ordenamos las incognitas de izquierda a derecha y de abajo a arriba:

u = [u11, u21, u31, u12, u22, u32, u13, u23, u33]T (9.12)

Esto se denomina el orden natural. Ahora, la matriz de coeficientes es

4− h2f11 −1 0 −1 0 0 0 0 0−1 4− h2f21 −1 0 −1 0 0 0 00 −1 4− h2f31 0 0 −1 0 0 0−1 0 0 4− h2f12 −1 0 −1 0 00 −1 0 −1 4− h2f22 −1 0 −1 00 0 −1 0 −1 4− h2f32 0 0 −10 0 0 −1 0 0 4− h2f13 −1 00 0 0 0 −1 0 −1 4− h2f23 −10 0 0 0 0 −1 0 −1 4− h2f33

y el lado derecho es

b =

−h2g11 + u10 + u01

−h2g21 + u20

−h2h31 + u30 + u41

−h2g12 + u02

−h2g22

−h2g32 + u42

−h2g13 + u14 + u03

−h2g23 + u24

−h2g33 + u34 + u43

Note que si f (x, y) < 0, entonces A es una matriz diagonal dominante.

9.2. Metodo Iterativo de Gauss Seidel

Como las ecuaciones son similares en forma, se usan metodos iterativos para resolver estos

sistemas, donde la matriz de coeficientes es dispersa. Despejando la incognita diagonal, tenemos

la ecuacion (9.10) el metodo de Gauss-Seidel o iteracion dada por

u(k+1)ij =

1

4− h2fij

(u

(k)i+1,j + u

(k+1)i−1,j + u

(k)i,j+1 + u

(k+1)i,j−1 + h2gij

)Si tenemos valores aproximados de las incognitas en cada punto de la cuadrıcula, esta ecuacion

puede ser utilizada para generar nuevos valores. Llamamos u(k) los valores actuales de las

incognitas en la iteracion k y u(k+1) el valor en la siguiente iteracion. Por otra parte, los nuevos

valores se utilizan estan disponibles.


El pseudocodigo del metodo de Gauss-Seidel en un rectangulo, es como sigue:

%gauss seidel en el cuadrado

function m= seidel(ax ,ay,nx,ny,h,itmax ,u)

for k=1: itmax

for j=2:ny

y=ay+j*h;

for i=2:nx

x=ax+i*h;

v= u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1);

u(i,j)=(v-(h^2)*g(x,y))/(4-(h^2)*f(x,y));

end

end

end

m=u;

end

En esta funcion, escrita en Matlab, se debe decidir el numero de iteradas a calculas, itmax.Las coordenadas de la esquina inferior izquierda del rectangulo (ax,ay) y el tamano de paso hespecifico. El numero de puntos en x en la malla nx y el numero de puntos en y, ny.

El metodo de Gauss Seidel resuelve un sistema de ecuaciones de manera iterada.

9.3. Ejemplo Numerico y Pseudocodigo

Ilustremos este procedimiento en el problema de valores en la frontera∇2u− 125u = 0 dentro de R el cuadrado unidad

u = q en la frontera de R(9.13)

donde q = cosh(

15x)

+ cosh(

15y). Este problema tiene una solucion conocida u = q. A contin-

uacion un codigo para el procedimiento de Gauss-Seidel, comenzando con u = 1 y teniendo 20

iteraciones. Notemos que solo se necesitan 81 espacios de almacenamiento para la matriz en la

solucion del sistema lineal 49× 49 de manera iterativa. Aquı, h = 1/8.

%eliptico

nx=8; ny=8; itmax =50;

ax=0; bx=1; ay=0; by=1;

h=(bx-ax)/nx;

u=zeros(nx+1,ny+1);

for j=0:ny

y=ax+j*h;

u(1,j+1)= bandy(ax,y);

u(nx+1,j+1)=bandy(bx,y);

end


for j=0:nx

x=ay+j*h;

u(j+1,1)= bandy(x,ay);

u(j+1,ny+1)=bandy(x,by);

end

for j=2:ny

y=ay+j*h;

for i=2:nx

x=ax+i*h;

u(i,j)=ustar(x,y);

end

end

m=seidel(ax,ay,nx,ny,h,itmax ,u);

disp(m)

%graficamos la solucion aproximada

a=0:1/8:1; b=0:1/8:1;

[x,y]= meshgrid(a,b);

surf(x,y,m)

%solucionn exacta

a=0:1/8:1; b=0:1/8:1; [x,y]= meshgrid(a,b);

z=cosh (0.2.*x)+cosh (0.2.*y)

surf(x,y,z)

Para este problema modelo, se acompana de las funciones

%funcion real

function v=bandy(x,y)

v=cosh (0.2*x)+cosh (0.2*y);

end

function m=g(x,y)

m=0;

end

%funcion real

function a=f(x,y)

a= -0.04;

end

%funcion real

function s=ustar(x,y)

s=1;

end

Graficando las soluciones exacta y la solucion aproximada


Este ejemplo es una buena ilustracion del hecho de que el problema numerico esta resolviendo es

el sistema de ecuaciones lineales (9.11), que es una aproximacion discreta al problema con valor

de frontera continuo (9.13). Al comparar la verdadera solucion de (9.13) con la solucion calculada

del sistema, recordar que la discretizacion involucrado un error en la toma de la aproximacion.

Este error es O(h2). Con h tan grande como h = 1/8, la mayorıa de los errores en la solucion

computarizada son debido al error de discretizacion! Para obtener un mejor acuerdo entre los

problemas discretos y continuos, se selecciona un tamano para la malla mucho mas pequeno. Por

supuesto, el sistema lineal resultante tendra una matriz de coeficientes que es extremadamente

grande y bastante dispersa. Los metodos iterativos son ideales para la resolucion de este tipo

de sistemas que surgen de las ecuaciones en derivadas parciales.

Para la gama de aplicaciones de ingenierıa y ciencias, Matlab una PDE Toolbox para la solucion

numerica de ecuaciones en derivadas parciales. Tiene capacidad para dos variables de espacio y

una variable en el tiempo. Despues de discretizar la ecuacion a traves de una malla no estruc-

turada, se aplica elementos finitos para solucionarlo y ofrece una disposicion para la visualizacion

de los resultados.

9.4. Metodos de Elementos Finitos

El metodo de elementos finitos se ha convertido en una de las principales estrategias para la

resolucion de ecuaciones diferenciales parciales. Proporciona una alternativa a los metodos de

diferencias finitas. A modo de ejemplo, desarrollamos una version del metodo de elementos

finitos para la ecuacion de Poisson

∇2u ≡ uxx + uyy = r

donde r es una funcion constante. La ecuacion diferencial parcial esta dada en una region R

especificado en un plano de dos dimensiones. Resolver la ecuacion de Poisson es equivalente a


minimizar la expresion

J (u) =

ˆ ˆR

[1

2

(u2x + u2

y

)+ ru

]dx dy

Esto significa que si la funcion u minimiza la expresion anterior, entonces u obedece a la ecuacion

de Poisson. Supongamos que la region se subdivide en triangulos usando aproximaciones segun

sea necesario. La funcion u es aproximada por una funcion ϕ que es una composicion de elemen-

tos triangulares del plano, cada una definida por un trozo triangular deR. Entonces consideremos

el problema sustituto de minimizar ∑e

Je(ϕ(e))

donde se evalua cada termino de la suma sobre su propio triangulo base T , como se describe a

continuacion.

Supongamos que un triangulo de base tiene vertices (xi, yi), (xj, yj), y (xk, yk). La superficie de

la solucion por encima del triangulo se aproxima por un elemento plano triangular denotado

ϕ(e)(x, y), donde el superındice indica este elemento. Sea zi, zj, y zk las distancias hasta el plano

de las esquinas del triangulo llamados nodos. Sea L(e)i uno en el nodo i y cero en los nodos j y

k. Del mismo modo, sea L(e)j uno en el nodo j y cero en los nodos i y k, y sea L

(e)k uno en el

nodo k y cero en los nodos i y j.

Como se muestra en la figura siguiente

el area del triangulo base, denotada 4e, esta dada por

4e =1

2Det

1 xi yi

1 xj yj

1 xk yk

=1

2[xjyk + xiyj + xkyi − xjyi − xiyk − xkyj]

Consecuentemente, obtenemos

L(e)i =

1

24−1e Det

1 x y

1 xj yj

1 xk yk

=1

24−1e [(xjyk − xkyj) + (yj − yk)x+ (xk − xj) y]

≡ 1

24−1e

(a

(e)i + b

(e)i x+ c

(e)i y)


Hemos definido los coeficientes a(e)i , b

(e)j , c

(e)i , similarmente, encontramos

L(e)j =

1

24−1e Det

1 x y

1 xk yk

1 xi yi

=1

24−1e [(xkyi − xiyk) + (yk − yi)x+ (xi − xk) y]

≡ 1

24−1e

(a

(e)j + b

(e)j x+ c

(e)j y)

y

L(e)j =

1

24−1e Det

1 x y

1 xi yi

1 xj yj

=1

24−1e [(xiyj − xjyi) + (yi − yi)x+ (xj − xi) y]

≡ 1

24−1e

(a

(e)k + b

(e)k x+ c

(e)k y)

Finalmente obtenemos

ϕ(e) = L(e)i zi + L

(e)j zj + L

(e)k zk

y tenemos

Je(ϕ(e))

=

ˆ ˆT

[1

2

((ϕ(e)x

)2+(ϕ(e)y

)2)

+ rϕ(e)

]dx dy ≡ F (zi, zj, zk)

Para resolver el problema de minimizacion, igualaremos las derivadas apropiadas a cero, lo que

requiere derivadas de las componentes. Notemos que

ϕ(e)x =

1

24−1e

(b

(e)i zi + b

(e)j zj + b

(e)k zk

)y

ϕ(e)y =

1

24−1e

(c

(e)i zi + c

(e)j zj + c

(e)k zk

)Obtenemos los diferenciales

∂F

∂zi=

ˆ ˆT

(ϕ(e)x ϕ(e)

xzi+ ϕ(e)

y ϕ(e)yzi

+ rϕ(e)zi

)dx dy =

ˆ ˆT

(ϕ(e)x

1

24−1e b

(e)i + ϕ(e)

y

1

24−1e c

(e)i + rL

(e)i

)dx dy

=1

44−1e

[((b

(e)i

)2

+(c

(e)i

)2)zi +

(b

(e)i b

(e)j + c

(e)i c

(e)j

)zj +

(b

(e)i b

(e)k + c

(e)i c

(e)k

)zk

]+ r

1

34e

Aquı, las integraciones son directas por calculo elemental. Por otra parte, se puede demostrar

que ˆ ˆT

L(e)i dx dy =

ˆ ˆT

L(e)j dx dy =

ˆ ˆT

L(e)k dx dy =

1

34e

donde 4e es el area de cada triangulo T . Resultados similares se obtienen para ∂F∂zj

y ∂F∂zk

. En


consecuencia, nos propusimos ∂F∂zi∂F∂zj∂F∂zk

=

0

0

0

y obtenemos

(b

(e)i

)2

+(c

(e)i

)2

b(e)i b

(e)j + c

(e)i c

(e)j b

(e)i b

(e)k + c

(e)i c

(e)k

b(e)i b

(e)j + c

(e)i c

(e)j

(b

(e)j

)2

+(c

(e)j

)2

b(e)j b

(e)k + c

(e)j c

(e)k

b(e)i b

(e)k + c

(e)i c

(e)k b

(e)j b

(e)k + c

(e)j c

(e)k

(b

(e)k

)2

+(c

(e)k

)2

z1

z2

z3

= −4

3r42

e

1

1

1

Esta ecuacion matricial contiene todos los ingredientes que necesitamos para ensamblar las

derivadas parciales. En una aplicacion particular, necesitamos hacer el montaje apropiado. Para

cada elemento de ϕ(e), los nodos activos i, j y k son los que aportan valores distintos de cero.

Estas contribuciones se registran para las derivadas en relacion con las variables correspondientes

entre la zi, zj, zk, y ası sucesivamente.

Ejemplo

Aplicar el metodo de elementos finitos para resolver la ecuacion de Poisson uxx + uyy = 4 sobre

el cuadrado unidad con la triangularizacion mostrada en la figura

y utilizando los valores en la frontera correspondientes a la solucion exacta u(x, y) = x2 + y2 .

Solucion

Por simetrıa, tenemos que tener en cuenta solo la parte inferior derecha del cuadrado, que

se ha dividido en dos triangulos. Los ingredientes de entrada son los nodos 1 a 4, donde las

coordenadas (x, y) son como sigue: nodo 1:(1/2, 1/2), Nodo 2: (0, 0), el nodo 3: (1, 0), y el nodo

4: (1, 1).

Los elementos son dos triangulos con los numeros de nodo indicados: e = 1: 1, 2, 3 y e = 2:

1, 3, 4. Las coordenadas z necesitan ser determinados solo para el nodo 1, puesto quepara los


nodos 2, 3, 4 tenemos los valores en la frontera! Sin embargo, vamos a pasar por alto este hecho,

por el momento para ilustrar el proceso de montaje en el metodo de elementos finitos.

Observemos que las areas de los elementos triangulares son 41 = 42 = 1/4 y r = 4. En primer

lugar, se calculan a(e), b(e), c(e) los coeficientes para la informacion basica. En la siguiente tabla,

cada columna corresponde a un nodo (i, j, k):

e = 1 e = 2

a(e)

b(e)

c(e)

0 12

0

0 −12

12

1 −12−1

2

1 0 −12

−1 12

12

0 −12

12

Se puede comprobar que las columnas hacen producir las funciones deseadas L(e)i , L

(e)j y L

(e)k .

Por ejemplo: la primera columna da L(1)i = 1

24−1

1 [0 + 0 · x+ 1 · y] = 2y. En el nodo 1, esto da

el valor de 1, mientras que en los nodos 2 y 3, que da el valor 0. Del mismo modo, las otras

columnas producen los resultados deseados.

A continuacion, se obtiene la ecuacion de la matriz para el elemento e = 1: 1 −12−1

2

−12

12

0

−12

0 12

z1

z2

z3

=

−13

−13

−13

y la ecuacion para la matriz para el elemento e = 2: 1 −1

2−1

2

−12

12

0

−12

0 −12

z1

z3

z4

=

−13

−13

−13

Ensamblando las dor matrices obtenemos

2 −12−1 −1

2

−12

12

0 0

−1 0 1 0

−12

0 0 −12

z1

z2

z3

z4

=

−2

3

−13

−23

−13

Ahora que hemos ilustrado el proceso de montaje de los elementos, podemos encontrar rapida-

mente la solucion usando el hecho que z2 = 0, z3 = 1 y z4 = 2, ya que son valores en la frontera.

Utilizando estos valores en la ultima ecuacion matricial anterior, inmediatamente encontramos

que z1 = 2/3. Esta es una aproximacion aspera, ya que el valor verdadero es 1/2. Recuerde que

u(x, y) = x2 + y2 es la solucion exacta.


Podemos obtener aproximaciones mas precisas mediante la adicion de mas elementos y escribir

un programa de computadora para manejar los calculos.

10 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 100

10. Referencias Bibliograficas

Libros principales:

Douglas N. Arnold, A Consice Introduction to Numerical Analysis. School of Mathematics,

University of Minnesota, Minneapolis.

Cheney, Ward y Kincaid, David. Numerical Mathematics ans Computing. The University

of Texas at Austin.

Otros:

Jasper Schmidt Hansen, GNU Octave beginners guide.

Mark Goctenbach, MATLAB Tutorial.

Schaerer, Christian, Introduccion a los metodos numericos para EDP, Universidad Na-

cional de Asuncion, Paraguay.

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