1Matemticas III(Geometra Analtica)

Compilador:Roselin Rodrguez Espinosa

2Matemticas III (Geometra Analtica)Manual de bachillerato

Primera Edicin, 2009

Direccin de educacin a distancia Eduardo Franco Padilla

Coordinador editorialAlan Santacruz Farfn

Revisin Hctor Alejandro Vzquez Ziga

Asesora Pedaggica y CompilacinRoselin Rodrguez Espinosa

Diseo Grfico de forros Karina Ibeth Rodrguez Medina

Formacin para la presente edicinMildreth Alonso Garca

Universidad La ConcordiaDireccin de Educacin a Distancia,Av. Tecnolgico 109 Col. Ejido de Ojocaliente, C.P. 20198, Aguascalientes, Ags.

ISBN pendiente

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra incluido el diseo por cualquier medio, electrnico o mecnico, sin el consentimiento por escrito del editor.

3NDICE

Presentacin

Apoyos didcticos

Objetivo general

UNIDAD I Conceptos bsicos.

Introduccin a los conjuntos.Definiciones de conjunto y subconjunto.Conjunto producto. Concepto de par ordenado.Conjunto R X R. Grfica.Plano Cartesiano.Sistema coordenado unidimensional.Sistema coordenado bidimensional: coordenadas rectangulares.Localizacin de puntos en el plano.Coordenadas polares.Relacin entre las coordenadas polares y rectangulares.Localizacin de conjuntos de puntos en el plano. (vectores en el plano).Concepto de conjunto relacin.Grfica de una relacin.Nocin de funcin y su grfica.Dominio y Codominio.Distancia entre dos puntos.reas de polgonos conocidas las coordenadas de sus vrtices.rea de un tringulo.rea de un polgono.Coordenadas de un punto P que divide a un segmento AB en una razn dada

1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 3. 3.1. 3.2. 3.3.3.4. 4. 5. 5.1. 5.2. 6.

1111141516161718182021232424262829293336

UNIDAD II La Lnea Recta.

Conceptos fundamentales de la recta. Inclinacin, pendiente y coordenadas al origen.Distintos modos de calcular la pendiente: dado el ngulo, dado el vector di-rector de la recta, dados dos puntos, dada la ecuacin de la recta (y=Ax+B)Obtencin de la pendiente conocidas las coordenadas al origen.ngulo formado entre dos rectas.Paralelismo y perpendicularidad.Ecuaciones de la recta.Ecuacin punto-pendiente.Ecuacin general o implcita.Ecuacin de la recta en forma explcita

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2. 2.1 2.2 2.3

393941

42434445454647

42.4 2.5 2.6 2.72.8

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.Ecuacin de determinante.Ecuacin cannica o segmentaria.Forma simtrica de la ecuacin de la recta.Forma normal

UNIDAD III: Sistemas de dos o ms rectas.

Familia de rectas.Familia de rectas que pasan por el punto de interseccin de dos rectas dadas no paralelas (de diferente pendiente).Punto de interseccin entre dos rectas: las rectas son coincidentes, las rectas son paralelas, las rectas son secantes y las rectas que se cruzan. Distancia entre rectas.Distancia de un punto a una recta.Distancia del origen a una recta.Distancia entre dos rectas paralelas.Rectas y puntos notables del tringulo.Ecuaciones de las mediatrices y circuncentro.Ecuaciones de las alturas y ortocentro.Ecuaciones de las medianas y baricentro. Ecuaciones de las bisectrices e incentro.

1. 1.1.

2.

3. 3.1.3.2.3.3. 4.4.1.4.2.4.3 4.4.

UNIDAD IV: La Circunferencia

Obtencin de la ecuacin de la circunferencia: con centro en el origen y con centro en cualquier punto.Puntos comunes a una circunferencia y a una recta.Condicin para que la ecuacin general de segundo grado en dos variables x e y represente una circunferencia.

1.

2.3.

UNIDAD V: La Parbola.

Ecuacin en forma ordinaria o cannica.Elementos de la parbola: Vrtice, foco, directriz, parmetro y lado recto.Ecuaciones de la parbola: cuyo vrtice est en el origen, cuyo vrtice no coincide con el origen.(Traslacin del eje)Ecuacin de la parbola en forma general.Obtencin de la ecuacin de la parbola.Clculo de los parmetros de la parbola dada su ecuacin.

1.1.1. 1.2.

2. 3. 4.

4748485151

5354

55

595960606161636465

77

8084

919293

949698

5UNIDAD VI: La Elipse

1. 1.1.

1.2. 1.3. 2. 3. 4. 5.

5.1. 5.2. 5.3.

Ecuacin en forma comn o cannica de la elipse.Elementos de una elipse: Centro, vrtices, focos, ejes mayor y menor, ejes de simetra, centro de simetra, distancia focal, radios vectores y excentricidad.Ecuaciones de la elipse cuyo centro est en el origen.Ecuaciones de la elipse cuyo centro no est en el origen.Ecuacin en forma general.Obtencin de la ecuacin.Clculo de los parmetros de la elipse dada su ecuacin.Condiciones para que una ecuacin del tipo Ax+Cy+Dx+Ey+F=0 sea una elipse.Ecuacin que representa una elipse real.Ecuacin que no tiene representacin en el plano (Elipse imaginaria).Ecuacin que representa un punto.

UNIDAD VII: La Hiprbola.

1. 1.1.1.1.11.1.21.1.32.

UNIDAD VIII: Estudio General de las Cnicas.

Obtencin y discusin del discriminante (Discriminante)Inecuaciones

1.2.

107107

108112114114116116

117117117

121124124124125133

137138

Componentes de la hiprbolaEcuaciones de la Hiprbola Hiprbola con focos F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0. Hiprbola con focos en F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0. Ecuacin en forma Comn o Cannica de la Hiprbola. Anlisis de la ecuacin de segundo grado

6

7PRESENTACIN

La rama de las matemticas cuyo objeto de estudio son las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio recibe el nombre de geometra. Esta disciplina apela a los sistemas axiomticos para representar la realidad. De esta manera, utiliza artificios matemticos formados por smbolos que le permiten crear cadenas, que, a su vez, se relacionan mediante ciertas reglas y generan nuevas cadenas.

Existen distintas clases de geometras, como la descriptiva, la proyectiva, la plana y la geometra del espacio. En el caso de la geometra analtica, se encarga del estudio de las figuras a partir de un sistema de coordenadas, utilizando los mtodos propios del anlisis matemtico y del lgebra.

La geometra analtica pretende obtener la ecuacin de los sistemas de coordenadas a partir de su lugar geomtrico. Por otra parte, esta disciplina permite determinar el lugar geomtrico de los puntos que forman parte de la ecuacin del sistema de coordenadas.

Un punto del plano perteneciente a un sistema de coordenadas es determinado mediante dos nmeros, que son denominados abscisa y ordenada del punto. De esta manera, a todo punto del plano corresponden dos nmeros reales ordenados y viceversa (a todo par ordenado de nmeros corresponde un punto del plano)

Estas caractersticas permiten al sistema de coordenadas establecer una correspondencia entre el concepto geomtrico de los puntos en el plano y el concepto algebraico de los pares ordenadores de nmeros, sentando las bases de la geometra analtica.Gracias a esta relacin, es posible determinar figuras geomtricas planas a travs de ecuaciones con dos incgnitas.

8APOYOS DIDCTICOS

Son aquellas estrategias de instruccin que apoyan cada aspecto del contenido del programa y su principal objetivo es que el alumno se interese en la construccin de su propio conocimiento a travs de actividades que le permitan la adquisicin del aprendizaje significativo.

Dichos apoyos facilitan la comprensin del contenido por medio de un soporte al desempeo escolar como profesional. Se busca tanto la adquisicin de contenidos para el logro de objetivos como adquirir herramientas de apoyo para el aprendizaje.

Contiene la informacin y desarrollo de cada uno de los temas que integran el programa de la asignatura.

Sesin terica

Icono Apoyos didcticos Definicin

Plantea una serie de ejercicios que el estudiante debe resolver. Adems de que permiten la integracin, aplicacin y repaso de los contenidos, su resolucin sirve como verificador de la asimilacin de los contenidos.

Ejercicios

Es un material de consulta que se utiliza para cualquier temtica y a su vez sirve de apoyo para exponer cualquier tipo de contenido.

Contenidointeractivo

Presentan una muestra en general de un modelo representativo de una variedad de alguna temtica o contenido en general.Ejemplos

Est enfocada a una serie de actividades en donde se pondr a prueba lo que el alumno ha comprendido. Es una forma de regular el avance unidad a unidad, la correcta resolucin es indicativo de del manejo adecuado de informacin requerido para la unidad siguiente.

Autoevaluacin

Son un recurso para la comparacin de respuestas obtenidas, a manera que el alumno obtenga una retroalimentacin de aprendizaje.

Resolucion deejercicios

9OBJETIVO GENERAL

Este texto est planteado para que el alumno de bachillerato sea capaz de comprender que un conjunto de puntos en el plano corresponden a una representacin grfica de una ecuacin matemtica. De la misma manera, pueda diferenciar las caractersticas principales de cada expresin matemtica con respecto a los valores de los coeficientes.

10

11

UNIDAD I

Al trmino de la unidad el alumno:

Definir e identificar los conjuntos y sus operaciones. Conocer las formas de localizacin en el plano.

CONCEPTOS BASICOS

1.Introduccin a los conjuntos.1.1. Definiciones de conjunto y subconjunto.La idea de conjunto se refiere a la agrupacin o coleccin de elementos definidos que tienen una o ms propiedades en comn.

Los objetos que forman un conjunto se les llama elementos del conjunto.Generalmente, los conjuntos se representan con letras maysculas y los elementos que lo conforman con letras minsculas y entre corchetes.

A= {a, b, c, d, e}.

En la matemtica elemental se encuentran conjuntos importantes que son conjuntos de nmeros.

Tenemos que el conjunto universal de los nmeros, es el conjunto de los nmeros complejos. Aqu se listan los principales conjuntos numricos y algunas de sus relaciones.

Nmeros Naturales: Son los nmeros ms simples de los que hacemos uso, se denotan por y estn formados por los nmeros 1, 2, 3, 4, 5... Se denominan tambin nmeros enteros positivos.

CR

QZ

N

0Naturales

Cero

Enteros negativos

Enteros

Fraccionarios

Racionales

Irracionales

Reales

Imaginarios

Complejos

N ={1,2,3,4,....}

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Nmeros Enteros: la insuficiencia de los nmeros naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los nmeros enteros. Se denotan por y estn formados por los nmeros naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los nmeros enteros incluye a los naturales, .

Nmeros Racionales: la insuficiencia de los nmeros enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los nmeros racionales. Se denotan por y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma , donde p y q son enteros y q 0 . Estos pueden ser enteros de la forma donde n es un entero, decimales finitos o decimales infinitos peridicos. El conjunto de los nmeros racionales incluye a los enteros, .

Nmeros Irracionales: la insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un tringulo rectngulo con catetos de longitud 1 lleva a los nmeros irracionales. Se denotan por II y son el conjunto de los nmeros decimales infinitos no peridicos, es decir todos aquellos que no se pueden expresarse de la forma .

Nmeros Reales: es la unin entre el conjunto de los nmeros racionales y los irracionales

Nmeros Complejos: la insuficiencia de los nmeros reales para denotar races de polinomios como 2+1 lleva a la concepcin de los nmeros complejos. Se denotan por C. Las races del polinomio anterior son -1 y - -1, de manera que definimos el nmero para poder trabajar con sus races y solucionar este problema, as: . Todos los nmeros complejos tienen la forma: ,donde a y b son nmeros reales. Denominamos a a parte real del complejo y a ,parte imaginaria. Cuando b = 0 , z es un nmero real, y cuando a = 0 , z es un nmero imaginario puro.

De aqu deducimos que los nmeros reales estn incluidos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:

Estos nmeros se suelen representar como vectores en un grfico donde el eje x es la parte real del nmero y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binmica y de forma polar.

As podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:

Z

NC Z

Z ={...,-3,-2,-1,1,2,3,4,...}

Qpqn

1 NC Z C Q

Q ={ = :p,qZ,q0}pq

pq

Q U II o lo que es lo mismo:NC Z C Q U II C R

ii= -1

z=a + bi bi

NC Z C Q U II C R C C

Z+w= (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)

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El producto de complejos es:

En forma binmica:

En forma polar:

El cociente de complejos es: En forma binmica:

En forma polar:

La raz ensima de un complejo es: En forma polar:

Las races ensimas de un complejo son los vrtices del polgono regular de n lados.

Subconjuntos El conjunto A es un subconjunto de B si y slo si, cada elemento de A es tambin elemento de B.

Si, A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d, e} entonces A es subconjunto de BSi, C = {1, 2, 3} y D = {2, 4, 6, 8} entonces C no es subconjunto de D

Sean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es tambin elemento de B, entonces decimos que: A es un subconjunto de B;

Z+w= (a+bi)+(c+di)=ac+adi+cbi+bidi=(ac-bd)+(ad+cb)i

r s = (rs) +

zw =

a + bic + di

(a + bi)(c-di)(c + di)(c-di)

ac + bdc2 + d2 +

bc - adc2 + d2 i==

rs

=(rs)-

n r =( )n r a+2 kn,k=0,1,2,3,...,n-1

A BCA

UB

A BC

Ejemplos

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B es un superconjunto de A;

Todo conjunto A es un subconjunto de s mismo. Cualquier subconjunto de A que no sea igual a A se denomina propio (cuando puede ser igual a A se denomina impropio). Si A es un subconjunto propio de B, escribimos:

De manera anloga si B es un superconjunto propio de A, escribimos:

El conjunto vaco, denotado como: ={} es un subconjunto de cualquier conjunto. Adems el conjunto vaco es siempre un subconjunto propio, excepto de s mismo.

1.2. Conjunto producto. Concepto de par ordenado.

En teora de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X e Y, denotado por X Y. Es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:

Si los conjuntos involucrados son finitos, la (o nmero de elementos) del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de los conjuntos involucrados:

Par ordenadoUn par ordenado puede ser representado en un Sistema de Coordenadas (par de rectas que se cortan en ngulo recto). Al primer elemento de un par ordenado le llamamos primera coordenada o abscisa y el segundo es la segunda coordenada u ordenada.

Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito usualmente como (a, b). Dos pares ordenados cumplen:(a, b) = (c, d) si y slo si a = c y b = d

El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma de un conjunto X determinado y el segundo de un conjunto Y se llama producto cartesiano de X e Y, escrito X x Y.

A BC

B AC

B CAA U

B

B AC

X x y ={( ,y) X y Y}

X x Y = X Y

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1.3. Conjunto R X R. GrficaEl cuadrado cartesiano de un conjunto X se define como X2 = X X. Un ejemplo de esto es el espacio eucldeo de dos dimensiones R2 = R R, donde R es el conjunto de los nmeros reales; R2 es entonces el conjunto de todos los puntos (x, y) donde x e y son ambos reales. Es decir:

RxR = R2 = { (x, y) / x, y R }

Esto se puede generalizar a un producto cartesiano n-ario sobre n conjuntos X1,..., Xn: Este conjunto se puede identificar con (X1 ... Xn-1) Xn; es un conjunto de n-tuplas.

Anlogamente al cuadrado cartesiano, se pueden usar potencias mayores: R3 = R R R es el espacio eucldeo tridimensional.

Su grfica, por tanto, son todos los puntos posibles (x, y) en un plano bidimensional, donde x e y pertenecen a los reales.

Podemos representar conjuntos RxR como nmeros complejos:

Llamamos nmero complejo a un par ordenado de nmeros reales: z=(a,b), siendo a y b nmeros reales. Es, pues, un elemento del conjunto RxR. Son nmeros complejos: (2 ,3), (-4,5), (-6,-7), ( ,9), etc.

El conjunto de los nmeros complejos lo representaremos por C.

Representacin grfica de nmeros complejos.Consideremos unos ejes cartesianos en el plano.

A cada nmero complejo z=(a,b) le asociamos un vector de origen, el punto O(0,0) y extremo, el punto P(a,b). Recprocamente, a cada vector de origen O(0,0) y extremo el punto P(a,b) le asociamos el nmero complejo z=(a,b).

Afijo de z es el punto P(a,b)

Al eje de abscisas OX se le suele llamar eje real, y al eje de ordenadas OY eje imaginario.

1. Supongamos dibujadas en el plano las bisectrices de los cuatro cuadrantes. Si se traza una circunferencia de centro el origen y radio 3, y se designan por A, B, C y D los puntos de corte de la misma con las bisectrices, cules son los nmeros complejos de afijos A, B, C y D?

X1 xx Xn={( 1,..., n) 1 X1 n Xn}.

EJERCICIO

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2.Plano Cartesiano. La teora de Descartes se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de representar en forma de curva plana cualquier ecuacin algebraica de dos incgnitas, utilizando el mtodo de las coordenadas.

Por coordenadas de un punto del plano, Descartes entenda un par de nmeros que medan las distancias de dicho punto a dos rectas perpendiculares entre s.

En un sistema de referencia ortonormal, a cada punto P del plano le corresponde un vector , tal que:

A los coeficientes x e y de la combinacin lineal se les llama coordenadas del punto P.

De esta forma se consegua en vez de determinar un punto geomtricamente, determinarlo por medio de dos nmeros, por eso se suele decir que es una aritmetizacin del plano.

Antes de Descartes, cuando se planteaba una ecuacin con dos incgnitas se deca que el problema era indeterminado, pues no se poda determinar el valor de las incgnitas simultneamente.

Descartes consider el problema de una manera diferente. Propuso que la x fuese considerada como la abscisa del punto y la y como la ordenada. Entonces la ecuacin f(x,y)=0 queda perfectamente determinada como una curva en el plano.

La geometra analtica es aquella parte de la matemtica que, aplicando el mtodo de las coordenadas, estudia los objetos geomtricos por medios algebraicos.

2.1Sistema coordenado unidimensional

Sobre una recta fijamos un punto O, al cual se acostumbra llamar origen. Un sentido (de los dos que tiene esta recta) lo designaremos como positivo y el otro como negativo. Sobre l designaremos un segmento unidad, as diremos que dicha recta est metrizada (o que en ella podemos medir distancias).

OP

OP = xi + yj

Y

y

i

o i x

P(x,y)

X

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Se llama abscisa de un punto P de una recta metrizada a la medida del segmento OP, tomando como unidad. Dicha medida, la consideraremos positiva cuando el sentido es acorde con el positivo y negativa en caso contrario.

2.2. Sistema coordenado bidimensional. Coordenadas rectangulares.Un sistema coordenado cartesiano bidimensional est construido por dos rectas infinitas que se cortan entre s, generando un ngulo recto, es decir rectas que son perpendiculares al punto de corte. Este punto recibe el nombre de origen de coordenadas, estas rectas infinitas contienen el conjunto infinito de nmeros reales.

El eje en sentido horizontal de derecha a izquierda se denomina eje (x, x1) o tambin denominado eje de las abscisas, la recta vertical se denomina como (y, y1) o tambin denominado eje de las ordenadas.

Estos ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes (I, II, III, IV). Donde los valores de x e y son ambos positivos se conoce como cuadrante I; donde x e y son negativo y positivo es el cuadrante II; donde x e y son ambos negativos es el cuadrante III; y donde x e y son positivo y negativo es el cuadrante IV (en sentido contrario a las manecillas del reloj). Resumiendo:

252

32-

-3 -2 -1 0 1 2 3

1- +

Q(q) 0 A(1) P(p)

Del origen hacia la derecha del eje de las x los valores son positivos desde 0 a + infinito. Del origen hacia la derecha del eje de las x los valores son negativos desde 0 a - infinito. Del origen de las coordenadas hacia arriba del eje de las y los valores son positivos, del origen hacia + infinito. Del origen de las coordenadas hacia abajo del eje de las y los valores son negativos, desde 0 hacia - infinito.

Y

2

1

21 3

-2

-1-2-3 -1

-Y

X-X

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La distancia de un punto al eje de las ordenadas se llama abscisa del punto y su distancia al eje de las abscisas se llama ordenada del punto. La abscisa y la ordenada del punto son las coordenadas cartesianas del punto.

2.3. Localizacin de puntos en el planoPara la ubicacin de cualquier punto en el plano, nos valemos de un par ordenado de nmeros reales (x, y) de tal manera que el valor de (x) corresponde siempre al valor de las abscisas y el punto (y) al valor de las ordenadas. Estos valores al ser una pareja ordenada de nmeros reales son un valor no permutable.

Por ejemplo, ubicar el punto cuyas coordenadas son -3 y 1. Por convencin el nmero que se menciona primero es la abscisa y el segundo la ordenada. La notacin empleada para indicar que la abscisa es -3 y la ordenada 1 es (-3, 1).

Indicaciones fcilesSe toma cada par ordenado y se observa el valor y el signo que tiene x colocando una lnea perpendicular al eje x, en dicho valor. Se toma el valor y, se observa el signo que tiene y se coloca una lnea perpendicular al eje y en dicho valor. Donde se cruzan esas lneas, es donde se encuentra el punto (x, y) buscado. En el resultado final, generalmente se omiten dichas lneas perpendiculares.

2.4. Coordenadas polares.En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y). Estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se interceptan los dos ejes coordenados.

-10

II

IIIIV

I10

5

00-5 5 10

-,+

P(-2,-3) -5

-10-,-

+,+

+,-

}PAbcisa Ordenada

origen Coordenadas

P(3,-6)

(x,y)

Y

2

1

21 3

-2

-1-2-3 -1

-Y

X-X

P (-3,1)

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Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares. En este sistema se necesitan un ngulo y una distancia (r). Para medir el ngulo en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Sistema de coordenadas polares con varios ngulos medidos en grados.Si queremos localizar un punto (r, ) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, despus trazar una lnea con un ngulo de inclinacin y, por ltimo, localizamos el punto de interseccin entre la circunferencia y la recta; este punto ser el que queramos localizar. De manera ms precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y es el ngulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la coordenada radial mientras que el ngulo es la coordenada angular o ngulo polar.

Localizacin de un punto en coordenadas polares.

En la figura siguiente se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la lnea OL sobre la que se miden los ngulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ngulo sobre el eje OL.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no est presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un nico punto del plano puede representarse con un nmero infinito de coordenadas diferentes

El punto (3, 60) indica que est a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ngulo de 60 sobre OL. El punto (4, 210) indica que est a una distancia de 4 unidades desde O y un ngulo de 210 sobre OL.

90120

150

180

230

240

270300

330

0

30

60

0 1 32

1552.65

P=(2.65,155) r=2.65 0=155

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2.5. Relacin entre las coordenadas polares y rectangulares.En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ngulo del vector de posicin sobre el eje x.

Conversin de coordenadas polares a rectangularesDefinido un punto en coordenadas polares por su ngulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Conversin de coordenadas rectangulares a polaresSi se tiene un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y se quiere convertir en coordenadas polares (r,), necesitas resolver un tringulo del que conoces dos lados.

(Aplicando el Teorema de Pitgoras) Ejemplo: qu es (12,5) en coordenadas polares?

=r cos

y=r sin

r= 2 + y2

(4, 210)

r

0 1 L

r

(3, 60)

Los puntos (3,60) y (4,210) en un sistema de coordenadas polares.

y

M

r cos x

r

r sin

r5

12

21

Usamos el teorema de Pitgoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): r2 = 122 + 52 r = (122 + 52) r = (144 + 25) = (169) = 13Se usa la funcin tangente para calcular el ngulo: tan( ) = 5 / 12 = atan( 5 / 12 ) = 22.6

As, las frmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,) son: r = (x2 + y2) = atan( y / x )

3.Localizacin de conjuntos de puntos en el plano.El plano, por ejemplo, la pantalla del ordenador o la hoja de papel sobre la que escribimos, lo consideramos formado por puntos.

Los puntos en el plano no los definimos, los representamos y los nombramos con las letras maysculas del alfabeto y los localizamos en el plano utilizando un sistema de referencia.

Un sistema de referencia son dos rectas perpendiculares entre s que llamamos ejes y se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje de abcisas y al vertical eje de ordenadas.

Sobre cada eje se establece una unidad para medir. No tiene que ser la misma que establece una correspondencia entre cada punto del eje y un nmero real y entre cada nmero real y cada punto del eje.

Un sistema de referencia y localizacin de un punto en el plano. Ejemplos

Coordenada Y

Eje de Ordenadas

Eje de Absisas

A(x, y)

Coordenada X

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Un punto del plano queda determinado por su coordenada x y por su coordenada y. En el caso de la figura anterior, las coordenada del punto A son: coordenada x=7, coordenada y= 5 y escribimos A(7, 5). Ejemplo: En la siguiente grfica, Qu puntos podemos distinguir?

P (1,1); Q (4,3); R (5,2)

Vectores en el planoLlamamos vector al par ordenado de puntos AB. Es idntico al segmento rectilneo orientado, o sea, recorrido desde A hasta B. Al primer punto lo llamamos origen; al segundo, extremo. Para distinguirlos en el dibujo se pone una flecha. Entre los vectores se cuentan los pares de puntos idnticos AA, que son los vectores nulos.

Realmente lo que nos interesa de estos elementos son su magnitud (mdulo), direccin y sentido. De forma que todos los vectores que tengan la misma magnitud, direccin y sentido, los agrupamos en una clase que origina un nuevo objeto al que llamamos vector libre y que podemos representar por cualquiera de sus elementos, cualquiera de ellos representa a la clase.

A los vectores libres los representamos por letras minsculas del alfabeto, en ocasiones coronadas por una flecha. Dado un sistema de referencia los vectores libres quedan determinados por un par de nmeros reales, llamados sus componentes.

0 1 2 3 4 5

P

Q

R

1

2

3

4

Componente x

Componente y

A (3, 7)v (-5, 3)

B (-2, 4)

v (-5, -3) v(-3, -3)

Son el mismo vector libre:Igual magnitud, direccin y sentido

23

vector queda determinado dando su origen y su extremo o dando sus componentes, mediante la siguiente frmula:

Observacin: No hay que confundir un punto con un vector, ambos se determinan por un par de nmeros reales, pero conceptualmente son muy diferentes.

3.1.Concepto de conjunto relacin.Una relacin R ,de los conjuntos A1,A2.......,An es un subconjunto del producto cartesiano

Una relacin binaria es una relacin entre dos conjuntos.

El concepto de relacin implica la idea de enumeracin, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas (secuencia ordenada de objetos)

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relacin son iguales: A1=A2=...=An en este caso se representa A x A x...x A como An, pudindose decir que la relacin pertenece a A a la n.

Tipos de relaciones En las relaciones se diferencian los tipos segn el nmero de conjuntos en el producto cartesiano, que es el nmero de trminos de la relacin:

Relacin unaria: un solo conjunto Relacin binaria: con dos conjuntos Relacin ternaria: con tres conjuntos Relacin cuaternaria: con cuatro conjuntos ... Relacin n-aria: caso general con n conjuntos

Dados A (a1,a2) y B(b1.b2)y v=AB { x=b1-a1y=b2-a2A(3,7)yB(-2,4) {x=-2-3=-5x=4-7=-3 v(-5,-3)

En el caso de la figura aterior:

RC A1 X A2 X...X

R(a1,a2....,an) o bien (a1,a2 ,....,an)R

RCAn

RCA,R(a)RCA1xA2,R(a1,a2)RCA1xA2xA3, R(a1,a2,a3)

RCA1xA2....x An, R(a1,a2,....,an)

RCA1xA2xA3,A4, R(a1,a2,a3,a4)

Observar en la figura como el vector v tiene los mismos componentes, independientemente de que en cada uno el punto origen y el punto extremo, son distintos. En adelante cuando nos refiramos a un vector, nos referimos a un vector libre. Como se puede observar en la figura, un

24

3.2.Grfica de una relacin.La grfica de una relacin entre nmeros reales consiste de todos los puntos del plano cuyas coordenadas estn en la relacin. Si la relacin est definida por una ecuacin, la grfica de la ecuacin (lugar geomtrico) es lo mismo que la grfica de la relacin y consiste de los puntos cuyas coordenadas son el conjunto solucin de la relacin.

3.3.Nocin de funcin y su grfica.Dados dos conjuntos A y B, llamamos funcin a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Funcin real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de nmeros reales, llamado dominio, otro nmero real. f : D R x f(x) = y El subconjunto en el que se define la funcin se llama dominio o campo existencia de la funcin. Se designa por D.

El nmero x perteneciente al dominio de la funcin recibe el nombre de variable independiente.

Al nmero, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y= f(x)

Se denomina recorrido de una funcin al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x). x

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x R / f (x)}El recorrido es el conjunto de elementos que son imgenes.

R = {f (x) / x D}

E

x

-2

-1

01

2

0

1

2

f(x) = x

25

f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) } es una funcin.

Cuando un conjunto viene dado por una lista de pares es fcil ver si es una funcin o no; sin embargo, si el conjunto est definido por una propiedad puede ser muy complicado determinar si es funcin o no. Depender de los conocimientos matemticos que se posean.

1.f = { (x, y) / y=2x } es una funcin, pues el valor de y viene determinado de forma nica a partir del de x.

2.g = { (a, b) / a2+b2=9 } no es una funcin, pues los pares (0, 3) y (0, -3) tienen igual la primera coordenada y distinta la segunda coordenada. 3.h = { (a, b) / a2+b3=16 } es una funcin; basta con despejar b y observar que viene determinado por a de forma unvoca.

4.k = { (x, y) / x3+y3=16xy } no es una funcin; demostrar esta afirmacin no es fcil.

5.Ahora estamos en condiciones de representar cualquier funcin de la forma y = f(x). Por ejemplo podemos representar una funcin lineal de primer grado y = mx +b cuya representacin resulta en una lnea recta en que m es la pendiente y b el intercepto sobre el eje de las y, o una parbola del tipo y = x2, o una circunferencia x2 + y2 = r2, o una elipse etc.

Representacin Grfica de FuncionesSi f es una funcin real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la funcin f le corresponde en el plano cartesiano un nico punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definicin de la funcin.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la funcin es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la funcin. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la grfica. Uniendo estos puntos con lnea continua se obtiene la representacin grfica de la funcin.

x 1 2 3 4 5 f(x) 2 4 6 8 10

E

g = { (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, -1) } no es una funcin, pues los pares (1, 2) y (1, 3) tienen igual la primera coordenada y segn la definicin debera ser 2=3, lo cual no es cierto.

Ejemplo

26

Los dos principales elementos de una funcin son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).

3.4.Dominio y Codominio.Dominio de la funcin polinmica entera:El dominio es R, cualquier nmero real tiene imagen. f(x)= x2 - 5x + 6 D=R

Dominio de la funcin racional:

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un nmero cuyo denominador sea cero)

Dominio de la funcin radical de ndice impar:El dominio es R.

Se llama Dominio de una funcin al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de una funcin del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f). Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una funcin al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la funcin. El recorrido de una funcin del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).

F(x)= 2x-5x2-5x+6

x2-5x+6=0 D=R - {2,3}

D=Rf(x)= x2- 5x + 6

D=R- {2,3}f(x)= x2- 5x + 6x

3

0 2 4 60

2

6

4

8

10

27

Dominio de la funcin radical de ndice par: El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la funcin logartmica:

El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.Dominio de la funcin exponencial:El dominio es R.Dominio de la funcin seno:El dominio es R.Dominio de la funcin coseno: El dominio es R.

f(x)= x2-5x + 6

x2 -5x +6 0 D=( ,2]U 3, )]

+ +-

2 3

f(x)= x2-5x+6x+4

{x2- 5x + 6 0x+4=0 (- ,2 U 3, )]]X-4D=(- ,-4)U(-4,2 U 3, )] ]

F(X)= X+4X2-+X+6

X2-5X+6 0 D=( ,2)U(3, )

F(X)= X+4X2-+X+6

D= -4,2)U(3, )]X+4

X2-5X+6 0

- - ++

-4 2 3

28

4.Distancia entre dos puntos.

Distancia entre dos puntos:

Frmula: Demostracin grfica:

Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2)

- Determinar a con la condicin de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) distan una unidad.

- Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

A(x1,y1) B(x2,y2)

d(A,B)= (X2-X1)2 + (y2 - y1

d(AB)= (-3-2)2 + (2-1)2 = 26u

AB =1 (1-0)2+(2-a)2=1

1+4-4a+a2=1 a=2

Ejemplo

Ejemplo

A (X1, Y1)

B (X2, Y2)

B (X2, Y2)

x1 x2

P2

P1 x1 -x2

X

Y

y1 -y2

R

29

Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales:

- Clasificar el tringulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Si:

5. reas de polgonos conocidas las coordenadas de sus vrtices.5.1. rea de un tringulo.

El rea de un tringulo es igual a base por altura dividido entre 2. La altura es la recta perpendicular trazada desde un vrtice al lado opuesto (o su prolongacin).

d(0,a)= (1-1)2+(7-2)2= 5

d(0,B)= (4-1)2+(6-2)2= 5

d(0,C)= (1-1)2+(-3-2)2= 5

AB = (3-4)2+(0-3)2= 10

BC = (0-3)2+(1-0)2= 10

AC = (0-4)2+(1-3)2= 32 = 4 2

AC =BC AC Isceles

AC AB BC+ Acuatngulo2 2 2

AC AB BC+ Rectngulo2 2 2=

AC AB BC+ Obtusngulo2 2 2

32 10 + 10 Obtusngulo

A= bh2

C

B

A

2 40

ah

c

b

30

Hallar el rea del siguiente tringulo:

rea de un tringulo conociendo las coordenadas de los vrtices El rea de un tringulo es igual a la mitad del producto escalar, en valor absoluto, del vector perpendicular a por el vector .

- Calcular el rea de un tringulo cuyos vrtices son: A(2,0), B(3,4) y C(-2,5).

Tambin puede utilizarse la Frmula determinante de Gauss, til para calcular cualquier rea poligonal en el plano:

A= 11.72 = 38.5 cm2

AB AC

A = 12 nAB AC

AC = (-2-2,5-0) = (-4,5)

A=12

4(-4)+(-1)5 =12

-16 - 5 = u221 2

AB=(3-2,4-0)=(1,4) NAB=(A,1)

Ejemplos

Ejemplos

11 cm

11 cm

7.5 cm7 cm

A

B

C

h

31

Sea A1, A2, A3,........, Un polgono de n lados cuyos vrtices nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas : ; ; ,........,

Entonces el rea de la regin poligonal correspondiente, es el valor absoluto de la expresin:

.....(1)Obsrvese en la determinante se repite, al final, el primer par ordenado correspondiente a la coordenada de .

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

I D De donde:

Luego el valor de la determinante estar dada por:

A1(x1;y1) A2(x2;y2) A3(x3;y3)An(xn;yn)

S

(x1,y1)

A1

D=x1y2+x2y3+......+xny1I=y1x2+y2x3+.......+ynx1

x1 y1x2 y2x3 y3. .. . . .xn yn

12s=

x1 y1x2 y2x3 y3. .. . . .xn yn

x1 y1x2 y2x3 y3. .. . . .xn yn

= D - I

32

S = 12 D-I u2

....(2)Por lo tanto sustituyendo (2) en (1):

....(3)

Notas: a) La eleccin del primer vrtice en el polgono es completamente arbitrario. b) La expresin (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cncavas)

Calculo del rea de un tringulo dado por sus coordenadas , , . Haciendo un grfico:

Elijamos como primer vrtice al par ordenado luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido antihorario sern:

Reemplazando estos valores en (1):

(-3;-2) (7;2) (1;6)

(-3;-2)

(x1,y1) (-3;-2)=

(x2,y2) (7;2)=

(x3,y3)=(1;6)

Ejemplos

Y

X

(1, 6)

(-3, -2)

(7, 2)

-3 -2x2 7 21 6-3 -2

12s=

33

S=12 34-(-30)

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente : I DLuego los valores de D y de I respectivamente sern:Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el rea de dicha regin ser :

Por lo tanto:

5.2.rea de un polgono.rea de un cuadriltero conociendo las coordenadas de los vrticesPara hallar el rea de un cuadriltero cualquiera, lo dividimos en dos tringulos cuya suma de reas ser la pedida.

Calcular el rea del cuadriltero de vrtices A(1, 0), B(3, 1), C(2, -1) y D(0, 4).

S=32

(-3-1,1 -0)=(2,1)AB= nAB =(1,-2)

(2-1,-1 -0)=(1,-1)AB=

=1 11+(-2)(-1) =1 1+2 =3 u2 2 2 2

AABC

Ejemplos

D

B

A

C

0

0

4

2

-2

34

rea de un paralelogramo conociendo las coordenadas de los vrticesComo una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos tringulos iguales, basta hallar el rea de un tringulo y multiplicarla por dos.

-Calcular el rea del paralelogramo que tiene de vrtices: A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0) y D(-6, 2).

El rea es igual a dos veces el rea del tringulo ABC.

Ejercicio de aplicacin de la Formula determinante de Gauss a un polgono de n lados:Hallar el rea de la regin pentagonal cuyos vrtices son: ; ; ; y .

Solucin:Hacemos un grfico aproximado:

(-6;16) (16;6) (-10;-4) (12;12) (20;-8)

(0-1,4-0)=(-1,4)AD=

=1 1(-1)+(-2)4 =1 -1-8 =9 u2 2 2 2

AABC

3 2

AABC 92+ == 6u2

Ejemplos

D

B

A

C 0

0 42-2

-2

-4-6

1 3 15 1 1-2 0 1

12A= =18u

2

(-6, 16)

(12 , 12)(16, 6)

(20, -8)(-10, -4)

y

x

35

Elijamos como primer vrtice al par ordenado Luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido antihorario sern:

Reemplazando estos valores en (1):

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teora: I D Luego los valores de D y de I respectivamente sern:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3), el rea de dicha regin ser:

Por lo tanto:

Tambin podemos obtener el rea triangulando el polgono irregular y sumando el rea de dichos tringulos

(12;12)

(x1;x1)=(12;12)

(x2;x2)=(-6;16)

(x3;x3)=(-10;-4)(x4;x4)=(20;-8)(x5;x5)=(16;6)

D=(12)(16)+(-6)(-4)+(-10)(-8)+(20)(6)+(16)(12)=688

I=(12)(-6)+(16)(-10)+(-4)(20)+(-8)(16)+(6)(12)=368

S=488

12 12-6 16-10 -420 -816 612 12

12s=

12s=

688 - (-368)

T1T2

T3

T4

36

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

6.Coordenadas de un punto P que divide a un segmento AB en una razn dada.Consideremos el segmento cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) (fig. 4.3.)

Sea M (x, y) un punto sobre el segmento y llamemos (1) Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en trminos de y de las coordenadas de los puntos P1 y P2. Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan los tringulos rectngulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos escribir:

(2) Ahora, de (1)

(Observe que cuando M se mueve de P1 a P2, vara de manera continua tomando valores entre 0 y 1)

En consecuencia, que al sustituir en (2)

resulta: De donde, (3) y (4)

P1P2

P1P2 =P1MP1P2

y2-yy-y1

=x2-xx-x1 P1M

MP2=

1-

MP1P1P2

=

P1MMP2

=1-

y2-y x2-x 1-y-y1 x-x1

= =

1- y2-y y-y1

= x2-x 1-x - x1

=

01)Hallar el permetro y el rea de un tringulo sabiendo que las coordenadas de sus vrtices son: a (2,2), b (11,2) y c(8,8).(Resp: permetro = 3.(3+2 2 + 5 );rea = 27)

02)Calcular el permetro y el rea de un rmboide cuyos vrtices estn ubicados en un sistema ortogonal sobre las siguientes coordenadas: p(-1;5),q(3;12),r(7;9)y s (7:4).(Resp.:permetro =10+2 65 ;rea =40)

Y

X

P1

P2

M H

Q

(X1, Y1)

(X, Y)(X2, Y2)

X - X1

X2 - X

Y2 - Y

Y - Y1

37

Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente: (5)

Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema.

Observaciones:Ntese que para cada valor de las ecuaciones (5) y (6) nos dan un punto sobre el segmento P1P2.

En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en notacin de conjunto en la siguiente forma:

Ntese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de , entonces

En consecuencia, e O sea:

x=x1+(x2-x1) (6)

,0 1

P1P2={(x,y)R2 x=x1+(x2-x1) y=y1+(y2-y1) ;0 1}P1P2

=P1MP1P2

= 12

x=x1+12

(x2-x1) y=y1+12

(y2-y1)

y=y1+(y2-y1)

Xm= (x2 + x1)

2

ym= (y2 + y1)

2

Punto medio(xm, ym)

38

39

LA LNEA RECTA1. Conceptos fundamentales de la recta.1.1. Inclinacin, pendiente y coordenadas al origen.El ngulo que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ngulo de inclinacin de la recta L (fig. 4.5.) Si L es una recta no vertical, la pendiente de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ngulo de inclinacin. Es decir, (1).

Siendo

El nmero m se conoce tambin con el nombre de coeficiente angular de la recta L. Observaciones: Si la recta L es vertical, su ngulo de inclinacin es 90 y por lo tanto su pendiente m = tan 90 no est definida.

(a) (b)

fig. 4.5.

UNIDAD II

Al trmino de la unidad el alumno:

Conocer e identificar los parmetros principales de una recta, as como expresar la ecuacin que la define.

(0

m=tan

0 , 2

y

x

y

x

L P(x2, y2)

S(x2, y2)R(x1, y1)

40

Si P1(x1, y1) y P2 (x 2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L (fig. 4.5 (b) ), entonces de acuerdo a la definicin de pendiente se tiene:

(2)

Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto de ellas.

Ntese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas.

La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, segn el ngulo de inclinacin de la recta, as:

Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ngulo.

Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ngulo. De igual manera: Si q = 0 entonces m= 0 (fig. 4.6. (a)) Si 0 < q < 90 entonces m > 0 (fig. 4.6. (b)) Si 90 < q < 180 entonces m < 0 (fig. 4.6. (c))

fig. 4.6.

m=tan = y2-y1 x2-x1

x2 x1

P2(x2,y2)

y2-y1

r

x2-x1P1(x1,y1)

y y y

(a) (b) (c)x

x x

41

El valor de la pendiente de una recta no depende de la eleccin particular de los puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.

Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y slo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.

Origen de coordenadasEl origen de coordenadas es el punto donde se cortan los ejes X e Y; se nombra por la letra O y sus coordenadas son (0, 0).

1.2 Distintos modos de calcular la pendiente:

Pendiente dado el ngulo:

Pendiente dado el vector director de la recta:

Pendiente dados dos puntos:

Pendiente dada la ecuacin de la recta (y=Ax+B):

- La pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2, 1), B(4, 7) es:

m=tg

m=v2v1

m= y2-y1x2-x1

m=-AB

m=7-14-2

=3

Ejemplo

0

42

-La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la divisin por 0 no est definida.

1.3. Obtencin de la pendiente conocidas las coordenadas al origen.Frmula de la ordenada al origen de la recta que pasa por dos puntos:

Frmula de la ordenada al origen de la recta mediatriz de dos puntos:

Frmula de la pendiente perpendicular:

Ecuacin de la recta que pasa por el origenConsidere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ngulo de inclinacin con el eje x (fig. 4.6.)

Tmese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P1, P2, P3. Como los tringulos OP1P1, OP2P2 y OP3P3 son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, y = mx (1) La ecuacin (1) es la ecuacin de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

m=7-21-1

= 50

y1 y2 y3x1 x2 x3

= = = const=tan=m

yx =m

b=y1- mx1

o

b=y2-mx2

bp=ym-mpxp

mp=1m

y

o

P1(x1,y1)

P2(x2,y2) P3(x3,y3)

y1 y3y2P`1 P`2 P`3 x

43

1.4. ngulo formado entre dos rectas.Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ngulos de inclinacin son q1 y q2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ngulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: b1 = b2 = q1 q2 y a1 = a2 = 180 - b1.

Se define el ngulo entrel1 y l2 como el ngulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1. En este caso, el ngulo entre l1 y l2 viene dado por:

b1 = q1 - q2 (1) Fig. 4.14 El propsito ahora es establecer una relacin entre las pendientes de dos rectas y el ngulo entre ellas.

De la igualdad (1) se tiene: tan b1 = tan (q1 - q2) , (2)

Tambin, cot b1 = cot (q1 - q2) , (3) Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:

tan b1 , (2) y cot b1 , (3) Las ecuaciones (2) y (3) expresan la tangente y la cotangente del ngulo b1, entre las rectas l1 y l2 en trminos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.

tan1-tan21+tan1tan2

= 1 2

1+tan1-tan2tan1tan2

= 10

m1-m11+m1m2

= 1 2

1+m1.m2 m1-m2

= 1 0

y

2

L1

2

1 L21

2

1

x

44

1.5. Paralelismo y perpendicularidad.Teorema (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo):

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: - l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2 - l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1

Demostracin:

En la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones

fig. 4.15.

Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.

En efecto, como l1 || l2, entonces los ngulos q1 y q2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tanq1 = tanq2, es decir, m1 = m2 .

Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2) que tanb1 = 0, y de aqu, b1 = q1 - q2 = 0, de donde q1 = q2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.

- Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces y cot b1 = cot . Sustituyendo este ltimo valor en (3) obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aqu se deduce que m1. m2 = -1.

Recprocamente, si m1. m2 = -1, entonces y como m2=tanq2 y m1=tanq1, se tiene

que , donde sin prdida de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor inclinacin q1. Teniendo en cuenta que tanto q1 como q2 son ngulos positivos y menores que 1800, concluimos que: q1 = 900 + q2, de donde q1 q2 = 900 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares. Observaciones: - Si las rectas l1 y l2 estn dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que y , entonces las condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente forma:

l1 || l2

y

x

L1

L2

1 2

L2

L1

x

y

1 = 2 2=01+m1m2m1 - m2

=

m1=-1m2

tan1=-1tan2

=-cot2

m1=-AB

m2=-A1B1

A BA1 B1

= AB1-A1B=0

45

l1 l2 Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condicin necesaria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones

Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes

2.Ecuaciones de la recta.Definicin de recta:Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una direccin dada .

2.1 Ecuacin punto-pendientePartiendo de la ecuacin continua la recta ,

Quitamos denominadores y despejamos:

Entonces:

Y se obtiene:

AA1+BB1=0

A1 B1A B

= A1=KA,B1=KB,C1=KCC1C

=

v

P(X1,Y1)V

r

x-x1 v1

=y-y1v2

(x-x1)v2=(y-y1)v1

y-y1=v2v1

(x-x1)

m=v2v1

y-y1=m(x-x1)

46

- Calcular la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

- Calcular la ecuacin de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinacin de 45.

2.2 Ecuacin general o implcita de la rectaPartimos de la ecuacin continua la recta

Quitamos denominadores:

Trasponemos trminos:

Transformamos:

Y obtenemos la ecuacin general de la recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

- Escribe la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

Ejemplos

Ejemplo

m=2+34+2 =

56

y+3= (x+2)56

tg 45=1

y+3=x+2

x-x1 y-y1 v1 v2

=

(x-x1)v2=(y-y1)v1

v2x-v2x1=v1y-v1y1

v2x-v1y+v1y1-v2x1=0

A=v2 B=-v1 C=v1y1-v2x1

Ax+By+C=0

V =(-B,A)

m=- AB

AB=(-2-1,5-2)=(-3,3) x-1 y-2 -3 3

=

47

- Calcular la ecuacin de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

2.3 Ecuacin de la recta en forma explcita Si despejamos y en la ecuacin general de la recta, se obtiene la ecuacin explcita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El trmino independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.

Calcular la ecuacin en forma explcita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

2.4 Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos Si los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) determinan una recta r. el vector director de la recta es:

Cuyos componentes son:

Sustituyendo estos valores en la ecuacin continua, obtenemos la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.

La ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:

Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la ecuacin de la recta:

x+y-3=0

y-5=-2(x-1) y-5=-2x+2

2x+y-7=0

y=- A CB B

x-

y=mx+b

y-5=-2(x-1) y-5=-2x+2

y=-2x+7

V =AB

v1=x2-x1 v2=y2-y1

x-x1 y-y1x2-x1 y2-y1

=

x-1 y-2-2-1 5-2=

y-y1=y2-y1x2-x1

(x-x1)

48

2.5 Tambin puede escribirse en forma de determinante, as:

2.6 Ecuacin cannica o segmentaria La ecuacin cannica o segmentaria de la recta es la expresin de la recta en funcin de los segmentos que sta determina sobre los ejes de coordenadas.

a es la abscisa en el origen de la recta.b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se pueden obtener de la ecuacin general. Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma cannica en los siguientes casos:1.Recta paralela a OX, que tiene de ecuacin y = n2.Recta paralela a OY, que tiene de ecuacin x = k3.Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuacin y = mx.

- Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuacin.

=0

x y 1x2 y1 1x2 y2 1

(0,b)

b

0 a

(a,o)

x ya b

=1+

Ejemplos

x y5 3

=1+

49

x+2 y-1 3 -4

=

- Hallar la ecuacin cannica de la recta que pasa por P(2, 1) y tiene por vector director v = (3, 4).Hallamos la ecuacin en forma continua:

Pasamos a la general: 4x 8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0 Si y = 0 x = 5/4 = a. Si x = 0 y = 5/3 = b.

- La recta r x y + 4 = 0 forma con los ejes un tringulo del que se pide su rea. La recta forma un tringulo rectngulo con el origen y sus catetos son la abscisa y la ordenada en el origen.

Si y = 0 x = 4 = a. Si x = 0 y = 2 = b.

La ecuacin cannica es:

El rea es:

- Una recta pasa por el punto A(1. 5) y determina con los ejes de coordenadas un tringulo de 18 u2 de superficie. Cul es la ecuacin de la recta?Aplicamos la ecuacin cannica:

x y5 54 3

=1+

2

-4 0

x y-4 2

=1+

S=12

(-4)2 =4u2

=11 5a b

+

50

El rea del tringulo es:

Resolvemos el sistema:

- Hallar la ecuacin de una recta que determina sobre los ejes coordenados, segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas, sabiendo que pasa por el punto A(3, 2).

18= 1 ab 2

{b+5a=ab ab=36a=6 b=6

b=30a=85

x y6 6

+ =1 x+y=6

x y6 305

+ =1 25x+y=30

4

420

0

2

2 6 8

P

b

2b

3 22b b =1

3+4=2b b=72 a=7

x y7 7 2

+ =1 x+2y-7=0

51

2.7 Forma simtrica de la ecuacin de la rectax/a + y / b = 1. Donde a es el intercepto con x y b el intercepto con y.2.8 Ecuacin normal

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector: = (x - a1, y - a2)

El vector es un vector unitario y perpendicular a r.

Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular sern

Como y son perpendiculares, su producto escalar es cero:

Si en la ecuacin general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:

x(x1,y)

A(a1,b1)

na

r

Ax

n

n = 1v

(A,B)= ( )A2 + B2 A2 + B2,A BAx n

Ax n. =A(x-a1) B(y-a2)A2 + B2 A2 + B2

+ =0

A(x-a1) B(y-a2)A2 + B2 A2 + B2

+ =0x y+-Aa1 -Ba2

A2 + B2

Aa1+Ba2+C=0 C=-Aa1-Ba2

52

- Hallar la ecuacin normal de la recta r 12x - 5y +26 = 0.

Otra forma de expresar la ecuacin normal de la recta es:

- Hallar la ecuacin de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio.

Este vector es perpendicular a la recta buscada.

A BA2 + B2 A2 + B2

+ =0x y+ C

A2 + B2

Ejemplos

=(12,-5) = 122+(5)2=13nn

r=12 5 2613 13 13

=0X- +

Ax n =A(x-a1)+B(y-a2)=0

A(x- a1)+B(y-a2)=0

Ejemplos

xM ( )5+-1 6+8 2 2, xM((3,7)=(1-5,8-6)=(-4,2)AB

-4(x-3)+(y-7=0

53

SISTEMAS DE DOS O MS RECTAS1.Familia de rectasComo ya estudiamos con anterioridad, de acuerdo con el teorema de perpendicularidad y paralelismo: dos rectas con un punto comn, no tienen la misma pendiente (son paralelas). As mismo, dos rectas de igual pendiente, son paralelas y por consiguiente no pueden tener ningn punto en comn.

Se infiere que dos rectas de distinta pendiente siempre se cortan en algn lugar del plano.

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:

-l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2 -l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1

Considere la lnea recta de la ecuacin y = mx + b (1)

Una vez fijados los valores de m y b en (1), queda determinada una recta de pendiente m e intercepto b con el eje y.

Al fijar solamente m, la ecuacin (1) contiene nicamente un parmetro b y representa una familia de rectas paralelas de pendiente m. (fig. 4.19 (a)).

fig. 4.19.

UNIDAD III

Al trmino de la unidad el alumno:

Identificar las familias de rectas. Interpretar las relaciones entre dos o ms rectas en un mismo plano, as como entre un punto y una recta.

y

3

2

1

(a)-1

b=3

b=2

b=1

b=-1 } b(b)

x

m=1/2B

ym=1

54

Ahora, si fijamos b (intercepto con el eje y), la ecuacin y = mx + b representa una familia de rectas que pasan por el punto B(0, b) (fig. 4.19.(b)).

As, por ejemplo, la ecuacin de la familia de rectas de pendiente 2 es: y = 2x + b, b pertenece a R.

El parmetro b es el intercepto de cada una de las rectas de la familia con el eje y. Igualmente la ecuacin de la familia de rectas que pasan por el punto B(0, 2) es y = mx + 2, m pertenece a R.

Ahora, el parmetro m es la pendiente de cada una de las rectas de la familia.

Observacin:

En algunos problemas se puede utilizar la ecuacin de una familia de rectas para obtener la ecuacin de una recta de la familia que satisface una cierta propiedad adicional.

As por ejemplo, si se desea encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, -3) y es paralela a las rectas de la familia 3x + y k = 0 se procede de esta manera:

1.1 Familia de rectas que pasan por el punto de interseccin de dos rectas dadas no para-lelas (de diferente pendiente).Sean l y r dos rectas dadas no paralelas y de ecuaciones A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0 respectivamente.

Entonces, para todo k que pertenece a R, la expresin:

A1x + B1y + C1 + k(A2x + B2y + C2) = 0 (1)

representa una recta (diferente de r) que pasa por el punto de interseccin P(xo, yo) de las rectas l y r.

Ntese que cuando k = 0, obtenemos la ecuacin de la recta l.

fig. 4.20.

1.Se obtiene la ecuacin de la familia de rectas de la que hace parte la lnea que se pide. Como la familia es paralela a la recta y = -3x + k, la pendiente de las rectas de la familia es 3. Luego, y = -3x + b, b pertenece a R es la ecuacin de las rectas de la familia.

2.La recta buscada de la familia es la recta que pasa por el punto P(1, -3). Luego, su intercepto b con el eje y es: -3 = -3(1) + b, de donde b = 0. Asi que la recta pedida es y=-3x.

A1X+B1Y+C1 A2X+B2Y+C2=0

yL

x

=0

55

Para demostrar la afirmacin que indica la igualdad (1), se toma un nmero real k fijo y se escribe (1) en la forma:

(A1 + kA2)x + (B1 + kB2)y + (C1 + kC2) = 0 (2)

que es la forma general de la ecuacin de una recta.

Ntese que ambos coeficientes (A1 + kA2) y (B1 + kB2) no pueden ser cero, porque de ser as, se tendra:

, lo cual es contradictorio puesto que las rectas l y r no son paralelas.

Tmese ahora, ko fijo, ko R y considere la recta de ecuacin: (A1 + koA2)x + (B1

+ koB2)y + (C1 + koC2) = 0 (3) Ahora, (A1 + koA2)xo + (B1 + koB2)yo + (C1 + koC2) = (A1xo + B1yo +C1) + ko(A2xo + B2yo +C2) (4)

Pero como P(xo, yo) es el punto de interseccin de l y r, satisface entonces sus ecuaciones. Esto es, A1xo + B1yo +C1 = 0 y A2xo + B2yo +C2 = 0. En consecuencia (4) se transforma en: (A1 + koA2)xo + (B1 + koB2)yo + (C1 + koC2) = 0 lo que indica que el punto P(xo, yo) est sobre la recta cuya ecuacin es (3).

Se ha demostrado as que la ecuacin de la familia de rectas que pasan por el punto de interseccin de: A1x + B1y+C1 = 0 y A2x + B2y+ C2 = 0 es: A1x + B1y+C1 + k(A2x + B2y+ C2) = 0, k R

Para hallar la ecuacin de una recta n que pase por el punto de interseccin de otras dos rectas dadas l y r, se escribe la ecuacin de la familia de rectas que pasan por el punto de interseccin de l y r y se utiliza la informacin adicional sobre n para hallar el valor del parmetro k.

2.Punto de intercepcin entre dos rectasEn la observacin al teorema sobre paralelismo y perpendicularidad entre rectas, se hizo notar que si dos rectas l1 y l2 cuyas ecuaciones vienen dadas por Ax + By + C = 0,A1x + B1y + C1 = 0,

con ,A, A1, B, B1 0, entonces la proporcin determinaba el paralelismo entre las mismas. Ms an, la relacin establece la coincidencia entre las rectas.

Cuando entonces las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 se cortan o interceptan en un punto nico P(x, y) del plano.

{A1 +KA2=0B1+KB2=0 A1A2 = B1B2

A1A2

=B1B2 A

A =BB1

=CC1

AA1

BB1

56

Las coordenadas x e y del punto de interseccin son la solucin del sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:

Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los mtodos vistos en los cursos de lgebra. Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por y y la recta s por ,Z2) y , la posicin relativa de r y s viene dada por la posicin de , y .

Si hay dos posibilidades:

1.Rectas coincidentes si, .

2.Rectas paralelas si, .

Si hay otras dos posibilidades:

3.Rectas secantes si, .

A1X+B1Y+C1=0

AX+BY+C=0{

A1X+B1Y+C1=0 U=(U1,U2,U3) B(X2,Y2V=(V1,V2,V3) AB u v

u1 u2 u3v1 v2 v3

= =

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 u1 u2 u3

AB u

vrs

x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1 z2 - z1 u1 u2 u1 u3

o

A

B

u

v

r

s

u1 u2 u3v1 v2 v3

x2-x1 u1 v1y2-y1 u2 v2z2-z1 u3 v3

=0

57

4.Rectas que se cruzan si, .

Rectas definidas por sus ecuaciones implcitas

Si:r = rango de la matriz de los coeficientes.r= rango de la matriz ampliada.Las posiciones relativas de dos rectas vienen dadas por la siguiente tabla: Posicin r rCruzadas 3 4Secantes 3 3Paralelos 2 3Coincidentes 2 2

A

Bu

v

r

s

x2-x1 u1 v1y2-y1 u2 v2z2-z1 u3 v3

=0

A

B

u

v

r

s

r={A1X + B1y + C1Z + D1 =0A2X + B2y + C2Z + D2 =0 s={A3X + B3y + C3Z + D3 =0A4X + B4y + C4Z + D4 =0

58

- Hallar la posicin relativa de las rectas r y s.

1.

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implcitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos, las dos rectas se cruzan.

2.

Ejemplos

r=x-1 y z-1 2 1 1

= = s= x y z 1 -1 -1

= =

{x-2y-1=0y-z+1=0x+y=0x+z=0( )M= 1 -2 00 1 -11 1 01 0 1 1 -2 00 1 -11 1 0 0 r=3

( )M= 1 -2 0 10 1 -1 -11 1 0 01 0 1 0 0 r1=41 -2 0 10 1 -1 -11 1 0 01 0 1 0

s= x-1 y-1 z-1 2 1 3

= =r=x+y+z-3=02x-y+z-2=0{

x+y+z-3=02x-y+z-2=0

x-2y+1=03x-2z-1=0

{

59

( )M= 1 1 12 -1 11 -2 03 0 -2 r=301 1 12 -1 11 -2 0

Las dos rectas son secantes.

3.Distancia entre rectas3.1 Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuacin 3 x + 4 y = 0.

( )M= 1 1 1 32 -1 1 21 -2 0 -13 0 -2 1 r1=301 1 1 32 -1 1 21 -2 0 -13 0 -2 1

A

M

rP(P1,P2)

d(P,r)= PM

d(P,r)= Ap1+Bp2+C

A2+B2

Ejemplo

d(P,r)= 32+4(-1)

32+42= 25

60

3.2 Distancia del origen a una recta

- Hallar la distancia al origen de la recta r 3x - 4y - 25 = 0.

3.3.Distancia entre rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

- Hallar la distancia entre r 3 x - 4 y + 4 = 0 y s 9 x - 12 y - 4 = 0.

Ejemplo

d(O,r)= CA2+B2

d(O,r)= -2532+(-4)2

= 25 5 = 5

M

r s

P(P1,P2)

d(r,s) = d(P,s)

Ejemplo

3 9-4 -12= -36 = -36 r s

30 - 4y + 4 =0 y=1

61

- Hallar la distancia entre las rectas:

4.Rectas y puntos notables del tringulo.4.1 Mediatrices y circuncentro

Circuncentro: punto de corte de las mediantrices.Mediatriz: lnea que divide a un segmento en dos partes iguaes, es decir , pasa por su punto medio y es a l.

Ejemplo

P(0,1)r

d(P,s)= 90-121-492+122

=1615

r={x=2-3Ky=1+K s= x+3 y+5 -3 1=r=x+3y-5=0 s=x+3y+18=0

d(r,s)= 18+512+32 =

2310

B(-5,1)

C(0,3)

A(2,1)

62

Ejemplo

Calcular las coordenadas del circuncentro del tringulo de la figura 2 de

vrtices A(2.-1),B(-5,1) y C(0,3)

1.Hallamos las ecuaciones de dos mediatrices

Ecuacin de la mediatriz del lado AC

-Calculamos las coordenadas del punto medio del lado AC

xmedio = =1 y medio = =1 Punto medio AC = (1,1)

=Hallamos la ecuacin de la mediatriz,pasar por el punto medio P(1,1) y su vector director ser el vector normal de la recta AC, por el .

vector director vector normal = vector director mediatriz AC

forma general mediatriz del lado AC x-2y+1=0

Ecuacin de la mediatriz del lado AB

Punto media AB=(-3/2,0) Vector director mediatriz AB=(2,7)

Ecuacin de la mediatriz 14x-4y+21=0

2.Coordenadas del circuncentro:resolveremos el sistema formado por las ecuacones de las dos mediatrices.

Circuncentro

2+0 2

-1+3 2

AC(-1,2) AC(-1,2)x-1 y-1 2 1=

{x-2y+1=04x-4y+21=0 x= -19 -7 12 24y( )-19 -7 12 24,

63

4.2. Alturas y ortocentro

Ortocentro: punto de corte de las tres alturas Alturas: recta que une un vrtice con el lado puesto.

-Calcular las coordenadas del ortocentro del trinulo ABC de la figura 3 de vrtices A(-1,1)B(2,4) YC(4,1).

1-Eciaciones de la altura del lado AC

2-Ecuacin de la altura del lado BC vector (-3,-2), vrtice A(-1.1) -2x+3y-5=0

3-Resolvemos el sistema de las dos alturas para obtener las coordenadas del ortocentro.

En esta actividad puedes cambiar los valores de los vrtices de un tringulo y ver las coordenadas del circuncentro y del ortocentro.

B(2,4)

A(-1,1) C(4,1)

Ejemplo

figura 3

{ vector director (0,5) es el normal del lado AC,por ser Punto : vrtice B(2,4)x-2 y-4 0 -5= -5x+10=0

{-5x+10=0-2x+3y-5=0 ortocentro (2,3)

64

4.3 Medianas y baricentro

B(2,4)

A(-1,1) C(4,1)

baricentro

Baricentro: punto de corte de las tres medidas.Mediana: lnea que un vrtice con el punto medio del lado opuesto.

Ejemplocalcular las cordenadas del baricentro del tringulo ABC de la figura 4 de vrtice A ( -1,1 ), B ( 2,4 ) Y C ( 4,1 ).

Hallar la ecuacin de la mediana del lado AC

1.- Calculamos las coordenadas del punto medio AC

2.- Vector director de la mediana, a partir del punto medio y del vrtice B en este caso.

Ecuacin de la mediana AC

Ecuacin de la mediana AB

Coordenadas del baricentro: resolvemos el sistema de ecuaciones de las dos medianas.

El baricentro es el centro de la gravedad del tringulo. Tambin se puede calcular sumando las 3 x de los vrtices y dividiendo entre 3,y hacer lo mismo con las y

x=-1+4 3 2 2=

1+1 2

=1

Mediana AC: 6x - y - 8 = 0

Mediana AB: - 3x -7y + 19 = 0

x-2 y-41/2 3

=

P ( 3/2,1 )

v ( 1/2,3 )

{6x - y -8 =0-3x - 7y + 19 =0 Coordenadas del baricentro ( 5/3,2 )

65

4.4 Bisectrices - Incentro

Incentro: punto de corte de las tres bisectrices.Bisectriz: recta que divide al ngulo formado por dos rectas en dos partes iguales.

Ecuacin:

EjemploHallar la ecuacin de la bisectriz de las rectas AB y AC del tringulo o de la figura 5.

-Calculamos las ecuaciones de las rectas

-Aplicamos:

Incentro: origina una circunferencia inscrita. Para calcularlo debemos obtener la ecuacin de otras otra bisectriz y resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos bisectrices.

B(2,4)

A(-1,1)

(4,1)

C

Ax+By+C A`x+By+C

(A)2+(B)2A2+B2=

Ax+By+C A`x+By+C

(A)2+(B)2A2+B2=

lado AB: x - y + 2 = 0lado AC: 5y - 5 = 0

x-y+2 5y-5 x-y+2 5y-512 + (-1)2 (0)2+(5)2 2 5=

=

5x+5y+10= 5 2y - 5 2 5x-(5+5 2) y + 10 + 5 2 =0

66

Hallar las ecuaciones de las bisectrices y el incentro del trin-gulo de vrtices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

1-0 10-2 2

= -mAS= y-0=- (x-2)12 x+2y-2=0

-2-1 -3-0 = -1

mAC= y-1=x-0 x-y+1=0

-2-0 2 -3-2 5 =

mCA= y=- (x-2)25 2x-5y-4=0

x+2y-2 2x-5y-45 29

=+-x+2y-2 2x-5y-4 2.236 5.385=

+-

5.385x + 10.770y - 10.770 - 4.472x - 11.180y - 8.944

0.913x + 2;.95y - 1.826 =0

5.385x + 10.77y - 10.770 = -4.472x + 11.180y + 8.9449.857x - 0.410y - 19.714=0

B

A

C

1

-3 -2 -1 10

0

-1

-2

Ejemplo

En primer lugar hallamos las ecuaciones de los lados del tringulo.

Clculo de la bisectriz que pasa por A.

67

Clculo de la bisectriz que pasa por B.

Clculo de la bisectriz que pasa por C.

5.385 - 5.385y + 5.385 = 2.828x - 7.070y - 5.656

2.557x + 1.685y + 11.041 = 0

5.385 - 5.385y + 5.385 = -2.828x + 7.070y + 5.656

8.213x - 12.455y - 0.271 = 0

x+ 2y - 2 x-y -15 2

= +- x+ 2y - 2 x-y -1= +-2.236 1.414

1.414x + 2.828y - 2.828 = 2.236x - 2.236y + 2.236

0.822x - 5.064y + 5.064 =0

1.414x + 2.828y - 2.828 = -2.236x + 2.236 - 2.236

3.650x + 0.592y - 0.592 =0

B

A

C

1

-3 -2 -1 10

0

-1

-2

x - y - 1 2x -5y -4292

= +-x - y - 1 2 x-5y -4= +- 1.414 5.385

68

C

B

A

1

-3 -2 -1 10

0

-1

-2

El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

1- Indique a qu cuadrante pertenece los siguientes puntos.

1. (6,8) 2.(-2,7) 3. (-8,-3) 4. (0,-4) 5.(1,0)

{3.65cx + 0.592y - 0.592 =08.213x - 12.455y - 0.271 =0 I(0.15,0.08)

Ejercicios de la unidades I, II y III.

C

B

A

1

-3 -2 -1 10

0

-1

-2

69

2- Localice los siguientes puntos en la grfica:

1. (-3,-7) 2.(-2, -4) 3. (-1,-1) 4.(0 , 2 ) 5.(1 , 5 ) 6.(2 , 8 ) 7.(3 ,11)

3- Resolver la ecuacin para encontrar sus puntos y coloque stos en la grfica.

1. y = 2x + 1

x Y0

-1 1 2

4- De los siguientes puntos, cules son soluciones a la ecuacin y = -3x + 9? 1. ( 2, 3) 2. (5, 4) 3. (1,9) 4. (0,9) 5.(4,-3)

70

5- Buscar el intercepto de x y y de las siguientes ecuaciones:

1. y = 4x + 6 2. y = -3x + 7 6- Buscar la pendiente de los siguientes puntos:

1. (2,5) y (-3,8) 2. (4,-8) y (-7,0) 3. (1,0) y (-2,-4)

7- Buscar la ecuacin de los puntos dados. 1. (5,0) y (2,-1) 2. (-3, -4) y (6,0) 8- Hallar la ecuacin general de la recta que en el plano XY satisface las siguientes condiciones, graficar:

a) Pasa por el punto P(1;2) y tiene pendiente m = 2.b) Pasa por los puntos P(3;-2) y Q(-1;4).c) Pasa por el punto S(-1;-2) y tiene pendiente m = -3/5.

9- Hallar las ecuaciones implcita y explcita de las siguientes rectas y graficar:a) Pasa por el punto P(2;2) y es paralela a la recta de ecuacin 3.x - 2.y + 1 = 0.b) Pasa por el punto P(-1;3) y es perpendicular a la recta de ecuacin -3.x/2 + 5.y/6 - 8 = 2.c) r pasa por el punto Q(2;3) y r pasa por el punto Q(-2;-3), sabiendo que son perpendiculares.

10- Hallar el punto de interseccin y graficar: r: x + y + 1 = 0 r: x - y + 1 = 0

11- Hallar la distancia del punto Q(-2;-3) a la recta de ecuacin 8.x + 15y - 24 = 0.

12- Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6).

13- Buscar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).

14- Buscar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3,-7) y tiene pendiente de 8.

15- Hallar la ecuacin en forma explcita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

16- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5).

71

17- Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

18- Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones:

1. 2x + 3y - 4 =02. x - 2y + 1= 03. 3x - 2y -9 = 04. 4x + 6 y - 8 = 05. 2x - 4y - 6 = 06. 2x + 3y + 9 = 0

19- Son secantes las rectas r x +y -2 = 0 y s x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.

20- Clasificar el tringulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).

21- Clasificar el tringulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3,0) y C(0, 1).

B

C

A

C

B

A

72

22- De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vrtice D.

23- Se tiene el cuadriltero ABCD cuyos vrtices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

24- De un paralelogramo se conoce un vrtice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). Tambin sabemos que otro vrtice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

1. Los otros vrtices.2. Las ecuaciones de las diagonales.3. La longitud de las diagonales.

A

D

C

B

B

C

D

M

A

C

D

M

Ao

B

73

25- Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta s 2x + y + 2 = 0.

26- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2).

27- La recta r 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

28- Dado el tringulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuacin de la mediana que pasa por el vrtice B.

r

A

s

C

M

BA

r

74

29- Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vrtices de un tringulo issceles ABC que tiene su vrtice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vrtice C.

30- Calcular la ecuacin de la recta perpendicular a r 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto P(-3,2).

31- Una recta de ecuacin r x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.

32- Hallar el ngulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:

1.- r1 = 3x + 4y - 12 = 0 r2 = 6x +8y + 1 = 0

s1 = 2x + 3y - 5 = 0 s1 = 3x - 2y + 10 = 0

r

A

C

B

r

A

M

B

75

33- Una recta es paralela a la que tiene por ecuacin r 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. Cul es su ecuacin?

34- Dado el tringulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del tringulo.

35- Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuacin r 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. Cul es su ecuacin?

36- Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5).

37- Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:

Coordenadas del punto medio M del segmento

Coordenadas del punto P sobre el segmento tal que

38- Escribir la ecuacin de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura 39- Usando la forma general, determine la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1) 40- Dada la recta l cuya ecuacin en su forma general viene dada por: 3x + 4y 5 = 0. Determinar:

a) La ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l. b) La ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.

B

hBhc hA

A

C

O

P1 P2

P1 P2 P1 P2

P1P = 13

76

41- Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes cooordenados.

42- Calcular la distancia del punto P(x1, y1) a una recta l.

43- a) Encontrar la ecuacin de la recta que contiene el punto P(17, 12) y es perpendicular a la recta de ecuacin 5x + 12y 60 = 0.

b) Encontrar el punto de interseccin de las rectas perpendiculares del literal a). c) Encontrar la distancia del punto de interseccin obtenido en b) y el punto P dado en a).

B

y

H

b

A

a

d

0 x

x

21

1

ryL

Rm

2

2-1

-2

77

LA CIRCUNFERENCIA1.1 Obtencin de la ecuacin de la circunferencia: con centro en el origen y con centro en cualquier punto.La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia comn se llama radio. As que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos C(C;r) es el conjunto siguiente:

C (C; r) = {P tal que = r}

Supngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .

Entonces: Por lo tanto:

Es decir,

As que C(C(h, k); r) = {P(x, y) R2/ (x h)2 + (y k)2 = r2} y la ecuacin (1) representa la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.

Si C est en el origen, h = k = 0 y la ecuacin de la C(o; r) es x2 + y2 = r2. La C(0, 5) tiene por ecuacin: x2 + y2 = 25. (1)

El punto A(3, 4) pertenece a C(0, 5) ya que: 32 + 42 = 25

De (1) se deduce que:

Lo que muestra que:

para todo x que pertenece a [-5, 5], el punto

y

k

hx

C(h,k)

P(x,y)

( x - h )2 + ( y - k )2 = r2CP = r

(x-h)2 + (y-k)2 =r

y= +- 25 - x2

x2 + 25 - x2( )

UNIDAD IV

78

est en la semicircunferencia superior y que

para todo x que pertenece a [-5, 5], el punto

est en la semicircunferencia inferior.

Por otra parte, si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuacin:

x2 + y2 - Ax + By + C = 0

x2- 25 - x2( )

y

(-5,0)

5

0 3

4

(5,0)

(0,5)

(3,4)A

x

( x - a )2 + ( y - b )2 = r2

x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

A = - 2a B = - 2b c = a2 + b2 - r2

79

Donde el centro es:

y el radio cumple la relacin:

Ecuacin reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuacin queda reducida a:

x2 + y2 = r2

Supngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .

Entonces: Es decir,

Por lo tanto:

As que C(C(h, k); r) = {P(x, y) R2/ (x h)2 + (y k)2 = r2} y la ecuacin (1) representa la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r. Si C est en el origen, h = k = 0 y la ecuacin de la C(o; r) es x2 + y2 = r2.

r2= ( )2A2 + ( )2B2 -CC A B 2 2( )- -

( x - h )2 + ( y - k )2 = r2