pauta_certamen_n1_gio_1s_201

7/23/2019 Pauta_Certamen_N1_GIO_1S_201

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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS

PAUTA PRIMER CERTAMENPrimer Semestre 2015

Gestin de Investigacin de Operaciones

Instrucciones: Tiempo mximo: 1 hora y 45 minutos. No estn permitidos equipos de audio ni celulares.Sin cuadernos o apuntes. Una pregunta por hoja. El Certamen es individual. Slo est permitido el uso

de calculadora bsica. SIN CONSULTAS. NO DESCORCHETEAR EL CERTAMEN. La copia ser penalizadacon nota 0. Demuestre y justifique sus respuestas.

Pregunta N1 (40 Puntos). Una empresa fabrica dos productos a partir de planchas de plstico:cajas para guardar alimentos en contenedores refrigerados y tubos para sistemas de

refrigeracin, que proporcionan como beneficio 3 mil y 4 mil pesos por unidad elaborada,

respectivamente. La fabricacin de una caja requiere dos planchas y cada tubo tres planchas.

Su proveedor le entrega 1.200 planchas diarias. La cadena de produccin puede funcionar

ininterrumpidamente cada da y producir 100 cajas cada 6 horas o 100 tubos cada 4 horas.Asuma que la demanda de ambos productos es ilimitada.

a) (3 Puntos)Diga si las siguientes decisiones son factibles y cul de entre estas ltimas tiene

el mejor beneficio total: 400 cajas y 600 tubos; 150 cajas y 300 tubos; 300 cajas y 200

tubos; 400 cajas y 150 tubos.

OBSERVACIN:A continuacin se detallan 2 opciones de Pauta admisibles como alternativaspara el problema segn se detalla en la parte b). Se utilizan colores para diferenciar cada unade ellas.

Son factibles nicamente los siguientes planes: 150 cajas y 300 tubos; 300 cajas y 200 tubos (2puntos). El que obtiene el mejor beneficio resulta ser elaborar 150 cajas y 300 tubos (1 punto)

Es factible nicamente el plan: 150 cajas y 300 tubos (2 puntos)y en consecuencia el nicoplan de los detallados que representa el mejor beneficio (1 punto)

b)

(7 Puntos) Formule un modelo de Programacin Lineal que permita maximizar losbeneficios totales.

Alternativa 1: Se pueden producir los 2 productos en un mismo instante del tiempo duranteel horizonte de evaluacin.

El modelo contempla las siguientes variables de decisin:x1= cantidad a elaborar de cajas.

x2= cantidad a elaborar de tubos. (2 puntos)

y corresponde a:

Maximizar z = 3x1+ 4x2 (1 punto)

s.a. (1) 2x1+ 3x2 1200 (1 punto)(2) x1 400 (1 punto)(3) x2 600 (1 punto)x10, x20 (1 punto)


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Alternativa 2: Se puede producir slo 1 producto en un mismo instante del tiempo durante elhorizonte de evaluacin.

El modelo contempla las siguientes variables de decisin:

x1= cantidad a elaborar de cajas.

x2= cantidad a elaborar de tubos. (2 puntos)

y corresponde a:

Maximizar z = 3x1+ 4x2 (1 punto)

s.a. (1) 2x1+ 3x2 1200 (1 punto)(2) 0,06x1+ 0,04x2 24 (2 puntos)x10, x20 (1 punto)

c)

(8 Puntos) Resolver el problema de manera grfica. Indicar con claridad el dominio desoluciones factibles, curvas de nivel de la funcin objetivo, la solucin ptima alcanzada y el

valor ptimo obtenido. Muestre en la grfica cada uno de los planes propuestos en a).

(Ayuda: Utilice el grfico a continuacin).


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Dominio de soluciones factibles (3 puntos)Curvas de nivel de la funcin objetivo (2 puntos)Solucin ptima sera: x1=400 y x2=400/3 unidades (1 punto)Valor ptimo: 1.733.333 (1 punto)Identificar los puntos de a) en la grfica: (1 punto)

Dominio de soluciones factibles (3 puntos)Curvas de nivel de la funcin objetivo (2 puntos)Solucin ptima sera: x1=240 y x2=240 unidades (1 punto)Valor ptimo: 1.680.000 (1 punto)Identificar los puntos de a) en la grfica: (1 punto)


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d) (12 Puntos)Resuelva el modelo formulado en c) mediante el Mtodo Simplex.

Alternativa 1:Tabla Inicial Simplex: En este caso las variables bsicas sern s1=1.200; s2=400 y s3=600, las no

bsicas seran x1=x2=0

X1 X2 S1 S2 S3 RECURSO

2 3 1 0 0 1.200

1 0 0 1 0 400

0 1 0 0 1 600

-3 -4 0 0 0 0 (3 Puntos)

En este caso entra X2=min 4003

1200

1

600,

0

400,

3

1200

, Sale S1, Luego se multiplica la

fila 1 por (1/3). Con esta fila se realizan las siguientes operaciones elementales matriciales.

E13(-1); E14(4), la tabla resultante es:


2/3 1 1/3 0 0 400

1 0 0 1 0 400

-2/3 0 -1/3 0 1 200

-1/3 0 4/3 0 0 1.600 (3 Puntos)

En este caso las variables bsicas sern x2=400; s2=400 y s3=200, las no bsicas seran x1=s1=0

En este caso entra X1=min 4001

400

3/2

200,1

400,3/2

400

, Sale S2, Luego se multiplica Con

esta fila se realizan las siguientes operaciones elementales matriciales. E 21(-2/3); E23(2/3);

E24(1/3). la tabla resultante es:


0 1 1/3 -2/3 0 400/3

1 0 0 1 0 400

0 0 -1/3 2/3 1 1400/30 0 4/3 1/3 0 5200/3 (3 Puntos)

Dado que los CR son todos mayores o iguales que cero, estamos en presencia de la solucin

ptima:

En este caso las variables bsicas sern x1=400; x2=400/3 y s3=1400/3 (2 Puntos), las no bsicasseran s1=s2=0. Valor objetivo = 5.200/3 (1 Punto)


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Alternativa 2:Tabla Inicial Simplex: En este caso las variables bsicas sern x3=1.200 y x4=24, las no bsicas

seran x1=x2=0

X1 X2 X3 X4

2 3 1 0 1.2003/50 1/25 0 1 24

-3 -4 0 0 0

(3 Puntos)

En este caso entra X2= min {1.200/3; 24/1/25} = 400, Sale X3. La tabla resultante es:

X1 X2 X3 X4

2/3 1 1/3 0 400

1/30 0 -1/75 1 8

-1/3 0 4/3 0 1.600

(3 Puntos)

En este caso las variables bsicas sern x2=400 y x4=8, las no bsicas seran x1=x3=0

En este caso entra X1=min {400/2/3; 8/1/30} = 240, Sale X4. La tabla resultante es:

X1 X2 X3 X4

0 1 3/5 -20 240

1 0 -2/5 30 240

0 0 6/5 10 1.680

(3 Puntos)

Dado que los CR son todos mayores o iguales que cero, estamos en presencia de la solucin

ptima:

En este caso las variables bsicas sern x1=240 y x2=240 (2 Puntos), las no bsicas seranx3=x4=0. Valor objetivo = 1.680 (en miles) (1 Punto)

e) (5 Puntos) Usando el concepto de precio sombra seale cul sera el impacto en los

beneficios si el proveedor de planchas de plstico aumenta su oferta a 1500 planchas

diarias.

El precio sombra 1=4/3. El respectivo intervalo de variacin del lado derecho respecto de ladisponibilidad de planchas est dado por el intervalo [800,2600] (3 puntos), por lo que elimpacto econmico sobre la funcin objetivo ser de 300 x 4/3= 400 mil pesos (2 puntos)

El precio sombra 1=6/5. El respectivo intervalo de variacin del lado derecho respecto de ladisponibilidad de planchas est dado por el intervalo [800,1.800] (3 puntos), por lo que elimpacto econmico sobre la funcin objetivo ser de 300 x 6/5= 360 mil pesos (2 puntos)


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f) (5 Puntos)Usando los conceptos de anlisis de sensibilidad, indicar cul es el aumento enlos beneficios de la elaboracin de cajas que cambia el actual plan ptimo de produccin.

En este caso el intervalo de variacin del coeficiente asociado a la variable x1 que conserva la

actual solucin ptima corresponde a [2.77,], de modo que un aumento en los beneficios no

afecta la solucin ptima, pero s afecta positivamente el valor objetivo. (5 puntos)

En este caso el intervalo de variacin del coeficiente asociado a la variable x1 que conserva la

actual solucin ptima corresponde a [2.666,6], de modo que un aumento en los beneficios

que lleve a este parmetro a un valor superior a 6 mil pesos por caja afecta la solucin ptima,

afectando adicionalmente y de forma positiva el valor objetivo. (5 puntos)


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Pregunta N2 (15 puntos) La empresa LUX se ha comprometido a abastecer a un clienteimportante con las siguientes cantidades de lmparas durante los prximos cuatro meses:

Febrero 150 unidades

Marzo 160 unidades

Abril 225 unidadesMayo 180 unidades

LUX puede producir un mximo de 160 lmparas por mes a un costo de $35 por unidad. Si se

requieren lmparas adicionales, stas pueden ser compradas a otra empresa (ILUMINA) a un

costo de $50 por lmpara. LUX incurre en un costo de inventario de $5 por cada unidad de

lmpara guardada de un mes a otro. La formulacin del problema de Programacin Lineal para

la empresa LUX y su Informe de Confidencialidad (Sensibilidad) obtenido con Solver se detalla

a continuacin:

Variables de Decisin

xi, y

i, z

i: # de lmparas producidas, compradas (a ILUMINA) y almacenadas en inventario en

el perodo i, donde i = 1, 2, 3, 4 (Febrero, Marzo, Abril y Mayo, respectivamente)

Funcin Objetivo

Min 35*x1+ 35*x2+ 35*x3+ 35*x4+ 50*y1+ 50*y2+ 50*y3+ 50*y4

+ 5*z1+ 5*z2+ 5*z3+ 5*z4

Restricciones

x1+ y1- z1= 150

x2+ y2+ z1- z2= 160

x3+ y3+ z2- z3= 225

x4+ y4+ z3- z4= 180

x1


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Para las siguientes preguntas considrelas de forma independiente y justifique todas sus

respuestas. Use slo la informacin entregada para responderlas.

a) (4 Puntos)El Gerente de Operaciones est planeando mantencin preventiva en uno delos primeros tres perodos de operacin (Febrero, Marzo o Abril). Si la mantencin es

programada para Febrero, LUX puede producir slo 151 unidades (en lugar de 160). A suvez, si es programada para Marzo o Abril la produccin mxima decrecera a 153 y 155,

respectivamente. Cul mes elegira usted para la mantencin?

La produccin en los meses de febrero, marzo y abril puede disminuir en 10, 10 y 160

respectivamente, por lo que los cambios propuestos estn dentro de los rangos

permisibles. (1 punto)

Los precios sombras son 5, 10 y 15 respectivamente.

Los costos de mantencin asociados a cada mes son: (2 puntos)

Febrero: $9*5 = $45

Marzo: $7*10 = $70

Abril: $5*15 = $75

Por lo tanto, la mantencin preventiva se debera programar para el mes de febrero. (1punto)

b)

(3 Puntos)La empresa ILUMINA ha ofrecido disminuir el precio de las lmparas vendidas aLUX durante el mes de Marzo. Cul es la disminucin mnima que provocara un cambio

en la poltica de produccin/compras/almacenamiento de LUX?

La empresa LUX no comprar lmparas en marzo mientras el precio est entre 45 e

infinito, y por ende NO cambiar la solucin ptima. Slo con un precio inferior a $45

cambiar la solucin ptima actual, y por ende cambiar la poltica de

produccin/compras/almacenamiento de LUX. (3 puntos)

c) (4 Puntos) Debido a un aumento en las tasas de inters, se espera que el costo de

inventario por lmpara aumente a $8 durante el mes de Marzo. Cmo afecta este cambio

en el costo total y en la solucin ptima?

El costo de inventario aumenta de $5 a $8, o sea en $3, lo que est dentro del rango

permisible. Luego, la solucin ptima NO cambiar. (2 puntos)

La funcin objetivo (costo total) cambia en $3*10 (unidades guardadas en marzo)=$30.(2 puntos)

d)

(4 Puntos)Cul es el impacto en la solucin ptima y en el valor ptimo si la capacidad deproduccin durante el mes de Abril ahora es de 180 unidades?

El aumento permisible para la capacidad de produccin durante el mes de Abril es de

55 unidades, es decir, un incremento de 20 unidades respecto a su valor actual (160

unidades) conserva la base ptima. Luego el nuevo valor ptimo ser:

V(P)=$26.250+(180-160)*$-15=$25.950. (2 puntos)


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Dado que se conserva la base ptima las actuales restricciones activas en el ptimo

tambin lo sern en el nuevo escenario propuesto, de donde se obtiene la nueva

solucin ptima: (2 puntos)

Mes Xi Yi Zi

Febrero 1 160 0 10

Marzo 2 160 0 10

Abril 3 180 35 0

Mayo 4 160 20 0


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Pregunta N3 (25 puntos).Un empresario dispone de dos plantas: A y B, capaces de producir 9y 15 toneladas por da en tres locales destinados a la venta: C, D y E, en los que tiene una

demanda diaria de 6, 10 y 8 toneladas respectivamente. Tambin tiene dos bodegas: F y G,

donde se puede proceder a la carga y descarga. Los costos unitarios de transporte para cada

uno de los trayectos factibles se dan en la tabla que sigue:

Origen A A A A B B E F F F G G G G

Destino B C F G A G D C D E C D E F

Costo/ton 14 98 44 38 59 23 5 53 18 29 60 28 37 8

Formule un modelo de Programacin Lineal que minimice los costos totales de transporte que

permita atender los requerimientos de demanda.

Solucin. En este problema las variables de decisin no-negativas corresponden a:

xi,j = cantidad transportada de i a j, para uno cualquiera de los trayectos

(i,j){(A,B),(A,C),(A,f),(A,G),(B,A),(B,G),(E,D),(F,C),F,D),(F,E),(G,C),(G,D),(G,E), (G,F)}

(4 puntos)En tanto el modelo corresponde a:

Min 14xA,B+98xA,C+44xA,F+38xA,G+ + 60xG,C+28xG,D+37xG,E+8xG,F (5 puntos)

s.a.

xA,B + xA,C + xA,F + xA,G = 9 + xB,A restricciones de oferta

xB,A + xB,G = 15 + xA,B (6 puntos)

xA,C + xF,C + xG,C = 6

xE,D + xF,D + xG,D = 10 restricciones de demanda

xF,E + xG,E = 8 (6 puntos)

xA,F + xG,F = xF,C + xF,D + xF,E restricciones de balancexA,G + xB,G = xG,C + xG,D + xG,E + xG,F (4 puntos)


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Pregunta N4 (20 Puntos). Se desea reubicar de la forma ms conveniente un total de mbodegas que permitan abastecer un total de n tiendas de una red comercial establecidas en

una ciudad cuyas calles son paralelas o perpendiculares entre si (como en el centro de la

ciudad de Santiago). Para simplificar el problema supondremos que las tiendas venden solo un

producto. Asuma que la tienda j se ubica en el punto (aj,bj) de un sistema de coordenadas de

acuerdo a ejes paralelos al trazado de las calles y que su demanda es de rjunidades. En lo querespecta a la bodega i esta tiene una capacidad mxima de b iunidades, siendo su ubicacin

actual (xi,yi). La decisin que se adopta cada da es el nmero z i,jde unidades diarias que van a

llevarse desde la bodega i a la tienda j. Cada noche las bodegas son reabastecidas. Asumiendo

la actual ubicacin de las m bodegas, formule un modelo que permita minimizar el costo de

abastecimiento, suponiendo que estos son proporcionales a las distancias recorridas desde las

bodegas a las tiendas. Qu ocurre con la naturaleza del modelo si ahora debe decidirse las

coordenadas de cada bodega?

Solucin. En trminos de las variables de decisin no-negativas definidas en el enunciado, esto

es:

zi,j el nmero de unidades diarias que van a llevarse desde la bodega i a la tienda j, parai=1,,m y j=1,,n, el modelo a resolver corresponde a:

Min i=1,mj=1,nzi,j(xi-aj+yi-bj) (10 puntos)s.a.

j=1,n zi,j bi i=1,,m restricciones de oferta (3 puntos)

i=1,m zi,j = rj j=1,,n restricciones de demanda (3 puntos)

zi,j 0 i=1,,m y j=1,,n

Si las coordenadas (xi,yi) de cada bodega ahora es una decisin del problema, el modelo anterior

es no-lineal. (4 puntos)

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