paso 1: entender el problema. paso 2: configurar un plan ... problemas 3º eso...las situaciones...

RESOLUCIÓN DE PROBLEMASCOLEGIO VIZCAYA 235

Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas, por esodebemos enfrentarnos frecuentemente a resolver problemas. Sin embargo, enocasiones habrás tenido la sensación de que no consigues llegar a la solución por másque analizas los datos y aplicas todo lo que sabes. En esos momentos, acuérdate delos siguientes consejos.

Pasos y preguntas que debes seguir a la hora de resolver un problema:

Paso 2: Configurar un Plan.Puedes usar alguna de las siguientesestrategias:

- Empezar por el final.- Ensayo y Error.- Usar una variable.- Buscar un patrón.- Hacer una lista, contar, enumerar...- Resolver un problema similar más simple.- Hacer una figura o diagrama.- Resolver un problema equivalente.- Resolver una ecuación.- Buscar una fórmula o generalizar.- Usar un modelo.

Paso 3: Ejecutar el Plan.- Implementar la o las estrategiasque escogiste hasta solucionarcompletamente el problema o hastaque la misma acción te sugieratomar un nuevo curso.

- Concédete un tiempo razonablepara resolver el problema. Si notienes éxito solicita una sugerenciao deja el problema a un lado por unmomento.

- No tengas miedo de volver aempezar. Suele suceder que uncomienzo fresco o una nuevaestrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.- ¿Es tu solución correcta?- ¿Tu respuesta satisface lo establecidoen el problema?- ¿Tiene sentido?- ¿Se puede comprobar el resultado?- ¿Se puede usar e l resu l tado oprocedimiento para resolver otroproblema?

Paso 1: Entender el problema.- ¿Entiendes todo lo que dice?- ¿Puedes replantear el problemaen tus propias palabras?- ¿Distingues cuáles son los datos?- ¿Sabes a qué quieres llegar?- ¿Hay suficiente información?- ¿Hay información extraña?- ¿Es este problema similar a algúnotro que hayas resuelto antes?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COLEGIO VIZCAYA236

PPARAARA APRENDERAPRENDER

También te pueden resultar útiles los siguientes consejos:

- Acepta el reto de resolver el problema.

- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar…

- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte undescanso (el subconsciente se hará cargo).

- Hazte cuantas preguntas creas necesarias.

- Si es apropiado, trata el problema con números simples.

- Analiza el problema desde varios ángulos.

- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar.

- Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.

- No tengas miedo de hacer cambios en las estrategias.

- La experiencia en la solución de problemas hace que tu confianza crezca.

- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmenteentendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que lacomprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.

- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

Ahora te proponemos diferentes estrategias que te pueden venir bien para que las apliques a la hora deresolver problemas:

1. 1. ENSAENSAYO - ERROR.YO - ERROR.

Encuentra dos números primos consecutivos cuyo producto sea 437.

Solución:

Primero enumeramos los números primos:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…

Como el resultado es 437 y tiene tres cifras, empezamos tomando el 11 y el 13, y vamos probando:

11 y 13 11 · 13 = 143

13 y 17 13 · 17 = 221

17 y 19 17 · 19 = 323

19 y 23 19 · 23 = 437

Los dos números son 19 y 23.

2. 2. EMPIEZAEMPIEZA POR ELPOR EL FINAL.FINAL.

Julen es muy goloso y le han regalado una caja de bombones. La primera semana come la mitad delos bombones que tenía más uno. La segunda semana come la mitad del resto más dos bombones,y la tercera semana come la mitad del resto más 3 bombones. Si le queda un bombón para la cuartasemana, ¿cuántos bombones tenía la caja?

Solución:

Empezamos por el final: la 4ª semana tiene 1 bombón.

La 3ª semana come la mitad del resto más 3 bombones, luego antes de la 3ª semana tenía:

mitad + 3 3ª semana+ 1 4ª semana

mitad + 4 = 8 bombones tenía antes de la 3ª semana

La 2ª semana come la mitad del resto más 2 bombones, entonces:

mitad + 2 2ª semana+ 8 3ª y 4ª semana

mitad + 10 = 20 bombones tenía antes de la 2ª semana

La 1ª semana come la mitad de los bombones que tenía más 1, por lo tanto:

mitad + 1 1ª semana+ 20 2ª, 3ª y 4ª semana

mitad + 21 = 42 bombones tenía al principio

Luego la caja tenía 42 bombones.

Comprobamos el resultado:

La 1ª semana come la mitad más 1 = 22 Le quedan 20 bombones.

La 2ª semana come la mitad del resto más 2 = 12 Le quedan 8 bombones.

La 3ª semana come la mitad del resto más 3 = 7 Le queda 1 bombón para la 4ª semana.





3. 3. PROCEDE SISTEMÁTICAMENTE. CUENTPROCEDE SISTEMÁTICAMENTE. CUENTA, ENUMERA…A, ENUMERA…

Calcula el número de cuadrados que tiene un tablero de ajedrez. Ten en cuenta todos los tamaños.

Solución:

Vamos contando el número de cuadros empezando por los casos más sencillos:

Del tamaño hay 64 cuadrados.1x1





Del tamaño 6x6 hay 9 cuadrados.

Del tamaño 7x7 hay 4 cuadrados.

Del tamaño 8x8 hay 1 cuadrado.

64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204

Por lo tanto, en el tablero de ajedrez hay 204 cuadrados.



4. 4. ORGANIZAORGANIZA LALA INFORMACIÓN. HAZ UN DIBUJO.INFORMACIÓN. HAZ UN DIBUJO.

Aritz ha comprado un ordenador que va a pagar en plazos de la siguiente manera: la mitad de suimporte, en el momento de llevárselo; dos terceras partes del resto, al cabo de un mes; y los 350euros restantes, al cabo de dos meses. ¿Cuánto ha costado el ordenador?

Solución:

Si dividimos la unidad en partes iguales tenemos 6 partes, entonces 350 · 6 = 2100 euros que cuesta el ordenador.

5. 5. ESTUDIAESTUDIA CASOS SENCILLOS CASOS SENCILLOS YY GENERALIZA.GENERALIZA.

El número 2 000 000 ... 003 está formado por el 2, el 3 y 50 ceros entre ellos. ¿Cuántos ceros tendrásu cuadrado? Encuentra una regla general para cualquier número de ceros.

Solución:

Empezamos por casos sencillos para estudiar lo que pasa:

Si sólo hay 1 cero: 2032 = 41209 hay 1 cero.

Si sólo hay 2 ceros: 2033 = 4012009 hay 1 + 2 = 3 ceros.



Generalizando:

Si hay 50 ceros hay 49 + 50 = 99 ceros.

Si hay n ceros hay (n - 1) · n ceros.

Ahora ha llegado la hora de que tú practiques.

Al llevárselo 1º mes 2º mes 350

euros

1. 1. ESQUEMAESQUEMA DE LADE LA ESCALERAESCALERA

Roberto construye un esquema de una escalera usando cuadrados. He aquí los pasos que sigue:

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

Como se puede ver, utiliza un cuadrado para el nivel 1, tres para el nivel 2, y seis cuadrados para el nivel 3.

a) ¿Cuántos cuadrados en total deberá usar para construir hasta el cuarto nivel?

b) ¿Y para el nivel n?

2. 2. ELEL TIPO DE CAMBIOTIPO DE CAMBIO

Mei-Ling, ciudadana de Singapur, estaba realizando los preparativos para ir a Sudáfrica como estudiante deintercambio durante 3 meses. Necesitaba cambiar algunos dólares de Singapur (SGD) en randssudafricanos (ZAR).

a) Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio del dólar y el rand era de:

1 SGD = 4,2 ZAR

Si cambió 3.000 dólares en rands con este tipo de cambio, ¿cuánto dinero recibió Mei-Ling en rands sudafricanos?

b) Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling le quedaban 3.900 ZAR. Los cambió en dólares de Singapur, dándose cuenta de que el tipo de cambio había cambiado a:

1 SGD = 4,0 ZAR

¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur?

c) Al cabo de estos 3 meses el tipo de cambio había cambiado de 4,2 a 4,0 ZAR por 1SGD. ¿Favorecióa Mei-Ling que el tipo de cambio fuese de 4,0 ZAR en lugar de 4,2 ZAR cuando cambió los rands sud-africanos que le quedaban por dólares de Singapur? Da una explicación que justifique tu respuesta.


PPARAARA ENTRENARENTRENAR


3. 3. BASURABASURA

Para hacer un trabajo en casa sobre el medio ambiente, unos estudiantes han recogido información sobre eltiempo de descomposición de varios tipos de basura que la gente desecha:

Un estudiante piensa en cómo representar los resultados mediante un diagrama de barras. Da una razón depor qué no resulta adecuado un diagrama de barras para representar estos datos.

4. 4. TERREMOTTERREMOTOO

Se emitió un documental sobre terremotos y la frecuencia con que estos ocurren. El documental incluía undebate sobre la posibilidad de predecirlos.

Un geólogo dijo: En los próximos 20 años, la posibilidad de que ocurra unterremoto en la ciudad de Zed es dos de tres.

¿Cuál de las siguientes opciones refleja mejor el significado de la afirmación delgeólogo?

a) 2/3 x 20 = 13,3 por lo que entre 13 y 14 años a partir de ahora habrá unterremoto en Zed.

b) 2/3 es más que 1/2, por lo que se puede estar seguro de que habrá unterremoto en Zed en algún momento en los próximos 20 años.

c) La posibilidad de que haya un terremoto en Zed en algún momento en los próximos 20 años es mayorque la probabilidad de que no haya ningún terremoto.

d) No se puede decir lo que sucederá, porque nadie puede estar seguro de cuando tendrá lugar elterremoto.

Tipos de basura Tiempos de descomposiciónPiel de plátano 1-3 añosPiel de naranja 1-3 añosCajas de cartón 0,5 años

Chicles 20-25 añosPeriódicos Unos pocos días

Vasos de plástico Más de 100 años


5. 5. MONOPMONOPAATÍNTÍN

Marcos es un gran fan del monopatín. Entra en una tienda denominada PATINADORES para mirar algunosprecios.

En esta tienda puedes comprar un monopatín completo, o puedes comprar una tabla, un juego de 4 ruedas,un juego de 2 ejes y un conjunto de piezas para montar, y montar tu propio monopatín.

Los precios de estos productos de la tienda son:

a) Marcos quiere montar su propio monopatín. ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo de losmonopatines montados por uno mismo en la tienda?

1.- Precio Máximo……………….zeds

2.- Precio Mínimo………………..zeds

b) La tienda ofrece tres tablas diferentes, dos juegos diferentes de ruedas y dos conjuntos diferentes depiezas para montar. Sólo hay un juego de ejes para elegir.¿Cuántos monopatines distintos puede construir Marcos?

A 6 B 8 C 10 D 12

c) Marcos tiene 120 zeds para gastar y quiere comprar el monopatín más caro que pueda.¿Cuanto dineropuede gastar Marcos en cada uno de los 4 componentes? Escribe tu respuesta en la tabla de abajo.

Componente Cantidad (Zeds)Tabla

RuedasEjes

Piezas para montar


6. 6. CAMPEONACAMPEONATTO DE PING-PONGO DE PING-PONG

Tomás, Ricardo, Luis y David han formado un grupo de entrenamiento en un club de ping-pong. Cadajugador quiere jugar una vez contra cada uno de los otros jugadores. Han reservado dos mesas de ping-pongpara estas partidas.

Completa la siguiente plantilla de partidos escribiendo los nombres de los jugadores que jugarán en cadapartida.

7. 7. VUELO ESPVUELO ESPACIALACIAL

La estación espacial Mir permaneció en órbita 15 años y durante este tiempo dioalrededor de 86.500 vueltas a la Tierra. La permanencia más larga de unastronauta en la Mir fue de 680 días.

La Mir daba vueltas alrededor de la Tierra a una altura aproximada de 400kilómetros. El diámetro de la Tierra mide aproximadamente 12.7000 km y sucircunferencia es de alrededor de 40.000 km.

Calcula aproximadamente la distancia total recorrida por la Mir durante sus 86.500vueltas mientras estuvo en órbita. Redondea el resultado a las decenas de millón.

8. 8. RESPRESPALDO ALDO ALAL PRESIDENTEPRESIDENTE

En Zedlandia, se realizaron varios sondeos de opinión para conocer el nivel de respaldo al Presidente en laspróximas elecciones. Cuatro periódicos hicieron sondeos por separado en toda la nación. Los resultados delos sondeos de los cuatro periódicos se muestran a continuación:

Periódico 1: 36,5% (sondeo realizado el 6 de enero, con una muestra de 500 ciudadanos elegidos al azar ycon derecho a voto)

Periódico 2: 41,0% (sondeo realizado el 20 de enero, con una muestra de 500 ciudadanos elegidos al azary con derecho a voto)

Periódico 3: 39,0% (sondeo realizado el 20 de enero, con una muestra de 1.000 ciudadanos elegidos al azary con derecho a voto)

Periódico 4: 44,5% (sondeo realizado el 20 de enero, con 1.000 electores quellamaron por teléfono para votar)

Si las elecciones se celebraran el 25 de enero, ¿cuál de los resultados de losperiódicos sería la mejor predicción del nivel de apoyo al presidente? Da dosrazones que justifiquen tu respuesta.

Componente Mesa 1 Mesa 21ª Ronda Tomás-Ricardo Luis-David2ª Ronda3ª Ronda


9. 9. MANZANASMANZANAS

Un agricultor planta manzanos en un terreno cuadrado. Con objeto de proteger los manzanos del vientoplanta coníferas alrededor de la totalidad del huerto.Aquí ves un esquema de esta situación donde se puede apreciar la colocación de los manzanos y de lasconíferas para cualquier número (n) de filas de manzanos:

a) Completa la tabla:

b) Se pueden utilizar dos fórmulas para calcular el número de manzanos y el de coníferas dentro delplanteamiento descrito anteriormente:

Número de manzanos = n2Número de coníferas = 8n

Siendo n el número de filas de manzanos.

Existe un valor de n para el cual el número de manzanos sea igual al de coníferas. Halla este valor de n ymuestra el método que has usado para calcularlo.

c) Supongamos que el agricultor quiere plantar un huerto mucho mayor, con muchas filas de árboles. Amedida que el agricultor vaya haciendo mayor el tamaño del huerto. ¿qué aumentará más rápidamente: elnúmero de manzanos o el de coníferas? Explica cómo has hallado la respuesta.

n Números de manzanos Números de coníferas1 1 82 4345


ky = x

10. 10. SUPERFICIE DE UN CONTINENTESUPERFICIE DE UN CONTINENTE

A continuación, se presenta un mapa de la Antártida.

Estima el área de la Antártida utilizando la escala que acompaña al mapa.Muestra cómo has hecho los cálculos y explica cómo has hecho tu estimación. (Puedes dibujar sobre el mapa, si te es útil para hacer la estimación).

111. 1. ELEL RECIBO DE LARECIBO DE LA LUZLUZ

A continuación tienes el recibo de energía eléctrica consumida en los dos últimos meses en un domicilio:

Calcula los importes de cada concepto y el total de la factura.

FACTURACIÓN EUROS

1. Potencia contratada:3,3 kW x 2 meses x 141,5263 cént. €/kWmes

2. Energía consumida:972 kW x 8,0401 cént. €/kWh

3. Impuesto sobre electricidad:4,864% x 87,49 x 1,05113

4. Alquiler de equipos de medida:2 meses x 57 cént. €/mes

Total:

5. IVA 16 %

Importe:


12. 12. GRANJASGRANJAS

Aquí ves una fotografía de una casa de campo con el tejado en forma de pirámide.

Debajo hay un modelo matemático del tejado de la casa con las medidas correspondientes.

La planta del ático, ABCD en el modelo, es un cuadrado. Las vigas que sostienen el tejado son las aristasde un bloque (prisma rectangular) EFGHKLMN. E es el punto medio de AT, F es el punto medio de BT, G esel punto medio de CT y H es el punto medio de DT.Todas las aristas de la pirámide tienen 12 m de longitud.

a) Calcula el área de la planta del ático ABCD.

El área de la planta del ático ABCD es igual a ……………….m2

b) Calcula la longitud de EF, una de las aristas horizontales del bloque.

La longitud de EF es igual a .……….m

13. 13. SECUENCIAS DE NÚMEROSSECUENCIAS DE NÚMEROS

Fíjate en esta secuencia de 5 números:

Los dos primeros son arbitrarios y el resto se forma sumando los dos anteriores.

a) Crea la secuencia para:

b) Obtén una fórmula que te permita, dados los dos primeros, crear una secuencia para n números.

3 2 5 7 12

2 16


14. 14. CON SEIS PCON SEIS PALILLOSALILLOS

¿Cómo construirías 4 triángulos equiláteros iguales utilizando exactamente seis palillos?

15. 15. CAMBIO DE MONEDACAMBIO DE MONEDA

Hodei se ha ido de vacaciones a Inglaterra a practicar su Inglés. Antes de coger el avión compró 200 libraspor las que pagó 307,74 euros.

a) Un euro, ¿cuántas libras son?

b) Hodei quiere comprarse una camiseta que cuesta 48,5 libras y necesita calcular su coste en euros para hacerse una idea de su valor. El ha estimado a ojo que la camiseta cuesta aproximadamente 60 euros. ¿Es correcta su estimación? ¿Qué error comete?

c) Si cinco noches de hotel le cuestan 467 libras, ¿cuál será el valor en euros según su aproximación? ¿Y el valor real?

16. 16. CONJETURACONJETURA DE GOLBACHDE GOLBACH

La conjetura de Golbach afirma que todo número entero par es la suma de dos números primos.Compruébalo para los siguientes números pares: 48, 24, 18, 32.

17. 17. NÚMEROS PRIMOS GEMELOSNÚMEROS PRIMOS GEMELOS

Dos números primos se llaman gemelos si sólo distan entre sí dos números. Por ejemplo 11 y 13. Encuentra5 pares de números gemelos.

18. 18. CROMOSCROMOS

A un chico se le caen los cromos en el patio del colegio. Cuando le preguntan cuántos eran, responde: sólose que al agruparlos de dos en dos me sobraba uno, si los agrupaba de tres en tres me sobraban dos, alagruparlos de cuatro en cuatro me sobraban tres y al agruparlos de cinco en cinco me sobraban cuatro.¿Cuántos cromos tenía el niño?


19. 19. PLACAS SOLARESPLACAS SOLARES

Una comunidad de vecinos está muy preocupada por el cambio climático y quiereinstalar placas solares en el tejado para autoabastecerse. Ha pedido unpresupuesto a una empresa y les han dado la siguiente información:

- Las placas solares permiten un ahorro de 2/7 del consumo de energía del edificio.- El precio de la instalación y de las placas es de 22 000 euros.

Por otro lado uno de los vecinos se ha enterado de que el Instituto de la Energía da subvenciones acomunidades por la instalación de placas solares por la mitad del coste de las placas y su instalación.

Si en cada recibo bimensual cada vecino paga 46,34 euros, ¿cuánto tiempo tardarán en amortizar lasplacas solares y su instalación, si el consumo de la comunidad se mantiene?

20. 20. PROBLEMAPROBLEMA DE EDADESDE EDADES

En el año 2000, la edad de Nekane era igual a la suma de la cuatro cifras del año de su nacimiento. ¿En quéaño nació?

21. 21. UN NÚMERO GRANDEUN NÚMERO GRANDE

¿Cuál es el número más grande que eres capaz de escribir usando una sola vez las cifras 0, 1, 2 y 3?Recuerda que si usas las potencias razonablemente, puedes obtener un número inmenso.

22. 22. ELEL GROSOR DE UN FOLIOGROSOR DE UN FOLIO

a) ¿Cómo medirías el grosor de un folio? Piensa que si tienes un montón de folios, seguro que te resultarámás fácil.

b) Si doblas un folio por la mitad, obtienes medio folio con el doble de grosor. Si lo vuelvesa doblar por la mitad, tendrás un cuarto de folio de un grosor cuatro veces mayor. Alrealizar la operación 7 veces, tendrás un taquito de papel de grosor el grosor del folioinicial por 27. Parece ser que no es posible doblar un folio más de 7 veces. Intenta superarel récord.

c) Si se pudiera doblar un folio 30 veces, ¿qué grosor tendría el resultado?


23. 23. ACCIDENTESACCIDENTES

Elena ha leído este fin de semana en la prensa la siguiente noticia:

108 personas fallecen en accidentes de tráfico en el pasado puente de mayo:

El pasado puente del primero de mayo fallecieron 91 personas en accidentes de turismos y 17 enaccidentes de moto.

La Dirección General de Tráfico ha informado de que la mitad de los fallecidos en turismos no llevaba elcinturón puesto. Uno de cada tres fallecidos en moto no llevaba casco. En cuanto la edad de los fallecidos,la mitad tenía menos de 35 años, y de estos, uno de cada cuatro era menor de 25 años.

La distracción por el uso del teléfono móvil parece ser la causa principal en dos de cada cinco accidentes, lainfracción de las normas de tráfico en uno de cada tres y el exceso de velocidad en tres de cada diez.

Con estos datos completa la siguiente tabla:

24. 24. CILINDROSCILINDROS

Si se enrolla una hoja de papel en los dos sentidos posibles, se obtienen dos cilindros distintos. ¿Tienen esoscilindros el mismo volumen?

25. 25. BUSCANDO UNABUSCANDO UNA LEYLEY

¿Cuál es la diferencia entre dos números cuadrados consecutivos? Busca una ley general.

26. 26. CUADRADO MÁGICOCUADRADO MÁGICO

Completa el siguiente cuadrado mágico con las cifras del 1 al 9, sin repetir ninguna, de tal manera que sisumamos las casillas en horizontal, vertical o en diagonal obtengamos de resultado 15.

Causa del accidente Nº de fallecidosMedidas de seguridadNo llevaba cinturónNo utilizaba cascoCumplía las medidas de seguridadEdadesMayores de 35 añosMenores de 35 añosMenores de 25 añosCausa principal del accidenteUso del móvilInfracciones de las normasExceso de velocidadOtras circunstancias

8

5


27. 27. LIMONESLIMONES

Un agricultor envía a uno de sus hijos al mercado para vender 120 limones a 10cént. cada 5 limones. El joven fue al mercado y vendió los 5 primeros limones,pero en vez de guardar el dinero se lo gastó en caramelos. Como sabía que supadre le regañaría por haberse gastado el dinero, se puso a pensar cómo podríavender los limones restantes para sacar todo el dinero que tenía que ganar conla venta. ¿Podrías ayudarle?

28. 28. EUSKAL-EXPRESSEUSKAL-EXPRESS

Iraide ha pasado las vacaciones de verano en casa de sus tíos. A la vuelta se le han olvidado todos loscuadernillos de verano y su prima Ana le ha dicho que se los va a enviar por mensajero. Iraide haencontrado en casa una factura de una empresa de mensajería que había utilizado en otra ocasión.

Ana ha pesado el paquete con los cuadernillos: 3,2 kg, y hamedido en un mapa la distancia que hay hasta la ciudad deIraide: 126 km.

a) Cuánto pagará Ana si envía el paquete con Euskal-Express?

b) ¿Y si lo hace utilizando el servicio urgente?

29. 29. CON LOS NÚMEROS DELCON LOS NÚMEROS DEL 1 1 ALAL 99

Encuentra tres números de 3 cifras cada uno, de forma que el segundo sea el doble que el primero, y eltercero sea el triple. Sólo puedes utilizar las cifras del 1 al 9 sin que se repita ninguna y debes utilizarlastodas.

30. 30. ¿DÓNDE ESTÁ EL¿DÓNDE ESTÁ EL EURO?EURO?

Tres amigos están en una cafetería y toman los tres lo mismo. Cuando le piden la cuenta al camarero, ésteles dice que son 25 euros. Cada uno pone 10 euros y le entregan al camarero 30 euros. Cuando elcamarero vuelve con el cambio, como sobraban 5 euros, les reparte uno a cada uno y se queda con los dosque sobran de propina.

Haciendo cuentas, uno de los amigos dice: como nos han devuelto 1 euro a cada uno y habíamos puesto 10euros, es como si sólo hubiésemos puesto 9 euros; es decir, entre los tres hemos puesto 27 euros, más losdos que se ha quedado el camarero, son 29 euros. ¿Dónde está el euro que falta?

Euskal-ExpressCIF G-8528631TFNO: 555 245 355www.euskalexpress.com

Servicio: 2,00 €Transporte:

250 g a 25 km 18,75 €7 % de IVA 1,45 €

Total 22,20 €

Por un servicio urgente habráun incremento del 30 % al total.


31. 31. ¿DÓNDE ESTÁ EL¿DÓNDE ESTÁ EL FFALLO?ALLO?

Observa el siguiente razonamiento:

¿2 = 1? ¿Dónde está el fallo?

32. 32. RESUELRESUELVE ELVE EL CRUCIGRAMACRUCIGRAMA

1. Polinomio cuyos términos están escritos en orden creciente de sus grados.2. Determina qué representa el número 2 en el polinomio P(x) = 3x2 + 8x - 1.3. Lo son los monomios con la misma parte literal.4. Polinomios con dos términos.5. Monomio de grado cero de un polinomio (dos palabras).6. ¿Qué nombre reciben los números 3, 8 y - 1 del polinomio P del apartado 2?7. Polinomio al que no le falta ningún término.

33. 33. PUNTPUNTOS POR GASOLINAOS POR GASOLINA

El dueño de una gasolinera quiere premiar a sus mejores clientes dándoles puntos porrepostar durante un mes. La oferta es la siguiente: por la primera vez que reposten lesdará 1 punto por cada 100 €; por la segunda, dos puntos por cada 100 €; por latercera, 3 puntos por cada 100 €, y así sucesivamente.

Estos puntos se van acumulando y los pueden luego canjear bien por un menú en la cafetería (100 puntos),o bien por un fin de semana en un agroturismo (1000 puntos).

a) Si el dueño de un camión reposta 350 € a la semana, ¿podrá obtener un menú gratis? ¿Y el fin de semana?

b) Si uno de los clientes ha conseguido el fin de semana sin problemas y reposta semanalmente, ¿cuántoslitros de gasolina tendrá que echar semanalmente si el litro está a un euro?

2

Cogemos dos números iguales: a bMultiplicamos la igualdad anterior por a : a abRestamos:

==

( )( )( )( ) ( )

2 2 2

2

a b ab bDeshacemos la igualdad notable de la izq uierda: a b a b ab bSacamos factor común a la derecha: a b a b b a bDividimos los dos miembros por:

− = −+ − = −

+ − = −( ) a b b

Como a = b: a a a 2a a+ =

+ = → = → 2 = 1


34. 34. PORCENTPORCENTAJESAJES

Si a una cierta cantidad la disminuimos en un 10 %, ¿qué porcentaje debemos incrementarla para obtenerla misma cantidad?

35. 35. LUZ ROJALUZ ROJA

Una lámina de cristal absorbe el 20 % de la luz roja que le llega, es decir, deja pasar el 80 %. ¿Cuántasláminas hacen falta como mínimo, una encima de otra, para que pase como máximo la mitad de la luz rojaque le llegue?

36. 36. AGUAAGUA YY VINAGREVINAGRE

Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, ¿cuál es la proporción de agua y de vinagre en la jarra?

37. 37. ANTENAANTENA

Una compañía de telefonía móvil quiere colocar una antena en la cima de unamontaña para asegurar la cobertura en cuatro localidades de la zona. Las medidasque han podido tomar son las siguientes:

Se sabe, por otras antenas que se han colocado, que la señal es aceptable hastauna distancia no superior a 90 km de la antena. ¿Será aceptable la señal en laslocalidades C y D?

38. 38. LALA LOTERÍALOTERÍA

Hay lugares dónde la Lotería toca muy a menudo. ¿Tiene sentido comprar Lotería en los sitios dónde másse vende por que así tengo más probabilidad de que me toque? Razona tu respuesta.

MEZCLA

2 partes de agua1 parte de vinagre

MEZCLA

3 partes de agua1 parte de vinagre


39. 39. LALA MÁQUINAMÁQUINA DE GALDE GALTTONON

¿Por qué casillas apostarías? Explica tu razonamiento.

40. 40. LALA NOTNOTAA MEDIAMEDIA

La profesora de Matemáticas nos ha dado las notas de nuestro último trabajo. Éstas han sido: 5, 7, 7, 9, 8,6, 6, 10.

Joseba y Nagore hoy no han venido a clase, pero les hemos dicho que la nota media de los trabajos era 7y que coincide con la mediana, y que el rango de las notas ha sido 8. A Josefa le había salido muy bien eltrabajo. ¿Crees que con esos datos pueden saber qué nota han sacado cada uno?

41. 41. NOTNOTAS DE LOS AS DE LOS ALUMNOSALUMNOS

El Departamento de Educación está estudiando el rendimiento de los alumnos en la asignatura deMatemáticas durante el curso pasado y ha presentado las siguientes gráficas que resumen los datosestudiados.

Sabiendo que 28 413 alumnos han obtenido la calificación de SUFICIENTE, ¿cuántos alumnos han sidoevaluados? ¿Cuántos han obtenido la calificación de SOBRESALIENTE?


42. 42. LALA ZONAZONA COLOREADACOLOREADA

¿Qué fracción del cuadrado está coloreada?

43. 43. ELEL OSO POLAROSO POLAR

Un oso polar se desplaza a buscar comida 20 km al sur, después anda 10 km aleste y por último recorre 20 km al norte. Entonces se da cuenta de que ha llegadoal mismo lugar de donde salió. ¿De dónde salió el oso?

44. 44. AUDIENCIASAUDIENCIAS

Dos cadenas de televisión han presentado los resultados de sus índices de audiencia en los últimos cuatromeses. Las dos afirman que sus cadenas han experimentado un aumento en su audiencia.

a) ¿Cuántos espectadores ganó cada cadena?

b) ¿Qué representación refleja mejor la situación?

paso 1: entender el problema. paso 2: configurar un plan ... problemas 3º eso...las situaciones...

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