penultimo libro gressy

7/25/2019 Penultimo Libro Gressy

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA

ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERIA ECONOMICA

CURSO

Economia Matemtica II

TRABAJO ENCARGADO: LIBRO FINAL

DOCENTE: Ing. Julio Cesar

PRESENTADO POR:

GAMARRA PINEDA Gevering Gressy

SEMESTRE: II

PUNO PERU

AO 2016


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DEDICATORIA

Principalmente a mis dos queridas hijas (ytzel y anira) y a

mi esposo que fue quien me dio ese

aliento para seguir estudiando, le

agradezco de todo corazn los quiero

mucho.


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I. UNIDAD

ECONOMIA MATEMATICA

- Optimizacin esttica.- la optimizacin esttica es una metodologaque sirve para que las cosas muestren su comportamiento.

- MODELO DE MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTA:

A) DEMANDA B) OFERTA

Para bienes sustitutos:

Ejem:la demanda de te

P te caf

= f (Pc, Pp, I)

Pc Qc Pp Qp

VARIACIONES DEL MODELO ECONOMICO:

Endgenas:Las variables endgenas se explican dentro de unmodelo econmico a partir de sus relaciones con otras variables

tiene un comportamiento que est influenciado por otras.

CARACTERISTICAS, , Q, P - Dependientes,

Incgnitas

Exgenas:Las variables exgenas estn determinadas fuera delmodelo, es decir, estn predeterminadas, el modelo las toma como

fijas y mantienen siempre el mismo valor.

CARACTERISTICASI, K - Predeterminado e

independiente


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Ejemplo: Si el ingreso es igual ingreso autnomo 70 es igual a 100

= - . P+ . 70;

= . 100

Suponiendo que en el modelo de la demanda

= -1

= 2

Oferta

= 2

= 1

Calculando el precio y la cantidad de equilibrio.

=

- . P+ . 70 = . 100

-(-1). P+ 2. (70)= (2). P+1. (100)

P = 40

CALCULO DIFERENCIAL

Es una parte del anlisis matemtico que consiste en el estudio de cmocambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de

estudio en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin estrechamente

relacionada es la de diferencial de una funcin.

El estudio del cambio de una funcin es de especial inters para el clculo

diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es

infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeo

como se desee). Y es que el clculo diferencial se apoya constantemente en el

concepto bsico del lmite. El paso al lmite es la principal herramienta quepermite desarrollar la teora del clculo diferencial y la que lo diferencia

claramente del lgebra:

Ejemplo:

1) El cambio en el costo total CT de una planta que resultan de cada

unidad adicional producida.

2) El cambio de la demanda de un producto X que resulta el incremento de

una unidad en el precio


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X ,

,

: se le denota cambio o incremento de variable

Sea una variable y que depende de X tal que Y= f(X) est definido Para todovalor de X que va desde y por lo tanto cuando

X = Y = que va a estar en funcin de

1111 funcionenestarvaque xfyyyxx

11

1

xfy

xx

22

2

xfy

xx

12

12

xfxfy

yyy

Ejemplo:

1. Si el volumen de ventas de gasolina de cierta estacin depende delprecio por litro. El precio por litro en soles, se encuentra que el volumen

de venta est dado:

130120

150500

p

Pq

Calcular el incremento en el volumen de venta que corresponde a un

incremento en el precio de s/. 120 a s/. 130 por litro

Solucin

130

120

edependientV.

nteindependieV.

1

1

P

P

q

P

10

120130

p

p

15000

120150500

1

1

Q

Q

10000

130150500

1

2

Q

Q

5000

1500010000

2

q

q

qqq

Una variacin en 5000 litros.

A un incremento del precio S/. 10. La cantidad va disminuir en 5000 lt

de gasolina


6/29

2. Dado la funcin 2xxf calcular la variacin de y si 2,0,1 xx

Solucin

15000

120150500

1

1

Q

Q

10000

130150500

1

2

Q

Q

5000

1500010000

2

q

q

qqq

Una variacin en 5000 litros.

A un incremento del precio S/. 10. La cantidad va disminuir en 5000 lt

de gasolina

3. Dado la funcin 2xxf calcular la variacin de y si 2,0,1 xx

Solucin

44,0

12,01

y

ffy

xfxxfy


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CV

CFCostos CVCF

q

PIngresos qp.

QPCVCF

ITCT

.

4. Determinar el incremento de siguiente funcin2

42

x

xxg , cuando

2,1 xx .

2

13

121

g

ffg

ffg

xfxxfg


8/29

5. Determinar el incremento de siguiente funcin ttf 4 , cuando

24,1,5 tt .

2,0

324,6

524,15

f

fff

fff

xfxxff

LIMITES

Sea una funcin xf que est definida para todos los valores de x

cerca de ""C constante, con la excepcin posible de ""C . Se dice que

limiteL , es lmite de xf cuando x tiende a 0, si la diferencia entre

xf y L puede hacerse tan pequea como se desee con solo

restringir a x para estar lo suficientemente cerca de 0, es decir, lmite de

xf cuando x tiende a Cva ser igual a L

CxLxf

LxfCx

cuando,

lim

Intervalo cerrado

baba, ; Comprende todos los entre a yb

Intervalo abierto

ba, ; Todos los nmeros menos a yb

Intervalo semiabierto


9/29

ba, Se define semiabierto cuando se dan por 2 casos abierto por la

izquierda o derecha comprendidos de a o b

Ejemplos:

1. Evaluar el limitede la funcin3

92

x

xxf cuando 3x

adoindetermin0

0

33

93

3

9 22

x

xxf

xf no esta definida por lo tanto no nos da un limite

6lim633

3lim

3

33

3

9

3

3

2

x

x

xf

x

x

xx

x

xxf

2. Sea2

42

x

xxf ; evaluar cuando 2x

4lim422

2lim2

22

2

4

3

2

2

x

x

xf

xx

xx

x

xxf

PROPIEDADES

- Lmite de producto de funciones :

xgxfxgxfCxCxCx

lim.lim.lim

0cuando;1

1lim2

xx

10

11lim2

Evaluar

xxx

cuando;1

24lim

4041

24lim

x

Evaluar


10/29

xx

xx

x 22

22lim

0

00

0

22lim

22lim

22lim

22limlim

00

0

00

0

0

0

0

x

x

xxx

xx

x

x xg

xf

Evaluar

51.2donde1

lim0

ee

xxx

02

0

51,21

0

lim1

lim

1lim

0

0

0

0 x

x

x

xx e

x

e

x

Resolver

1

32lim 3

1 xx

x

2

1

2

32

11

312

1

32lim

33

1 xx

x

Resolver

3

91

lim

2

3 x

xx

x

3lim

3lim.3lim.1lim

3lim

9lim.1lim

3

91lim

3

333

3

2

33

2

3 x

xxx

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xx

x

1233133lim.1lim33xx

xx

Determinar

x

x

x

11lim

0

adoindetermin0

0

0

10111lim

0 x

x

x

1111

11

11

111111lim

22

0 xx

x

xx

x

xx

xx

x

x

x


11/29

2

1

101

1

11

111lim

0 xx

x

x

Elegimos el valor arbitrario del dominio de xf tal que 0x

22limlim

22limlim

00

00

xxf

xxf

xx

xx

Determinar

x

x

x

11lim

0

adoindetermin0

0

0

10111lim

0 x

x

x

1111

11

11

111111lim

22

0 xx

x

xx

x

xx

xx

x

x

x

2

1

101

1

11

111lim

0

xx

x

x

Elegimos el valor arbitrario del dominio de xf tal que 0x

22limlim

22limlim

00

00

xxf

xxf

xx

xx

x f(x)

3 1

4 2

5 3

3 -1

4 -2

5 -32 0


12/29

Por lo tanto que si 0x xf va a ser 2. La condicin de

continuidad es que 0x

Sea: 2

1

xxg ; analizar la continuidad de xg en todo su dominio y graficar:

x g(x)

-1 -1/3

-2 -1/4

0 -1/2

1 -1

3 1

4 1/25 1/3

La funcin xg es discontinua en 2

II UNIDADA

DERIVADAS


13/29

Indica que si Y es una funcin independiente de X se define como la primera

derivada.

TEOREMA 1.-

La derivada de una funcin constante es 0

TEOREMA 2.-

Si se da la funcin sera igual a

TEOREMA 3.-

La diferencial de la funcin

TEOREMA 4.-

Regla de la multiplicacin

TEOREMA 5.-

Regla del cociente

Ejemplo: Dada las siguientes funciones hallar la derivada

1. F(x)=

2.- F(x)=

3.- F(x)=


14/29

4.-

5.-

Dada la funcion calcular la derivada respecto a Y

Calcular la derivada de la siguiente funcin

Dada la funcin

F(t)=(2

= (2

=

Si sabemos que el volumen de las ventas de un disco x musical

particular esta dado como una funcin del tiempo t

S(t)= ,Donde t se mide en semanas y S=

nmero de discos vendidos. Determinar la taza en que S se cambia

cuando t= 0, t= 4,t= 8; el nmero de discos vendidos est en funcin del

tiempo.

En la actualidad la venta es de 2000 discos.


15/29

A un incremento de 4 semanas para la venta de discos

incrementa en 400 unidades.

A un incremento de 8 semanas para la venta de discos disminuir

en 1200 unidades

REGLA DE LA CADENA

Dada las siguientes funciones

1.- , cuando Y=

2.- F(t)=

F(t)=

F(t)=

3.- y=

y=

y=

Calcular las siguientes derivadas:

1.- Y=

Y=

Y=

2.- U=

U=

U=


16/29

3.- Y=

Y=

Y=

Y=

4.- Y=

Y=

Y=

Y=

5.- H(t)=

H(t)=

H(t)=

H(t)=

6.- U=

U=

U=

7.- Y=

Y= (

Y= (

Y=

8.- F(x)=

F(x) =

F(x) =

F(x) =

F(x) =

F(x) =

Resolver las siguientes diferenciales

1.- Y=


17/29

Y=

Y=

Y=

Y=

2.- Y =

Y=

Y=

Y=

Y=

3.- X =

X =

X =

X =

X =

X =

DERIVADAS LOGARITMICAS:

Y =

1.- Evaluar si Y =

2.- evaluar si Y = ln (x + c)


18/29

3.- evaluar si Y =

Calcular la derivada de las siguientes funciones.

1.- Y =

Y =

Y =

2.- Y=Y=

Y=

Y=

Y=

3.- Y =

Y =

Y =

Y =

4.- Y =

Y =

Y =

Y =

5.- Y =

Y =

Y =

Y =

6.- Y

Y =

Y =


19/29

7.- Y= ln

Y =

Y =

Y =

Calcular las siguientes derivadas

1. Y =

Y =

Y =

2. Y =

Y =

Y =

Y =

3.- Y =

Y =

Y =

4.- Y =

Y=

Y=

Y=

5.- Y =

Y=


20/29

6.- Y = log. ( )

Y=

Y = log e

7.- Y = log ( )

Y =

Y =

Y = 2x. log 3

8.- Y =Y

Y

Y

Y

Y

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

o Funcin sen X:

F(x) = sen x

f(x) = cos x

o Funcin cos X:

F(x) = cos x

f(x) = -sen x

o Funcin tg X:

F(x) = tg X

f(x) =

o Funcin ctg X:

F(x) =ctg x

f(x) = -ctg x

o Funcin sec X:


21/29

F(x) = sec x

f(x) = tg x. sec x

o Funcin csc X:

F(x) = csc xf(x) = -ctg x. csc x

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

1.- f(x) =

f(x) =

f(x) =

2.- f(x) = tg (3x)4 cos ( )

f(x) =

f(x) =

f(x) =

3.- f(x) = cos 6x + ln 2x

f(x) = -6sen 6x

f(x) = -6sen 6x

4.- f(x) = ln x+

f(x) =

f(x) =

f(x) =

5.- f(x) = ln(senx)+ sen(lnx)f(x) =

f(x) =

DERIVADAY GRAFICADE FUNCIONES

Si tenemos la funcin f(x), entonces f(x) es una creciente que es

diferenciable

F(x) 0

Si tenemos f(x), donde f(x) es decreciente y diferenciable, entonces la 1derivada de la funcin.


22/29

F(x) 0

1.- f(x) =

f(x) =

x= 1 f(x) = 0 es creciente

2.- f(x) =

f(x) =

es creciente y decreciente

Dada la U cuya funcin es

f(x) =

f(x) = 80

f(x) = x= -2 es decreciente

PUNTOS DE INFLEXION:

Si tenemos la siguiente diferencial

f(x) 0 cncava hacia arriba

f(x) < 0 cncava hacia abajo

ejemplos:

Y =

Adems hallar el punto de inflexin si es creciente o decreciente

Y=

Segunda derivada

Y

Y

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

1 derivada:

2 derivada:

3 derivada:


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Ejemplos

1.- Y=

Y=

Y=

Y=

Y=

Y=

Y=0 esta derivada tiene 5 orden

2.- Calcular la derivada de 3 orden de las siguientes funcione

F(x)=

f(x)= .(2t)f(x)=

f(x)=

3.- Obtener la siguiente diferencial de la siguiente funcin

F(x)=

f(x)=

f(x)=

f(x)=

f(x) =

f(x) =

f(x) =

4.- f(x) =

f(x)=

f(x)=

f(x)=

DIFERENCIALES

Y=f(x); Y= variable dependiente (endgenas)

f(x)= variable independiente (exgenas)


24/29

Si tenemos la siguiente funcin

1.- Y=Determinar la derivada de

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1.- Y= t. lnt

2.- Y=

3.- Y=

4(

4.- Y=

5.- Y=

6.- Y=


25/29

7.- determinar y la variacin en y, para la siguiente funcin

Y= 3

8.- Y= =0.84

y

y

DIFERENCIACION IMPLICITA:

1.- Calcular la derivada de

Utilizando la diferenciacin implcita de la sgte funcin

2x+ 2y ( )=0

= -x/y

3. XY+ ln( )=7; calcular la derivada de y con respecto a x

xy+

y+ x( )+

x.

x.

3.- x

Calcular = ?


26/29

2xy.

2xy.

4.- calcular = ?;

2x+ 2y.

2y.

3.1.2 COSTOS

Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puedeexpresarse como:

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

COSTO PROMEDIO:

Cp = C (x) / x = y

COSTO MARGINAL:

Cm = C (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm = dy /dx = xC(X) C(x) / x^2 d/dx * Cp

Ej: Si la funcin de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes

Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x

Costo Marginal: Cm = C(x) = a


27/29

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2

3.1.3 INGRESOS:

Si el Numero de unidades de un bien es x: Siendo la Funcin de demanda : y =f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:

R(x) = xy = x-f(x)

A partir de esta expresin de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

INGRESO PROMEDIO

Rp = r(x) / x

INGRESO MARGINAL:

Rm = R (x)

Ntese que la expresin de Ingreso promedio carece de mayor importanciapuesto que es equivalente a la demanda del bien.

Ejemplo : Una funcin de Demanda es: Y = 124x

El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x)

El Ingreso Marginal: R (x) = 12 -8x

Comnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente conrecurrir a las tcnicas de Mximos y mnimos conocidas ( Derivar e igualar aCero)

Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Mximo, que se obtiene de unbien cuya funcin de demanda es y = 60 -2x

La demanda: y = 60ex

El Ingreso: R(x) = xy = x( 602x) = 60x2x^2

El Ingreso Marginal: R(x) = 60 4x

Maximizando la ecuacin de Ingreso Total:

Si. R8x) = 60x2x^2

R(x) = 60 4x = 0 x=15

Rmax. = 60+152*15^ = 450


28/29

En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante laderivada igualada a Cero, determina evidentemente a un mximo ya que sesupone de acuerdo las condiciones de cada problema ( de todas maneras laverificacin es simple utilizando la segunda derivada)

III. UNIDAD.

ANALISIS MARGINAL

COSTO MEDIO Y MARGINAL

La relacin de costos medios y marginales necesariamente se obtienen del

costo total de tal manera que:


29/29

Costo Medio (CMe) = Ct / Q

Costo Marginal (CMg) = Ct / Q

Costo Medio Variable (CMeV) = [Ct - Cf] / Q donde Cf es el costo fijo.

INGRESO MEDIO Y MARGINAL

Las relaciones medias y marginales del ingreso total se obtienen mediante las

siguientes relaciones:

Ingreso medio IMe = It / Q donde It es el Ingreso total y la Q es el volumen de

ventas, donde el ingreso total es PQ que es igual a aQ - bQ2 que dividido entre

Q da a + bQ es el igual al precio P. Entonces:

IMe = a - bQ = P lo que indica que el ingreso medio es la funcin demanda de

la empresa.

Ingreso marginal IMg = It / Q.

Siendo el ingreso total aQ - bQ2 la primera derivada respecto a Q da a - 2bQ lo

que que el IMg tiene la doble pendiente del IMe para una b distinta a cero.

Grficamente las funciones se expresan como:

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