parcelas div

Diseño de experimentos – p. 1/24

Diferentes tamaños de u.e.


Introducción

Los diseños experimentales que tienen varios tamaños de u.e.son: diseños de mediciones repetidas, diseños de parcelasdivididas, algunos diseños anidados y diseños que tienencombinaciones de ellos.

La característica que distingue a estos tipos de diseños es quese utilizan más de un tamaño de u.e. Cada tamaño de u.e.tiene sus propias estructuras de diseño y de tratamientos.

Ya que hay más de un tamaño de u.e., hay más de un términode error, esto es, hay un término de error para cada tamaño deu.e. lo cual está reflejado tanto en el modelo como en la tablade ANOVA.


Parcelas Divididas

El diseño de parcelas divididas (split-plot) tiene su origen enaplicaciones en Agricultura, donde las parcelas grandesgeneralmente eran grandes áreas y las parcelas pequeñasáreas pequeñas dentro de las grandes, y a cada una de losdos tamaños de parcela le corresponde un tratamiento.

Por ejemplo, ciertas variedades de cultivo se podían sembraren áreas diferentes (parcelas grandes), una variedad en cadaparcela. Luego cada área se divide en k parcelas pequeñas ycada una de estas puede ser tratada con un tipo de fertilizantediferente.

La variedad del cultivo es el tratamiento de la parcela grande yel fertilizante el de la parcela pequeña.


Parcelas Divididas

En general, el diseño de parcelas divididas se utiliza cuandoalgunos factores requieren u.e. grandes, mientras que otrosfactores las requieren más pequeñas.

Alternativamente, algunas veces encontramos que laaleatorización completa no es factible por que es más difícilcambiar los niveles de algunos factores, por lo que los factoresdifíciles van a las parcelas grandes, mientras que los fácilesvan a las pequeñas.

Ejemplo de hornos y recetas de pastel.


Parcelas Divididas

La clave para construir los modelos de los diseños de parcelasdivididas es identificar los diferentes tamaños de las unidadesexperimentales e identificar sus correspondientes estructurasde diseño y de tratamientos.

Las suposiciones de los modelos de parcelas divididas son lasusuales, en el sentido de que los términos de error para cadauna de los tamaños de ue se distribuyen independientementecomo normales con media cero y una varianza propia.

A continuación se muestran algunos ejemplos tomados devarios libros.


Ejemplo 1 parcelas divididas

Ejercicio 6, cap 14 Kuehl.

Un investigador de una compañía de mariscos quiere estudiarel crecimiento bacterial en ostiones y mejillones sujetos a trestemperaturas de almacenamiento.

Están disponibles nueve unidades de enfriamiento. Seselecionaron aleatoriamente tres unidades para cada una delas temperaturas.

Los ostiones (1) y los mejillones (2) se guardaron por dossemanas en cada uno de las unidades de enfriamiento,después de lo cual se contó el número de bacterias en unamuestra de ostiones y mejillones. Se registró el logaritmo delconteo bacterial.


Ejemplo 1

Unidad Temp (◦C) Marisco y Unidad Temp(◦C) Marisco y

1 0 1 3.6882 5 5 2 7.95191 0 2 0.3565 6 5 1 7.41952 0 1 1.8275 6 5 2 6.38612 0 2 1.7023 7 10 1 9.78423 0 1 5.2327 7 10 2 10.13523 0 2 4.5780 8 10 1 6.47034 5 1 7.1950 8 10 2 5.04824 5 2 5.0169 9 10 1 9.44425 5 1 9.3224 9 10 2 11.0329

ParcelasDivididasMariscos.jmp


Ejemplo 1

Este es un experimento de parcelas divididas en diseñocompletamente al azar.El modelo para este experimento es:

yijk = µ + Ti + Uj(i) + Mk + (TM)ik + ǫijk

i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2

donde:Ti es el efecto de la temperatura (tratamiento de parcelagrande)Uj(i) es el error de parcela grande (aleatorio)Mk es el efecto de marisco (tratamiento de parcela pequeña)(TM)ik interacción temperatura x mariscoǫijk error de parcela pequeña (aleatorio)


Ejemplo 1

Componente E(CM)

Temperatura σ2 + 2σ2U(T ) + 6θ2

T

Error (a)=U(T) σ2 + 2σ2U(T )

Marisco σ2 + 9θ2M

T x M σ2 + 3θ2TM

Error(b) σ2

Las F se construyen de la siguiente manera:

Temperatura: CMT /CMU(T )

Marisco: CMM/CME

T x M: CMTM/CME


Ejemplo 1

F.V. gl SS CM F p-value

Temperatura 2 107.66 53.83 7.33 0.0245Error (a) 6 44.05 7.34Marisco 1 3.71 3.71 3.98 0.0929

T x M 2 2.65 1.32 1.42 0.3125Error (b) 6 5.59 0.93

Total 17 163.66

Las estimaciones de los componenetes de varianza con elmétodo de Momentos son:

Componente Estimación % de varianza total

U(T) 3.21 77.48Error (b) 0.93 22.53

Total 4.14 100.00


Ejemplo 2 parcelas divididas

El dueño de una fábrica de papel está interesado en estudiarel efecto de tres métodos diferentes de preparar la pulpa ycuatro diferentes temperaturas de cocinado (horneado) parala pulpa, en la resistencia del papel.

El investigador decide correr tres repeticiones de esteexperimento factorial, por lo que necesita (3 x 4 x 3) 36observaciones.

Sin embargo, la planta es capaz de hacer solamente 12corridas por día, entonces el investigador decide correr unarepetición del factorial completo en cada uno de los 3 díasnecesarios y considerar los días o repeticiones como bloques.


Ejemplo 2

El experimento se llevó a cabo, en cada uno de los días, de lasiguiente manera:

Se produce un lote de pulpa con uno de los tres métodos bajoestudio. Este lote de pulpa se divide en cuatro muestras ycada muestra se cocina con una de las cuatro temperaturas.Entonces, se produce el segundo lote de pulpa usando otro delos tres métodos, el cual también se divide en cuatro muestrasque se cocinan con las cuatro temperaturas. El proceso serepite usando un lote de pulpa producido por el tercer método.

Los datos son:


Ejemplo 2

Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3Pulpa 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Temp ◦F

200 30 34 29 28 31 31 31 35 32225 35 41 26 32 36 30 37 40 34250 37 38 33 40 42 32 41 39 39275 36 42 36 41 40 40 40 44 45

Inicialmente podríamos considerar que es un experimentofactorial con 3 métodos de preparación (A) y cuatro niveles detemperatura (B) en bloques al azar.


Ejemplo 2

Si este fuera el caso entonces el orden de experimentacióndentro del bloque debería ser completamente aleatorio.

Esto es, dentro de un bloque (día), deberíamos seleccionaraleatoriamente una combinación de niveles (tratamiento) (unmétodo de preparación y una temperatura) y obtener unaobservación, seleccionamos aleatoriamente otro tratamiento yobtenemos una segunda observación, y así, sucesivamente,hasta que se tengan las 12 observaciones en el bloque.

Sin embargo, el investigador no obtuvo sus datos de esamanera. Él hizo un lote de pulpa (con alguno de los métodos)y obtuvo las observaciones para las 4 temperaturas con elmismo lote de pulpa. Dada la economía de preparar los lotes yel tamaño de los lotes, ésta es la única forma factible de hacerel experimento.


Ejemplo 2

Cada bloque se divide en tres partes llamadas parcelasgrandes, y los métodos de preparación se llaman tratamientosprincipales o de parcela grande.

Cada parcela grande se divide en cuatro partes llamadasparcelas pequeñas, y se asigna al azar una temperatura acada una. La temperatura se llama tratamiento de la parcelapequeña.

El modelo lineal para este diseño en parcelas divididas es:

yijk = µ+τi +βj +(τβ)ij +γk +(τγ)ik +(βγ)jk +(τβγ)ijk +ǫijk


Ejemplo 2

donde

µ es la media generalτi efecto de método de preparación de la pulpa (i = 1, 2, 3)βj efecto del bloque (j = 1, 2, 3)(τβ)ij error de parcela grandeγk efecto de temperatura (k = 1, 2, 3, 4)(τγ)ik y (βγ)jk interacciones(τβγ)ijk error de parcela pequeñaǫijk no estimable

parcelasdiv.jmp


Ejemplo 2

Las esperanzas de cuadrados medios son:

Factor E(CM)

Pulpa τi σ2 + 4σ2τβ + 12σ2

τ

Bloque βj σ2 + 12σ2β

PxB (τβ)ij σ2 + 4σ2τβ

Temp γk σ2 + 3σ2βγ + 12σ2

γ

PxT (τγ)ik σ2 + σ2τβγ + 3σ2

τγ

BxT (βγ)jk σ2 + 3σ2βγ

PxBxT (τβγ)ijk σ2 + σ2τβγ

Error ǫijk σ2


Ejemplo 2

Las estadísticas F se construyen de la siguiente manera:

Pulpa: CMP /CMPxB

Temperatura: CMT /CMBxT

P x T: CMPxT /CMPxBxT

B x T: no hay pruebaPxBxT: no hay prueba


Ejemplo 2

FV gl SS CM F p-value

Pulpa 2 128.39 64.19 7.08 0.049Bloque 2 77.56 38.78

PxB=error(a) 4 36.28 9.07

Temp 3 434.08 144.69 42.00 0.0002PxT 6 75.17 12.53 2.96 0.052BxT 6 20.67 3.44

PxBxT=error(b) 12 50.83 4.24Error 0Total 35 822.97


Ejemplo 3

Ejemplo 24.1 Milliken & Johnson

Los datos son los rendimientos en libras de dos variedades detrigo (B) sembradas en cuatro diferentes métodos defertilización.

El área fue dividida en dos bloques, cada uno conteniendocuatro parcelas. Cada uno de los cuatro fertilizantes seasignaron aleatoriamente a una de las parcelas grandes encada bloque.

Entonces, el diseño experimental para las parcelas grandesconsistió en un bloques al azar y un solo factor (Fertilizante),con dos bloques y en cada uno cuatro parcelas grandes.


Ejemplo 3

Cada parcela grande se dividió en dos partes (parcelaspequeñas) y se asignó aleatoriamente una variedad de trigo acada parcela pequeña dentro de la parcela grande.

El diseño experimental de las parcelas pequeñas es unbloques al azar con un solo factor (Variedad), con ochobloques y en cada uno dos parcelas pequeñas.

El modelo para este experimento es:

yijk = µ + Fi + Bj + eij } parcela grande

+ Vk + FVik + ǫijk } parcela pequeña

donde i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2; k = 1, 2 y

eij ∼ NID(0, σ2e) ǫijk ∼ NID(0, σ2

ǫ )


Ejemplo 3

Las esperanzas de cuadrados medios son:

FV gl E(CM)

Fi 3 σ2 + 2σ2e + 4σ2

F

Bj 1 σ2 + 8σ2B

eij 3 σ2 + 2σ2e

Vk 1 σ2 + 8σ2V

FVik 3 σ2 + 2σ2FV

ǫijk 4 σ2

Total 15


Ejemplo 3

Tabla de Análisis de Varianza

FV gl SC CM F p

Fertilizante 3 40.19 13.39 5.80 0.0914Bloque 1 131.103 131.103

FxB-error(a) 3 6.93 2.31

Variedad 1 2.25 2.25 1.07 0.3599FxV 3 1.55 0.52 0.25 0.8612

Error-error(b) 4 8.43 2.11

Total 15 190.45


Ejemplo 3

Usando el método de momentos para estimar loscomponentes de varianza de los dos errores, tenemos:

CMerror(a) = σ2 + 2σ2e

CMerror(b) = σ2

Por lo tanto,

σ̂2 = CMerror(b) = 2.11

σ̂2e =

CMerror(a) − σ̂2

2= 0.1

ej24_1_messy.jmp

parcelas div

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