parabola

Profr. Efran Soto Apolinar.

Caracterizacin geomtrica

En la seccin Lugares geomtricos se muestra cmo caracterizar una parbola geomtricamente, atravs de la solucin de un ejemplo.

Ahora vamos a generalizar la solucin del ejemplo resuelto en esa seccin.

La parbola como lugar geomtrico

Ejemplo 1Un punto P(x, y) se mueve sobre el plano de manera que su distancia al punto F(h, k+ p) seasiempre la misma que la distancia a a la recta: ` : y k + p = 0. Encuentra la ecuacin querepresenta a este lugar geomtrico.

Algebraicamente, las condiciones del problema son:|PF| = |PM|

(x h)2 + (y k p)2 =

(x x)2 + (y k+ p)2(x h)2 + (y k p)2 = (x x)2 + (y k+ p)2

Despus de simplificar obtenemos:

(x h)2 = 4 p(y k)

Esta es la ecuacin en su forma ordinaria que representa al lugar geomtrico. Geomtricamente, tenemos la siguiente situacin:

x

y

M(x, k p)

V(h, k)

x=

h

F(h, k)P(x, y)

y = k p

(xh) 2

=4 p(y

k)

Ahora que hemos deducido la ecuacin de la parbola en forma ordinaria, vamos a hacer unparntesis para tener una herramienta para recordar hacia dnde abre, solamente observando laecuacin.

A la ecuacin:x2 = +4 py

le corresponde una parbola como la siguiente:

www.aprendematematicas.org.mx 1/5


x

y

Podemos recordar la ecuacin a partir de la parbola si recordamos que la parbola abre en el

x2 = +4 |p|ysentido positivo (p > 0) del eje y.De manera semejante, podemos leer las grficas y relacionarlas con sus ecuaciones respectivas:

x

y

x2 = +4 |p|y

x

y

y2 = +4 |p|x

x

y

x2 = 4 |p|y

x

y

y2 = 4 |p|x

Elementos de la parbola

El siguiente grfico indica los elementos de la parbola.



x

y

Eje

Lado recto

Directriz

Parbola Foco

Vrtice

Definicin1

Lado rectoEs el segmento de recta con extremos sobre la parbola y que es perpendicular al eje y pasa por el foco.

Como la distancia entre el vrtice V(h, k) y foco F(h, k + p) es |p|, entonces la distancia entreel foco y la directriz es 2 |p|. Por la definicin de parbola, esa misma distancia es la que hayentre cualquier extremo del lado recto y la directriz. Pero esa es la misma distancia de cualquierextremo del lado recto al foco, que representa el punto medio del lado recto. Por eso, la longituddel lado recto es 4 |p|.Entonces, los extremos del lado recto son: M(h + 2|p|, k + p) y N(h 2 |p|, k + p). Esto es asporque para encontrar un extremo nos trasladamos hacia la derecha 2|p| unidades y para encon-trar el otro extremo nos recorremos esa misma distancia, pero hacia la izquierda.

Observa que hemos escrito |p| en lugar de p, porque p se considera como una distancia dirigida,es decir, puede ser negativa.

Nota: En esta discusin se ha considerado solamente la parbola vertical que abre hacia arriba.De manera semejante podemos desarrollar una discusin para la parbola vertical que abre haciaabajo y las parbolas horizontales que abren hacia la derecha y hacia la izquierda (respectiva-mente).

Formas de trazo a partir de la definicin

Para dibujar la parbola con regla y comps podemos utilizar uno de varios mtodos conocidos.

Aqu solamente revisaremos uno para que puedas realizar el trazo fcilmente.

Para esto vamos a requerir una escuadra con un ngulo recto (cualquiera) y una cuerda. La de unzapato estar bien para el trazo.

1. Primero debemos definir dnde estarn el foco de la parbola (el punto F) y la directriz. Trza-los en tu cuaderno. El foco no debe estar sobre la directriz.

2. Si deseas, aunque no se requiere, tambin puedes trazar el eje de la parbola como una rectaperpendicular a la directriz que pase por el foco.

3. Ahora coloca una orilla de la escuadra sobre la directriz y fija un extremo de la cuerda en elfoco.

4. Mide la distancia desde el foco hasta la directriz usando la cuerda. Recuerda que debe serperpendicular a la directriz.



5. Fija el otro extremo de la cuerda a un punto sobre la escuadra.

6. Con tu lpiz, listo para dibujar la parbola, coloca la punta del lpiz tensando la cuerda contrala orilla de la escuadra, que deber estar alejada una distancia igual a la distancia entre el focoy la directriz (p) para iniciar el trazo.

Conforme vayas moviendo la escuadra, el lpiz debe ir trazando una parbola.

Se supone que el lpiz mantiene la cuerda bien tensa y que los extremos de sta no se mueven,sino que estn fijos, uno sobre el foco de la parbola y el otro en un punto de la escuadra.

La siguiente figura ilustra la situacin:

Directriz

W

F

En este caso la longitud de la cuerda es igual a la longitud del lado de la escuadra sobre el cualse dibuja la parbola.

T debes identificar la forma de la parbola al ver la ecuacin. As ser ms fcil resolver losproblemas de esta unidad.

CrditosAlbert

EinsteinTodo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no ms.

Este material se extrajo del libro Matemticas I escrito por Efran Soto Apolinar. La idea es com-partir estos trucos para que ms gente se enamore de las matemticas, de ser posible, mucho msque el autor.

Autor: Efran Soto Apolinar.

Edicin: Efran Soto Apolinar.

Composicin tipogrfica: Efran Soto Apolinar.

Diseo de figuras: Efran Soto Apolinar.



Productor general: Efran Soto Apolinar.

Ao de edicin: 2010

Ao de publicacin: Pendiente.

ltima revisin: 31 de julio de 2010.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efran Soto Apolinar. Mxico. 2010.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemticas de todos los niveles y seandivulgados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribucin gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrnico:

[email protected]


parabola

Documents