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297

En el contexto de este capítulo, cuando hablemos de trigonometría hacemos

referencia a triángulos y cuando se hable de hipernometría, estamos haciendo

referencia a funciones hiperbólicas.

Analizadas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es imporante profundizar

en estas temáticas que son necesarias para afianzar los conocimientos en este

campo, como son las identificadas y las ecuaciones trigonométricas, también

identidades hiperbólicas, cuyas temáticas inducirán al desarrollo en los estudiantes

competencias cognitivas muy importantes en el campo de las matemáticas.

Pero con la profundización no es suficiente; por lo cual, se hace un énfasis a la

transferencia, por medio de diversas aplicaciones a través del análisis de ejemplos

modelos, los cuales se deben estudiar con detenimiento para adquirir sólidosconocimientos y poder aplicarlos cuando así se requiera.

Esperando; como sabemos que es, que este capítulo sea de su agrado y les debuenos aportes en trigonometría y hipernometría.

Objetivo general

. Profundizar en los conceptos trigonometría analítica e hipernometría, quepermitan adquirir las herramientas para ser utilizadas cuando así se requiera.

Objetivos específícos

. Analizar las identidades trigonométricas e hiperbólicas.

. Resolver identidades trigonométricas e hiperbólicas.

. Desarrollar ecuaciones trigonométricas.

. Estudiar los triángulos no- rectángulos y sus aplicaciones.

TRIGONOMETRÍA

Introducción

298

En trigonometría existen unas ecuaciones muy particulares a las cuales se han

llamado identidades trigonométricas, debido a que son ecuaciones que se

satisfacen para cualquier ángulo. Existen unas identidades llamadas básicas,

otras llamadas específicas.

t Identidades básicas: se definen a partir del análisis del círculo

trigonométrico unitario, analizado en el capítulo anterior.

1. Identidad fundamental, partiendo del teorema de pitágoras y la relación

de los lados del triángulo.

h = 1 radio de la circunferencia unidad22222 yx1yxh +=⇒+=

Pero: y)(senhy

)(sen =α⇒=α

x)(coshx

)(cos =α⇒=α

Si reemplazamos x e y en la ecuación de Pitágoras, tenemos:

Como: .1)(sen)(cos1yx 2222 =α+α⇒=+ Luego la identidad fundamental

es:

1)(cos)(sen 22 =α+α

A partir de ésta se pueden obtener otras identidades.

2. Identidades de cociente, sabemos que:

,hx

)(cosyhy

)(sen =α=α si hacemos el cociente )(cos)(sen

αα

tenemos:

xy

hx

hy

)(cos)(sen

==αα

. Este cociente por definición es )(tan α , luego:

)(cos)(sen

)(tanαα

=α

α

hy

x

DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

299

Ahora realicemos los mismo, pero al contrario, es decir: )(sen)(cos

αα

, entonces:

yx

hy

hx

)(sen)(cos

==αα

. Cociente que por definición es )(cot α , luego:

)(sen)(cos

)(cotαα

=α

3. Identidades recíprocas: se llaman así debido a que por definición, al

intercambiar los términos del cociente de la relación trigonométrica se

obtienen éstas. Veámos:

)(cscy)(senentonces;yh

)(cscyhy

)(sen αα=α=α

son recíprocas, luego: )(csc1

)(senα

=α . Lo mismo con las demás.

xh

)(secyhx

)(cos =α=α , entonces )(secy)(cos αα son

recíprocas. En general:

)(csc1

)(senα

=α)(sen

1)(csc:también

α=α

)(sec1

)(cosα

=α)(cos

1)(sec:también

α=α

)(cot1

)(tanα

=α)(tan

1)(cot:también

α=α

4. Identidades pitagóricas: a partir de la identidad fundamental, a veces

llamada también pitagórica, se puede obtener las llamadas identidades

pitagóricas.

Si dividimos la identidad fundamental por )(cos α , tenemos otra identidad:

300

)(sec1)(tan)(cos

1

)(cos

)(cos

)(cos

)(sen 2222

2

2

2α=+α⇒

α=

α

α+

α

α, entonces:

)(sec1)(tan 22 α=+α

Ahora, dividamos la identidad fundamental por )(sen α , luego:

),(csc)(cot1)(sen

1

)(sen

)(cos

)(sen

)(sen 2222

2

2

2α=α+⇒

α=

α

α+

α

α entonces:

)(csc1)(cot 22 α=+α

5. Identidades pares-impares: cuando definimos la simetría de las funciones

trigonométricas, identificamos las funciones pares e impares. De aquí se

pueden definir las identidades pares e impares.

Pares: )(cos)(cos α=α−

)(sec)(sec α=α−

Impares: )(sen)(sen α−=α− )(cot)(cot α−=α−

)(tan)(tan α−=α− )(csc)(csc α−=α−

6. Identidades de cofunción: cuando a 2π se le resta un ángulo cualquiera,

se obtiene la confunción: veamos:

a. )x(senx2

cosy)x(cosx2

sen =

−

π=

−

π

b. )x(tanx2

coty)x(cotx2

tan =

−

π=

−

π

c. )x(secx2

cscy)x(cscx2

sec =

−

π=

−

π

Para x medida en radianes de un ángulo agudo. De esta manera se dejan definidas

las identidades trigonométricas básicas.

301

t Identidades de suma y diferencia

En muchas ocasiones, se puede expresar un ángulo dado, como una suma o una

resta de ángulos notables, por ejemplo: 15º es igual a 45º - 30º; 75º es igual a 30º

+ 45º y así muchos más. Para este tipo de situaciones es que se utilizan las

llamadas identidades de suma y diferencia de ángulos.

Iniciemos con: cos ( a - b ); siendo a y b medidas de angulos y por conveniencia

a > b. Entonces:

cos ( a - b ) = cos ( a ) . cos ( b ) + sen ( a ) . sen ( b )

Demostración

Vamos a utilizar como herramienta la geometría del círculo trigonométrico

unitario.

Las coordenadas de cada punto son:

A ( 1, 0 )

B ( ))ba(sen,)ba(cos −−

P ( ) ( ))b(sen,)b(cosyx 1,1 =

Q ( ) ( ))a(sen,)a(cosyx 2,2 =

302

La distancia de AB es igual a la distancia de PQ . Por la fórmula de distancia:

[ ] [ ] =−+−−⇒= 22 )ba(sen1)ba(cos)PQ(d)AB(d

[ ] [ ] 22 )b(sen)a(sen)b(cos)a(cos −+− elevamos al cuadrado ambos

términos de la ecuación, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) 2222 ))b(sen)a(sen)b(cos)a(cos)ba(sen1)ba(cos −+−=−+−−

Desarrollando cuadrados:

)b(cos)a(cos2)a(cos)ba(sen1)ba(cos2)ba(cos 222 −=−++−−−

)b(sen)b(sen)a(sen2)a(sen)b(cos 222 +−++

Agrupamos términos:

+

+=+−−

−+− )a(sen)a(cos1)ba(cos2)ba(sen)ba(cos 2222

);b(sen)a(sen2)b(cos)a(cos2)b(sen)b(cos 22 −−

+ entonces:

1 - 2 cos ( a - b ) + 1 = 1 + 1 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).

Operando:

2 - 2 cos ( a - b ) = 2 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).

Simplificando:

cos ( a - b ) = cos ( a ) cos ( b ) + sen ( a ) sen ( b )

Asì queda demostrada la identidad de diferencia de coseno.

Ahora: cos ( a + b ); de igual manera que el caso anterior.

cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b )

303

Demostración

Demostrando la diferencia de ángulos para coseno, lo podemos utilizar para otras

identidades como cos ( a + b ). Veámos:

cos ( a + b ) = cos ( a - ( - b ) ) = cos ( a ) . cos ( - b ) + sen ( a ) sen ( - b )

Sabemos que cos ( - b ) = cos ( b ) y sea ( - b ) = - sen ( b ), luego:

cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b ).

En seguida analizamos la suma y diferencia para seno.

sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b )

Demostración

Para demostrar esta identidad vamos a utilizar la identidad de suma y diferencia

de coseno, la identidad de cofunción y algunas transformaciones sencillas.

Llamamos a ( a + b ) = w, entonces.

( ) )w(senw2cos =−π por la identidad de cofunción, ahora:

( ) ( ) ( )( )ba2cosba2cos)ba(2(cos −−π=−−π=+−π , pero:

( ) ( ) ( ) bsena2senbcosa2cosb)a2(cos −π+−π=−−π

pero: ( ) )a(sena2cos =−π , luego:

( )( ) )b(sen)a(cos)b(cos)a(senba2cos +=−−π . Finalmente como:

( )( ) ),ba(sen)w(senba2cos +==−−π entonces:

)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen +=+Así queda demostrada la identidad de suma de ángulos para seno.

Sigamos con )ba(sen −

)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−

304

Demostración

( ) )b(sen)a(cos)b(cos.)a(sen)b()a(sen)ba(sen −+−=−+=−

pero por identidades pares e impares:

:luego,)b(sen)b(seny)b(cos)b(cos −=−=−

)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−

Finalmente veamos la suma y diferencia para tangente.

)b(tan.)a(tan1)b(tan)a(tan

)ba(tan−

+=+

Demostración:

Como )ba(cos)ba(sen

)ba(tan++

=+ desarrollemos el cociente.

)b(sen)a(sen)b(cos)a(cos)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen

)ba(tan−+

=+

dividimos todo por cos (a ) cos ( b )

)b(cos)a(cos)b(sen)a(sen

)b(cos)a(cos)b(cos)a(cos

)b(cos)a(cos)b(sen)a(cos

)b(cos)a(cos)b(cos)a(sen

)ba(tan−

+=+

Simplificando:

)b(tan)a(tan1)b(sen11)a(tan

)ba(tan•−

•+•=+ resumiendo:

)b(tan)a(tan1)b(tan)a(tan

)ba(tan•−

+=+

Ahora veamos la resta de dos ángulos para tangente:

)b(tan)a(tan1)b(tan)a(tan

)ba(tan•+

−=−

305

Demostración

Queda como ejercicio para que lo desarrollen en pequeño grupo colaborativo.

Hallemos ( ) º1522sen =ππ

Solución: podemos expresar ( )2sen π como: 64π−π , luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6sen4cos6cos4sen64sen12sen ππ•π−π=π−π=

π

426

42

46

21

22

23

22

12sen−

=−=•−•=

π

Calcular: )º75(cos ∴ 75º = 30ª + 45º

Solución

Cos ( 75º ) = cos ( 30º + 45º) = cos ( 30º ) cos ( 45º ) - sen ( 30º ) sen ( 45º )

42

46

22

21

22

23

)º75(cos −=•−•=

426

)º75(cos−

=

Demostrar que: )(tan)(tan σ=σ+π

Solución: por identidad de suma para tangente

( ) ( ))(tan01

)(tan0)(tan)(tan1

tan)(tantan

σ•−σ+

=σ•π−

σ+π=σ+π , entonces:

( ) ( ))(tan

1tan

tan σ=σ

=σ+π

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

306

Identidades de ángulo doble

Cuando en la suma o diferencia de ángulos, si a = b, entonces se obtienen los que

llamamos ángulos dobles, que son herramienta en el análisis del movimiento

curvilíneo.

1) )a(cos)a(sen2)a2(sen =

Demostración

Sabemos que sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b ), pero a = b, luego:sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( a ) + cos ( a ) sen ( a )

2) )a(sen)a(cos)a2(cos 22 −=

Demostración

Al igual que en el caso anterior:

cos ( a + a ) = cos ( a ) • cos ( a ) - sen ( a ) • sen ( a ) = cos2 ( a ) - sen2 ( a )

Luego:cos ( 2a ) = cos2 ( a ) - sen2( a )

3) )a(tan1

)a(tan2)a2(tan

2−=

Demostración

Se deja como ejercicio para realizar en pequeño grupo colaborativo.

Identidades de ángulo mitad

En matemáticas, especialmente en cálculo el ángulo mitad es muy utilizado, poresto es pertinente referenciar los ángulos mitad.

307

( )2

)a(cos12

asen −±=

Demostración

De la identidad de ángulo doble, podemos hacer esta demostración.

)a(sen1)a(cospero);a(sen)a(cos)a2(cos 2222 −=−= por la identidad

fundamental, luego:

),a(sen21)a(sen)a(sen1)a2(cos 222 −=−−== despejamos )a(sen 2

2)a2(cos1

)a(sen)a(sen21)a2(cos 22 −=⇒−=−

Hacemos un cambio así: 2x

a= y reemplazamos en la ecuación:

( ) ,2

)x(cos12

2x

2cos1

2xsen2 −

=

•−

= por consiguiente:

2)x(cos1

2x

sen−

±=

)a(cos1)a(sen

2a

tany2

)a(cos12a

cos+

=

+

±=

Demostración

La demostración de las dos anteriores identidades, se dejan como ejercicio para

resolver en pequeño grupo colaborativo o con asistencia del docente.

308

Identidad de producto-suma

Vamos a referenciar este tipo de identidades; los demostraciones se dejan como

investigación, para que lo resuelvan individualmente y luego socializarlo con los

compañeros y el docente.

1. [ ])ba(sen)ba(sen21

)b(cos)a(sen −++=•

2. [ ])ba(cos)ba(cos21

)b(sen)a(sen −−−=•

3. [ ])ba(sen)ba(sen21

)b(sen)a(cos −−+=•

4. [ ])ba(cos)ba(cos21

)b(cos)a(cos −++=•

Identidades de suma-producto

Al igual que en el caso anterior, las demostraciones se dejan como investigación.

1.

−

•

+

=+2

bacos

2ba

sen2)b(sen)a(sen

2.

−

•

+

=−2

basen

2ba

cos2)b(sen)a(sen

3.

−

•

+

=+2

bacos

2ba

cos2)b(cos)a(cos

3.

−

•

+

−=−2

basen

2ba

sen2)b(cos)a(cos

Demostración de identidades trigonométricas

En el inicio de este capítulo se hizo referencia a las identidades básicas, en este

aparte se va a trabajar en la demostración de otras identidades, utilizando los

principios matemáticos que se conocen y las identidades básicas.

309

Como una identidad es una igualdad, la demostración se centra precisamente en

demostrar dicha igualdad.

El proceso se puede hacer de tres maneras distintas, como la igualdad tiene dos

términos; digamos:

a = b

Entonces, podemos escoger uno de los siguientes caminos:

1. A partir del primer término, con el uso del álgebra y las identidades conocidas,

obtener el segundo término.

2. A partir del segundo término, obtener el primero.

3. Hacer transformaciones simultáneamente a los dos términos de la igualdad

y llegar a una equivalencia.

Por experiencia y facilidad, es aconsejable utilizar la técnica 1 ó la 2, dando

prioridad al término más complejo; es decir, el que presente más términos,

partiendo de este para llegar al otro término.

Demostrar la identidad: [ ] )x(sen)x(cos)x(sec)x(cos 2=−

Solución

[ ]

−=

−=−

)x(cos)x(cos1

)x(cos)x(cos)x(cos

1)x(cos)x(cos)x(sec)x(cos

2

)x(sen)x(cos)x(sen

)x(cos 22

=

Así queda demostrada la igualdad.

En cada paso se hizo cambio usando identidades conocidas, el trabajo que

debe hacer estimado estudiante, es que identifique que funciones fueron

reemplazadas y por cuáles, pero verificar que en el proceso es correcta.

Ejemplo 1

310

Demostrar que )x(sen)x(sec)x(tan

=

Solución

Como es obvio partimos del primer término:

)x(sen)x(cos

)x(cos)x(sen)x(cos1

)x(cos)x(sen)x(sec)x(tan

=•

==

Reducir la siguiente expresión en términos solo de la función seno.

)x(sec1)x(tan)x(sec)x(tan

+•+

Solución

Por medio de las identidades básicas y las conocidas, podemos hacer latransformación.

)x(cos11

)x(cos

)x(sen)x(cos)x(sen

)x(cos11

)x(cos)x(sen

)x(cos1

)x(cos)x(sen

)x(sec1)x(tan)x(sec)x(tan 2

+

+

=+

•+=

+•+

por la identidad fundamental )x(sen1)x(cos)x(sen1)x(cos 222 −=⇒−=

entonces:

)x(sen1

1)x(sen1

)x(sen1)x(sen1

)x(sen1)x(sen))x(sen1()x(sen

)x(sen1

11

)x(sen1

)x(sen

)x(sen1

)x(sen

2

2

22

22

2

22

−

+−

−•−

−+−

=

−+

−+

−

Ejemplo 2

Ejemplo 3

311

+−

−−

−•+−−

=1)x(sen1)x(sen1)x(sen1

)x(sen1)x(sen)x(sen1()x(sen)x(sen1

222

222

+−

−

+

−

=1)x(sen1)x(sen1

)x(sen.1)x(sen)x(sen1)x(sen

22

22

+

−

−+

+−=

1)x(sen1)x(sen1

)x(sen1)x(sen

1)x(sen1

)x(sen

22

2

2

Demostrar la identidad:

[ ])x(sen1)x(sen1

)x(sec)x(tan 2+−

=−

Solución

Para este ejemplo, vamos a aplicar la tercera técnica; es decir, partimos de los

dos términos para llegar a una equivalencia.

[ ])x(sen1)x(sen1

)x(sec)x(tan 2+−

−

)x(sec)x(sec)x(tan2)x(tan 22 +−

)x(cos

1)x(cos

1)x(cos)x(sen

2)x(cos

)x(sen22

2+•−

( )( ) ( ))x(sen1)x(sen1

)x(sen1()x(sen1−+

−−

)x(cos

1

)x(cos

)x(sen2

)x(cos

)x(sen222

2+−

)x(sen1

)x(sen)x(sen)x(sen12

2

−

+−−

)x(cos

1)x(sen2)x(sen2

2 +−

)x(cos

)x(sen)x(sen212

2+−

Ejemplo 4

312

Como podemos ver los dos puntos de la ecuación, llegan a una equivalencia.

Demostrar

)x(cos)x(sen1)x(sen)x(cos

)x(sen)x(cos 33•+=

−−

Solución

Por la estructura de la identidad, es conveniente partir del término primero para

llegar al segundo; veamos:

))x(sen)x(cos()x(sen)x(sen)x(cos)x(cos())x(sen)x(cos(

)x(sen)x(cos)x(sen)x(cos 2233

−++−

=−−

Simplificando:

)x(sen)x(cos)x(sen)x(cos 22 •++ por la identidad fundamental:

)x(sen)x(cos1+ . Que corresponde al segundo término de la identidad.

Reflexión

Para demostrar identidades se requiere algunos principios: conocer las identidades

básicas de suma y diferencia y las demás analizadas en este capítulo. Algo de

ingenio para saber de que parte iniciar y a dónde se quiere llegar y lo más

importante, bastantes ejercicios que permitan adquirir destreza para hacer este

tipo de demostraciones. Como se dice en el lenguaje matemático popular; pedaliar,

pedaliar... haciendo referencia a que pedaliando se llega a la meta.

Para los ejercicios propuestos a continuación, reducir a una sola función las

expresiones dadas.

Ejemplo 5

313

EJERCICIOS: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Para los ejercicios propuestos a continuación, reducir a una sola función las

expresiones dadas.

1. )x(sec1)x(tan)x(sec)x(tan

+•+

Rta. tan ( x )

2.)x(cot

1)x(csc2

2 −Rta. 1

3. )A(csc)A(cot)A(tan +

Rta. sec ( A )

4. )x(sen)x(cos1

)x(cos1)x(sen +

++ Rta. 2 csc ( x )

Demostrar las siguientes identidades.

5.( )

)x(tan)x(sec)x(sen1

2sen=−

−

π

6. [ ] [ ] 2)(cos)(sen)(cos)(sen 22 =σ−σ+σ+σ

7. )x(sen)º180x(sen −=+

8. )x(tan1)x(tan1

)º45x(tan−+

=+

9. 1)x(cos21

)x(cos)x(sen2

44=

−

−

10. ( ) ( ))t(sen)t(cos22

4tcos +=π−

11. )4(cot)(sen)7(sen)(cos()7(cos

σ=σ+σσ+σ

12. )y2(sen)x2(sen)y2(sen)x2(sen

)yx(tan)yx(tan

+−

=+−

314

E CUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Anteriormente se decía que las identidades son igualdades que se cumplen para

cualquier ángulo. existen unas identidades muy particulares, ya que solo se

cumplen para ciertos ángulos, dichas identidades son llamadas ecuaciones

trigonométricas.

Definición

Las ecuaciones trigonométricas, son identidades que satisfacen solo ciertos

ángulos. La solución se expresa en medidas de ángulos, puede ser grados o

radianes.

La resolución de ecuaciones trigonométricas, requiere un buen manejo de las

funciones trigonométricas inversas; además, de los principios de álgebra y

trigonometría, por otro lado, es recomendable reducir la ecuación a una función

para poderla resolver, generalmente se reducen a seno o coseno.

Es importante aclarar que si no se dice otra cosa, la solución para nuestro caso se

dará solo para la circunferencia unidad de π≤≤ 2x0 . Algunos autores

acostumbran a dar la solución general para todo círculo, recordemos que las

funciones trigonométricas son periódicas, luego se repiten cada x intervalo.

Resolver: 21

)x(sen =

Solución

Como debemos despejar el ángulo, es decir, x; entoncs aplicamos la función inversa.

( ) ( )21senx2

1sen))x(sen(sen 111 −−− =⇒= . Lo que nos indica que

Ejemplo 1

315

debemos buscar en el intervalo π≤≤ 2x0 , en donde el seno vale 1/2.

Evidentemente con algo de trabajo se puede detectar que el ángulo es 30º ( )6π .

Pero el seno es positivo en el I y II cuadrante, luego nos faltaría la solución en elII cuadrante, con el concepto de reducción de ángulo al primer cuadrante

(estudiado anteriormente), podemos saber que se trata de 150º ( )65π .

Respuesta: 65y6x ππ=

Hallar la solución de:

21

)x(cos −=

Solución

( ) ( )21cosx2

1cos))x(cos(cos21

)x(cos 111 −=⇒−=⇒−= −−−

Debemos hallar el o los ángulos donde el coseno vale 21− , el coseno es negativo

en el II y III cuadrante, luego habrá una solución en cada uno de ellos.

Sabemos que el coseno vale 21 en 60º para el primer cuadrante, para el segundo

por reducción de ángulo es 120º ( )32π en el II cuadrante y 240º ( )3

4π en el III

cuadrante.

Respuesta: x = 34y3

2 ππ

Resolver la ecuación:

0)x(cos)x(sen =−Recordemos que la recomendación es trabajar con una sola función, luego:

)x(cos)x(sen0)x(cos)x(sen =⇒=− dividimos por cos (x ), entonces:

Ejemplo 2

Ejemplo 3

316

1)x(tan)x(cos)x(cos

)x(cos)x(sen

=⇒= . Ya tenemos la ecuación con una sola función.

Ahora despejamos x, como:

)1(Tanx)1(Tan))x(tan(tan1)x(tan 111 −−− =⇒=⇒=

Debemos identificar en donde la tangente vale 1. Recordemos que la tangente es

positiva en el I y III cuadrantes. La tangente vale 1 en 45º ( )4π , también en

225º ( )45π .

Respuesta: 45y4x ππ=

Comprobación

Al igual que en las ecuaciones algebráicas, en las ecuaciones trigonométricastambién se pueden hacer las comprobaciones del caso.

( ) 022

22

04cos4sen4x =−⇒=π−ππ= , luego la solución es verdadera.

( ) ( ) 022

22

045cos4

5sen:45x =

−−−⇒=π•ππ= ,también la solución

es correcta.

Hallar la solución de la ecuación:

0)x(tan9)x(tan 5 =−

Solución

Factoricemos: 09)x(tan)x(tan 4 =

− , por el teorema del producto nulo:

,09)x(tanó0)x(tan 4 =−= desarrollemos cada uno:

)0(Tanx)0(Tan))x((tantan0)x(tan 111 −−− =⇒=⇒=

la tangente vale 0 en 0 y π .

Ahora: 9)x(tan09)x(tan 44 =⇒=− extraemos raíz cuadrada.

Ejemplo 4

317

3)x(tan 2 = , de nuevo raíz cuadrada:

3)x(tan ±= Ahora función inversa para despejar x.

( )3Tanx 2 ±= −

La tangente vale 3en3 π . Pero como tiene signo positivo y negativo habrán

cuatro ángulos, dos del valor positivo y dos del valor negativo.

Para + 3 : x = 3π y 6

7π

Para 35y3

2x:3 ππ=−

Respuesta: 35,6

7,,32,3,0x πππππ=

Resolver la ecuación:

Sec ( x ) − tan ( x ) = cos ( x )

Solución

Como se dijo en el inicio del estudio de las ecuaciones, lo primero es reducir a una

sola función trigonométrica, para luego poder hallar la solución.

( ) )x(cos)x(cos

)x(sen1)x(cos

)x(cos)x(sen

)x(cos1

xcos)x(tan)x(sec =−

⇒=−⇒=−

),x(sen1)x(cos:como)x(cos)x(sen1 222 −==− reemplazamos:

0)x(sen)x(sen)x(sen1)x(sen1 22 =−⇒−=−

Como ya tenemos la ecuación expresada como una sola función; resolvemos:

[ ] ,01)x(sen)x(sen0)x(sen)x(sen 2 =−⇒=− por producto nulo,

01)x(senó0)x(sen =−= : despejamos x en cada una.

π==⇒= − ,0x:)0(senx0)x(sen 1

Ejemplo 5

318

2x:)1(senx1)x(sen01)x(sen 1 π==⇒=⇒=− − , se rechaza ¿por qué?

Luego: la solución total es: π= ,0x

Resolver la siguiente ecuación:

0)x2(sen)x2(cos 22 =−

Solución

Expresemosla como una sola función, veámos:

)x2(sen)x2(cos 22 = , dividimos por )x2(cos2 .

1)x2(tan1)x2(tan)x2(cos

)x2(sen

)x2(cos

)x2(cos 22

2

2

2±=⇒=⇒=

Utilizamos la fórmula de ángulo doble para tangente.

,1)x(tan1

)x(tan2

)x(tan1

)x(tan2)x2(tan

22=

−⇒

−= luego.

)x(tan1)x(tan2))x(tan1()x(tan2 22 −=⇒−= , reorganizando:

01)x(tan2)x(tan 2 =−+ . Por la cuadrática:

21xy21x1

21x

2222

2442

2)1()1(442

x

21 −−=+−=⇒±−

=

±−=

+±−=

−−±−=

Debemos identificar en donde la tangente toma estos valores.

( ) 8º5,22x21Tanx 11

π==⇒+−= − en el primer cuadrante, pero también

la tangente es positiva en el tercer cuadrante, el ángulo es:

180 + 22,5 = 202,5º = 89π .

Ejemplo 6

319

Ahora:

( ) º5,67x21Tanx 1 −==⇒−−= − que es equivalente en ángulo positivo es:

813º5,292 π= . En el cuarto cuadrante, pero nos falta en el segundo cuadrante

donde también la tangente es negativa, en este el ángulo será:

85º5,1125,67º180 π==− Luego la solución general:

.813y8

9,85,8

ππππ

Estimado estudiante, compruebe la solución.

Podemos hacer una reflexión sobre la solución de ecuaciones trigonométricas. Es

importante conocer las identidades básicas, de ángulo suma y diferencia, de

ángulo doble y ángulo mitad; además de las herramientas algebráicas, para

resolverlas adecuadamente, pero también una buena gama de ejercicios permitirán

adquirir destreza, como se dijo antes: pedaliando, pedaliando, se llega lejos.

320

EJERCICIOS: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas; para la circunferencia unidad.

1. 23)x(cos = Rta. x = 30º y 330º

2. 01)x(sen 2 =− Rta. 2

3y

2x

ππ=

3. 0332)(sec =−σ Rta. 6

11y6ππ=σ

4. )2(sen)4(cos σ=σ Rta. º135yº75,º15=σ

5. 0)(tan)(tan 2 =α+α Rta. π=απ=α y43

6. 01)(sen)(sen2 2 =−α+α Rta. 23;6

5;6π=απ=απ=α

7. 0)x5(sen)x3(sen =+ Rta. 23,4

5,,43,2,4,0x ππππππ=

8. )(sen2

cos2

3sen2 σ=

σ

σ

Rta. º270,º180,º90,º0=σ

9. 12

)x(cos21 =+Rta. 3

4y3

x ππ=

10. 0)(sen3)(sen2 =α+α Rta. π=α

321

A NÁLISIS DE TRIÁNGULOS NO-RECTÁNGULOS

En los apuntes anteriores, hemos analizado lo referente al triàngulo rectàngulo,

pero existen muchas situaciones que se describen con triángulos que no son

rectángulos, es decir, triángulos oblicuos. El trabajo en este aparte se centrará

en analizar los triángulos no rectángulos y sus aplicaciones.

Teorema de seno

Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C, respectivamente,

se cumple:

cCsen

bBsen

aAsen ==

Demostración

Para hacer la demostración vamos a utilizar un triángulo acutángulo, pero elteorema se puede aplicar para cualquier triángulo.

Según la gráfica:

tesimilarmenBsenchchBsen =⇒=

Igualando.CsenbhbhCsen =⇒=

cCsen

bBsen:ndoreorganizaCsenbBsenc ==

Similarmente se puede probar que:

cCsen

bBsen

aAsen:teconsiguienpor

bBsen

aAsen ===

BC

b

a

c

A

322

De esta manera podemos hallar los lados y los ángulos de cualquier triángulo,

aunque esta metodología es utilizada para triángulos no rectángulos.

Para esto, podemos encontrar varios casos:

1. LAA o ALA: conocen un lado y dos ángulos.

2. LLA: conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

3. LAL: conocen dos lados y el ángulo entre ellos.

4. LLL: conocen los tres lados.

Hallar todos los lados y todos los ángulos del triángulo descrito a continuación:

Solución

Corresponde al caso: LLA. Entonces:

...4283,03285,1

3)º40(sen2)(sen

2)(sen

3)º40(sen ===β⇒β=

Luego: sen ( β ) = 0,4283: debemos despejar β :

°≅=β⇒=β −−− 36,5)4283,0(sen)4283,0(sen))(sen(sen 111

Así podemos hallar r.

°=°+°−°=⇒°=+β+α 64,114)36,2540(180r180r

En seguida podemos hallar c, veamos:

Ejemplo 1

2

c

3

α β

r

º40=α

323

)40(sen)64,114(sen3

)r(sen)r(sen3

c3

)(senc

)r(sen°

°−==⇒

α= entonces:

24,46428,07268,2

c ==

En un triángulo dos de los ángulos miden 48º y 57º; el lado que está entre ellos

mide 47 cm. Hallar los lados restantes.

Solución

°=°+°−°= 75)5748(180C

)C(sen)A(senc

ac

)C(sena

)A(sen=⇒=

reemplazando:

966,0417,39

)75(sen)57(senxcm47

a =°

°=

a = 40,80 cm.

Hallemos ahora b; aplicamos el mismo teorema:

)75(sen)48(senx47

b)C(sen)B(senc

bc

)C(senb

)B(sen°

°=⇒=⇒=

cm16,36966,0927,34

b ==

Teorema de coseno

Existen situaciones donde el teorema del seno no se puede aplicar de formadirecta, en casos como tener dos lados y el ángulo entre ellos o cuando se tienenlos tres lados. Para estos casos se aplica la llamada ley del coseno.

Sea un triángulo cuyos lados son a, b, c y ángulos A, B, C, respectivamenteopuestos, se cumple:

Ejemplo 2

C

480 570

a b

47

324

Ccosab2bac

Bcosac2cab

Acosbc2cba

222

222

222

−+=

−+=

=+=

La demostración ha haremos con un

triángulo, obtusángulo pues se puede

hacer con cualquiera. Las coordena-

das de cada vértice.

0 ( 0, 0 )

A ( b, 0 )

B ( x,y ) = ( a cos ( α ), a sen ( α ) )

Por medio de la ecuación de distancia euclidia, podemos hallar c, veamos:

212

212

2 )yy()xx(c −+−=

Pero: ))(sena0(yyy))(cosab(xx 1212 α−=−α−=− , luego:

222 ))(sena0())(cosab(c α−+α−=

)(sena)(cosa)(cosab2bc 222222 α+α+α−=

)(cosab2b))(sen)(cos(ac 22222 α−+α+α= por la identidad fundamental:

)(cosab2bac 222 α−+=

La demostración de 22 cyb ; se hace de forma similar; el estudiante debe

hacer las dos demostraciones faltantes y compartidas con los compañeros y eltutor.

325

Del triángulo propuesto a continuación determinar sus lados y ángulos.

Solución

Calculamos c: )C(cosab2bac 222 −+=

)50(cos24169)50(cos)4()3(243c 222 °−+=°−+=

5731.94269,1525c2 =−=

094,3c =

Ahora hallemos el ángulo α :

:)(cosdespejamos,)(cosbc2cba 222 αα−+=

bc2cba

)(cos)(cosbc2cba222

222−

−−=α⇒α−=−−

752,2457.16

752,2457,9169

)099,3()4(2)094.3(43

)(cos222

−−

=−

−−=

−−−

=α

.6694,0)(cos =α Para hallar el ángulo, aplicamos la inversa:

°=α⇒=α −− 98,47)6694,0(cos))(cos(cos 11

Por último calculamos B:

°=°−°=+°−°= 02,8298,97180)98,4750(180B

Ejemplo 1

α

3

4

c

β

500

326

Dado el triángulo T, cuyos lados miden: a= 80cm; b= 50cm y c=70cm. Hallar

los ángulos de dicho triángulo.

Solución

)A(cosbc2cba 222 −+=

despejamos cos ( A ), luego:

bc2cba

)A(cos222

−−−

=

)80()50(2)80()50()70(

)A(cos222

−−−

=

5,0000.8000.4

)A(cos

000.8400.6500.2900.4

)A(cos

=−−

=

−−−

=

Despejamos A; º60)5,0(cosA

)5,0(cos))A(cos(cos1

11

==

=−

−−

Para el ángulo B:

),B(cosac2cab 222 −+=

200.11400.6900.4500.2

)80()70(2)80()70()50(

ac2cab

)B(cos222222

−−−

=−

−−=

−−−

=

7857,0200.11800.8

)B(cos =−−

=

º21.38)7857,0(cosB 1 == −

Para hallar C, por teoría de triángulos sabemos que A + B + C = 180º, luego:

C = 180º - ( 60º + 38,21º ) = 180º - 98,21º

C = 81,79º

Ejemplo 2

7050

80

C

A B

327

Problemas de aplicación

Para abordar problemas con triángulos no rectángulos, ya tenemos todos los

principios, teorías y demás, solo falta recomendar:

a. Leer el problema las veces que sean necesarias, para comprenderlo.

b. Hacer en lo posible una gráfica que explique el fenómeno.

c. Aplicar el teorema adecuado, según las condiciones del problema.

d. Hacer los cálculos matemáticos de manera correcta, para obtener lo que se

requiere.

Hallar la longitud de las diagonales de un paralelogramao, si sus lados miden 50

cm y 80 cm, además, uno de sus ángulos mide 70º.

Solución

Asumido el punto a, vamos al b, la gráfica explicativa.

Calculamos el lado BC, entonces:

cm51,78BC84,163.6)BC(

16,736.2900.8)º70(cos000.8400.6500.2)BC(

)A(cos)80()50(2)80()50()BC(

2

2

222

=⇒=

−=−+=

−+=

Ejemplo 1

A

B

C

D80 cm

50 cm

700

328

Ahora calculamos AD, pero necesitamos el ángulo B ó C.

º.110º70º180B =−=

)º110(cos000.8400.6500.2)Bcos()80()50(2)80()50()AD( 222 −+=−+=

22cm16,636.1116,2736900.8)AD( =+=

cm87,107AD=

Así quedan determinadas las longitudes de las dos diagonales del paralelogramo.

Un topógrafo quiere determinar la distancia entre dos casas A y B. Del punto de

observación el ángulo entre las dos casas y éste es de 60º. La distancia del punto

de observación a la casa A es de 120m y a la casa B es de 100m. ¿Qué distancia

separa las dos casas?

Solución

La incógnita es x.

)60(cos)100()120(2)100()120(x 222 °−+=

Por el teorema del coseno

)60(cos000.24000.10400.14x2 °−+=

400.12000.12000.24x2 =−=

x = 111,35 m.

Las casas se separan 111,35 m.

Ejemplo 2

A B

P

600

100120

x

329

Un golfista golpea la pelota y la desplaza 220 m en línea recta, la pelota queda a

250 m del hoyo. El ángulo que se forma en el punto donde queda la pelota con la

ubicación del golfista y el hoyo es de 150º. ¿Cuál es la distancia del golfista al

hoyo?

Solución

G = ubicación del golfista

H = Ubicación del hoyo

P = punto donde queda la pelota

a = 220 m

c = 250 m

)B(cosac2cab 222 −+=

)º150(cos)250()220(2)250()220(b 222 −+=

79,206162794,95262900.110b2 =+=

m05,454b =El golfista está a 454,05 m del hoyo.

La puerta del baúl de un auto tiene 1,10 m de largo, el soporte que sostiene la

puerta mide 0,65 m cuando está completamente extendida y en posición vertical,

quedando un espacio de apertura de 0,85m. ¿Cuál será la longitud desde la base

del baúl al punto donde esta fijado el soporte y qué ángulo de apertura presentará

el baúl?

Ejemplo 3

Ejemplo 4

G H

P

b

250 m220 m1500

330

Solución

AB = Longitud de la puerta

del baúl = 1,10 m

UV = longitud del soporte extendido.

BC = espacio de apertura = 0,85 cm.

A = ángulo de apertura

Por triángulos semejantes:

84,085,0

65,0x10,1AU

:AUdespejamos,AU

65,010,185,0

AUUV

ABBC

==

=⇒=

Ahora calculamos el ángulo A:

)A(cos)AC()AB(2)AC()AB()BC( 222 −+=

Reemplazando valores:

)A(cos)10,1()10,1(2)10,1()10,1()85,0( 222 −+=

:luego)A(cos42,221,121,17225,0 −+=

º46,45A)7014,0(cosA

7014,042,2

6975,1)A(cos

1 =⇒=

=−

−=

−

A

B

C

v

u

0,85

m

0,65

m

331

EJERCICIOS: PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS NO-RECTÁNGULOS

1. Una circunferencia tiene un radio de 25 cm, suntendido por el ángulo

central de 36º. ¿Cuál será la longitud del arco de la circunferencia?

Rta. S= 15,71 cm.

2. Una persona se encuentra a 120 metros de la base de una torre inclinada,

el ángulo de elevación desde su posición a la punta de la torre es de 24º, a

su verz la torre forma un ángulo con el suelo de 72º. ¿Cuál es la altura de

la torre?

Rta. h = 49,08 metros.

3. Asumiendo que las órbitas de mercurio y tierra son circulares y se

encuentran en el mismo plano. La tierra se encuentra a 9,3 x 107 millas

del sol y mercurio se encuentra a 3,6 x 107 millas del sol. Si mercurio se ve

desde la tierra y el ángulo entre mercurio, tierra y sol es de 8,35º; seindo la

tierra el vértice. ¿Qué tan lejos esta la tierra de mercurio?

Rta: D = 1,25 x 108 millas

4. Las casas de José y Alberto están a los lados opuestos de un rio, un ingeniero

debe hacer un puente que comunique las dos casas, para esto ubica a 100

metros de la casa de José por la misma orilla el teodolito, obteniendo los

siguientes datos: el ángulo entre la casa de José, Alberto y el teodolito es de

50º, siendo ésto último el vértice. El ángulo enter la casa de José, Alberto

y el teodolito es de 40º, siendo la casa de José el vértice. ¡Cuál será la

longitud del puente entre las casas?

Rta. L = 76,604 metros

5. Para medir la altura de una montaña, un topográfo determina que el ángulo

de elevación desde su ubicación a lapunta de la montaña es de 25º, luego

camina 100 metros y mide el nuevo ángulo de elevación el cual fue de 15º.

¿Cuál será la longitud de la punta de la montaña hasta la ubicación inicial

del topógrafo?

332

6. Dos autos parten de una intersección de dos conectores cuya separación es

de 80º, uno viaja a 80 km/hr y el otro a 100 km/hr. Al cabo de 45 minutos,

¿qué tan separados estarán los autos?

Rta. L = 87,53 km

333

H IPERNOMETRÍA

Cuando hablamos de trigonometría hacemos referencia al estudio del triángulo,

la hipernometría la estamos referenciando al estudio de las hipérbolas,

específicamente a las funciones hiperbólicas. Ya se han estudiado las funciones

hiperbólicas, en este aparte se analizarán algunos aspectos referentes a las

identidades hiperbólicas.

Identidades hiperbólicas

De manera análoga a las trigonométricas, las hiperbólicas presentan identidades

básicas y específicas.

Identidad fundamental: 1)x(hsen)x(cosh 22 =−

Pitagóricas: 1)x(hsec)x(tanh 22 =+

1)x(hcsc)x(coth 22 =−

Cociente: )x(hcos)x(senh

)x(tanh =

)x(hsen)x(hcos

)x(coth =

Recíprocas: )x(senh1

)x(cosh =

)x(hcsc1

)x(hsen =

Suma y diferencia:

)y(hsen)x(cosh)y(cosh)x(senh)yx(hsen •±=±

)y(hsen)x(hsen)y(cosh)x(cosh)yx(hcos •±=±

334

Ángulo doble:

21)x2(hcos

)x(senh2 −=

2)x2(hcos1

)x(cosh 2 +=

)x(hcos)x(hsen2)x2(hsen =

)x(hsen)x(hcos)x2(hcos 22 +=

335

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1

1. Resolver la ecuación:

)1x(3x41

61

)1x(23x

−−

−=−

−

2. Hallar la solución para el siguiente sistema; utilice la metodología de

eliminación por cualquiera de sus métodos.

1y32x

21 −=−

25y

31x

43 =+

3. Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Kramer.

0zx1z4y32yx18

=−=+=−

4. Un tanque de forma cilíndrica se puede llenar por medio de un tubo, unamanguera o los dos conductos. Utilizando el tubo para llenar el tanque

tarda 12 horas; utilizando el tubo y la manguera, el llenado tarda 748

horas. ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque la manguera?

5. Hallar el conjunto solución para la desigualdad:

2x

53x

2x4

<−

<−

6. Resolver:

4xx3 2 >−

7. Un ascensor para poder funcionar, máximo debe traer de carga 700 kg. Aél se subieron 5 mujeres y 5 hombres, cuyos peso promedio para las mujereses de 68 Kg. ¿Cuál será el peso promedio de los hombres, si el ascensorfuncionó con su límite de peso?

336

8. Dada la función:

3)1x()x(f 3 +−=

Identificar su dominio, imagen, monotonía, simetría y su gráfica.

9. En la fabricación de un producto, el precio P está dado por la función:

80x21

P += y la función ingreso R es igual a la cantidad de unidades

vendidas por el precio unitario. ¿Cuál será el ingerso si en una transacción

el presio P fué de 200 millones?

10. Sea la función: 1)2x(

1)x(g

2+

−=

Hallar el dominio, imagen, monotonía y la gráfica.

11. Resolver la siguiente ecuación:

2x8x5 93 +− =

12. El conocimiento de una publicación está dada por la función:

te000.1)t(P = . Siendo t en años.

a. ¿Cuál será la población inicial?b. ¿En qué tiempo la población se triplica?

13. Dada la función 43

)(Tan =α .. Identificar las restantes funciones

trigonométricas.

14. Halalr el valor de cos (105°) utilizando identidades trigonométricas básicas.

15. Resolver la ecuación dada, dar el resultado en radianes.sen ( 2x ) = cos ( x ).

16. Un avión viaja a 1.200 metros de altura y desea iniciar su descenso paraaterrizar. El ángulo de depresión mide 30º al iniciar el descenso. ¿A quédistancia del inicio de la pista se encuentra el avión?

17. Demostrar que:

++=− 1xxLn)x(hsen 21