III DIFERENCIABILIDAD3.1 LA DIFERENCIAL3.2 GRADIANTES Y APLICACIONES3.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR3.4 REGLA DE LA CADENA3.5 DERIVACIN IMPLCITA3.6 MXIMOS Y MNIMOS3.7 MULTIPLICACIONES DE LAGRANGE

DIFERENCIACION O DIFERENCIABILIDADLaDiferenciacinpuede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, Una funcin esdiferenciableen un puntosi su derivada existe en ese punto; una funcin es diferenciable en unintervalosi lo es en cada puntoperteneciente al intervalo. Si una funcin no es continuaenc, entonces no puede ser diferenciable enc; sin embargo, aunque una funcin sea continua enc, puede no ser diferenciable. Es decir, toda funcin diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda funcin continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

LA DIFERENCIALEl concepto de diferencial es, sin duda, uno de los conceptos de mayor aplicacin dentro de las construcciones infinitesimales en diversas reas cientficas. Concepto establecido de esta forma desde el principio de la construcccin del clculo a la forma de Newton o de Leibnitz.En el campo de lamatemticallamadoclculo, eldiferencialrepresenta la parte principal del cambio en lalinealizacinde unafunciny=(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definido por la expresin

como si laderivadady/dxrepresentara el cociente entre la cantidaddyy la cantidaddx. Se puede tambin expresar como

El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigor matemtico requerido. Segn consideraciones matematicas rigurosas modernas, las cantidadesdyydxson simplementevariablesreales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significacin geomtrica particular si el diferencial es considerado como unaforma diferencial, o significancia analtica si el diferencial es considerado como unaaproximacin linealdel incremento de la funcin.EJEMPLOEjemplo 1Verifique que:Para f(x) = x2se cumple quefdf en xo= 1 y h = 0.1Solucin:f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 =0.21df = f ' (1)dx =(2x|x=1)(0.1) = (2)(0.1) =0.20Ejemplo2La funcines solucin de la ecuacin diferencial ordinariapara toda.Derivando la funcinobtenemos que

Ejemplo3La funcines solucin de la ecuacin diferencialpara toda.Derivando la funciny sustituyendo obtenemos que

Ejemplo4La funcines solucin de la ecuacin diferencial parcial

en todo.Calculando las derivadas parciales

Al sustituir obtenemos una igualdad

Recuerde que no toda ecuacin diferencial que se nos ocurra tiene solucin, por ejemplo, para la ecuacin diferencial

Ejemplo5La funcines una solucin de la ecuacin.Derivando implcitamente con respecto a, obtenemos

Derivando implcitamente de nuevo, para calcular la segunda derivada

Hasta este momento hemos visto ejemplos en los cuales la solucin est dada en formas explcita o implcita. En los siguientes ejemplos se muestran situaciones un tanto diferentes.

GRADIANTES Y APLICACIONESDefinicin de gradienteElgradientede uncampo escalares uncampo vectorial. El vector gradiente deevaluado en un punto genricodel dominio de,(), indica la direccin en la cual el campovara ms rpidamente y su mdulo representa el ritmo de variacin deen la direccin de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencialnablaseguido de la funcin (cuidado de no confundir el gradiente con ladivergencia, sta ltima se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). Tambin puede representarse mediante, o usando la notacin. La generalizacin del concepto de gradiente a camposvectoriales es el concepto dematriz Jacobiana.Esta definicin se basa en que el gradiente permite calcular fcilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional segn un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el nico vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definicin anterior, el gradiente est caracterizado de forma unvoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operadornabla:

PropiedadesEl gradiente verifica que: Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por=cte. Apunta en la direccin en que laderivada direccionales mxima. Su mdulo es igual a esta derivada direccional mxima. Se anula en los puntos estacionarios (mximos,mnimosypuntos de silla). El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional.Aplicaciones Aproximacin lineal de una funcinEl gradiente de unafuncindefinida deRnRcaracteriza la mejoraproximacin linealde la funcin en un punto particularenRn. Se expresa as:dondees el gradiente evaluado enAplicaciones en fsicaLainterpretacin fsica del gradientees la siguiente: mide la rapidez de variacin de una magnitud fsica al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aqu se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su mdulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeo o nulo implica que dicha magnitud apenas vara de un punto a otro.Elgradiente de una magnitud fsicaposee innumerables aplicaciones en fsica, especialmente enelectromagnetismoymecnica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de unpotencialescalar. Uno de ellos es el campo electrosttico, que deriva delpotencial elctrico:

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denominapotencial,conservativooirrotacional. As, una fuerza conservativa deriva de la energa potencial como:

Los gradientes tambin aparecen en los procesos de difusin que verifican laley de Ficko laley de Fourierpara la temperatura. As, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas

siendolaconductividad trmica.

EJEMPLOS

Ejemplo 1Dada la funcinsu vector gradiente es el siguiente:

Ejemplo 2Calcular la derivada direccional de en (-1,3) en la direccin que va desde P(-1,3) a Q(1,-2)SolucinUn vector en la direccin especificada es

y un vector unitario en esta direccin es

Como , el gradiente (-1,3) es

En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

Ejemplo 3La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metlica viene dada por

midiendo x e y en centmetros. Desde el punto (2,-3), en qu direccin crece la temperatura ms rpidamente?. A qu ritmo se produce este crecimiento?SolucinEl gradiente es

Se sigue que la direccin de ms rpido crecimiento viene dada por

como se muestra en la figura 5.5, y que la razn de crecimiento es

por centmetro Curvas de nivel

Ejemplo 4Dibujar la curva de nivel correspondiente a c=0 para la funcin y encontrar vectores normales en diferentes puntos de la curva.SolucinLa curva de nivel para c=0 viene dada por

como se indica en la figura 1.7. Como el vector gradiente de f en (x,y) es

figura 1.7El gradiente es normal a la curva de nivelpodemos utilizar el teorema 1.4 para concluir que es normal a la curva de nivel en el punto (x,y). Algunos vectores gradientes son

Ejemplo 5Hallar la ecuacin del plano tangente al hiperboloide

en el punto (1,-1,4)SolucinConsiderando tenemos

y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son

Luego una ecuacin del plano tangente en (1,-1,4) es

La figura 6.4 muestra una parte del hiperboloide y del plano tangente.

figura 6.4Plano tangente a la superficiePara encontrar la ecuacin del plano tangente en un punto a una superficie dada por z=f(x,y), definimos la funcin F medianteF(x,y,z)=f(x,y)-zEntonces S viene dada por la superficie de nivel F(x,y,z)=0, y por el teorema 6.1 una ecuacin del plano tangente a S en el punto (x0,y0,z0) es

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORSea f(x) una funcin diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una funcin derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-sima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

La derivada de la derivada de una funcin se conoce como segunda derivada de la funcin, es decir, si f(x) es una funcin y existe su primera derivada f(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la funcin obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

Como la derivada de una funcin es otra funcin, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una funcin que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos as una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.Por ejemplo, si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:primera derivada es : f(x) = 18x2 - 10xsegunda derivada es: f"(x) = 36x - 10tercera derivada es : f(x) = 36cuarta derivada es : f(4)(x) = 0.n-sima derivada es : f(n) (x) = 0EJEMPLOSEjemplo # 1

Ejemplo #2Encontrar la 2da derivada deEncontramos la 1ra derivada.derivamos f'(x).

Ejemplo # 3

Ejemplo # 4

Ejemplo # 5

REGLAS DE LA CADENAEn el clculo de funciones de una variable real, habamos visto que s y , talesQue se poda construir la funcin compuesta

f: RR g:RRh(x) = f g: RR 0x f [g (x)]

Podamos encontrar la derivada de la funcin h, h(x) a partir de las derivadas de las funciones f yG utilizando la llamada regla de la cadena para funciones de una variable:h(x) = f (g (x)). g(x)Donde es la derivada de la funcin f calculada en g (x). ( ) (x fEste resultado, de gran importancia en el clculo de derivadas, es utilizado generalmente en formaMecnica, sin especificar cules son las funciones f y g, por ejemplo si queremos calcular la Derivada de la funcin h(x) = Sen x2 decimos que es h(x) = (Cos x2 ) (2x), que no es otra cosa queAplicar la regla de la cadena para f (x) = Sen x g (x) = x2 , luego h (x) = f [ g (x)] = Sen x2 y porTanto como f (x) = Cos x , entonces f [g (x)] = Cos (g (x)) = Cos x2 , y como g(x) = 2x tenemos:h(x) = f [g (x)] . g(x) = (Cos x2 )2x .

EjemplosEjemplo 1

y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

entonces:

Si definimos como funcin de funcin:

resulta que:

con el mismo resultado.Ejemplo 2

Tenemosla cual se puede definir como funcin compuesta. Si desglosamos la funcin compuesta quedara:, cuyas derivadas seran:

Con la regla de la cadena, esto sera:

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extradas.

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

Y luego se obtiene la derivada.

DERIVACIN IMPLCITA

Se dice que una funcin est definida explcitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en trminos de x. En cambio, si en una ecuacin, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una funcin tal que y = f (x), se dice que y es una funcin que est definida implcitamente por la ecuacin. Una ecuacin en x e y puede definir a ms de una funcin implcita.

En muchas ocasiones no se puede resolver explcitamente una funcin dada en forma implcita. Es posible hallar la derivada de una funcin expresada implcitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explcita.

Ejemplos1) 2)

3) 4)5)

MXIMOS Y MNIMOSEn esta seccin se considerarn mximos y mnimos de campos escalares, su estudio es similar al considerado para funciones de variable real y valor real y tambin se considera la funcin de Taylor para determinar condiciones suficientes para que un campo escalar tenga extremo local en un punto.1.f(x) = x3 3x + 2f'(x) = 3x2 3 = 0f''(x) = 6xf''(1) = 6Mximof''(1) = 6Mnimof(1) = (1)3 3(1) + 2 = 4f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 0Mximo(1, 4)Mnimo(1, 0)2.

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MULTIPLICADORES DE LAGRANGEA diferencia de la seccin anterior donde se consideraron mtodos para hallar los ex-tremos de un campo escalar en su dominio, ahora consideraremos mtodos para encontrarlos extremos de un campo escalar sujeto a unas restricciones. Supongamos que queremos encontrar los extremos de un campo escalar. El llamado Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange nos permite resolver el problema planteado,As no sea posible representar explcitamente y en trminos de x en la relacin g(x, y) = 0. Este mtodo est basado en el siguiente teorema el cual se presenta y demuestra para el caso de dos variables.

LaGrange fue el primer analista pues escribi con rigor y precisin sus ideas matemticas. Fue el primero en usar la notacin f (x) y f (x) para la derivadas.

Ejemplo # 1 La funcin de produccin de Cobb- Douglas para un cierto fabricante viene dada pordondedenota las unidades de trabajo (Q. 150.00 unidades) elas unidades de capital (Q 250.00 la unidad) Hallar el mximo nivel de produccin admisible para este fabricante, si tiene el coste conjunto de trabajo y capital limitado a Q50000.00FO:

FR:

FR:

Ejemplo # 2 Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de mximo volmen sometido a la restriccin de que la suma de su longitud y el permetro de la seccin transversal no exceda 108 pulgadas.FO:

FR:

Resolver ecuacin:

FR:

Ejemplo # 3Una caja rectangular sin tapa se hace conde cartn. Calcule el volumen mximo de esta caja.

Buscamos maximizar:con restriccion:

ahora aplicamos lo que nos dice el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Entonces:

Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el mtodo en:

Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdopor lo tanto la primera la multiplicamos porla segunda pory la tercera por, quedara de la siguiente manera:

Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:

de la segunda ecuacin sabemos que:entonces:. Si se hacesustituimos en la ecuacin:

y nos quedara de la siguiente manera:

Por lo tantoentonces:y.Ejemplo # 4 Usar multiplicadores de LaGrange para hacer mximo el valor desujeto a

FO:

FR:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

FR:

Ejemplo # 5

Ejemplo # 6