Parte 1. PROBABILIDAD

Ejercicios :

1. Se lanza un dado y se observa que número de aparece en la cara superior.

2. Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas

3. El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. Determinar el espacio muestral.

4. Se fabrican artículos hasta llegar a producir 10 no defectuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. Determinar el espacio muestral.

5. De una urna que contiene solamente esferas negras, se toma una esfera y se anota su color. Determinar el espacio muestral.

6. Se fabrican artículos de una línea de producción y se cuentan el número de artículos defectuosos producidos en 24 hs.

7. En un bolillero hay  20 bolillas blancas y 5 azules:

a. calcular la probabilidad de sacar una blanca b. calcular la probabilidad de sacar una azul c. calcular la probabilidad de sacar una blanca o una azul

8. Al arrojar dos dados, uno blanco y uno negro, calcular la probabilidad de obtener ocho puntos entre los dos.

9. Se lanza una moneda tres veces. Descubrir el espacio muestral y calcular la posibilidad de sacar tres caras.

10.   Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres, tienen los ojos castaños.

Hallar la probabilidad que una persona tomada al azar, sea hombre o tenga los ojos castaños.

11.  En un bolillero hay 15 bolillas rojas, 6 blancas y 7 azules. Se quiere se quiere saber cual es la probabilidad al extraer una, de obtener indistintamente i bolilla roja o una blanca.

12.   Si se arrojan dos monedas, calcular la probabilidad de sacar 2 caras o dos cecas.

13.   Dos tiradores hicieron un disparo cada uno. La probabilidad que el primer tirador haya dado en el blanco es de 0,7, y la del segundo 0,6.

-Hallar la probabilidad que por lo menos 1 tirador haya dado en el blanco.

14.  Se  carga una moneda de modo que la probabilidad de salir cara sea 3 veces la de salir ceca.  Hallar la probabilidad de cara y la probabilidad de ceca.

15. La probabilidad de que A o B ocurran es de 1/8. La probabilidad de que A ocurra es de 1/2. Mientras que la probabilidad de que ambos ocurran en forma simultanea

no se conoce. Siendo loe eventos no excluyentes calcular la  probabilidad de que A y B ocurran.

16. Una caja contiene 3 monedas :  1 moneda es corriente, 1 moneda tiene 2 caras y la tercer moneda esta cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1/3. Se seleccionara una moneda al azar y se lanzara. Hallar la probabilidad que salga cara. Utilizar diagrama de árbol.

17. Un tubo de vacío puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidad: P1=0,25  P2=0,5  P3=0,25.   Las probabilidades de que el tubo funcione correctamente durante un período de tiempo específico son: 0,1 ; 0,2 ; 0,4.  Respectivamente para los 3 fabricantes. Calcular la probabilidad de que el tubo elegido al azar funcione correctamente.

18. En un establecimiento se fabrican lamparas incandescentes. El  1º suministra el 70% del total, y el 2º suministra el 30% del total. En promedio son normales 83 lamparas de cada 100 provenientes de la primera fabrica, y el 63 de cada 100 lamparas provenientes de la segunda fabrica. Calcular la probabilidad de comprar una lampara normal

19. Se arrojan tres monedas equilibradas. ¿cuál es la probabilidad de que todas sean "caras" si se sabe que la segunda resulta cara.

20. Se tienen dos fichas o discos de cartón, uno con las dos caras rojas y otro con 1 cara roja y otra azul. Se saca al azar un disco y se ve que contiene 1 cara roja. ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea azul?

21.  Una urna contiene 5 bolillas rojas, 3 verdes y 7 negras. Siendo eventos excluyentes, calcular la probabilidad de que 1 bolilla sacada al azar sea roja o verde.

22. Una bolsa A contiene 3 bolillas rojas y 2 blancas. Se desea saber las probabilidades de que sean:

a. las 2 rojas b. las dos blancas c. 1 roja y 1 blanca

23.  Supóngase que A y B  son 2 sucesos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurran es de 0,6 mientras que la probabilidad de que A ocurra es de 0,4 determinar la probabilidad de que B ocurra.

24.  En una carrera de automóviles la probabilidad de que el corredor Nº 6  gane es de 1/8 y la del Nº 14 es de 1/16:

Calcular:

a. La probabilidad de que gane la carrera uno de esos corredores b. Calcular la probabilidad de que no gane la carrera el corredor Nº 6

25.  Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento que  P(a) = 0,4 mientras que  P(A u B) =0,7:

Sea por comodidad P (A u B)=P

Preguntas:

a. ¿para que elección de P(b) son Ay B mutuamente excluyentes? b. ¿para que elección  de P(b) son Ay B mutuamente independientes?

26.  Tres caballos A,B,C, intervienen en una carrera. A tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y B tiene el doble que C.

¿ Cuales son las respectivas probabilidades de ganar de cada caballo?

27.  Sea un dado cargado, tal que la posibilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número. Por ejemplo el 6 tiene el doble de probabilidad que 3.

Sea:

A {número par}B {número primo}C {número impar}

a. Hallar la probabilidad de cada cara, (número del dado) b. Calcular, P(a), P(b), P(c) c. Hallar las probabilidades de que:

l) Salga número par o primo P( A U B )ll) Salga numero impar Y primo P(CÙB)lll) Salga el ebvento A pero no el evento B

28. En la fabricación de un cierto artículo, se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0,1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos de defectos . Cual es la probabilidad que:

a. Un artículo no tenga ambos tipos de defectos b. Un articulo sea defectuoso

29. Cierto equipo de fútbol, gana con probabilidad 0,6 ;pierde con probabilidad 0,3 ; y empata con probabilidad 0,1. El equipo juega 3 encuentros durante fin de semana.

a. Determinar los elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos 2 y no pierde; y hallar P(a).

b. Determinar los elementos del evento B en que el equippol gana, pierde y empata y hallar P(b).

30. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad de que hagan blanco en un disparo es 0,7 y 0,8 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en un disparo haga blanco solo uno de los tiradores

31. En una sala de lectura hay 6 manuales, 3 de los cuales están encuadernados. Se toman al azar 2 manuales sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad de que ambos estén encuadernados

32. En un bolillero hay 7 bolillas blancas y 12 negras. Se extraen 2 bolillas sin reposición. Calcular la probabilidad de que la 1º sea blanca y la segunda sea negra.

33. Para cierta localidad el promedio de días nublados en junio es de 6. Hallar la probabilidad de que haya 2 días seguidos de buen tiempo.

34. En un circuito electrónico se conectan en serie 3 elementos que trabajan independientemente uno del otro. Las probabilidades de falla de cada elemento son: 0,1 - 0,15 - 0,2.  Hallar la probabilidad de que no haya corriente en el circuito.

ACLARACIÓN: Con que un solo elemento, no ande, No va a haber corriente en el circuito electrónico porque trabajan en serie.

35.  Un dispositivo físico contiene 2 elementos que trabajan independientemente. Las probabilidades de falla de cada elemento  son 0,05 y 0,08 respectivamente. Hallar la probabilidad que falle por lo menos uno de los elementos.

36.  Al transportar 25 vasos lisos y 12 vasos de color, se ha roto 1 vaso de color). Hallar la probabilidad de que el vaso roto sea: a) de color  b) liso

37.  Supóngase el caso de lanzar 1 moneda y 1 dado. Sea el espacio muestral (s) que consta de 12 elementos:

A = expresar explícitamente los siguientes eventos:A1) {  aparecen caras y un numero par}A2) {aparece un número primo}A3) { Aparecen caras y numero par}A4)  {aparecen cecas y un numero par}

B= Expresar explícitamente el evento:B1) Que A o B sucedanB2) que B y C sucedanB3) Que solamente B suceda

C) Cuales de los sucesos A, B, C son mutuamente excluyentes.

38.  Las probabilidades de que 1 hombre vivirá 10 años más es de 1/4 y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es de 1/3. Hallar la probabilidad de que al menos uno (u otro) estará vivo dentro de 10 años.

FACTORIAL

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

(a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + ... + n × a × bn − 1 + bn

con: