UNIVERSIDAD DEL CAUCA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y DE LA EDUCACIN

DEPARTAMENTO DE FISICA LABORATORIO DE VIBRACIONES Y ONDAS

2015

PENDULO SIMPLE

D. Ipaz, X. Correa, A. Palechor, L. A. Crdoba.

RESUMEN

En el laboratorio se realizo la practica de pndulo simple donde por medio de un metro

se vario la longitud de la cuerda cada 10 cm y se haca oscilar 5 veces el sistema con

un ngulo de 8. Por medio de un cronometro se tomo el tiempo en que demoraba el

sistema en dar las oscilaciones. Con los datos obtenidos se determina la gravedad del

lugar donde se realizo la prctica.

INTRODUCCION

El pndulo simple es un sistema oscilatorio que consta de una cuerda de masa

despreciable que sujeta una esfera de masa. A este se pndulo se le altera su estado

de equilibrio haciendo que este se mueva angularmente tomando un valor . Por medio

de este sistema se calcula el periodo y posteriormente el valor de la gravedad

experimental la cual se comparara con el valor de la gravedad terica.

MARCO TERICO

PNDULO SIMPLE:

El pndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un

hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vaco y sin rozamiento.

Al separar la masa de su posicin de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posicin,

realizando un movimiento armnico simple. En la posicin de uno de los extremos se

produce un equilibrio de fuerzas, segn observamos en la figura 1:

El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que

se equilibra con la tensin del hilo, de manera que:

Figura 1. Pndulo simple

(1)

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento

oscilante:

(2) mgsenF

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ngulos pequeos, se cumple:

(3)

lx

sen

Por consiguiente, podremos escribir la siguiente expresin, teniendo en cuenta el valor

del seno del ngulo y la representacin de la distancia con respecto al ngulo:

(4) l

xmgmgmgsenF

Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al pndulo, es funcin de la

elongacin (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S.

Para poder obtener el periodo del sistema debemos realizar la solucin de la ecuacin

diferencial del movimiento lo vamos a deducir por el mtodo del principio de

conservacin de la energa.

cosmgT

0

0

0....

0)(

2

L

g

SenL

g

SenmgLmL

EPECdt

d

Aplicamos el mtodo de energas y lo igualamos a una constante C, hallamos la energa

cintica y potencial del sistema, derivndola con respecto al tiempo, hemos tomado las

siguientes consideraciones en el sistema las cuales nos facilitan la obtencin el periodo:

0

lx

sen

Ya que hemos obtenido la ecuacin diferencial podemos hallar su periodo.

(5) g

LT 2

Figura 2. Principio de la conservacin de la energa

CALCULOS Y RESULTADOS

CCosmgLLm

CosmgLEP

LmmvEC

CEPEC

)1()(2

1

)1(

)(2

1

2

1

2

22

Efecto de la longitud sobre el periodo.

Para realizar este procedimiento se tom para todos los datos recopilados la misma

amplitud angular menor a 8 y con una masa constante. Posteriormente se seleccion

diez longitudes empezando desde 30 cm hasta 120 cm, para luego tomar el tiempo que

tardo el pndulo en realizar cinco oscilaciones.

Al realizar las medidas se obtuvo lo siguiente:

L(cm) T1(s) T2(s) T3(s) Tprom(s) T=Tprom/N T^2

30 5,32 5,4 5,48 5,4 1,08 1,1664

40 6,36 6,48 6,47 6,43666667 1,28733333 1,65722711

50 7,23 7,29 7,38 7,3 1,46 2,1316

60 7,92 7,84 7,81 7,85666667 1,57133333 2,46908844

70 8,21 8,3 8,2 8,23666667 1,64733333 2,71370711

80 9,06 9,04 8,96 9,02 1,804 3,254416

90 9,61 9,59 9,42 9,54 1,908 3,640464

100 10,28 10,18 10,26 10,24 2,048 4,194304

110 10,6 10,43 10,53 10,52 2,104 4,426816

120 10,97 10,92 10,98 10,9566667 2,19133333 4,80194178

Tabla 1. Medidas realizadas en la prctica.

De acuerdo con el fundamento terico el movimiento oscilatorio del pndulo simple

puede ser analizado como un movimiento armnico simple, cuya ecuacin de

desplazamiento est dada por la expresin;

Ecu 1.

Donde; g es la aceleracin donde oscila el pndulo, L es la longitud de la cuerda del

pndulo.

Solucionando la ecuacin 1 diferencial se puede demostrar que la frecuencia angular

( ) es;

o

Ecu 2

Por lo tanto el periodo (T) ser.

Ecu 3

De la ecuacin 3 despejamos L quedando de la siguiente forma.

Ecu 4

Si se representa los valores (grafica 1) de en funcin de (datos tabla 1), se obtiene

que: a es la pendiente y b el intercepto, teniendo que:

a = 0,0403

b = 0,024 Luego como

a =

Y reemplazando la pendiente de la grfica en la ecuacin encontramos la gravedad de

Popayn, debido a que en este sitio se realiz la prctica dando como resultado.

Entonces

g =

= 9,795 m/s2

y = 0,0403x + 0,024 R = 0,9959

0

1

2

3

4

5

6

0 50 100 150

T^2

(s)

L(cm)

Periodo Vs Longitud

Grafica 1.Periodo versus longitud.

Error relativo:

g = 9,76 m/s2, en Popayn

Entonces

Er =0,0035 (0.35%)

Error absoluto: 9,795-9,76 = 0,035

ANALISIS:

La prctica de laboratorio, consisti en hacer un montaje de manera sencilla para

estudiar el movimiento armnico simple, que consiste en una masa puntual suspendida

de un hilo de diferentes longitudes especificadas en la tabla N1 .La masa oscila de un

lado a otro alrededor de su posicin de equilibrio describiendo una trayectoria a lo largo

del arco; cuando el pndulo est en equilibrio, la tensin ( T )del hilo se anula con el

peso de la masa ( W ), cuando el pndulo no est en su posicin de equilibrio , el hilo

forma un ngulo con la vertical, que en nuestro caso es de 8, ya que con valores

mayores a 10 se sufrira una alteracin significativa en la trayectoria descrita por la

esfera y comenzar a oscilar en tres dimensiones por lo que dejara de ser un

movimiento armnico simple. Sobre el pndulo que posee un momento de inercia I, est

actuando una aceleracin angular , es decir la sumatoria del torque se expresa como:

Por la definicin de torque se tiene que:

(9)

Para este caso h es la distancia del eje de giro al centro de masa del pndulo y la

fuerza que acta es la fuerza gravitacional:

Como los ngulos tomados son muy pequeos se aproxima a :

La aceleracin angular se puede expresar como la segunda derivada de respecto al

tiempo:

(10)

Despejando se obtiene:

=

Ahora la ecuacin del movimiento armnico simple est dada por:

(11)

Por lo anterior se deduce que:

La relacin entre el periodo y la frecuencia est dada por:

(12)

Al reemplazar w, se obtiene que el periodo del pndulo est dado por:

, cuyos valores estn consignados en la tabla N1.

De la tabla N 1, podemos concluir que como el periodo es proporcional a la raz

cuadrada de la longitud, entonces a mayor longitud, mayor es su raz cuadrada, por lo

que entonces se alarga el periodo.

Tambin podemos ver que realmente el porcentaje de error entre el valor terico y el

valor experimental es muy bajo.

CONCLUSIONES:

El perodo de un pndulo slo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satlites naturales).

Debido a que el perodo es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los pndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con perodos iguales

A mayor longitud de cuerda mayor perodo.

BIBLIOGRAFIA:

INGENIERA MECNICA DINMICA, Willian F. Riley Leroy D. Sturges. Editorial Revert, S.A

FSICA UNIVERSITARIA volumen 1, Sears Zemansky. Pearson Educacin, Mxico (2009)