par torsor
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Momento de torsión y equilibrio rotacional
OBJETIVOSAl completar este capítulo el alumno:
1. Ilustrará mediante ejemplos y definiciones su comprensión de los términos brazo de palanca y momento de torsión.
2. Calculará el momento de torsión resultante respecto a cualquier eje, dadas las magnitudes y posiciones de las fuerzas que actúan sobre un objeto alargado.
3. Determinará las fuerzas o distancias desconocidas aplicando la primera y segunda condiciones de equilibrio.
4. Definirá centro de gravedad y dará ejemplos de dicho concepto.
En los capítulos anteriores nos hemos referido a las fuerzas que actúan en un solo punto. Existe un equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, en muchos casos las fuerzas que actúan sobre un objeto no tienen un punto de aplicación común. Este tipo de fuerzas se llaman no concurrentes. Por ejemplo, un mecánico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. Un carpintero utiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fuerzas de torsión que tienden a arrancar una viga de la pared. El volante de un automóvil gira por el efecto de fuerzas que no tienen un punto de aplicación común. En casos como éstos, puede haber una tendencia a girar que se define como momento de torsión. Si aprendemos a medir y a prever los momentos de torsión producidos por ciertas fuerzas, será posible obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotación, es preciso que no haya ningún momento de torsión resultante. Esto conduce en forma natural a la condición de equilibrio rotacional, que es muy importante en aplicaciones industriales y en ingeniería.
5-1 CONDICIONES DE EQUILIBRIO
Cuando un cuerpo está en equilibrio, debe encontrase en reposo o en estado de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo único que puede cambiar dicha situación es la aplicación de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección y si su suma vectorial es igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a
la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza además de su magnitud.
(b)
(a)
Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura 5-la. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda. La primera condición de equilibrio nos dice que las fuerzas horizontales y verticales están equilibradas; por lo tanto, se dice que el sistema está en equilibrio. No obstante, si las mismas dos fuerzas se aplican como indica la figura 5-Ib, la llave de tuercas definitivamente tiende a girar. Esto es cierto incluso si el vector que resulta de la suma de fuerzas sigue siendo cero. Es obvio que se requiere una segunda condición de equilibrio que explique el movimiento rotacional. Un enunciado formal de esta condición se presentará posteriormente, aunque antes es necesario definir algunos términos.
En la figura 5-Ib, las fuerzas F no tienen la misma línea de acción.
La línea de acción de una fuerza es una linea imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones.
Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado el eje de rotación. En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea imaginaria que pasa a través del perno en dirección per-pendicular a la página.
5-2 EL BRAZO DE PALANCA
La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si se ejerce una fuerza F a dis-tancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su centro (véase la figura 5-2.)
El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular que hay de la línea de acción de la fuerza al eje de rotación.
Si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación (punto A de la figura 5-2), el brazo de
palanca vale cero. Se observa que no hay efecto rotacional, independientemente de la magnitud de la fuerza. En
este sencillo ejemplo, los brazos de palanca en los puntos B y C son simplemente la distancia de los ejes de
rotación al punto de aplicación de la fuerza. Sin embargo, hay que notar que la línea de acción de la fuerza no
es más que una sencilla construcción geométrica. El brazo de palanca se traza perpendicular a esta línea. Debe
ser igual la distancia del eje al punto de aplicación de la fuerza, pero esto es cierto sólo cuando la fuerza
aplicada es perpendicular a esta distancia. En los ejemplos de la figura 5-3, r representa el brazo de palanca;
y O, el eje de rotación. Estudie cada ejemplo, observando cómo se trazan los brazos de palanca y razonando si la
rotación es en el mismo sentido o contraria al avance de las manecillas del reloj con respecto a O.
Verificar las imágenes en tippens
(a)
O
(c)
5-3 MOMENTO DE TORSIÓN
Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar un movimiento. El momento de torsión T se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional. En algunos textos se le llama también momento de fuerza.* Como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de una fuerza F como por su brazo de palanca r. Por lo tanto, definiremos el momento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo de palanca.
Momento de torsión = fuerza X brazo de palanca
T= Fr 5-1
Es preciso entender que en la ecuación (5-1) r se mide en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de torsión son las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo, newton-metro (N • m) y Hbra-pie (Ib • ft).
Ya antes se estableció una convención de signos para indicar la dirección de las fuerzas. La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la rotación en el sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido retrógrado (sr), o en dirección contraria a ellas o sentido directo (sd). Seguiremos la misma convención que para medir ángulos. Si la fuerza F tiende a producir una rotación contraria a la de las manecillas con respecto a un eje, el momento de torsión se considerará positivo. Los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj se considerarán negativos. En la figura 5-3, todos los momentos de torsión son positivos (sd), excepto el correspondiente a la figura 5-3a.
EJEMPLO 5-1Se ejerce una fuerza de 20 N sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de
120 mm. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente al centro del tambor? (Véase la figura 5-4.)
20 N
Figura 5-4 Fuerza tangencial ejercida por el cable enrollado alrededor de un tambor.
SoluciónNote que la línea de acción de la fuerza de 20 N es perpendicular al diámetro del
tambor. Por lo tanto, el brazo de palanca es igual al radio del tambor. Si se
* Al momento de torsión también se le ha llamado en algunos textos, torque o torca (N. del R.T.)
convierte el diámetro a metros (0.12 m), el radio es de 0.06 m. El momento de torsión se calcula a partir
de la ecuación (5-1):
r = Fr = -(20 N)(0.06 m) = -1.20 N • m
El momento de torsión es negativo porque tiende a causar una rotación en el sentido de las manecillas del
reloj.
EJEMPLO 5-2
Un mecánico ejerce una fuerza de 20 Ib en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como se
observa en la figura 5-5. Si este tirón forma un ángulo de 60° con el mango de la llave, ¿cuál es el
momento de torsión producido en la tuerca?
20
201
10in.
10 in.
r 60\/LíLínea de acción dé l a fuerza
Brazo de torsión
(b)(a)
Figura 5-5 Cálculo del momento de torsión.
SoluciónPrimero trace un bosquejo ordenado, extienda la línea de acción de la
fuerza de 20 Ib, y dibuje el brazo de palanca como se mostró. Observe que el brazo de palanca r es perpendicular tanto a la línea de acción de la fuerza como al eje de rotación. Debe recordar que el brazo de palanca es una construcción geométrica y puede estar o no sobre alguna estructura física, como por ejemplo el mango de la llave de tuercas. A partir de la figura se obtiene
r = (10 in) sen 60° = 8.66 inr = Fr = (20 Ib) (8.66 in) = 173 Ib • in
Si se desea, este momento de torsión se puede transformar en 14.4 Ib • ft.
En algunas aplicaciones, es más útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el momento de torsión resultante. En el ejemplo anterior se podría haber separado el vector de 20 Ib en sus componentes horizontal y vertical. En vez de hallar el momento de torsión de una sola fuerza, sería necesario encontrar el momento de torsión de las dos fuerzas componentes. Como indica la figura 5-6, el vector de 20 Ib tiene sus componentes Fx y JFj, las que se calculan por trigonometría:
FJC= (20lb)(cos60°) = lOlb Fy = (20 Ib) (sen 60°) = 17.3
Ib
(a) <b)
Figura 5-6 Método de las componentes para el cálculo del momento de torsión.
E
————71 20 Ib
17.3 Ib
10 ¡n.
10 Ib
Observe en la figura 5-6b que la línea de acción de la fuerza de 10 Ib pasa por el eje de rotación. Esto no produce ningún momento de torsión porque su brazo de palanca es cero. Por lo tanto, el momento de torsión total se debe a la componente de 17.3 Ib, que es perpendicular al mango. El brazo de palanca de esta fuerza es la longitud de la llave inglesa, y el momento de torsión es
r = Fr = (17.3 lb)(10 in) = 173 Ib • in
Note que utilizando este método se obtiene el mismo resultado. No hacen falta más cálculos, porque la componente horizontal tiene un brazo de palanca de cero. Si elegimos las componentes de una fuerza a lo largo y perpendicularmente a la distancia conocida, tan sólo nos interesa el momento de torsión de la componente perpendicular.
5-4 MOMENTO DE TORSIÓN RESULTANTE
En el capítulo 3 se demostró que la resultante de varias fuerzas se puede determinar sumando las componentes x y y de cada fuerza, y así obtener las componentes de la resultante.
t\X = Ax T Dx T C/jf - ( - • • • ft — J\ + J} -f- (_, T * ' '
Este procedimiento se aplica a fuerzas que tienen un punto de intersección común. Las fuerzas que no tienen una línea de acción común producen una resultante del momento de torsión, además de una resultante de la fuerza traslacional. Cuando las fuerzas aplicadas actúan en el mismo plano, el momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión positivos y negativos debidos a cada fuerza.
= TI + r2 + T3 + 5-2
Hay que recordar que los momentos de torsión en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj son positivos, y los que tienen el mismo sentido de las manecillas son negativos.
Un elemento esencial en las técnicas efectivas para resolver problemas es la organización. El siguiente procedimiento resulta útil para calcular el momento de torsión resultante.
Estrategia para resolver problemas
Cálculo del momento de torsión
resultante1. Lea el problema y luego dibuje una figura y
marque los datos.2. Construya un diagrama de cuerpo libre que
indique todas las fuerzas, distancias y el eje de rotación.
3. Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.
4. Dibuje y marque los brazos de palanca para cada fuerza.
5. Calcule los brazos de palanca si es necesario.6. Calcule los momentos de torsión debidos a
cada fuerza independientemente de otrasfuerzas; asegúrese de asignar el signoapropiado (sd = + y sr = — ). r
7. El momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión de cada fuerza. Véase la ecuación (5-2).
EJEMPLO CONCEPTUAL 5-3Una pieza angular de hierro gira sobre un gozne, como se observa en la figura 5-
7. Determine el momento de torsión resultante en A debido a las fuerzas de 60 N y SON.
80 N
(b)(a)
Figura 5-7
SoluciónSe traza un diagrama de cuerpo libre y se construyen los brazos de palanca r\ y TI
como en la figura 5-7b. Las longitudes de los brazos de palanca son:
ri = (12 cm) sen 50° = 9.19 cmr2 = (10 cm) sen 70° = 9.40 cm ;
Si se considera A como eje de rotación, el momento de torsión debido a FI es negativo (sr) y el causado por p2 es positivo (sd). El momento de torsión resultante se encuentra así:
TR = Tl + T2 =
= -(60 N)(9.19 cm) + (80 N)(9.40 cm) = -552 N • cm + 752 N • cm = 200 N • cm
El momento de torsión resultante es 200 N • cm, en sentido contrarío a las manecillas del reloj. Esta respuesta se expresa mejor como 2.00 N • m en unidades del SI.
5-5 EQUILIBRIO
Ahora estamos listos para analizar la condición necesaria para el equilibrio rotacional. La condición para el equilibrio traslacional quedó establecida en forma de ecuación como
y = O 5-3
Si se desea asegurar que los efectos rotacionales también estén equilibrados, es preciso estipular que no hay momento de torsión resultante. Por lo tanto, la segunda condición de equilibrio es:
La suma algebraica de todos los momentos de torsión en relación con cualquier eje debe ser cero.
T = TI + T2 + T3 + • • • = O
La segunda condición de equilibrio simplemente nos indica que los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj están exactamente equilibrados por los momentos de torsión opuestos al avance de las manecillas. Más aún, puesto que la rotación no ocurre respecto a ningún punto, podemos elegir cualquier punto como eje de rotación. Mientras los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el momento de torsión resultante será de cero. Los problemas se simplifican si se elige el eje de rotación en el punto de aplicación de una fuerza desconocida. Si una fuerza particular tiene un brazo de palanca de cero, no contribuye al momento de torsión, independientemente de su magnitud.
Sugerenciapara el éxito
Antes de su graduación, use sus habilidades para
establecer redes de con-tactos. Informe a sus amigos,
familiares y conocidos;el tipo de carrera que desea
labrarse y pregúnteles si saben de empleos o de
personas con las que pueda ponerse en contacto. Si una persona le da el nombre de
un contacto en una compañía específica,
mencione a la persona que le dio el contacto cuando
solicite el empleo.
5-4
Equilibrio rotacional1. Trace y marque un bosquejo con todos los datos.2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre (si es necesario), indicando las distancias entre las fuerzas.3. Elija un eje de rotación en el punto donde se tenga menos información, por ejemplo, en el punto de aplicación de
una fuerza desconocida.4. Sume los momentos de torsión correspondientes a cada fuerza con respecto al eje de
Estrategia para resolver problemas
rotación elegido y establezca el resultado igual a cero.
• TR = TI = r2 + r3 +
5. Aplique la primera condición de equilibrio para obtener dos ecuaciones adicionales.
= O
6. Calcule las cantidades que no se conocen.
Si se considera A como eje de rotación, el momento de torsión debido a FI es negativo (sr) y el causado por p2 es positivo (sd). El momento de torsión resultante se encuentra así:
TR = Tl + T2 =
= -(60 N)(9.19 cm) + (80 N)(9.40 cm) = -552 N • cm + 752 N • cm = 200 N • cm
El momento de torsión resultante es 200 N • cm, en sentido contrarío a las manecillas del reloj. Esta respuesta se expresa mejor como 2.00 N • m en unidades del SI.
= 0
5-5 EQUILIBRIO
Ahora estamos listos para analizar la condición necesaria para el equilibrio rotacional. La condición para el equilibrio traslacional quedó establecida en forma de ecuación como
y = O 5-3
Si se desea asegurar que los efectos rotacionales también estén equilibrados, es preciso estipular que no hay momento de torsión resultante. Por lo tanto, la segunda condición de equilibrio es:
La suma algebraica de todos los momentos de torsión en relación con cualquier eje debe ser cero.
T = TI + T2 + T3 + • • • = O
La segunda condición de equilibrio simplemente nos indica que los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj están exactamente equilibrados por los momentos de torsión opuestos al avance de las manecillas. Más aún, puesto que la rotación no ocurre respecto a ningún punto, podemos elegir cualquier punto como eje de rotación. Mientras los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el momento de torsión resultante será de cero. Los problemas se simplifican si se elige el eje de rotación en el punto de aplicación de una fuerza desconocida. Si una fuerza particular tiene un brazo de palanca de cero, no contribuye al momento de torsión, independientemente de su magnitud.
Sugerenciapara el éxito
Antes de su graduación, use sus habilidades para
establecer redes de con-tactos. Informe a sus amigos,
familiares y conocidos;el tipo de carrera que desea
labrarse y pregúnteles si saben de empleos o de
personas con las que pueda ponerse en contacto. Si una persona le da el nombre de
un contacto en una compañía específica,
mencione a la persona que le dio el contacto cuando
solicite el empleo.
5-4
Equilibrio rotacional1. Trace y marque un bosquejo con todos los datos.2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre (si es necesario), indicando las distancias entre las fuerzas.3. Elija un eje de rotación en el punto donde se tenga menos información, por ejemplo, en el
punto de aplicación de una fuerza desconocida.4. Sume los momentos de torsión correspondientes a cada fuerza con respecto al eje de
Estrategia para resolver problemas
rotación elegido y establezca el resultado igual a cero.
• TR = TI = r2 + r3 +
5. Aplique la primera condición de equilibrio para obtener dos ecuaciones adicionales.
= O
6. Calcule las cantidades que no se conocen.
Note que la fuerza de 400 N y la fuerza A tienden a producir una rotación en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a B. (Sus momentos de torsión fueron negativos.) Simplificando se obtiene
-(12 m)A + 3000 N • m - 1600 N • m + 800 N • m = O
Añadiendo (12 m) A a ambos lados y simplificando queda
2200 N • m = (12 m)A
Dividiendo ambos lados entre 12 m, resulta
A= 183 N
Ahora, para determinar la fuerza ejercida por el soporte B, tomemos en cuenta de nuevo la ecuación obtenida a partir de la primera condición de equilibrio,
A + B = 900 N
Despejando B se obtiene
B = 900 N - A = 900 N - 183 N= 717 N
Como comprobación de este resultado, podemos elegir el eje de rotación en A y luego aplicar la segunda condición de equilibrio para determinar B.
EJEMPLO 5-5Un puntal uniforme de 200 Ib de peso y 24 ft de longitud está sostenido por un cable,
como se observa en la figura 5-9. El puntal se apoya en la pared y el cable forma un ángulo de 30° con respecto al puntal, que está en posición horizontal. Si una carga de 500 Ib se cuelga del extremo derecho, ¿cuál es la tensión T del cable? ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote?
SoluciónConsideremos el puntal como un objeto en equilibrio. De las dos fuerzas desconocidas Fy
T, tenemos menos datos de la fuerza F. Por lo tanto, resulta lógico elegir este pivote como eje de rotación para sumar momentos de torsión. De este modo, la fuerza desconocida F tendrá un brazo de palanca igual a cero, haciendo que el momento de torsión alrededor de A sea también cero. (No cometa el error de suponer que la fuerza ejercida por este pivote
= 0
coincide totalmente con lo largo del puntal). Es posible determinar la tensión del cable a partir de la segunda condición de equilibrio.
= F(0) - (200 lb)(12 ft) - (500 lb)(24 ft) + Tx(0) + Ty(24 ft) = O = O - 2400 Ib • ft - 12 000 Ib • ft + Ty(24 ft) = O Tr(24 ft) = 14 400 Ib • ft
A partir de la figura 5-9b,
Ty= T sen 30o- 0.5 T
Fuerzas que actúan sobre un soporte horizontal.
o sea que
(0.5T)(24 ft) = 14 400 Ib • ft 12T = 14 400 Ib T = 1 200 Ib
Para encontrar las componentes horizontal y vertical de F, podemos aplicar la primera condición de equilibrio. La componente horizontal se encuentra sumando las fuerzas a lo largo del eje x.
(a)
Fx = Tx= T eos 30°
= (1200 lb)(cos 30°) = 1040 Ib La componente vertical
se determina sumando las fuerzas a lo largo del eje y.
P* - Tx = O
de donde
Despejando Fy, obtenemos o bien,
Fy + Ty - 200 Ib - 500 Ib = O
Fy = 700 Ib - Ty
Fy = 700 Ib - (1200 Ib) (sen 30°) = 700 Ib - 600 Ib = 100 Ib
Como ejercicio, demuestre que la magnitud y la dirección de la fuerza F, a partir de sus componentes, es 1045 Ib a 5.5° por arriba
del puntal.