Para qué sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.

Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y mínimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integró en un sistema matemático que es una genialidad y que se llama el Cálculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de la ciencia clásica. La relación entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para cálculos de fenómenos de acumulación, reducción y dispersión. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a través de una diferencial, llegar a calcular su edad.

Un ejemplo que de una aplicación de la derivada y que es más fácil de visualizar que los clásicos sobre el movimiento, las velocidades y las aceleraciones que se suelen utilizar habitualmente en clase: tenemos que construir una tubo o pista de skateboard de 20 metros de distancia entre los dos extremos superiores y de 2,5 metros de altura (figura 4). Se debe construir en un parque donde hay una piedra que tiene una inclinación de 16,7 º, es decir una tangente de 0,3 de coeficiente director (recordar lo de los tablones: 0,3= 3/10, es decir en 10 metros de recorrido sube 3 metros).

Hay que aprovechar esa piedra para utilizar el menor cemento posible. Se trate entonces de ver qué punto de la piedra y que punto de la pista van a coincidir para construir el tubo para el skateboard utilizando el mínimo material (ver figura 4). Así que sin entrar en explicaciones de cómo se realiza la derivada de una función, aceptamos que la función de la pista es f(x)= 1/40 *x2 y su derivada  f'(x)=1/20*x .

Sabemos dos cosas. Sabemos que la pendiente de la piedra es 0,3 y sabemos que si hay un punto en la curva que tenga 0,3 de pendiente, podemos saber cuál es. Ese es el punto que debe tocar la pierda. Y eso es fácil. De manera que buscamos el punto 0,3 en la derivada: 0,3=1/20*x;

x=6; es decir 6 metros con relación al centro (el punto cero de la curva). Por otro lado sabemos que en ese punto la altura del tubo para el skateboard es de 0,9 metros, ya que en la función principal: f(x)= 1/40 *x2 =1/40 *(6)2= 0,9; así pues, es en el punto de altura de la piedra que hace 0,9 m es donde se encuentran la piedra y la parte del tubo para utilizar la menor cantidad de cemento y que nos permite establecer las distancias para iniciar los trabajos.

Si tuviésemos que calcular la cantidad de cemento necesario para fabricar el tubo del stakeboard sería muy fácil conociendo la longitud y utilizando la función primitiva f(x)= 1/40 *x2 como si fuese la derivada de otra función. Lo cual nos permitiría encontrar el área y multiplicarlo por la longitud para hallar el volumen. Las relaciones que se establecen entre una función y su derivada son múltiples y han sido la base para la construcción de las ciencias.