pensamiento lógico en estudiantes universitarios de alto y bajo

Docencia Universitaria. Vol. VII, N9 1, Año 2006 SADPRO-UCV Universidad Central de Venezuela Recibido: 09/12/2005 Aprobado: 17/03/2006

Pensamiento Lógico en Estudiantes Universitarios

de Alto y Bajo Rendimiento en Matemáticas

Pilar Ruesg a Ram os Universidad de Burgos - España

pruesga @ubu.es M a riela Orozco Hormazo

Universidad del Va lle - Colom b ia m orozc o @mafa lda.univa lle .ed u.c o

Resumen En este trabajo se analizan, de forma comparativa, el razonam iento lógico que emplean, sobre contextos matemáticos, estudiantes universitarios de primer curso diferenciados por su competencia matemática. Para el/o se elabora una prueba constituida por ítems de infere ncia. de negación con cuantificadores y de equivalencia proposicional. e encuentra que existe diferen cia significativa entre ambos grupos en las cuestiones de inferencia y equivalencia, pero no en las relativas a nega ciones con cuantificadore . Estos resultados permiten poner de relieve la mej or adecua ción de la lógica que los estudiantes exitosos emplean y, con el/o, l/amar la atención de los profesionales docentes en relación al desarrol/o de esta herramienta básica para el aprend izaje. Palabras clave: razonamiento lóg ico ; razonamiento matemático; aprendizaje matemático; pensamiento lógico; razonamiento deductivo.

Logic al Thought in University Students with High and Low

Periormance in Mathematics

Abstrac t An analysis of logical thought in two groups of university students, differentiated according to their high and low perfo rmance in response to a questionnaire on basic pre-university Mathematics reveals that: 1) the high performance group ls significantly different from the low performance group in processes of inference and in equivalence questions; 2) no sign ificant differences are found in the use of expressions with quantifiers. Analysis of the errors al/ows us to assume a relafion between performance in Mathematics and the use of logical common sense. Key words: Logical thought; logical reasoning ; mathemafical thinking; mathematical logic.

Docencia Universitaria, Volumen VII, N° 1, Año 2006 47

mailto:[email protected]

Pila r Ruesga y Mor iela Orozeo

Introducción

El análisis de las formas relacionales que util izamos en la vida cotidiana y se expresan a través de la lengua natu ral, cons tituye lógica cotidiana o lóg ica del sentido común. Todos los lenguajes naturales usan operadores lógicos, es decir, formas de expresar conj unción, disyunción, condicional y negación que se corresponden con las palabras "y", "o", "si " y "no". Estas partículas que el ser humano comienza a usa r tempranamente , se aplican a una gran variedad de situaciones y co ntenidos y conforman el armazón de la lógica de nuestro pensamiento .

La lógica que empleamos en la vida cor riente , también llamada sentido común, y la lógica propia del pensamiento científico comparten un mismo lenguaje, sin embargo, ambas tienen objet ivos diferentes pues mientras la lógica del sentido común pers igue convencer, la lógica científica persigue demostrar (Duval 1999).

Esta diferencia conduce a concepciones y usos de las leyes de inferencia y de los operadores lógicos que , siendo válidas para la vida cotidiana, no lo son para el razonamiento científico y, por tanto para el aprendizaje de la Matemática.

A menudo se define el pensa miento matemático com o un pensamiento deductivo que, desde proposic iones verdaderas, genera nu evas proposiciones a cuya veracidad confiere una especial sensación de seguridad y confianza. Es el efecto de las leyes de inferencia lógica, ya introducidas por los pensadores griegos, que en el ámbito de l razonam iento matemático tienen una aplicación válida más rest ringida que en el ámbito de l sentido común. Por ejemplo, cuando la mamá le dice al niño "si no comes, no juegas", el niño inmediatamente entiende que si come podrá jugar; sin emba rgo , este comportamiento, que podríamos parafrasear a expresiones de la lógica forma l, no tiene consistencia en térmi nos de las leyes de inferencia válidas para el razonamiento matemáti co. Cos mides (1989 p. 191 citado por O 'Brien D.P y otros , 1998) afirma que la gen te raramente razona "de acuerdo con los cánones de la lógica" sino guiados por razones de interés social y sus asociados costos y beneficios .

48 Docencia Universitaria, Volumen VII, N° 1, Año 2006

La lógica que es preciso menos flex ible que la lóqic: aquellos alumnos universi ma temáticas han adaptado I proposiciones matemáticas I aquellos que son menos exil

Antecedentes

El bien conocid o test de \ relieve la interpretación y USI

una proposición condicional. la implicación es fuente de considerarla sin sentido cuan 1969, Durand-Guerrier 2003:

Las formas inferenciales " q" se deduce q) y "Modus To deduce no p) se presentan temprano de la vida. Saberru de llevar a cabo razonamier correctamente (Hawkins yPI

Además, los operadoresp en la vida corriente en el rr Booleana (Ruesga 2001). Ex o bien la batería está averiad co múnmente como una dis) cosa o bien la otra pero no la posibilidad exis ta. También co ncepciones diferentes no boo leana.

Piaget (1975) otorga un in la construcc ión del conocimie afirmativo y negativo influYI pro posiciones simples, que en modo negativo, y en el I

Ponens es más fácil que Pon! 2001 ).

Docencic

ales que utilizamos en la vida enguanatural, constituye lógica Todos los lenguajes naturales

ormas de expresar conjunción, que se corresponden con las partículas que el ser humano aplican a una gran variedad de an el armazón de la lógica de

ida corriente, también llamada nsamiento científico comparten

n as tienen objetivos diferentes núnpersigueconvencer, la lógica 1999).

!pciones y usos de las leyes de s que, siendo válidas para la vida e tocientífico y, por tanto para el

[miento matemático como un mposíciones verdaderas, genera a idad confiere una especial

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ltico tienen una aplicación válida j I sentido común. Por ejemplo, oi no comes, no juegas", el niño e podrá jugar; sin embargo, este

áfraseara expresiones de la lógica minos de las leyes de inferencia lmátlco. Cosmides (1989 p. 191 8) firma que la gente raramente es de la lógica" sino guiados por lciados costos y beneficios.

o 1,Año 2006

Pensam iento lógic o en estudiantes universitar ios ...

La lógica que es preciso poner en práctica en matemáticas es menos flex ible que la lógica común, por eso nos preguntamos si aqu ellos alumnos univ ersitarios que resul tan más exitosos en matemáticas han adaptado esta estrategia de razonamiento, sobre proposiciones matemáticas conocidas, de forma más ajustada que aque llos que son menos exitosos .

Antecedentes

El bien conocido test de Wason (Braine y O'Brien 1998) pone de relieve la interpretación y uso que escolares adolescentes hacen de una proposición condiciona l. También para estud iantes universitarios la implicación es fuente de importantes dificultades y tienden a considerarla sin sentido cuando su antecedente es falso (Jonson-Laird 1969, Durand-Guerrier 2003) .

Las formas inferenciales "Modus Ponens" (de p y de "si p entonces q" se deduce q) y "Modus Tollens" (de no q y de "si p entonces q" se deduce no p) se presentan en el ser humano en un estadio muy tempran o de la vida. Sabemos que niños de 4 y 5 años son capaces de llevar a cabo razonami entos verbales de tipo, "Modus Ponens" , correctame nte (Hawkins y Pea 1984, Dias y Harris 1988, Días 1990).

Además , los operadores proposicionales ':V", "o" no se comprenden en la vida corriente en el mismo sentido que tienen en el álgebra Booleana (Ruesga 2001) . Expresiones como: "O hay un cortocircuito o bien la batería está averiada" (Braine y O'Brlen 1998), es entend ida comúnmente como una disyunción exclusiva, es decir, ocurre una cosa o bien la otra pero no las dos , aunque, como en este caso, esta posibilidad exista. También la semántica de la conjunción genera concepciones diferentes no siempre en el sentido de su defin ición booleana.

Piaget (1975) otorga un importante papel al operador negación en la construcción del conocimiento pero, además los modos lingüísticos afirmativo y negativo influyen en la eva luación y comprensión de proposiciones simples, que resulta más difícil cuando se presentan en modo negativo, y en el razonamiento inferencial y así Tollendo Ponens es más fácil que Ponendo Tollens (Jonson-Laird 1972, Ruesga 2001).


Pilar Ruesgo y Morielo Orozco

Estos antecedentes nos llevan a interesarnos por la influencia que las formas propias del razon amiento cot idi ano tienen en el razonamiento matemático , y si existe alguna diferencia en función de la competencia matemática de alumnos universitarios.

Pretendemos anali zar cómo se apl ican las leyes de inferencia, cómo se entienden y apl ican las equivalencias proposicionales y la negación de ex pres iones con cuantificadores en estud iantes universitarios de distinto éxito en matemáticas.

Metodología

Diseño cua siex peri mental, con dos grupos de al umnos universitarios diferenciados por su desempeño en matemát icas que se toma como variable independiente , siendo la variable dependiente el éxito o fracaso en las preguntas de lógica planteadas en un cuestionario elaborado para la ocasión.

Descripción de los grupos

Los primeros exámenes universitarios del grupo seleccionado como de alto rendimiento , sorprendieron a sus profesores de matemáticas por sus excelentes resultados. Se trata de un grupo de alumnos que cursan unos prestigiosos estudios técn icos con fuerte componente de materias en matemáticas a los que se accede tras un bachillerato" específico también con materias de matemáticas de importante peso en el currículo. El grupo de bajo rendimiento fue seleccionado entre alumnos que eligieron estudios de componente mayoritariamente humanística, con pocas asignaturas de matemáticas de contenido gene ralista, a los que se accede, sobre todo desd e bachill eratos sin materias de matemáticas o con una de estas materias de carácter también generalista .

Como indicador de sus competencias respectivas en matemáticas se toman las ca lificaciones med ias de cada grupo en la última asignatura de matemáticas cursada ya en la universidad y en sus respectivos estudios."

50 Docencia Universitaria, Volumen VII. N° 1, Año 2006

Estos antecedentes hacen mejor en el caso de los alun ambos grupos como de alto :

Desarrollo de la pruel

La prueb a se realiza en c dos ses iones ordinarias de el po r todos los alumnos de voluntario.

La sepa ración en sesione extensión del cuestionarioy E

Consiste en cumpliment solicitando a cada alumnouní para la siguiente sesión.

En el encabezado de arnt

Las sig uientes pregun: respuestas servirán para que las lea con atención: en el lugar destinado a la su nombre pero sí algún pueda recordar e identific

El c ue st ionario

Las preguntas formuladas Anexo. Los contenidos de rr son conocidos por ambos gr en matemáticas básicas con

Los modos lingüísticos e:

afi rmativo, en algunas de la excesivamente larga.

Las preguntas se distril equivalencia y formación de

Docencia

I

teresarnos por la influencia que lento cotidiano tienen en el , alguna diferencia en función de nos universitarios.

plican las leyes de inferencia , uivalencias proposicionales y la i antíñcadores en estudiantes ltern áticas.

on dos grupos de alumnos esempeño en matemáticas que e,siendo la variable dependiente as de lógica planteadas en un ón.

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bre todo desdebachilleratos sin a de estas materias de carácter

leías respectivas en matemáticas as de cada grupo en la última a ya en la universidad y en sus

N°1, Año 2006

Pensamiento lógico en estud iantes universitarios ...

Estos antecedentes hacen presuponer un desempeño matemático mejor en el caso de los alumnos de estudios técnicos y considerar ambos grupos como de alto y bajo rendimiento en matemáticas.

Desarrollo de la prueba

La prueba se realiza en dos días diferentes en el transcurso de dos sesiones ordinarias de clase, sin límite de tiempo. Fue realizada por todos los alumnos de ambos grupos aunque con carác ter voluntario.

La separa ción en sesiones permite evitar la fatiga por la excesiva extensión del cuestionario y el efecto halo entre preguntas.

Consiste en cumplimentar un fo rmulario , de forma anónima , solicitando a cada alumno una marca particu lar que deberían recorda r para la siguiente sesión.

En el encabezado de ambos formularios se aclara:

Las siguientes preg untas no co nsti tuyen un examen. Sus respuestas servirán para realizar una investigación. Le pedimos que las lea con atenc ión y conteste lo que le parezca procedente en el lugar dest inado a la respuesta. No es necesar io que ponga su nombre pero sí algún tipo de marca en el lugar indicado que pueda recordar e identificar en otro momento.

El cuestionario

Las preguntas formuladas en ambas sesiones se muestran en el Anexo. Los contenidos de matemática utilizados en el cuestionario son conocidos por ambos grupos ya que forman parte del currículo en matemáticas básicas común a todos los esco lares .

Los modos lingüísticos afirmativo y negativo se limitan sólo al afirmativo, en algunas de las cuestiones, para no hacer la prueba exces ivamente larga.

Las pre guntas se distr ibuyen en tres apartados: inferencia, equivalencia y formación de negaciones con cuantificadores.


Pilar Ruesgo y Morlelo Orozco

Cuestiones de inferencia Casos en los cuales se

Se presentan dos proposiciones, asumidas como verdaderas , de expresión por su las cuales se solicita extraer, si es posi ble , una conclus ión . La estructura del cuestio nario en este apartado (Tabla 1) responde a los siguientes tipos de inferencia y modos lingüísticos:

Tabla 1 Estructura del cuestionario

Equ ivalencia Simboliza

PI

Del condici onal con s disyu ntiva

(no p ó q) ~ (p

Del co ndic ional con su cont rarrec iproca

(p - q) ~ (no a

Tipo de in f erencia SImbolizacIón Mod o li ng üíst ico do

la proposici ón o Preg unta en el c uestio nar lo

Falacia de afirmación consecuente

del Proposición 1: p - q Proposición 2: q Conclusió n: No hay

Afirma tivo

Negativo

1.1 .1

1.1.2

MOduS Tollens (MT) Proposición 1: Af irmativo 1.2. 1 p q Proposición 2: no q Conclus ión: no p

Negativo 1.2.2

Falacia de antece dente

negación del Proposición 1: p q Propos ición 2: no p Conclusión : No hay

Afirmativo

Negativo

1.3.1

1.3.2

Modus Ponens (MP) Proposi ción 1: Aü rrna tívo 1.4.1. p q Proposición 2: p Conclusión: q

Nega livo 1.4.2

Ponendo Tollen Propos ición 1: p ó q pero no ambos Proposición 2: p Conclusión: no Q

1.5.1

Tollenoo Ponens Proposición 1: p ó q pero no ambos Propo sición 2: no p Conclusión: q

1.5.2

Silog ismo hipotético Proposición 1: 1.6.2 p -q Proposición 2: q - r Conclusión: p r

En el caso de los operador estudiantes comprenden los e expresan las Leyes de Morgé que se observa en la Tabla 3:

Estructura del de los ope

Equivalencia Simboliza

Comprensión de la p yq conjunción

Co mpren sión de la p ó q disyunción

Negación de una no(p y q) (no p) conjunción

Neg ación de una no(p ó q) • (no p) disyunción

Cuestiones relativas i

cuantificadores

Cuestiones de equivalencia

Se refieren a dos tipos de equiva lencias : sobre condicionales y sobre operadores booleanos.

En las cuestiones de equivalencia sobre condicional se pide traslada r el sentido de una expresión por su equiva lente condicional , en los siguientes casos (Tabla 2):


Consisten en la formación negación de una, que se pror

- Una expresión formulada 3.1.1 del cuestionario). - Una expresión formulada 3.1.2 del cuestionario). - Una expresión formulaos 3.1.3 del cuestionario).

Docencia

1

asumidas como verdaderas, de es posible, una conclusión . La apartado (Tabla 1) responde a los ~ s lingüísticos:

íuestlonarío

Mod o Iingüisti co do la proposición p

Afirmativo

Neqauvo

Aluruativo

Negalivo

Afirmativo

NegatiVo

Afirmativo

Neg hvo

Pregunta en el cu estionario

1.1.1

1.1.2

1.2.1

1.2.2

1.3. 1

1.3.2

1.4.l .

1.4.2

1.5.1

1.5.2

1.6.2

a

alencias: sobre condicionales y

ncia sobre condicional se pide n por su equivalente condicional,

N° 1,Año 2006

Pensamiento lógi co en estud ia ntes universitarios ...

Tabla 2 Casos en los cuales se pide trasladar el sentido de una

expresión por su equivalencia condicional

Equivalen c ia Simbo lizac ión Modo l ingü ís t ic o de

la pr oposición p Preg unta on 01 cuestion ar io

Del co ndicional con su (no p ó q) (p - q) Nec¡ a tivo 2.1.1 disyuntiva Afirmativo 2. L2 Del condicio nal con su (p - q) (no q - no p) Afi rmativo 2.2 1 conlr arreciproca Neoatívo 2.2.2

En el caso de los operadores booleanos, se trata de ver cómo los estudiantes comprenden los operadores 'y", "ó"y la equivalencia que expresan las Leyes de Morgan. La estructura del cuestionario es la que se observa en la Tabla 3:

Tabla 3 Estructura del cuestionario en el caso

de los operadores booleanos

Equival encia Sim bo lízac ión Modo l ingü ís ti co Pr eg unta en el cuest ionar lo

Comp rensión de la p yq Ambas afir mativas 2.3.1.1 conj unción Ambas negat ivas 2.3.1.3 Comprensión de la p óq Ambas afirmativas 2.312 dis yunci ón Ambas neoatívas 2.3. 1.4 Negación de una no(p y q) '" (no p) ó (no q ) Ambas afirmativas 2.3.2 .2 conjunción Am bas negativas 2.3 .2.3 Negación de una no(p ó q) " (no p) y (no q) Ambas afirmativas 2.3.2.1 disyunción Ambas nec¡ al ivas 2.3.2.4

Cuestiones relativas a negaciones con cuantificadores

Consisten en la formación de dos expresiones' equivalentes a la negación de una, que se propone, con las siguientes variaciones :

- Una expresión formu lada con el cuantificador "todos" (pregunta 3.1.1 del cuestionario). - Una expresión formulada con el cuantificador "no todos" (pregunta 3.1.2 del cues tionario). - Una expresión formulada con el cuantificador "existe" (pregunta 3.1.3 del cues tionario ).

Docencia Universitaria, Volumen VII, N° 1, Añ o 2006 53

'

i

Pilar Ruesga y Mariela Orozco

- Una expresión formulada con el cuantificador "no existe" (pregunta 3.1.4 del cuestionario).

Codificación y análisis de datos

Todas las cuestiones son valoradas como correcta (1) o incorrecta (O) de acuerdo con su adecuación o no a su formul ación clásica. La valoración (O) incluye las cuestiones no respondidas.

Se realiza análisis de datos cuantitativo inter e intra grupos, mediante la aplicación estadística SPSS, para determinar diferencias entre los dos grupos (mediante +2) en cada cuestión individu al y en cada grupo de cuestiones al nivel de confia nza del 95%. El análisis intragupos, mediante preguntas pareadas de muestras relacionadas, permite establecer diferencias por efecto de la variable lenguaje.

Resultados y Discusión

Cuestiones de inferencia

La Tabla 4 muestra los resultados obtenidos por ambos grupos y la significación de la diferencia de medias.

Ambos grupos muestran aplicar las leyes de inferencia MP y MT de forma correcta en porcentajes importantes.

El grupo de bajo rendim iento obtiene resultados porcentualmente menores que el de alto rendimiento en todas las preguntas.

Dentro de cada grupo las diferencias de acierto por causa de los modos lingüísticos son significativas resultando, generalmente más complicados los enunciados negativos.

Sin embargo, ambos grupos muestran un comportamiento muy distinto ante las restantes formas inferenciales.

En cuanto a las inferencias de tipo "Tollendo Ponens" y "Ponendo Toll ens" , am bos grupos muestran porcent aj es de aci erto significativamente distintos y más bajos en el grupo de bajo rendimiento. El modo lingüístico resulta ser significativo: la forma negada de la proposición en "Tollendo Ponens" resulta ser mucho más elocuente


que la afirmación presente presenta una gran cantidad( nada más acerca del númer O 'Brien (1998, p. 51 ) que no se comprende que antesólc entonc es debe darse la notoriamente en el grupode

La mayor diferencia en razonamientos falaces que forma casi generalizada.

En el caso de la afirmack

"Si un número N es pote 6" y" Un número N, tiene

Se puede concluir: "El n

En el caso de la negació

"Si un número N es pote 6" y "Un número N no e~

Se puede concluir: "La ú

Esta puede ser consecu (1998, p. 31) llama inferenciz esta conjetura hubiera sido n con los participantes que, e esta idea, de la implicación espontáneamente su erróm entonces p" y con su contr: cuales las inferencias "Modw conducen a conclusiones preponderancia del razor inferenciales válidos para la lingüísticos negativos en la forma especial sus respues

De acuerdo con la c1asific 1998, p.93), los errores en"F errores de comprensión ori

Docenci

Pensamiento lóg ico en estudiantes universitarios ...

.uantificador "no existe" (pregunta

atos

s como correcta (1) o incorrecta ~ no a su formulación clásica . La ) no respondidas.

antitativo inter e intra grupos, SS, paradeterminar diferencias

en cada cuestión individual y en confianza del 95%. El análisis

eadas de muestras relacionadas, feeto de la variable lenguaje.

obtenidos por ambos grupos y dias.

las leyes de inferencia MP y MT portantes.

tiene resultados porcentualmente en todas las preguntas.

. cias de acierto por causa de los s resultando, generalmente más

:ivos.

íuestran un comportamiento muy ferenciales.

po "Tollendo Ponens" y "Ponendo tran porcentajes de acierto os enel grupo de bajo rendimiento. nificativo: la forma negada de la esulta ser mucho más elocuente

1 N° 1,Año 2006

que la afirmac ión presente en el caso de "Ponendo Tollens". Se presenta una gran cantidad de resultados que afi rman no poder añadir nada más acerca del número lo que nos lleva a afirmar con Braine y O'Brien (1998, p. 51) que no se comprende el operador "ó" cuan do no se comprende que ante sólo dos alternativas y una de ellas no se da, entonces debe darse la o tra; lo que ocu rre con frecuencia y notoriamente en el grupo de bajo rendimiento .

La mayor diferencia entre ambos grupos se encuentra en los razonamientos falaces que el grupo de bajo rend imiento comete de forma casi generalizada.

En el caso de la afi rmación de l consecuente se encuentra que de:

"Si un número N es potencia de 6, entonces su última cifra es un 6" y"Un número N, tiene por última cifra un 6". I

1

Se puede concluir: "El número N es potencia de 6".

En el caso de la negación del antecedente, se encuentra que de: :

"Si un número N es potencia de 6, entonces su última cifra es un 6" y "Un número N no es potencia de 6".

Se puede concluir: "La última cifra no es un 6". ..... ; ,

Esta puede ser consecuencia de la aparición de lo que O'Brien (1998, p. 31) llama inferencias invitadas, no obstante, para comprobar '.esta conjetura hubiera sido necesario algún tipo de entrevista personal con los parti cipantes que, en este caso no se hizo . De acuerdo con • esta idea , de la implicación "Si p, entonces q", el individuo asume • espontáneamente su errónea equi valencia con su recíproca "Si q, entonces p" y con su contraria "Si no p, entonces no q", desde las

lo cuales las inferencias "Modus Ponens ", como sabemos muy naturales, ¡conducen a conclusiones fa lsas. Esta asunción representa la preponderan cia de l razonamien to cotid iano so bre lo s modos inferenciales válidos para la matemática. La presencia de los modos lingüí sticos nega tivos en la prop osició n condiciona' , no modi fica de forma esp ecia l sus respuestas.

De acuerdo con la clasi ficación de Braine (Braine, Reiser y Rumian, 1998, p.93), los errores en "Ponendo Tollens" y "Tollendo Ponens" son errores de comprensión originados por la falta de comprensión de


~

l

'

Pilar Ruesga y Marie la Orozco

una de las premisas que origina una información previa insuficiente; en el caso de las inferencias falaces , los errores son heurísticos ya que suceden cuando el que razona trata de buscar un hilo de razonamiento que resue lva el problema, es decir, la situación es demasiado difícil.

Tabla 4 Acierto y significación de las diferencias de medias

de estudiantes con alto y bajo rendimiento a preguntas de inferencia

Sin embargo, la forma d i

ambos grupos, de forma E

mayoritariamente consideré en esta forma. No reconoc disyuntiva cuando se solicil una buena comprensiónde como sabemos. La forma resultados de acierto en a de alto rendimiento.

Inferencia Antecedente % Acierto

Alto V5. Bajo rendimiento

Alto Bajo X' I PS

Modus ponens Afir ma tivo 68,4 63,0 0,266 ,606 Nec¡ativo 84 ,2 60,9 5,555 0,018

Modus tallen Afir mat ivo 7 1.1 54,3 2 ,462 ,117 Nec¡ ativo 55,3 47,8 ,46 1 ,497

Panendo tallens 34.2 13,0 5,327 0,021 Tollendo ponens 52,6 19, 6 10,065 0,002 Silog ismo hipotético 71 ,1 47 ,8 4,619 0,032 Fa lacia afirmación A firmati vo 73,7 6,5 40,312 0,000 cons ecue nte Neqativo 60,5 8,7 25,630 0,000 Falac ia negación Afirm at ivo 57, 9 10.9 21,098 0,000 antecede nte Nega tivo 65 ,8 8,7 30,008 0,000

Cuestiones de equivalencia

Los resultados de estas cuestiones se encuentran en la Tabla 5. La equivalencia con la forma contrarrecíproca presenta porcentajes de acierto sustancialmente distintos en relación con los de la forma disyuntiva. Esto ocurre especia lmente en el grupo de bajo rendimiento, que además encontró significativamente más difícil la pregunta cuando el antecedente toma la forma negativa .

Nuevamente la conjetura de las inferencias invitadas podría explicar el igual comportamiento de ambos grupos ante la equivalente contrarrecíproca que , en este caso favorece una equivalencia válida.


Diferencias entre n sobre eqi

Equivalencia del condiciona l

Ante

Con su disyuntiva ~ Ne

Con su contrarreciproca ~ Ne

Las equivalencias que porce ntajes de acierto por que son significativamente espectacularmente bajos E

Tabla 6 se muestran los re

Diferencias entre m de equivalencias dE

Equivalencia que L expresan las Leyes de

Morgan pn

De una conjunción ¡

De una disyunción ~

üocen

4

1información previa insuficiente; s, los errores son heurísticos ya

a trata de buscar un hilo de lema, es decir, la situación es

s diferencias de medias o rendimiento a preguntas eneia

% Aciert o Alto vs . Bajo rend imiento

\It a Bajo 1..' 1 p:-:;

iB,4 63,0 0,266 ,606 4 ,2 60.9 5,555 0,018 '1,1 54.3 2,462 .117 15 ,3 47.8 ,461 ,497 :4,2 13,0 5,327 0,021

.2,6 19.6 10,065 0,002

'1.1 47,8 4,619 0,032

'3 .7 6.5 40,312 0,000

iO, 5 8.7 25,630 0,000 ;7,9 10,9 21,098 0,000

15.8 8.7 30,008 0,000

ia

l es se encuentran en la Tabla 5. arrecíproca presenta porcentajes s en relación con los de la forma

Sin embargo, la forma disyuntiva resulta mucho más compleja para ambos grupos , de forma especial para el de bajo rendimiento que mayoritariamente considera que no es posible expresar la condicional en esta forma. No reconocen la misma significación en la expresión disyuntiva cuando se solicita bajo la forma condicional. Esto requiere una buena comprensión del condicional , que representa una dificultad como sabemos. La forma negativa del antecedente favorece los resultados de aciert o en ambos grupos, de forma significativa en el de alto rendim iento .

Tabla 5 Diferencias entre medias de acierto para preguntas

sobre equivalentes al condicional

Equivalencia del co ndicion al

Antecede nte % Acie rto

Alto vs . Bajo rendimiento

Alto Bajo x', p~

Con su disyuntiva Afirmativo 26,3 8.7 4.652 0,031 Negativo 52,6 10,9 17,362 0,000

Con su contrarrecípr oca Afirmativo 76,3 76,1 0,001 0,980 Neoa tivo 60.5 58.7 0,029 0.865

Las equivalencias que expresan las leyes de Margan presentan porcentajes de acierto por debajo del 40% en el caso más favorable , que son significativamente distintos en ambos grupos, siendo estos espectacu larmente bajos en el grupo de bajo rendimiento son. En la Tabla 6 se muestran los resultados.

Tabla 6 Diferencias entre medias de aciert os para preguntas de equivalencias def inidas por las Leyes de Morgan

ente más difícilla preguntacuando iva.

ferencias invitadas podríaexplicar os grupos ante la equivalente favorece una equivalencia válida.

Equiva lencia que expresan las Leyes de

leenelgrupode bajo rendimiento, Lenguaje de ambas

% Aci erto Alto vrs. Bajo rendimiento

Morgan proposici ones Al to Bajo 1..'1 p~

De una conjunción Afirmativo 18,4 2.2 6,375 0,012 Negativo 28,9 2,2 12,182 0,000

De una disyunción Afirma tivo 39.5 15,2 6,334 0,012 Negativo 18.4 2.2 6,375 0,012


Pilar Ruesga y Marle la Orozco

Los errores más frecuentes tienen que ver con la aplicación de la negación a las proposiciones integrantes sin transformar el operador ')1" por el "ó" o recíprocamente. Es decir, la negación de:

"Un número "x" es par o es primo"

se entiende como:

"Un número "x" no es par o no es primo"

y recíprocamente.

y de forma equivalente, la negación de:

"Un número "x" es par y primo"

se entiende como: "Un número "x" no es par y no es primo"

y recíprocamente.

Esta tendencia tiene lugar también cuando las proposiciones son de contenido no matemático (Ruesga 2001) Y tienen que ver nuevamente con la forma de estas expresiones en la lógica común. Hemos podido comprobar cómo, una llamada de atención al alumnado sobre las formas equivalentes que expresan las Leyes de Margan, produce sorpresa y resultan poco comprensibles si no hay una explicación. Es decir, hay una tendencia a entender las equivalencias falsas :

no (p ó q) == (no p) ó (no q)

y,

no (p y q) == (no p) y (no q).

Por otra parte, a este error puede coadyuvar la comprensión de los propios operadores "y" y "ó", La Tabla 7 muestra los resultados encontrados respecto a la compresión de ambos operadores.

58 Docencia Universitaria, Volumen VII, ND 1, Año 2006

Los casos de error en la el operador disyunción. POI

"Escriba los que

se responde con la lista

Esta confusión con la pi de la conectiva al univers elementos en particu lar, concepción semántica de I

Por otra parte, tendemo exclusiva y resulta poco fn disyuntiva inclusiva . Por ej

"Esc riba los que no SI

Se da por respuesta la una sola de las proposicior el alumno encuentre complementariedad de lo: preguntas, es decir, la equi no tiene en estos casos ni

En alguna de sus formé con ambas proposicione: grados de acierto que ca teniendo en cuenta lo habi

Comprensión

Modo 111

Comprensión de la Ambas a conjunción Ambas I

Comprensión de la Ambas é

disyunción Ambas

Doce:

Pensamiento lóg ico en estud iantesuniversitarios ...

en que ver con la aplicación de la 'antes sin transformar el operador declr, la negación de:

sro "x" es par o es primo"

"x" no es par o no es primo"

:i ' n de:

o "x" es par y primo"

o"x" noes pary no es primo"

én cuando las proposiciones son u sga 200 1) y tienen que ver expresiones en la lógica común.

:1 llamada de atenciónal alumnado expresan las Leyes de Margan,

o comprensibles si no hay una ncia a entender las equivalencias

no p) ó (no q)

Y.

(no p) y (no q).

e coadyuvar la comprensión de los Tabla 7 muestra los resultados

sión de ambos operadores.

Los casos de error en la conjunción responden a la confusión con el operador disyunci ón. Por ejemplo a:

"Escriba los que sean cuadrados perfectos y pares"

se respo nde con la lista siguiente: "25, 49, 64,100".

Esta confusión con la partícula "o" puede deberse a la aplicación de la conectiva al universo de elementos y no a cada uno de los elementos en particu lar, es decir, aparece un error debido a la concepción semántica de la partícula.

Por otra parte, tendemos a comprender la disyunción en su forma exclusiva y resulta poco frecuente en la lógica común una expresión disyuntiva inclusiva. Por ejemplo a:

"Escriba los que no sean cuadrado perfecto o no sean pares"

Se da por respuesta la lista: "32, 15, 28. 73" que corresponde a una sola de las proposiciones. Desde luego no parece, por tanto, que el alumno encuentre relaci ón alguna co n resp ec to a la complementariedad de los elementos que responden a una y otra preguntas, es decir, la equivalencia que expresan las leyes de Margan no tiene en estos casos ninguna significación.

En alguna de sus formas, concretam ente el caso de la disyunción con ambas proposiciones en forma negativa, hemos encontrado grados de acierto que cabría considerar bajos, en ambos grupos, teniendo en cuenta lo habitual de estas expresiones.

Tabla 7 Comprensión de los operadores "y" y "ó"

Modo lingüís t ico %Acierto

Alto vs. Baj o rendimie nto

Alto Baj o x\ P:S Comprensió n de la Ambas afirmativas 86.8 87.0 0,988 0,6 18 conjunción Ambas negativas 94,7 91,3 0.543 0,433

Comprensión de la Ambas afirmativas 73,7 69 ,6 0.677 0,433 disyun ción Ambas neoativas 55.3 34.8 0,060 0,048

N°1, Año 2006 Docencia Universitaria, Vo lu men VII, N° 1, Año 2006 59

i

:

l

Pilar Ruesga y Marie la Orozc o

Cuestiones de negaciones con cuantificadores

La obtención de expresiones equivalentes a la negación de otras que se for mulan con cuantificadores resulta realmente compleja para ambos grupos. Los resultados de acierto están en la Tabla 8. El grupo de bajo rendimiento ob tiene porcentajes de acierto siempre inferiores aunque las diferencias entre am bos gru pos só lo son significativas en el caso de la negación de "existe".

La necesidad de invertir el cuantificador y transformar la proposición a su forma negada es un proceso (Suppes 1986) que requiere parafrasear manteniendo continuamente el sentido de la proposición y, este proceso, es complejo .

Es en la fase de parafraseo donde se observa la dificultad . Por ejemplo ante:

"No todos los números naturales "X ", verifican la igualdad 2x + 10 =O

Y, a pesa r de haber escrito previame nte:

"Todos los números naturales "X", verifican la igualdad 2x + 10 = O

La mayor parte de los estudiantes, o bien no encuentran ninguna otra expresión equiva lente o aportan expresiones que no conservan el sentido de la anterior, como:

"No todos los números naturales "X", no verifican la igualdad 2x + 10 =O

Es prácticam ente una constante entre los errores, la negación de "todos" por "ninguno" adoptando nuevamente la forma que suele ser habitual en el razonamiento cotidiano. Es decir la negación de:

"Todos los números naturales "x", verifican la igualdad 2x + 10 =O"

se da como:

"Ningún número natural "x", verifica la igualdad 2x + 10 =O"


Diferencias en medias d bajo rendimiento a

Negación co n cuantificadores

"todo s"

"no lodos"

"existe"

"no existe"

Conclusiones

De acuerdo con los trestir ambos grupos de estudiante tanto en inferencia comoene muestra un razonamiento ló~

razonamiento matemáticoqu siempre porcentajes de acle afi rmativo y negativo muestra no podemos afirmar que uno fácil en general.

Las cuestiones relativas revelan sumamente cornple]

En cuanto a las cuestiones di ferencia entre ambos grup que ocurren en mucha meno: Ello puede deberse a la prese 1998) propias del razonamien porcentaje en el grupo de alf

De igual forma, las prequn diferencia entre los grupos, r como disyu nción y conjunck forma que simbol iza el á eq uivalencias relativas a las

Docencia

con cuantificadores

ivalentes a la negación de otras ) resulta realmente compleja para ierto están en la Tabla8. El grupo ajesde aciertosiempre inferiores grupos sólo son significativas en

dor y transformar la proposición ;0 (Suppes 1986) que requiere ente el sentido de la proposición

de se observa la dificultad. Por

"X", verifican la igualdad

ente:

~, verifican la igualdad 2x + 10 =O

s, o bien no encuentran ninguna expresiones que no conservan

'X", no verifican la igualdad

en re los errores, la negación de vamente la forma que suele ser

o. Es decir la negación de:

verifican la igualdad2x + 10 =O"

7ca la igualdad 2x + 10 = O"

Pensamiento lóg ico en estud iantesuniversitarios ...

Tabla 8 Diferencias en medias de acierto de estudiantes con alto y

bajo rendimiento a preguntas de cuantificadores

Negación con cuantificadores %Aci er to

Alto vs. Bajo rendimiento

Al to Baj o 7 , P:5 "todos" 36.8 34 .8 0.038 0 .845 "no todos" 23 ,7 10 .9 2 ,460 0 .117

"existe" 31.6 13.0 4 ,246 0,039

"no existe" 15.8 15.2 0.005 0.942

Conclusiones

De acuerdo con los tres tipos de cuestiones que hemos planteado, ambos grupos de estudiantes muestran emplear una lógica diferente tanto en inferencia como en equivalencia. El grupo de alto rendimiento muestra un razonamiento lógico más acorde con el necesario para el razonamiento matemático que el grupo de bajo rendimiento y alcanza siempre porcentajes de acierto superiores. Los modos lingüísticos afirmativo y negativo muestran su influencia aunque, de los resultados no podemos afirmar que uno de ellos resulte más significativo o más fácil en general.

Las cuestiones relativas a negaciones con cuantificadores se revelan sumamente complejas para ambos grupos.

En cuanto a las cuestiones de inferencia es de destacar la profunda diferencia entre ambos grupos en el uso de razonamientos falaces que ocurren en mucha menor medida en el grupo de alto rendimiento. Ello puede deberse a la presencia de las inferencias invitadas (O'Srien, 1998) propias del razonam iento cotidiano que operan en mucho menor porcentaje en el grupo de alto rendimiento.

De igual forma, las preguntas de equivalencia. además de mostrar diferencia entre los grupos, revelan que operaciones lógicas básicas como disyunción y conjunción, no siempre son comprendidas en la forma que simboliza el álgebra booleana, especialmente las equivalencias relativas a las Leyes de Margan.

Docenc ia Univers itaria, Volumen VII, N° 1, Añ o 2006 61

PilarRuesga y Marlela Orozco

Los errores observados muestran la influencia del razonamiento cotidiano que se hace más acusada en el grupo de bajo rendimiento. Es decir, los alumnos más exitosos en matemáticas han adaptado su forma de razonar en la vida cotidiana a los requerimientos que la matemática demanda, de forma significativamente distinta que aquellos otros menos exitosos.

. Esta lógica inadecuada puede representar un obstáculo (Brousseau 1993) para el aprendizaje. La alternativa que representa una formación específica en lógica formal no proporciona una solución al problema como lo muestran las experiencias de Nisbett (1987) y Almstrum (1999). Las situacionesde aprendizaje en matemáticas están inmersas en una realidad de la que no es posible aislar las formas de razonamiento que son propias de la vida cotidiana. Sin embarg o, el profesorado de matemáticas debe tener presente que ciertos usos del lenguaje provocan concepciones y modos inferenciales que no son válidos para la matemática y puede suponer un freno en la comprensión y el aprendizaje.


Primera parte "Las sigu ientes preguntas no constituyen inve stigac ión. Le pedimos que las lea con lug ar d estinado a la reso...esta. No es necr en el lugar indicado que ¡iveda recordar e i

Pregunta 1.1.- Conteste las siguientes pragunt, Tenga en cuenta que en las cuatro primeras, : puede concluir algo en cada uno deloscasos l no encuentra conclusión, indiquetoasi.

1.1.1.- Proposición 1: ' Si un numem N

Proposición 2: "Un numero N, tiene te

Conclusión: _

1.2.1.- Proposición 1: "Si un numeroN

Proposición 2: "Un numero N, notermi

Conclusión:. _

1.3.1- Proposición 1: 'Si un número N

Proposición 2:' Un numeroNnoespoi

Conclusión: _

1.4.1- Proposici6n 1: 'Si unnúmeroN

Proposición 2: ' Un número N espolen

Conclusión: _

1.5.1.· Los n úmeros reales puedenset Se toma un número al azar I numero? Escriba su respuestaI

Pregunta 2.1. 2.1.1· Dada la proposición: ' Un numer

¿Cree posible expresarla en la for

Docencl;

Pensamiento lógico en estudiantesuniversitarios...

7/l J8 IIJ! U6'/lC/8 del razonamiento nel grupo debajo rendimiento.

mmatemáticas han adaptado su ma a los requerimientos que la significativamente distinta que

resentarun obstáculo (Brousseau Uva que representa una formación orciona una solución al problema s de Nisbett (1987) y Almstrum jeen matemáticas están inmersas s posible aislar las formas de 3 vida cotidiana. Sin embargo, el tener presente que ciertos usos ~ y modos inferenciales que no p ede suponer un freno en la

Anexo

Primera parte "Las sigu ientes pregun tas no constituyen un examen . Sus respuestas se rv irán para rea lizar una inve sti gaci ón. Le ped imos que las lea con atención y conteste lo que le parezca proc edente en el lugar destinado a la resp uesta. No es nec esa rio que ponga su nombre pe ro sí algún tipo de marca en el lug ar ind icado que pu eda recordar e ident ificar en ot ro mo mento"

Ma rca D Pregunta 1.1.- Conteste las siguientes preguntas. Tenga en cuenta que en las cuatro primeras, se dan dos proposiciones que se suponen verdaderas. Vea si puede concluir algo en cada uno de los casos y escriba su conclusión. si la encuentra. en el lugar indicado. Si no encuentra conclusión, indiquelo asl .

1.1.1.- Propos ición 1: "Si un número N es potencia de 6, entonces su última cifra es un 6"

Proposición 2: "Un número N. tiene por última cifra un 6"

Conclusión: _

1.2.1.- Proposición 1: "Si un número N es potenc ia de 6. entonc es su úitima cifra es un 6"

Proposición 2: "Un número N. no termina en 6"

Conclusi ón: _

1.3.1- Proposición 1: •Si un número N es potencia de 6. entonces termina en 6"

Proposición 2:"Un número N no es potencie de 6"

Conclusi6n: _

1.4.1~ Proposición 1: "Si un número N es potencia de 6, entonces termina en 6"

Proposición 2: "Un número N es potencia de (j

Conclusión : _

1.5.1.- Los números reales pueden ser racionales o irracionales. Se toma un numero al azar y resulta ser racional. ¿Se puede decir algo más sobre este número? Escriba su respuesta en la linea:

Pregunta 2.1. 2.1.1" Dada la proposición: "Un número N no es potencia de 6 o termina en 6'

¿Cree posible expresarla en la forma "si........ entonces.....T'. Conteste Si ó No: _

Docencia Universitaria, Volumen VII. N° 1, Año 2006 63

1

l

l

l

Pilar Ruesga y Ma riela Orozc o

Segu nda parte En caso afirmativo escriba la expresión:

"Com o en la se sión anterior . le recen examen. Sus respuestas servirán para atenció n y co n teste lo qu e le parezca ne ce sari o que ponga su nombre pero sí I

22.1-Dada la proposici ón: "Si un núme ro N es potencie de 6. entonces termina en 6" ¿Cree posible expresarla en la forma: "Si un número N no termina en 6. entonces . ."? Complete la frase si lo cree posible .

2.3.1-: Sobre la siguiente lis ta de números:

25 64 15 73 49 32 28 100

2.3.1.1 - Escriba los que sean cuadrados pertectos y pares: _

2.3.1.2- Escriba los que sean cuadrados perfectos o pares: _

2.3.1.3.- Escriba los que no sean ni cuadrado perfecto ni par: ~ _

2.3.1.4.-Escriba los que no sean cuadrado perfecto o no sean pares: _

Pregunta 3.1- Escriba la negación de las siguientes proposiciones de dos formas distinta s

3.1.1-· Todos los números naturales ·x ·. verifican la igualdad 2x + 10 = O

Preg un ta 1.2.- Conteste las siguientes pregu Tenga en cuenta que en las cuatro primeras puede concluir algo en cada uno de los caso: no encuentra conclusión, índiquelo así.

1.1.2- Proposición 1: "Si un número N. mayor

Proposición 2: "Un número N. mayor que 2. e Conclusión: _

1.2.2- - Proposición 1: "Si un número N. may'

Propo sición 2: "Un número N. mayo

Conclusión: _

1.3.2- Proposición 1: "Si un número N. maYa

Propo sición 2: ·Un número N. maye

Conclusión: _

1.4.2- Proposición 1: "Si un número N. mayO!

Proposición 2: "Un número N. maYa

Conclusión: _

1.5.2.- Los núm eros reales pueden ser racior 3.1.2-"No todos ios número s naturale s "X·. venücen la igualdad 2x + 10 = O Se toma un número al azar y re

núme ro? Escriba su respuesta en la

3.2.1- •Existe un número neturet que verifica la igualdad 2x + 10 = O

1.6.2- De las propos iciones 1 y 2 siguientes (

Proposición 1: "Si un número natural esprim

Proposición 2: "Si un número natural es impi 3.2.2-"No existe ningún número natural que verifiquen la igualdad 2x + 10 = O

Conclusión: _

64 Docencia Universitaria, Volumen VII, N° 1, Año 2006 Docenc

Pensamiento lógico en estudiantesuniversita rios...

Segunda parte 'Como en la sesión anterior, le recor damos que las siguientes pregunt as no cons tituyen un examen. Sus respu est as serv irán para realizar una investigación . Le ped imos que las lea con atención y cont este lo que le pa rezca procedente en el lugar de stin ado a la respuesta. No es necesario que ponga su no mb re pero si la misma marca que hizo en la ocasión anterio r"

encia de 6. entonces termina en 6' 'úmeroN notermina en 6, entonces..."?

73 100

y pares: _

o pares: _

telani par: _

) o nosean pares: _

cionesdedos formas distintas

I Igualdad 2. + 10 =O

nla igualdad 2. + la= O

a/dad2.+10= 0

ucn la igualdad 2x + 10 = O

N° 1,Año2006

Mar ca D Pregu nta 1,2.- Conteste las siguientes preguntas. Tenga en cuenta que en las cuatro primeras, se dan dos proposiciones que se suponen verdaderas. Vea si puede concluir algo en cada uno de los casos y escriba su conclusión, si la encuentra, en el lugar indicado. Si no encuentra conclusión, indíquelo as!.

1.1.2- Proposición 1: "Si un número N. mayor que 2, no es compues to, entonces es impar"

Proposición 2: "Un número N, mayor que 2, es impar Conclusión: _

1.2.2- - Proposición 1: 'Si un número N, mayor que 2, no es comp uesto, entonces es impar".

Proposición 2: "Un número N, mayor que 2, no es impar"

Conclusión: _

1.3.2- Proposición 1: "Si un número N, mayor que 2, no es compue sto, entonces es impar"

Proposición 2: ' Un número N, mayor que 2, es compu esto"

Conclusión: _

1.4.2- Proposición 1: ' Si un número N, mayor que 2, no es compuesto, entonces es impar"

Proposición 2: 'Un número N, mayor que 2, no es compuesto'

Conclusión: _

1.5.2.- Los números reales pueden ser racionales o irracionales. Se toma un número al azar y resulta ser no racional. ¿Se puede decir algo más sobre este número? Escriba su respuesta en la linea:

1.6.2- De las proposiciones 1 y 2 siguientes obtenga otra, si le es posible y escribala en conclusión

Proposición 1: ' Si un número natural es primo y mayor que 2, entonces es impa r"

Proposición 2: 'Si un núm ero natural es impar, entonces su cuadrado es impa r"

Conclusión: _

Docencia Universitaria, Volumen VII , N° 1, Año 2006 65

.

Pilar Ruesga y Martelo Orozco Pe

Pregunta 2.2 2.1.2 - Dada la proposición: ' Un número N. mayor que 2, es compues to o es impar"

¿Cree posible expresarla en la forma "si , entonces ?" Conte ste Sl ó No: _

En caso afirmat ivo esc riba la expresión:

2.2.2- Dada la propo sición: "Si un número N, mayor que 2, no es compuesto, entonces es impar ¿Cree posible expresarla en la forma : 'S i un número N, mayor que 2, no es impar, entonces...'7 Complete la frase si lo cree posibte.

2.3.2.- Escriba la negación de las expresiones siguien tes:

2.3.2.1.-·Un número "x" es par o es primo' :

2.3.2.2 .-·Un número "x" es par y primo":

2.3.2.3.-·Un núme ro "x" no es par o no es primo"

Notas

1 El Bachíl/erato son los dos añ

2 Estas asignaturas fueron Á/~ tomado como de alto rendimiE superior a 7 (sobre 10) y Mate como de bajo rendimiento en E

5 (sobre 10).

3 Una de ellas es obvia anticipé

Re fe re nc ias

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Braine M. D. S., Reiser, B. J. & Rumai

2.3.2 .4.,·Un núme ro "x" no es par y no es pr imo"


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Docencia U

Pensamiento lóg ico en estudiantesuniversitarios...

r que 2, escompuesto o es impar"

entonces.....?· Conteste SI ó No: _

no es compuesto. entonces es impar" número N. mayor que 2. no es impar, entonces... '?

N°1,Año2006

Notas

1 El Bachillerato son los dos años previos a la Universidad.

2 Estas asignaturas fuero n Álgebra Lineal para el caso del grupo de tomado como de alto rendimiento en la que la calificación media fue superior a 7 (sobre 10) y Matemáticas Generales en el grupo tomado como de bajo rendimien to en el que la calificación media fue inferior a 5 (sobre 10).

3 Una de el/as es obvia anticipando "No".

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68 Docen cia Universitaria, Volumen VII, N° 1, Año 2006

Docencia Universitaria, Vol. VII, Nº 1, Año 2006 SADPRO ·UCV Universidad central de Venezuela Recibido: 12/03/2006 Aprobado: 29/05/2006

Peñil el Tr¡

de la Unive Experimental

R, El propósito del presen te trabajo fue e de doc entes universitarios de la Univ« Libertador (UPEL), adscritos al lnstitu (IMPM) en la ciudad de Caracas. En 1

una muestra de cuarenta y cinco (45) ~

ex post (acto, de campo y correlacic permitió determinar dos aspectos: a) relac ión entre las variables demográfi laboral, educaci n formal, escalafóny a para el trabajo . Los datos fueron prc estadlstico SPSS 7.5 para Windows. SI para el trabajo puede resultar importan puesto que dicho conocimiento sirvi. ex ternas, esl como los medios para ot pe rsona l académico de la UPEL. Estos estrateg ias para los docentes quepen la universidad, en pro de mejorar losniv académico de esta casa de estudios. Palabras clave: perfil motivacional; e demográficas y variables situacionale.

Motivational Profile the Universidal

Al The purpose of this article was to det« faculty ofUniversidad PedagogicaExp Educational Improvement of the Ma! Ins titution of higher education a san

DocenciaUIi

pensamiento lógico en estudiantes universitarios de alto y bajo

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