ParábolaMarta Lía Molina

Año 2014

La ParábolaParábola

Se obtiene cuando el plano secante

no es perpendicular al eje de la

superficie cónica, es paralelo a una

generatriz y no pasa por el vértice.

La Parábola

La Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo (F) llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

d(P,F) = d(P,D) = constante

Los elementos mas importantes de la parábola son:

Foco: Es el punto fijo F.Directriz: Es la recta fija DParámetro: Es la distancia del foco a la directriz y se designa por pVértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría.Lado Recto: Es la cuerda Focal AB perpendicular al eje focal de la parábola cuya medida es |2p|

Ecuación de la Parábola con vértice en el origenSupongamos que el eje focal de la parábola coincide con el eje X y que el vértice se encuentra en el origen del sistema cartesiano.Por lo Tanto,las coordenadas del foco son (p/2,0)y la directriz tiene como ecuación x = -p/2

Si P(x,y) es un punto de la parábola se cumple que d(P,F) = d(P,D)

Reduciendo resulta la ecuación canónicay² = 2px

•Si p > 0 , el foco de la parábola esta en la parte positiva del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia la derecha•Si p < 0 , el foco de la parábola esta en la parte negativa del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia la izquierda

Si el eje de simetría de la parábola coincide con el eje Y,las coordenadas del foco son F(0,p/2)y la ecuación de la directriz es y = -p/2

Su ecuación canónica es

x² = 2py

Se denomina lado recto (L.R.) de la parábola a la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola.

Si la ecuación de la parábola es y² = 2px , como A (p/2,y) pertenece a esta curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación, es decir,y² = 2p . p/2 = p² , de donde y = p, entonces la medida del lado recto es:

LR = 2p

Ecuación General de la parábolaSi consideramos una parábola con vértice V (0,0), su ecuación canónica es y² = 2px.Si le aplicamos una traslación T(h,k) , obtenemos la ecuación principal de la parábola con vértice V(h,k):

(y - k)² = 2p(x - h)

Desarrollando los cuadrados de binomio y ordenando la ecuación principal, se obtiene la ecuación general de la parábola:

y² + Dx + Ey + F = 0

Si el eje focal o eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación principal es de la forma:

(x - h)² = 2p(y - k) o su equivalente, la ecuación general:

x² + Dx + Ey + F = 0

EjemploDetermina la ecuación de la parábola de foco F(1,3) y vértice V(-2,3)•Su ecuación es de la forma (y - k)² = 2p(x - h)•d(V,F) = p/2 = 3 entonces p =6•Reemplazando:(y - 3)² = 2. 6 (x + 2)y² - 6y + 9 = 12x + 24•La ecuación de la parábola es:

y² - 6y - 12x - 15 = 0

Propiedad Focal de la Parábola Quizá la propiedad más importante de la parábola es su propiedad óptica. Considérese un espejo en forma de copa con una sección transversal parabólica. Si se coloca una fuente de luz en el foco los rayos de luz son relejados por el espejo en el que todos los rayos de luz son paralelos al eje, Este hecho se utiliza en el diseño de faros. En forma inversa, si los rayos de luz paralelos (como los de una estrella)llegan a un espejo parabólico serán “enfocados” hacia el foco. Este es la base para el diseño de un tipo de telescopio reflejante.