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EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULOEN LA EDUCACIOacuteN A DISTANCIA ONLINE
EDISON ALBERTO SUCERQUIA VEGA1
RENEacute ALEJANDRO LONDONtildeO CANO2
CARLOS MARIO JARAMILLO LOacutePEZ3
Educacioacuten Matemaacutetica Tecnologiacuteas Informaacuteticas y Educacioacuten a distancia
Resumen La educacioacuten a distancia en la modalidad online ha sido una de las oportunidades que los estudiantesde algunas regiones de Colombia han tenido para lograr una educacioacuten a nivel superior El programa deEducacioacuten virtual ldquoUderdquo de la Universidad de Antioquia ha ofrecido por maacutes de una deacutecada cursos en estamodalidad sin embargo especiacuteficamente en los cursos de matemaacuteticas no se han desarrollado estudios queindaguen sobre la manera como los estudiantes producen conocimientos matemaacuteticos asociados al proceso deaprendizaje de esta aacuterea Seguacuten los planteamientos del constructo teoacuterico ldquoHumans-with-mediardquo la produccioacuten
de conocimiento matemaacutetico estaacute directamente relacionada con la interaccioacuten social la interpretacioacuten individualy los medios Teniendo en cuenta estos aspectos el estudio utiliza una entrevista de caraacutecter socraacutetico los mapasconceptuales y las interfaces del programa Ude para analizar la manera en que un colectivo de estudiantesproducen conocimiento matemaacutetico en la modalidad online asociado a uno de los teoremas centrales de un cursode caacutelculo integral al cual subyacen una gran cantidad de conceptos matemaacuteticos que involucran procesos derazonamiento infinito El Teorema Fundamental del Caacutelculo
Palabras claves Educacioacuten a distancia online Produccioacuten de conocimiento matemaacutetico Teorema Fundamentaldel Caacutelculo
CONTEXTUALIZACIOacuteN DEL ESTUDIO
En la actualidad la educacioacuten matemaacutetica estaacute siendo permeada por el uso de
interfaces tecnoloacutegicas para la ensentildeanza y aprendizaje de conocimientos especiacuteficos algunos
autores como Borba Villarreal (2005) Zulatto (2007) y Barbosa (2009) argumentan que
favorecen la visualizacioacuten experimentacioacuten y produccioacuten de conocimiento
1 Magiacutester en Educacioacuten Estudiante de Doctorado en Educacioacuten Universidad de Antioquiaesucerquiagmailcom2 Doctor en Educacioacuten Universidad de Antioquia rene2unenetco3 Doctor en Ciencias Matemaacuteticas Universidad de Antioquia camamatematicasudeaeduco
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Las interfaces y entornos que el internet ofrece en una modalidad de cursos de
matemaacutetica online fue desarrollada en algunos paiacuteses como Brasil para acelerar los procesos
de formacioacuten de maestros como poliacutetica puacuteblica durante los antildeos 2000 al 2002 Actualmente
en Colombia la modalidad online estaacute siendo impulsada y desarrollada para su uso en los
programas de formacioacuten de maestros y estudiantes tanto a nivel de pregrado como de
postgrado en muchas Universidades en particular el programa Ude de la Universidad de
Antioquia
Programa de Educacioacuten Virtual Ude
En el contexto local desde hace aproximadamente 10 antildeos la Universidad deAntioquia a traveacutes del programa Ude ha venido construyendo espacios para la formacioacuten
de estudiantes de la Facultad de Ingenieriacutea los cuales se desarrollan en un alto porcentaje en
la modalidad online y a su vez los estudiantes interactuacutean con los docentes en diferentes
entornos virtuales lo que genera un espacio acadeacutemico para que mediante la manipulacioacuten de
los medios se pueda construir conocimiento El presente estudio centra su atencioacuten en la
produccioacuten de conocimiento matemaacutetico en la modalidad a distancia online asociado al
Teorema Fundamental del Caacutelculo en uno los cursos baacutesicos de matemaacuteticas del programa deeducacioacuten virtual Ude El Caacutelculo Integral
Imagen del sitio web del programa Ude
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En Ude los cursos de matemaacuteticas son desarrollados en dos entornos virtuales el
primero de ellos es una Plataforma Moodle donde se publican los contenidos documentos
cronogramas videos textos ejercicios entre otros para el desarrollo del curso el cual se
encuentra permanentemente activo durante el periacuteodo acadeacutemico el segundo es una
plataforma WiziQ que se utiliza para las videoconferencias propicio para el encuentro
ldquovirtualrdquo la discusioacuten socializacioacuten y comunicacioacuten del docente con los estudiantes esta
uacuteltima plataforma ademaacutes de las herramientas para la videoconferencia (video audio y chat)
tienen una pizarra permite subir documentos y enlaces a videos en la web y grabar las
sesiones desarrolladas que posteriormente los estudiantes pueden revisar y son programadas
para un semestre con una intensidad de 4 horas por semana
En este sentido el presente estudio pretende examinar coacutemo las interfaces
(herramientas tecnologiacuteas utilizadas para interactuar con la informacioacuten) modifican las
formas y meacutetodos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en el programa Ude
ademaacutes de explorar la manera en que estos estudiantes generan los conocimientos
matemaacuteticos otro aspecto que ha motivado la presente investigacioacuten
Pregunta de investigacioacuten
En la educacioacuten matemaacutetica desarrollada de manera online algunos investigadores
han planteado la preocupacioacuten por la naturaleza de la construccioacuten del conocimiento
matemaacutetico en esta modalidad formulando algunos interrogantes como
bull iquestCoacutemo la reorganizacioacuten del pensamiento tiene lugar en los cursos a distancia realizados a
traveacutes del internet (BORBA VILLAREAL 2005 p173)
bull
iquestQueacute tipo de aprendizajes en matemaacuteticas pueden realizar los alumnos involucrados en unambiente virtual (DUARTE et al 2008 p369)
bull iquestCoacutemo ocurre el proceso de ensentildeanza y aprendizaje (BORBA 2011 p 21)
En este sentido el presente estudio indaga sobre
bull iquestQueacute aspectos estaacuten involucrados en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
mediante un ambiente virtual
bull
iquestCuaacuteles son los conocimientos matemaacuteticos que producen los estudiantes en unamodalidad virtual
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Dado lo anterior la investigacioacuten centra su intereacutes en la siguiente pregunta de
investigacioacuten
iquestDe queacute manera un colectivo de estudiantes en la modalidad de educacioacuten a distancia
online del programa Ude produce conocimiento matemaacutetico asociado al teorema
fundamental del caacutelculo
MARCO DE REFERENCIA
Educacioacuten a distancia Online
La educacioacuten a distancia para Moran (2002) ldquoes el proceso de ensentildeanza yaprendizaje mediado por las tecnologiacuteas donde profesores y alumnos estaacuten separados en el
espacio yo en el tiempordquo (p1) por otra parte seguacuten Borba (2011) ldquopuede ser entendida como
la modalidad de educacioacuten que acontece primordialmente mediada por interacciones viacutea
internet y tecnologiacuteas asociadasrdquo (p 17) Desde estas perspectivas y teniendo en cuenta el
contexto del programa Ude la educacioacuten a distancia online puede entenderse como el
proceso de interaccioacuten entre estudiantes y docentes a traveacutes de diferentes interfaces
tecnoloacutegicas y otros medios que permiten el diaacutelogo la comunicacioacuten y la produccioacuten deconocimiento
Para la produccioacuten de conocimientos en la modalidad de educacioacuten a distancia online
es importante tener en cuenta algunos aspectos que influyen en la manera en que los
estudiantes y docentes interaccionan para construir conocimientos en nuestro caso los
conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo En este sentido
seguacuten Borba (2011) la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten son factores que condicionanla naturaleza del aprendizaje y al mismo tiempo estaacuten directamente relacionados con el
proceso de produccioacuten de conocimiento
Para Borba (2011) el diaacutelogo va mucho maacutes allaacute de ser una simple conversacioacuten es
un medio de interaccioacuten donde los participantes expresan no soacutelo sus opiniones sino tambieacuten
sus experiencias dudas y sentimientos De esta manera la comunicacioacuten entre docentes y
estudiantes va mucho maacutes allaacute de la transmisioacuten de conocimiento y se convierte en un proceso
de construccioacuten colectiva posibilitando la transformacioacuten de experiencias y la produccioacuten
colaborativa de conocimiento
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Reconociendo la importancia de la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten como
medios para la produccioacuten de conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online
el constructo teoacuterico humnas-with-media describe algunos aspectos que permiten caracterizar
la manera en que un colectivo de seres humanos con medios produce conocimiento
Constructo teoacuterico humans-with-media
Investigadores en Educacioacuten Matemaacutetica han trabajado en las uacuteltimas deacutecadas sobre la
implementacioacuten de estrategias metodoloacutegicas para mejorar los procesos de construccioacuten de
conceptos y resolucioacuten de situaciones asociadas a las matemaacuteticas Al respecto el constructo
teoacuterico humans-with-media planteado por (BORBA VILLAREAL 2005) aborda el procesode produccioacuten del conocimiento matemaacutetico a partir de la interaccioacuten realizada entre los seres
humanos y los medios
El constructo teoacuterico propuesto por los docentes investigadores Marcelo C Borba y
Moacutenica Villareal (2005) nace de las reflexiones realizadas sobre la dicotomiacutea que se presenta
entre los humanos y la tecnologiacutea y las consecuencias relevantes que se presentan en el aula
de clase El constructo teoacuterico propone hablar de la tecnologiacutea como las herramientas eninteraccioacuten con los seres humanos de tal manera que no se contempla la posibilidad de
pensarlas de forma independiente de los seres humanos tal como lo ilustra la siguiente figura
Figura 1 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Por otra parte la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico estaacute relacionada con la
interaccioacuten de los humanos y los medios Los primeros tanto docentes como estudiantes
interactuacutean con el conocimiento para una reorganizacioacuten del pensamiento y al mismo tiempo
la produccioacuten del mismo los segundos por su parte pueden ser empleados para representar
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producir o comunicar ideas matemaacuteticas y ademaacutes condicionan y regulan el tipo de
pensamiento a ser desarrollado y el tipo de matemaacuteticas que van a ser construidas Esto se
ilustra en la figura 2
Figura 2 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Los autores reflexionan sobre la articulacioacuten de modelos muacuteltiples representaciones
la experimentacioacuten y la tecnologiacutea como una manera de construir conocimiento matemaacutetico
(BORBA VILLAREAL 2005 p65) En el texto se introduce la nocioacuten de la reorganizacioacuten
del pensamiento y la idea de que el conocimiento no es transmitido es producido por la
interaccioacuten de un colectivo de humanosndashconndashmedios En este sentido por un lado se
utilizaraacuten los mapas conceptuales como una manera de reflejar los conocimientos
matemaacuteticos en construccioacuten y las modificaciones que se realizan en el proceso de
aprendizaje de las matemaacuteticas y por otro lado se utilizaraacute la entrevista de caraacutecter socraacutetico
como medio para dinamizar el diaacutelogo y la comunicacioacuten en esta modalidad
El Teorema Fundamental del Caacutelculo
Una de las investigaciones recientes que aborda la relacioacuten inversa entre las
cuadraturas y las rectas tangentes (LONDONtildeO 2011) y que utiliza la entrevista socraacutetica para
favorecer la comprensioacuten de este conocimiento matemaacutetico manifiesta que los oriacutegenes del
Caacutelculo se remontan unos 2000 antildeos atraacutes en los trabajos de los griegos sobre aacutereas y
tangentes Arquiacutemedes (287-22 aC) halloacute el aacuterea de una seccioacuten de paraacutebola en teacuterminosactuales lo que significa calcular la expresioacuten int
b
dx x0
2 Por su parte Apolonio (alrededor de
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260-200 ac) escribioacute acerca de tangentes a elipses paraacutebolas e hipeacuterbolas y Arquiacutemedes
analizoacute las tangentes a ciertas curvas en forma de espiral En esta eacutepoca no se teniacutea
conocimiento de que los problemas de aacuterea y tangentes estariacutean relacionados muchos siglos
despueacutes
En el siglo XVII mientras Descartes y Fermat desarrollaban muchas ideas en torno a
la Geometriacutea Analiacutetica y el Aacutelgebra Cavalieri (1598-1647) halloacute el aacuterea bajo la curva n x y =
para 9321=n de acuerdo a un meacutetodo en el que la longitud de los caacutelculos aumentaba a
medida que el exponente se haciacutea mayor A partir del valor 9=n aseguroacute que el patroacuten
deberiacutea ser vaacutelido para exponentes mayores En los siguientes 20 antildeos varios matemaacuteticos
justificaron su conjetura De manera que auacuten el caacutelculo del aacuterea bajo n x y = para n entero
positivo n que se toma como ejemplo representa un gran triunfo Maacutes tarde Wallis (1616-
1703) halloacute el aacuterea bajo la curva 32
x y = por un meacutetodo que tiene maacutes caraacutecter maacutegico que
matemaacutetico Sin embargo Fermat obtuvo el mismo resultado con ayuda de series
geomeacutetricas infinitas
La situacioacuten era propicia para la unioacuten de las teacutecnicas acerca de tangentes y aacutereas Enefecto Barrow (1630-1677) profesor de Newton en Cambridge logroacute un resultado
equivalente al Teorema Fundamental del Caacutelculo aunque no expresado en forma uacutetil aspecto
que se pretende ser retomado en el presente estudio
En el caacutelculo hay dos importantes clases de liacutemites que se estudian el primero se
define como la derivada de una funcioacuten
Y el otro se define como la integral definida (PURCELL VARBERG RIGDON 2007)
Inicialmente los matemaacuteticos no habiacutean encontrado una relacioacuten entre estos dos
liacutemites sin embargo la relacioacuten entre anti-derivadas e integrales definidas dio paso a la
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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Las interfaces y entornos que el internet ofrece en una modalidad de cursos de
matemaacutetica online fue desarrollada en algunos paiacuteses como Brasil para acelerar los procesos
de formacioacuten de maestros como poliacutetica puacuteblica durante los antildeos 2000 al 2002 Actualmente
en Colombia la modalidad online estaacute siendo impulsada y desarrollada para su uso en los
programas de formacioacuten de maestros y estudiantes tanto a nivel de pregrado como de
postgrado en muchas Universidades en particular el programa Ude de la Universidad de
Antioquia
Programa de Educacioacuten Virtual Ude
En el contexto local desde hace aproximadamente 10 antildeos la Universidad deAntioquia a traveacutes del programa Ude ha venido construyendo espacios para la formacioacuten
de estudiantes de la Facultad de Ingenieriacutea los cuales se desarrollan en un alto porcentaje en
la modalidad online y a su vez los estudiantes interactuacutean con los docentes en diferentes
entornos virtuales lo que genera un espacio acadeacutemico para que mediante la manipulacioacuten de
los medios se pueda construir conocimiento El presente estudio centra su atencioacuten en la
produccioacuten de conocimiento matemaacutetico en la modalidad a distancia online asociado al
Teorema Fundamental del Caacutelculo en uno los cursos baacutesicos de matemaacuteticas del programa deeducacioacuten virtual Ude El Caacutelculo Integral
Imagen del sitio web del programa Ude
983144983156983156983152983098983087983087983159983159983159983086983157983140983141983137983086983141983140983157983086983139983151983087983152983151983154983156983137983148983087983152983137983143983141983087983152983151983154983156983137983148983087983120983154983151983143983154983137983149983137983155983087983157983140983141983137983154983154983151983138983137
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En Ude los cursos de matemaacuteticas son desarrollados en dos entornos virtuales el
primero de ellos es una Plataforma Moodle donde se publican los contenidos documentos
cronogramas videos textos ejercicios entre otros para el desarrollo del curso el cual se
encuentra permanentemente activo durante el periacuteodo acadeacutemico el segundo es una
plataforma WiziQ que se utiliza para las videoconferencias propicio para el encuentro
ldquovirtualrdquo la discusioacuten socializacioacuten y comunicacioacuten del docente con los estudiantes esta
uacuteltima plataforma ademaacutes de las herramientas para la videoconferencia (video audio y chat)
tienen una pizarra permite subir documentos y enlaces a videos en la web y grabar las
sesiones desarrolladas que posteriormente los estudiantes pueden revisar y son programadas
para un semestre con una intensidad de 4 horas por semana
En este sentido el presente estudio pretende examinar coacutemo las interfaces
(herramientas tecnologiacuteas utilizadas para interactuar con la informacioacuten) modifican las
formas y meacutetodos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en el programa Ude
ademaacutes de explorar la manera en que estos estudiantes generan los conocimientos
matemaacuteticos otro aspecto que ha motivado la presente investigacioacuten
Pregunta de investigacioacuten
En la educacioacuten matemaacutetica desarrollada de manera online algunos investigadores
han planteado la preocupacioacuten por la naturaleza de la construccioacuten del conocimiento
matemaacutetico en esta modalidad formulando algunos interrogantes como
bull iquestCoacutemo la reorganizacioacuten del pensamiento tiene lugar en los cursos a distancia realizados a
traveacutes del internet (BORBA VILLAREAL 2005 p173)
bull
iquestQueacute tipo de aprendizajes en matemaacuteticas pueden realizar los alumnos involucrados en unambiente virtual (DUARTE et al 2008 p369)
bull iquestCoacutemo ocurre el proceso de ensentildeanza y aprendizaje (BORBA 2011 p 21)
En este sentido el presente estudio indaga sobre
bull iquestQueacute aspectos estaacuten involucrados en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
mediante un ambiente virtual
bull
iquestCuaacuteles son los conocimientos matemaacuteticos que producen los estudiantes en unamodalidad virtual
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Dado lo anterior la investigacioacuten centra su intereacutes en la siguiente pregunta de
investigacioacuten
iquestDe queacute manera un colectivo de estudiantes en la modalidad de educacioacuten a distancia
online del programa Ude produce conocimiento matemaacutetico asociado al teorema
fundamental del caacutelculo
MARCO DE REFERENCIA
Educacioacuten a distancia Online
La educacioacuten a distancia para Moran (2002) ldquoes el proceso de ensentildeanza yaprendizaje mediado por las tecnologiacuteas donde profesores y alumnos estaacuten separados en el
espacio yo en el tiempordquo (p1) por otra parte seguacuten Borba (2011) ldquopuede ser entendida como
la modalidad de educacioacuten que acontece primordialmente mediada por interacciones viacutea
internet y tecnologiacuteas asociadasrdquo (p 17) Desde estas perspectivas y teniendo en cuenta el
contexto del programa Ude la educacioacuten a distancia online puede entenderse como el
proceso de interaccioacuten entre estudiantes y docentes a traveacutes de diferentes interfaces
tecnoloacutegicas y otros medios que permiten el diaacutelogo la comunicacioacuten y la produccioacuten deconocimiento
Para la produccioacuten de conocimientos en la modalidad de educacioacuten a distancia online
es importante tener en cuenta algunos aspectos que influyen en la manera en que los
estudiantes y docentes interaccionan para construir conocimientos en nuestro caso los
conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo En este sentido
seguacuten Borba (2011) la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten son factores que condicionanla naturaleza del aprendizaje y al mismo tiempo estaacuten directamente relacionados con el
proceso de produccioacuten de conocimiento
Para Borba (2011) el diaacutelogo va mucho maacutes allaacute de ser una simple conversacioacuten es
un medio de interaccioacuten donde los participantes expresan no soacutelo sus opiniones sino tambieacuten
sus experiencias dudas y sentimientos De esta manera la comunicacioacuten entre docentes y
estudiantes va mucho maacutes allaacute de la transmisioacuten de conocimiento y se convierte en un proceso
de construccioacuten colectiva posibilitando la transformacioacuten de experiencias y la produccioacuten
colaborativa de conocimiento
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Reconociendo la importancia de la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten como
medios para la produccioacuten de conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online
el constructo teoacuterico humnas-with-media describe algunos aspectos que permiten caracterizar
la manera en que un colectivo de seres humanos con medios produce conocimiento
Constructo teoacuterico humans-with-media
Investigadores en Educacioacuten Matemaacutetica han trabajado en las uacuteltimas deacutecadas sobre la
implementacioacuten de estrategias metodoloacutegicas para mejorar los procesos de construccioacuten de
conceptos y resolucioacuten de situaciones asociadas a las matemaacuteticas Al respecto el constructo
teoacuterico humans-with-media planteado por (BORBA VILLAREAL 2005) aborda el procesode produccioacuten del conocimiento matemaacutetico a partir de la interaccioacuten realizada entre los seres
humanos y los medios
El constructo teoacuterico propuesto por los docentes investigadores Marcelo C Borba y
Moacutenica Villareal (2005) nace de las reflexiones realizadas sobre la dicotomiacutea que se presenta
entre los humanos y la tecnologiacutea y las consecuencias relevantes que se presentan en el aula
de clase El constructo teoacuterico propone hablar de la tecnologiacutea como las herramientas eninteraccioacuten con los seres humanos de tal manera que no se contempla la posibilidad de
pensarlas de forma independiente de los seres humanos tal como lo ilustra la siguiente figura
Figura 1 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Por otra parte la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico estaacute relacionada con la
interaccioacuten de los humanos y los medios Los primeros tanto docentes como estudiantes
interactuacutean con el conocimiento para una reorganizacioacuten del pensamiento y al mismo tiempo
la produccioacuten del mismo los segundos por su parte pueden ser empleados para representar
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producir o comunicar ideas matemaacuteticas y ademaacutes condicionan y regulan el tipo de
pensamiento a ser desarrollado y el tipo de matemaacuteticas que van a ser construidas Esto se
ilustra en la figura 2
Figura 2 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Los autores reflexionan sobre la articulacioacuten de modelos muacuteltiples representaciones
la experimentacioacuten y la tecnologiacutea como una manera de construir conocimiento matemaacutetico
(BORBA VILLAREAL 2005 p65) En el texto se introduce la nocioacuten de la reorganizacioacuten
del pensamiento y la idea de que el conocimiento no es transmitido es producido por la
interaccioacuten de un colectivo de humanosndashconndashmedios En este sentido por un lado se
utilizaraacuten los mapas conceptuales como una manera de reflejar los conocimientos
matemaacuteticos en construccioacuten y las modificaciones que se realizan en el proceso de
aprendizaje de las matemaacuteticas y por otro lado se utilizaraacute la entrevista de caraacutecter socraacutetico
como medio para dinamizar el diaacutelogo y la comunicacioacuten en esta modalidad
El Teorema Fundamental del Caacutelculo
Una de las investigaciones recientes que aborda la relacioacuten inversa entre las
cuadraturas y las rectas tangentes (LONDONtildeO 2011) y que utiliza la entrevista socraacutetica para
favorecer la comprensioacuten de este conocimiento matemaacutetico manifiesta que los oriacutegenes del
Caacutelculo se remontan unos 2000 antildeos atraacutes en los trabajos de los griegos sobre aacutereas y
tangentes Arquiacutemedes (287-22 aC) halloacute el aacuterea de una seccioacuten de paraacutebola en teacuterminosactuales lo que significa calcular la expresioacuten int
b
dx x0
2 Por su parte Apolonio (alrededor de
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260-200 ac) escribioacute acerca de tangentes a elipses paraacutebolas e hipeacuterbolas y Arquiacutemedes
analizoacute las tangentes a ciertas curvas en forma de espiral En esta eacutepoca no se teniacutea
conocimiento de que los problemas de aacuterea y tangentes estariacutean relacionados muchos siglos
despueacutes
En el siglo XVII mientras Descartes y Fermat desarrollaban muchas ideas en torno a
la Geometriacutea Analiacutetica y el Aacutelgebra Cavalieri (1598-1647) halloacute el aacuterea bajo la curva n x y =
para 9321=n de acuerdo a un meacutetodo en el que la longitud de los caacutelculos aumentaba a
medida que el exponente se haciacutea mayor A partir del valor 9=n aseguroacute que el patroacuten
deberiacutea ser vaacutelido para exponentes mayores En los siguientes 20 antildeos varios matemaacuteticos
justificaron su conjetura De manera que auacuten el caacutelculo del aacuterea bajo n x y = para n entero
positivo n que se toma como ejemplo representa un gran triunfo Maacutes tarde Wallis (1616-
1703) halloacute el aacuterea bajo la curva 32
x y = por un meacutetodo que tiene maacutes caraacutecter maacutegico que
matemaacutetico Sin embargo Fermat obtuvo el mismo resultado con ayuda de series
geomeacutetricas infinitas
La situacioacuten era propicia para la unioacuten de las teacutecnicas acerca de tangentes y aacutereas Enefecto Barrow (1630-1677) profesor de Newton en Cambridge logroacute un resultado
equivalente al Teorema Fundamental del Caacutelculo aunque no expresado en forma uacutetil aspecto
que se pretende ser retomado en el presente estudio
En el caacutelculo hay dos importantes clases de liacutemites que se estudian el primero se
define como la derivada de una funcioacuten
Y el otro se define como la integral definida (PURCELL VARBERG RIGDON 2007)
Inicialmente los matemaacuteticos no habiacutean encontrado una relacioacuten entre estos dos
liacutemites sin embargo la relacioacuten entre anti-derivadas e integrales definidas dio paso a la
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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positivos Espantildea Editorial Acadeacutemica Espantildeola 2012
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construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
bull LONDONtildeO R A La Relacioacuten Inversa entre Cuadraturas y tangentes en el marco de
la teoriacutea de Pirie y Kieren Medelliacuten Tesis Doctoral 2011
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculo de
matemaacuteticas Lineamientos curriculares Santafeacute de Bogotaacute Colombia 1999
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Educacioacuten virtual o educacioacuten en
liacutenea 2009 Artiacuteculo publicado en httpwwwmineducaciongovco1621article-196492html Acceso Febrero de 2013
bull
MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
bull NOVAK J D amp GOWIN B Aprendiendo a aprender Tercera Edicioacuten BarcelonaMartiacutenez Roca 1988
bull PURCELL E J VARBERG D RIGDON S E Caacutelculo 9 Ed Person Ciudad deMeacutexico 2007
bull SANTA Z La elipse como lugar geomeacutetrico a traveacutes de la geometriacutea del doblado de
papel en el contexto de van hiele Tesis de Maestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia2011
bull
STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
2009
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bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
bull ZULATTO R A natureza da aprendizagem matemaacutetica em um ambiente online de
formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
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En Ude los cursos de matemaacuteticas son desarrollados en dos entornos virtuales el
primero de ellos es una Plataforma Moodle donde se publican los contenidos documentos
cronogramas videos textos ejercicios entre otros para el desarrollo del curso el cual se
encuentra permanentemente activo durante el periacuteodo acadeacutemico el segundo es una
plataforma WiziQ que se utiliza para las videoconferencias propicio para el encuentro
ldquovirtualrdquo la discusioacuten socializacioacuten y comunicacioacuten del docente con los estudiantes esta
uacuteltima plataforma ademaacutes de las herramientas para la videoconferencia (video audio y chat)
tienen una pizarra permite subir documentos y enlaces a videos en la web y grabar las
sesiones desarrolladas que posteriormente los estudiantes pueden revisar y son programadas
para un semestre con una intensidad de 4 horas por semana
En este sentido el presente estudio pretende examinar coacutemo las interfaces
(herramientas tecnologiacuteas utilizadas para interactuar con la informacioacuten) modifican las
formas y meacutetodos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en el programa Ude
ademaacutes de explorar la manera en que estos estudiantes generan los conocimientos
matemaacuteticos otro aspecto que ha motivado la presente investigacioacuten
Pregunta de investigacioacuten
En la educacioacuten matemaacutetica desarrollada de manera online algunos investigadores
han planteado la preocupacioacuten por la naturaleza de la construccioacuten del conocimiento
matemaacutetico en esta modalidad formulando algunos interrogantes como
bull iquestCoacutemo la reorganizacioacuten del pensamiento tiene lugar en los cursos a distancia realizados a
traveacutes del internet (BORBA VILLAREAL 2005 p173)
bull
iquestQueacute tipo de aprendizajes en matemaacuteticas pueden realizar los alumnos involucrados en unambiente virtual (DUARTE et al 2008 p369)
bull iquestCoacutemo ocurre el proceso de ensentildeanza y aprendizaje (BORBA 2011 p 21)
En este sentido el presente estudio indaga sobre
bull iquestQueacute aspectos estaacuten involucrados en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
mediante un ambiente virtual
bull
iquestCuaacuteles son los conocimientos matemaacuteticos que producen los estudiantes en unamodalidad virtual
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Dado lo anterior la investigacioacuten centra su intereacutes en la siguiente pregunta de
investigacioacuten
iquestDe queacute manera un colectivo de estudiantes en la modalidad de educacioacuten a distancia
online del programa Ude produce conocimiento matemaacutetico asociado al teorema
fundamental del caacutelculo
MARCO DE REFERENCIA
Educacioacuten a distancia Online
La educacioacuten a distancia para Moran (2002) ldquoes el proceso de ensentildeanza yaprendizaje mediado por las tecnologiacuteas donde profesores y alumnos estaacuten separados en el
espacio yo en el tiempordquo (p1) por otra parte seguacuten Borba (2011) ldquopuede ser entendida como
la modalidad de educacioacuten que acontece primordialmente mediada por interacciones viacutea
internet y tecnologiacuteas asociadasrdquo (p 17) Desde estas perspectivas y teniendo en cuenta el
contexto del programa Ude la educacioacuten a distancia online puede entenderse como el
proceso de interaccioacuten entre estudiantes y docentes a traveacutes de diferentes interfaces
tecnoloacutegicas y otros medios que permiten el diaacutelogo la comunicacioacuten y la produccioacuten deconocimiento
Para la produccioacuten de conocimientos en la modalidad de educacioacuten a distancia online
es importante tener en cuenta algunos aspectos que influyen en la manera en que los
estudiantes y docentes interaccionan para construir conocimientos en nuestro caso los
conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo En este sentido
seguacuten Borba (2011) la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten son factores que condicionanla naturaleza del aprendizaje y al mismo tiempo estaacuten directamente relacionados con el
proceso de produccioacuten de conocimiento
Para Borba (2011) el diaacutelogo va mucho maacutes allaacute de ser una simple conversacioacuten es
un medio de interaccioacuten donde los participantes expresan no soacutelo sus opiniones sino tambieacuten
sus experiencias dudas y sentimientos De esta manera la comunicacioacuten entre docentes y
estudiantes va mucho maacutes allaacute de la transmisioacuten de conocimiento y se convierte en un proceso
de construccioacuten colectiva posibilitando la transformacioacuten de experiencias y la produccioacuten
colaborativa de conocimiento
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Reconociendo la importancia de la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten como
medios para la produccioacuten de conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online
el constructo teoacuterico humnas-with-media describe algunos aspectos que permiten caracterizar
la manera en que un colectivo de seres humanos con medios produce conocimiento
Constructo teoacuterico humans-with-media
Investigadores en Educacioacuten Matemaacutetica han trabajado en las uacuteltimas deacutecadas sobre la
implementacioacuten de estrategias metodoloacutegicas para mejorar los procesos de construccioacuten de
conceptos y resolucioacuten de situaciones asociadas a las matemaacuteticas Al respecto el constructo
teoacuterico humans-with-media planteado por (BORBA VILLAREAL 2005) aborda el procesode produccioacuten del conocimiento matemaacutetico a partir de la interaccioacuten realizada entre los seres
humanos y los medios
El constructo teoacuterico propuesto por los docentes investigadores Marcelo C Borba y
Moacutenica Villareal (2005) nace de las reflexiones realizadas sobre la dicotomiacutea que se presenta
entre los humanos y la tecnologiacutea y las consecuencias relevantes que se presentan en el aula
de clase El constructo teoacuterico propone hablar de la tecnologiacutea como las herramientas eninteraccioacuten con los seres humanos de tal manera que no se contempla la posibilidad de
pensarlas de forma independiente de los seres humanos tal como lo ilustra la siguiente figura
Figura 1 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Por otra parte la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico estaacute relacionada con la
interaccioacuten de los humanos y los medios Los primeros tanto docentes como estudiantes
interactuacutean con el conocimiento para una reorganizacioacuten del pensamiento y al mismo tiempo
la produccioacuten del mismo los segundos por su parte pueden ser empleados para representar
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producir o comunicar ideas matemaacuteticas y ademaacutes condicionan y regulan el tipo de
pensamiento a ser desarrollado y el tipo de matemaacuteticas que van a ser construidas Esto se
ilustra en la figura 2
Figura 2 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Los autores reflexionan sobre la articulacioacuten de modelos muacuteltiples representaciones
la experimentacioacuten y la tecnologiacutea como una manera de construir conocimiento matemaacutetico
(BORBA VILLAREAL 2005 p65) En el texto se introduce la nocioacuten de la reorganizacioacuten
del pensamiento y la idea de que el conocimiento no es transmitido es producido por la
interaccioacuten de un colectivo de humanosndashconndashmedios En este sentido por un lado se
utilizaraacuten los mapas conceptuales como una manera de reflejar los conocimientos
matemaacuteticos en construccioacuten y las modificaciones que se realizan en el proceso de
aprendizaje de las matemaacuteticas y por otro lado se utilizaraacute la entrevista de caraacutecter socraacutetico
como medio para dinamizar el diaacutelogo y la comunicacioacuten en esta modalidad
El Teorema Fundamental del Caacutelculo
Una de las investigaciones recientes que aborda la relacioacuten inversa entre las
cuadraturas y las rectas tangentes (LONDONtildeO 2011) y que utiliza la entrevista socraacutetica para
favorecer la comprensioacuten de este conocimiento matemaacutetico manifiesta que los oriacutegenes del
Caacutelculo se remontan unos 2000 antildeos atraacutes en los trabajos de los griegos sobre aacutereas y
tangentes Arquiacutemedes (287-22 aC) halloacute el aacuterea de una seccioacuten de paraacutebola en teacuterminosactuales lo que significa calcular la expresioacuten int
b
dx x0
2 Por su parte Apolonio (alrededor de
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260-200 ac) escribioacute acerca de tangentes a elipses paraacutebolas e hipeacuterbolas y Arquiacutemedes
analizoacute las tangentes a ciertas curvas en forma de espiral En esta eacutepoca no se teniacutea
conocimiento de que los problemas de aacuterea y tangentes estariacutean relacionados muchos siglos
despueacutes
En el siglo XVII mientras Descartes y Fermat desarrollaban muchas ideas en torno a
la Geometriacutea Analiacutetica y el Aacutelgebra Cavalieri (1598-1647) halloacute el aacuterea bajo la curva n x y =
para 9321=n de acuerdo a un meacutetodo en el que la longitud de los caacutelculos aumentaba a
medida que el exponente se haciacutea mayor A partir del valor 9=n aseguroacute que el patroacuten
deberiacutea ser vaacutelido para exponentes mayores En los siguientes 20 antildeos varios matemaacuteticos
justificaron su conjetura De manera que auacuten el caacutelculo del aacuterea bajo n x y = para n entero
positivo n que se toma como ejemplo representa un gran triunfo Maacutes tarde Wallis (1616-
1703) halloacute el aacuterea bajo la curva 32
x y = por un meacutetodo que tiene maacutes caraacutecter maacutegico que
matemaacutetico Sin embargo Fermat obtuvo el mismo resultado con ayuda de series
geomeacutetricas infinitas
La situacioacuten era propicia para la unioacuten de las teacutecnicas acerca de tangentes y aacutereas Enefecto Barrow (1630-1677) profesor de Newton en Cambridge logroacute un resultado
equivalente al Teorema Fundamental del Caacutelculo aunque no expresado en forma uacutetil aspecto
que se pretende ser retomado en el presente estudio
En el caacutelculo hay dos importantes clases de liacutemites que se estudian el primero se
define como la derivada de una funcioacuten
Y el otro se define como la integral definida (PURCELL VARBERG RIGDON 2007)
Inicialmente los matemaacuteticos no habiacutean encontrado una relacioacuten entre estos dos
liacutemites sin embargo la relacioacuten entre anti-derivadas e integrales definidas dio paso a la
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
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formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
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Dado lo anterior la investigacioacuten centra su intereacutes en la siguiente pregunta de
investigacioacuten
iquestDe queacute manera un colectivo de estudiantes en la modalidad de educacioacuten a distancia
online del programa Ude produce conocimiento matemaacutetico asociado al teorema
fundamental del caacutelculo
MARCO DE REFERENCIA
Educacioacuten a distancia Online
La educacioacuten a distancia para Moran (2002) ldquoes el proceso de ensentildeanza yaprendizaje mediado por las tecnologiacuteas donde profesores y alumnos estaacuten separados en el
espacio yo en el tiempordquo (p1) por otra parte seguacuten Borba (2011) ldquopuede ser entendida como
la modalidad de educacioacuten que acontece primordialmente mediada por interacciones viacutea
internet y tecnologiacuteas asociadasrdquo (p 17) Desde estas perspectivas y teniendo en cuenta el
contexto del programa Ude la educacioacuten a distancia online puede entenderse como el
proceso de interaccioacuten entre estudiantes y docentes a traveacutes de diferentes interfaces
tecnoloacutegicas y otros medios que permiten el diaacutelogo la comunicacioacuten y la produccioacuten deconocimiento
Para la produccioacuten de conocimientos en la modalidad de educacioacuten a distancia online
es importante tener en cuenta algunos aspectos que influyen en la manera en que los
estudiantes y docentes interaccionan para construir conocimientos en nuestro caso los
conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo En este sentido
seguacuten Borba (2011) la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten son factores que condicionanla naturaleza del aprendizaje y al mismo tiempo estaacuten directamente relacionados con el
proceso de produccioacuten de conocimiento
Para Borba (2011) el diaacutelogo va mucho maacutes allaacute de ser una simple conversacioacuten es
un medio de interaccioacuten donde los participantes expresan no soacutelo sus opiniones sino tambieacuten
sus experiencias dudas y sentimientos De esta manera la comunicacioacuten entre docentes y
estudiantes va mucho maacutes allaacute de la transmisioacuten de conocimiento y se convierte en un proceso
de construccioacuten colectiva posibilitando la transformacioacuten de experiencias y la produccioacuten
colaborativa de conocimiento
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Reconociendo la importancia de la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten como
medios para la produccioacuten de conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online
el constructo teoacuterico humnas-with-media describe algunos aspectos que permiten caracterizar
la manera en que un colectivo de seres humanos con medios produce conocimiento
Constructo teoacuterico humans-with-media
Investigadores en Educacioacuten Matemaacutetica han trabajado en las uacuteltimas deacutecadas sobre la
implementacioacuten de estrategias metodoloacutegicas para mejorar los procesos de construccioacuten de
conceptos y resolucioacuten de situaciones asociadas a las matemaacuteticas Al respecto el constructo
teoacuterico humans-with-media planteado por (BORBA VILLAREAL 2005) aborda el procesode produccioacuten del conocimiento matemaacutetico a partir de la interaccioacuten realizada entre los seres
humanos y los medios
El constructo teoacuterico propuesto por los docentes investigadores Marcelo C Borba y
Moacutenica Villareal (2005) nace de las reflexiones realizadas sobre la dicotomiacutea que se presenta
entre los humanos y la tecnologiacutea y las consecuencias relevantes que se presentan en el aula
de clase El constructo teoacuterico propone hablar de la tecnologiacutea como las herramientas eninteraccioacuten con los seres humanos de tal manera que no se contempla la posibilidad de
pensarlas de forma independiente de los seres humanos tal como lo ilustra la siguiente figura
Figura 1 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Por otra parte la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico estaacute relacionada con la
interaccioacuten de los humanos y los medios Los primeros tanto docentes como estudiantes
interactuacutean con el conocimiento para una reorganizacioacuten del pensamiento y al mismo tiempo
la produccioacuten del mismo los segundos por su parte pueden ser empleados para representar
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producir o comunicar ideas matemaacuteticas y ademaacutes condicionan y regulan el tipo de
pensamiento a ser desarrollado y el tipo de matemaacuteticas que van a ser construidas Esto se
ilustra en la figura 2
Figura 2 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Los autores reflexionan sobre la articulacioacuten de modelos muacuteltiples representaciones
la experimentacioacuten y la tecnologiacutea como una manera de construir conocimiento matemaacutetico
(BORBA VILLAREAL 2005 p65) En el texto se introduce la nocioacuten de la reorganizacioacuten
del pensamiento y la idea de que el conocimiento no es transmitido es producido por la
interaccioacuten de un colectivo de humanosndashconndashmedios En este sentido por un lado se
utilizaraacuten los mapas conceptuales como una manera de reflejar los conocimientos
matemaacuteticos en construccioacuten y las modificaciones que se realizan en el proceso de
aprendizaje de las matemaacuteticas y por otro lado se utilizaraacute la entrevista de caraacutecter socraacutetico
como medio para dinamizar el diaacutelogo y la comunicacioacuten en esta modalidad
El Teorema Fundamental del Caacutelculo
Una de las investigaciones recientes que aborda la relacioacuten inversa entre las
cuadraturas y las rectas tangentes (LONDONtildeO 2011) y que utiliza la entrevista socraacutetica para
favorecer la comprensioacuten de este conocimiento matemaacutetico manifiesta que los oriacutegenes del
Caacutelculo se remontan unos 2000 antildeos atraacutes en los trabajos de los griegos sobre aacutereas y
tangentes Arquiacutemedes (287-22 aC) halloacute el aacuterea de una seccioacuten de paraacutebola en teacuterminosactuales lo que significa calcular la expresioacuten int
b
dx x0
2 Por su parte Apolonio (alrededor de
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260-200 ac) escribioacute acerca de tangentes a elipses paraacutebolas e hipeacuterbolas y Arquiacutemedes
analizoacute las tangentes a ciertas curvas en forma de espiral En esta eacutepoca no se teniacutea
conocimiento de que los problemas de aacuterea y tangentes estariacutean relacionados muchos siglos
despueacutes
En el siglo XVII mientras Descartes y Fermat desarrollaban muchas ideas en torno a
la Geometriacutea Analiacutetica y el Aacutelgebra Cavalieri (1598-1647) halloacute el aacuterea bajo la curva n x y =
para 9321=n de acuerdo a un meacutetodo en el que la longitud de los caacutelculos aumentaba a
medida que el exponente se haciacutea mayor A partir del valor 9=n aseguroacute que el patroacuten
deberiacutea ser vaacutelido para exponentes mayores En los siguientes 20 antildeos varios matemaacuteticos
justificaron su conjetura De manera que auacuten el caacutelculo del aacuterea bajo n x y = para n entero
positivo n que se toma como ejemplo representa un gran triunfo Maacutes tarde Wallis (1616-
1703) halloacute el aacuterea bajo la curva 32
x y = por un meacutetodo que tiene maacutes caraacutecter maacutegico que
matemaacutetico Sin embargo Fermat obtuvo el mismo resultado con ayuda de series
geomeacutetricas infinitas
La situacioacuten era propicia para la unioacuten de las teacutecnicas acerca de tangentes y aacutereas Enefecto Barrow (1630-1677) profesor de Newton en Cambridge logroacute un resultado
equivalente al Teorema Fundamental del Caacutelculo aunque no expresado en forma uacutetil aspecto
que se pretende ser retomado en el presente estudio
En el caacutelculo hay dos importantes clases de liacutemites que se estudian el primero se
define como la derivada de una funcioacuten
Y el otro se define como la integral definida (PURCELL VARBERG RIGDON 2007)
Inicialmente los matemaacuteticos no habiacutean encontrado una relacioacuten entre estos dos
liacutemites sin embargo la relacioacuten entre anti-derivadas e integrales definidas dio paso a la
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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Reconociendo la importancia de la interaccioacuten el diaacutelogo y la colaboracioacuten como
medios para la produccioacuten de conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online
el constructo teoacuterico humnas-with-media describe algunos aspectos que permiten caracterizar
la manera en que un colectivo de seres humanos con medios produce conocimiento
Constructo teoacuterico humans-with-media
Investigadores en Educacioacuten Matemaacutetica han trabajado en las uacuteltimas deacutecadas sobre la
implementacioacuten de estrategias metodoloacutegicas para mejorar los procesos de construccioacuten de
conceptos y resolucioacuten de situaciones asociadas a las matemaacuteticas Al respecto el constructo
teoacuterico humans-with-media planteado por (BORBA VILLAREAL 2005) aborda el procesode produccioacuten del conocimiento matemaacutetico a partir de la interaccioacuten realizada entre los seres
humanos y los medios
El constructo teoacuterico propuesto por los docentes investigadores Marcelo C Borba y
Moacutenica Villareal (2005) nace de las reflexiones realizadas sobre la dicotomiacutea que se presenta
entre los humanos y la tecnologiacutea y las consecuencias relevantes que se presentan en el aula
de clase El constructo teoacuterico propone hablar de la tecnologiacutea como las herramientas eninteraccioacuten con los seres humanos de tal manera que no se contempla la posibilidad de
pensarlas de forma independiente de los seres humanos tal como lo ilustra la siguiente figura
Figura 1 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Por otra parte la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico estaacute relacionada con la
interaccioacuten de los humanos y los medios Los primeros tanto docentes como estudiantes
interactuacutean con el conocimiento para una reorganizacioacuten del pensamiento y al mismo tiempo
la produccioacuten del mismo los segundos por su parte pueden ser empleados para representar
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producir o comunicar ideas matemaacuteticas y ademaacutes condicionan y regulan el tipo de
pensamiento a ser desarrollado y el tipo de matemaacuteticas que van a ser construidas Esto se
ilustra en la figura 2
Figura 2 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Los autores reflexionan sobre la articulacioacuten de modelos muacuteltiples representaciones
la experimentacioacuten y la tecnologiacutea como una manera de construir conocimiento matemaacutetico
(BORBA VILLAREAL 2005 p65) En el texto se introduce la nocioacuten de la reorganizacioacuten
del pensamiento y la idea de que el conocimiento no es transmitido es producido por la
interaccioacuten de un colectivo de humanosndashconndashmedios En este sentido por un lado se
utilizaraacuten los mapas conceptuales como una manera de reflejar los conocimientos
matemaacuteticos en construccioacuten y las modificaciones que se realizan en el proceso de
aprendizaje de las matemaacuteticas y por otro lado se utilizaraacute la entrevista de caraacutecter socraacutetico
como medio para dinamizar el diaacutelogo y la comunicacioacuten en esta modalidad
El Teorema Fundamental del Caacutelculo
Una de las investigaciones recientes que aborda la relacioacuten inversa entre las
cuadraturas y las rectas tangentes (LONDONtildeO 2011) y que utiliza la entrevista socraacutetica para
favorecer la comprensioacuten de este conocimiento matemaacutetico manifiesta que los oriacutegenes del
Caacutelculo se remontan unos 2000 antildeos atraacutes en los trabajos de los griegos sobre aacutereas y
tangentes Arquiacutemedes (287-22 aC) halloacute el aacuterea de una seccioacuten de paraacutebola en teacuterminosactuales lo que significa calcular la expresioacuten int
b
dx x0
2 Por su parte Apolonio (alrededor de
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260-200 ac) escribioacute acerca de tangentes a elipses paraacutebolas e hipeacuterbolas y Arquiacutemedes
analizoacute las tangentes a ciertas curvas en forma de espiral En esta eacutepoca no se teniacutea
conocimiento de que los problemas de aacuterea y tangentes estariacutean relacionados muchos siglos
despueacutes
En el siglo XVII mientras Descartes y Fermat desarrollaban muchas ideas en torno a
la Geometriacutea Analiacutetica y el Aacutelgebra Cavalieri (1598-1647) halloacute el aacuterea bajo la curva n x y =
para 9321=n de acuerdo a un meacutetodo en el que la longitud de los caacutelculos aumentaba a
medida que el exponente se haciacutea mayor A partir del valor 9=n aseguroacute que el patroacuten
deberiacutea ser vaacutelido para exponentes mayores En los siguientes 20 antildeos varios matemaacuteticos
justificaron su conjetura De manera que auacuten el caacutelculo del aacuterea bajo n x y = para n entero
positivo n que se toma como ejemplo representa un gran triunfo Maacutes tarde Wallis (1616-
1703) halloacute el aacuterea bajo la curva 32
x y = por un meacutetodo que tiene maacutes caraacutecter maacutegico que
matemaacutetico Sin embargo Fermat obtuvo el mismo resultado con ayuda de series
geomeacutetricas infinitas
La situacioacuten era propicia para la unioacuten de las teacutecnicas acerca de tangentes y aacutereas Enefecto Barrow (1630-1677) profesor de Newton en Cambridge logroacute un resultado
equivalente al Teorema Fundamental del Caacutelculo aunque no expresado en forma uacutetil aspecto
que se pretende ser retomado en el presente estudio
En el caacutelculo hay dos importantes clases de liacutemites que se estudian el primero se
define como la derivada de una funcioacuten
Y el otro se define como la integral definida (PURCELL VARBERG RIGDON 2007)
Inicialmente los matemaacuteticos no habiacutean encontrado una relacioacuten entre estos dos
liacutemites sin embargo la relacioacuten entre anti-derivadas e integrales definidas dio paso a la
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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BIBLIOGRAFIacuteA
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producir o comunicar ideas matemaacuteticas y ademaacutes condicionan y regulan el tipo de
pensamiento a ser desarrollado y el tipo de matemaacuteticas que van a ser construidas Esto se
ilustra en la figura 2
Figura 2 Mapa conceptual construido a partir de la interpretacioacuten del constructo teoacuterico
Los autores reflexionan sobre la articulacioacuten de modelos muacuteltiples representaciones
la experimentacioacuten y la tecnologiacutea como una manera de construir conocimiento matemaacutetico
(BORBA VILLAREAL 2005 p65) En el texto se introduce la nocioacuten de la reorganizacioacuten
del pensamiento y la idea de que el conocimiento no es transmitido es producido por la
interaccioacuten de un colectivo de humanosndashconndashmedios En este sentido por un lado se
utilizaraacuten los mapas conceptuales como una manera de reflejar los conocimientos
matemaacuteticos en construccioacuten y las modificaciones que se realizan en el proceso de
aprendizaje de las matemaacuteticas y por otro lado se utilizaraacute la entrevista de caraacutecter socraacutetico
como medio para dinamizar el diaacutelogo y la comunicacioacuten en esta modalidad
El Teorema Fundamental del Caacutelculo
Una de las investigaciones recientes que aborda la relacioacuten inversa entre las
cuadraturas y las rectas tangentes (LONDONtildeO 2011) y que utiliza la entrevista socraacutetica para
favorecer la comprensioacuten de este conocimiento matemaacutetico manifiesta que los oriacutegenes del
Caacutelculo se remontan unos 2000 antildeos atraacutes en los trabajos de los griegos sobre aacutereas y
tangentes Arquiacutemedes (287-22 aC) halloacute el aacuterea de una seccioacuten de paraacutebola en teacuterminosactuales lo que significa calcular la expresioacuten int
b
dx x0
2 Por su parte Apolonio (alrededor de
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260-200 ac) escribioacute acerca de tangentes a elipses paraacutebolas e hipeacuterbolas y Arquiacutemedes
analizoacute las tangentes a ciertas curvas en forma de espiral En esta eacutepoca no se teniacutea
conocimiento de que los problemas de aacuterea y tangentes estariacutean relacionados muchos siglos
despueacutes
En el siglo XVII mientras Descartes y Fermat desarrollaban muchas ideas en torno a
la Geometriacutea Analiacutetica y el Aacutelgebra Cavalieri (1598-1647) halloacute el aacuterea bajo la curva n x y =
para 9321=n de acuerdo a un meacutetodo en el que la longitud de los caacutelculos aumentaba a
medida que el exponente se haciacutea mayor A partir del valor 9=n aseguroacute que el patroacuten
deberiacutea ser vaacutelido para exponentes mayores En los siguientes 20 antildeos varios matemaacuteticos
justificaron su conjetura De manera que auacuten el caacutelculo del aacuterea bajo n x y = para n entero
positivo n que se toma como ejemplo representa un gran triunfo Maacutes tarde Wallis (1616-
1703) halloacute el aacuterea bajo la curva 32
x y = por un meacutetodo que tiene maacutes caraacutecter maacutegico que
matemaacutetico Sin embargo Fermat obtuvo el mismo resultado con ayuda de series
geomeacutetricas infinitas
La situacioacuten era propicia para la unioacuten de las teacutecnicas acerca de tangentes y aacutereas Enefecto Barrow (1630-1677) profesor de Newton en Cambridge logroacute un resultado
equivalente al Teorema Fundamental del Caacutelculo aunque no expresado en forma uacutetil aspecto
que se pretende ser retomado en el presente estudio
En el caacutelculo hay dos importantes clases de liacutemites que se estudian el primero se
define como la derivada de una funcioacuten
Y el otro se define como la integral definida (PURCELL VARBERG RIGDON 2007)
Inicialmente los matemaacuteticos no habiacutean encontrado una relacioacuten entre estos dos
liacutemites sin embargo la relacioacuten entre anti-derivadas e integrales definidas dio paso a la
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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BIBLIOGRAFIacuteA
bull BARBOSA S Tecnologias da informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo funccedilatildeo composta e regra
da cadeia Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2009
bull BARTOLINI M BORBA M The role of resources and technology in mathematics
education ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer2010
bull BORBA M et al Educaccedilatildeo a Distacircncia Online Coleccedilatildeo Tendecircncias em educaccedilatildeoMatemaacutetica Autecircntica Editora LTDA 3 Ediccedilatildeo Belo Horizonte Brasil 2011
bull BORBA M Online mathematics teacher education overview of an emergent field on
research ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer 697-704 2012
bull BORBA M VILLAREAL M Humans -with-Media and the reorganization of
Mathematical Thinking New York USA Springer 2005bull DUARTE J et al A internet no ensino e aprendizagem da matemaacutetica p 357-366
2008 Disponible en httpspiemptDOCSATAS_ENCONTROS20082008_27_JDuartepdf ultimoacceso Febrero de 2013
bull JARAMILLO C LONDONtildeO R JURADO F Una metodologiacutea alternativa para la
comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
positivos Espantildea Editorial Acadeacutemica Espantildeola 2012
bull JURADO F LONDONtildeO R Disentildeo de una entrevista socraacutetica para la
construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
bull LONDONtildeO R A La Relacioacuten Inversa entre Cuadraturas y tangentes en el marco de
la teoriacutea de Pirie y Kieren Medelliacuten Tesis Doctoral 2011
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculo de
matemaacuteticas Lineamientos curriculares Santafeacute de Bogotaacute Colombia 1999
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Educacioacuten virtual o educacioacuten en
liacutenea 2009 Artiacuteculo publicado en httpwwwmineducaciongovco1621article-196492html Acceso Febrero de 2013
bull
MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
bull NOVAK J D amp GOWIN B Aprendiendo a aprender Tercera Edicioacuten BarcelonaMartiacutenez Roca 1988
bull PURCELL E J VARBERG D RIGDON S E Caacutelculo 9 Ed Person Ciudad deMeacutexico 2007
bull SANTA Z La elipse como lugar geomeacutetrico a traveacutes de la geometriacutea del doblado de
papel en el contexto de van hiele Tesis de Maestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia2011
bull
STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
2009
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bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
bull ZULATTO R A natureza da aprendizagem matemaacutetica em um ambiente online de
formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
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260-200 ac) escribioacute acerca de tangentes a elipses paraacutebolas e hipeacuterbolas y Arquiacutemedes
analizoacute las tangentes a ciertas curvas en forma de espiral En esta eacutepoca no se teniacutea
conocimiento de que los problemas de aacuterea y tangentes estariacutean relacionados muchos siglos
despueacutes
En el siglo XVII mientras Descartes y Fermat desarrollaban muchas ideas en torno a
la Geometriacutea Analiacutetica y el Aacutelgebra Cavalieri (1598-1647) halloacute el aacuterea bajo la curva n x y =
para 9321=n de acuerdo a un meacutetodo en el que la longitud de los caacutelculos aumentaba a
medida que el exponente se haciacutea mayor A partir del valor 9=n aseguroacute que el patroacuten
deberiacutea ser vaacutelido para exponentes mayores En los siguientes 20 antildeos varios matemaacuteticos
justificaron su conjetura De manera que auacuten el caacutelculo del aacuterea bajo n x y = para n entero
positivo n que se toma como ejemplo representa un gran triunfo Maacutes tarde Wallis (1616-
1703) halloacute el aacuterea bajo la curva 32
x y = por un meacutetodo que tiene maacutes caraacutecter maacutegico que
matemaacutetico Sin embargo Fermat obtuvo el mismo resultado con ayuda de series
geomeacutetricas infinitas
La situacioacuten era propicia para la unioacuten de las teacutecnicas acerca de tangentes y aacutereas Enefecto Barrow (1630-1677) profesor de Newton en Cambridge logroacute un resultado
equivalente al Teorema Fundamental del Caacutelculo aunque no expresado en forma uacutetil aspecto
que se pretende ser retomado en el presente estudio
En el caacutelculo hay dos importantes clases de liacutemites que se estudian el primero se
define como la derivada de una funcioacuten
Y el otro se define como la integral definida (PURCELL VARBERG RIGDON 2007)
Inicialmente los matemaacuteticos no habiacutean encontrado una relacioacuten entre estos dos
liacutemites sin embargo la relacioacuten entre anti-derivadas e integrales definidas dio paso a la
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
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construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
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MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
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STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
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bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
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denominacioacuten del primer teorema fundamental del caacutelculo en la cual se construyen integrales
indefinidas a partir de integrales definidas como lo planteoacute Isaac Barrow mucho antes que
Leibiniz y Newton Esta relacioacuten estaacute dada de la siguiente manera
En el programa Ude la construccioacuten de este conocimiento matemaacutetico por parte de
los estudiantes no es muy clara algunos resuelven este tipo de situaciones de manera
mecaacutenica sustituyendo las variables como indica el teorema no dejando ver si establecen la
relacioacuten entre estas rectas tangentes y las cuadraturas Es decir radica la dificultad en
comprender la relacioacuten entre el aacuterea bajo la graacutefica de una derivada en un intervalo y las
pendientes en la respectiva anti-derivada en otras palabras ldquola derivada de una integraldefinida con respecto a su liacutemite superior variable es el integrando evaluado en ese liacutemite
superiorrdquo (STEWART 2008 p 381) de manera graacutefica podemos observar
Donde g(x) es el aacuterea bajo la curva definida entre [ax] es decir
y f(x) es la derivada de la funcioacuten g(x) ( )
Por otra parte se dificulta maacutes auacuten entender coacutemo construyen el conocimiento
relacionado con la derivada de una funcioacuten de acumulacioacuten esto es
Este caso seraacute el objeto de estudio del presente trabajo de investigacioacuten en el cual se
analizaraacute la manera en que los estudiantes construyen este conocimiento matemaacutetico teniendo
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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BIBLIOGRAFIacuteA
bull BARBOSA S Tecnologias da informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo funccedilatildeo composta e regra
da cadeia Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2009
bull BARTOLINI M BORBA M The role of resources and technology in mathematics
education ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer2010
bull BORBA M et al Educaccedilatildeo a Distacircncia Online Coleccedilatildeo Tendecircncias em educaccedilatildeoMatemaacutetica Autecircntica Editora LTDA 3 Ediccedilatildeo Belo Horizonte Brasil 2011
bull BORBA M Online mathematics teacher education overview of an emergent field on
research ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer 697-704 2012
bull BORBA M VILLAREAL M Humans -with-Media and the reorganization of
Mathematical Thinking New York USA Springer 2005bull DUARTE J et al A internet no ensino e aprendizagem da matemaacutetica p 357-366
2008 Disponible en httpspiemptDOCSATAS_ENCONTROS20082008_27_JDuartepdf ultimoacceso Febrero de 2013
bull JARAMILLO C LONDONtildeO R JURADO F Una metodologiacutea alternativa para la
comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
positivos Espantildea Editorial Acadeacutemica Espantildeola 2012
bull JURADO F LONDONtildeO R Disentildeo de una entrevista socraacutetica para la
construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
bull LONDONtildeO R A La Relacioacuten Inversa entre Cuadraturas y tangentes en el marco de
la teoriacutea de Pirie y Kieren Medelliacuten Tesis Doctoral 2011
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculo de
matemaacuteticas Lineamientos curriculares Santafeacute de Bogotaacute Colombia 1999
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Educacioacuten virtual o educacioacuten en
liacutenea 2009 Artiacuteculo publicado en httpwwwmineducaciongovco1621article-196492html Acceso Febrero de 2013
bull
MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
bull NOVAK J D amp GOWIN B Aprendiendo a aprender Tercera Edicioacuten BarcelonaMartiacutenez Roca 1988
bull PURCELL E J VARBERG D RIGDON S E Caacutelculo 9 Ed Person Ciudad deMeacutexico 2007
bull SANTA Z La elipse como lugar geomeacutetrico a traveacutes de la geometriacutea del doblado de
papel en el contexto de van hiele Tesis de Maestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia2011
bull
STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
2009
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bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
bull ZULATTO R A natureza da aprendizagem matemaacutetica em um ambiente online de
formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
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en cuenta la relacioacuten entre las rectas tangentes y las cuadraturas mediante la utilizacioacuten de
medios tecnoloacutegicos y no tecnoloacutegicos
METODOLOGIacuteA
Retomando la idea de que el conocimiento no es transmitido sino producido por un
colectivo de seres humanos con medios y que esta produccioacuten estaacute relacionada con la
interpretacioacuten individual y la interaccioacuten social en el disentildeo metodoloacutegico de la investigacioacuten
se utilizaron los mapas conceptuales como medio para reflejar y modificar las interpretaciones
individuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico como medio para dinamizar el proceso de
interaccioacuten social (el diaacutelogo) entre el colectivo de seres humanos
Mapas conceptuales
El uso de los mapas conceptuales en educacioacuten matemaacutetica ha sido implementado en
algunas investigaciones (ZAPATA SUCERQUIA 2009) gracias a su doble intencionalidad
por un lado facilitan la visualizacioacuten de las transformaciones que el estudiante realiza en su
estructura mental y por otro lado permite evaluar de manera significativa los aprendizajesque el estudiante ha alcanzado en la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico
Los creadores de esta herramienta Joseph Novak y Bob Gowin definen a los mapas
conceptuales como ldquoun recurso esquemaacutetico para la representacioacuten de un conjunto de
significados conceptuales incluidos en una estructura de proposicionesrdquo (NOVAK GOWIN
1988 p 33) por otra parte argumentan que su estructura se refiere a la ubicacioacuten y
organizacioacuten de las distintas partes de un todo los conceptos maacutes generales e inclusivosdeben situarse en la parte superior y los maacutes especiacuteficos y menos inclusivos en la parte
inferior
Una caracteriacutestica importante en los mapas conceptuales es que las palabras enlace
permiten junto con los conceptos construir frases u oraciones con significado loacutegico y hallar
la conexioacuten entre conceptos de esta manera se facilita la identificacioacuten de posibles obstaacuteculos
conceptuales que los aprendices tengan en el proceso de construccioacuten de conocimiento
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En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
7182019 paper 3
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2008 Disponible en httpspiemptDOCSATAS_ENCONTROS20082008_27_JDuartepdf ultimoacceso Febrero de 2013
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comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
positivos Espantildea Editorial Acadeacutemica Espantildeola 2012
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construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
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la teoriacutea de Pirie y Kieren Medelliacuten Tesis Doctoral 2011
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matemaacuteticas Lineamientos curriculares Santafeacute de Bogotaacute Colombia 1999
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Educacioacuten virtual o educacioacuten en
liacutenea 2009 Artiacuteculo publicado en httpwwwmineducaciongovco1621article-196492html Acceso Febrero de 2013
bull
MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
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bull PURCELL E J VARBERG D RIGDON S E Caacutelculo 9 Ed Person Ciudad deMeacutexico 2007
bull SANTA Z La elipse como lugar geomeacutetrico a traveacutes de la geometriacutea del doblado de
papel en el contexto de van hiele Tesis de Maestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia2011
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STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
2009
7182019 paper 3
httpslidepdfcomreaderfullpaper-3-56977b6f21566 1616
bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
bull ZULATTO R A natureza da aprendizagem matemaacutetica em um ambiente online de
formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
7182019 paper 3
httpslidepdfcomreaderfullpaper-3-56977b6f21566 1016
En el proceso de elaboracioacuten de los mapas se desarrollan nuevas relaciones
conceptuales en especial si de una manera activa se construyen relaciones proposicionales
entre conceptos que previamente no se consideraban relacionados Ademaacutes permiten
seleccionar extraer y separar la informacioacuten significativa o importante de la informacioacuten
superficial facilitando la organizacioacuten loacutegica y estructurada de los contenidos de aprendizaje
y proporcionando un recurso esquemaacutetico de todo lo que se ha aprendido
Dentro del proceso de interaccioacuten es importante resaltar el lenguaje empleado y el
diaacutelogo generado en dicho proceso de esta manera los mapas conceptuales seraacuten un
instrumento que evidencie el lenguaje y la manera como se exteriorizan estructuras
conceptuales interpretadas por los estudiantes en relacioacuten al conocimiento matemaacutetico Porotra parte el refinamiento del mismo es una muestra del dominio que se puede tener del
concepto en construccioacuten y el aprendizaje colaborativo que se desarrolla en la modalidad
online
Por otra parte Zulatto (2007) plantea que en la produccioacuten de conocimiento se
considera que ldquoel aprendizaje colaborativo online es el proceso en que alumnos profesores y
tecnologiacutea participan activamente e interactuacutean a distancia para producir significadoscolectivamenterdquo (p 70) Asiacute mismo el constructo teoacuterico humans-with-media plantea que la
interaccioacuten es orientada por los profesores quienes a traveacutes de cuestionamientos llevan las
discusiones con los estudiantes a percibir sus errores y construir nuevos significados y de esta
manera producir nuevos conocimientos aspecto donde los mapas conceptuales participan de
manera directa Por otra parte se considera que la entrevista socraacutetica aportaraacute en el proceso
de orientacioacuten de las discusiones y por lo tanto en la produccioacuten de conocimientos
matemaacuteticos
Entrevista de caraacutecter socraacutetico
Seguacuten De La Torre (2003) (citado por LONDONtildeO 2011 p 38) ldquoEl propoacutesito de
Soacutecrates tal como se perfila en los diaacutelogos de Platoacuten es que su interlocutor descubra la
verdad sobre el concepto que se estaacute debatiendo [hellip] no como un resultado de la ensentildeanza
sino por la propia reflexioacutenrdquo Asiacute mismo plantea que
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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BIBLIOGRAFIacuteA
bull BARBOSA S Tecnologias da informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo funccedilatildeo composta e regra
da cadeia Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2009
bull BARTOLINI M BORBA M The role of resources and technology in mathematics
education ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer2010
bull BORBA M et al Educaccedilatildeo a Distacircncia Online Coleccedilatildeo Tendecircncias em educaccedilatildeoMatemaacutetica Autecircntica Editora LTDA 3 Ediccedilatildeo Belo Horizonte Brasil 2011
bull BORBA M Online mathematics teacher education overview of an emergent field on
research ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer 697-704 2012
bull BORBA M VILLAREAL M Humans -with-Media and the reorganization of
Mathematical Thinking New York USA Springer 2005bull DUARTE J et al A internet no ensino e aprendizagem da matemaacutetica p 357-366
2008 Disponible en httpspiemptDOCSATAS_ENCONTROS20082008_27_JDuartepdf ultimoacceso Febrero de 2013
bull JARAMILLO C LONDONtildeO R JURADO F Una metodologiacutea alternativa para la
comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
positivos Espantildea Editorial Acadeacutemica Espantildeola 2012
bull JURADO F LONDONtildeO R Disentildeo de una entrevista socraacutetica para la
construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
bull LONDONtildeO R A La Relacioacuten Inversa entre Cuadraturas y tangentes en el marco de
la teoriacutea de Pirie y Kieren Medelliacuten Tesis Doctoral 2011
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculo de
matemaacuteticas Lineamientos curriculares Santafeacute de Bogotaacute Colombia 1999
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Educacioacuten virtual o educacioacuten en
liacutenea 2009 Artiacuteculo publicado en httpwwwmineducaciongovco1621article-196492html Acceso Febrero de 2013
bull
MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
bull NOVAK J D amp GOWIN B Aprendiendo a aprender Tercera Edicioacuten BarcelonaMartiacutenez Roca 1988
bull PURCELL E J VARBERG D RIGDON S E Caacutelculo 9 Ed Person Ciudad deMeacutexico 2007
bull SANTA Z La elipse como lugar geomeacutetrico a traveacutes de la geometriacutea del doblado de
papel en el contexto de van hiele Tesis de Maestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia2011
bull
STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
2009
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bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
bull ZULATTO R A natureza da aprendizagem matemaacutetica em um ambiente online de
formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
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El meacutetodo empleado por Soacutecrates consta de dos partes destructiva una creativa la
otra En la primera etapa Soacutecrates toma como punto de partida la concepcioacuten del interlocutor
acerca del asunto en cuestioacuten permitieacutendole descubrir las contradicciones y las faltas de tal
concepcioacuten En la segunda etapa llamada mayeacuteutica Soacutecrates se ve a siacute mismo como una
partera que ayuda a su interlocutor a dar a luz a descubrir a desvelar la verdad que lleva en siacute
mismo a quitarle a esta verdad el velo que la cubre
Para el disentildeo y aplicacioacuten de la entrevista de caraacutecter socraacutetico se tienen en cuenta
las caracteriacutesticas enunciadas por Londontildeo (2011) en relacioacuten al diaacutelogo que sostiene
Soacutecrates con el esclavo de Menoacuten Estas caracteriacutesticas han sido utilizadas en otras
investigaciones (JURADO LONDONtildeO 2005) y (Santa 2011) para disentildear entrevistas decaraacutecter socraacutetico que ayuden a la comprensioacuten de conocimientos matemaacuteticos A
continuacioacuten se mencionan las 10 caracteriacutesticas
bull La intencionalidad de la entrevista
bull El lenguaje
bull Los conceptos baacutesicos
bull Las experiencias previas del entrevistado
bull
El diaacutelogo inquisitivo
bull La movilizacioacuten del pensamiento
bull El aporte de informacioacuten
bull La problematizacioacuten con ideas
bull El paso por los tres momentos
bull La red conceptual
Seguacuten lo anterior la entrevista socraacutetica estaacute basada en el diaacutelogo que para la presente
investigacioacuten se establece teniendo en cuenta la modalidad online En este sentido autores
como Borba (2011) afirman que el diaacutelogo es un medio que influye en la produccioacuten de
conocimiento en la modalidad de educacioacuten a distancia online De esta manera la entrevista
de caraacutecter socraacutetico es un instrumento que dadas sus caracteriacutesticas puede permitir dicha
interaccioacuten y diaacutelogo
Teniendo en cuenta estos planteamientos la investigacioacuten utiliza una entrevista decaraacutecter socraacutetico disentildeada principalmente para que el colectivo de humanos-con-medios
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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BIBLIOGRAFIacuteA
bull BARBOSA S Tecnologias da informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo funccedilatildeo composta e regra
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bull BORBA M VILLAREAL M Humans -with-Media and the reorganization of
Mathematical Thinking New York USA Springer 2005bull DUARTE J et al A internet no ensino e aprendizagem da matemaacutetica p 357-366
2008 Disponible en httpspiemptDOCSATAS_ENCONTROS20082008_27_JDuartepdf ultimoacceso Febrero de 2013
bull JARAMILLO C LONDONtildeO R JURADO F Una metodologiacutea alternativa para la
comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
positivos Espantildea Editorial Acadeacutemica Espantildeola 2012
bull JURADO F LONDONtildeO R Disentildeo de una entrevista socraacutetica para la
construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
bull LONDONtildeO R A La Relacioacuten Inversa entre Cuadraturas y tangentes en el marco de
la teoriacutea de Pirie y Kieren Medelliacuten Tesis Doctoral 2011
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculo de
matemaacuteticas Lineamientos curriculares Santafeacute de Bogotaacute Colombia 1999
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Educacioacuten virtual o educacioacuten en
liacutenea 2009 Artiacuteculo publicado en httpwwwmineducaciongovco1621article-196492html Acceso Febrero de 2013
bull
MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
bull NOVAK J D amp GOWIN B Aprendiendo a aprender Tercera Edicioacuten BarcelonaMartiacutenez Roca 1988
bull PURCELL E J VARBERG D RIGDON S E Caacutelculo 9 Ed Person Ciudad deMeacutexico 2007
bull SANTA Z La elipse como lugar geomeacutetrico a traveacutes de la geometriacutea del doblado de
papel en el contexto de van hiele Tesis de Maestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia2011
bull
STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
2009
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bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
bull ZULATTO R A natureza da aprendizagem matemaacutetica em um ambiente online de
formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
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interactuacuteen en la modalidad online a traveacutes de un diaacutelogo socraacutetico en relacioacuten a los
conocimientos matemaacuteticos asociados al teorema fundamental del caacutelculo Por otra parte
ayuda a caracterizar la manera en que este colectivo producen los conocimientos
La participacioacuten de los estudiantes en el curso es esencial para poder vislumbrar los
conocimientos y las relaciones significativas que se establecen a traveacutes del diaacutelogo generado
por la entrevista de caraacutecter socraacutetico Por otra parte teniendo en cuenta la doble
intencionalidad de los mapas conceptuales se utiliza como una manera de evidenciar las
modificaciones que realizan los estudiantes en cuanto a la construccioacuten del conocimiento
asociado al teorema fundamental del caacutelculo
Enfoque de la investigacioacuten
El estudio es abordado desde una perspectiva cualitativa dado que se considera como
la metodologiacutea maacutes apropiada para la recoleccioacuten de la informacioacuten en lo que se refiere a la
manera en que un colectivo de humanos-con-medios interactuacutean para la produccioacuten de
conocimiento matemaacutetico asociado al teorema fundamental del caacutelculo Este enfoque se
caracteriza por el anaacutelisis de los datos no estandarizados y los procedimientos involucrados enel proceso de aprendizaje utilizando las interfaces y los medios que participan para la
produccioacuten de conocimiento
El meacutetodo utilizado para la investigacioacuten es el estudio de casos ya que seguacuten (YIN
2009) estudia el fenoacutemeno contemporaacuteneo dentro de su contexto real en la que los liacutemites
entre el fenoacutemeno y el contexto no son claramente visibles y en la que se utilizan distintas
fuentes como evidencia observaciones entrevistas cuestionarios entre otros De estamanera y dadas las ventajas que ofrece para dilucidar comportamientos actitudes y
conocimientos que evidencian el avance en la comprensioacuten de los entrevistados se considera
el meacutetodo maacutes apropiado para describir la manera en que el colectivo de humanos-con-medios
producen conocimientos matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
Se seleccionoacute un grupo al azar del curso de Caacutelculo Integral del programa Ude
donde se ensentildea el Teorema Fundamental del Caacutelculo Alliacute se implementoacute un guioacuten de
entrevista (de caraacutecter socraacutetico) elaborado previamente que permitiera el establecer un
diaacutelogo y durante este proceso los estudiantes construiacutean el mapa conceptual que reflejaba
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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BIBLIOGRAFIacuteA
bull BARBOSA S Tecnologias da informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo funccedilatildeo composta e regra
da cadeia Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2009
bull BARTOLINI M BORBA M The role of resources and technology in mathematics
education ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer2010
bull BORBA M et al Educaccedilatildeo a Distacircncia Online Coleccedilatildeo Tendecircncias em educaccedilatildeoMatemaacutetica Autecircntica Editora LTDA 3 Ediccedilatildeo Belo Horizonte Brasil 2011
bull BORBA M Online mathematics teacher education overview of an emergent field on
research ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer 697-704 2012
bull BORBA M VILLAREAL M Humans -with-Media and the reorganization of
Mathematical Thinking New York USA Springer 2005bull DUARTE J et al A internet no ensino e aprendizagem da matemaacutetica p 357-366
2008 Disponible en httpspiemptDOCSATAS_ENCONTROS20082008_27_JDuartepdf ultimoacceso Febrero de 2013
bull JARAMILLO C LONDONtildeO R JURADO F Una metodologiacutea alternativa para la
comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
positivos Espantildea Editorial Acadeacutemica Espantildeola 2012
bull JURADO F LONDONtildeO R Disentildeo de una entrevista socraacutetica para la
construccioacuten del concepto de suma de una serie viacutea aacutereas de figuras planas Tesis deMaestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia 2005
bull LONDONtildeO R A La Relacioacuten Inversa entre Cuadraturas y tangentes en el marco de
la teoriacutea de Pirie y Kieren Medelliacuten Tesis Doctoral 2011
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculo de
matemaacuteticas Lineamientos curriculares Santafeacute de Bogotaacute Colombia 1999
bull MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN NACIONAL Educacioacuten virtual o educacioacuten en
liacutenea 2009 Artiacuteculo publicado en httpwwwmineducaciongovco1621article-196492html Acceso Febrero de 2013
bull
MORAN J M O que eacute educaccedilatildeo a distacircncia 2002httpwwwecauspbrmorandisthtm Acceso Abril 22 de 2013
bull NOVAK J D amp GOWIN B Aprendiendo a aprender Tercera Edicioacuten BarcelonaMartiacutenez Roca 1988
bull PURCELL E J VARBERG D RIGDON S E Caacutelculo 9 Ed Person Ciudad deMeacutexico 2007
bull SANTA Z La elipse como lugar geomeacutetrico a traveacutes de la geometriacutea del doblado de
papel en el contexto de van hiele Tesis de Maestriacutea no publicada Medelliacuten Colombia2011
bull
STEWART J Caacutelculo de uma variable 6 ed Cengage learning Meacutexico 2008bull YIN R Case study research Design and methods California Sage Publications Inc
2009
7182019 paper 3
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bull ZAPATA S M SUCERQUIA E A Moacutedulos de aprendizaje para la comprensioacuten
del concepto de series de teacuterminos positivos Tesis de maestriacutea no publicada MedelliacutenColombia 2009
bull ZULATTO R A natureza da aprendizagem matemaacutetica em um ambiente online de
formaccedilatildeo continuada de profesores Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2007
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los conocimientos producidos Al finalizar se analizan las grabaciones de las sesiones
realizadas en la interface WiziQ y los mapas conceptuales entregados por los estudiantes para
caracterizar la manera en que este colectivo de seres humanos producen conocimientos
matemaacuteticos asociados al Teorema Fundamental del Caacutelculo
CONCLUSIONES
En la modalidad de educacioacuten a distancia online el diaacutelogo socraacutetico y la interaccioacuten
con los medios inciden en la manera en que los estudiantes producen conocimiento
matemaacutetico La entrevista de caraacutecter socraacutetico permite a traveacutes del diaacutelogo generar
discusiones en las cuales los estudiantes del programa Ude construyen y modifican losconocimientos matemaacuteticos que son abordados en este estudio en relacioacuten con el teorema
fundamental del caacutelculo
La implementacioacuten de los medios (entornos virtuales software entre otros) establecen
una relacioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos con sus componentes de visualizacioacuten las
definiciones y aplicaciones que se tornan significativas con el trabajo colaborativo
desarrollado aspecto que se evidencia con la elaboracioacuten de los mapas conceptuales Acontinuacioacuten se presenta dos imaacutegenes de mapas conceptuales elaborados por un estudiante
durante el proceso
Figura 3 Mapa conceptual construido por un estudiante al inicio del proceso
En este mapa se interpreta que el estudiante comprende el teorema fundamental del
caacutelculo como una manera de encontrar una solucioacuten algoriacutetmica a ciertas situaciones
planteadas en el caacutelculo
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
conocimientos relacionados con el Teorema Fundamental del Caacutelculo ademaacutes establece
nuevos significados en relacioacuten con los propuestos inicialmente generando relaciones
significativas y evidenciando una produccioacuten de conocimiento
El teorema fundamental del caacutelculo es un concepto matemaacutetico que estaacute directamente
relacionado con otros conocimientos donde se involucran procesos de razonamiento infinito
Esto propicia varias discusiones en relacioacuten a sus componentes de visualizacioacuten no partiendo
desde las definiciones sino desde las diferentes manifestaciones o representaciones del
teorema y sus aplicaciones permitiendo algunas reflexiones sobre la manera en que un
colectivo de humanos-con-medios construyen este conocimiento matemaacutetico
En general en un ambiente de educacioacuten online como el programa Ude el uso de
las interfaces mediante una metodologiacutea de interaccioacuten social y el proceso de interpretacioacuten
individual de un colectivo pensante de seres humanos permite la produccioacuten de conocimiento
matemaacutetico en torno a los conceptos relacionados con el teorema fundamental del caacutelculo
siendo los mapas conceptuales y la entrevista de caraacutecter socraacutetico dos componentes
esenciales usados en la metodologiacutea que permiten dinamizar el proceso de produccioacuten de
conocimiento
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BIBLIOGRAFIacuteA
bull BARBOSA S Tecnologias da informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo funccedilatildeo composta e regra
da cadeia Tese de Doutorado Rio Claro Brasil 2009
bull BARTOLINI M BORBA M The role of resources and technology in mathematics
education ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer2010
bull BORBA M et al Educaccedilatildeo a Distacircncia Online Coleccedilatildeo Tendecircncias em educaccedilatildeoMatemaacutetica Autecircntica Editora LTDA 3 Ediccedilatildeo Belo Horizonte Brasil 2011
bull BORBA M Online mathematics teacher education overview of an emergent field on
research ZDM- The international Journal on Mathematics Education Springer 697-704 2012
bull BORBA M VILLAREAL M Humans -with-Media and the reorganization of
Mathematical Thinking New York USA Springer 2005bull DUARTE J et al A internet no ensino e aprendizagem da matemaacutetica p 357-366
2008 Disponible en httpspiemptDOCSATAS_ENCONTROS20082008_27_JDuartepdf ultimoacceso Febrero de 2013
bull JARAMILLO C LONDONtildeO R JURADO F Una metodologiacutea alternativa para la
comprensioacuten de la nocioacuten de liacutemite El caso de la convergencia de series de teacuterminos
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Figura 4 Mapa conceptual construido por un estudiante durante el proceso
En este segundo mapa conceptual se interpreta que el estudiante ampliacutea y asocia los
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