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UNIVERSIDAD DE PANAMA VICERRECTORIA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMÁTICA ESTUDIO DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS SOBRE EL MONOIDE DE LOS POLINOMIOS POR FELICIANO BATISTA G TESIS PRESENTADA COMO UNO DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIA - LIZACIÓN EN MATEMÁTICA PANAMA REPUBLICA DE PANAMÁ 1993

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UNIVERSIDAD DE PANAMA VICERRECTORIA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO

PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMÁTICA

ESTUDIO DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS SOBRE

EL MONOIDE DE LOS POLINOMIOS

POR

FELICIANO BATISTA G

TESIS PRESENTADA COMO UNO DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIA -

LIZACIÓN EN MATEMÁTICA

PANAMA REPUBLICA DE PANAMÁ

1993

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5\ 7A

N 9!1"

;.5 ...... iol >1 7. - . -.... ,

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ L'ULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

Panamá,

Aprobado por:

Director de Tesis :7-57;71?___

JORGE HERNANDEZ Ph.D.

Miembro del Jurado

EVANG . STA GONZALEZ M.Sc.

Miembro del Jurado

JOSUE '■ Z M.Sc. Fecha: ¿2-3 de) O'd a/ 1/577 3 .

Ciudad Universitaria Octavio Méndez Pereira

E.STAFETA UNTVERSITARIA

PANAMA. R. DE P.

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DEDICATORIA

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A mis hijos FELIX ORLANDO

y MELVA JARISSA

1 V

FELICIANO

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AGRADECIMIENTO

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Al Doctor VICTOR ALBIS por su

apoyo y asesoría

A todos mis companeros en

especial a JAIME GUTIERREZ por

su valiosa colaboración

VI

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CONTENIDO

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V111

CONTENIDO

PAGINA

INTRODUCCION

CAPITULO I

EL ALGEBRA DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS 1

1 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2

1 2 DEFINICIONES Y ESTUDIO ELEMENTAL DE ALGUNAS FUNCIONES ARITMETICAS IMPORTANTES 12

1 3 SERI S FORMALES DE DIRICHLET SOBRE M 28

CAPITULO II

LA FUNCIÓN 75 DE REIMANN DE UN SEMIGRUPO

ARITMETICO 40

11 1 LA FUNCION :5 DE REIMANN DE UN SEMIGRUPOARIT

METICO 41

11 2 RELACIÓN ENTRE LA FUNC ION -S- Y LAS FUNCIONES

ARITMETICAS 45

11 3 CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA QUE

UNA FUNCIÓN ARITMETICA PUEDA EXPRESARSE COMO

UN PRODUCTO DE FUNCIONES 3 57

CAPITULO III

ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ARIT-

MÉTICAS 60

Un LOS ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES

ARITMETICAS 61

CC:11'C USIONES 75

BIS IOGRAFIA 77

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INTRODUCCIÓN

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INTRODUCC ION

En el presente trabajo estudiaremos las funciones aritméticas sobre

el monoide de los polinomios mónicos en la indeterminada X sobre un

cuerpo finito F comparando algunos resultados aquí obtenidos con

aquellos que les son análogos en el monoide N*

El objeto fundamental de este trabajo es el de encontrar expresiones

y Ordenes promedios para algunas funciones aritméticas en el monoide

M(q X) Para ello necesitaremos primero establecer un isomorfismo entre

el álgebra de Dirichlet (Dir (M)) y el álgebra de las series formales

el cual nos permitirá escribir algunas funciones aritméticas como produc

to de funciones 3 de Riemann obteniendo así expresiones para los

coeficienteskz a partir de los cuales analizaremos el comportamiento

de estas funciones

Nuestra obra consta de tres capítulos los cuales detallaremos a

continuación

El primer capítulo en su primera parte recoge el álgebra de las

funciones aritméticas determinando el inverso de una función aritmé

tica funciones multiplicativas y completamente multiplicativas esta

bleciendo condiciones que nos permiten analizar el comportamiento de

éstas sobre las potencias de primos de P en M Además se estudian

algunas funciones aritméticas en especial (u ju d dr rt N A 0 etc )

dando condiciones necesarias y suficientes con la utilización de la

fórmula de Inversión y el Teorema de Mobius para determinar cuando una

función es nultiplicativa o completamente multiplicativa

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En la segunda parte del primer capítulo establecemos un isomorfismo

entre el álgebra de Dirichlet (Dir(M)) y el álgebra de las series forma

les el cual será herramienta de gran utilidad en el descubrimiento de

nuestros resultados finales Definimos también en esta sección una

norma (II II) en D'HM) y estudiamos algunas propiedades topológicas de

Dir(M)

En el segundo capitulo hacemos un estudio de las funciones S de

Rienwn la que tiene como expresión la serle formal

oo 1/4.-

-5(z) 21( 211)q kz 1(z) Analizamos además las funciones Primo K O IAI k

Independiente Multiplicativa esto con la escritura de -S en serie

formal nos ayudará a escribir algunas funciones aritméticas como produc

to de funciones y los que nos permitirán encontrar expresiones para

los coeficientes q kz Finalmente exhibiremos condiciones necesarias y

suficientes para expresar una función aritmética como producto finito

o infinito de funciones 77 de hemann Es pues en este capitulo donde

damos las bases necesarias para satisfacer el objetivo fundamental

En el tercer capítulo analizamos el comportamiento de algunas fun

nones aritméticas para valores relativamente grandes de IA(X)I éste

se analiza comparando el comportamiento de la función con el comporta

miento de una función conocida y así obtenemos el orden promedio de

algunas funciones aritméticas cuyas expresiones para los coeficientes

kz q en Ill(q X) han sido estudiadasen el segundo capítulo Además estu

diamos aloJnas conjeturas (Mestens Turán Pólya) comparando su compor

tamiento en 11(q X) con su comportamiento en fi*

X 1

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Esperamos que este trabajo incentive a la investigación del compor

tamiento de las funciones aritméticas en cualquier otro monoide

XII

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CAPÍTULO I

EL ÁLGEBRA DE LAS FUNCIONES ARITMÉTICAS

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CAPITULO I

EL ALGEBRA DE LAS FUNCIONES ARITMETICAS

I 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Las funciones aritméticas que estudiaremos aquí son generaliza

ciones de las funciones aritméticas de la teoría clásica de los números

Estas últimas están definidas en el monoide IN de los números enteros

>1 y la generalización que haremos aquí empieza por sustituir este

monoide por otros cuyas estructuras le son semejantes

Para nosotros un monoide o semigrupo conmutativo PI es un conjunto

provisto de una ley de composición (A 8) AB que es asociativa y

conmutativa Además supondremos que M es unitario es decir que existe

1 e II tal que Al A para todo A ell

Para mantener la analogía con N supondremos también que 11 tiene un

subconjunto P (llamado el conjunto de los elementos primos de M) tal

que todo elementoAEM Ail se escribe de manera única en la forma

a a2 o( A p 1 p2 pk Pie P 12(1 entero )O

Es decir S es un monoide factorial o con factorización única (en sus

elementos primos)

A partir de este momento todos los monoides considerados en este

trabajo serán monoides factoriales

Definición 1 1 1 Si existe una aplicación norma 1 1 II ----w

2

es decir tal que

(1) 111 1

IPI >1 para peP

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3

(u) IABI IAIIBI para A Bol

(iii) G(n) 1c:o51(n 1 2 3 etril

IA1 n

decimos que (M I I) es un semigrupo aritmético

Definición 1 1 2 Si existe una aplicación grado a Dl es

decir tal que

(1 ) (1)

(II )D(AB)

(iii ) G(n)

O a(P)> O para PetP

(A) + D(B) para A B e IM

1<co (n 1 23 ) A E ti

(A) n

decimos que (N '25) es un semigrupo aritmético aditivo

Proposición 1 1 1 Todo semi Irupo aritmético aditivo es un semi

grupo aritmético

Prueba Sea q un número real >1 Haciendo IAI (4 -11(A) verifica

mas que I I es una función norma

En efecto por definición

q D(1) (40 1 además si PEP Ipi (4 -1(1) >1 pues -(5(P) > O

Esto verifica (1) La relación I, u3 ¿D (0 =c1 D (A)-(- -a (0) IAUBI no es otra

cosa que (II) Finalmente sea n e N si n f qm (m 12 ) entonces

G(n) 1 >•i 0 AEIN AEN IAI n D(A)

Ahora bién si n qm para algún m 1 2 entonces

G(n) > 1 :5711 Z(m) caj Acifi Ael1 IA1 n D(A) qm a(A) m

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4

Luego en cualquier circunstancia G(n),_001

Ejemplos

(1 ) Sean ff1 IN yP {números primos > 1 } Si In' n para

n E IN todos sabemos que (N II) es un semigrupo aritmético y G(n) 1

(2 ) Si M M(ci X) es el conjunto de todos los polinomios unita

nos (es decir de coeficiente director igual a uno) en la indetermina

da X y con coeficientes en un cuerpo finito F de q elementos un cono

cido teorema (si K es un cuerpo el anillo K [X] es factorial) nos

dice que todo elemento A(X) N puede escribirse de manera única así

a k A(X) P 1 (X) Pk (X) ( d >1)

donde cada P (X) e P P(q X) { polinomios irreducibles unitarios)

Denotando con D (A(X)) (A) al grado del polinomio A(X) propiedades

elementales y bien conocidas de los polinomios nos dicen que (U1(4 x) a)

es un semigrupo aritmético aditivo pues también se tiene

1(n) 1 qn GODO

A(X)ehl(q X) B (A) n

El valor IA(X)I n(A) q d(A)se conoce en la literatura como la norma

del polinomio A(X) Claramente ( M(q X) II) es un semigrupo aritmético

Observemos que en un monoide factorial M existe una relación de

divisibilidad definida asl

AlE3 si existe Cell tal que B AC

que sati rece además las siguientes propiedades

(D1) AIA para todo A

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(D2) Si AIB y BIC entonces AIC

(D3) Si AIB y BIA entonces A B

Si AIB decimos que A es un divisor de B El elemento C e N tal que

B AC se escribe C B/A También tenemos la noción de máximo común

divisor (A B) de dos elementosABeN definida de manera obvia

Dualmente tenemos la de mínimo común múltiplo [A B] y en general

todas aquellas propiedades de N que dependen unicamente de la factoriza

alón única

Definición 1 1 3 Sean N un semigrupo aritmético y C el cuerpo de

los números complejos Toda función f NI ------- C se llama una función

aritmética Al conjunto de todas estas funciones se le denota con

Dir(M)

En Dir(4) podemos definir una suma así

(f+g)(A) f(A) + g(A) para Aell f geDir(M) un producto por

escalares así

(›f)(A) X(f(A)) para Mal f eDir(11) X €C

y un producto w entre funciones aritméticas as!

(f * g)(A) f(D)g(A/D) DIA

Este producto 41( se suele llamar convolución de Dirichlet

Proposición 1 1 2 Dir(ftM) con las operaciones anteriores conforma

una C álaebra conmutativa unitaria que llamaremos el álgebra de

Dirichlet de PI

Prueb Que Dir(M) es un C espacio vectorial resulta de un hecho

general r y conocido Pasemos pues a verificar que es un C álgebra

5

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conmutativa En efecto si f g cDir(11) y Ac(M entonces

(fwg)(A) .7 f(D)g(A/D) - f(D)g(C) DIA OC=A

= g(C)f(D) = Y g(C)f(A/C) OC=A CIA

(g*f)(A)

lo que muestra que * es conmutativo Veamos que * es asociativo

Sean f g h eDir(M) A*11 de modo que

[fs(gAh)](A) = f(D)(gsh)(A/D) DIA

= > • f(D)(g(E)h(F)) CD=A C=EF

= f(D)g(E)h(F) DEF=A

De manera análoga se desarrolla [(f*g)xtilA) y se verificará que es

igual al último miembro derecho de las anteriores igualdades Verifi

quemos ahora que el producto * distribuye respecto a la suma Sean

pues f g h eDir(11) Aell entonces

f+g)*Ñ(A) =:57 (f+g)(D)h(A/D) DIA

=.57(f(D)+g(D))h(A/D) DIA

=21f(D)h(A/D) +> g(D)h(A/D) DIA DIA

_ (fsh)(A) + (g*h)(A)

Enseguldc mostraremos que ( Xf)*.g = f*( ),g) = X(f*g) En efecto

sean f g t_D r(01) Xe c Aell entonces

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Xf)%g](A) .> Uf)(D)Q(A/D) DIA

. :57 Xf(D)g(A/D) DIA

a f(D) [X$9(A/D DIA

= [f,()9)1(A)

_ )1:5:1 f(D)g(A/D) DIA

= [X(fsgfl (A)

Finalmente Dir(M) es unitaria pues la función aritmética

1 si A = 1

1(A) = O si IAI:>1

satisface

(f 14 1) ( A) = :57Tf( D) 1(A/D) = f(A) DIA

es decir 91 = f para toda fcDir(11) lo que indica que 1 es la unidad

para el producto

Pasaremos ahora a determinar los elementos invertibles de Dir(M)

Para ello tomemos fEDir(IM) fi0 y tal que f(1)40 Queremos determinar

f 1 e Dir(M) tal que f-1 1f = ftf -1 -I para ello basta determinar

para cada Mi Procederemos por inducción sobre IAI Si A = 1

entonces

(ftf-1 )(1) - f(1)f 1 (1) = 1

7

de donde f 1 (1) = J_ Supongamos ahora que f 1 (A) ha sido determinado f(1)

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8

para todos los AEP1 que cumplen lAlczn si tomamos 8 611 tal que

181 = n tenemos

O = 1(B) . (fxf -1 )(B) =7 f(B/0)f-1 (D) DIB

= f(1)f -1 (B) + f(B/D)f -1 (0)

O<IDIcn

como para IDIc:n f-1

(D) esta ya determinado por hipótesis de induc

cita) vemos que f-1 (8) queda determinado por

f -1(B)

= _ 1 :57 f(B/D)f-1 (D)

f(1) 018 IDIcn

Recíprocamente si f 1existe entonces de f*f

-1 = I resulta inmediata

mente que f(1)f -1 (1) = 1 es decir «1)10 Hemos pues demostrado

la siguiente

Proposición 1 1 3 Los elementos feDir(11) que son invertibles son

precisamente aquellos que cumplen f(1) 1 O

Por la construcción inductiva hecha en la demostración de esta

proposición resulta claro que f 1

es único El conjunto

{ feDir(M) f(1) + O} es pues un grupo para la multiplicación y

se le denota con DirX(11)

Definición 1 1 4 Sea f una función aritmética f i O Decimos que

f es multiplicativa si f(AB) = f(A)f(B) cada vez que (A B) = 1 Si

f(AB) - f(A)f(B) para todo par de elementos Ay B en M decimos que f

es completamente multiplicativa

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Es claro que toda función completamente multiplicativa es multiplica

Uva Por otra parte como (A 1) - 1 y

f(A) = f(A 1) - f(A)f(1)

si f es multiplicativa vemos que f(1) = 1 Por lo tanto toda función

multiplicativa es invertible

Las siguientes funciones son completamente multiplicativas lAl cl

ofee en particular U(A) = lAl ° = 1 para todo A Gil También lo es

la función unidad 1(A) Como veremos luego no toda función multiplica

tiva es completamente multiplicativa

Proposición 1 1 4 Las funciones multiplicativas conforman un sub

orupo de DirX (M)

Prueba Sean f y g dos funciones multiplicativas (ya hemos visto

que estas son invertibles) Si A y BEIM son tales que (A 8) = 1

entonces

(f*9)(AB) = > f(p)g(AB/D) DIAB

r > 4 f(MN)g(AB/MN) M'A N1B

S--. ..r___. f(M)f(N)g(A/M)g(A/N) MIA NI 8

I- 1> f(M)g(A/M)] I 2_,f(N)g(B/N)] LMIA 1. NIB

[(fIg)(Aflpf9ig)(8)]

donde henos usado el hecho que si (A B) = 1 y DIAB entonces

0 M4 IA NIB y (A/M B/N) 1 Luego el producto de dos funciones

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multiplicativas es una función multiplicativa Veamos finalmente que

el inverso de una función multiplicativa f también lo es Como en este

caso f(1) = 1 tenemos que f 1 (1) = 1 Si PEP y e;>1 tenemos que

0 . upe ) . (folf -1 )(pe )

Consideremos la única función multiplicativa h tal que f- l (pe ) . h(pe )

para todo PeP y todo e1 entonces (f*h )(pe ) . 1(e) para todo Pep y

e.?1 Como tanto f como h son multiplicativas vemos que fleh es

multiplicativa y por tanto

(fi -1)(A) = 1(A) = (net -1 )(A) para todo A eM es

decir tia = f*f -1 = I La unicidad del inverso nos dice ahora que

h = f 1 lo que exige que f 1 sea multiplicativa

Corolario Si f y g son funciones multiplicativas entonces

h(A) => f(D)g(A/D) = (feeg) (A) es multiplicativa DIA

Proposición 1 1 5 Sea f eDir X (M) con f(1) = 1 entonces

(a) f es multiplicativa si y solo s1

e l ek el e

f(P 1 Pk ) = f(P 1 ) f(P k k) para todo P i e P y todo e l .-.1a1

(b) Si f es multiplicativa entonces f es completamente multiplica

Uva si y S010 SI

f(pe) = f(p)e

para todo Pe O' y todo entero e?-1

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Prueba (a) Supongamos primero que f es multiplicativa y tomemos e

1 ek P

1 Pk

P e P e i ;11 Entonces

1 e

k

e e e e f(pi l pkk ) . f(p1 l )f(p22 pkk )

e, e pues (P 1 ' P

k) = 1 De manera recurrente obtenemos

«P i ) Pk") = «P i ') f(Pk") Recíprocamente si (A B) = 1 entonces

e f fs 1 A . Pe1 Pk

k y 8 = Q1

Qs

donde los P 1 y los Q son mutuamente dis

1 J _

tintos y e 1 fJ>I Entonces por hipótesis

e1 p

ek Q

fI Q

f . f(p s)

f(AB) 1 k 1 s

e, e, f, f

= f() 1 1) f(Pki1/4) f(Q 1 1 ) f(Q5 5 )

, e, f, f =

e

1 , KI f f n 1 , SN

1 1 rk 41 gs '

= f(A)f(B)

(b) Si f es completamente multiplicativa es claro que f(P e )=f(P) e e e f f

k Recíprocamente sean A - P, 1 P,k B = P 1 P

k donde e f >O

el+fi p2ek4f2

"ek+f

k 1 1 1

Entonces AB = P Pk y como f es multiplicativa por

hipótesis tenemos

e +f e +f f(AB)

. f(pi l 1 ) f(pkk k )

e, +f, eL+f, = f(Pi) I I fin 1 K il

Ir k i

e, e, f, f,

= f(P 1 ) ' f(Pk ) 1.‘ f(P 1 ) I f(Pk ) IS e

1 ek

fI

fk

f(P 1 Pk )f(P 1 Pk )

- f(A) f(B)

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donde hemos usado la hipótesis f(Pe ) = f(P) e repetidas veces

Proposición 1 1 6 Si f es multiplicativa entonces

= [ 2_,f(P 11 )1 DÍA j=1 1=1 u

e, e, donde A = P Pk " e 1 1 1

Prueba Desarrollando el producto del miembro derecho tenemos

ic e e, e, «P i )) (1+f(P 1 )+ +f(P l '))x(l+f(P2 )+ +f(P2

9) e

j=1 1=0 (14(Pk )+ f(Pkk ))

= 1+f(P 1 )f(P 2 )+ +f(P 1 )f(Pk )+ +f(P 1 )f(Pe22

) f'De1(1 1 "k '

e, e, = l+f(P 1 P2 )+ +f(P 1 Pk )+ +Ny pk")

lo cual nos da el miembro izquierdo

I 2 DEFINICIONES Y ESTUDIO ELEMENTAL DE ALGUNAS FUNCIONES ARITMETICAS

La función definida por

y(A)ill

si A = 1

= (-1) k si A = P 1 Pk donde los P I son todos distintos

0 si existe PeP tal que P21A

se llama función likibius del monoide factorial 111 Como en el caso del

monoide V esta función tiene un carácter combinatorio en todo monoide

factorial Veámoslo

Proposición 1 2 1

(1) 711(D) - 1(A) -WA

12

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13

e 1 ek Prueba Sea A = P 1 Pk di

,m(D) = Ja(1) + AP 1 )+ DIA + J44(Pk 1 Pk )+

. 1 + 1)+( 2 )(

)nde P e P e 1 >1 Entonces —

1111(Pk )i- da(P 1 P2 )+ Jj(P 1 Pk )4

da(P 1 Pk )

2 k k -1) + +(k )( 1)

= (1-1) k = O

si A 1

Observemos que (1) significa que UVA =J9 * U . 1 Es decir d0.- U -1

De aquí resulta fácilmente queja es la única función que satisface

(1)

Proposición 1 2 2 La función J de Mobius es multiplicativa

Prueba Como U es multiplicativa su inversa U 1=jj es multiplica

tiva en virtud de la proposición 1 1 4

La función )1 no es completamente multiplicativa pues

o =}I (P2 ) Ir til(P) IP(P) = 1 e e

Proposición 1 2 3 Si f es multiplicativa y A = P 1 1 Pkk donde

P ePye>1 entonces

Ic .3 . d4 (D)f(D) = TT (1 f(P )) = TT (1-f(P)) DIA j=1 PEP

PIA

Pruebo La función definida por "(A)f(A) es multiplicativa pues

si (A 13) 1 entonces

)l(AB)f(A) Y(A)1P(B)f(A)f(B) [c/A(A)f(A [ da(B)f(B)] Luego

por la pro -, asición 1 1 6

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.75:‘ 14(D)f(D) = DIA

K e, h 11 (21:f(P5f(P5 3=1 1=1 J J

e, h pero 211/"(Plf(P - ) = JA(1)f(1) + Ja(P lf(P ) = 1-f(P ) de donde

1=0 .3 J

resulta la proposición e l ek

Corolario Si A = P 1 Pk entonces

> IAD) = 111- (1_1p 1 - 1) = ii- (1 _ ipl -1 )

OlA IDI j=1 PIA

Prueba Como f(A) = IA1 -1 es multiplicativa el corolario es una

consecuencia inmediata de la proposición

Proposición 1 2 4 Sea f una función multiplicativa Entonces f

es completamente multiplicativa si sólo sí

f -1 (A) = LAAlf(A)

para todo A E [1.4

Prueba Supongamos que f es completamente multiplicativa y hagamos

h(A) = "AMA) Entonces

(hef)(A) =2:: mcof(A/D) = yAmf(o)f(A/D) DIA D A

= LA(0)f(A) = f(A)2E: lif(D)

= f(A)I(A) = 1(A)

es decir h 1 = f Recíprocamente si f 1 (A) - }4(A)f(A) vamos a

utilizar la proposición 1 1 5(b) para probar que f es completamente

multiplic tiva en efecto si PES y e?„1 vemos que

14

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e 0 = I(Pe ) = LAPI )f(P 1 )f(Pe 1 )

= )10 f) f(pe ) 4. dif(p ) f(p ) f( pe -1 )

. de donde f(Pe) fwmpe 1) Luego como f(P) = f(1)f(P) una inducción

sobre el exponente e nos da el resultado

15

Proposición 1 2 5

funciones aritméticas

(Fórmula de inversión de Mobius) Sean f Y. g

Entonces para todo A e N

f(A) =21:g(A) si y sólo si g(A) = 21: f(D) 04 (A/D) DIA — DIA

Además si f es multiplicativa g también lo es y recíprocamente

Prueba La parte izquierda de esta equivalencia significa que

f - gAU luego fiwoM (goku)1ku# = go.(uirrfi) gt•J = g es decir la parte

derecha Recíprocamente el miembro derecho significa que g = fik ug

de donde

gU (f50( )Au = fik(//44U) = f*I = f es decir el miembro izquierdo

El resto de la proposición resulta del corolario de la proposición 1 1 4

corolario JI es la única función aritmética con la propiedad de

inversión

Prueba Si existe cle-Dir(t4) tal que si f = gwftt implica que

f 01 a entonces f* 13( (g%u)* 0(= g*,(u1c 0l) = g para toda g Dir(M)

Pero -cto implica que u*o(.1 si g(1) f O de donde 0( - u 1 = 1)(

P oposición 1 2 6 (Teorema de Mobius) Sean {(D ) DEM

J J J cl E C. 1c15,;n} S(M) = III d y S = )7, O( entonces

MID DJ=1

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s =ZAm)s(m) Me N

Prueba

Am)5(m) = 2111 (M) > . «, = «,(Z MID j=1 MID

7-:c< . S' D3 =1

en virtud de la proposición 1 2

Corolario 1 Sean A 1 Anell y sea F fA 1 Anj-, C

una función arbitraria Entonces para cada Aell se tiene

2E.IF (A,) ,a(p)s(p) (A A)=1-1 DIA

donde 5(0) = 2:: F(A,) DIA J

Prueba Tomemos DJ - (A

J A) y el = F(A ) entonces

S' = > F(A,) y S(D) = 211 F(A,) como S(D) =0 si D X A el coro- (A A)=1 DI(A A) -I

lario resulta de la proposición

Corolario 2 Sean k un entero ;a1 y

-

[

(A A (3) ) A( J ) A(3) e M leljcn] F Ces 1 kl una función arbitraria entonces

F(A Atn) - (D)S(D) DIM

donde 1 suma de la izquierda se toma sobre todas lastliplas que cumplen

(J) d( 43) ) 1 y m c

16

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17

(J) A(J) )

s(D) . F(Al

N k

Dm c d(A l J) A k(J)

(J) Prueba A(J) ) y el = F(A ( J ) A( J ) ) Tomando D3 (A 1

J - m c d k J 1 k

el resultado se obtiene de la proposición anterior

Otros ejemplos de funciones aritméticas son los siguientes donde e 1 ek tomamos A = P 1 Pk Pj P y e ;al

O

(1) Uf(A) =

k si A 1

Si A no tiene factores cuadráticos/41 (A) = (-1) /Il(A)

O

(11) r—)(A) =

e 1 +e2+ tek si A 1

1 si A = 1

(iii) ,i9 (A) = e 1 e2 ek si A I 1

(1v) Las funciones indicatrices de tipo euleriano

1(A) = nl (A B)= 1 1811;1AI

Para ada r = 1 2

@r = > 1

r (A B) 1 IBI=r

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(v) Las análogas a las funciones de Jordan

j r (A) - IAI r TÍO - IP») HA

r= 123

(vi)El análogo de la función de Liouville

1 Si A = 1

.X(A) =

si A 41

Dado que (1(AB) = n(A) C/(B) es claro que esta función es multi

plicativa

(vii)La función que indica el número de divisores

211 1 DIA

O más generalmente para r = 2 3

dr(A) = Z. 1 (B 1 Br) B 1 Br = A

es decir dr(A) designa el número de soluciones en M de X 1 X r = A

Es obvio que Z;= d2

(viii)T(A) = ): IDI o más generalmente para t C DIA

CY(A) - L 'Bit U)(A) - DIA

18

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19

Es evidente que 11-( A) 0--(A) y que q(A) . z(A) como 'Al es

multiplicativa resulta del corolario de la proposición 1 1 4 que

todas las funciones 0- (A) son multiplicativas en particular -(1(A) t es multiplicativa

(ix) La función análoga a la de Mangoldt

logIPI si A - Pe PeP e;11

A(A) =

O en la alternativa

Como N1) . o A no es invertible y mucho menos multiplicativa

supongamos ahora que estamos en un semigrupo aritmético aditivo

OM B) definamos para r = 1 2 las funciones

Ir(A) = Z 1 (A B)=1 a(B)=r

Para el semigrupo asociado (M II) IAI - tenemos también una

función 41r (A) definida en (IV) que cumple 1r(A) = O si r no es una

potencia de q sin que se tenga 1r (A) = O Por supuesto siempre

tendremos O r ---- (A)cc i r(A) Esto muestra que debemos distinguir entre

las funciones definidas seccionalmente en r Cuando consideramos

(N a) y las análogas definidas seccionalmente en r cuando conside

ramos (P II)

Por ejemplo si estamos en un semigrupo aritmético (P II) es con

veniente considerar las siguientes funciones

1 PEP IPI r

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20

N(X) = 1 = G(r) = II 1 lAlcx rIzX r1;)( ¡AH

1T(X) = )7- 1 = j P(r) P eazi rcX IPIcr

Mas si estamos en un semigrupo aritmético aditivo es mejor considerar

además de a(r) las siguientes funciones

f;(r) = LI pep

ei( P)=r

(X)- 211111 (r) 211 1 N:a B(A)=r

11- ( X) = 27_ 1 = I (r) P IP r<X 3(P)-CX

Con la ayuda de estas funciones empezaremos la obtención de propiedades

de las funciones definidas de (1) - (IX)

En primer lugar usaremos el teorema de M8bius (proposición 1 2 6)

para obtener expresiones en término de otras funciones aritméticas

para las funciones indicatrices de tipo euleriano y las funciones de

Jordan

Proposición 1 2 7 Sea (ffM II) un semigrupo aritmético entonces

(c) 0(A) - )4(D)N(IA/D1) DIA

La exnresión (a) es equivalente a la siguiente

(s) N(IAI) = 0(D) DIA

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21

Prueba Si D = (A A3 ) donde AJ EtA

J IAJ I czIAI) y F(0 3 ) - 1

entonces la proposición 1 2 6 nos dice que

S' - 1(A) 211 DIA

donde

S(D) = fl 1

DIA.]

N(IA/01)

Esto demuestra (a) La Igualdad (b) resulta de la proposición 1 2 5

(fórmula de inversión de Mbbius)

Corolario 1 Si 11 - N entonces

0(a) = (d)(a/d) c›--c> a = 11 0(d) dia d'a

para todo aE=N

, Corolario 2 Si M = M(q X) y la(30' = q

Z(a) entonces

(c) 0(a(X)) = la(X)I 7— ulli (d(X)1 d(X)I d($)1a(X)

Esta expresión es equivalente a la siguiente

(b) la(X)I = 2ii 1(d(X)) d(X)Ia(X)

Prueba N(18Q)/d(X)i) - E.1 c Z(c)-..Z(a) Vd)

= cia(a) ?i(d) la(X)Id(X)I

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Corolario 3 Si M = N ó M - H(q X) subsiste la expresión

O(A) = IAI 11(1 IPI 1 ) PIA

Prueba Resulta de los dos corolarios anteriores y la proposición

123

Observemos que como O(A) = O(A) en el caso de un semigrupo aritmé

tico aditivo los corolarios 2 y 3 son válidos para I

Proposición 1 2 8 Si Pi es N o M (q X) entonces

0-1 (A) =Z J4 (D)IDI DIA

Prueba De los corolarios 2 y 3 resulta que en ambos casos ruk1mil 1

O =u# 2.11 Luego O 1 Pero II es completamente multiplica

tiva luego por la proposición 1 24 II 1 r.,fi u Por consiguiente O 1 = »VI II) es decir

9-1 (A) =211(D)IDI D A

Corolario Si ri es IN o 14(q X) entonces

9 1 (A) = 1T(1 II) PIA

Prueba Resulta de aplicar la proposición 1 2 3

En virtud del corolario 3 de la proposición 1 2 7 vemos que

J 1 (A) - O(A) = 1(A) si 114 es bien N o bien H(q X)

Proposición 1 2 9 Sea (M II) un semigrupo aritmético entonces

(c) J r (A) = cW4(D)1A/DIr

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lo que equivale a

(b) lAi r = Z J (D) DIA r

Prueba Como lAi r es multiplicativa la proposición 1 2 3 nos da

2:1 J4(D) IDI r - TT(i Irl -r ) DIA PIA

de donde

lAi r-n- (1 IPI r ) =;E::04 (0)1A/Di r= Jr (A) PIA DIA

La parte (b) de la proposición resulta de la fórmula de inversión de

Mobius

La proposición anterior es válida en (01 II) pero en general no

se tiene 0(A) = J i (A) esto si ocurre por ejemplo si N(IA1). IAI

Proposición 1 2 10 Sea (M II) un semigrupo aritmético entonces

4) (A)=21171FJ4(D)G(r/101) (r- 1 2 3 ) D A 1—CIDIcr

si r.-7.1.IAI entonces

4) (A)-Zug(0)G(r/IDI) cy-----,-, G(r/IAI) = Z Or(o) ' DIA DIA '

Prueba Resulta del teorema de Mabius

Corolario 1 Si 11 - N entonces

Or (a) = 7- /14(d)(r/d) ci 1l dc r

23

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Corolario 2 Si M - M(q X) entonces

9 r ( a ($)) - > ja (g)9[r/I d (X) 1 ]

?I`U a(111c r (r = 1 2 3 ) Si r>la(X)I tenemos

Or(a(X)) = ,14 (d(X)48

d(X)Ia(X)

si y solo si

(4[1 8 (0I] r (d(x))

d(X) lafX)

Proposición 1 2 11 Sea (fM ) un semigrupo aritmético aditivo

(A) rail (D)G(r- a(D)) (r-1 2 ) r DIA

r

Si r> (A) entonces

=r)/(D)G(r- b(D)) DIA

Si y sólo si

G(r D(A)) = L1.(0) DIA '

Proposición 1 2 12 En un semigrupo aritmético (N II) tenemos

1 si A es un cuadrado

DIA O si A no es un cuadrado

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Prueba Como>— >1(A) es multiplicativa (proposición 1 2 3 y D A

su corolario)basta observar que

1 si e - O (m6d 2)

O si e = 1 (m6d 2)

pero esto es claro si consideramos la expresión

r1(P) c)(P21

1+P+ + (Pe ) = 1 + ( D+( 1) ' I + + ( 1)

. 1 + (- 1)+(-1) 2 + + (-1)e

Proposición 1 2 13 En un semigrupo aritmético (M II) tenemos

1 (A) . l ja(A)I

donde II designa aqui el valor absoluto de un número complejo

Prueba Como ->1 es completamente multiplicativa )1 1 (A)=)4 (A)MA)

(proposición 1 2 3) Luego >: 1 (A) .0 Si existe P el) tal que p 2 1 ,11 y )-5- 1 ( .. _ A) 1 = E/4 (A)] 2 = ly(A)1 en la alternativa

Proposición 1 2 14 En un semigrupo aritmético (UM II) tenemos

(a) íe+1 SI t - O

t'r ' ipi t(e+i) 1 si

Ipit 1

K e, e, (b) CE(A) . Tr (1+e ) = (70 (A) si A = P 1 ' Pk o j-1 -1

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Proposición 1 2 15 En un semigrupo aritmético (M II) tenemos

cr 1 (A) = z 1 0 1511 ( 0 ),(A/D) t DIA

Prueba Como Il t es completamente multiplicativa la relación ,71

G7 - lit u P im lica que U t = ()) Il t )*u-1 t * La proposición resulta

entonces de quejl = U

Corolario En un semigrupo aritmético (M II) se tienen las rela-

ciones

(a) t(A) =:11)1(0))4A/D) DIA

(b) IT i (A) = I0IAD)J4A/0)

Proposición 1 2 16 En un semigrupo aritmético (ff II) tenemos

5-4.(A) g:(13) = loit t(41D2 ) L 13) L

Proposición 1 2 17 En un semigrupo aritmético (UM II) e eu

SI A - Pl

i ' Pk" y Pr (e) = card {(d1r) di ez a ;lo

a + 1-01 = e] entonces

dr(A) = TT (P r(e 1 ) 1-1

Prueba Basta observar que dr (Pe ) = Pr (e) si e;?.1

Proposición 1 2 18 En un semigrupo aritmético (M II) tenemo

log(A) .7-7\.(p) DIA

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Prueba De IA1 .

por otra parte tambi/

1-1

e, ek IP11 resulta log IAI =

1=1 ' m se tiene

e, 2:7A(p15 t log Uy) m-1 1=1 m-1

- TI e log 1-1 1

Definamos ahora una derivación en la C -álgebra Dir (1M) mediante

la fórmula

f (A) = f(A) log IAI

Que se trata de una derivación nos lo indica la siguiente

Proposición 1 2 19 Sean (cM II) Dir (CM)

Entonces si f g a Dir(M) se tiene

(a) (f+g)' = f +g

(b) (fog) = f 1g + fsg

(c) (f 1 ) = -f *(ftf) -1 si f(1) i O

Por ejemplo tenemos las siguientes fórmulas

(1) u'(A) = log IA1

(ii) I (A) = O

(111)A* a =

(Esta última en virtud de la proposición 1 2 18)

Como aplicación del uso de esta derivación demostraremos enseauida

la versión de SELBERG en un semigrupo aritmético

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Corolario En un semigrupo aritmético (14 II) se tiene la fórmula

de (SELBERG)

A(A) log(A) A(D)A(A/D) = ZAD)log 2 (1A/D1) 1:TrA

Prueba Tenemos

A it u = ucc,A.41-A-FAikui = u

o también A% u +Ash(Al* u) = u multiplicando esta última ecua-

ción por,frobtenemos A +1\yitiv- u "/1 que es la fórmula pedida

I 3 SERIES FORMALES DE DIRICHLET SOBRE M

Una expresión de la forma > f(A)IAI Mil

donde cada f(A) e C se llama una serie formal de Dirichlet sobre M

Dos series formales de Dirichlet

f(A)IAI z E g(A)jAr z Mil Ae[M

se dicen iguales si f(A) = g(A) para todo Aell Por el momento

dejamos de lado la posibilidad de que como función de la variable

compleja z una serie formal de Dirichlet converja Es claro por

otra parte que los coeficientes f(A) de una de estas series definen

una función aritmética f e Dir(M) y recíprocamente una función

aritmética f define una serle formal de Dirichlet f(z). f(A)IAl

De acuerdo con estas definiciones la aplicación f de Dir(i ) en

el conjunto de todas las series formales de Dirichlet es una blyec ión

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para la cual se tiene r+-5 . -f--s-1 5:it . >,7" ( ),e C) Además si

f g EDir(M) entonces

(¿-11-14f(A)IA I -z )( ¿W (D)I B I z ). &1-171 Ilif(A)9(B)IABI

es decir fag = f g donde el miembro izquierdo no es otra cosa que el

producto formal usual de dos series de funciones En todo lo anterior

están los ingredientes de la siguiente

Proposición 1 3 1 La aplicación f Tes un isomorfismo de

C-álgebra entre Dir(M) y el conjunto de todas las serles formales de

Dirichlet sobre M

Si dado (M II) designamos con II al conjunto IIAI Aell I podemos

escribir

7(z) . 21: ( 21: f(A))r reIMI IAI=r

mientras que si estamos en un semigrupo aritmético aditivo (Im 2)) y

21(M) 43(A) A e all escribimos

7F(z) _ ( 2:: f(A))(1 kz k e (M) D(A)=k

Teniendo en cuenta nuestra definición de derivada de una función

aritmética f hacemos corresponder a f' la serie formal de Dirichlet

definida por

71 (z) -2II f(A)(log 1/11)1A1 -z Aeflvl

con lo cual tenemos evidentemente una derivación (formal) en laC al

oebra de las series formales de Dirichlet

29

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También es posible definir en DiraM) y por tanto en la de las

series formales de Dirichlet) una norma II mediante la fórmula

sup t'Al 1 f(A)1 O) si f 4 0

11f11= O si f = O

Es evidente que sup ( 1111 -1 f(A) 4 O) = max IIAI 1 f(A) O] pues

existe mm n (IAI f(A) 4 0 ] como sub conjunto de N

Como este mínimo es >1 entonces siempre Ilfilcz1 Subsiste entonces

la siguiente

Proposición 1 32 La norma II es una valuación no arquimediana

sobre DirOM) Es decir

(a) 1 VII > 0 IlfII = O si y solo si f = O

(b) IlfR911 = 11f11 11911

(c) lIfIgill: max (11f11 11911)

Prueba Es mas cómodo trabajar con

<f> = tmín tIAI

aD

f(A) 4 O] si f 0

si f = O

(donde formalmente hemos tomado O = op 1 ) La propiedad (a) resulta

del hecho que (f) ;11 si f 4 0 Por otra parte si f(A)+9(A)4 O

entonces f(A) y g(A) son ambas distintas de cero y por consiguiente

IAI es mayor que <f) y que <g> y con mayor razón que

mInt5f> <g>) Esto demuestra (e) Para demostrar (b) trabajaromos

en el álgebra de las series formales de Dirichlet observando que

IAI z = h (z) corresponde a una función aritmética definida por h( ) 1

30

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31

y h(B) 0 para B ¡ A

Por otra parte basta considerar sólo el caso

en queflOygiO

Sean pues A l Ar los elementos de II que

cumplen lA i l r<C> y B 1 Bs los que cumplen 1BJ 1 -<g> (que apare

cen sólo en número fi' iito en virtud de (iii) de la definición 1 1 1

Si P 1 Pn son los primos que dividen a alguno de los Ao los B en-

tonces las series IA1 1 -z lAr l -z 18 1 1 -z 1B5 I -z están en la sub

álgebra 04_generada sobre C por las series 1P k 1 z (k = 1 2 n)

Si definimos IPk 1 z----~ Xk obtenemos un C isomorfismo entre vl y

C [x 1 Xn] donde las X 1 Xn son algebraicamente independientes

sobre C Luego [ 8 j(y(es un dominio de integridad y por consiguien

te las series

r S z 7- f(A 1 )1A 1 1 y 9 g(B )IB 1 -z

1=1 j=1 J )

que son diferentes de la serie nula tienen un producto no nulo

Estb implica que f(z)g(z) - (f5kg)(z)0 y que

<fitg> =<f><g>

Corolario DiraM) es un dominio de integridad

Proposición 1 3 3 Dir(M) es un anillo factorial

Prueba Consideraremos dos casos (a) P es enumerable infinito

En este caso M es algebraicamente Isomorfo a N lo que implica que

Dir(M)R: Dir(N) Pero un teorema de Cashwell y Everett [9] nos dice

que Dir(r0 es ya un anillo factorial (b) si P = 1 P i Pn es

finito entonces por la correspondencia 1P I I -z—b- X I donde las X i

son algebraicamente independientes sobre C obtenemos un C isomor

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32

fismo de álgebras entre Dir(M) y

[[x 1 X Xn]] (el álgebra de las

series potenciales formales sobre e en las indeterminadas (X 1 Xn )

La proposición sigue entonces de que esta última algebra es factorial

[9 ]

Proposición 1 3 4 Dir(M) es un espacio topológico completo con

respecto a II II

Prueba Sea f 1 f2 fn una sucesión Cauchy en Dir(M) es

decir una sucesión para la cual dado E >0 existe un entero M(E)=>0

tal que lifm-fn lIc E si m n:Is MI E ) Esto equivale también a lo

siguiente

fm(A) = f n (A) para todo A que cumpla lAlccl/e si m n;? M(E )

Como E es arbitrario y por tanto 1/a puede tomarse tan grande

como se quiera lo anterior implica que dado AetM la sucesión

f 1 (A) fn(A) es constante a partir de un cierto subíndice M(A)

Sea f(A) este valor constante de modo que f n (A) = f(A) si n;?..M(A)

Como (M(A) lAlc:1/61 es finito podemos considerar su máximo M o (E )

Luego si lAlcz:1/E entonces fn (A) = f(A) si n1-0 0 (E ) Es decir

para n;IM0( ) fn (A) ¡ f(A) sólo si IA1 -1: E o lo que es lo mismo

Ilfn flice si nz>hlo (E) — oo

Es fácil verificar que una serie 77 fn es convergente con re=pec n- to de II II si y sólo si ''en '' cuando nr----oD

Conectado con la convergencia con respecto de II II está el go ien

te concepto puramente algebraico Sea f l f2 una sucesión o-

elementos de Dir(Ll) tal que para cada Ae ' n (A) i O para a lo u-D

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33

un número finito de Indices n Una tal sucesión se dice una serie

seudoconvergente definiendo su suma por la relación oo c0 c0

'n ,-; f (z) = 21:(21f,(A))1A1 -z

n=1 n n= Ac11 n=1 " aD

que es un elemento de Dir(M) pues 2:: f (A) es de hecho una suma n=1 n

finita co

Proposición 1 3 5 Elfn es seudoconvergente si y solo si

co n=1

fn es convergente con respecto de II II n=1 u

Prueba (a) ( ) Supongamos que la serie sea convergente con

respecto de II II o lo que es lo mismo que lIf n il------0 Entonces

como en la demostración de la proposición anterior dado AcIll existe

un entero positivo M(A) tal que f n (A) = O para nz.11(A) esto demuestra

que la serie es seudoconvergente (b) ( t ) Recíprocamente si la

serie es seudoconvergente y teniendo en cuenta que Pl(A)

es finito al tomar M(t ) = máx fM(A) IA1c1/6/ vemos que para todo

A que cumpla lAlczlk fn(A) - O si nl--, M( ) es decir I 1 f n II -1- co

Corolario Si g Dir(M) y ,-- fn

es seudoconvergente entonces aD n=1

27 (gtfn ) es seudoconvergente co0 co 21: golf = f n 1 n n=1 n

c0 Prueba La serie 21:gilf es seudoconvergente pues

n=1 n

lig*fnll = 11 g 11 11 f n si Il1' n II----0 Por otra parte si

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aD . g*fg(z)fn(z)

n=1 n n=1

= 2 ($CL (0*fn )(A))1A1 -2 AEIM n.1 -

CD = Cg (211 fn )(A))1 A rz AEM n.1

• (gsh)(A)1A1 -z

co .1-(z)h(z) = gwfT f

n=1 "

oD puesto que 7- (g*fn )(A) es una suma finita n-1

Proposición 1 3 6 f e Dir(M) es invertible sí y sólo si lifIl 1

Prueba Por la proposición 1 1 3 sabemos que f es invertible si y

sólo si f(1) 1 0 Pero esto es claramente equivalente a decir que

Ilfll = 1

Corolario Para II II Dir(N) es un anillo de valuación discreta

completo

Prueba Un anillo de valuación discreta es un anillo entero con

valuación no arquimediana que satisface la condición establecida en la

proposición 1 3 6 La completez ya la demostramos en la proposición

134

Lema En Dir(M) si IlhIl<z1 se cumple las siguientes propiedades

(a) La serie geométrica

1+h+h*h + +(hilh* *h) [r veces] + converge y su su-

34

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es 1/1-h.

(b) (h*h ...*h) [rveces] (A) f O para a lo sumo un número finito

de indices r.

Prueba: En primer lugar observemos que 111-hil = 1, de modo que

1-h es invertible (proposición 1.3.6). Luego

li 1 1-h

-(1+h+... (h,/....30)[r veces]II =

( /) rh r+1

= ii 1-h _ iihil r+1

que tiende a cero cuando r—,-co(en la topología usual de los números

reales). Esto demuestra (a). La parte (b) es una consecuencia de la

proposición 1.3.5.

Proposición 1.3.7: Si f e Dir(CM) es invertible entonces

f = f(1) [1 + h] , donde Iihil<= 1. Además,

-1 f = 1/f(1)[1+1-1]

o también.

1 1 °D (-1) r [h(z)1 r f(z) f(1) Y=0

Prueba: Como H = f - f(1) cumple H(1) = O, entonces 111-111‹:1:

esto hace que h = ( ' )H. también satisfaga 1lhil‹z1. Luego f f(1)

:uede escribirse como f(1) [1 + hl , con El resto de ir:.

2roposición resulta del lema.

UNIVERSIDAD DE PANAMA

BIBLIOTECA

35

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36

Consideremos ahora una sucesión de funciones aritméticas de la

forma f n = 1+F 0 con IIF n II<:1 y supongamos además queY2- Fn es una oo n-1 serie seudoconvergente En este caso decimos que TT f es un producto

n-1 n seudoconvergente y definimos su producto mediante la expresión

oo IT f . IT f ... (z) n n=1 n=1 "

-

= 1 4- Z ( 2E:: -11- F (B i ))IAI z AetM B 1 Br= A

1.1 n i Ai1 r;?-1 n r> >n >1 1 --

Observemos que esta expresión define un elemento de Dir(M) pues

r h(A) = 7-- 11- F (B)

B 1 Br n l =1 O 1

r;a1

r = n ( 7_ 7 F( B)

B 1 Br = A n > 11 n---- i i r ->1

es una suma finita y define por tanto una función aritmética h

Proposición 1 3 8 Sea TTí n un producto seudoconvergente

Entonces

N hm 1T f = h según la norma II II n-9-co n=1 n

Prueba Es claro que

N

Liff (1+F )I(A) - 1 + [Z: Tn (F, Fn l (A) n=1 n n=1 '

r - 1+ > TT F (B)

1-1 n i B 1 Br = A i 1c n ic cn

rc N

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37

donde las un son las funciones simétricas de E 1 EN Luego

N 9N(A) - h(A) TT

1 (1+E

n )(A)

n=

= fr F (B ) 1= B 1 B=A 1 n 1 r

lcn i c cnr-c N con algún n i>N

Por otra parte sabemos que existe un entero M(A) tal que F (B ) = O n i 1

para todo B i lA si nM(A) Si tomamos WrIaN(A) es claro ahora que

gN (A) = O si PM(A) Por consiguiente siE> O podemos considerar

el conjunto finito fM(A) lAlc:14.1 y por tanto su máximo

M = máx (M(A)) Luego si lAlcl/a entonces g(A) = O si 11:->hl es

decir bb>14 gN (B) 10 sólo si A1/€jc IBI lo cual implica que

I ig N I máx g N (B)+ 01C E

Observemos que no estamos afirmando que si un producto de unidades de

Dir(IM) converge para la norma II II este producto sea convergente

oo oo Proposición 1 3 9 Si TT f Y son productos seudoconver

n-1 n nsi n

gentes también lo son

(f1Ag n ) y f n=1 n-1

donde f n1 es el inverso de Dirichlet de fn Además

iT —

f (z)g (z) I TTfn(z)] gn(z)] y n=1 n n n n_l

cfr f 1 _ f _ 1

Ln.1 n nill n

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38

Prueba En efecto

f n = 1 + Fn con IIF n Il<1 y E F n es seudoconvergente n=1

g 1 + Gn con IIGn II<:1 y 1 G es seudoconvergente n=1 n

f n*gn = (1+F n )*(1+G n ) = (1+Fn )*1+(1+F n )*Gn

= 1+F n+Gn+FkGn co 00 CO

ahora bien como 2:: F n 7— G son seudoconvergentes 7— F n Gn es n= 100 n n=1 n=1

seudoconvergente asl pues 21F n + nG + nF Gn es seudoconvergente por otro n_ i lado

11F n+Gn+F nGn ilEmáx IliF n li II 3n I1 11F nGn 11 .}

co luego asl Tr f kgn es seudoconvergente n=1 co -1 Probemos ahora que Tr f es seudoconvergente n=1 n

00 Supongamos que f n

l = 1 + Gn con II3 n Ilcz1 y 211Gn seudoconvergente n=1 Veamos quien es G n sabemos que

1 = fn *f-n1 = (1 + Fn )*(1 + Gn ) - 1 + F n + Gn + F nGn de donde

cn n Fn+1

Por tanto f 1 - 1 --n- Fn+1

Por otro lado

liGn Il - II Fnil cz i

Fn+ 1 liFn+111

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Luego as1 f l es seudoconvergente

00 co 1 De las fórmulas analizados para TT f g TT f

nr1 n n n=1 n

se verifica facilmente que

00 00 TI f 9 = ( 111i f )( TT 9 ) n=1 n n n=1 n n=1 n

Y

-1 co c -1 [Qt. f TT ' = 1 I n=1 n n=1 n.]

39

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CAPÍTULO II

LA FUNCIÓN --3- DE RIEMANN DE UN SEMIGRUPO ARITMÉTICO

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CAPITULO II

LA FUNCION 75 DE RIEMANN DE UN SEMIGRUPO ARITMETICO

En el presente capitulo estudiaremos la llamada función 5 de

Riemann de un semigrupo aritmético la que es de utilidad en la obten

ción de fórmulas y valores promedios para las funciones aritméticas

Empezaremos el estudio de esta función en cualquier semigrupo

aritmético particularizándola luego al semigrupo 11(q X) de los polino

mios unitarios de F 1)(1) Escribiremos también una serie de fórmulas que nos relacionarán

las funciones aritméticas vistas en el capitulo I con producto de

funciones irde Riemann Finalmente daremos condiciones necesarias

y suficientes para expresar una función aritmética como producto

finito o infinito de funciones 5

II 2- LA FUNCION "SDE RIEMANN DE UN SEMIGRUPO ARITMETICO

Si M es un semigrupo aritmético definiremos a

c0 (1) 3- (z) = jA = > G(n)n z

Afli n=1

donde

G(n) = 7-- 1 cap AelM IAI=n

como la función 77de Riemann de M

41

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42

Proposición 2 1 1 La función 3- satisface un producto de Euler

77(z) = Tr iprz) 1 111 P e P

e l ek Prueba En efecto si A = P P P eP k entonces

iT

1 1 (1-11) . -rr ( )

P E P PEP 1 IPI -z

, - TV ( 1 PEP J.0 IPl iz

IA I -z = 77(z) •AEm Oil

donde hemos usado la expresión formal 21IXn = 1/(1-x)

Corolario 1

17(mz) = TT (1-11 -mz ) -1 Oil P e P

Corolario 2 Si M = M(q X) entonces

04(q x) 11z z

que converge como función de z si Re(z)>1

Prueba De (1) obtenemos

-5 (z) = 1521 1 )r -z m(ci x) r.1

00

. y (y 1) r z r-1 (1 13( A ) - r

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= ;PL ( E 1) 11 -rz rró Z(A)-r

00 = E q

r(1 z) 1=0

1 _ I-q 1-z

ahora bien esta serie converge absolutamente si

1 ,1 1 z i = c1 1-Re(z) czi

es decir si Re(z)>1

Definición 2 1 2 (a) una función fe Dir(M) se dice primo indepen

diente si para todo P I P2 e P y r 1 se tiene

f( r ) = f ( p1 )

(b) Una función feDir(M) se llama primo independiente multiplica

Uva (abreviado PIM) si ella es Primo independiente y multinlirativa

Ejemplos

(1) La función Z:= d 2 es primo independiente multiplicativa

(2) Sea f r E Dir(M) definida por

1 si existe Ber tal que Br = A

f r (A) = O en la alternativa

donde

1 si k . mr para algún m EN

f r (Pk) =

O en la alternativa

43

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44

Claramente se ve que f es primo independiente Además si (A B) = 1 e 1 e rf 1 f r(AB) = fr (P 1 Ps

s Q 1' = O si algún e l fj no es divisible

por r y fr(AB) = f (A)f (B) si todos los e 1 f son divisibles por r r r luego f r es PIM

Proposición 2 1 2 PIM(M) es un subgrupo multiplicativo de

DirX (M) donde Dir(M) es el conjunto de funciones invertibles de

Dir(t4)

Prueba Como I e PIM(M) vemos que este conjunto no es vacío

Sean ahora f gePIM(M) y tomemos

P 1 P2 EP y r>1 de modo que

usnIfpr l .1F- sviv .0 %.

1 2?1 f(pk In , nr-k % k=0 219 ' r 2 I

-(fsg)(P1)

es decir fsg EPIM('1) Finalmente si f€11 110) tenemos para r = 1

1 O = (fi' 1 )(P 1 ) = f(1)f-1 (P 1 )+f(P 1 )f - (1)

f 1 (P 1 ) + f(P ) 1

además

O (foif 1 )(p2 ) f(1)f(P2 ) -1 (P) + f(P2 )f (1)

1

2 f (112 ) f(P2)

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de donde f -1 (P 1 ) - f 1 (P2 ) pues f(P 1 ) = f(P2 ) por hipótesis

j 1,-j Supongamos ahora que f 1 (P i ) - f kr 2 ) con jczr y demostraremos para r+1 r+1 P 1 y P2 Tenemos

0 . (flf-1 )(p71 ) . f(pr+1-k )f 1 (11 11 ) jI k=0 1

O . (fsf-1, pr+1 1 . f(pr+1 k )(f-l ipk I 1 2 1 k=0 2 21

es decir

f(l)f l (Pri +1 ) = f(1)f -1 (p1+1 )

r+l-k k r+1 k -1 pues f(P ) = f(P2 )f (P2k ) si k = O r por la hipótesis

de indu:ción Luego f-1 ELPIM(M)

II 2 RELACION ENTRE LA FUNCION •F Y LAS FUNCIONES ARITMETICAS

Empezaremos por verificar que algunas funciones aritméticas pueden

expresarse como producto de funciones 3. facilmente se puede observar

que

( z) = 7(z)

pues 11(z) = Zu(A)lAr z = riA1 z =3(z) (1) Acifi A

Proposición 2 2 1 Sea M un semigrupo aritmético entonces

(a) Lc!"(z) = [75-(q r En particular 77(z) [T(z)] 2

(b) )7(z) - 1/7S(z)

(e) 7,,(z) =-5(rz)

45

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(d) 1* (z) = [ 15(z] 2 /5(2z) donde d * (A) = 2w(A)

(e) 1/45(z) = -5(2z)/ -5"(z)

(f) 1/40--s (z). 3(z) 3(z-s)

(g))7(z) = -5- (z-1)/3(z)

(h) 211 [d,(A)] 2 1A1 -z .[-s(z] 4 / 312Z) AGIM

(1) 47S(z) = T I (Z)/5(Z)

Prueba (a) verifiquemos que wkii = "j= d 2 Como tanto usu como

son multiplicativas basta verificar que

(u*u)(Pe) = 7:(5 e ) Pero

t(Pe ) = e + 1 y

= >e— u(pk )upe-k. (uau)(Pe ) = 1 e+1

k=0 K=0

por tanto d 2 (z) =7J(ziti(z) = [ -s (z)] 2 en virtud de la proposición

1 3 1 y (1) mas generalmente

[75(z)1 1^ = lAl -z ) r = 211 113 1 1 -z IBr I z ) AE.11 AEIM B 1 Br=A

= ,r- ( 2111 lAi -z) = 2T 211 1 )1A1 z

AE1.1 B1r=A AeM B 1 Br.A

= dr(A) i A l -z = ti (A) Aell

(b) Como /1 = u -1 , y ii.(z) = 5(z) resulta que /4(z) z)

(c)7 .7 (z) f (A)IAI -z riAr l -z r r Aet4 r Aefti = lArrz =

3-(rz) A E.

46

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47

(d) Es claro que ds PIM(M) Si dAkf2 coincide con ten las

potencias de primos tendremos que d smf2

- 7; Veamos pues que si

coinciden

e (dsmf2 )(Pe ) = )7— f (Pk )d (Pe-k )

k=0 2 a

el f (pe \ 4.

27f fpk1

f K=0 2' '

_ (-1) e+1 , ,k + k-1) + 571 1 2 K=0 K=0

(-1) e+1 1-( + e - e+1 2 2

Por consiguiente

d(z) = 2/75(2z)

(e) La identidad resulta si demostramos que XAu = f 2 pero para

ello basta verificar la anterior igualdad en las potencias de primos

Como

e (xtu)(pe) = ri u(pe k ) m pk )

k=0

>e X(Pk)

k=0

1 si e es par

- > ( 1) k k=0 O en la alternativa

f (pe l 2' '

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podemos así concluir que 15,(z) =75(2z)/5(z)

(f) En el capitulo anterior verificamos que Il sol u = ers por consi

guiente

1(z ) = 1-1 s ( zli( z) 3( z )r— I s (z )

pero

r- l s (z ) =21111 l A l5 1A1 Z = ZIAl s-z = -5 ( t. s ) A E M A E t4

de donde lo pedido

(g) En la proposición 1 2 7 verificamos que

=,/im(N II)

ahora bien ZN(IAI)1A1 -z = Z( 2111 2E1' )IAI -z AEIM AEM rI;IAI IBI=r

. ( 57 (ZI 1 ))n -z

n=1 1 4A7Pri rsZIAI IBI r

Ti ir- (211 L nn z IAI=n rcn IBI-r

co _211 N(n)(nl)n z

n=1 IAI=n

co = 2Lin(n)G(n)n z

n=1

de donde obtenemos el resultado pedido

2 (h) Como d2 = umu y uesPIM(M) es claro que d 2 y por fuerza d 2 pertenece a PIM(M) Verifiquemos que dlmf2 - d4 Basta verificar

esta propiedad en las potencias de primos pues estas funciones son

48

multiplicativas En efecto

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49

d4 (pe ) _ (e+1)(e+2)(o+3)

- + 3)

6 3

f (Pe ) a

( 1) e + 1 2 2

Pero

(d10 ,2)(pe ) f (pk 1 ,42, ne k ) 2 1u2' r k=0

= )9 (e-k+1) 2 k=0 2

- 1/21 1:1(-1) k (e-k+1) 2+ 9L (e-k+1) 2] k=0 k=0

_ 1/2 pe+1)(e+2) (e+1)(e+2)(2e+3) 2 6

1/12[3(e+1)(e+2) + (e+1)(e+2)(2e+3)]

= 1/12 [(e+1)(e+2)(2e+6)]

(e+1)(e+2)(e+3) 6

(e + 3 a 3

Luego d 2 (z) = d;(z)/f2 (z)

r[3-(z 4/312z) en virtud de (1) y (c)

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50

(1) De la proposición 1 2 19 obtenemos 7\*u = u por tanto

Y"\(zPa(z) =tie(z) es decir /-S(z) = - 54(z)/75(z)

Ahora si definimos la función aritmética gr eDir(11) por

1 si A no tiene divisores de la forma B ri 1

qr(A) = O en la alternativa

podemos ver que qr*fr = u en efecto q r es multiplicativa y por tanto

lo es q *f y basta en consecuencia verificar la anterior identidad r r en potencias de primos

Así tenemos pues

( qrt fr )(pe) = t q (pk)f (pe-k ) k=1 r r

e (pe 1 ) 1 k=1 r

ya que entre los exponentes Pe Pe-1 e-(k-1) solo hay uno divisible

por r

Podemos enunciar el siguiente corolario y obtenemos una nueva

expresión

Corolario

(J) LEir (z) = -45(z)/3(rz)

Comparando los coeficientes de q -kz en los resultados arteriores

obtenemos expresiones para > f(A) donde f es una función Z(A)=k

aritmética

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51

Proposición 2 2 2 En ird1(q X) obtenemos las siguientes expresiones

para las funciones aritméticas

(k+r 1:) (a ) d (A) = k

k = 0 1 2 'a(A)=k r r 1

(b ) 21:14 (A) = 1 si k - O q si k = 1 O si k>2 ?J (A)=k

(c ) 211: f,(A) = O si k t 0(mod r) q si r/k a(A)=k

(c19 ri cl,(A)=(k+1)q k (k 1)qk-1 si k>1 1 si k O .a(A)=k

(e ) ,--:\(A) = ( _ 1) k e l(k+1)/23

k = 0 1 2 donde [X]

designa la parte entera del número real X

(V) j 5 13- (A) = ek (e5(k+1) 1 ),, c1 S - lk 1) k-O 1 2 stO Z(A)=k s

2k e2k 1 (g ) > _ 0(A) - 1 k _ 0 e

a(A)=k

si Cal

2 (h ) 2E:1 [:1 9 (A)] . 1 si k=0 (1)q si k- 1

a(A)=k -

qk [ k (:k + 3 ) (:k + 1) I -- q si k2 q 3 3

(I ) _ jr- /\(A) = O si k = O (log q)q k si k1

d(A)=k

(.) ) , q_(A) = q r si kc:r ek e (k+1) r si kr b(A)=k r

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Prueba

Empecemos recordando que

2111 1 (1) = 1

b(A)=k z

de aqui podemos dedieir directamente

211/4(A) = 1 - uo=k

pues ll=,/11-1 Así obtenemos directamente (b )

Recordemos además que

El 11A) = (k+1)qk Z(A)=k

pues

Demostremos ahora

(a ) Como Id—r(z) = ( 1 (z)) r obtenemos

7—i d (A)q-kz [ziqkq kz]r

D(A)=k r

co (tr 1 ) k kz

k r 1

Así

(k+r 1) qk d,(A)

- 1 r-1

Podemos ver claro que tanto (e ) como (j ) se derivan directamente

de las definiciones de fr y q

r

52

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(d ) Sabemos que d(z) = (5(z)) 2 /3(2z) = Ldilz)V-2 (z)

Así obtenemos

ct (A) = °L) (E.d,Ii(A))O kz b(A)=k k=0

co = 7—er(k+1)q -kz (1-qq

-2z )q -kz

k=0 k=0

, haciendo a k = (k+1)(1

k Y

obtenemos

(k+1)qk ( i-qq 2z)q-k2

si k = O

si k = 2

si k = 1 y k2

Ck

= (k+1)q k - (k 1)qk-1

Así pues -1

n dt (A) = (k+1)q k (k 1)q k a(A)rk

(e') Sabiendo que '3(z) =312z)/3 .(z) =72 (z);47(z)

tenemos

co mAnckz y :3- (q k ci -2kz )(1 _ qq -z )q -kz

K=0 (A)=k k=0

co k f k + 1 kz = E( 1 )

K-0

53

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de donde obtenemos que

k = (-1) ql--2-1

b(A)=k

(f') Como 1(z) = -7(z)3(z s) obtenemos

00 CO Y " 0- (z) , 7- cik ci kz • -- ci ko-k(z-s)

Z(A)=k s k=0 k=0

oo co 7-- qkci -kz 7- ilk(l+s) q-kz

k=0 k=0

co . cikcik(l+s) kz

k=0

de donde por el produ:to de Cauchy

ak = qk y bk = qk(l+s)

Obtenemos

k 12_

_1s k S(k+4) 1] Ck q Z---q -

1=0 q5 1

por tanto ,s(k+1) 1

> 0- (A) = 4 s qs 1

(99 Sabemos que O y que

1/41(z) 5)7(z) 11 (z) -5(z ))13(z)

54

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ahora tenemos

Q(A) = °L ( n 0(A))q kz k=0 (A)=k

op = 1(1 qq z ) q2k lq kz

k=0

1 k = O , haciendo ak = q2k

y ok = -q si k = 1

O si k:7.2

obtenemos Ck = q2k - q2k+1

Así

r 41(A) = q2k-q2k-1 si k?-1

(A)=k

ci„ ((h')Como d 2 (z) =t. -Yac'

4 / T(2z) y por (a ) sabemos

r ,4 L 15-(z)j = d (z) = 111(d 4

(A))q -kz 4 k.0

.rco (k + k -kz = 2__ (1

k=0 3

+ 3) es decir 7- d A (A) =

a(A)=k” 3

ahora bien

1-4(z) ='a4 (2)'(2)

oo e + 3) = 'k (1q 2Z )q-kz

k=0 3

55

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56

(k + 3) 1 haciendo a

k - y bk = -q

3 O si k = 1 y k;12

tenemos

re + 3 71;( k + 3) qk o q -2z )q kz _ 1; 3 ) qk ( 1141\k-1] q -kz

3 3/

Así

2 1-(k + 3) k (k + 1) k 1] II (d g (A)) = [ 0 q 3 3

. qkKk + 3) Q .. (k + 1)]

3 3 a k

Donde además hemos supuesto que ( r ) = O si r>k Este resultado es

verdadero para k;12 ya que si k - O Z.( d2 (A)) 2 - 1 y si k - 1

2jd2(A)) 2 = ( 4 ) q 3

(0 Por un lado tenemos que

A ( z) "7(z)

pero 3- (z) .-log cicctkcikei kz k-O

de donde obtenemos

J1-1 ( 2E1 mApci kz 109 () y- kqkq kz (l _qq z )

k=0 b(A)=k k-O

haciendo ak -kqk y bk - 1 si k - O

q si k -1 O si k

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obtenemos

C k = qk para k O

Es decir O si k = O

EA(A) = R)(A)=k (logq) qk si k?1 -

Así

/\ (A) = (log q)qk si k1 O si k =O Z(A)=k

II 3- CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA QUE UNA FUNCION

ARITMETICA PUEDE EXPRESARSE COMO UN PRODUCTO DE FUNCIONES 5

Consideremos CRYJ] el anillo de las series formales de potencias

en la indeterminada Y y coeficientes en C La aplicación

/\ PIM(11)--+— C[[Y]] A oo

definida por = f(Pr)Yr donde P es un r=0

primo fijo es un monomorfismo multiplicativo En efecto

oo e'f 9 = ( y"— f(pr )y r )( 27— g(p • )y • )

r=0 r=0

00 00 = 2:: ( 7- f(p r )9(pr-1 )y r

r=0 1=0

= flég

Supongamos ahora que 1." - g de modo que oo z [f(p r ) g(pr )] yr = o

r-0

57

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58

pero esto implica que f(P r ) g(pr ) = O para todo r>0 y para todo P

pues tanto f como g pertenecen a PIM (f) Por tanto f = g

Consideremos ¿[[vi] el subanillo de CRY.0 de las series formales

de coeficientes en Z Una serie g cZ[[Y]] se dice racional ciclotómica

si g puede expresarse como un producto de polinomios ciclotómicos o

inversos de éstos donde un polinomio ciclotómico es uno de la forma

9m(y) -TT(Y- ) donde c olnison las distintas raices m-ésimas de

la unidad y 0 1 (Y) = 1 Y si g es de sólo polinomios ciclotómicos

decimos que g es entera ciclotómica en 4[1

Definición 2 3 1 Una función feDir(M) se dice que admite una

75 fórmula finita si f = f(z) puede escribirse como producto finito de

funciones de la forma 5(mz) 6 inversas de éstas

Proposición 2 3 1 Una función aritmética feDir(M) admite una

75 -fórmula finita si y sólo si f EPIM(M) 1? es racional ciclotómica

Prueba Supongamos que

ki

Y(z) . -rr [scm,zfl 1.1 •

'-f' donde m

i >O k entero Como 75- (m

i z) =

m (z) vemos que

i i

#. co co m r y =f (pN yr = ›— y 1 = 1 resulta m , 1, m m

1 NO m1 r=0 1 Y I

que

n ‘s k, n m k f = f Tro-Y 1 ) 1

1=1 ml 1-1

_ T"T [od (Y)] 1 dimi

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59

donde hemos usado 1-Y m -d(Y) (Ver por ejemplo [9]) es decir

dim es racional ciclotómica

Reciprocamente si f ePIM(IM) y 7 es racional ciclotómica con

= T1[9 (Y)] ' 1 n i

entonces la fórmula usual de inversión de los polinomios ciclotómicos

(ver [8] ) implica que

f.(z) 1T TI- (1 Yd ) 14(n1) /dr i 1 din,

donde/14 es la función de Mübius enE Por tanto

7(z) =1T [31dz17M(n il d)r1

i din

lo que significa que f admite una fórmula finita

Corolario Si f ePIM(11) x 7a/L[Y] entonces f admite unaT fórmula

finita si y sólo si if) es entera ciclotómica

Prueba Supongamos que geZ[[Y]] es racional ciclotómica como

podemos suponer que g - h 1/h2 donde h l h2 son enteros ciclotómicos

primos entre si vemos que h l = g h 2 y como .1[[Y]] es anillo factoricl

vemos que necesariamente g es producto de polinomios ciclotómicos y

por tanto entero ciclotómico Haciendo g = 7 obtenemos el corolario

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CAPÍTULO III

ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ARITMÉTICAS

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61

CAPITULO III

ORDENES PROMEDIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ARIM1ETICAS

El comportamiento de una funcion aritmetica puede ser irregular

para valores grandes de IA(X)I, donde A(X) c [M(q X) Por ejemplo si

consideramos la funcion 5(A) podemos observar que esta toma el valor

2 una cantidad infinita de veces, precisamente en cada elemento de IP

Pero tambien alcanza valores tan grandes como se quiera cuando A(X)

admite un numero arbitrariamente grande de factores que esten en e

(recordemos que EP tiene un cardinal infinito enumerable) Algo pareci

do sucede con otras funciones aritmeticas, en cuyo caso el estudio de

la media aritmetica de una funcion f, es decir, la funcion

t 7- (1) f.(t) = 1 f(A(X)) = ---L--

Z(q,t) li; Z(q,t) I O 43A(X)41t

donde Z(q t) = (1 - q t4-1 )/(1-q) designa al numero de elementos dell de

grado t, puede resultar provechoso, porque estos promedios moderan

en general, las fluctuaciones de f y es entonces razonable pensar que

f tenga un comportamiento mas regular que el de f Lo usual en estos

casos es estudiar este comportamiento comparando RO con otra funcion g(t), de comportamiento conocido, que le sea asintoticamente igual

cuando t-±w, es decir tal que hm 1(t)/g(t) = 1, en cuyo caso decimos t-K0

que el orden promedio de f(t) es g(t)

Nuestro proposito en este capitulo es determinar el orden promedio

de las funciones aritmeticas estudiadas en el Capitulo II

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(3 1) La siguiente notacion

(2) z(q5,t) (qs ) k _ 1 _ ci5(t+1)

k=6 1 - qs

nos facilitara la expresion y manejo de algunas formulas y rela-

ciones Claramente cuando t--too , la expresion (2) diverge a

infinito y su comportamiento es el de la serie geometrica de

razon qs

Si (1 (x) designa a la funcion gamma o factorial, el siguiente

desarrollo, consecuencia del teorema de Stirling, es muy conocido

(: k+r-1 kr-1 4. c ye— r-s-1,r-p-2 )

= r-1 r ( r) s=i s

k + 0(x

donde las c s son constantes positivas [6,xv] en particular,

para p = r - 2 obtenemos

( k+r-1

(3) 1 = kr-1 (c 1 kr-2 + +

cr-2' + 0(1) r-1

Proposicion 3 1 1 El orden promedio de ()pes cero cuando t--lco

Prueba De (b ) proposicion 2 2 2, resulta inmediatamente

(4) EP(A) = 1 - q, OC'aAC t

de donde

A.

1 \,› JÁ(A) - (1 - 9)2

75(-t) Z(q t) 04 9( A)<, t 1-qt+1

62

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como 3(-0--+ O cuando t—+ co obtenemos nuestro resultado

Observemos que (4) resuelve nitidamente el analogo de la

conietura de Mertens [4] en F [X], pues nos dice simple y llana

mente que el orden de magnitud del miembro izquierdo de (4) es

precisamente la constante 1-q

Proposicion 3 1 2 El orden promedio de X. es cero cuando t-+co

Pruebe De (e ) proposicion 2 2 2 1 tenemos

k (5)

t

( z AA) 57, (-1) q 0A=k k=0

= f 1 si t es par,

1 - q(t+1)/2 si t es impar

Luego

1-qt+1 ) si t es par d. 5L(t) =

(1-q)/ 1-q(t+1)/2 si t es impar

expresion que define una funcion de t que tiende a cero cuando

t 00

Observemos tambien aqui que la formula (e ) de la proposicion

2 2 2 nos permite analizar facilmente el analogo en F [X] de

la llamada conletura de TUran en IN [11]

63

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64

(6) ' ,9L(n)/n ;10 (x n x

En efecto, en W [ X] , tenemos

2 %(A)/IAI =(>—%(A))q-k O<DA ,Ct k=0 aA=le

/ -t/2 Si t es par,

0 si t es mmpar,

ln que muestra que en W [X] el análogo de la conjetura de Turán

es correcta, mientras que (6) parece no ser cierta enIN * , segun

la informacion no muy precisa dada en [11]

Por otra parte, el analogo de la conletura de Polya

para x n‘x

que no es correcta en IN-fr [7] , tampoco lo es en W [X] como lo

muestra la relacion (5)

Proposicion 3 1 3 El orden promedio de d*(t) es (1 1/q)t cuando

t —>C0

Prueba Por (d ) proposicion 2 2 2 obtenemos

1 si k = O \

f?

d(A) = gA=1

(k+1)qk — (k-1)qk4 si 1.;11

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Por tanto

>t

( > (A)) = 1 + [(k El)qk - (k-1)q] k=0 ata le

t t

= k(qk - q k -1 ) + qk -1 + -1 k=0

t . 7--1[ 1((qk _ qk -1 ) 4. q k -11 + Z(q,t) j lel

= tqt + Z(q,t )

Por consiguiente

65

Z(t) = 1

y entonces

+ _2 ,-9.-

t-- = 1 + t(1 - 1/q)(

Z(q,t) 1 ) 1 1 - ---ITI- 9

d(t) 1 1

t(1-1/q) t(1-1/q) (1 - 1/qt+1 )

tiende a 1 cuando t--4 Coh , tal como queriamos demostrar

Proposicion 3 1 4 El orden promedio de fr es q tiri -t cuando

t —5. co

Prueba De (e ) proposicion 2 2 2, vemos que

f (A)) - Z(q [t/r1) k=0 SA=k r

y, por consiguiente

?r( - EtStir

ID

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1 Dia -t t+1

. 9 q —e- O 1

1 - t+1

pues

[t/r] flt/r 1 9— C. = q t -f(1-1/r) °

cuando t -..00 puesto que, r >2

Proposicion 3 1 5 El orden promedio de q r es la constante 1-qr-1

(cuando t )

Prueba De (3 ) proposición 2 2 2 obtenemos la relacion

r-1 5- ( q.,(A)) = qk [qk _ q(k+1)-r]

k-d ZA=

k

q

(k+1)-r

-. = q 1-2›re

q k - (q+q2 + + q(t+1)-r) k=

= 1 + Z(q t)-Z(q ti-r-1)

y en seguida

= 1 + 1 Z(q,t+r-1)

(t)

Z(q , t) Z(q t)

De d orrl e obtenemos

lim (t)= 1 -q r-1 t-Kx) r

66

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67

de dorde la proposicion

Propenden 3 1 6 El orden promedio de la funden Gn s (o real # O)

esta dado por la funden

= qs(t+2)

) 1

Prueba Usando (f ) propendan 2 2 2 1 obtenemos

GI(A)) = Z(q,t) _ cisusgs+1 t)

1 - q

de donde resulta que

/. 1 - q (s+1)(t+1) _

1 - q s 1 - q s 1 - qt+1

y por consiguiente,

Crs(t)(qs - 1) 1 cuando

s(t+2)

como puede verificarse facilmente

Proposicion 3 1 7 El orden pronedio de la funden 1 de Euler es

(q-1)qt/(q+1) cuando t--.00

Prueba De (g ), proposicion 2 2 2, obtenemos

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68

2 2t (1 q) Z( CI st — 1)

z(q t) = 9A--k Z(q,t) Z(q,t)

(1-q) ( 1-q2t 2t + q )

1-qt+1 1+q

1 _ q q2t + 1

1 4- q 1 - q t+1

Dividierdo por (q-1)q t/(q+1), obtenemos 1

2t+1 1+q + 1 1 + q2t 4- 1 t 2t + 1 1 -q t+1 -1

Si t—..co Luego 1‘)(t)ev(q + 1)q t (q + 1)

Proposicion 3 1 8 El orden promedio de la función A de Mangoldt

está dado por la constante log q

Prueba De (1') proposición 2 2 2, obtenemos

( ai :=.7[A(A)) = q log q Z(q,t - 1)

de donde

4q t9_1p. q log q log q Z

cuando t—ica

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Usandb la relacion (3) vamos a calcular el orden promedio de

la funcion d r (t) En primer lugar de (a') proposicion 2 2 2, y

de (3) resulta que + -

d r (A) = y( ?—jdr(A)) -2, k=0 =

(k r1 )

r - 1 OCDA4Zt

t-1 kr-lqk 1-% q o, qk [C1 kr-2+ +Cr-2 F(r)

+ 0 (z(q,t))

Por tanto

r(r)q t 1 Z(q ,

1

t k=0 Z(q t)

t-1 nk re kr-2+

L 1 k=d Cr-2

k] + 0(-1:44 tr-

Es decir existen constantes k y t0 tales que

69

r(r)dr(t) 1 (6)

tr-1 yk

t_Icik r(r)c , k=04 z (q t) tr-l z(q t)

qk [C1 kr-2+ C kl r-2 J

k r"(r) • t r-1

si t )t Como

t-1 q k r r-2 +

O /N q 1C1 + Cr_211] zkq t) k=u

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70

(cl-qt+1 ) q(r-2)Ctr-2 z(q,t-1) _ (r-2)Ctr-2

Z(q,t) 1-qt+1

en donde C = max Ci , i= 1 , r-2 , resulta que

t-1

O( rl (r)q y k r- .r-2 . s q Lel k Cr-211

tr-1 Z(q,t) 1=0

< -l(r)C(r-2) (1/qt) - 1) (r >2), t2

(1ici t+1_ 1)

cuyo miembro derecho tiende a cero cuando t-. oo, de donde resulta

que

lim r(r)q

t tr -1 z(q, t)

t-1

qk [C1 kr-2 + k=0 Cr-2kl = O

Como el miembro izquteudo de (6) tiende a cero cuando t__.00, resulta

que

t r-1 k

r'(r)dr ( t ) 1 y ) = O (7) liM - -171 k=o. z(q t) t—loo t

Mostremos ahora que

t r-1 k

1 k q = y (8) lim -r.71 ,Z(q,t)

t -.0ot k=0

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existe, donde 1 - 1/q <vq<1 En efecto hagamos

\

1

Gr-1 k

Y (t) = 2 t r- k=0 z(q t)

Entonces

OCv (O< 1 (n + tr-lzoim

< tr-lq (1+ +q t-l ) 1 tr-1 (1 + qt )

para todo t >1 Por otra parte

9‘ t‘ (q1 2C - 194 2 tr- > t"

ln t r-1 q t(1-q)

t z(q,0 tr-1(i_qt+1)

t t+1 q )1 - 1/q 1 - qt

para todo t >1 lino

1 - 1/qCv (t)-( 1 para talo q para todo t >1

Sea u (t) = 1 1 q

t Iz(q t = t r-1 (1-q t+1 )

entonces

u (t+1)-u (t) = [(l

tr-1 1 1

t r-1 +t) 1 r-1 t+2 1-q t+1] -9

71

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72

1 (1 - q) 2 e n r■J

*1[1-1-1 t+21 1U t r-1q t+2 9

cuando t ce Es decir, existe t tal que si t ) t q entonces

(t+1) - u(t) < O ano

V (t) = u (t) > kr- 1 9 q k=01 qk

entonces, si t )t , 9

pg-

v ( t+1 )-v (t ) - [ u (t+1 )-u ( t)] kr-lqk + u (t)(t+l) r-lci t+1 9 q k=0 9

t+1 )1u

9 (t+1)-u 9 (t)] (t+1 y qk

u9( t )( t+i )r-1 q t+1

k=1

(t+i)r-1 -(1-q)2 t+1 1 - q

tt - lci 1-q t+2 q + t+1 1

r-1 t+ J t 1 )

(1-q)(111)r-1 [ 1- t+ 1 qt+1 9 t+ 1-q s

tl)r-1 [ q t+1 1 t+1 > O It7+-f q -1

Esto demuestra que vs:1 (t+1) > (t) para todo t lo suficiente-

mente g card e Como

1 - 1/q vq (t)C 1

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Si t >1, se deduce que lim v e,(t) =v existe y que t -6.03 4

1 ‹; 1/q ( Vci C. 1

Podemos, pues, enunciar la siguiente proposicion

Proposición 3 1 9 El orden promedio de la funciond r (r )2) tv-.1 está dado por y = cuando t--.-do

circo

La pruebe resulta de la discusion anterior ,2

Pasemos ahora a [d2(A)] = D(A) Tenemos

t-1 k + 2 t + 3

:( D(A)) = 1 + 2 , ( ) qk + ( )qt k=0 z)A-k k=1 2 3

t-1

° 7 k + 2 6 t 3 ( )q- ( )q t , k=0 2 3

73

de d ord e

o(t) z(q,t) L kr-g

k + 2 t + 3 j ( )qk + ( )q

t

2 3

-d 3(t - 1) Z(9,t-1)

( t + 3 cit

Z(ci t ) 3 Z(q t)

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Por consiguiente

r, (3)0(t) _ ri (3)d 3(t-1) (1 _qt ) 4 (

t + 3 3 )

r(r)q t (i _q)

(t-1) 2 (t-1) 2 (Fitil ) (t_ 1) 2 (1 _q t+ )

El primer sumando de la derecha tierde a 1/q cuando t —bao

Veamos que pasa con el segundo sumando

muy conodida tenemos

t + 3 ( ) f-1 (3)qt(i _q) r(t+3)

3 (t-1) 2(1-q t+1 ) tr(t)

Utilizando una formula

1 (q t _ q t+1 ) (t-1) 2 (1 - q t+1 )

r(t+3) t2 (q -q _ qt+1 ) _

t 3r(t) T-77-- (1 - qt+1) '

r(t+3) ni 1 expresion que tiende a 1 - 1/q cuando t—.c0, pues t3 r(t)

cuando t---. oo [12,58] Es decir

,1'm

ro) cl(t) y

t-'

Enunciamos ahora la siguiente proposicion

Proposicion 3 1 10 El orden promedio de la funcion aritmetica

0(A) está dado por 9(0 = (t-1) 2 vq/ r(3)

74

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CONCLUSIONES

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CONCLUSIONES

Hemos escogido el monoide (aM(q X)) de los polinomios sobre un cuer

po finito F primero por la sencillez de algunos resultados y segundo

porque en este monoide no se cumple el axioma A Existen constantes

positivas A y 6que dependen de G y una constante -1? con cp-sYs.;6 tal

que

NG

= AX8 + o(X )

en el cual KNOPMACHER basa sus resultados

Entre los resultados sobresalientes que logramos están

(1) Establecer un isomorfismo entre el álgebra de Dirichlet (Dir(M))

y el álgebra de las series formales Este isomorfismo nos permi-

tirá un camino más sencillo que el usado por Carlitz para obte-

ner relaciones y ordenes promedios de algunas funciones aritméticas

(2) Expresar funciones aritméticas (f) como producto de funciones 77de

Riemann y obtener expresiones para ,-- f(A) todo esto con la Z(A)=k

ayuda del isomorfismo establecido anteriormente

(3) Encontrar ordenes promedios para las funciones aritméticas

76

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BIBLIOGRAFÍA

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78

[ 1 1 ALBIS GONZALEZ VICTOR S ON A THEOREM OF MOBIUS

ELEMENTARY VARIATIONS ON THE POLYNOM1ALS TONALITY

REV COLOMBIANA MAT 21 (1987) 85-94

[ 2 ] ALBIS GONZALEZ VICTOR S LECCIONES SOBRE LAS FUN -

CIONES ARITMETICAS (SEMINARIO) 1987 UNIVERSIDAD

DE PANAMÁ

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FINITE RINGS AND ALGEBRAS AND ANAL TIC NUMBER

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79

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AR I THMET ICAL FUNCTIONS ANNAL I MAT PURA ED APPL [-

CATA SERIE IV 101 (1974) 153-169

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