Gaspard Monge : El padre de la geometría descriptiva

(Beaune, Francia, 1746-París, 1818) Matemático francés. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el

dibujo (siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas de la Escuela

Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de representación de objetos tridimensionales mediante

su proyección sobre dos planos, métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y que

constituyen los inicios de la geometría descriptiva, siendo el sistema diédrico el más célebre de todos ellos.  Un

año después de ingresar en la Escuela, le encargaron desenfilar una posición en un terreno accidentado.

(Desenfilar una posición es protegerla del fuego enemigo). Monge aplicó los métodos geométricos que había

desarrollado y resolvió el problema con extraordinaria rapidez. Monge tuvo que explicar a sus profesores el

método de resolución y esto le valió el reconocimiento. Bossut, que era profesor de Matemáticas, le nombró

'répétiteur' (una especie de profesor individual de alumnos) de matemáticas y cuando Bossut fue designado

examinador de alumnos de ingenieros, Monge ocupó su plaza. Esto ocurrió el 1 de enero de 1769.

-En 1769, Monge escribió a Bossut, quién había sido nombrado miembro de la Academia de las Ciencias,

comunicándole un trabajo que había realizado sobre evolutas. Bossut alabó el trabajo y fue leído en la

Academia en 1771.

-En 1771 fue nombrado profesor de Física de la Escuela.

-En 1777 se casó con Catherine Huart. Su esposa, tenía una forja y Monge se interesó por la metalurgia. Tuvo

tres hijas.

-En 1780 fue nombrado adjunto a la Academia de Ciencias de París.

-En 1784 dejó su plaza en Mezieres porque no la podía atender debido a sus múltiples ocupaciones, entre ellas

la de examinador de los cadetes navales. En este puesto de examinador, Monge seleccionaba a los candidatos

por su valía, lo que le originó algún problema pues, en aquella época, los orígenes eran más determinantes que

los conocimientos.

-1789 fue el año de la Revolución francesa. Monge era uno de los científicos más importantes de Francia y

apoyaba la Revolución.

-En 1792 fue abolida la monarquía y Monge fue nombrado Ministro de Marina del nuevo Gobierno. Dimitió

ocho meses después y volvió a su puesto en la Academia de las Ciencias, pero esta fue abolida en 1793.

-Fue el encargado de firmar la condena oficial a muerte de Luis XVI.

-Amigo personal de Napoleón Bonaparte, acompañó al entonces general en su campaña de Egipto (1798-

1801). A su regreso continuó dando clases en la Polytechnique; su labor pedagógica resultó decisiva en la

formación de una espléndida generación de geómetras franceses, entre los que cabe citar a Poncelet, Dupin,

Meusnier y Rodrigues. La caída de Napoleón hace que le excluyan del Instituto y de la escuela Politécnica.

Murió en París el 28 de julio de 1818 y fue enterrado en el cementerio del Père-Lachaise.

La contribución de Monge a la geometría fue inmensa, tanto en diversidad como en profundidad; amén de la

rama descriptiva, se le considera a menudo el fundador de la geometría diferencial. En su obra Aplicaciones

del análisis a la geometría introdujo importantes conceptos. Además fue el primero en emplear de forma

sistemática las ecuaciones en derivadas parciales para el estudio de las superficies. En su doble faceta de

científico y pedagogo, se le considera el principal responsable de la gran expansión experimentada por la

geometría en el siglo

La biografia de los matematicos esta al ultimo

GEOMETRÍA DESCRIPTIVALa geometría descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficiesbidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos.La geometría descriptiva es para el dibujo como la gramática es para el lenguaje.El matemático francés Gaspar Monge (1746-1818) organizó y desarrollo la ciencia de lageometría descriptiva a finales del siglo XVII. Monge utilizó métodos de proyecciónortográfica y de revolución para resolver problemas de diseño asociados con lasfortificaciones militares con forma de estrella en Francia.La geometría ha venido desarrollándose y encontramos, el método de la vista directa esconsistente en el uso del modelado en 3-D para resolver problemas espaciales.En aquellos casos en que haya otro método que proporcione una solución igual de eficazo más directa de un problema. El método de la vista directa para encontrar el tamañoverdadero de un plano inclinado. En este método algunas veces conocido como métodonatural, el observador se coloca a una distancia ínfima del objeto.En el método de revolución para determinar el tamaño verdadero del plano inclinado; eneste método de la geometría, que puede ser un punto, una línea o un plano o todo elobjeto, gira alrededor de un eje hasta que la geometría sea paralela al plano deproyección que mostrara su forma verdadera. El método de revolución resultasatisfactorio cuando se gira una entidad o geometría simple; sin embargo, cuando lageometría es compleja este método tiende a ser muy confuso.

El método de plegamiento para encontrar el verdadero tamaño del plano inclinado,también conocido como la caja de vidrio, la cara oblicua se proyecta sobre un planoauxiliar que es paralelo a la cara.La geometría descriptiva cumple dos objetivos principales: el primero facilitar el métodopara representar sobre un papel que posee dos dimensiones longitud y latitud; todos loscuerpos de la naturaleza, que tienen tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad.El segundo objetivo es dar a conocer por medio de una exacta descripción la forma de loscuerpos, y deducir todas las verdades que resultan, bien sean de sus formas, bien de susposiciones respectivas.En proceso histórico se han destacado matemáticos, filósofos, que sentaron las bases dela geometría. Se destacan por su aporte a la geometría, Alberto Durero, Johannes Kepler,Euclídes, Pitágoras, Gaspar Monge, Gérard Desargues, Möbius, Klein, Lobatchevsky yFarish.

Otra biografía con otros datos de gaspar

Nació en Beaune hijo de un vendedor ambulante. Estudió en las escuelas de Beaune y Lyony en la escuela

militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765.

Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Entró en

la Academia Real de Ciencias en 1780 y publicó ocho años más tarde su Traité de statistique. Nombrado

Ministro de Marina (Agosto de 1792 - Abril de 1793) por la Convención, se le pidió reorganizar los arsenales y

a interesarse por las fábricas de cañones. Contribuyó a fundar la École Polytechnique en 1794, en la que dio

clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Entró en el instituto de Francia(1795). Durante

la campaña de Italia conoce a Napoleón, mientras busca obras de arte, quien le encarga junto con Claude

Louis Berthollet, que lleve al Directorio la ratificación delTratado de Campo Formio.

Por orden de Napoleón se apropia de tres imprentas en el Vaticano que les ayudarán en su nueva expedición.

Es invitado a participar en la expedición a Egipto, pero alega que ya esta muy avanzado de edad para

participar en esta empresa. Sin embargo, Napoleón lo logra persuadir y cambia de opinión. Se convierte en

uno de los confidentes del joven general en Egipto y se convirtió en el primer presidente del [[Instituto de

Egipto], fundado en agosto de 1789. Además, preparó un trabajo sobre los espejismos durante su estadía en

el oriente.

Regresó a Francia con Napoleón el 23 de agosto de 1799, año en que publica su famosa obra Geometrie

descriptive. Es nombrado miembro del Senado, director de la Escuela Politécnica (1802) y conde de Pelusio.

La caída de Napoleón hace que le excluyan del Instituto y de la escuela Politécnica. Murió en París el 28 de

julio de 1818 y fue enterrado en el cementerio del Père-Lachaise.

Mausoleo de Gaspar Monge en El cementerio del Père-Lachaise.

La geometría descriptiva

Monge es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite

representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional. Hoy en día existen

diferentes sistemas de representación que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos

acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su

primera publicación en el año 1799.

Historia de la Geometría Descriptiva. La geometría descriptiva existía antes de ser inventada. La complejidad de los cortes de la piedra o la madera ha requerido siempre el uso de proyecciones ortogonales, y sin embargo el sistema diédrico es relativamente moderno. La perspectiva cónica nació de un proceso artístico lento, anterior al concepto de “sección de la pirámide visual”. Las axonometrías son utilizadas sistemáticamente mucho antes de quedar geométricamente explicadas por la teoría decimonónica. Por eso, cuando en 1795 alguien decidió que esta denominación, geometría descriptiva, era conveniente para designar un conjunto de hábitos y conocimientos, estaba, en realidad, legalizando una situación existente.

 Quien tomó la decisión fue un revolucionario francés, de origen humilde, entusiasta defensor de la racionalización, protagonista de la organización del calendario republicano, del sistema de pesas y medidas, y principal inspirador de la Escuela Normal y de la Escuela Politécnica, que consiguió extender su organización de la enseñanza por todo el continente. La expresión escogida para designar a esta materia, geometría descriptiva, perseguía aprovechar el prestigio de la llamada geometría analítica, contrastando con ella. Desde entonces y durante todo el siglo XIX los responsables de la producción teórica y la docencia de la geometría descriptiva, los profesionales de la geometría descriptiva, entendieron que la perfección de esta disciplina consistiría en alcanzar una organización ideal al modo de las diversas ramas de la matemática. Como cualquier cosa se puede forzar hasta conseguir que se parezca al álgebra, consiguieron su objetivo, y al final del siglo ya existía un aparato teórico ideal, la llamada geometría proyectiva, que se constituía en abstracción de los procedimientos de la geometría descriptiva y permitía olvidar la realidad histórica y colgar los diversos modos de representar, de las ramas de un árbol taxonómico ideal. Esto no era útil al usuario, pero dejaba a los profesionales de la geometría descriptiva satisfechos, casi tanto como cuando los matemáticos consiguieron convencer a todo el mundo de que los niños debían conocer la teoría de conjuntos, sin

embargo, la geometría descriptiva no podía dejar de ser lo que era, una actividad intrínseca al trabajo del diseñador, una reflexión sobre las posibilidades del espacio sensible y sobre los criterios, más o menos convencionales, que empleamos para su representación plana. 

Y para el arquitecto sigue siendo necesario cierto conocimiento de lo que es o no es geométricamente posible al emplear formas materiales; y es también necesario -con el uso del ordenador es más necesario que nunca- el conocimiento critico de los modos de proyección plana que hemos decidido utilizar. De manera que el curioso aparato montado por nuestros predecesores aparece obsoleto y cada vez más es evidente que la geometría descriptiva se constituye y se debe enseñar a partir de un conjunto de modos de hacer muy adheridos a la realidad.Parece que un estudiante de arquitectura debe saber lo que es la perspectiva y cómo cambia al alterar sus elementos; debe ser capaz de resolver gráficamente algunos sencillos problemas espaciales; debe controlar la variedad de las axonometrías; debe leer con soltura una topografía definida por sus curvas de nivel; debe conocer las propiedades y posibilidades de conos, cilindros, superficies de revolución, esfera, y algunos menos comunes, como elipsoides y paraboloides, superficies regladas.

¿Qué es Geometría Descriptiva y sus objetivos?. Es la ciencia de las relaciones y análisis en el espacio tridimensional. Tiene por objeto la representación de las figuras geométricas del espacio en un plano, de tal manera que las construcciones en el espacio se puedan reducir a construcciones más cómodas en un plano. Se puede determinar un punto del espacio mediante sus proyecciones desde dos puntos de vista distintos, sobre un plano. Uno de los objetivos de la geometría descriptiva es capacitar a los usuarios del dibujo a la interpretación y representación de los objetos tridimensionalmente en un plano bidimensional. 

Otros q colaboraron con el y q estudiaron con el fueron los siguientes

Poncelet,

Dupin

Meusnier

Rodrigues

poncelet

Nació Jean-Victor Poncelet en Metz, en el año 1788. Estudió en la Escuela Politécnica y en la Academia Militar de su ciudad natal. Fue oficial del ejército de Napoleón y participó en la campaña contra Rusia, y entre 1813 y 1814 estuvo retenido en la prisión de Saratoff, después de haber sido dado por muerto durante la retirada de Moscú. Sus descubrimientos matemáticos más importantes, que habrían de renovar la geometría proyectiva, fueron gestados precisamente durante los años de cautiverio. En ambientes matemáticos se oye decir con frecuencia que la geometría proyectiva moderna nació en la

prisión de Saratoff.

Al volver a Francia, aprovechando los pocos ratos libres que le dejaban sus funciones como ingeniero militar, se dedicó a poner por escrito y dar a conocer sus descubrimientos. En 1831 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias, para ocupar el sillón que el fallecimiento de Laplace había dejado vacante, aunque por razones políticas tardó en aceptar el ofrecimiento. Murió en 1867.

Charles Dupin 's padre era Charles-André-Dupin y su madre era Cathérine Agnès Dupin. De hecho, Dupin era casado y su nombre de soltera. Charles' padre era un abogado y Charles mismo se planteó en Nivernais, la región de su nacimiento. Nivernais no formaba parte de la corona francesa cuando él nació allí, siendo propiedad de 1659 por el cardenal Mazarino y sus descendientes hasta 1790 cuando se convirtió en el departamento de Nièvre. Charles fue el centro de los tres hijos de sus padres, su hermano mayor André también alcanzó fama en su profesión de abogado.

Dupin se educó en la Escuela Politécnica de París, donde aprendió geometría de Monge. Mientras que una licenciatura, hizo su famoso descubrimiento de lo que se llama hoy la Dupin cyclides' guiado en este trabajo por Monge. Se graduó en 1803 y luego se convirtió en un ingeniero naval. A menudo fue en el mar viajes de largo que se tradujo en sus publicaciones es mucho retraso. Después de ser asignadas a funciones de Amberes, Génova y Toulon, fue enviado a Corfú en 1807 para hacerse cargo de los daños arsenal naval de ese país.

Mientras que en Corfú desempeñó sus funciones de ingeniero naval de la reparación de los puertos, sino que también llevan a cabo tareas relacionadas con sus intereses científicos. Fue nombrado como secretario de la Academia Jónica que había sido creada poco tiempo antes y se comprometió profunda investigación sobre el tema matemáticas, en particular el estudio de la geometría diferencial de superficies, y la mecánica aplicada, donde investigó la resistencia de los materiales.

Después de tres años en Corfu expuso a regresar a Francia, pero, al pasar por Pisa, se le pone enfermo. Le tomó un tiempo para recuperarse de la enfermedad, pero no fue Dupin inactivo mientras se recupera en Pisa. Y no trabajó en esta ocasión sobre la preparación de la publicación de los escritos de un amigo que había muerto. En 1813 fue en Toulon, y hay que crear un museo marítimo, que fue muy influyente en la manera en que se organizaron los museos marítimos.

También en 1813 publicó su Dupin Développments Géométrie de que:

... contiene muchas contribuciones a la geometría diferencial, en particular la introducción de las líneas asintóticas y conjugar en una superficie ...

Otras contribuciones a la geometría diferencial, que se producen en este trabajo son de su invención del "Dupin indicatrix 'que proporciona una indicación del comportamiento de los locales de una superficie hasta los términos de grado dos.

El año 1813 vio Dupin elegidos para el Instituto de Francia, el nuevo organismo creado para sustituir a la Académie des Sciences después de la Revolución Francesa. Con el restablecimiento de la Academia de las Ciencias, Dupin fue elegido para ese órgano en 1818.

Dupin fue nombrado profesor en el Conservatorio de Artes y Oficios de París en 1819. Ocupó este cargo hasta 1854 y que dio muchas conferencias públicas sobre las aplicaciones de la matemática y la mecánica a la industria. Estas conferencias resultaron muy popular, sobre todo desde Dupin era un profesor excepcional. Pero él no sólo tenía una vida académica, la publicación más importante de obras sobre las aplicaciones de la geometría diferencial para la industria y las artes, sino que también tuvo una parte importante en la política desde 1828. En ese año fue elegido como suplente del Tarn, un departamento en el sur de Francia.

En 1830, a la edad de 45, casado Dupin Rosalie Anne Joubert. Continuó su carrera política y su experiencia como ingeniero naval claramente era él en buen lugar cuando fue nombrado como ministro de asuntos marítimos en 1834. Cuatro años más tarde se convirtió en uno de pares y en 1852 fue nombrado para el Senado. Struik Dupin que escribe en:

... incansablemente alentado el establecimiento de escuelas y bibliotecas, la fundación de las cajas de ahorros, la construcción de carreteras y canales, y el uso de vapor de potencia.

Jean Baptiste Meusnier

Jean Baptiste Marie Charles Meusnier de la Place (Viajes, 19 de junio 1754 - le Pont de Cassel, cerca Mayence, 13 de junio 1793 ) era a Francés matemático, ingeniero y Revolucionario general. Él es el más conocido para Teorema de Meusnier en la curvatura de las superficies, que él formuló mientras que él estaba en el École Royale du Génie (escuela real de la ingeniería). Él también descubrió helicoide. Él trabajó con Lavoisier en la descomposición del agua y la evolución de hidrógeno.

Meusnier se retrata a veces como el inventor del dirigible, debido a un proyecto inacabado él concibió en 1784, para no desear después del primer globo vuelos del Montgolfiers, y presentado a las ciencias del DES de Académie (academia de ciencias). Esto se refirió a un globo elíptico (ballonet) 84 metros desean, con una capacidad de 1.700 metros cúbicos, accionada por tres propulsores conducidos por 80 hombres. La cesta, bajo la forma de barco, fue suspendida del pabellón en un sistema de tres cuerdas. Henri Giffardel 'diseño de s para el primer dirigible accionado acertado era inspirated por las ideas de Meusnier.[1]

Durante su carrera militar lo pusieron a cargo de defensas costeras en 1791. Luchar el Prussians en El Rin, lo dañaron durante sitio de Maguncia (1793) y muerto de sus heridas.

Alberto Durero

ALBERTO DURERO {1471-1528}La presión informativa, a que se vieron sometidos los artistasdel siglo XV y XVI por una sociedad ávida de conocimiento, losllevó a investigar, curiosear e imaginar sobre todo en el campode la naciente actividad artística, el Grabado. Es así comovemos la aparición de publicaciones impresas acerca de lasmaneras de morir, de temas religiosos, de las crónicas de lasciudades, del arte de la guerra, de herbarios, de animales, dela proporción, de la perspectiva en fin de una cantidad de

temas que ilustraban la vida de la época.Es Alberto Durero, hombre genial, un ejemplo de cómo unartista abarca esa información, nace en la ciudad Imperial deNuremberg en 1471, tercero de dieciocho hijos de unemigrante Húngaro, exitoso artesano de profesión, seguro desabios conocimientos en materia del arte los que trasmitirá asu hijo, como el manejo del buril desde muy joven.Durero se ubica en una época de transición entre el sistema feudal, caracterizado por la imagencristiana del mundo y el resquebrajamiento de ese orden, cuyo origen fue el levantamiento decampesinos y burgueses, que dio como resultado lo que hoy conocemos como la Reforma. En pocasdécadas Alemania llego a desempeñar un papel importante en el desarrollo de Europaconstituyéndose como referencia obligada.Durero, fue uno de los hombres catalogados de una culturauniversal, conocido como un gran pintor alemán, también esdestacado como innovador en el campo de la xilografía yburiles, y en la teoría de las proporciones de la figura humana.Nos deja un legado de trabajos en 300 tallas de madera,noventa y seis buriles, tres puntas secas y seis aguafuertes,apuntes, manuscritos, libros, y una importante obra pictórica.Hasta el final de sus días experimenta con el medio, el color, ycon el asunto a tratar. Cada trabajo es un tratado pictóricodistinguido por una sorpresiva modernidad. Esto se debe engran parte a lo que se conocía como la racionalización de laescena, la interpretación de los objetos de acuerdo al sistemade perspectiva que se había mantenido como norma desde el

tiempo del Renacimiento.

Su inmensa capacidad de observación y reproducción lapodemos apreciar a través de los apuntes y acuarelas, depaisajes, de la figura humana y de la naturaleza, tomados delnatural, a pesar de esto su mundo subjetivo lo protegió contrala simple imitación y le permitió seguir su propio camino Yapara principios del siglo XVI alcanzó un dominio magistral delas técnicas gráficas que llevó sus grabados a un puntoculminante, concediéndole una popularidad que ningún otroartista alemán pudo lograr. Por mas de 1500 manuscritos suyos, nos hemos enterado desus exploraciones en el aspecto de la perspectiva y proporciónhumana, de estos manuscritos nos damos cuenta de sumeticulosidad, de su poder de observación y genialidad paraperseguir el asunto y transmitir sus conocimientos a losartistas, y a sustituir los de la antigüedad. Finalmente,después de intensos estudios, él describe varios métodos ensu libro Vier Bücher von menschlider Proportion{4 libros de laproporción humana} , publicados algunos meses después desu muerte.

Obras

2-ADÁN Y EVA1504 BURIL/24.8 x 19.2 cm.Este grabado nos muestra la admiración de Dürer por la figurahumana y la naturaleza, representando con detalles la formasque de una manera se funden, para lograr un escenario dondelas figuras se destacan. Los animales son de diversas regionescomo la guacamaya del reciente continente descubierto. Estos

son parte de la cantidad de grabados y bocetos preliminares asu pintura posterior en 1507.“Ciertamente, fue Durero el primer nórdico que produjodesnudos “correctos” y científicamente proporcionados, pero fuetambién el primero que realizó auténticos paisajes”6 Estegrabado se subastó en 1973 en 48 $ en Sotheby Parke Bernet

3-EL ARCO DE TRIUNFO DEL EMPERADOR MAXIMILIANO I1512-1515 Xilografía11”x10” Le tomo tres años supervisar y contribuir a los diseñosde la xilografía mas grande que se haya hecho. Leproporcionaron a Durero una renta honoraria de 100 florinesanuales y un mayor reconocimiento oficial. Contienen 192bloques individuales. A Hieronymus Andrea le tomo dos añoscortar las maderas. Esta dedicado a la magnificar el EmperadorMaximiliano I. El arco esta dividido en tres portales, enseñadola genealogía de Maximiliano, las armas, su vida, matrimonio,príncipes y acontecimientos de la época. Significó una proezapara aquel tiempo y glorificó momentos históricos del puebloalemán, es un símbolo de inspiración a artistas de hoy.

Gérard Desargues

Nació en Lyon en el año 1591, concretamente el 21 de febrero. Se puede decir

que Desargues proviene de una familia monárquica con tradición de servicio a la Corona Francesa y se

puede decir de esto en ambas ramas, tanto la paterna como la materna. Su padre por ejemplo

desempeñó importantes labores como Notario real. Su infancia fue muy dura ya que su madre (como era

propio por aquella época) trabajaba en la casa y murió en 1597 de tuberculosis a la edad de 33 años.

Gérard Desargues trabajó desde el año 1645 como arquitecto, anteriormente tuvo tareas específicas

como tutor, ingeniero consultor yfilántropo en la corte del cardenal Richelieu.

Se puede decir que vivió en la época dorada de la matemática francesa y esto se demuestra viendo que

es contemporáneo de Pascal(ambos: padre e hijo), del ilustre Descartes de Philippe de la Hire y

de Mankington Stike

Möbius

August Ferdinand Möbius (17 de noviembre de 1790, Schulpforta, Sajonia, Alemania - 26 de septiembre de 1868, Leipzig) fue un matemático alemán y astrónomo teórico. Es muy conocido por su descubrimiento de la banda de Möbius, una superficie de dos dimensiones no orientable con solamente un lado cuando está sumergido en el espacio euclidiano tridimensional. Fue descubierta independientemente por Johann Benedict Listing casi al mismo tiempo. Möbius fue el primero en introducir las coordenadas homogéneas engeometría proyectiva. La transformación de Möbius, importante en geometría proyectiva, no debe ser confundida con la transformación de Möbius de la teoría de números, que también lleva su nombre. Se interesó también por la teoría de números, y la importante función aritmética de Möbius μ(n) y la fórmula de inversión de Möbius se nombran así por él. Era descendiente de Martín Lutero. La banda de Möbius es, topológicamente, una superficie no orientable com unacomponente en el borde. La banda de Möbius se construye de este (la construcción ladescribe A. F. Möbius en “Ûber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders”, 1865 ):Cójase en rectángulo de papel con esquinas A, B, A’ y B’. Péguense el lado AB’ y el ladoBA’ de manera que A se identifica con A’ y B con B’.A’ B’B AEn Geometría Diferencial encontramos la siguiente definición:”Una banda de Möbius esla superficie que se genera por una línea que se arrastra a lo largo de una circunferencia(circunferencia central) y a la vez gira sobre su punto medio ! radianes”. Observese quela velocidad angular es la mitad de la velocidad de arrastre.M.

Felix Klein (Düsseldorf, 25 de abril de 1849 - Gotinga 22 de

junio de 1925) Matemático alemán, que demostró que las geometrías métricas, euclídeas o no euclídeas,

constituyen casos particulares de la geometría proyectiva, en 1872 presentó una notable clasificación de

la geometría, el "programa de Erlangen", que puso fin a la escisión entre geometría pura y geometría

analítica. En esta clasificación el concepto de grupo desempeña un papel fundamental, ya que el objeto

de cada geometría se convierte en el estudio del grupo de transformaciones que la caracteriza.

Al igual que Bernhard Riemann, Klein consideraba la teoría de funciones de variable compleja como una

teoría geométrica y traspasó directamente el concepto a la física. Su estudio de las funciones

modulares sigue siendo esencial para los investigadores.

Profesor de la universidad de Gotinga (1886), fue el fundador de la "Gran Enciclopedia de las

matemáticas" (1895) y uno de los abogados y artífices de la renovación de la enseñanza de las

matemáticas en los estudios secundarios.

Lleva su nombre la célebre botella de Klein, superficie con una sola cara.

Nikolái Ivánovich Lobachevski (en caracteres cirílicos: Никола́] й Ива́] нович Лоба́че́] вский) (1 de

diciembre de 1792 - 24 de febrero de 1856) fue un matemático ruso del siglo XIX.

Entre sus principales logros, se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con

el cálculo tensorial aplicados a vectores en el espacio de Hilbert.

Fue uno de los primeros en aplicar un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de

la Geometría euclidiana.

Nació en Nizhni Nóvgorod y estudió en la Universidad de Kazán. Enseñó en Kazán desde 1812 hasta

1846, llegando a ser profesor de matemáticas en 1823.

Con independencia del húngaro János Bolyai y del alemán Carl Friedrich Gauss, Lobachevski descubrió

un sistema de geometría no euclidiana. Antes de Lobachesvski los matemáticos intentaban deducir

el quinto postulado de Euclides a partir de los otros axiomas ; sin embargo Lobachevsky se dedicó a

desarrollar una geometría en la cual el quinto postulado puede no ser cierto, o mejor dicho, no ser válido,

para esto entre otras cuestiones propuso un sistema geométrico basado en la hipótesis del ángulo

agudo según la cual en un plano, por un punto fijo pasan al menos 2 paralelas a una recta -en realidad

tal solución da noción de la existencia de triángulos curvos.

Entre sus obras destacan Sobre los principios de la geometría (1829) y Geometría imaginaria(1835).