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UNIVERSIDAD DE PANAMA VICERRECTORIA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMÁTICA
ESTUDIO DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS SOBRE
EL MONOIDE DE LOS POLINOMIOS
POR
FELICIANO BATISTA G
TESIS PRESENTADA COMO UNO DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIA -
LIZACIÓN EN MATEMÁTICA
PANAMA REPUBLICA DE PANAMÁ
1993
5\ 7A
N 9!1"
;.5 ...... iol >1 7. - . -.... ,
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ L'ULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
Panamá,
Aprobado por:
Director de Tesis :7-57;71?___
JORGE HERNANDEZ Ph.D.
Miembro del Jurado
EVANG . STA GONZALEZ M.Sc.
Miembro del Jurado
JOSUE '■ Z M.Sc. Fecha: ¿2-3 de) O'd a/ 1/577 3 .
Ciudad Universitaria Octavio Méndez Pereira
E.STAFETA UNTVERSITARIA
PANAMA. R. DE P.
DEDICATORIA
A mis hijos FELIX ORLANDO
y MELVA JARISSA
1 V
FELICIANO
AGRADECIMIENTO
Al Doctor VICTOR ALBIS por su
apoyo y asesoría
A todos mis companeros en
especial a JAIME GUTIERREZ por
su valiosa colaboración
VI
CONTENIDO
V111
CONTENIDO
PAGINA
INTRODUCCION
CAPITULO I
EL ALGEBRA DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS 1
1 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2
1 2 DEFINICIONES Y ESTUDIO ELEMENTAL DE ALGUNAS FUNCIONES ARITMETICAS IMPORTANTES 12
1 3 SERI S FORMALES DE DIRICHLET SOBRE M 28
CAPITULO II
LA FUNCIÓN 75 DE REIMANN DE UN SEMIGRUPO
ARITMETICO 40
11 1 LA FUNCION :5 DE REIMANN DE UN SEMIGRUPOARIT
METICO 41
11 2 RELACIÓN ENTRE LA FUNC ION -S- Y LAS FUNCIONES
ARITMETICAS 45
11 3 CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA QUE
UNA FUNCIÓN ARITMETICA PUEDA EXPRESARSE COMO
UN PRODUCTO DE FUNCIONES 3 57
CAPITULO III
ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ARIT-
MÉTICAS 60
Un LOS ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES
ARITMETICAS 61
CC:11'C USIONES 75
BIS IOGRAFIA 77
INTRODUCCIÓN
INTRODUCC ION
En el presente trabajo estudiaremos las funciones aritméticas sobre
el monoide de los polinomios mónicos en la indeterminada X sobre un
cuerpo finito F comparando algunos resultados aquí obtenidos con
aquellos que les son análogos en el monoide N*
El objeto fundamental de este trabajo es el de encontrar expresiones
y Ordenes promedios para algunas funciones aritméticas en el monoide
M(q X) Para ello necesitaremos primero establecer un isomorfismo entre
el álgebra de Dirichlet (Dir (M)) y el álgebra de las series formales
el cual nos permitirá escribir algunas funciones aritméticas como produc
to de funciones 3 de Riemann obteniendo así expresiones para los
coeficienteskz a partir de los cuales analizaremos el comportamiento
de estas funciones
Nuestra obra consta de tres capítulos los cuales detallaremos a
continuación
El primer capítulo en su primera parte recoge el álgebra de las
funciones aritméticas determinando el inverso de una función aritmé
tica funciones multiplicativas y completamente multiplicativas esta
bleciendo condiciones que nos permiten analizar el comportamiento de
éstas sobre las potencias de primos de P en M Además se estudian
algunas funciones aritméticas en especial (u ju d dr rt N A 0 etc )
dando condiciones necesarias y suficientes con la utilización de la
fórmula de Inversión y el Teorema de Mobius para determinar cuando una
función es nultiplicativa o completamente multiplicativa
En la segunda parte del primer capítulo establecemos un isomorfismo
entre el álgebra de Dirichlet (Dir(M)) y el álgebra de las series forma
les el cual será herramienta de gran utilidad en el descubrimiento de
nuestros resultados finales Definimos también en esta sección una
norma (II II) en D'HM) y estudiamos algunas propiedades topológicas de
Dir(M)
En el segundo capitulo hacemos un estudio de las funciones S de
Rienwn la que tiene como expresión la serle formal
oo 1/4.-
-5(z) 21( 211)q kz 1(z) Analizamos además las funciones Primo K O IAI k
Independiente Multiplicativa esto con la escritura de -S en serie
formal nos ayudará a escribir algunas funciones aritméticas como produc
to de funciones y los que nos permitirán encontrar expresiones para
los coeficientes q kz Finalmente exhibiremos condiciones necesarias y
suficientes para expresar una función aritmética como producto finito
o infinito de funciones 77 de hemann Es pues en este capitulo donde
damos las bases necesarias para satisfacer el objetivo fundamental
En el tercer capítulo analizamos el comportamiento de algunas fun
nones aritméticas para valores relativamente grandes de IA(X)I éste
se analiza comparando el comportamiento de la función con el comporta
miento de una función conocida y así obtenemos el orden promedio de
algunas funciones aritméticas cuyas expresiones para los coeficientes
kz q en Ill(q X) han sido estudiadasen el segundo capítulo Además estu
diamos aloJnas conjeturas (Mestens Turán Pólya) comparando su compor
tamiento en 11(q X) con su comportamiento en fi*
X 1
Esperamos que este trabajo incentive a la investigación del compor
tamiento de las funciones aritméticas en cualquier otro monoide
XII
CAPÍTULO I
EL ÁLGEBRA DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS
CAPITULO I
EL ALGEBRA DE LAS FUNCIONES ARITMETICAS
I 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Las funciones aritméticas que estudiaremos aquí son generaliza
ciones de las funciones aritméticas de la teoría clásica de los números
Estas últimas están definidas en el monoide IN de los números enteros
>1 y la generalización que haremos aquí empieza por sustituir este
monoide por otros cuyas estructuras le son semejantes
Para nosotros un monoide o semigrupo conmutativo PI es un conjunto
provisto de una ley de composición (A 8) AB que es asociativa y
conmutativa Además supondremos que M es unitario es decir que existe
1 e II tal que Al A para todo A ell
Para mantener la analogía con N supondremos también que 11 tiene un
subconjunto P (llamado el conjunto de los elementos primos de M) tal
que todo elementoAEM Ail se escribe de manera única en la forma
a a2 o( A p 1 p2 pk Pie P 12(1 entero )O
Es decir S es un monoide factorial o con factorización única (en sus
elementos primos)
A partir de este momento todos los monoides considerados en este
trabajo serán monoides factoriales
Definición 1 1 1 Si existe una aplicación norma 1 1 II ----w
2
es decir tal que
(1) 111 1
IPI >1 para peP
3
(u) IABI IAIIBI para A Bol
(iii) G(n) 1c:o51(n 1 2 3 etril
IA1 n
decimos que (M I I) es un semigrupo aritmético
Definición 1 1 2 Si existe una aplicación grado a Dl es
decir tal que
(1 ) (1)
(II )D(AB)
(iii ) G(n)
O a(P)> O para PetP
(A) + D(B) para A B e IM
1<co (n 1 23 ) A E ti
(A) n
decimos que (N '25) es un semigrupo aritmético aditivo
Proposición 1 1 1 Todo semi Irupo aritmético aditivo es un semi
grupo aritmético
Prueba Sea q un número real >1 Haciendo IAI (4 -11(A) verifica
mas que I I es una función norma
En efecto por definición
q D(1) (40 1 además si PEP Ipi (4 -1(1) >1 pues -(5(P) > O
Esto verifica (1) La relación I, u3 ¿D (0 =c1 D (A)-(- -a (0) IAUBI no es otra
cosa que (II) Finalmente sea n e N si n f qm (m 12 ) entonces
G(n) 1 >•i 0 AEIN AEN IAI n D(A)
Ahora bién si n qm para algún m 1 2 entonces
G(n) > 1 :5711 Z(m) caj Acifi Ael1 IA1 n D(A) qm a(A) m
4
Luego en cualquier circunstancia G(n),_001
Ejemplos
(1 ) Sean ff1 IN yP {números primos > 1 } Si In' n para
n E IN todos sabemos que (N II) es un semigrupo aritmético y G(n) 1
(2 ) Si M M(ci X) es el conjunto de todos los polinomios unita
nos (es decir de coeficiente director igual a uno) en la indetermina
da X y con coeficientes en un cuerpo finito F de q elementos un cono
cido teorema (si K es un cuerpo el anillo K [X] es factorial) nos
dice que todo elemento A(X) N puede escribirse de manera única así
a k A(X) P 1 (X) Pk (X) ( d >1)
donde cada P (X) e P P(q X) { polinomios irreducibles unitarios)
Denotando con D (A(X)) (A) al grado del polinomio A(X) propiedades
elementales y bien conocidas de los polinomios nos dicen que (U1(4 x) a)
es un semigrupo aritmético aditivo pues también se tiene
1(n) 1 qn GODO
A(X)ehl(q X) B (A) n
El valor IA(X)I n(A) q d(A)se conoce en la literatura como la norma
del polinomio A(X) Claramente ( M(q X) II) es un semigrupo aritmético
Observemos que en un monoide factorial M existe una relación de
divisibilidad definida asl
AlE3 si existe Cell tal que B AC
que sati rece además las siguientes propiedades
(D1) AIA para todo A
(D2) Si AIB y BIC entonces AIC
(D3) Si AIB y BIA entonces A B
Si AIB decimos que A es un divisor de B El elemento C e N tal que
B AC se escribe C B/A También tenemos la noción de máximo común
divisor (A B) de dos elementosABeN definida de manera obvia
Dualmente tenemos la de mínimo común múltiplo [A B] y en general
todas aquellas propiedades de N que dependen unicamente de la factoriza
alón única
Definición 1 1 3 Sean N un semigrupo aritmético y C el cuerpo de
los números complejos Toda función f NI ------- C se llama una función
aritmética Al conjunto de todas estas funciones se le denota con
Dir(M)
En Dir(4) podemos definir una suma así
(f+g)(A) f(A) + g(A) para Aell f geDir(M) un producto por
escalares así
(›f)(A) X(f(A)) para Mal f eDir(11) X €C
y un producto w entre funciones aritméticas as!
(f * g)(A) f(D)g(A/D) DIA
Este producto 41( se suele llamar convolución de Dirichlet
Proposición 1 1 2 Dir(ftM) con las operaciones anteriores conforma
una C álaebra conmutativa unitaria que llamaremos el álgebra de
Dirichlet de PI
Prueb Que Dir(M) es un C espacio vectorial resulta de un hecho
general r y conocido Pasemos pues a verificar que es un C álgebra
5
6
conmutativa En efecto si f g cDir(11) y Ac(M entonces
(fwg)(A) .7 f(D)g(A/D) - f(D)g(C) DIA OC=A
= g(C)f(D) = Y g(C)f(A/C) OC=A CIA
(g*f)(A)
lo que muestra que * es conmutativo Veamos que * es asociativo
Sean f g h eDir(M) A*11 de modo que
[fs(gAh)](A) = f(D)(gsh)(A/D) DIA
= > • f(D)(g(E)h(F)) CD=A C=EF
= f(D)g(E)h(F) DEF=A
De manera análoga se desarrolla [(f*g)xtilA) y se verificará que es
igual al último miembro derecho de las anteriores igualdades Verifi
quemos ahora que el producto * distribuye respecto a la suma Sean
pues f g h eDir(11) Aell entonces
f+g)*Ñ(A) =:57 (f+g)(D)h(A/D) DIA
=.57(f(D)+g(D))h(A/D) DIA
=21f(D)h(A/D) +> g(D)h(A/D) DIA DIA
_ (fsh)(A) + (g*h)(A)
Enseguldc mostraremos que ( Xf)*.g = f*( ),g) = X(f*g) En efecto
sean f g t_D r(01) Xe c Aell entonces
Xf)%g](A) .> Uf)(D)Q(A/D) DIA
. :57 Xf(D)g(A/D) DIA
a f(D) [X$9(A/D DIA
= [f,()9)1(A)
_ )1:5:1 f(D)g(A/D) DIA
= [X(fsgfl (A)
Finalmente Dir(M) es unitaria pues la función aritmética
1 si A = 1
1(A) = O si IAI:>1
satisface
(f 14 1) ( A) = :57Tf( D) 1(A/D) = f(A) DIA
es decir 91 = f para toda fcDir(11) lo que indica que 1 es la unidad
para el producto
Pasaremos ahora a determinar los elementos invertibles de Dir(M)
Para ello tomemos fEDir(IM) fi0 y tal que f(1)40 Queremos determinar
f 1 e Dir(M) tal que f-1 1f = ftf -1 -I para ello basta determinar
para cada Mi Procederemos por inducción sobre IAI Si A = 1
entonces
(ftf-1 )(1) - f(1)f 1 (1) = 1
7
de donde f 1 (1) = J_ Supongamos ahora que f 1 (A) ha sido determinado f(1)
8
para todos los AEP1 que cumplen lAlczn si tomamos 8 611 tal que
181 = n tenemos
O = 1(B) . (fxf -1 )(B) =7 f(B/0)f-1 (D) DIB
= f(1)f -1 (B) + f(B/D)f -1 (0)
O<IDIcn
como para IDIc:n f-1
(D) esta ya determinado por hipótesis de induc
cita) vemos que f-1 (8) queda determinado por
f -1(B)
= _ 1 :57 f(B/D)f-1 (D)
f(1) 018 IDIcn
Recíprocamente si f 1existe entonces de f*f
-1 = I resulta inmediata
mente que f(1)f -1 (1) = 1 es decir «1)10 Hemos pues demostrado
la siguiente
Proposición 1 1 3 Los elementos feDir(11) que son invertibles son
precisamente aquellos que cumplen f(1) 1 O
Por la construcción inductiva hecha en la demostración de esta
proposición resulta claro que f 1
es único El conjunto
{ feDir(M) f(1) + O} es pues un grupo para la multiplicación y
se le denota con DirX(11)
Definición 1 1 4 Sea f una función aritmética f i O Decimos que
f es multiplicativa si f(AB) = f(A)f(B) cada vez que (A B) = 1 Si
f(AB) - f(A)f(B) para todo par de elementos Ay B en M decimos que f
es completamente multiplicativa
9
Es claro que toda función completamente multiplicativa es multiplica
Uva Por otra parte como (A 1) - 1 y
f(A) = f(A 1) - f(A)f(1)
si f es multiplicativa vemos que f(1) = 1 Por lo tanto toda función
multiplicativa es invertible
Las siguientes funciones son completamente multiplicativas lAl cl
ofee en particular U(A) = lAl ° = 1 para todo A Gil También lo es
la función unidad 1(A) Como veremos luego no toda función multiplica
tiva es completamente multiplicativa
Proposición 1 1 4 Las funciones multiplicativas conforman un sub
orupo de DirX (M)
Prueba Sean f y g dos funciones multiplicativas (ya hemos visto
que estas son invertibles) Si A y BEIM son tales que (A 8) = 1
entonces
(f*9)(AB) = > f(p)g(AB/D) DIAB
r > 4 f(MN)g(AB/MN) M'A N1B
S--. ..r___. f(M)f(N)g(A/M)g(A/N) MIA NI 8
I- 1> f(M)g(A/M)] I 2_,f(N)g(B/N)] LMIA 1. NIB
[(fIg)(Aflpf9ig)(8)]
donde henos usado el hecho que si (A B) = 1 y DIAB entonces
0 M4 IA NIB y (A/M B/N) 1 Luego el producto de dos funciones
10
multiplicativas es una función multiplicativa Veamos finalmente que
el inverso de una función multiplicativa f también lo es Como en este
caso f(1) = 1 tenemos que f 1 (1) = 1 Si PEP y e;>1 tenemos que
0 . upe ) . (folf -1 )(pe )
Consideremos la única función multiplicativa h tal que f- l (pe ) . h(pe )
para todo PeP y todo e1 entonces (f*h )(pe ) . 1(e) para todo Pep y
e.?1 Como tanto f como h son multiplicativas vemos que fleh es
multiplicativa y por tanto
(fi -1)(A) = 1(A) = (net -1 )(A) para todo A eM es
decir tia = f*f -1 = I La unicidad del inverso nos dice ahora que
h = f 1 lo que exige que f 1 sea multiplicativa
Corolario Si f y g son funciones multiplicativas entonces
h(A) => f(D)g(A/D) = (feeg) (A) es multiplicativa DIA
Proposición 1 1 5 Sea f eDir X (M) con f(1) = 1 entonces
(a) f es multiplicativa si y solo s1
e l ek el e
f(P 1 Pk ) = f(P 1 ) f(P k k) para todo P i e P y todo e l .-.1a1
(b) Si f es multiplicativa entonces f es completamente multiplica
Uva si y S010 SI
f(pe) = f(p)e
para todo Pe O' y todo entero e?-1
Prueba (a) Supongamos primero que f es multiplicativa y tomemos e
1 ek P
1 Pk
P e P e i ;11 Entonces
1 e
k
e e e e f(pi l pkk ) . f(p1 l )f(p22 pkk )
e, e pues (P 1 ' P
k) = 1 De manera recurrente obtenemos
«P i ) Pk") = «P i ') f(Pk") Recíprocamente si (A B) = 1 entonces
e f fs 1 A . Pe1 Pk
k y 8 = Q1
Qs
donde los P 1 y los Q son mutuamente dis
1 J _
tintos y e 1 fJ>I Entonces por hipótesis
e1 p
ek Q
fI Q
f . f(p s)
f(AB) 1 k 1 s
e, e, f, f
= f() 1 1) f(Pki1/4) f(Q 1 1 ) f(Q5 5 )
, e, f, f =
e
1 , KI f f n 1 , SN
1 1 rk 41 gs '
= f(A)f(B)
(b) Si f es completamente multiplicativa es claro que f(P e )=f(P) e e e f f
k Recíprocamente sean A - P, 1 P,k B = P 1 P
k donde e f >O
el+fi p2ek4f2
"ek+f
k 1 1 1
Entonces AB = P Pk y como f es multiplicativa por
hipótesis tenemos
e +f e +f f(AB)
. f(pi l 1 ) f(pkk k )
e, +f, eL+f, = f(Pi) I I fin 1 K il
Ir k i
e, e, f, f,
= f(P 1 ) ' f(Pk ) 1.‘ f(P 1 ) I f(Pk ) IS e
1 ek
fI
fk
f(P 1 Pk )f(P 1 Pk )
- f(A) f(B)
donde hemos usado la hipótesis f(Pe ) = f(P) e repetidas veces
Proposición 1 1 6 Si f es multiplicativa entonces
= [ 2_,f(P 11 )1 DÍA j=1 1=1 u
e, e, donde A = P Pk " e 1 1 1
Prueba Desarrollando el producto del miembro derecho tenemos
ic e e, e, «P i )) (1+f(P 1 )+ +f(P l '))x(l+f(P2 )+ +f(P2
9) e
j=1 1=0 (14(Pk )+ f(Pkk ))
= 1+f(P 1 )f(P 2 )+ +f(P 1 )f(Pk )+ +f(P 1 )f(Pe22
) f'De1(1 1 "k '
e, e, = l+f(P 1 P2 )+ +f(P 1 Pk )+ +Ny pk")
lo cual nos da el miembro izquierdo
I 2 DEFINICIONES Y ESTUDIO ELEMENTAL DE ALGUNAS FUNCIONES ARITMETICAS
La función definida por
y(A)ill
si A = 1
= (-1) k si A = P 1 Pk donde los P I son todos distintos
0 si existe PeP tal que P21A
se llama función likibius del monoide factorial 111 Como en el caso del
monoide V esta función tiene un carácter combinatorio en todo monoide
factorial Veámoslo
Proposición 1 2 1
(1) 711(D) - 1(A) -WA
12
13
e 1 ek Prueba Sea A = P 1 Pk di
,m(D) = Ja(1) + AP 1 )+ DIA + J44(Pk 1 Pk )+
. 1 + 1)+( 2 )(
)nde P e P e 1 >1 Entonces —
1111(Pk )i- da(P 1 P2 )+ Jj(P 1 Pk )4
da(P 1 Pk )
2 k k -1) + +(k )( 1)
= (1-1) k = O
si A 1
Observemos que (1) significa que UVA =J9 * U . 1 Es decir d0.- U -1
De aquí resulta fácilmente queja es la única función que satisface
(1)
Proposición 1 2 2 La función J de Mobius es multiplicativa
Prueba Como U es multiplicativa su inversa U 1=jj es multiplica
tiva en virtud de la proposición 1 1 4
La función )1 no es completamente multiplicativa pues
o =}I (P2 ) Ir til(P) IP(P) = 1 e e
Proposición 1 2 3 Si f es multiplicativa y A = P 1 1 Pkk donde
P ePye>1 entonces
Ic .3 . d4 (D)f(D) = TT (1 f(P )) = TT (1-f(P)) DIA j=1 PEP
PIA
Pruebo La función definida por "(A)f(A) es multiplicativa pues
si (A 13) 1 entonces
)l(AB)f(A) Y(A)1P(B)f(A)f(B) [c/A(A)f(A [ da(B)f(B)] Luego
por la pro -, asición 1 1 6
.75:‘ 14(D)f(D) = DIA
K e, h 11 (21:f(P5f(P5 3=1 1=1 J J
e, h pero 211/"(Plf(P - ) = JA(1)f(1) + Ja(P lf(P ) = 1-f(P ) de donde
1=0 .3 J
resulta la proposición e l ek
Corolario Si A = P 1 Pk entonces
> IAD) = 111- (1_1p 1 - 1) = ii- (1 _ ipl -1 )
OlA IDI j=1 PIA
Prueba Como f(A) = IA1 -1 es multiplicativa el corolario es una
consecuencia inmediata de la proposición
Proposición 1 2 4 Sea f una función multiplicativa Entonces f
es completamente multiplicativa si sólo sí
f -1 (A) = LAAlf(A)
para todo A E [1.4
Prueba Supongamos que f es completamente multiplicativa y hagamos
h(A) = "AMA) Entonces
(hef)(A) =2:: mcof(A/D) = yAmf(o)f(A/D) DIA D A
= LA(0)f(A) = f(A)2E: lif(D)
= f(A)I(A) = 1(A)
es decir h 1 = f Recíprocamente si f 1 (A) - }4(A)f(A) vamos a
utilizar la proposición 1 1 5(b) para probar que f es completamente
multiplic tiva en efecto si PES y e?„1 vemos que
14
e 0 = I(Pe ) = LAPI )f(P 1 )f(Pe 1 )
= )10 f) f(pe ) 4. dif(p ) f(p ) f( pe -1 )
. de donde f(Pe) fwmpe 1) Luego como f(P) = f(1)f(P) una inducción
sobre el exponente e nos da el resultado
15
Proposición 1 2 5
funciones aritméticas
(Fórmula de inversión de Mobius) Sean f Y. g
Entonces para todo A e N
f(A) =21:g(A) si y sólo si g(A) = 21: f(D) 04 (A/D) DIA — DIA
Además si f es multiplicativa g también lo es y recíprocamente
Prueba La parte izquierda de esta equivalencia significa que
f - gAU luego fiwoM (goku)1ku# = go.(uirrfi) gt•J = g es decir la parte
derecha Recíprocamente el miembro derecho significa que g = fik ug
de donde
gU (f50( )Au = fik(//44U) = f*I = f es decir el miembro izquierdo
El resto de la proposición resulta del corolario de la proposición 1 1 4
corolario JI es la única función aritmética con la propiedad de
inversión
Prueba Si existe cle-Dir(t4) tal que si f = gwftt implica que
f 01 a entonces f* 13( (g%u)* 0(= g*,(u1c 0l) = g para toda g Dir(M)
Pero -cto implica que u*o(.1 si g(1) f O de donde 0( - u 1 = 1)(
P oposición 1 2 6 (Teorema de Mobius) Sean {(D ) DEM
J J J cl E C. 1c15,;n} S(M) = III d y S = )7, O( entonces
MID DJ=1
s =ZAm)s(m) Me N
Prueba
Am)5(m) = 2111 (M) > . «, = «,(Z MID j=1 MID
7-:c< . S' D3 =1
en virtud de la proposición 1 2
Corolario 1 Sean A 1 Anell y sea F fA 1 Anj-, C
una función arbitraria Entonces para cada Aell se tiene
2E.IF (A,) ,a(p)s(p) (A A)=1-1 DIA
donde 5(0) = 2:: F(A,) DIA J
Prueba Tomemos DJ - (A
J A) y el = F(A ) entonces
S' = > F(A,) y S(D) = 211 F(A,) como S(D) =0 si D X A el coro- (A A)=1 DI(A A) -I
lario resulta de la proposición
Corolario 2 Sean k un entero ;a1 y
-
[
(A A (3) ) A( J ) A(3) e M leljcn] F Ces 1 kl una función arbitraria entonces
F(A Atn) - (D)S(D) DIM
donde 1 suma de la izquierda se toma sobre todas lastliplas que cumplen
(J) d( 43) ) 1 y m c
16
17
(J) A(J) )
s(D) . F(Al
N k
Dm c d(A l J) A k(J)
(J) Prueba A(J) ) y el = F(A ( J ) A( J ) ) Tomando D3 (A 1
J - m c d k J 1 k
el resultado se obtiene de la proposición anterior
Otros ejemplos de funciones aritméticas son los siguientes donde e 1 ek tomamos A = P 1 Pk Pj P y e ;al
O
(1) Uf(A) =
k si A 1
Si A no tiene factores cuadráticos/41 (A) = (-1) /Il(A)
O
(11) r—)(A) =
e 1 +e2+ tek si A 1
1 si A = 1
(iii) ,i9 (A) = e 1 e2 ek si A I 1
(1v) Las funciones indicatrices de tipo euleriano
1(A) = nl (A B)= 1 1811;1AI
Para ada r = 1 2
@r = > 1
r (A B) 1 IBI=r
(v) Las análogas a las funciones de Jordan
j r (A) - IAI r TÍO - IP») HA
r= 123
(vi)El análogo de la función de Liouville
1 Si A = 1
.X(A) =
si A 41
Dado que (1(AB) = n(A) C/(B) es claro que esta función es multi
plicativa
(vii)La función que indica el número de divisores
211 1 DIA
O más generalmente para r = 2 3
dr(A) = Z. 1 (B 1 Br) B 1 Br = A
es decir dr(A) designa el número de soluciones en M de X 1 X r = A
Es obvio que Z;= d2
(viii)T(A) = ): IDI o más generalmente para t C DIA
CY(A) - L 'Bit U)(A) - DIA
18
19
Es evidente que 11-( A) 0--(A) y que q(A) . z(A) como 'Al es
multiplicativa resulta del corolario de la proposición 1 1 4 que
todas las funciones 0- (A) son multiplicativas en particular -(1(A) t es multiplicativa
(ix) La función análoga a la de Mangoldt
logIPI si A - Pe PeP e;11
A(A) =
O en la alternativa
Como N1) . o A no es invertible y mucho menos multiplicativa
supongamos ahora que estamos en un semigrupo aritmético aditivo
OM B) definamos para r = 1 2 las funciones
Ir(A) = Z 1 (A B)=1 a(B)=r
Para el semigrupo asociado (M II) IAI - tenemos también una
función 41r (A) definida en (IV) que cumple 1r(A) = O si r no es una
potencia de q sin que se tenga 1r (A) = O Por supuesto siempre
tendremos O r ---- (A)cc i r(A) Esto muestra que debemos distinguir entre
las funciones definidas seccionalmente en r Cuando consideramos
(N a) y las análogas definidas seccionalmente en r cuando conside
ramos (P II)
Por ejemplo si estamos en un semigrupo aritmético (P II) es con
veniente considerar las siguientes funciones
1 PEP IPI r
20
N(X) = 1 = G(r) = II 1 lAlcx rIzX r1;)( ¡AH
1T(X) = )7- 1 = j P(r) P eazi rcX IPIcr
Mas si estamos en un semigrupo aritmético aditivo es mejor considerar
además de a(r) las siguientes funciones
f;(r) = LI pep
ei( P)=r
(X)- 211111 (r) 211 1 N:a B(A)=r
11- ( X) = 27_ 1 = I (r) P IP r<X 3(P)-CX
Con la ayuda de estas funciones empezaremos la obtención de propiedades
de las funciones definidas de (1) - (IX)
En primer lugar usaremos el teorema de M8bius (proposición 1 2 6)
para obtener expresiones en término de otras funciones aritméticas
para las funciones indicatrices de tipo euleriano y las funciones de
Jordan
Proposición 1 2 7 Sea (ffM II) un semigrupo aritmético entonces
(c) 0(A) - )4(D)N(IA/D1) DIA
La exnresión (a) es equivalente a la siguiente
(s) N(IAI) = 0(D) DIA
21
Prueba Si D = (A A3 ) donde AJ EtA
J IAJ I czIAI) y F(0 3 ) - 1
entonces la proposición 1 2 6 nos dice que
S' - 1(A) 211 DIA
donde
S(D) = fl 1
DIA.]
N(IA/01)
Esto demuestra (a) La Igualdad (b) resulta de la proposición 1 2 5
(fórmula de inversión de Mbbius)
Corolario 1 Si 11 - N entonces
0(a) = (d)(a/d) c›--c> a = 11 0(d) dia d'a
para todo aE=N
, Corolario 2 Si M = M(q X) y la(30' = q
Z(a) entonces
(c) 0(a(X)) = la(X)I 7— ulli (d(X)1 d(X)I d($)1a(X)
Esta expresión es equivalente a la siguiente
(b) la(X)I = 2ii 1(d(X)) d(X)Ia(X)
Prueba N(18Q)/d(X)i) - E.1 c Z(c)-..Z(a) Vd)
= cia(a) ?i(d) la(X)Id(X)I
22
Corolario 3 Si M = N ó M - H(q X) subsiste la expresión
O(A) = IAI 11(1 IPI 1 ) PIA
Prueba Resulta de los dos corolarios anteriores y la proposición
123
Observemos que como O(A) = O(A) en el caso de un semigrupo aritmé
tico aditivo los corolarios 2 y 3 son válidos para I
Proposición 1 2 8 Si Pi es N o M (q X) entonces
0-1 (A) =Z J4 (D)IDI DIA
Prueba De los corolarios 2 y 3 resulta que en ambos casos ruk1mil 1
O =u# 2.11 Luego O 1 Pero II es completamente multiplica
tiva luego por la proposición 1 24 II 1 r.,fi u Por consiguiente O 1 = »VI II) es decir
9-1 (A) =211(D)IDI D A
Corolario Si ri es IN o 14(q X) entonces
9 1 (A) = 1T(1 II) PIA
Prueba Resulta de aplicar la proposición 1 2 3
En virtud del corolario 3 de la proposición 1 2 7 vemos que
J 1 (A) - O(A) = 1(A) si 114 es bien N o bien H(q X)
Proposición 1 2 9 Sea (M II) un semigrupo aritmético entonces
(c) J r (A) = cW4(D)1A/DIr
lo que equivale a
(b) lAi r = Z J (D) DIA r
Prueba Como lAi r es multiplicativa la proposición 1 2 3 nos da
2:1 J4(D) IDI r - TT(i Irl -r ) DIA PIA
de donde
lAi r-n- (1 IPI r ) =;E::04 (0)1A/Di r= Jr (A) PIA DIA
La parte (b) de la proposición resulta de la fórmula de inversión de
Mobius
La proposición anterior es válida en (01 II) pero en general no
se tiene 0(A) = J i (A) esto si ocurre por ejemplo si N(IA1). IAI
Proposición 1 2 10 Sea (M II) un semigrupo aritmético entonces
4) (A)=21171FJ4(D)G(r/101) (r- 1 2 3 ) D A 1—CIDIcr
si r.-7.1.IAI entonces
4) (A)-Zug(0)G(r/IDI) cy-----,-, G(r/IAI) = Z Or(o) ' DIA DIA '
Prueba Resulta del teorema de Mabius
Corolario 1 Si 11 - N entonces
Or (a) = 7- /14(d)(r/d) ci 1l dc r
23
24
Corolario 2 Si M - M(q X) entonces
9 r ( a ($)) - > ja (g)9[r/I d (X) 1 ]
?I`U a(111c r (r = 1 2 3 ) Si r>la(X)I tenemos
Or(a(X)) = ,14 (d(X)48
d(X)Ia(X)
si y solo si
(4[1 8 (0I] r (d(x))
d(X) lafX)
Proposición 1 2 11 Sea (fM ) un semigrupo aritmético aditivo
(A) rail (D)G(r- a(D)) (r-1 2 ) r DIA
r
Si r> (A) entonces
=r)/(D)G(r- b(D)) DIA
Si y sólo si
G(r D(A)) = L1.(0) DIA '
Proposición 1 2 12 En un semigrupo aritmético (N II) tenemos
1 si A es un cuadrado
DIA O si A no es un cuadrado
25
Prueba Como>— >1(A) es multiplicativa (proposición 1 2 3 y D A
su corolario)basta observar que
1 si e - O (m6d 2)
O si e = 1 (m6d 2)
pero esto es claro si consideramos la expresión
r1(P) c)(P21
1+P+ + (Pe ) = 1 + ( D+( 1) ' I + + ( 1)
. 1 + (- 1)+(-1) 2 + + (-1)e
Proposición 1 2 13 En un semigrupo aritmético (M II) tenemos
1 (A) . l ja(A)I
donde II designa aqui el valor absoluto de un número complejo
Prueba Como ->1 es completamente multiplicativa )1 1 (A)=)4 (A)MA)
(proposición 1 2 3) Luego >: 1 (A) .0 Si existe P el) tal que p 2 1 ,11 y )-5- 1 ( .. _ A) 1 = E/4 (A)] 2 = ly(A)1 en la alternativa
Proposición 1 2 14 En un semigrupo aritmético (UM II) tenemos
(a) íe+1 SI t - O
t'r ' ipi t(e+i) 1 si
Ipit 1
K e, e, (b) CE(A) . Tr (1+e ) = (70 (A) si A = P 1 ' Pk o j-1 -1
26
Proposición 1 2 15 En un semigrupo aritmético (M II) tenemos
cr 1 (A) = z 1 0 1511 ( 0 ),(A/D) t DIA
Prueba Como Il t es completamente multiplicativa la relación ,71
G7 - lit u P im lica que U t = ()) Il t )*u-1 t * La proposición resulta
entonces de quejl = U
Corolario En un semigrupo aritmético (M II) se tienen las rela-
ciones
(a) t(A) =:11)1(0))4A/D) DIA
(b) IT i (A) = I0IAD)J4A/0)
Proposición 1 2 16 En un semigrupo aritmético (ff II) tenemos
5-4.(A) g:(13) = loit t(41D2 ) L 13) L
Proposición 1 2 17 En un semigrupo aritmético (UM II) e eu
SI A - Pl
i ' Pk" y Pr (e) = card {(d1r) di ez a ;lo
a + 1-01 = e] entonces
dr(A) = TT (P r(e 1 ) 1-1
Prueba Basta observar que dr (Pe ) = Pr (e) si e;?.1
Proposición 1 2 18 En un semigrupo aritmético (M II) tenemo
log(A) .7-7\.(p) DIA
27
Prueba De IA1 .
por otra parte tambi/
1-1
e, ek IP11 resulta log IAI =
1=1 ' m se tiene
e, 2:7A(p15 t log Uy) m-1 1=1 m-1
- TI e log 1-1 1
Definamos ahora una derivación en la C -álgebra Dir (1M) mediante
la fórmula
f (A) = f(A) log IAI
Que se trata de una derivación nos lo indica la siguiente
Proposición 1 2 19 Sean (cM II) Dir (CM)
Entonces si f g a Dir(M) se tiene
(a) (f+g)' = f +g
(b) (fog) = f 1g + fsg
(c) (f 1 ) = -f *(ftf) -1 si f(1) i O
Por ejemplo tenemos las siguientes fórmulas
(1) u'(A) = log IA1
(ii) I (A) = O
(111)A* a =
(Esta última en virtud de la proposición 1 2 18)
Como aplicación del uso de esta derivación demostraremos enseauida
la versión de SELBERG en un semigrupo aritmético
Corolario En un semigrupo aritmético (14 II) se tiene la fórmula
de (SELBERG)
A(A) log(A) A(D)A(A/D) = ZAD)log 2 (1A/D1) 1:TrA
Prueba Tenemos
A it u = ucc,A.41-A-FAikui = u
o también A% u +Ash(Al* u) = u multiplicando esta última ecua-
ción por,frobtenemos A +1\yitiv- u "/1 que es la fórmula pedida
I 3 SERIES FORMALES DE DIRICHLET SOBRE M
Una expresión de la forma > f(A)IAI Mil
donde cada f(A) e C se llama una serie formal de Dirichlet sobre M
Dos series formales de Dirichlet
f(A)IAI z E g(A)jAr z Mil Ae[M
se dicen iguales si f(A) = g(A) para todo Aell Por el momento
dejamos de lado la posibilidad de que como función de la variable
compleja z una serie formal de Dirichlet converja Es claro por
otra parte que los coeficientes f(A) de una de estas series definen
una función aritmética f e Dir(M) y recíprocamente una función
aritmética f define una serle formal de Dirichlet f(z). f(A)IAl
De acuerdo con estas definiciones la aplicación f de Dir(i ) en
el conjunto de todas las series formales de Dirichlet es una blyec ión
28
para la cual se tiene r+-5 . -f--s-1 5:it . >,7" ( ),e C) Además si
f g EDir(M) entonces
(¿-11-14f(A)IA I -z )( ¿W (D)I B I z ). &1-171 Ilif(A)9(B)IABI
es decir fag = f g donde el miembro izquierdo no es otra cosa que el
producto formal usual de dos series de funciones En todo lo anterior
están los ingredientes de la siguiente
Proposición 1 3 1 La aplicación f Tes un isomorfismo de
C-álgebra entre Dir(M) y el conjunto de todas las serles formales de
Dirichlet sobre M
Si dado (M II) designamos con II al conjunto IIAI Aell I podemos
escribir
7(z) . 21: ( 21: f(A))r reIMI IAI=r
mientras que si estamos en un semigrupo aritmético aditivo (Im 2)) y
21(M) 43(A) A e all escribimos
7F(z) _ ( 2:: f(A))(1 kz k e (M) D(A)=k
Teniendo en cuenta nuestra definición de derivada de una función
aritmética f hacemos corresponder a f' la serie formal de Dirichlet
definida por
71 (z) -2II f(A)(log 1/11)1A1 -z Aeflvl
con lo cual tenemos evidentemente una derivación (formal) en laC al
oebra de las series formales de Dirichlet
29
También es posible definir en DiraM) y por tanto en la de las
series formales de Dirichlet) una norma II mediante la fórmula
sup t'Al 1 f(A)1 O) si f 4 0
11f11= O si f = O
Es evidente que sup ( 1111 -1 f(A) 4 O) = max IIAI 1 f(A) O] pues
existe mm n (IAI f(A) 4 0 ] como sub conjunto de N
Como este mínimo es >1 entonces siempre Ilfilcz1 Subsiste entonces
la siguiente
Proposición 1 32 La norma II es una valuación no arquimediana
sobre DirOM) Es decir
(a) 1 VII > 0 IlfII = O si y solo si f = O
(b) IlfR911 = 11f11 11911
(c) lIfIgill: max (11f11 11911)
Prueba Es mas cómodo trabajar con
<f> = tmín tIAI
aD
f(A) 4 O] si f 0
si f = O
(donde formalmente hemos tomado O = op 1 ) La propiedad (a) resulta
del hecho que (f) ;11 si f 4 0 Por otra parte si f(A)+9(A)4 O
entonces f(A) y g(A) son ambas distintas de cero y por consiguiente
IAI es mayor que <f) y que <g> y con mayor razón que
mInt5f> <g>) Esto demuestra (e) Para demostrar (b) trabajaromos
en el álgebra de las series formales de Dirichlet observando que
IAI z = h (z) corresponde a una función aritmética definida por h( ) 1
30
31
y h(B) 0 para B ¡ A
Por otra parte basta considerar sólo el caso
en queflOygiO
Sean pues A l Ar los elementos de II que
cumplen lA i l r<C> y B 1 Bs los que cumplen 1BJ 1 -<g> (que apare
cen sólo en número fi' iito en virtud de (iii) de la definición 1 1 1
Si P 1 Pn son los primos que dividen a alguno de los Ao los B en-
tonces las series IA1 1 -z lAr l -z 18 1 1 -z 1B5 I -z están en la sub
álgebra 04_generada sobre C por las series 1P k 1 z (k = 1 2 n)
Si definimos IPk 1 z----~ Xk obtenemos un C isomorfismo entre vl y
C [x 1 Xn] donde las X 1 Xn son algebraicamente independientes
sobre C Luego [ 8 j(y(es un dominio de integridad y por consiguien
te las series
r S z 7- f(A 1 )1A 1 1 y 9 g(B )IB 1 -z
1=1 j=1 J )
que son diferentes de la serie nula tienen un producto no nulo
Estb implica que f(z)g(z) - (f5kg)(z)0 y que
<fitg> =<f><g>
Corolario DiraM) es un dominio de integridad
Proposición 1 3 3 Dir(M) es un anillo factorial
Prueba Consideraremos dos casos (a) P es enumerable infinito
En este caso M es algebraicamente Isomorfo a N lo que implica que
Dir(M)R: Dir(N) Pero un teorema de Cashwell y Everett [9] nos dice
que Dir(r0 es ya un anillo factorial (b) si P = 1 P i Pn es
finito entonces por la correspondencia 1P I I -z—b- X I donde las X i
son algebraicamente independientes sobre C obtenemos un C isomor
32
fismo de álgebras entre Dir(M) y
[[x 1 X Xn]] (el álgebra de las
series potenciales formales sobre e en las indeterminadas (X 1 Xn )
La proposición sigue entonces de que esta última algebra es factorial
[9 ]
Proposición 1 3 4 Dir(M) es un espacio topológico completo con
respecto a II II
Prueba Sea f 1 f2 fn una sucesión Cauchy en Dir(M) es
decir una sucesión para la cual dado E >0 existe un entero M(E)=>0
tal que lifm-fn lIc E si m n:Is MI E ) Esto equivale también a lo
siguiente
fm(A) = f n (A) para todo A que cumpla lAlccl/e si m n;? M(E )
Como E es arbitrario y por tanto 1/a puede tomarse tan grande
como se quiera lo anterior implica que dado AetM la sucesión
f 1 (A) fn(A) es constante a partir de un cierto subíndice M(A)
Sea f(A) este valor constante de modo que f n (A) = f(A) si n;?..M(A)
Como (M(A) lAlc:1/61 es finito podemos considerar su máximo M o (E )
Luego si lAlcz:1/E entonces fn (A) = f(A) si n1-0 0 (E ) Es decir
para n;IM0( ) fn (A) ¡ f(A) sólo si IA1 -1: E o lo que es lo mismo
Ilfn flice si nz>hlo (E) — oo
Es fácil verificar que una serie 77 fn es convergente con re=pec n- to de II II si y sólo si ''en '' cuando nr----oD
Conectado con la convergencia con respecto de II II está el go ien
te concepto puramente algebraico Sea f l f2 una sucesión o-
elementos de Dir(Ll) tal que para cada Ae ' n (A) i O para a lo u-D
33
un número finito de Indices n Una tal sucesión se dice una serie
seudoconvergente definiendo su suma por la relación oo c0 c0
'n ,-; f (z) = 21:(21f,(A))1A1 -z
n=1 n n= Ac11 n=1 " aD
que es un elemento de Dir(M) pues 2:: f (A) es de hecho una suma n=1 n
finita co
Proposición 1 3 5 Elfn es seudoconvergente si y solo si
co n=1
fn es convergente con respecto de II II n=1 u
Prueba (a) ( ) Supongamos que la serie sea convergente con
respecto de II II o lo que es lo mismo que lIf n il------0 Entonces
como en la demostración de la proposición anterior dado AcIll existe
un entero positivo M(A) tal que f n (A) = O para nz.11(A) esto demuestra
que la serie es seudoconvergente (b) ( t ) Recíprocamente si la
serie es seudoconvergente y teniendo en cuenta que Pl(A)
es finito al tomar M(t ) = máx fM(A) IA1c1/6/ vemos que para todo
A que cumpla lAlczlk fn(A) - O si nl--, M( ) es decir I 1 f n II -1- co
Corolario Si g Dir(M) y ,-- fn
es seudoconvergente entonces aD n=1
27 (gtfn ) es seudoconvergente co0 co 21: golf = f n 1 n n=1 n
c0 Prueba La serie 21:gilf es seudoconvergente pues
n=1 n
lig*fnll = 11 g 11 11 f n si Il1' n II----0 Por otra parte si
aD . g*fg(z)fn(z)
n=1 n n=1
= 2 ($CL (0*fn )(A))1A1 -2 AEIM n.1 -
CD = Cg (211 fn )(A))1 A rz AEM n.1
• (gsh)(A)1A1 -z
co .1-(z)h(z) = gwfT f
n=1 "
oD puesto que 7- (g*fn )(A) es una suma finita n-1
Proposición 1 3 6 f e Dir(M) es invertible sí y sólo si lifIl 1
Prueba Por la proposición 1 1 3 sabemos que f es invertible si y
sólo si f(1) 1 0 Pero esto es claramente equivalente a decir que
Ilfll = 1
Corolario Para II II Dir(N) es un anillo de valuación discreta
completo
Prueba Un anillo de valuación discreta es un anillo entero con
valuación no arquimediana que satisface la condición establecida en la
proposición 1 3 6 La completez ya la demostramos en la proposición
134
Lema En Dir(M) si IlhIl<z1 se cumple las siguientes propiedades
(a) La serie geométrica
1+h+h*h + +(hilh* *h) [r veces] + converge y su su-
34
es 1/1-h.
(b) (h*h ...*h) [rveces] (A) f O para a lo sumo un número finito
de indices r.
Prueba: En primer lugar observemos que 111-hil = 1, de modo que
1-h es invertible (proposición 1.3.6). Luego
li 1 1-h
-(1+h+... (h,/....30)[r veces]II =
( /) rh r+1
= ii 1-h _ iihil r+1
que tiende a cero cuando r—,-co(en la topología usual de los números
reales). Esto demuestra (a). La parte (b) es una consecuencia de la
proposición 1.3.5.
Proposición 1.3.7: Si f e Dir(CM) es invertible entonces
f = f(1) [1 + h] , donde Iihil<= 1. Además,
-1 f = 1/f(1)[1+1-1]
o también.
1 1 °D (-1) r [h(z)1 r f(z) f(1) Y=0
Prueba: Como H = f - f(1) cumple H(1) = O, entonces 111-111‹:1:
esto hace que h = ( ' )H. también satisfaga 1lhil‹z1. Luego f f(1)
:uede escribirse como f(1) [1 + hl , con El resto de ir:.
2roposición resulta del lema.
UNIVERSIDAD DE PANAMA
BIBLIOTECA
35
36
Consideremos ahora una sucesión de funciones aritméticas de la
forma f n = 1+F 0 con IIF n II<:1 y supongamos además queY2- Fn es una oo n-1 serie seudoconvergente En este caso decimos que TT f es un producto
n-1 n seudoconvergente y definimos su producto mediante la expresión
oo IT f . IT f ... (z) n n=1 n=1 "
-
= 1 4- Z ( 2E:: -11- F (B i ))IAI z AetM B 1 Br= A
1.1 n i Ai1 r;?-1 n r> >n >1 1 --
Observemos que esta expresión define un elemento de Dir(M) pues
r h(A) = 7-- 11- F (B)
B 1 Br n l =1 O 1
r;a1
r = n ( 7_ 7 F( B)
B 1 Br = A n > 11 n---- i i r ->1
es una suma finita y define por tanto una función aritmética h
Proposición 1 3 8 Sea TTí n un producto seudoconvergente
Entonces
N hm 1T f = h según la norma II II n-9-co n=1 n
Prueba Es claro que
N
Liff (1+F )I(A) - 1 + [Z: Tn (F, Fn l (A) n=1 n n=1 '
r - 1+ > TT F (B)
1-1 n i B 1 Br = A i 1c n ic cn
rc N
37
donde las un son las funciones simétricas de E 1 EN Luego
N 9N(A) - h(A) TT
1 (1+E
n )(A)
n=
= fr F (B ) 1= B 1 B=A 1 n 1 r
lcn i c cnr-c N con algún n i>N
Por otra parte sabemos que existe un entero M(A) tal que F (B ) = O n i 1
para todo B i lA si nM(A) Si tomamos WrIaN(A) es claro ahora que
gN (A) = O si PM(A) Por consiguiente siE> O podemos considerar
el conjunto finito fM(A) lAlc:14.1 y por tanto su máximo
M = máx (M(A)) Luego si lAlcl/a entonces g(A) = O si 11:->hl es
decir bb>14 gN (B) 10 sólo si A1/€jc IBI lo cual implica que
I ig N I máx g N (B)+ 01C E
Observemos que no estamos afirmando que si un producto de unidades de
Dir(IM) converge para la norma II II este producto sea convergente
oo oo Proposición 1 3 9 Si TT f Y son productos seudoconver
n-1 n nsi n
gentes también lo son
(f1Ag n ) y f n=1 n-1
donde f n1 es el inverso de Dirichlet de fn Además
iT —
f (z)g (z) I TTfn(z)] gn(z)] y n=1 n n n n_l
cfr f 1 _ f _ 1
Ln.1 n nill n
38
Prueba En efecto
f n = 1 + Fn con IIF n Il<1 y E F n es seudoconvergente n=1
g 1 + Gn con IIGn II<:1 y 1 G es seudoconvergente n=1 n
f n*gn = (1+F n )*(1+G n ) = (1+Fn )*1+(1+F n )*Gn
= 1+F n+Gn+FkGn co 00 CO
ahora bien como 2:: F n 7— G son seudoconvergentes 7— F n Gn es n= 100 n n=1 n=1
seudoconvergente asl pues 21F n + nG + nF Gn es seudoconvergente por otro n_ i lado
11F n+Gn+F nGn ilEmáx IliF n li II 3n I1 11F nGn 11 .}
co luego asl Tr f kgn es seudoconvergente n=1 co -1 Probemos ahora que Tr f es seudoconvergente n=1 n
00 Supongamos que f n
l = 1 + Gn con II3 n Ilcz1 y 211Gn seudoconvergente n=1 Veamos quien es G n sabemos que
1 = fn *f-n1 = (1 + Fn )*(1 + Gn ) - 1 + F n + Gn + F nGn de donde
cn n Fn+1
Por tanto f 1 - 1 --n- Fn+1
Por otro lado
liGn Il - II Fnil cz i
Fn+ 1 liFn+111
Luego as1 f l es seudoconvergente
00 co 1 De las fórmulas analizados para TT f g TT f
nr1 n n n=1 n
se verifica facilmente que
00 00 TI f 9 = ( 111i f )( TT 9 ) n=1 n n n=1 n n=1 n
Y
-1 co c -1 [Qt. f TT ' = 1 I n=1 n n=1 n.]
39
CAPÍTULO II
LA FUNCIÓN --3- DE RIEMANN DE UN SEMIGRUPO ARITMÉTICO
CAPITULO II
LA FUNCION 75 DE RIEMANN DE UN SEMIGRUPO ARITMETICO
En el presente capitulo estudiaremos la llamada función 5 de
Riemann de un semigrupo aritmético la que es de utilidad en la obten
ción de fórmulas y valores promedios para las funciones aritméticas
Empezaremos el estudio de esta función en cualquier semigrupo
aritmético particularizándola luego al semigrupo 11(q X) de los polino
mios unitarios de F 1)(1) Escribiremos también una serie de fórmulas que nos relacionarán
las funciones aritméticas vistas en el capitulo I con producto de
funciones irde Riemann Finalmente daremos condiciones necesarias
y suficientes para expresar una función aritmética como producto
finito o infinito de funciones 5
II 2- LA FUNCION "SDE RIEMANN DE UN SEMIGRUPO ARITMETICO
Si M es un semigrupo aritmético definiremos a
c0 (1) 3- (z) = jA = > G(n)n z
Afli n=1
donde
G(n) = 7-- 1 cap AelM IAI=n
como la función 77de Riemann de M
41
42
Proposición 2 1 1 La función 3- satisface un producto de Euler
77(z) = Tr iprz) 1 111 P e P
e l ek Prueba En efecto si A = P P P eP k entonces
iT
1 1 (1-11) . -rr ( )
P E P PEP 1 IPI -z
, - TV ( 1 PEP J.0 IPl iz
IA I -z = 77(z) •AEm Oil
donde hemos usado la expresión formal 21IXn = 1/(1-x)
Corolario 1
17(mz) = TT (1-11 -mz ) -1 Oil P e P
Corolario 2 Si M = M(q X) entonces
04(q x) 11z z
que converge como función de z si Re(z)>1
Prueba De (1) obtenemos
-5 (z) = 1521 1 )r -z m(ci x) r.1
00
. y (y 1) r z r-1 (1 13( A ) - r
= ;PL ( E 1) 11 -rz rró Z(A)-r
00 = E q
r(1 z) 1=0
1 _ I-q 1-z
ahora bien esta serie converge absolutamente si
1 ,1 1 z i = c1 1-Re(z) czi
es decir si Re(z)>1
Definición 2 1 2 (a) una función fe Dir(M) se dice primo indepen
diente si para todo P I P2 e P y r 1 se tiene
f( r ) = f ( p1 )
(b) Una función feDir(M) se llama primo independiente multiplica
Uva (abreviado PIM) si ella es Primo independiente y multinlirativa
Ejemplos
(1) La función Z:= d 2 es primo independiente multiplicativa
(2) Sea f r E Dir(M) definida por
1 si existe Ber tal que Br = A
f r (A) = O en la alternativa
donde
1 si k . mr para algún m EN
f r (Pk) =
O en la alternativa
43
44
Claramente se ve que f es primo independiente Además si (A B) = 1 e 1 e rf 1 f r(AB) = fr (P 1 Ps
s Q 1' = O si algún e l fj no es divisible
por r y fr(AB) = f (A)f (B) si todos los e 1 f son divisibles por r r r luego f r es PIM
Proposición 2 1 2 PIM(M) es un subgrupo multiplicativo de
DirX (M) donde Dir(M) es el conjunto de funciones invertibles de
Dir(t4)
Prueba Como I e PIM(M) vemos que este conjunto no es vacío
Sean ahora f gePIM(M) y tomemos
P 1 P2 EP y r>1 de modo que
usnIfpr l .1F- sviv .0 %.
1 2?1 f(pk In , nr-k % k=0 219 ' r 2 I
-(fsg)(P1)
es decir fsg EPIM('1) Finalmente si f€11 110) tenemos para r = 1
1 O = (fi' 1 )(P 1 ) = f(1)f-1 (P 1 )+f(P 1 )f - (1)
f 1 (P 1 ) + f(P ) 1
además
O (foif 1 )(p2 ) f(1)f(P2 ) -1 (P) + f(P2 )f (1)
1
2 f (112 ) f(P2)
de donde f -1 (P 1 ) - f 1 (P2 ) pues f(P 1 ) = f(P2 ) por hipótesis
j 1,-j Supongamos ahora que f 1 (P i ) - f kr 2 ) con jczr y demostraremos para r+1 r+1 P 1 y P2 Tenemos
0 . (flf-1 )(p71 ) . f(pr+1-k )f 1 (11 11 ) jI k=0 1
O . (fsf-1, pr+1 1 . f(pr+1 k )(f-l ipk I 1 2 1 k=0 2 21
es decir
f(l)f l (Pri +1 ) = f(1)f -1 (p1+1 )
r+l-k k r+1 k -1 pues f(P ) = f(P2 )f (P2k ) si k = O r por la hipótesis
de indu:ción Luego f-1 ELPIM(M)
II 2 RELACION ENTRE LA FUNCION •F Y LAS FUNCIONES ARITMETICAS
Empezaremos por verificar que algunas funciones aritméticas pueden
expresarse como producto de funciones 3. facilmente se puede observar
que
( z) = 7(z)
pues 11(z) = Zu(A)lAr z = riA1 z =3(z) (1) Acifi A
Proposición 2 2 1 Sea M un semigrupo aritmético entonces
(a) Lc!"(z) = [75-(q r En particular 77(z) [T(z)] 2
(b) )7(z) - 1/7S(z)
(e) 7,,(z) =-5(rz)
45
(d) 1* (z) = [ 15(z] 2 /5(2z) donde d * (A) = 2w(A)
(e) 1/45(z) = -5(2z)/ -5"(z)
(f) 1/40--s (z). 3(z) 3(z-s)
(g))7(z) = -5- (z-1)/3(z)
(h) 211 [d,(A)] 2 1A1 -z .[-s(z] 4 / 312Z) AGIM
(1) 47S(z) = T I (Z)/5(Z)
Prueba (a) verifiquemos que wkii = "j= d 2 Como tanto usu como
son multiplicativas basta verificar que
(u*u)(Pe) = 7:(5 e ) Pero
t(Pe ) = e + 1 y
= >e— u(pk )upe-k. (uau)(Pe ) = 1 e+1
k=0 K=0
por tanto d 2 (z) =7J(ziti(z) = [ -s (z)] 2 en virtud de la proposición
1 3 1 y (1) mas generalmente
[75(z)1 1^ = lAl -z ) r = 211 113 1 1 -z IBr I z ) AE.11 AEIM B 1 Br=A
= ,r- ( 2111 lAi -z) = 2T 211 1 )1A1 z
AE1.1 B1r=A AeM B 1 Br.A
= dr(A) i A l -z = ti (A) Aell
(b) Como /1 = u -1 , y ii.(z) = 5(z) resulta que /4(z) z)
(c)7 .7 (z) f (A)IAI -z riAr l -z r r Aet4 r Aefti = lArrz =
3-(rz) A E.
46
47
(d) Es claro que ds PIM(M) Si dAkf2 coincide con ten las
potencias de primos tendremos que d smf2
- 7; Veamos pues que si
coinciden
e (dsmf2 )(Pe ) = )7— f (Pk )d (Pe-k )
k=0 2 a
el f (pe \ 4.
27f fpk1
f K=0 2' '
_ (-1) e+1 , ,k + k-1) + 571 1 2 K=0 K=0
(-1) e+1 1-( + e - e+1 2 2
Por consiguiente
d(z) = 2/75(2z)
(e) La identidad resulta si demostramos que XAu = f 2 pero para
ello basta verificar la anterior igualdad en las potencias de primos
Como
e (xtu)(pe) = ri u(pe k ) m pk )
k=0
>e X(Pk)
k=0
1 si e es par
- > ( 1) k k=0 O en la alternativa
f (pe l 2' '
podemos así concluir que 15,(z) =75(2z)/5(z)
(f) En el capitulo anterior verificamos que Il sol u = ers por consi
guiente
1(z ) = 1-1 s ( zli( z) 3( z )r— I s (z )
pero
r- l s (z ) =21111 l A l5 1A1 Z = ZIAl s-z = -5 ( t. s ) A E M A E t4
de donde lo pedido
(g) En la proposición 1 2 7 verificamos que
=,/im(N II)
ahora bien ZN(IAI)1A1 -z = Z( 2111 2E1' )IAI -z AEIM AEM rI;IAI IBI=r
. ( 57 (ZI 1 ))n -z
n=1 1 4A7Pri rsZIAI IBI r
Ti ir- (211 L nn z IAI=n rcn IBI-r
co _211 N(n)(nl)n z
n=1 IAI=n
co = 2Lin(n)G(n)n z
n=1
de donde obtenemos el resultado pedido
2 (h) Como d2 = umu y uesPIM(M) es claro que d 2 y por fuerza d 2 pertenece a PIM(M) Verifiquemos que dlmf2 - d4 Basta verificar
esta propiedad en las potencias de primos pues estas funciones son
48
multiplicativas En efecto
49
d4 (pe ) _ (e+1)(e+2)(o+3)
- + 3)
6 3
f (Pe ) a
( 1) e + 1 2 2
Pero
(d10 ,2)(pe ) f (pk 1 ,42, ne k ) 2 1u2' r k=0
= )9 (e-k+1) 2 k=0 2
- 1/21 1:1(-1) k (e-k+1) 2+ 9L (e-k+1) 2] k=0 k=0
_ 1/2 pe+1)(e+2) (e+1)(e+2)(2e+3) 2 6
1/12[3(e+1)(e+2) + (e+1)(e+2)(2e+3)]
= 1/12 [(e+1)(e+2)(2e+6)]
(e+1)(e+2)(e+3) 6
(e + 3 a 3
Luego d 2 (z) = d;(z)/f2 (z)
r[3-(z 4/312z) en virtud de (1) y (c)
50
(1) De la proposición 1 2 19 obtenemos 7\*u = u por tanto
Y"\(zPa(z) =tie(z) es decir /-S(z) = - 54(z)/75(z)
Ahora si definimos la función aritmética gr eDir(11) por
1 si A no tiene divisores de la forma B ri 1
qr(A) = O en la alternativa
podemos ver que qr*fr = u en efecto q r es multiplicativa y por tanto
lo es q *f y basta en consecuencia verificar la anterior identidad r r en potencias de primos
Así tenemos pues
( qrt fr )(pe) = t q (pk)f (pe-k ) k=1 r r
e (pe 1 ) 1 k=1 r
ya que entre los exponentes Pe Pe-1 e-(k-1) solo hay uno divisible
por r
Podemos enunciar el siguiente corolario y obtenemos una nueva
expresión
Corolario
(J) LEir (z) = -45(z)/3(rz)
Comparando los coeficientes de q -kz en los resultados arteriores
obtenemos expresiones para > f(A) donde f es una función Z(A)=k
aritmética
51
Proposición 2 2 2 En ird1(q X) obtenemos las siguientes expresiones
para las funciones aritméticas
(k+r 1:) (a ) d (A) = k
k = 0 1 2 'a(A)=k r r 1
(b ) 21:14 (A) = 1 si k - O q si k = 1 O si k>2 ?J (A)=k
(c ) 211: f,(A) = O si k t 0(mod r) q si r/k a(A)=k
(c19 ri cl,(A)=(k+1)q k (k 1)qk-1 si k>1 1 si k O .a(A)=k
(e ) ,--:\(A) = ( _ 1) k e l(k+1)/23
k = 0 1 2 donde [X]
designa la parte entera del número real X
(V) j 5 13- (A) = ek (e5(k+1) 1 ),, c1 S - lk 1) k-O 1 2 stO Z(A)=k s
2k e2k 1 (g ) > _ 0(A) - 1 k _ 0 e
a(A)=k
si Cal
2 (h ) 2E:1 [:1 9 (A)] . 1 si k=0 (1)q si k- 1
a(A)=k -
qk [ k (:k + 3 ) (:k + 1) I -- q si k2 q 3 3
(I ) _ jr- /\(A) = O si k = O (log q)q k si k1
d(A)=k
(.) ) , q_(A) = q r si kc:r ek e (k+1) r si kr b(A)=k r
Prueba
Empecemos recordando que
2111 1 (1) = 1
b(A)=k z
de aqui podemos dedieir directamente
211/4(A) = 1 - uo=k
pues ll=,/11-1 Así obtenemos directamente (b )
Recordemos además que
El 11A) = (k+1)qk Z(A)=k
pues
Demostremos ahora
(a ) Como Id—r(z) = ( 1 (z)) r obtenemos
7—i d (A)q-kz [ziqkq kz]r
D(A)=k r
co (tr 1 ) k kz
k r 1
Así
(k+r 1) qk d,(A)
- 1 r-1
Podemos ver claro que tanto (e ) como (j ) se derivan directamente
de las definiciones de fr y q
r
52
(d ) Sabemos que d(z) = (5(z)) 2 /3(2z) = Ldilz)V-2 (z)
Así obtenemos
ct (A) = °L) (E.d,Ii(A))O kz b(A)=k k=0
co = 7—er(k+1)q -kz (1-qq
-2z )q -kz
k=0 k=0
, haciendo a k = (k+1)(1
k Y
obtenemos
(k+1)qk ( i-qq 2z)q-k2
si k = O
si k = 2
si k = 1 y k2
Ck
= (k+1)q k - (k 1)qk-1
Así pues -1
n dt (A) = (k+1)q k (k 1)q k a(A)rk
(e') Sabiendo que '3(z) =312z)/3 .(z) =72 (z);47(z)
tenemos
co mAnckz y :3- (q k ci -2kz )(1 _ qq -z )q -kz
K=0 (A)=k k=0
co k f k + 1 kz = E( 1 )
K-0
53
de donde obtenemos que
k = (-1) ql--2-1
b(A)=k
(f') Como 1(z) = -7(z)3(z s) obtenemos
00 CO Y " 0- (z) , 7- cik ci kz • -- ci ko-k(z-s)
Z(A)=k s k=0 k=0
oo co 7-- qkci -kz 7- ilk(l+s) q-kz
k=0 k=0
co . cikcik(l+s) kz
k=0
de donde por el produ:to de Cauchy
ak = qk y bk = qk(l+s)
Obtenemos
k 12_
_1s k S(k+4) 1] Ck q Z---q -
1=0 q5 1
por tanto ,s(k+1) 1
> 0- (A) = 4 s qs 1
(99 Sabemos que O y que
1/41(z) 5)7(z) 11 (z) -5(z ))13(z)
54
ahora tenemos
Q(A) = °L ( n 0(A))q kz k=0 (A)=k
op = 1(1 qq z ) q2k lq kz
k=0
1 k = O , haciendo ak = q2k
y ok = -q si k = 1
O si k:7.2
obtenemos Ck = q2k - q2k+1
Así
r 41(A) = q2k-q2k-1 si k?-1
(A)=k
ci„ ((h')Como d 2 (z) =t. -Yac'
4 / T(2z) y por (a ) sabemos
r ,4 L 15-(z)j = d (z) = 111(d 4
(A))q -kz 4 k.0
.rco (k + k -kz = 2__ (1
k=0 3
+ 3) es decir 7- d A (A) =
a(A)=k” 3
ahora bien
1-4(z) ='a4 (2)'(2)
oo e + 3) = 'k (1q 2Z )q-kz
k=0 3
55
56
(k + 3) 1 haciendo a
k - y bk = -q
3 O si k = 1 y k;12
tenemos
re + 3 71;( k + 3) qk o q -2z )q kz _ 1; 3 ) qk ( 1141\k-1] q -kz
3 3/
Así
2 1-(k + 3) k (k + 1) k 1] II (d g (A)) = [ 0 q 3 3
. qkKk + 3) Q .. (k + 1)]
3 3 a k
Donde además hemos supuesto que ( r ) = O si r>k Este resultado es
verdadero para k;12 ya que si k - O Z.( d2 (A)) 2 - 1 y si k - 1
2jd2(A)) 2 = ( 4 ) q 3
(0 Por un lado tenemos que
A ( z) "7(z)
pero 3- (z) .-log cicctkcikei kz k-O
de donde obtenemos
J1-1 ( 2E1 mApci kz 109 () y- kqkq kz (l _qq z )
k=0 b(A)=k k-O
haciendo ak -kqk y bk - 1 si k - O
q si k -1 O si k
obtenemos
C k = qk para k O
Es decir O si k = O
EA(A) = R)(A)=k (logq) qk si k?1 -
Así
/\ (A) = (log q)qk si k1 O si k =O Z(A)=k
II 3- CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA QUE UNA FUNCION
ARITMETICA PUEDE EXPRESARSE COMO UN PRODUCTO DE FUNCIONES 5
Consideremos CRYJ] el anillo de las series formales de potencias
en la indeterminada Y y coeficientes en C La aplicación
/\ PIM(11)--+— C[[Y]] A oo
definida por = f(Pr)Yr donde P es un r=0
primo fijo es un monomorfismo multiplicativo En efecto
oo e'f 9 = ( y"— f(pr )y r )( 27— g(p • )y • )
r=0 r=0
00 00 = 2:: ( 7- f(p r )9(pr-1 )y r
r=0 1=0
= flég
Supongamos ahora que 1." - g de modo que oo z [f(p r ) g(pr )] yr = o
r-0
57
58
pero esto implica que f(P r ) g(pr ) = O para todo r>0 y para todo P
pues tanto f como g pertenecen a PIM (f) Por tanto f = g
Consideremos ¿[[vi] el subanillo de CRY.0 de las series formales
de coeficientes en Z Una serie g cZ[[Y]] se dice racional ciclotómica
si g puede expresarse como un producto de polinomios ciclotómicos o
inversos de éstos donde un polinomio ciclotómico es uno de la forma
9m(y) -TT(Y- ) donde c olnison las distintas raices m-ésimas de
la unidad y 0 1 (Y) = 1 Y si g es de sólo polinomios ciclotómicos
decimos que g es entera ciclotómica en 4[1
Definición 2 3 1 Una función feDir(M) se dice que admite una
75 fórmula finita si f = f(z) puede escribirse como producto finito de
funciones de la forma 5(mz) 6 inversas de éstas
Proposición 2 3 1 Una función aritmética feDir(M) admite una
75 -fórmula finita si y sólo si f EPIM(M) 1? es racional ciclotómica
Prueba Supongamos que
ki
Y(z) . -rr [scm,zfl 1.1 •
'-f' donde m
i >O k entero Como 75- (m
i z) =
m (z) vemos que
i i
#. co co m r y =f (pN yr = ›— y 1 = 1 resulta m , 1, m m
1 NO m1 r=0 1 Y I
que
n ‘s k, n m k f = f Tro-Y 1 ) 1
1=1 ml 1-1
_ T"T [od (Y)] 1 dimi
59
donde hemos usado 1-Y m -d(Y) (Ver por ejemplo [9]) es decir
dim es racional ciclotómica
Reciprocamente si f ePIM(IM) y 7 es racional ciclotómica con
= T1[9 (Y)] ' 1 n i
entonces la fórmula usual de inversión de los polinomios ciclotómicos
(ver [8] ) implica que
f.(z) 1T TI- (1 Yd ) 14(n1) /dr i 1 din,
donde/14 es la función de Mübius enE Por tanto
7(z) =1T [31dz17M(n il d)r1
i din
lo que significa que f admite una fórmula finita
Corolario Si f ePIM(11) x 7a/L[Y] entonces f admite unaT fórmula
finita si y sólo si if) es entera ciclotómica
Prueba Supongamos que geZ[[Y]] es racional ciclotómica como
podemos suponer que g - h 1/h2 donde h l h2 son enteros ciclotómicos
primos entre si vemos que h l = g h 2 y como .1[[Y]] es anillo factoricl
vemos que necesariamente g es producto de polinomios ciclotómicos y
por tanto entero ciclotómico Haciendo g = 7 obtenemos el corolario
CAPÍTULO III
ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ARITMÉTICAS
61
CAPITULO III
ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ARIM1ETICAS
El comportamiento de una funcion aritmetica puede ser irregular
para valores grandes de IA(X)I, donde A(X) c [M(q X) Por ejemplo si
consideramos la funcion 5(A) podemos observar que esta toma el valor
2 una cantidad infinita de veces, precisamente en cada elemento de IP
Pero tambien alcanza valores tan grandes como se quiera cuando A(X)
admite un numero arbitrariamente grande de factores que esten en e
(recordemos que EP tiene un cardinal infinito enumerable) Algo pareci
do sucede con otras funciones aritmeticas, en cuyo caso el estudio de
la media aritmetica de una funcion f, es decir, la funcion
t 7- (1) f.(t) = 1 f(A(X)) = ---L--
Z(q,t) li; Z(q,t) I O 43A(X)41t
donde Z(q t) = (1 - q t4-1 )/(1-q) designa al numero de elementos dell de
grado t, puede resultar provechoso, porque estos promedios moderan
en general, las fluctuaciones de f y es entonces razonable pensar que
f tenga un comportamiento mas regular que el de f Lo usual en estos
casos es estudiar este comportamiento comparando RO con otra funcion g(t), de comportamiento conocido, que le sea asintoticamente igual
cuando t-±w, es decir tal que hm 1(t)/g(t) = 1, en cuyo caso decimos t-K0
que el orden promedio de f(t) es g(t)
Nuestro proposito en este capitulo es determinar el orden promedio
de las funciones aritmeticas estudiadas en el Capitulo II
(3 1) La siguiente notacion
(2) z(q5,t) (qs ) k _ 1 _ ci5(t+1)
k=6 1 - qs
nos facilitara la expresion y manejo de algunas formulas y rela-
ciones Claramente cuando t--too , la expresion (2) diverge a
infinito y su comportamiento es el de la serie geometrica de
razon qs
Si (1 (x) designa a la funcion gamma o factorial, el siguiente
desarrollo, consecuencia del teorema de Stirling, es muy conocido
(: k+r-1 kr-1 4. c ye— r-s-1,r-p-2 )
= r-1 r ( r) s=i s
k + 0(x
donde las c s son constantes positivas [6,xv] en particular,
para p = r - 2 obtenemos
( k+r-1
(3) 1 = kr-1 (c 1 kr-2 + +
cr-2' + 0(1) r-1
Proposicion 3 1 1 El orden promedio de ()pes cero cuando t--lco
Prueba De (b ) proposicion 2 2 2, resulta inmediatamente
(4) EP(A) = 1 - q, OC'aAC t
de donde
A.
1 \,› JÁ(A) - (1 - 9)2
75(-t) Z(q t) 04 9( A)<, t 1-qt+1
62
como 3(-0--+ O cuando t—+ co obtenemos nuestro resultado
Observemos que (4) resuelve nitidamente el analogo de la
conietura de Mertens [4] en F [X], pues nos dice simple y llana
mente que el orden de magnitud del miembro izquierdo de (4) es
precisamente la constante 1-q
Proposicion 3 1 2 El orden promedio de X. es cero cuando t-+co
Pruebe De (e ) proposicion 2 2 2 1 tenemos
k (5)
t
( z AA) 57, (-1) q 0A=k k=0
= f 1 si t es par,
1 - q(t+1)/2 si t es impar
Luego
1-qt+1 ) si t es par d. 5L(t) =
(1-q)/ 1-q(t+1)/2 si t es impar
expresion que define una funcion de t que tiende a cero cuando
t 00
Observemos tambien aqui que la formula (e ) de la proposicion
2 2 2 nos permite analizar facilmente el analogo en F [X] de
la llamada conletura de TUran en IN [11]
63
64
(6) ' ,9L(n)/n ;10 (x n x
En efecto, en W [ X] , tenemos
2 %(A)/IAI =(>—%(A))q-k O<DA ,Ct k=0 aA=le
/ -t/2 Si t es par,
0 si t es mmpar,
ln que muestra que en W [X] el análogo de la conjetura de Turán
es correcta, mientras que (6) parece no ser cierta enIN * , segun
la informacion no muy precisa dada en [11]
Por otra parte, el analogo de la conletura de Polya
para x n‘x
que no es correcta en IN-fr [7] , tampoco lo es en W [X] como lo
muestra la relacion (5)
Proposicion 3 1 3 El orden promedio de d*(t) es (1 1/q)t cuando
t —>C0
Prueba Por (d ) proposicion 2 2 2 obtenemos
1 si k = O \
f?
d(A) = gA=1
(k+1)qk — (k-1)qk4 si 1.;11
Por tanto
>t
( > (A)) = 1 + [(k El)qk - (k-1)q] k=0 ata le
t t
= k(qk - q k -1 ) + qk -1 + -1 k=0
t . 7--1[ 1((qk _ qk -1 ) 4. q k -11 + Z(q,t) j lel
= tqt + Z(q,t )
Por consiguiente
65
Z(t) = 1
y entonces
+ _2 ,-9.-
t-- = 1 + t(1 - 1/q)(
Z(q,t) 1 ) 1 1 - ---ITI- 9
d(t) 1 1
t(1-1/q) t(1-1/q) (1 - 1/qt+1 )
tiende a 1 cuando t--4 Coh , tal como queriamos demostrar
Proposicion 3 1 4 El orden promedio de fr es q tiri -t cuando
t —5. co
Prueba De (e ) proposicion 2 2 2, vemos que
f (A)) - Z(q [t/r1) k=0 SA=k r
y, por consiguiente
?r( - EtStir
ID
1 Dia -t t+1
. 9 q —e- O 1
1 - t+1
pues
[t/r] flt/r 1 9— C. = q t -f(1-1/r) °
cuando t -..00 puesto que, r >2
Proposicion 3 1 5 El orden promedio de q r es la constante 1-qr-1
(cuando t )
Prueba De (3 ) proposición 2 2 2 obtenemos la relacion
r-1 5- ( q.,(A)) = qk [qk _ q(k+1)-r]
k-d ZA=
k
q
(k+1)-r
-. = q 1-2›re
q k - (q+q2 + + q(t+1)-r) k=
= 1 + Z(q t)-Z(q ti-r-1)
y en seguida
= 1 + 1 Z(q,t+r-1)
(t)
Z(q , t) Z(q t)
De d orrl e obtenemos
lim (t)= 1 -q r-1 t-Kx) r
66
67
de dorde la proposicion
Propenden 3 1 6 El orden promedio de la funden Gn s (o real # O)
esta dado por la funden
= qs(t+2)
) 1
Prueba Usando (f ) propendan 2 2 2 1 obtenemos
GI(A)) = Z(q,t) _ cisusgs+1 t)
1 - q
de donde resulta que
/. 1 - q (s+1)(t+1) _
1 - q s 1 - q s 1 - qt+1
y por consiguiente,
Crs(t)(qs - 1) 1 cuando
s(t+2)
como puede verificarse facilmente
Proposicion 3 1 7 El orden pronedio de la funden 1 de Euler es
(q-1)qt/(q+1) cuando t--.00
Prueba De (g ), proposicion 2 2 2, obtenemos
68
2 2t (1 q) Z( CI st — 1)
z(q t) = 9A--k Z(q,t) Z(q,t)
(1-q) ( 1-q2t 2t + q )
1-qt+1 1+q
1 _ q q2t + 1
1 4- q 1 - q t+1
Dividierdo por (q-1)q t/(q+1), obtenemos 1
2t+1 1+q + 1 1 + q2t 4- 1 t 2t + 1 1 -q t+1 -1
Si t—..co Luego 1‘)(t)ev(q + 1)q t (q + 1)
Proposicion 3 1 8 El orden promedio de la función A de Mangoldt
está dado por la constante log q
Prueba De (1') proposición 2 2 2, obtenemos
( ai :=.7[A(A)) = q log q Z(q,t - 1)
de donde
4q t9_1p. q log q log q Z
cuando t—ica
Usandb la relacion (3) vamos a calcular el orden promedio de
la funcion d r (t) En primer lugar de (a') proposicion 2 2 2, y
de (3) resulta que + -
d r (A) = y( ?—jdr(A)) -2, k=0 =
(k r1 )
r - 1 OCDA4Zt
t-1 kr-lqk 1-% q o, qk [C1 kr-2+ +Cr-2 F(r)
+ 0 (z(q,t))
Por tanto
r(r)q t 1 Z(q ,
1
t k=0 Z(q t)
t-1 nk re kr-2+
L 1 k=d Cr-2
k] + 0(-1:44 tr-
Es decir existen constantes k y t0 tales que
69
r(r)dr(t) 1 (6)
tr-1 yk
t_Icik r(r)c , k=04 z (q t) tr-l z(q t)
qk [C1 kr-2+ C kl r-2 J
k r"(r) • t r-1
si t )t Como
t-1 q k r r-2 +
O /N q 1C1 + Cr_211] zkq t) k=u
70
(cl-qt+1 ) q(r-2)Ctr-2 z(q,t-1) _ (r-2)Ctr-2
Z(q,t) 1-qt+1
en donde C = max Ci , i= 1 , r-2 , resulta que
t-1
O( rl (r)q y k r- .r-2 . s q Lel k Cr-211
tr-1 Z(q,t) 1=0
< -l(r)C(r-2) (1/qt) - 1) (r >2), t2
(1ici t+1_ 1)
cuyo miembro derecho tiende a cero cuando t-. oo, de donde resulta
que
lim r(r)q
t tr -1 z(q, t)
t-1
qk [C1 kr-2 + k=0 Cr-2kl = O
Como el miembro izquteudo de (6) tiende a cero cuando t__.00, resulta
que
t r-1 k
r'(r)dr ( t ) 1 y ) = O (7) liM - -171 k=o. z(q t) t—loo t
Mostremos ahora que
t r-1 k
1 k q = y (8) lim -r.71 ,Z(q,t)
t -.0ot k=0
existe, donde 1 - 1/q <vq<1 En efecto hagamos
\
1
Gr-1 k
Y (t) = 2 t r- k=0 z(q t)
Entonces
OCv (O< 1 (n + tr-lzoim
< tr-lq (1+ +q t-l ) 1 tr-1 (1 + qt )
para todo t >1 Por otra parte
9‘ t‘ (q1 2C - 194 2 tr- > t"
ln t r-1 q t(1-q)
t z(q,0 tr-1(i_qt+1)
t t+1 q )1 - 1/q 1 - qt
para todo t >1 lino
1 - 1/qCv (t)-( 1 para talo q para todo t >1
Sea u (t) = 1 1 q
t Iz(q t = t r-1 (1-q t+1 )
entonces
u (t+1)-u (t) = [(l
tr-1 1 1
t r-1 +t) 1 r-1 t+2 1-q t+1] -9
71
72
1 (1 - q) 2 e n r■J
*1[1-1-1 t+21 1U t r-1q t+2 9
cuando t ce Es decir, existe t tal que si t ) t q entonces
(t+1) - u(t) < O ano
V (t) = u (t) > kr- 1 9 q k=01 qk
entonces, si t )t , 9
pg-
v ( t+1 )-v (t ) - [ u (t+1 )-u ( t)] kr-lqk + u (t)(t+l) r-lci t+1 9 q k=0 9
t+1 )1u
9 (t+1)-u 9 (t)] (t+1 y qk
u9( t )( t+i )r-1 q t+1
k=1
(t+i)r-1 -(1-q)2 t+1 1 - q
tt - lci 1-q t+2 q + t+1 1
r-1 t+ J t 1 )
(1-q)(111)r-1 [ 1- t+ 1 qt+1 9 t+ 1-q s
tl)r-1 [ q t+1 1 t+1 > O It7+-f q -1
Esto demuestra que vs:1 (t+1) > (t) para todo t lo suficiente-
mente g card e Como
1 - 1/q vq (t)C 1
Si t >1, se deduce que lim v e,(t) =v existe y que t -6.03 4
1 ‹; 1/q ( Vci C. 1
Podemos, pues, enunciar la siguiente proposicion
Proposición 3 1 9 El orden promedio de la funciond r (r )2) tv-.1 está dado por y = cuando t--.-do
circo
La pruebe resulta de la discusion anterior ,2
Pasemos ahora a [d2(A)] = D(A) Tenemos
t-1 k + 2 t + 3
:( D(A)) = 1 + 2 , ( ) qk + ( )qt k=0 z)A-k k=1 2 3
t-1
° 7 k + 2 6 t 3 ( )q- ( )q t , k=0 2 3
73
de d ord e
o(t) z(q,t) L kr-g
k + 2 t + 3 j ( )qk + ( )q
t
2 3
-d 3(t - 1) Z(9,t-1)
( t + 3 cit
Z(ci t ) 3 Z(q t)
Por consiguiente
r, (3)0(t) _ ri (3)d 3(t-1) (1 _qt ) 4 (
t + 3 3 )
r(r)q t (i _q)
(t-1) 2 (t-1) 2 (Fitil ) (t_ 1) 2 (1 _q t+ )
El primer sumando de la derecha tierde a 1/q cuando t —bao
Veamos que pasa con el segundo sumando
muy conodida tenemos
t + 3 ( ) f-1 (3)qt(i _q) r(t+3)
3 (t-1) 2(1-q t+1 ) tr(t)
Utilizando una formula
1 (q t _ q t+1 ) (t-1) 2 (1 - q t+1 )
r(t+3) t2 (q -q _ qt+1 ) _
t 3r(t) T-77-- (1 - qt+1) '
r(t+3) ni 1 expresion que tiende a 1 - 1/q cuando t—.c0, pues t3 r(t)
cuando t---. oo [12,58] Es decir
,1'm
ro) cl(t) y
t-'
Enunciamos ahora la siguiente proposicion
Proposicion 3 1 10 El orden promedio de la funcion aritmetica
0(A) está dado por 9(0 = (t-1) 2 vq/ r(3)
74
CONCLUSIONES
CONCLUSIONES
Hemos escogido el monoide (aM(q X)) de los polinomios sobre un cuer
po finito F primero por la sencillez de algunos resultados y segundo
porque en este monoide no se cumple el axioma A Existen constantes
positivas A y 6que dependen de G y una constante -1? con cp-sYs.;6 tal
que
NG
= AX8 + o(X )
en el cual KNOPMACHER basa sus resultados
Entre los resultados sobresalientes que logramos están
(1) Establecer un isomorfismo entre el álgebra de Dirichlet (Dir(M))
y el álgebra de las series formales Este isomorfismo nos permi-
tirá un camino más sencillo que el usado por Carlitz para obte-
ner relaciones y ordenes promedios de algunas funciones aritméticas
(2) Expresar funciones aritméticas (f) como producto de funciones 77de
Riemann y obtener expresiones para ,-- f(A) todo esto con la Z(A)=k
ayuda del isomorfismo establecido anteriormente
(3) Encontrar ordenes promedios para las funciones aritméticas
76
BIBLIOGRAFÍA
78
[ 1 1 ALBIS GONZALEZ VICTOR S ON A THEOREM OF MOBIUS
ELEMENTARY VARIATIONS ON THE POLYNOM1ALS TONALITY
REV COLOMBIANA MAT 21 (1987) 85-94
[ 2 ] ALBIS GONZALEZ VICTOR S LECCIONES SOBRE LAS FUN -
CIONES ARITMETICAS (SEMINARIO) 1987 UNIVERSIDAD
DE PANAMÁ
[ 3 ] ALBIS GONZALEZ VICTOR S LECCIONES SOBRE LA ARITMÉ-
TICA DE LOS POLINOMIOS POLICOPIADO BOGOTA UNI -
VERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 1989
[ 4 1 APOSTOL TOM Introduction to Analytic Number Theory NEw
YORK SPRINGER -VERLAG 1976
[ 5 1 CARLITZ LEONARD THE ARITMETICAL OF POLYNOMIAL IN
GALOIS FIELDS AMER J MATH 54 (1932)-39-50
[ 6 ] HASSELGROVE C B A DISPROOF OF A CONJETURA OF PáLYA
MATHEMATIKA 5 (1958)-141-148
[ 7 ] KNOPMACHER J ARIDLEY J N ARITHMETICAL PROPER-
TIES OF FINITE RINGS AND ALGEBRAS AND ANALYTIC
NUMBER THEORY II J REINE ANGEW MATH 254 (1972) 74-99
[ 8 1 KNOPMACHER J RIDLEY J N ANALYTIC PROPERTIES OF
FINITE RINGS AND ALGEBRAS AND ANAL TIC NUMBER
THEORY V J REINE ANGEW MATH 27 (1974) 95-121
79
[ 9 ) KNOPMACHER J RIDLEY J N PRIME I NDEPENDENT
AR I THMET ICAL FUNCTIONS ANNAL I MAT PURA ED APPL [-
CATA SERIE IV 101 (1974) 153-169
[ 10 ] MORA OSEJO LUCIANO UNA NOTA SOBRE ALGUNAS CONJETU-
RAS EN TEORÍA DE LOS NUMEROS REV COLOMBIANA
MAT 8 (1978)
[ 11 ] TITCHMARSH EDWARD CHARLES The Theory of funcuons 2ND
ED LONDON OXFORD UNIVERSITY PRESS 1939