parte d corregida actual
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Parte D GrupalTRANSCRIPT
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano Parte D. Grupal.
En esta instancia colaborativa de aprendizaje y junto a su compaero de grupo:
Seleccione un ejercicio del Listado de ejercicios adjunto en el pizarrn
de la Actividad 5.
Comunique el ejercicio seleccionado en el pizarrn de la Actividad 5. Resuelva ejercicio seleccionado.
Puntaje mximo: 10 puntos.
Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica): a) El vector genrico TX. b) El ncleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Adems: e) Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado. f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices? h) Plantee la transformacin inversa.
13 = [1 00
35
2
9187
]
La dimensin de la matriz B13 nos indica que tanto el espacio de salida como el de
llegada son de 3 dimensines, entonces se trata de 3 y vale la notacin A: 3
3.
Planteamos la trasformacin lineal: Hacemos B13=T y tenemos:
: 3 3
Si
La expresin TX viene dada en trminos de las componentes del vector = [
]
asi: = [1 0 0
3 52
9187
]
De esta forma sintetizamos:
[
] [1 0 0
35
2 9187
]
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano
Ncleo de la trasformacin: el nucleo de la transformacin T es el conjunto de
vectores X tales que TX=0
= { 3/ = 0}
[ 1 3 9 0 9 18 0 2 7
] [
] = [000
]
Planteamos el SEL:
{5 8
2
59
3 9 = 018 = 07 = 0
Por lo que tenemos la siguiente matriz ampliada:
[ 1 3 9 0 9 18 0 2 7
000
]
Resolucin por el mtodo Gauss-Jordan:
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano Como vemos el ncleo de la transformacin;
= {[000
]}
Autovalores de la transformacin:
= ; es un nmero real, un escalar
= 0
= 0
( ) = 0, En el desarrollo algebraico anterior debi agregarse la Identidad I para poder sacar X factor comn.
: 3 3
[
] [1 00
35
2
9187
] [
] = [
]
Planteamos AX=kX, o det( ) = 0
[1 00
35
2 9187
] [
] = [
] 1 3 9 = 0 + 5 + 18 = 0 2 7 =
(1 ) 3 9 = 0 0 + (5 ) + 18 = 0
0 2 + (7 ) = 0
det( ) = [(1 )
00
3
(5 )2
918
(7 )] = 0
Recordamos:
(1 ) |(5 ) 18
2 (7 )| 0 |
3 92 (7 )
| + (0) |3 9
(5 ) 18|=0
Desarrollando llegamos a la siguiente expresin: 3 32 3 1 = 0; ( + 1)3 = 0
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano Desarrollo usando WolframAlpha:
Como conclusin el valor de k =-1. Verificacin:
[ 0 0 0
3 62
9186
] = 0
0 |6 18
2 6| 0 |
3 92 6
| + (0) |3 96 18
|=0
Base de autovectores: Para determinar todos los autovectores de T asociados a los autovectores anteriores debemos desarrollar la siguiente igualdad TX=kX donde k es el autovalor asociado a la matriz
= 1 (1) = + = { = [
] /( + ) = 0}
([1 00
35
2 9187
] [1 0 00 1 00 0 1
]) = 1
( [1 00
35
2 9187
] [1 0 00 1 00 0 1
]) [
] [1 3 9 = 00 + 5 + 18 = 00 2 7 = 0
]
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano
Aplicando herramientas informticas:
Por lo tanto, el autovector asociado a ese autovalor k=-1 es: = {[
]} , = {[
]}
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano
Analice si A es diagonalizable:
Si T puede expresarse como el producto = 1A se dice diagonalizable, para comprobar
esto realizamos el anlisis siguiente:
En nuestro caso contamos con un solo autovalor k=-1. Esto hace que tengamos como base de autovectores a un solo vector 3x1. P cuyas columnas son cada uno de esos autovectores LI, esto es:
= [0
31
]
Como P no es una matriz cuadrada no tiene inversa por lo que T no es Y una transformacin es invertible si la matriz que la representa es invertible. Si:
: 1 2, 1: 2 1
= [1 3 90 5 180 2 7
] 1
Aplicando herramientas informticas:
Tenemos que 1 = [1 3 90 7 180 2 5
].
Conclusin: la trasformacin es invertible.