UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA

AULESTIA ARAUJO, Pablo Sebastián TALAHUA REMACHE, Jonathan Saúl

Electrónica e Instrumentación, Quinto nivel, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Extensión

Latacunga, Marquéz de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.

email : ps_aulestia@hotmail.com www.jonathantalahua@hotmail.com

Fecha de presentación: 12/Junio/2014

ESTRUCTURA EN CELOSIA DE SISTEMA DISCRETOS

RESUMEN En el presente documento se expone detalladamente la representación de sistemas discretos con la Estructura en Celosía, y su respectiva transformación a la estructura de filtros FIR(respuesta al impulso finito) e IIR(repuesta al impulso infinito) y viceversa, a más de sus claras ventajas y desventajas en los sistemas de filtrado y tratamiento de señal, destacando entre ellos el procesamiento de voz.

ABSTRACT Presently document is exposed the representation of discreet systems detailedly with the Structure in Lattice, and its respective transformation to the structure of filters FIR (respuesta to the finite impulse) and IIR (repuesta to the infinite impulse) and vice versa, to but of its clear advantages and disadvantages in the filtrate systems and sign treatment, highlighting among them the voice prosecution. PALABRAS CLAVE:

Estructura en celosía

Sistemas discretos en celosía

Ejemplos de estructura en celosía

ESTRUCTRURA EN CELOSIA DE SISTEMAS DISCRETOS

(LATTICE)

La estructura en celosía (lattice), ampliamente utilizada en el procesado de voz, se caracteriza por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros. Vamos a analizar 3 casos: sistema todo ceros (MA), sistema todo polos (AR), y sistema con ceros y polos (ARMA).

CELOSÍA FIR (TODO-CEROS)

Para un filtro de orden 1:

Consideraremos la siguiente estructura:

Las ecuaciones son:

PROCESOS ESTOCASTICOS CARRERA DE ING EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

Luego:

Si consideramos 2 etapas en cascada tendremos

Luego:

Si calculamos

Observamos que la expresión es como f2 n pero reflejando los coeficientes. Los valores ki se denominan COEFICIENTES DE REFLEXIÓN. En general para un sistema de M bloques tendremos:

Conversión de los coeficientes de la estructura en celosía en los coeficientes del filtro en forma discreta

Los coeficientes del filtro FIR en forma directa se pueden obtener a partir de los coeficientes en celosía utilizando las siguientes relaciones

Ejemplo1: Obtenga los coeficientes de la celosía correspondiente al filtro FIR con función de transferencia

( )

Resolución: Como referencia tomamos el siguiente gráfico:

PROCESOS ESTOCASTICOS CARRERA DE ING EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

Fig. a) Filtro en celosía de M-1 etapas y b) estructura de cada etapa

Donde el filtro describe las ecuaciones

Dado que

Podemos obtener la relación

Que nos permite obtener los coeficientes de celosía (coef. De reflexión) a partir de H(z). Como partimos de los coeficiente del filtro FIR para la realización en forma directa, tenemos el polinomio A(z) que es:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Además, sabemos que el filtro de salida B(z) son inversos a los de A(z) por lo que

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Y mediante la recursión descendiente, en la forma directacelosía con m=3, se obtiene

( ) ( ) ( )

( )

( )

Al repetir la recursividad

( ) ( ) ( )

( )

( )

Por lo tanto los coeficientes de celosía son

La estructura del sistema FIR propuesto se representa

Ejemplo 2: Dado un filtro en celosía de tres etapas con coeficientes

Determine los coeficientes del filtro FIR para la estructura en forma directa Solución: Resolvemos el problema recursivamente, con . Asi tenemos

( ) ( ) ( )

( )

PROCESOS ESTOCASTICOS CARRERA DE ING EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

( )

Dado que ( ) es el polinomio inverso

de ( ), tenemos:

( )

Para tenemos:

( ) ( ) ( )

( )

(

)

( )

También:

( )

Por ultimo para tenemos

( ) ( ) ( )

( )

(

)

( )

En consecuencia, la realización discreta del filtro FIR se caracteriza por los coeficientes:

( ) ( )

( )

( )

CELOSÍA IIR (TODO-POLOS) Si utilizamos las ecuaciones de la celosía FIR e intercambiamos entrada y salida tenemos las ecuaciones siguientes para la celosía IIR todo polos:

Si tenemos en cuenta estos cambios en la estructura, obtenemos los diagramas de bloques que a continuación se muestran. De orden 1

De orden 2

En general

Los coeficientes de reflexión son idénticos a los obtenidos para el filtro FIR, si bien en el diagrama se ordenan en orden inverso.

PROCESOS ESTOCASTICOS CARRERA DE ING EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

CELOSÍA ESCALONADA (LATTICE-LADDER)

Para obtener la estructura en celosía ARMA, calcularemos los coeficientes de reflexión como en los casos anteriores, considerando un sistema todo polos, y posteriormente calcularemos los coeficientes Vm con la expresión

La estructura resultante es la siguiente

Ejemplo: Determine la estructura en celosía para el sistema

En primer lugar consideramos el sistema todo-polos, para el cálculo de los coeficientes de reflexión:

Utilizando la recursión:

Ahora calculamos Vm

Utilizando la recursión:

CONCLUSIONES: La estructura en celosía (lattice),

ampliamente utilizada en el procesado de voz.

Se caracteriza por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros.

Ofrece al sistema modularidad, que significa trabajar en fases para una etapa común.

A más etapas hay mejor filtrado. Son más fáciles de implementar. La desventaja es que el sistema

es predictivo, debido al retardo que implementa dicho filtro.

Al implementarse estos filtros el sistema exige más desarrollo computacional.

BIBLIOGRAFIA:

http://ocw.uv.es/ingenieria-y-arquitectura/filtros digitales/tema_5_realizacion_de_sistemas_en_tiempo_discreto.pdf

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES, PROAKIS John, 4ta Ed.

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Problemas y ejercicios resueltos, SORIA Emilio, 2003.