Microsoft Word - parabola1_entrega

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO FACULTAD DE INGENIERA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS COORDINACIN DE MATEMTICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO FACULTAD DE INGENIERA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS COORDINACIN DE MATEMTICAS

PARBOLA Definicin Es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales. Y p X Parbola P (x,y) Directriz(D) Foco (F) Vrtice d d Eje de la parbola o eje focal

Figura 1. Parbola. dist (P, F)= dist (P, D) PF = PDCaractersticas geomtricas y ecuaciones Vrtice. Es el punto donde la parbola corta a su eje focal. Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vrtice al foco, es la misma que del vrtice a la Directriz. Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parbola. Directriz. Lnea recta donde la dist (P, F)= dist (P, D); PF = PD . Ver figura 1. Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz. Parmetro p. Distancia del foco al vrtice. La ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje X que abre hacia la derecha es: D Y X Parbola P x = -p F(p,0) 0

Ecuacin y2 = 4px Directriz x= -p Figura 2. Parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje X que abre hacia la derecha. La ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje X que abre hacia la izquierda es: Ecuacin y2 = 4px Directriz x= p Figura 3. Parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje X que abre hacia la izquierda. F(-p,0) Y X Parbola P D x = p 0

La ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje Y que abre hacia abajo es: Ecuacin x2 = 4py Directriz y= p Figura 4. Parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje Y que abre hacia abajo D Y Parbola P y = p F(0,-p) X 0

La ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje Y que abre hacia arriba es:

Ecuacin x2 = 4py Directriz y= -p Figura 5. Parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje Y que abre hacia arriba 0 Y Parbola P y = -p F(0,p)

Ejemplo: Obtener la ecuacin, el foco y la directriz de la parbola con vrtice en el origen y contiene al punto B(3,4), adems su eje focal es paralelo al eje X.

Resolucin: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuacin y2 Ecuacin de una parbola con eje focal paralelo o coincidente con el eje X A continuacin se muestra la representacin grfica de parbolas con eje paralelo al eje X y vrtice en V(h,k)

Ecuacin (y - k)2 = 4p(x-h) Directriz x= h - p Figura 6. Parbola con vrtice en (h, k) y eje focal paralelo al eje X. Parbola D P F(h+p,k) V(h,k) 0 X Y

P D Parbola x = h+p V(h,k) Ecuacin )y k( 2 4p(x - h) = Directriz x= h - p F(h-p,k) X Y 0

Figura 7. Parbola con vrtice en (h, k) y eje focal paralelo al eje X. Ecuacin de una parbola con eje focal paralelo o coincidente con el eje Y. A continuacin se muestra la representacin grfica de parbolas con eje paralelo al eje Y y vrtice en V(h,k) Parbola P D y = k-p F(h,p+k) Ecuacin (x - h)2 = 4p(y - k) Directriz y= k - p Y X V(h,k) 0

Figura 8. Parbola con vrtice en (h, k) y eje focal paralelo al eje Y con p > 0. Parbola P y = k+p F(h, k-p) Ecuacin )(x - h2 4p(y - k) = Directriz y= k - p D V(h,k) Y X 0

Figura 9. Parbola con vrtice en (h, k) y eje focal paralelo al eje Y con p < 0. Ejemplo: Determinar las coordenadas del Vrtice, Foco y calcular el lado recto de la parbola de ecuacin y2 y + 4x + 5 = 0 Resolucin: Completando el trinomio al cuadrado perfecto y2 y + + 4x + 5 = 0 factorizando al trinomio al cuadrado perfecto y2 y + se obtiene

Ejemplo: Determinar la ecuacin ordinaria, vrtice y foco de la parbola de ecuacin 3x2 y + 6x + 2 = 0 Resolucin: Agrupando y completando el trinomio al cuadrado perfecto 3(x2 + 2x) = y2 3(x2 + 2x + 1) = y2 + 3 simplificando y factorizando el miembro derecho de la ecuacin 3(x + 1)2 = y + 1 multiplicando por a la ecuacin

Si el lado recto es 4p y en este caso 4p = , se tiene que p = Por lo que la parbola tiene ecuacin (x + 1)2 = y + 1 y tiene su eje focal

Ejercicios:

1. Escrbase la ecuacin de la para la parbola en con vrtice en el origen y foco (0,4).

2. El corte transversal de una lupa es representada por una parbola, cuya ecuacin es. Encontrar y esbozar los elementos de dicha cnica.

3. Hallar la ecuacin de la directriz y la longitud del lado recto de la parbola, 3y2=8x.

Ejercicio de Apertura.

Investiga y Analiza los siguientes conceptos, para elaborar un mapa conceptual: Geometra Analtica Punto Cnicas Circunferencia Parbola Elipse Hiprbola

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