Paradoja de los gemelos

Gemeloviajero

Gemeloestacionario

Planos desimultaneidad 2

Planos desimultaneidad 1

Ct

X

Diagrama espacio-tiempo quemuestra al gemelo alejarse (primertramo lnea negra) y regresar a la Tierra. En este diagrama laposicin de la Tierra en cada instante se mueve a lo largo del ejevertical. La distancia entre la ltima lnea azul y la primera rojarepresenta no envejecido el tiempo ganado por el viajero.

La paradoja de los gemelos (o paradoja de los relo-jes) es un experimento mental que analiza la distinta per-cepcin del tiempo entre dos observadores con diferentesestados de movimiento.Esta paradoja fue propuesta por Einstein al desarrollar loque hoy se conoce como la teora de la relatividad espe-cial. Dicha teora postula que la medida del tiempo no esabsoluta, y que, dados dos observadores, el tiempo medi-do entre dos eventos por estos observadores, en general,no coincide, sino que la diferente medida de tiempos de-pende del estado de movimiento relativo entre ellos. As,en la teora de la relatividad, las medidas de tiempo y es-pacio son relativas, y no absolutas, ya que dependen delestado de movimiento del observador. En ese contexto esen el que se plantea la paradoja.

1 Formulacin de la paradojaEn la formulacin ms habitual de la paradoja, debida aPaul Langevin, se toma como protagonistas a dos gemelos(de ah el nombre); el primero de ellos hace un largo viajea una estrella en una nave espacial a velocidades cercanasa la velocidad de la luz; el otro gemelo se queda en laTierra. A la vuelta, el gemelo viajero es ms joven que elgemelo terrestre.

De acuerdo con la teora especial de la relatividad, y se-gn su prediccin de la dilatacin del tiempo, el gemeloque se queda en la Tierra envejecer ms que el gemeloque viaja por el espacio a gran velocidad (ms adelantese prueba esto mediante clculo) porque el tiempo propiodel gemelo de la nave espacial va ms lento que el tiem-po del que permanece en la Tierra y, por tanto, el de laTierra envejece ms rpido que su hermano.Pero la paradoja surge cuando se hace la siguiente ob-servacin: visto desde la perspectiva del gemelo que vadentro de la nave, el que se est alejando, en realidad, esel gemelo en la Tierra (de acuerdo con la Invariancia ga-lileana) y, por tanto, cabra esperar que, de acuerdo conlos clculos de este gemelo, su hermano en la Tierra fuesequien tendra que envejecer menos por moverse respec-to de l a velocidades cercanas a la de la luz. Esto es, elgemelo de la nave es quien tendra que envejecer msrpido.La paradoja quedara dilucidada si se pudiese precisarquin envejece ms rpido realmente y qu hay de err-neo en la suposicin de que, de acuerdo con los clculosdel gemelo de la nave, es el gemelo terrestre quien enve-jece menos.

2 Solucin de la paradoja segn lateora de la relatividad especial

A Einstein le cost aclarar esta paradoja unos cuantosaos, hasta que formul la relatividad general y demostrque, ciertamente, es el gemelo de la Tierra quien envejecems rpido.Sin embargo, aunque Einstein resolvi la paradoja en elcontexto de la relatividad general, la paradoja puede re-solverse dentro de los lmites de la teora de la relatividadespecial, como muestra este artculo.Para dilucidar la aparente paradoja es necesario realizarlos clculos desde el punto de vista del gemelo que per-manece en la Tierra y desde el punto de vista del gemeloviajero, y ver que las estimaciones de tiempo transcurridocoinciden examinadas desde ambos puntos de vista.El clculo desde el punto de vista del gemelo terrestre esrutinario y muy sencillo. El clculo desde el punto de vis-ta del gemelo viajero es ms complejo porque requiererealizar clculos en un sistema no inercial. A continua-cin, se presentan las predicciones de la teora aplicadasa ambos gemelos y se prueba que los resultados coinci-

1

2 2 SOLUCIN DE LA PARADOJA SEGN LA TEORA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

den, demostrando que la aparente paradoja no es tal.

2.1 Clculo segn el gemelo terrestre

Un posible esquema del viaje de ida y vuelta del gemelo viajero,en cinco fases: alejamiento acelerado, alejamiento a velocidadconstante, frenado y cambio de sentido, acercamiento a veloci-dad constante, frenado hasta reencontrarse con el gemelo terres-tre.

Las condiciones del experimento requieren que el gemeloviajero se aleje de la Tierra y ms tarde regrese, lo cualnecesariamente implica tener en consideracin acelera-ciones positivas y negativas. Simplicadamente, supon-dremos que el experimento puede llevarse a cabo en 5etapas:

1. En el instante de tiempo t = 0 el gemelo viajero partecon "(pseudo)aceleracin (medida por el gemelo dela Tierra) w = F/m constante que lo aleja de ella. Semueve aceleradamente entre los instantes medidospor el gemelo terrestre t = 0 y t = T1, llegando a lavelocidad V.

2. Cuando el gemelo viajero llega a una velocidad Vapaga los motores de su nave, y sigue alejndose dela Tierra, ahora a velocidad constante. Durante es-ta etapa comprendida entre los instantes t = T1 y t= T1+T2 el gemelo viajero se aleja de la Tierra avelocidad V.

3. Despus de un tiempo viajando a velocidad unifor-me el gemelo viajero pone en marcha los motores desu nave en sentido contrario y desacelera con la mis-ma aceleracin con la que aceler, as transcurridoun tiempo de deceleracin T1 (medido por el geme-lo en la Tierra) la velocidad ser nula, y transcurri-do otro intervalo T1 la velocidad ser -V (donde elsigno negativo indica que la velocidad es en sentidocontrario al que utiliz en su viaje de ida).

4. Una vez alcanzada la velocidad -V que hace que elgemelo viajero se aproxime a la Tierra de regresocon velocidad uniforme, el gemelo viajero perma-nece viajando aproximndose a la Tierra durante unintervalo de tiempo T2.

5. Finalmente, para poderse reencontrar con su geme-lo en la Tierra, el gemelo viajero desacelera, hastallegar a la Tierra en reposo, eso requiere una ace-leracin igual a las anteriores aplicada durante unintervalo de tiempo T1.

Por construccin la duracin del viaje medido por el ge-melo situado en la Tierra, es la suma de los tiempos decada etapa, ya que hemos denido esas etapas a partirde lecturas del gemelo en la Tierra, para este gemelo laduracin del viaje ha sido:

Tviaje = T1 + T2 + 2T1 + T2 + T1 =4T1 + 2T2

Ahora podemos comparar qu tiempo estima el gemelode la Tierra que habr medido su gemelo viajero. Paraello procedemos por etapas. En la primera etapa el tiem-po que el gemelo de la Tierra estima ha transcurrido pa-ra el gemelo viajero, usando la relacin entre la (pseu-do)aceleracin y la velocidad en un movimiento acelera-do relativista, viene dado por:

T1 =R T10

q1 v2(t)c2 dt =R T1

01q

1+w2t2

c2

dt =

cw ln

wT1c +

q1 +

w2T 21c2

Entre los instantes tiempo t = T1 y t = T1+T2 (medidospor el gemelo terrestre) la nave espacial se mueve convelocidad uniforme V por tanto:

T2 =R T1+T2T1

q1 v2(t)c2 dt =q

1 V 2c2R T1+T2T1

dt = T2r1+

w2T21c2

Juntando los resultados anteriores, en el momento del en-cuentro de acuerdo con los clculos del gemelo terrestre,l y su gemelo viajero habrn notado tiempos diferentesde viaje dados por:8>:

Tviaje = 4T1 + 2T2

Tviaje = 4 T1 + 2 T2 =4c

wln"wT1

c+

r1 +

w2T 21c2

#+ 2T2

"r1 +

w2T 21c2

#1

Es sencillo comprobar que para cualesquiera valores dew, T1 y T2, el segundo tiempo es siempre menor que elprimero: Tviaje Tviaje > 0 , y por tanto, segn el ge-melo terrestre l mismo envejecer ms que el gemeloviajero.

2.2 Clculo segn el gemelo viajero 3

2.2 Clculo segn el gemelo viajeroLos clculos en el sistema de referencia no inercial delgemelo viajero son ms complicados, aunque conducenexactamente al mismo resultado anterior. Todo ello sinnecesidad de salirse del mbito de la teora de la relativi-dad especial. Para este clculo introducimos las coorde-nadas (t; x) asociadas al observador no inercial cuya re-lacin con las coordenadas usadas por el gemelo terrestrees:

(1)

8>:x = xc2

w

"r1 +

w2t2

c2 1

#t = t; y = y; z = z

Durante la primera etapa del recorrido, el gemelo viajeroest sometido a aceleracin w. El tensor mtrico, hacien-do el cambio de coordenadas a las coordenadas asociadasa su sistema de referencia, es:

(2) g = c21+

w2t2

c2

dtdt 2wtvuut1+

w2t2

c2

dt

dx+ dx dx+ dy dy + dz dz

En este sistema de referencia el gemelo viajero est enreposo y el punto x = 0 se mueve segn una geodsica:

(3) duids + imlumul = 0

A partir de las componentes del tensor mtrico dado por(2) el nico smbolo de Christoel que no se anula es 100y las ecuaciones de movimiento del gemelo terrestre vistopor el gemelo viajero resultan ser:

(4)

8>>>>>:du0

ds= 0 con u1 = u

0

c

dx

dtdu1

ds+ 100u

0u0 = 0 ) d2x

dt2+

wh1 + w

2t2

c2

i 32

= 0

Integrando las ecuaciones de movimiento del gemelo te-rrestre observado por el gemelo viajero viene dado por:

(5) x(t) = c2w1

q1 + w

2t2

c2

Con esas expresiones el tiempo propio, estimado por elgemelo viajero, para la duracin medida por l mismo ypor su gemelo terrestre resultan ser idnticas a las calcu-ladas por el gemelo terrestre:

(6a) T1 =Rd =

R T10

"g00 +

2

cg01

dx

dt 1

c2

dx

dt

2#1/2| {z }

=c

dtc

(6b) T1 =Rd =

R T10

pg00

dtc =R T1

0dtq

1+w2t2

c2

= cw lnwT1c +

q1 +

w2T 21c2

En la segunda etapa del viaje, el gemelo viajero pasa denuevo a ser un observador inercial que se aleja con velo-cidad uniforme del gemelo terrestre. Sin embargo, apa-rece aqu un problema matemtico con la eleccin de lamtrica, y es que los requerimientos fsicos implican quela mtrica de un observador a lo largo de su trayectoriavara de manera continua sin saltos. Eso implica que de-bemos escoger coordenadas adecuadas para la segundaetapa del viaje, que garanticen la continuidad de la m-trica percibida por el gemelo viajero, para que nuestrosclculos tengan sentido. Una posible eleccin de la mtri-ca en ese caso viene dada por:[1]

(7) g = c2r1 V

2

c2dt dt 2V dt

dx+ dx dx+ dy dy + dz dz

Finalmente para calcular la duracin de la segunda etapadel viaje para ambos gemelos, pero haciendo los clculossegn el sistema de referencia del gemelo viajero, tene-mos que seleccionar una forma de la mtrica:

(7a) T2 =Rd =

R T1+T2T1

"g00 +

2

cg01

dx

dt 1

c2

dx

dt

2#1/2| {z }

=c

dtc =

(T1 + T2) T1

(7b) T2 =Rd =

R T1+T2T1

pg00dt =

T2

q1 V 2c2 = T2r

1+w2T21c2

Estos resultados vuelven a coincidir con los clculos quese hicieron desde el sistema inercial del gemelo viajero.Como todas las cantidades vuelven a ser idnticas se cum-ple de nuevo que Tviaje Tviaje > 0 .Esto aclara nalmente que:

1. Tanto segn los clculos y predicciones del sistemainercial del gemelo terrestre como los clculos se-gn el sistema no inercial del gemelo viajero, am-bos concluirn que el gemelo terrestre es quien en-vejecer ms, ya que el tiempo medido durante eltranscurso del viaje es mayor para l.

2. La paradoja puede ser resuelta dentro de la propiateora de la relatividad especial, aunque se requiereel uso de sistemas inerciales y tener precauciones es-peciales para asegurar la continuidad de la mtrica.

4 6 NOTAS Y REFERENCIAS

3 Resolucin de la paradoja en re-latividad general

Aunque la paradoja de los gemelos puede resolverse n-tegramente dentro de la teora especial de la relatividad,resulta interesante considerar el mismo problema desde elpunto de vista de teora de la relatividad general. Usandoel enfoque de esa teora ms general, la parte del viajeen la que el gemelo viajero se mueve aceleradamente sonpercibidas por ste como si estuviera en el seno de uncampo gravitatorio efectivo asociado a la aceleracin,de acuerdo con lo postulado por el principio de equiva-lencia. Este punto de vista est bien representado en la so-lucin que ofreci Einstein de la paradoja en 1918 dentrodel marco de la teora general.[2]

Segn el enfoque de la relatividad general la diferenciaacumulada de tiempo entre los dos gemelos puede ser ex-plicada mediante una dilatacin gravitacional del tiempo.De acuerdo con la relatividad general, la relacin entre lostiempos propios acumulados por dos observadores situa-dos en diferentes puntos de un campo gravitatorio estti-co puede representarse por:

= c2c2

Donde c es la velocidad de la luz y ; en laaproximacin para campos gravitatorios dbiles se puedeidenticar con el potencial gravitatorio clsico. Si ignora-mos los efectos gravitatorios de la tierra y consideramosslo los trminos asociados a la aceleracin del gemeloviajero podemos escribir la anterior ecuacin como:

1 c2

=

1 a dc2

Donde a es la aceleracin y d es una distancia efectivaentre los dos gemelos.Es importante notar que aunque la solucin anterior sellame resolucin segn la relatividad general de hecho serealiza mediante observadores acelerados tal como fue-ron denidos por Einstein en 1907 en el contexto delprincipio de equivalencia y por tanto bsicamente es equi-valente a la solucin de la teora de la relatividad especial.De hecho, recientemente se ha probado que la solucin dela relatividad general para campos gravitatorios homog-neos y estticos y la solucin de la teora de la relativi-dad especial para aceleraciones nitas llevan a resultadosidnticos.[3]

4 Evidencia experimentalContrariamente a la idea ms extendida, la paradoja noes el hecho de que un gemelo envejezca ms rpido queel otro, sino en el razonamiento capcioso que sugera que

los dos gemelos concluiran que es el otro quien envejece-ra ms. Como se ha visto los clculos de los dos gemelosconcuerdan en que ser el gemelo terrestre quien enveje-cer ms.El hecho de que el tiempo transcurra de diferentes mane-ras para diferentes observadores, y que dos observadorespuedan reencontrarse de nuevo en el mismo punto delespacio-tiempo habiendo envejecido uno menos que otrono constituye ninguna paradoja en teora de la relativi-dad, sino que de hecho se trata de un hecho probado.El experimento ms claro que mostr el efecto de dila-tacin temporal no se llev a cabo con un par de geme-los tal como hemos descrito sino con dos relojes idnti-cos. En 1971, J. C. Hafele y R. Keating, subieron variosrelojes atmicos de cesio a bordo de aviones comercia-les durante ms de 40 horas y se compar la lectura deestos con otro idntico en Tierra sincronizado con el pri-mero. El avin despeg e hizo un largo viaje, y aterrizen el mismo punto de salida. Al comparar los dos relo-jes atmicos despus del viaje, el del avin y el de laTierra, ya no estaban sincronizados.[4] El reloj atmicoque haba volado estaba ligeramente retrasado (muy li-geramente pero medible con dichos relojes, la diferenciade tiempos era de unas pocas centsimas de milsima demillonsima de segundo). Tras descontar ciertos efectosgravitatorios secundarios, y asumiendo que no hubo nin-gn error de medida, lo cual se comprob controlandolas condiciones y repitiendo el experimento varias veces,se concluy que la nica explicacin posible vena por lateora de la relatividad de Einstein. Los datos publicadospor la revista Science en 1972 relativos al experimentode Hafele-Keating, dieren segn la direccin de vuelo,y resultaron ser:Hoy en da existen otras explicaciones ms avanzadas ba-sadas en la fsica cuntica y la mecnica estadstica segnlas cuales un objeto sometido a una aceleracin centrpe-ta envejece ms rpido debido a que sufre mayor n-mero de interacciones por unidad de tiempo consigomismo y su entorno. Por ejemplo ciertas partculas ines-tables tardan mucho ms en desintegrarse cuando viajana velocidades ms altas, lo cual se interpreta como que ensu sistema de referencia el tiempo propio transcurre mslentamente.

5 Vase tambin Dilatacin del tiempo Dilatacin gravitacional del tiempo

6 Notas y referencias[1] A. A. Logunov, 1998, Curso de Teora de la Relatividad

y de la gravitacin, Universidad Estatal de Lomonsov,Mosc, ISBN 5-88417-162-5, pp. 154

5[2] Einstein, A. (1918) Dialog ber Einwnde gegen dieRelativittstheorie, Die Naturwissenschaften 48, pp697-702, 29 November 1918 (English translation: dialog aboutobjections against the theory of relativity)

[3] Jones, Preston; Wanex, L.F. (febrero de 2006). Theclock paradox in a static homogeneous gravitationaleld. Foundations of Physics Letters 19 (1): 7585.

[4] Hafele, J.; Keating, R. (14 de julio de 1972).Around the world atomic clocks:observed relati-vistic time gains. Science 177 (4044): 168170.doi:10.1126/science.177.4044.168. Consultado el 18 deseptiembre de 2006.

7 Enlaces externos Experimento de Hafele-Keating (1971) (ingls) FISICA.RU: Espacio,tiempo,materia y vaco: Para-doja de los gemelos

6 8 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

8 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias8.1 Texto

Paradoja de los gemelos Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_los_gemelos?oldid=82985088 Colaboradores: AstroNomo,Sabbut, SpeedyGonzalez, ManuelGR, Dodo, Tano4595, Aracne, Krous~eswiki, Dianai, Petronas, Guanxito, Alpertron, RobotQuistnix,Luisrey89, Yrbot, Euratom, Beto29, MiguelSR, Camima, Denistorres, Gizmo II, CEM-bot, Laura Fiorucci, RoRo, Ignacio Icke, Karshan,Davius, Montgomery, RebelRobot, Rcidte, Thijs!bot, Tortillovsky, Kved, Muro de Aguas, SDJuanma, TXiKiBoT, HodracirK, Pabloa-llo, Rei-bot, Uruk, Sailorsun, VolkovBot, C'est moi, LELAERTIADA, AlleborgoBot, Muro Bot, Gerakibot, SieBot, Anoryat, Loveless,BOTarate, XalD, Prietoquilmes, Jarisleif, Antn Francho, Gian Arauz, Val08367, UA31, AVBOT, MastiBot, Diegusjaimes, Luckas-bot,Terryble234, FariBOT, Markoszarrate, Luis Felipe Schenone, ArthurBot, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Qwertyseba, Igna, Botarel, Tiri-BOT, PatruBOT, Alph Bot, Jorge c2010, El Ayudante, MadriCR, Kasirbot, MerlIwBot, KLBot2, MetroBot, Invadibot, Jarould, BenjaBot,Paul-Eric Langevin, Lectorina y Annimos: 68

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