informe terminado pendulo simple

Laboratorio de Fsica II, Marzo 2011

EL PNDULO SIMPLE Castaeda Gmez H.1, Orozco De la Cruz L.1, Polo Cano K.1, Roa Escobar E.1, Robles Montoya G.1 Martn Morales Fontalvo 2 Universidad Del Atlntico Facultad de Ingeniera Programa de Ingeniera Mecnica Martes, Marzo 29 del 2011, 12:30 P.M

RESUMEN

E

n el presente informe se realiza un detallado anlisis cuantitativo y cualitativo de la prctica nmero dos, titulada, Pndulo Simple. sta fue desarrollada el da quince de marzo del ao lectivo en las instalaciones del laboratorio de fsica de la Universidad Del Atlntico.

El objetivo primordial de dicha experiencia, fue comprobar la primera y segunda ley del pndulo simple y consiguientemente, calcular el valor de la aceleracin debida a la gravedad. Para ello, se cont con un sistema que constaba de un soporte universal, un hilo inextensible, una cinta mtrica, un juego de tres masas diferentes, un transportador y un cronmetro.

1. INTRODUCCIN Todo movimiento o suceso que se repite a intervalos regulares se dice que es peridico. En ciertos movimientos peridicos, un cuerpo se mueve hacia adelante y hacia atrs siguiendo una trayectoria determinada, entre una posicin fija (sobre la cual pasa un eje perpendicular) y dos posiciones extremas, tal es el caso del pndulo simple, un sistema idealizado en el que una masa puntual est suspendida del extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable (cotejada con la masa del cuerpo). El motivo que estmulo el desarrollo de este sucinto informe, fue reconocer los factores y variables que intervienen en este sistema mecnico, estudiar s efectivamente su comportamiento cumple con las caractersticas para catalogrsele como oscilador armnico simple (poder establecer comparaciones entre el movimiento del pndulo simple con el sistema fsico masa resorte, ambos movimientos peridicos oscilatorios) y determinar


experimentalmente el valor de la aceleracin de la gravedad, aprovechando la relacin entre el perodo y la longitud del mismo.

2. DISCUSIN TERICA Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sometidos a una fuerza restauradora, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El pndulo simple o matemtico es uno de estos. Se denomina as en contraposicin a los pndulos reales, compuestos o fsicos, nicos que pueden construirse. ste sistema, como se haba mencionado anteriormente, se compone de una pequea pesa de masa m suspendida de un cordel fino de longitud L fijo por su extremo superior. (Cordel fino significa suponer que la masa del cordel es muy pequea en comparacin con la masa de la pesa y que, por tanto, es posible no tomarla en cuenta.) Cuando se deja en libertad, la masa se balancea hacia un lado y otro sobre la misma trayectoria, este movimiento ocurre en un plano vertical y es accionado por la fuerza gravitacional. Examinando la fuerza que acta como fuerza restauradora sobre el pndulo (componente tangencial de la fuerza gravitacional), se puede aseverar que este describe un movimiento armnico simple, pues esta fuerza es proporcional al desplazamiento s, y es de la forma de la ley de Hooke, . Por otra parte, puesto que en este caso, se observa que el movimiento es armnico simple si es proporcional al ngulo La componente de la fuerza de gravedad tangencial a la trayectoria circular es la fuerza que devuelve el pndulo a su posicin de equilibrio. Por tanto, la fuerza restauradora es

Con base en esta ecuacin se aprecia que la fuerza restauradora es proporcional a , no a Ello conduce a concluir que el movimiento de un pndulo no es armnico simple. Sin embargo, cuando el ngulo es significativamente pequeo, menor a quince grados, el ngulo


medido en radianes y el seno del ngulo son aproximadamente iguales. En definitiva, si restringimos el movimiento a ngulos pequeos (menores a quince grados), la fuerza restauradora se puede escribir como

Y teniendo en cuenta

se puede denotar ( ) ,

Esta ecuacin sigue la forma general de la fuerza de la ley de Hooke, dada por con

. Por esto, se justifica afirmar que un pndulo experimenta un movimiento

armnico simple slo cuando oscila de un lado a otro con amplitudes muy pequeas (o, en este caso, valores pequeos de , de modo que ). El perodo de un pndulo se puede determinar si se recuerda en primer lugar que el perodo de un sistema de masa-resorte es Si se sustituye simple es por su equivalente, , se nota claramente que el perodo de un pndulo

Esta ecuacin pone de manifiesto el resultado, sorprendente en alguna medida, de que el perodo de un pndulo simple no depende de la masa sino de la longitud del pndulo y de la aceleracin de la gravedad. Por otro lado, la amplitud no es un factor importante en tanto sea relativamente pequeo. En la siguiente figura se ilustra la analoga entre el movimiento de un pndulo simple y el sistema de masa-resorte.


3.

PROCEDIMIENTOS.

En la realizacin de la prctica de Laboratorio de Fsica II concerniente a Pndulo Simple, en primera instancia se llevo a cabo la fase de instalacin de los instrumentos con la finalidad de demostrar experimentalmente la independencia del Periodo con la masa oscilante en el Pndulo, para ello, se emplearon los siguientes instrumentos: Un soporte universal. Una cuerda inextensible de longitud no menor a 150 cms. Bloques de masa de 50, 100 y 200 grms. Cinta mtrica. Transportador. Cronmetro.


La instalacin se realiz tomando una medida exacta de longitud de la cuerda valorada desde el extremo superior del soporte universal hasta el centro de masa del bloque colgante de 50 gramos. La longitud tomada fue de 51 cms, y el procedimiento de medicin se realizo en primera instancia con un bloque de 50 gramos, luego con uno de 100 gramos y finalmente con uno de 200 gramos, manteniendo invariable el valor de la longitud. La medicin del periodo se hizo posible, halando la masa colgante con un ngulo aproximadamente igual o mayor a 15 respecto a la vertical, soltndose para que empezara a oscilar. Se tom el tiempo transcurrido en 10 oscilaciones para lograr finalmente la relacin T = t/10. Los resultados fueron tabulados y el procedimiento se realizo sucesivamente diez veces para obtener un valor promedio. As mismo se realiz aumentando el valor de la masa, con una de 100 y 200 gramos. Para la segunda etapa de la medicin se realiz exactamente lo mismo que en la etapa anterior, lo que marc la diferencia fue el valor fijo de la masa, y el aumento durante la medicin del valor de la longitud de la cuerda para calcular el periodo respectivo. Se inici con 30 cms de longitud, se fue aumentando en 20 cms hasta llegar finalmente a 150 cms. Los parmetros de medicin fueron exactamente los mismos.

4.

ANLISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS.

En la realizacin de los clculos correspondientes en la determinacin experimental de los fundamentos del M.A.S. asociado a un Pndulo simple se tomaron los siguientes datos iniciales:


Tabla 1: Determinacin experimental de los valores del Periodo para un Pndulo simple variando la masa colgante, y dejando constante la longitud de la cuerda. M1 M2 M3 t T(s) t T(s) t T(s) 14.10 1.41 14.23 1.42 14.40 1.44 14.12 1.41 14.40 1.44 14.46 1.45 14.60 1.46 14.50 1.45 14.50 1.45 14.30 1.43 13.93 1.40 14.43 1.44 14.60 1.46 14.30 1.43 14.51 1.45 = 1.43 = 1.43 = 1.45

En la fase de medicin respectiva hay que tener en cuenta que el valor del periodo con cada Masa colgante se determin tomando el tiempo de diez oscilaciones para disminuir el ndice de error, de esta forma el valor registrado fue dividido entre diez (10) obtenindose asi la magnitud de un periodo de oscilacin, los valores de las masas son respectivamente M1 = 50g, M2 = 100g y M3 = 200 g. podemos notar que aunque se vari la masa el valor del Periodo present pequesimas desviaciones, independientemente de la amplitud utilizada, se procur siempre empezar las mediciones con el mismo valor; pero la tendencia es a un valor de Periodo perfectamente constante. A partir de estos resultados es posible comprobar el valor de la aceleracin de gravedad que acta siempre sobre un sistema en oscilacin, la fuerza de gravedad acciona el movimiento y siempre que sea un ngulo pequeo ste ser Armnico simple, este requisito fue tenido en cuenta debido al valor de amplitud pequeo utilizado para la toma de mediciones. La longitud medida de la cuerda fue de 51 cms. Partimos entonces de la ecuacin que define al Periodo de un Pndulo simple:

Donde L es la longitud de la cuerda del pndulo y g la aceleracin de la gravedad. De esta forma si despejamos g de la ecuacin anterior tenemos:


Si aplicamos la formula en cada uno de los casos anteriores obtenemos los siguientes valores: Tabla 2: Determinacin de los valores experimentales de la aceleracin de gravedad teniendo en cuenta los vales promedios de los Periodos con cada Masa correspondiente. PERIODO PROMEDIO (S) MASA (Gramos) g GRAVEDAD ( ) 50 100 200 1.43 1.43 1.45 984.59 984.59 976.39

Sabemos que el valor cientfico de la gravedad es de 980.66

. Con estos valores entonces

podemos encontrar los porcentajes de desviacin entre uno y otro valor y de esta forma analizar el ndice de error en la prctica: | |

Donde el valor terico corresponde al valor cientfico de la gravedad y los valores experimentales aquellos tomados en el laboratorio, la siguiente tabla muestra los resultados una vez aplicada la frmula anterior: Tabla 3: Determinacin de los valores de los %Desv. Para cada valor experimental obtenido en el clculo de la aceleracin de la gravedad. Valor experimental: g %Desviacin Valor Terico (Cientfico) ( ) ( ) 980.66 0.43% 0.43% 0.38% 984.59 984.59 976.39

Es apreciable una vez vistos los resultados de la tabla, que los valores de la aceleracin de gravedad obtenidos experimentalmente son muy aproximados al valor cientfico de la misma, lo que garantiza un porcentaje de desviacin bastante insignificante demostrando que la prctica se realiz bajo procedimientos acertados y correctos.


La segunda parte de la experiencia consisti en determinar los valores del Periodo para diferentes longitudes, es decir la magnitud de sta fue variable para cada etapa de medicin manteniendo constante el valor de la masa colgante. Los datos obtenidos se ilustran el la siguiente tabla:

Tabla 4: determinacin del Periodo de osilacin variando la longitud de la cuerda. LONGITUD Tiempo 10 oscilaciones (s) Periodo T(s) Cuadrado Periodo T 2(s2) (Cms) 30 11.20 11.09 11.10 11.02 11.09 1.11 1.23 50 14.44 14.50 14.35 14.60 14.46 1.45 2.10 70 16.84 16.80 16.80 17.10 16.74 1.69 2.86 90 19.18 19.20 19.25 19.30 19.10 1.92 3.69 110 21.03 21.30 21.20 21.06 21.10 2.11 4.45 130 23.09 23.00 23.08 23.20 23.10 2.31 5.34 150 25.00 24.86 24.91 24.60 24.90 2.48 6.15 Si analizamos los resultados obtenidos, en primera nocin podemos observar que si variamos los valores de la longitud de la cuerda asi mismo vara el valor del periodo no de una forma directa debido a la relacin entre T y L. Para poder comprender mejor la informacin que proporciona la grfica es conveniente realizar una representacin grfica de T Vs. L, y T 2 vs L para observar su comportamiento:

Periodo T(s) vs Longitud (Cms)3 2.5 Periodo T (seg) 2 1.5 1 0.5 0 0 20 40 60 80 Longitud (Cms) 100 120 140 160


Realizando un anlisis grfico podemos observar que la grfica representa una curva cncava hacia abajo que indica que a medida que aumenta la Longitud de la cuerda del Pndula aumenta tambin el valor del periodo de oscilacin pero no de manera proporcional debido a la relacin entre T y L. Podemos apreciar, que la curva tiene la forma de una funcin que lleva un termino de raz cuadrada, y esto es justificable ya que T ascendente tambin. , por lo tanto la grfica no puede ser lineal, es

Ahora podemos apreciar la grfica del Periodo al Cuadrad contra la Longitud:

Cuadrado Perido T 2(s2) vs Longitud (Cms)3 Cuadrado Perido T 2(s2) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 20 40 60 80 LONGITUD (Cms) 100 120 140 160

El ideal de realizar un grfico que relacione el Cuadrado del Periodo contra la Longitud es linealizar los puntos obtenidos en la grfica anterior. Si apreciamos la grfica vemos que la rectitud aumenta respecto a la primera grfica, sin embargo existe una pequea desviacin debida al ndice de error por tratarse de una prctica experimental, sin embargo la tendencia es significativa. Si se unieran los puntos extremos, los puntos que se encuentran entre stos quedaran dispersos y de esta forma se pueden inferir que esto es posible por la fuente de error, que pudo deberse a perturbaciones externas, variacin brusca en la precisin a la hora de soltar la masa colgante con un valor de amplitud especfico, si esto fuera asi, el sistema podra experimentar prdida de energa mecnica en el cambio de la trayectoria y de esta forma el movimiento no sera Armnico simple, sin embargo el ngulo de amplitud fue mayor o igual a 15.


Es un grfico aproximadamente lineal, que indica que a medida que aumenta la longitud idealmente aumenta el cuadrado del periodo de una forma proporcional. Aunque experimentalmente esta apreciacin es significativamente aproximada. Todo esto debido a que:

Como la relacin es directamente proporcional, y la grafica entre el cuadrado del periodo y la longitud es lineal, podemos hallar entonces el valor de la pendiente.

Si tomamos el valor cientfico de g, y sustituimos su valor obtenemos que m = 0.040. Y este valor es consistente, ya que por ser una lnea recta la pendiente tambin puede hallarse como el cociente entre la diferencia de los valores mayor y menor del cuadrado del periodo, y la diferencia de los valores mayor y menor de la longitud; entonces el valor de dicha operacin es 0.041, muy aproximado al primer valor (Vase Tabla 4) El valor de la gravedad tambin puede ser determinado utilizando los valores experimentales tomados en la segunda parte de la prctica, para de esta forma lograr la comparacin con el valor cientfico y calcular el ndice de error:

Tabla 5: Determinacin del valor de la aceleracin de gravedad con los datos experimentales tomasdos en la medicin. Longitud (Cms) Periodo T(s) Gravedad g ( ) 30 50 70 90 110 130 150 1.11 1.45 1.69 1.92 2.11 2.31 2.48 961.24 938.84 967.57 963.83 975.41 961.79 962.83


Si observamos la tabla vemos una aproximacin bastante cercana de la magnitud de la aceleracin de la gravedad respecto al valor cientfico de la misma. Sin embargo el ndice de error puede ser conocido mediante el porcentaje de desviacin entre dichos valores. Se usa entonces la siguiente frmula: | |

. Los valores obtenidos son los que se muestran en la siguiente tabla que se muestra

Tabla 3: Determinacin de los valores de los %Desv. Para cada valor experimental obtenido en el clculo de la aceleracin de la gravedad. Valor experimental: g %Desviacin Valor Terico (Cientfico) ( ) ( ) 1.98% 4.26% 1.34% 1.72% 0.53% 1.92% 1.82% 961.24 938.84 967.57 963.83 975.41 961.79 962.83

980.66

Si apreciamos los valores de los porcentajes de desviacin para esta segunda etapa de la prctica observamos una tendencia mayor del ndice de error, sin embargo, los valores de la aceleracin de la gravedad respecto al valor cientfico son bastante prximos pues oscila ente 0.5% y 4%, lo que puede garantizar xito a la prctica. El ndice de error es debido a la imprecisin a la hora de soltar la masa oscilante desde su amplitud pequea, o la variacin de su ngulo por encima de los 15, lo que puede hacer que el sistema no describa un Movimiento armnico Simple.

5. CONCLUSIONES A travs de esta experiencia de laboratorio de Fsica II podemos deducir que el periodo medido en un Pndulo simple no depende para nada de la masa colgante del sistema ni de la amplitud, sin embargo sta no debe tener un valor elevado pues modifica el ngulo de elongacin que no puede ser superior a 15. Con ngulos mayores el sistema no se mueve con M.A.S. y la energa mecnica


del mismo se disipa alterndose as su sentido fsico. La relacin entre Periodo y Longitud no es lineal como apreciamos en el grfico, pero entre el cuadrado del periodo y la longitud es directamente proporcional. El valor de la aceleracin de la gravedad fue comprobado experimentalmente con una proximidad bastante significativa, sin embargo el error debido a la imprecisin en la determinacin emprica del valor del ngulo de elongacin produjo pequeas desviaciones, hacindose su magnitud fsicamente despreciable.

REFERENCIAS RAYMOND A. Serway. J Jewett. Fsica: Para ciencias e ingeniera, Vol 1, 4 edicin. Editorial MC GRAW-HILL. Mxico D.F., Mxico, 2003. Web Fsica de Franco: acienciasgalilei.com http://www.meteored.com/

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