UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCIONFACULTAD DE INGENIERIA

Departamento de Matematica y Fsica Aplicadas

PAUTA CERTAMEN 3CALCULO III (IN1009C)

Problema 1. (15 puntos.) Una caja rectangular sin tapa, debe tener un area de superficie igual a 16 m2.Hallar las dimensiones que maximicen su volumen.Solucion: Si suponemos que las dimensiones de la caja son x > 0 para el ancho, y > 0 para ellargo y z > 0 para el alto, tenemos que el volumen de la caja viene dado por

V (x, y, z) = xyz, (1 puntos)

ademas, dado que la caja no tiene tapa, el area de superficie de esta es

xy + 2xz + 2yz = 16.(1 puntos)

As debemos resolver {maximizar {xyz}.s.a xy + 2xz + 2yz 16 = 0.

Para ello usaremos EL teorema de Lagrange, es decir, existe una constante R tal que

f(x, y, z) = g(x, y, z).

g(x, y, z) = 0.

donde f(x, y, z) = xyz y g(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz, obteniendo el siguiente sistema:yz = (y + 2z) . . . (1)

xz = (x+ 2z) . . . (2)

xy = (2x+ 2y) . . . (3)

xy + 2xz + 2yz 16 = 0 . . . (4)

(4 puntos)

Dado que x, y, z son todos mayores que cero, de (1) se puede concluir que es mayor que cero.Multiplicamos (1) por x, (2) por y y (3) por z obteniendo

x(y + 2z) = y(x+ 2z) = z(2x+ 2y).

x(y + 2z) = y(x+ 2z) = z = 0 x = y (1 puntos). y(x+ 2z) = z(2x+ 2y) = x = 0 y = 2z (1 puntos).

Pero dado que x, y, z son positivos se concluye que x = y = 2z (2 puntos), reemplazandoeste resultado en (4) se tiene

12z2 16 = 0 = z2 = 43

= |z| = 2

3

3(3 puntos)

1

Obteniendo z =2

3

3, as las dimensiones que maximizan el volumen de la caja son

(x, y, z) = (2z, 2z, z) =

(4

3

3,4

3

3,2

3

3

)(2 puntos)

Problema 2. (15 puntos.) Mostrar que en vecindades del punto (x0, y0, u0, v0) = (0, 1, 2,1) el sistema{x2 y2 + u2 + 2v2 = 5x2 + y2 u2 v2 + 4 = 0

define implicitamente a u = u(x, y) y v = v(x, y). Ademas encontraru

x(0, 1) y

v

y(0, 1).

Solucion: Definiendo

F1(x, y, u, v) = x2 y2 + u2 + 2v2 5. F2(x, y, u, v) = x2 + y2 u2 v2 + 4 (2 puntos).

El sistema puede ser escrito como

F(x, y, u, v) = (0, 0)

donde F(x, y, u, v) = (F1(x, y, u, v), F2(x, y, u, v)) es de clase C.

Tenemos que F(x0, y0, u0, v0) = F(0, 1, 2,1) = (0, 0) (2 puntos), ademas

(F1, F2)

(u, v)=

F1u

F1v

F2u

F2v

(0,1,2,1)

=

2u 4v

2u 2v

(0,1,2,1)

=

4 4

4 2

= 8 6= 0 (2 puntos).as, por el teorema de la funcion implicita es posible asegurar que en vecindades del punjto(x0, y0, u0, v0) = (0, 1, 2,1) el sistema define de manera implicita a u(x, y) y v(x, y) (3 puntos),ademas

(u, v)

(x, y)(0, 1) =

ux uyvx

vy

(0,1)

= F1u F1v

F2u

F2v

1(0,1,2,1)

F1x F1yF2x

F2y

(0,1,2,1)

=

= 4 44 2

1 0 20 2

= 1/4 1/21/2 1/2

0 20 2

= 0 1/2

0 0

(4 puntos)As se tiene que

u

x(0, 1) = 0 v

y(0, 1) = 0 (2 puntos)

2

Problema 3. (15 puntos.) Sea S la region del plano acotada por las rectas x+ y = 1, x = 0, x = 2y el eje X. Calcular el volumen acotado por arriba por la superficie z = 2xyy por abajo por la region S.Solucion: Tenemos que la region S viene dada por la siguiente grafica:

( 2 puntos.)

de donde S = S1 S2. De la grafica podemos notar que la region S es del tipo 3 por lo quepuede ser vista como

S1 =

{0 x 10 y 1 x (3 puntos) y S2 =

{1 x 21 x y 0 (3 puntos)

Dado que f(x, y) = 2xy 0 (x, y) S2 tenemos que el volumen es

V =

S

2xy d(x, y) =

S1

2xy d(x, y)

S2

2xy d(x, y) =

10

1x0

2xy dy dx 21

01x

2xy dy dx

=

10

xy2 |1x0 dx 21

xy2|01x dx = 10

x(1x)2 dx+ 21

x(1x)2 dx = 112

+7

12=

4

3.(7 puntos)

Problema 4. (15 puntos) Esbozar la region de integracion y calcular la siguiente integral: 20

51+y2

ye(x1)2

dx dy.

Solucion: Sea D la region de integracion, de los lmites de integracion tenemos que

D =

{0 y 21 + y2 x 5 (3 puntos)

3

Como D es una region del tipo 2, obtenemos:

(4 puntos)

Para calcular la integral tenemos que realizar un cambio de orden de integracion pues no esposible realizar la integral de e(x1)

2con respecto a x. La region D puede ser vista como

D =

{1 x 50 y x 1 (4 puntos)

as tenemos que 20

51+y2

ye(x1)2

dx dy =

51

x10

ye(x1)2

dy dx =

51

y2

2|x1

0 e(x1)2dx =

1

2

51

(x1)e(x1)2dx =

=e16 1

4.(4 puntos)

RL/NS/MN/FS/AP/JV 20/06/2014

4