Objetivo: Estudiar el movimiento de un péndulo simple y determinar su periodo de oscilación.

Hipótesis: El periodo de oscilación de un péndulo simple no depende de su masa sino únicamente de la longitud del hilo y del valor particular de g en el lugar donde se encuentra el péndulo.

Marco teórico:Durante los pasados tres siglos, el péndulo ha sido nuestro marcador de tiempo mas confiable; pero para que sea preciso, la amplitud de la oscilación debe mantenerse constante a pesar de las perdidas por fricción que afectan a todos los sistemas mecánicos. Tal característica le permite ser empleado para determinar la aceleración de la gravedad g.Así pues, podemos decir que un péndulo simple es un sistema físico ideal que consta de una partícula suspendida de una cuerda ligera e inextensible. Al llevarse fuera de su posición de equilibrio y soltarlo, el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad. El movimiento resultante es periódico y oscilatorio.Por lo que hemos visto anteriormente, tal movimiento resulta ser un MAS. La fuerza de restitución en este caso es un componente de la fuerza tangencial, que no es más que un componente del peso, es decir:

F=−mgsin (Ѳ )… ..(1)

Donde el signo negativo indica que F es opuesta a la dirección deѲ creciente.La oscilación resultante sería:

−mgsin (Ѳ )=mL d2Ѳdt 2

….. (2 )

Y si Ѳ es pequeña, entonces sin (Ѳ )=Ѳ, por lo tanto (2) resulta ser:−( gL )Ѳ≌ d

2Ѳdt 2

…..(3)

Que es, efectivamente, la ecuación de un MAS.Por lo tanto, si hacemos que ω2=√ gL , entonces:

v= 12π √ gL… ..(4 )

Es la frecuencia del movimiento; por consiguiente, el periodo del movimiento será el reciproco de la frecuencia, o sea que:T=2π √ Lg … ..(5)

La ecuación (5) nos dice que el periodo es independiente de la masa de la partícula suspendida. Por tal motivo decimos que este es un principio virtual. (En realidad, el periodo depende de la amplitud, es decir, T aumenta cuando la amplitud lo hace.).Por otra parte, a menudo suele ocurrir que dos movimientos armónicos simples se combinen, haciéndolo en ángulo recto. El movimiento resultante es la suma de dos oscilaciones independientes.Si las frecuencias de las vibraciones son las mismas y las constantes de fase son iguales, el movimiento resultante es una línea recta, ya que si:

x=xmcos (ωt+Фx )∧ y= ymcos (ωt+Ф y )

Y si Фx=Ф y después de simplificar y efectuar el cociente resulta que y=( ymxm ) x que es la ecuación de una línea recta.Si las constantes de fase son diferentes, el movimiento resultante será un circulo o una elipse. Por ejemplo, para la primera figura la expresión esta dada por:

x2+ y2 ¿ xm2

Cuando Фx=Ф y+π2

, frecuencias iguales y: ( ymxm )=1.La elipse se puede obtener de manera análoga, y puede tener como expresión la ecuación:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

Donde los coeficientes son constantes por determinarse. Las figuras resultantes de la superposición de MAS’s reciben el nombre de figuras de Lissajous.

Material: 1 fotocompuerta con Timer(Photogate timer) 1 péndulo Masas Hilo de distintas longitudes 1 flexómetro 1 osciloscopio 2 generadores de señales

Procedimiento experimental:Primero medimos la masa de la lenteja del péndulo y registramos este valor como m, para ello utilizamos un clip para sostenerlo por tanto:Pesa =0.1 kg, Clip=0.0004 kg entonces m=Pesa+Clip=0.1004 kg.Así dispusimos del péndulo y el Photogate como se muestra en la figura 1. Para mejores resultados, el péndulo estuvo suspendido de dos puntos tal como muestra en la figura ya que esto no posibilitará que efectivamente la oscilación sea en el plano perpendicular al Photogate.Luego determinamos la longitud del péndulo L, por PitágorasA=.345m h=.97mh2= L2+a2 entonces L=( h2- a2)1/2 L=0.90657 m

Así, colocamos el photogate timer en modo GATE. Ajustamos La altura del photogate de tal modo que la lenteja interrumpa el haz de luz cuando oscile.Entonces colocamos el interruptor del Timer en modo PENDULUM. Hicimos oscilar la lenteja, manteniendo la oscilación relativamente pequeña.Presionamos el botón RESET del Timer. Anotamos el primer tiempo que desplegó la pantalla. Luego repetimos esta medida varias veces presionando el botón RESET y registramos la primera lectura que desplegó. Hicimos esto 7 veces para tomar el periodo promedio desde el cual se suelta la lenteja sea el mismo y tabulamos los datos:

m+Δm(s)kg L+ΔL(m) T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 Tprom (T±𝛅 T)s..104 .9065m 1.983 1.985 2.003 2.001 2.003 2 1.982 1.994 1.994±0.0092.104+.10 .9065m 1.990 1.988 1.986 1.987 1.988 1.977 1.988 1.988 1.988±0.004.104+.20 .9065m 1.988 1.975 1.988 1.988 1.989 1.986 1.986±0.0053

Se observó que el promedio de los periodos es aproximadamente el mismo con distintas masas por lo que el periodo en el péndulo es independiente de la masaMantuvimos la longitud L constante, cambiamos la masa de la lenteja y repetimos los 2 anteriores pasos.Así, mantuvimos constante la masa m=0.204kg y variamos la longitud del péndulo. Hicimos esto 4 distintas longitudes.m+Δm(s)kg L+ΔL(m) T1 T2 T3 T4 T5 Tprom ¿¿±𝛅

T )s..104+.10 .9065m 1.99 1.99 1.98 1.98 1.98 1.988 1.988

0 0 8 6 7 ±0.004.104+.10 .8692m 1.939 1.924 1.936 1.941 1.933 1.935 1.935±0.0059.104+.10 .8131m 1.867 1.880 1.879 1.879 1.875 1.876 1.876±0.0048.104+.10 .757m 1.811 1.811 1.811 1.811 1.806 1.81 1.81±0.002 Luego graficamos Tprom vs L empleando los datos de la tabla anterior.

0.700000 0.750000 0.800000 0.850000 0.900000 0.9500000.000000

0.500000

1.000000

1.500000

2.000000

2.500000

3.000000

3.500000

4.000000

4.500000

f(x) = 4.33185415742834 xR² = 0.999979134606907

Periodo promedio (Variación de longitud)

Longitud

Peri

odo

(pro

med

io)

L T T20.757000 1.810000 3.2761000.813100 1.876000 3.5193760.869200 1.935000 3.7442250.906500 1.988000 3.952144

Notamos que por la ecuación (5) podemos escribir T2=(4Π2/g)L por lo tanto nuestra pendiente se aproxima a 9.113418 muy cercano al valor de la gravedad

Conclusión:Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado a las siguientes conclusiones:De la primera tabla vemos que el período es independiente de la masa, pues los periodos son muy similares ya que se encuentran en un intervalo de 1.9 a 2 segundos a pesar de los errores de medición que se pudieron haber encontrado al realizar la práctica.Vemos de la segunda tabla el periodo de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad pues los valores de los periodos cambian bastante pues varían en un intervalo de 1.8 a 2 segundos por tanto podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales.Por lo dicho anteriormente podemos validar nuestra hipótesis así afirmamos que a mayor longitud de cuerda mayor período.  

Anexos:93cm-------x97cm-------34.5 cm x=33.07cma2=.3307m h2=.93mh22= L22+a22 entonces L2=( h22- a22)1/2 L=0.8692 m87cm-------x97cm-------34.5cm x=30.94cmA3=.3094m h3=.87mh32= L32+a32 entonces L3=( h32- a32)1/2 L=0.8692 m81cm-------x97cm-------34.5cm x=28.81cma4=.3094m h4=.87mh42= L42+a42 entonces L4=( h42- a42)1/2 L=0.8692 mΘ=20.834° para todas las mediciones se usó el mismo ángulo.Para obtener la pendiente y la ordenada:

m = n∑i=1n

X iY i−∑i=1

n

X i∑i=1

n

Y i

n∑i=1

n

X i2−(∑

i=1

n

X i)2

b = ∑i=1n

X i2∑i=1

n

Y i−∑i=1

n

X i∑i=1

n

X iY i

n∑i=1

n

X i2−(∑

i=1

n

X i)2

Los cálculos se realizaron con Microsoft Excel.Para obtener el error de medición del periodo promedio se usa lo siguiente.

δ T=√∑i=1n (T i−T )2

n

BibliografíaMcKelvey, John P. Grotch, Howard, Física para Ciencias e Ingeniería, Vol.1 1 edición en español, Harla(Harper & Row Latinoamericana), México,1980Resnick, R. Halliday, D, Krane, K.S., Física, Vol.1 3ra Edición en Español, 5ta Reimpresión, CECSA, México,1996Serwey, Raymond A., Física, Tomo 1, 4a Edición en Español, McGrraw Hill Interamericana Editores S.A.,México,1997