Parbolas y Ecuacin de segundo grado Viviana Soto Daniela Valenzuela Daniela ReyesIII B 2010

En matemtica, la definicin original de parbola corresponde a la seccin cnica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz, pero actualmente se define como el lugar geomtrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.

La parbola aparece en muchas de las ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las grficas de ecuaciones cuadrticas son parbolas.

Tiene una gran importancia en Fsica y que se ajusta a la descripcin o a la representacin matemtica de muchos fenmenos.

Pero la parbola tambin tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parbolas a nuestro alrededor.

Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u horizontal describe un movimiento parablico bajo la accin de la gravedad. Un ejemplo es el caso de una pelota que se desplaza botando.

Las aplicaciones de las parbolas son bsicamente aquellos fenmenos en donde nos interesa hacer converger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parablicas, las lmparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parbolas, hornos solares. Los micrfonos de ambiente en algunos deportes tambin tienen forma paraboloide.

Las parbolas tienen una propiedad. Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parbola, algunos haces de luz sern reflejados por la parbola y todos estos rayos sern perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lmparas sordas o en los faros de los automviles estos estn formados por un paraboloide (parbola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide.

En algunas lmparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergirn o convergern. Este principio funciona tambin en las antenas parablicas. Un satlite enva informacin a la Tierra, estos rayos sern perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satlite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la informacin. Tambin en los telescopios se usa esta propiedad.

Otro ejemplo es el caso de los chorros y las gotas de agua que salen de los caos de las numerosas fuentes que podemos encontrar en las ciudades. El desplazamiento bajo la accin de la atraccin gravitatoria de la Tierra permite obtener bonitos arcos parablicos. Tambin se aprecia el mismo caso en piletas ubicadas en edificios, hoteles, etc.

Arcos parablicos en dos de las fuentes que pueden encontrarse en el Paseo del Prado de Madrid.

Tambin obtenemos formas parablicas cuando un haz luminoso de forma cnica se proyecta sobre una pared. Las lneas parablicas de la imagen se han obtenido proyectando un haz de luz sobre una pared blanca.

Las parbolas tambin estn presentes en la arquitectura.

Faro de un automvil

Estructuras de algunos puentesAl saltar la cuerda

En una montaa rusaAl jugar ftbol

Y en diferentesDeportes

Tambin en otros casos una parbola es la curva que adopta un cable que tenga que soportar una carga, un peso, uniformemente distribuido.Como por ejemplo: El Golden Gate. (Puente de San Francisco)

Diferentes tipos de antenasAntena Parablica de Televisin

Una de las propiedades ms importantes de las formas parablicas es que cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parbola rebota en su superficie pasando por el foco. La parbola sirve para concentrar los rayos de luz en un punto, el foco, en el caso de la cocina solar, o las radiaciones electromagnticas, en general, en las antenas parablicas. Pero tambin sirve, como en el caso del faro de un coche, para conseguir que la luz que sale del foco se concentre en un haz ms o menos cerrado.

Antena parablica

Gua de Trabajo: Funcin Cuadrtica

Objetivos:

Conocer la funcin cuadrtica en sus diversas formas

Graficar la funcin cuadrtica en sus diversas formas

Identificar en un grfico puntos de interseccin con los ejes de coordenadas, vrtice y eje de simetra

La Parbola en Matemtica se define como: f(x) = a. x2 + b. x + c

1

Para determinar las races o ceros de la ecuacin de segundo grado, se pueden emplear por lo menos tres mtodos.

Mtodo de factorizacin

Completacin de cuadrados

Frmula de ecuacin de segundo grado.

A continuacin se presentarn los siguientes ejemplos:

Mtodo de factorizacin:

X + 5x + 6 = 0(x+3) (x+2) = 0, donde tenemos que:

X1: (x+3) = 0, para que al multiplicarlo por (x + 2) el producto sea 0 x1= -3X2: (x+2) = 0, para que al multiplicarlo por (x + 3) el producto sea 0 x2= -2

2. Completacin de cuadrados Se debe aislar el trmino independiente(C) de la ecuacin de segundo grado, la cual debe ser completa particular, quedando una igualdad con una parte binomial y la otra parte numrica. Si tenemos una ecuacin completa general, habr que transformarla a completa particular.

Por lo tanto, para completar el cuadrado de binomio siempre debemos sumar y restar: (b 2)

[ (a b) = a 2ab + b ]

Ejemplo: x + 6x + 5 = 0

a = 1b = 6 c= 5 (trmino independiente)

x + 6x + 5 = 0x + 6x = -5 (aislacin del trmino independiente)x + 6x = -5 / +9x + 6x + 9 = -5 + 9(x+3) = 4 / X+3 = 2

X1: +2 - 3 = -1X2: -2 - 3 = -5

S= {-5,-1}(b 2) = (6/2) = 3 = 9

3- Frmula de ecuacin de segundo gradoX =X1 = X2 = Siendo la primera solucin X1 y la segunda X2

Ejemplo: x + 5x + 6 = 0

x + 5x + 6 = 0

a = 1b = 5 c = 6X1 =X1 =X1 =X1 =-2

X2 =

X2 =

X2 =

X2 =

-3S = ( -2, -3 )

Aactividad n2:

1.- Una de las races de la ecuacin 3x - 4x + 1 = 0 es:-1-1/34/31/33

*Respuesta: d2.- Cules son las soluciones de la ecuacin x + 5x 6 = 0?3 y 23 y -2-2 y 3-1 y -6-6 y 1

*Respuesta: e

3.- En cul de las siguientes ecuaciones ambas soluciones son mayores que cero y menores que uno?a) 3x - 7x + 3 = 0b) 3x + 7x + 3 = 0c) 8x - 6x 1 = 0d) 8x + 6x + 1 = 0 e) 8x - 6x + 1 = 0

*Alternativa: e

4.- Cul es el cuadrado de la mayor de las soluciones de la ecuacin x - 2x - 5 x + 2 5 = 0?545-4-5

*Alternativa: a

Propiedades de las races de la ecuacin de segundo grado:

Propiedad de la suma:

X1 + X2 = +X1 + X2X1 + X2 = -b a

b) Propiedad del producto de races

X1 * X2 = *X1 * X2 = X1 * X2 = X1 * X2 = c a En general tenemos:x + (X1 + X2)x + (X1 * X2) = 0

Actividad n3:

1.- Cul es la suma de las soluciones de la ecuacin 5x + 10x + 1 = 0?-1/51/5-22

*Respuesta: d

2.- Una ecuacin de segundo grado cuyas races o ceros, satisfacen las igualdades (X1 + X2) = -2 y (X1*X2) = 5 es:x - 2x 5 = 0x -2x + 5 = 0x + 2x + 5 = 0x + 2x 5 = 0x - 5x 2 = 0

*Respuesta: c

3.- Qu valor debe tener K en la ecuacin 3x - 5kx 2 = 0, para que una de sus races sea -2?01-1-20-4

*Respuesta: c

2.- Una ecuacin de segundo grado cuyas races son 2 + 5 y 2 - 5 es:a) x - 4x -1 = 0b) x - 4x + 1 = 0c) x - 5x + 1 = 0d) x - 5x -1 = 0e) Ninguna de las anteriores

*Respuesta: a

Grfica de la funcin de segundo grado: LA PARBOLA

La funcin de segundo grado permite graficar una parbola. Se representa como: f(x) = ax + bx + c Si analizamos sus coeficientes podemos bosquejar una grfica. Es muy importante encontrar las races de la ecuacin, analizando primeramente el discriminante para saber el tipo de races, y finalmente, debemos determinar el vrtice de la parbola.

Anlisis de la funcin:

1.- El coeficiente a indica la concavidad de la parbola:

2.- El coeficiente b indica la traslacin o corrimiento de la parbola, pero analizado juntamente con el coeficiente a

Si a > 0 y:

b > 0 parbola cncava hacia arriba y trasladada hacia la izquierda

b = 0 parbola cncava hacia arriba y centrada en el eje de las ordenadas.

b < 0 parbola cncava hacia arriba, trasladada hacia la derecha

b) Si a < 0 y:

b > 0 parbola cncava hacia abajo y trasladada hacia la derecha

b = 0 parbola cncava hacia abajo y centrada

b < 0 parbola cncava hacia abajo y trasladada hacia la izquierda

en el eje de las ordenadas.

3- El coeficiente c indica el lugar en que la parbola se intersecta con el eje de las ordenadas (y)

Actividad n4

Con respecto a la funcin f(x) = 3x + 13x 10 = 0, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su concavidad est orientada hacia arriba.II) El punto de interseccin con el eje y es (o , -10)III) f(-5) = 0

Slo ISlo I y IISlo I y IIISlo II y IIITodas ellas

*Respuesta: e

DISCRIMINANTE ():

Es la cantidad subrradical que corresponde a las races o ceros de la ecuacin de segundo grado. El anlisis del discriminante nos permite clasificar las races de la ecuacin.

Si es mayor a cero, la parbola corta en dos puntos al eje X. Las races son reales y distintas.

Si es igual a cero, la parbola corta en un punto al eje X. Las races son reales e iguales.

Si es menor a cero, la parbola no corta al eje X. Las races no son reales, son complejas conjugadas o imaginarias puras.

El discriminante se determina por D = b - 4ac

La parbola corta en dos puntos al eje XLa parbola corta en un punto al eje XLa parbola no corta al eje X

Actividad n5 En cul de las siguientes ecuaciones, las races son reales y distintas?x - x + 12 = 0x +3x + 5 =0x - 4x +3 =0x +5x + 7 =0x - 2x + 8 = 0

*Respuesta : c

Si el discriminante de la ecuacin cuadrtica 3x - 4x + k = 0 es igual a 4, entonces k =-5/3-1015/3

*Respuesta : d

Si las races de la ecuacin x - 6x + t = 0 son reales e iguales, entonces t=930-3-9

*Respuesta: a

Las soluciones de la ecuacin de segundo grado x+bx+c= 0 sern siempre reales si:b > 0 y c < 0b > 0 y c > 0B < 0 y c > 0B = 0 y c > 0Ninguna de las anteriores

*Respuesta: a

Clculo del vrtice de una parbola

( h, k) Se llama vrtice de la parbola al punto donde sta corta a su eje.

Eje de simetra (h)El eje de simetra es aquella recta paralela al eje Y (ordenadas) , y que pasa por el vrtice de la parbola.

Punto mximo y mnimo (k)Como sabemos, el coeficiente a (de la funcin f(x)= ax + bx + c) determina la concavidad de la parbola. Sin embargo, tambin es necesaria para determinar el si el vrtice es el punto mximo o mnimo de ella.

K = a < o a > o

Actividad n6:

Dada la funcin f(x) = x + 2x 3, cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?I) x = 1 es un cero de la funcinII) La ecuacin del eje de simetra es x = -1III) El vrtice de la parbola es (-1, -4)Slo ISlo IISlo I y IISlo I y IIITodas ellas*Respuesta: e

2 . De la funcin f(x) = x - 8x + 15 Cules son las coordenadas del vrtice?(1, -4)(3, -5)(4, -1)(15, -4)(15, -8)*Respuesta: c

3. Respecto a la parbola f(x) = x - 9x + 14, cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Sus ceros son X1 = 7 y X2 = 2 II) Intersecta al eje y en (0, 14) III) Su eje de simetra es x = 4Slo ISlo IISlo I y IISlo I y IIII, II y III*Respuesta: c

Dada la parbola f(x) = x + bx + c . Se pueden determinar las coordenadas del vrtice si se sabe que: I) Intersecta al eje x en X1 = 2 y X2 = 3 II) b = -5 y c = 1 b

(1) por s sola(2) por s solaAmbas Juntas, (1) y (2)Cada una por s sola, (1) (2)Se requiere informacin*Respuesta: b

Luego de haber aprendido tericamente lo que era una parbola jams imaginaramos la importancia de stas. Aprendimos que vivimos da a da con ellas, muchas veces sin darnos cuenta. Sin ellas tal vez no podramos ver tv, no conseguiramos esa descarga de adrenalina en una montaa rusa y no existirn tantos avances en la ciencia. Es sorprendente como una simple ecuacin ; unos simples nmeros escritos pueden llegar a ser parte de algo cada vez ms grande. Desde ser unas simples curvas y lneas en un plano hasta llegar a ser enormes obras de ingeniera y arquitectura.

Aprendimos con este trabajo a mirar ms detenidamente lo que nos rodea. Las parbolas poseen un gran contenido esttico y son muy llamativas por ser simtricas.

Tambin nos dimos cuenta que no slo existen figuras concretas con formas de parbolas, sino que existen diferentes movimientos que forman parbolas, como por ejemplo: la tcnica de lanzamiento de dedos en voleibol para dar pases, las canastas utilizadas en bsquetbol para encestar, movimientos con cintas y cuerdas en gimnasia rtmica, etc.

Lo que aprendemos no lo aprendemos porque si; todo esto tendr una finalidad si lo queremos, podremos hacer grandes cosas con el conocimiento adquirido y una disposicin a hacer algo mejor.

Conclusin

Por su atencin, muchas gracias

***