p6 medición de la resistencia interna de una bateria

MEDICIN DE LA RESISTENCIA INTERNA DE UNA BATERA 1

LABORATORIO DE ELECTROTECNIA IV

MEDICIN DE LA RESISTENCIAMEDICIN DE LA RESISTENCIAMEDICIN DE LA RESISTENCIAMEDICIN DE LA RESISTENCIA INTERNA DE UNA BATERA.INTERNA DE UNA BATERA.INTERNA DE UNA BATERA.INTERNA DE UNA BATERA.

OBJETIVOS.

Aplicar las mediciones indirectas a la determinacin de una magnitud elctrica.

Usar los mtodos de anlisis grfico para presentar los resultados experimentales.

Aprender la tcnica de linearizacin de una curva.

Establecer la incertidumbre en la determinacin de los parmetros de una lnea recta.

Conocer los cuidados que se deben observar en la medicin de la resistencia interna de una batera.

CONSIDERACIONES TERICAS.

INTRODUCCIN.

En la determinacin de la resistencia interna de una batera se presentan problemas que no se tienen en la medicin de la resistencia hmica de otros dispositivos. El inconveniente principal en su determinacin es el peligro de daarla durante el proceso de la medicin, si se demanda una intensidad de corriente excesiva de ella.

El requerimiento de una intensidad de corriente relativamente grande se debe a la necesidad de obtener una cada de tensin apreciable en la resistencia interna de la batera.

Para vencer el obstculo anterior es necesario utilizar algunos mtodos de medicin que nos den cierta confiabilidad para obtener los resultados satisfactorios sin el peligro de daar la batera.

MTODO DE MEDICIN UTILIZADO.

El mtodo de medicin que utilizaremos para la determinacin de la resistencia de la batera es el mtodo indirecto, el cual se define como:

Mtodo de medicin indirecto. Mtodo de medicin en el cual el valor de la magnitud a medir es obtenido a partir de mediciones de otras magnitudes relacionadas funcionalmente con la magnitud a medir.

En la figura nmero 1, se muestra una batera de tensin E, cuya resistencia interna se quiere determinar. La tensin entre los bornes de la batera, con carga, se mide con un vltmetro



con diferentes valores del resistor de carga RC, cuya resistencia debe ser baja, pero no tanto como para demandar una intensidad de corriente que pueda daar la batera. Siendo la resistencia de la batera generalmente baja, esta se debe manejar como una resistencia de cuatro terminales.

VM

E +-

R

RVRC

0

11

DES1 DES2

FIGURA NMERO 1. CIRCUITO PARA LA MEDICINDE LA RESISTENCIA INTERNA DE UNA BATERA.

El pulsador DES2 se utiliza como un pulsador, con el fin de que solo se demande corriente de carga durante un periodo corto, o sea solo mientras se efecta la lectura del vltmetro.

Los circuitos equivalentes del circuito de la figura nmero 1, con los desconectadores DES1 y DES 2 cerrados, se muestra en la figura nmero 2.

RRV

CIRCUITO SIN CARGA

E +-

RC

E +-

RVR

E +-

RPR

CIRCUITO CON CARGA

FIGURA NMERO 2. CIRCUITO EQUIVALENTEDEL CIRCUITO DE LA FIGURA NMERO 1.



La tensin E en la batera, sin carga, esto es slo con el vltmetro conectado, se obtiene cerrando el desconectador DES1 y dejando abierto el desconectador DES2. Aplicando la ley de la divisin de tensiones, tenemos que la indicacin del vltmetro VM1 es igual a,

1 1VM VV

RV ER R

= =

+

Donde E es la tensin de la batera, R es su resistencia y RV es la resistencia del vltmetro.

Si RV >> R, lo que casi siempre es cierto, ya que los vltmetros son aparatos de resistencias altas y las fuentes son elementos con resistencias internas bajas, tendremos en forma aproximada que,

1V E

La tensin en los bornes de la batera V2 con carga, cuando estn cerrados los dos desconectadores DES1 y DES2, est dada por la indicacin del vltmetro VM2, la cual, aplicando nuevamente la ley de la divisin de tensin, es igual a,

2 2VM PP

RV ER R

= =

+

Donde RP es la resistencia equivalente del paralelo del resistor de carga RC y la resistencia del vltmetro RV, por lo que,

( )2 (1)C V

C V C V

C V C V C V

C V

R RR R E R RV E R R R R R R RR

R R

+= =

+ +++

Dividiendo numerador y denominador entre RV, tenemos que,

2

1

C

CC

V

E RVRR RR

=

+ +

Si RV >> RC, lo que siempre se busca, la ecuacin anterior, queda en forma aproximada, como,

2 (2)CC

E RVR R

+

Despejando a R tendremos que,



( ) ( ) ( )2 1 2 1 22 2 2

VM VM (3)VM

C C CR E V R V V RRV V

= =

Representando grficamente a V2 en funcin de la resistencia de carga RC, suponiendo que la tensin E y la resistencia de la batera son constantes, se obtiene la curva de la figura nmero 3.

0 10

0,1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0x V

V2

x RRC

FIGURA NMERO 3. CURVA DE LA TENSIN EN LOS BORNESDE UNA BATERA CON CARGA.

ABCD

Analizando la ecuacin nmero 2, podemos observar que,

Si RC >> R, V2 tiende a E.

Cuando RC = R, V2 es igual a E/2.

Cuando RC



Puesto que no es fcil determinar el valor de la resistencia interna de la batera, a partir de una curva como la mostrada en la figura nmero 3, es conveniente utilizar la tcnica de linearizacin de las curvas, para obtener de manera ms confiable dicha resistencia.

Ya que adems de obtener el valor ms confiable de la resistencia de la batera se pretende determinar su incertidumbre de medicin, es conveniente, antes de linearizar la curva de la tensin, eliminar algunos errores sistemticos, como son las aproximaciones utilizadas para determinarla, tales aproximaciones fueron considerar que la tensin indicada por el vltmetro sin carga es igual a la tensin de la batera y que la resistencia de la batera es de tal magnitud que se puede despreciar en comparacin con la resistencia del vltmetro.

Regresando a la ecuacin nmero (1), en la cual no se ha tomado en cuenta ninguna aproximacin y la modificamos, con el objeto de linearizarla, tomando su inversa, esta quedar como,

( )2

1

1 1

C V C V C V C V

C V C V

V C V C

R R R R R R R R R R RV E R R E R R

R R R RE R E R E E R E E R

+ + + += =

= + + = + +

2

1 1 (4)VV C

R R RV E R E R

+= +

Donde la nicas variables son 1/V2 y 1/RC, ya que hemos considerado a R, E y RV como constantes. La ecuacin anterior representa una lnea recta, de la forma

y a bx= + Donde,

2

1 1; ; ;V

V C

R R Ry a b xV E R E R

+= = = =

Esto es R/E es la pendiente de una lnea recta que corta el eje delas X en el punto (R+RV)/ERV, como se muestra en la figura nmero 4.

Despejando de a a E tenemos,

(5)VV

R REa R+

=

Despejando de b a R tenemos,

(6)R b E=



0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

1,0

2,0

00

0,20,40,60,8

1,21,41,61,8

EXTRAPOLACIN

A BC D

x 1/R

x 1/V

x 1/V2

FIGURA NMERO 4. GRFICA LINEALDE UNA BATERA CON CARGA.

1/RC

Sustituyendo la ecuacin nmero (5) en la ecuacin nmero (6) tenemos,

V

V

R RR ba R+

=

Despejando a R tenemos,

( ) ( )( )

V V

V V

R a R b R RR a R b b R

= +

=

(7)VV

b RRa R b

=

Sustituyendo la ecuacin nmero (7) en la ecuacin nmero (6) tenemos,

V

V

b R b Ea R b

=

De donde,

(8)VV

REa R b

=



AJUSTE DE LA RECTA DE CARGA POR EL MTODO DE MNIMOS CUADRADOS.

Generalmente es difcil ajustar a simple vista la recta ms adecuada para un conjunto de datos experimentales, de aqu que se hace necesario utilizar mtodos analticos para determinarla con la menor incertidumbre, siendo el ms usual el mtodo de ajuste por mnimos cuadrados.

El mtodo de mnimos cuadrados supone que la mejor recta de ajuste es aquella para la cual la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos (xi, yi) a la recta es mnima.

Para realizar este mtodo se hacen las hiptesis siguientes:

a). Los valores de las cantidades xi y yi se distribuyen de acuerdo a una distribucin Gaussiana o Normal.

b). Las incertidumbres en xi, u(xi) son despreciables en comparacin a las incertidumbres en la variable yi, u(yi). De tal manera que slo consideraremos la distribucin de la variable y.

c). Las incertidumbres en la variable y son todas iguales, esto es,

( ) ( ) ( )1 2 ..... nu y u y u y= = =

Supongamos que el conjunto de n mediciones (xi, yi) esta descrito por la relacin lineal,

y a b x= +

En la ecuacin de esta recta, podemos encontrar la ordenada a cualquier punto Qi en la lnea vertical arriba o abajo del punto Pi. Las coordenadas de Qi sern (xi, a + b xi). Por lo tanto la distancia vertical ei de la recta a cualquier punto Pi, de coordenadas (xi, yi), estar dada por la ecuacin,

( )i i ie y a b x= + +

Como se puede observar en la figura nmero 5.

Podemos decir que ei representa la diferencia entre la ordenada real yi de un punto y su ordenada terica (a + b xi).

A la cantidad ei se le llama con frecuencia residuo o error. Puede ser positiva o negativa. Puesto que la mejor recta de ajuste es aquella para la cual la suma de los cuadrados de ei, ei2, es mnima, el problema es calcular los valores de a y b que hacen que la suma de los cuadrados sea mnima.



X

XX

X

X X

X

XX

X

X X

Pi(xi, yi)

Qi(xi, a + b xi )ei

yi

a +

b

x i

xi

FIGURA NMERO 5. GRFICA DE LA RECTA DE MNIMOS CUADRADOSY LOCALIZACIN DE LOS PUNTOS Pi Y Qi

La ecuacin de la suma de los cuadrados es,

( )n n 221 1

i i iS e y a b x= = +

Para calcular los valores de a y b que hacen mnima la suma, se igualan a cero las derivadas parciales con respecto a a y b, esto es, primero derivaremos S con respecto a a y luego con respecto a b. En este caso xi y yi son las constantes, ya que son los datos experimentales.

( ) ( )n1

2 1 0i iS y a b xa

= =



( )( )n1

2 0i i iS y a b x xb

= =

Las ecuaciones anteriores se reducen a,

n n

1 1n 0i iy a b x =

n n

1 1ni iy a b x= +

n n n21

1 1 10i i ix y a x b x =

n n n2

1 11 1 1

i ix y a x b x= +

Donde n es el nmero de puntos (xi, yi).

Los valores para a y b sern iguales a,

( )2 2

22

2

(9)n n

i i

i i i i i i i i

i i i

i i

y xx y x x y x x y

ax x x

x x

= =

( ) ( )2 22 2n

n (10)n n

i

i i i i i i i

i i i i

yx x y x y x y

bx x x x

= =

DETERMINACIN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS PARMETROS QUE DEFINEN LA RECTA AJUSTADA.

Las incertidumbres en el punto de interceptacin de la recta con el eje Y y la pendiente de la recta se cuantifican por sus desviaciones estndar promedio:

ma mbs y s

que dependen de smyi. En este caso sy.es,



( ) ( )n n 221 1

1 1 (11)n -2 n -2y i i i iajust

s y a b x y y= =

el motivo de usar el factor n 2 en el denominador proviene del hecho de que el clculo de los parmetros a y b reduce el nmero de parejas de datos independientes (xi, yi) de n a n 2. Como regla, el denominador en la ecuacin para la desviacin estndar es el nmero de puntos experimentales o datos independientes.

Como consecuencia la desviacin estndar del promedio para las variables yi es,

(12)n

ymy

ss =

entonces para cada yi el resultado se debe informar como, 1, 2,....., ni myy s i =

estas incertidumbres smy,, se propagan a a y b segn las tcnicas de propagacin de errores.

Es importante en este punto comparar smy con las incertidumbres yi estimados o determinados durante la toma de datos y verificar si hay consistencia entre ambos.

Si smy>> yi esto es indicacin de que las incertidumbres estimadas yi son inexactas.

Si smy



De las ecuaciones que definen a a y b se tiene,

( )( )

2

22n

i i j

j i i

x x xa

y x x

=

( )( )22

n

n

j i j

j i i

x x yby x x

=

de donde se obtiene,

( )2 2

222

1

(13)n

my ima

i

s xs

x x=

( )2

222

1

n (14)n

mymb

i

ss

x x=

y los resultados para los parmetros a y b se informan como,

;ma mba s b s

DETERMINACIN DE LA RESISTENCIA DE LA BATERA Y SU INCERTIDUMBRE DE MEDICIN.

Definicin del mensurando.

El mtodo de medicin es indirecto, es decir la resistencia de la batera se determina, de acuerdo con su modelo matemtico, en funcin de la resistencia del vltmetro y los parmetros de la lnea de carga ajustada.

De donde la resistencia de la batera es funcin de,

( ), ,VR f R a b=

Fuentes de incertidumbre.

Tomando en cuenta el procedimiento de medicin y el modelo matemtico de la medicin, podemos considerar como fuentes de incertidumbre las siguientes,

La resistencia del vltmetro.

El punto de interceptacin de la recta ajustada.



La pendiente de la recta ajustada.

Se considera que el efecto de la temperatura no es relevante, en este caso.

Evaluacin de la incertidumbre estndar.

Evaluacin tipo A de la incertidumbre estndar.

En la determinacin de la resistencia interna de una batera normalmente no se toman valores repetidos sobre el mismo punto, por lo que generalmente no es posible evaluar esta incertidumbre.

Evaluacin tipo B de la incertidumbre estndar.

Las fuentes de incertidumbre mencionadas anteriormente se pueden considerar como de este tipo.

La incertidumbre especificada en la resistencia del vltmetro, uE(RV), se obtiene de datos del fabricante del aparato.

Como en los manuales de los aparatos se especifican sus incertidumbres como un intervalo simtrico de valores mximos, consideraremos este intervalo como una distribucin de probabilidad del tipo uniforme con valor medio igual a cero, entonces la incertidumbre estndar tipo B para la resistencia del vltmetro es,

( ) ( ) (15)3

E VB V

u Ru R =

Para los parmetros de la recta ajustada se considera una distribucin de probabilidad estndar, de donde,

( ) ( ); (16)B ma B mbu a s u b s= =

Determinacin de la mejor estimacin del valor de la resistencia de la batera.

Para esta determinacin utilizaremos el modelo matemtico propuesto en la ecuacin siguiente:

(7)VV

b RRa R b

=

Determinacin de la incertidumbre estndar combinada.

La varianza combinada es,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 2 3 (17)C B V B Bu R C u R C u a C u b= + +



Donde los coeficientes de sensibilidad, tomando en cuenta el modelo matemtico de la resistencia de la batera son,

( )2

1 2V V

R bCR a R b

= =

( )2

2 2V

V

b RRCa a R b

= =

( )2

3 2V

V

a RRCb a R b

= =

La incertidumbre estndar combinada es,

( ) ( )2C Cu R u R=

Determinacin de la incertidumbre expandida.

En virtud de que la incertidumbre del resultado de la medicin se expresar con un intervalo asociado con un nivel de confianza, se utilizar para obtener la incertidumbre expandida la frmula siguiente:

( ) ( ) ( )p CU R t u R=

Los grados de libertad efectivos se calculan con la frmula siguiente,

( )( ) ( ) ( )

4

4 4 4C

effC V C C

RV a b

u Ru R u a u b

=

+ +

Si consideramos que las especificaciones de las incertidumbres expresadas por los fabricantes son confiables en 25 %, entonces los grados de libertad de la incertidumbre estndar tipo B de la resistencia del vltmetro es,

20,25 82RV

= =

Puesto que hemos considerado una distribucin normal en la determinacin del punto de intercepcin y la pendiente de la recta ajustada entonces,

a b = =



Con el valor de los grados de libertad efectivos y el nivel de confianza escogido se entra a la tabla de la distribucin de Student para encontrar el valor de tP.

EJEMPLO.

Determinar el valor ms probable de la resistencia de una pila seca de 1,5 V, as como la incertidumbre en su medicin.

La medicin de realiz utilizando el mtodo indirecto, con la ayuda de un vltmetro y un resistor de carga, empleando el circuito de la figura nmero 1. Para disminuir la incertidumbre en el valor de la resistencia del resistor de carga, este se medio con un puente de Wheatstone de alta exactitud.

DATOS Y LECTURAS OBTENIDAS EN LA MEDICIN DE LA RESISTENCIA DE LA BATERA.

Los datos de los aparatos que se utilizaron se muestran en la tabla nmero 1.

TABLA NMERO 1. DATOS DE LOS APARATOS UTILIZADOS EN LA MEDICIN.

MULTMETRO DIGITAL COMO VLTMETRO DE CD. Alcance, ALV: 2 V Exactitud, EXV: (0,5 % de la lectura + 1 dgito) Impedancia de entrada, RV = 10 M Intervalo INV, 1999 cuentas

RESISTOR DE CARGA De once pasos de 1 , cada uno. Multiplicador X1. Clase de exactitud, CL: 0,2

PUENTE DE WHEATSTONE Alcance ALW: 1,000 0 a 11,111 0 Exactitud, EXW: (0,02 % de la lectura + 0,5 m) Intervalo, INW: 111 110

TERMMETRO ANALGICO Alcance, ALT: - 20 a 500C Clase de exactitud, CLT: 1 % Divisiones de la escala: 70 Incertidumbre en la lectura, uE(LT): 0,5 de divisin

Las lecturas obtenidas se muestran en la tabla nmero 2.



TABLA NMERO 2. LECTURAS. LECTURA NMERO

RESISTENCIA RC

VLTMETRO VM V

TERMMETRO TM 0C

1 SIN CARGA 1,494 23,0 2 9,985 4 1,460 23,0 3 8,998 6 1,456 23,0 4 8,006 2 1,450 23,0 5 7,008 2 1,448 23,5 6 5,993 5 1,440 23,5 7 5,002 1 1,432 23,5

AJUSTE DE LA RECTA DE CARGA POR EL MTODO DE MNIMOS CUADRADOS. A partir de la tabla nmero 2, obtenemos los recprocos de las tensiones y de las resistencias de carga, los cuales se muestran en la tabla nmero 3.

TABLA NMERO 3. PUNTOS DETERMINADOS EXPERIMENTALMENTE PARA OBTENER LA GRFICA DE LA LNEA DE CARGA DE LA BATERA.

RESISTENCIA RC

TENSIN V V

1/RC xi

1/V yi

SIN CARGA 1,494 0 669,344 10-3 9,985 4 1,460 100,146 2 10.-3 684,932 10-3 8,998 6 1,456 111,128 4 10-3 686,813 10-3 8,006 2 1,450 124,903 2 10-3 689,655 10-3 7,008 2 1,448 142,690 0 10-3 690,608 10-3 5,993 5 1,440 166,847 4 10-3 694,444 10-3 5,002 1 1,432 199,916 0 10-3 698,324 10-3

Con los datos de las columnas 3 y 4 de la tabla nmero 3 podemos determinar la recta de carga ms probable, utilizando el mtodo de mnimos cuadrados, as obtenemos la tabla nmero 4.

TABLA NMERO 4.PARMETROS PARA LA DETERMINACIN DE LA RECTA DE CARGA AJUSTADA.

n = 7 xi yi (xi)2 (yi)2 xi yi 0 669,344 10-3 0 448,021 10-3 0

100,146 2 10-3 684,932 10-3 10,029 26 10-3 469,132 10-3 68,593 3 10-3 111,128 4 10-3 686,813 10-3 12,349 52 10-3 471,712 10-3 76,324 4 10-3 124,903 2 10-3 689,655 10-3 15,600 81 10-3 475,624 10-3 86,140 1 10-3 142,690 0 10-3 690,608 10-3 20,360 4 10-3 476,939 10-3 98,542 9 10-3 166,847 4 10-3 694,444 10-3 27,838 1 10-3 482,253 10-3 115,866 2 10-3 199,916 0 10-3 698,324 10-3 39,966 4 10-3 487,656 10-3 139,606 1 10-3 =845,631 10-3 = 4,814 12 =126,1445 10-3 = 3,311 34 =585,073 10-3



Con los datos de la tabla nmero 4 y aplicando las ecuaciones nmeros (9) y (10) obtenemos los parmetros de la recta ajustada.

( )

( )

2

22

3 3 33

23 3

n

126,1445 10 4,81412 845,631 10 585,073 10 670,076 107 126,1445 10 845,631 10

i i i i i

i i

x y x x ya

x x

=

= =

( )

( )

22

3 33

23 3

n

n

7 585,073 10 845,631 10 4,81412 146,1525 107 126,1445 10 845,631 10

i i i i

i i

x y x yb

x x

=

= =

Los valores obtenidos se deben de anotar en la tabla nmero 5.

TABLA NMERO 5. PARMETROS DE LA RECTA AJUSTADA. a b ECUACIN

670,076 10-3 146,152 5 10-3 1/V = 0,670 + 0,146 2 1/RC

DETERMINACIN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS PARMETROS QUE DEFINEN A LA RECTA AJUSTADA.

Para la determinacin de la desviacin estndar de las variables utilizaremos la ecuacin nmero 11.

( )n 21

1n -2y i iajust

s y y=

En la tabla nmero 6, se muestran los valores que servirn para determinar la desviacin estndar de las variables.

TABLA NMERO 6. VALORES PARA LA DETERMINACIN DE LA DESVIACIN ESTNDAR DE LAS VARIABLES.

xi yi yiajust yi - yiajust (yi - yiajust)2 0 669,344 10-3 670,076 10-3 - 732,000 10-6 585,824 10-9

100,146 2 10-3 684,932 10-3 684,713 10-3 219,000 10-6 47,961 0 10-9 111,128 4 10-3 686,813 10-3 686,318 10-3 495,000 10-6 245,025 10-9 124,903 2 10-3 689,655 10-3 688,331 10-3 1,324 000 10-3 1,752 976 10-6 142,690 0 10-3 690,608 10-3 690,931 10-3 - 323,000 10-6 104,329 0 10-9 166,847 4 10-3 694,444 10-3 694,461 10-3 - 17,000 00 10-6 289,000 10-12 199,916 0 10-3 698,324 10-3 699,294 10-3 - 970,000 10-6 940,900 10-9 =845,631 10-3 = 4,814 12 - - =3,67730 10-6



Con los valores obtenidos en la tabla nmero 6, el nmero de juegos de lecturas, y las ecuaciones nmeros (11), (12), (13) y (14); se calculan la desviacin estndar de las variables, la desviacin estndar promedio y las incertidumbres en los parmetros de la recta.

La desviacin estndar de las variables es,

663,67730 10 857,590 10

7 2Ys

= =

La desviacin estndar del promedio para las variables yi es,

66857,590 10 324,139 10

n 7y

my

ss

= = =

Por otro lado tenemos que la incertidumbre especificada del vltmetro es,

( )(VM) = 0,5%de la lectura + 1 dEu

Para la tensin ms alta tenemos,

( )1,494 0,5VM 1494 1 8, 47 d 0,008V100Eu

= + =

Para la tensin ms baja tenemos,

( )1,432 0,5VM 1432 1 8,16d 0,008V100Eu

= + =

Por lo que para todo el intervalo de mediciones que se realizaron con el vltmetro, podemos considerar como incertidumbre especificada 0,008 V.

La incertidumbre tipo B de la tensin es,

( ) ( )VM 0,008 0,005V3 3

EB

uu V = =

Comparndola con la desviacin estndar promedio smy tenemos que,

6 6324,139 10 5000 10



La varianza del promedio para las variables es,

( )22 6 9324,139 10 105,0661 10mys = =

Y las incertidumbres de los parmetros de la recta ajustada son,

( ) ( )2 2 9 3

2 92 22 3 3

1

105,0661 10 126,1445 10 78,927 7 10n 7 126,1445 10 845,631 10

my ima

i

s xs

x x

= = =

9 678,927 7 10 280,941 10mas

= =

( ) ( )2 9

2 62 22 3 3

1

n 7 105,0661 10 4,37985 10n 7 126,1445 10 845,631 10

mymb

i

ss

x x

= = =

6 34,37985 10 2,09281 10mbs = =

Los valores anteriores se deben anotar en la tabla nmero 7.

TABLA NMERO 7. DESVIACIN ESTNDAR.

sy smy sma smb 857,590 10-6 324,139 10-6 280,94110-6 2,092 81 10-3

TABLA NMERO 8. INCERTIDUMBRES DEL VLTMETRO Y DE LOS PARMETROS DE LA RECTA AJUSTADA.

VLTMETRO PARMETROS DE LA RECTA uE(RV)

uB(RV)

uB(a)

uB(b)

100,000 0 103 57,735 0 103 280,941 10-6 2,092 81 10-3

TABLA NMERO 9. INFORME DE LOS PARMETROS DE LA RECTA CON SUS INCERTIDUMBRES.

PUNTO DE INTERCEPCIN PENDIENTE a sma b smb

0,670 1 0,000 3 0,146 2 0,0021



DETERMINACIN DE LA RESISTENCIA MS PROBABLE DE LA BATERA.

Para determinar esta resistencia utilizaremos la ecuacin nmero 7, la resistencia del vltmetro y los parmetros de la lnea recta ajustada.

3 6

3 6 3146,1525 10 10 10 0, 218113 0,218

670,076 10 10 10 146,1525 10V

V

b RRa R b

= = =

CLCULO DE LA INCERTIDUMBRE EN LA MEDICIN DE LA RESISTENCIA HMICA DE LA BATERA.

Definicin del mensurando.

El mtodo de medicin es indirecto, es decir la resistencia de la batera se determina en funcin de la resistencia del vltmetro y los parmetros de la lnea de carga ajustada.

De donde la resistencia de la batera es funcin de,

( ), ,VR f R a b=

Fuentes de incertidumbre.

Tomando en cuenta el procedimiento de medicin y el modelo matemtico de la medicin, podemos considerar como fuentes de incertidumbre las siguientes:

La resistencia del vltmetro.

El punto de interceptacin de la recta ajustada.

La pendiente de la recta ajustada.

Evaluacin de la incertidumbre estndar.

Evaluacin tipo A de la incertidumbre estndar.

En virtud de que no se realizaron mediciones repetidas para cada punto de la recta, no es posible evaluar esta incertidumbre.

Evaluacin tipo B de la incertidumbre estndar.

Las fuentes de incertidumbre mencionadas anteriormente se pueden considerar como de este tipo, y sus valores se muestran en la tabla nmero 8.



Determinacin de la incertidumbre estndar combinada.

La varianza combinada es,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 2 3C B V B Bu R C u R C u a C u b= + +

Donde los coeficientes de sensibilidad, tomando en cuenta el modelo matemtico de la resistencia de la batera son,

( )( )

( )232

181 2 23 6 3

146,1525 10475,734 10

670,076 10 10 10 146,1525 10V

bCa R b

= = =

( )( )

( )23 62

32 2 23 6 3

146,1525 10 10 10325,505 10

670,076 10 10 10 146,1525 10V

V

b RCa R b

= = =

( )( )

( )23 62

3 2 23 6 3

670,076 10 10 101, 492368

670,076 10 10 10 146,1525 10V

V

a RCa R b

= = =

Sustituyendo valores en la ecuacin de la varianza tenemos,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 222 18 3 3 6 3475, 734 10 57, 7350 10 325, 505 10 280, 941 10 1, 492368 2, 09281 10u RC = + +

( )2 24 9 6 6754, 409 10 8,36268 10 9,75465 10 9,76301 10Cu R = + + =

La incertidumbre estndar combinada es,

( ) ( )2 6 39,76301 10 3,12458 10C Cu R u R = = =

TABLA NMERO 10.INCERTIDUMBRE COMBINADA.

COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD uC(R) C1 C2 C3

475,734 10-8 325,505 10-3 1,492 368 3,124 58 10-3



DETERMINACIN DE LA INCERTIDUMBRE EXPANDIDA.

En virtud de que la incertidumbre de la medicin se expresar con un intervalo asociado con un nivel de confianza de 95,45 %, para obtener la incertidumbre expandida utilizaremos la frmula siguiente:

( ) ( ) ( )p CU R t u R=

Los grados de libertad efectivos se calculan con la frmula siguiente,

( )( ) ( ) ( )

4

4 4 4C

effC V C C

RV a b

u Ru R u a u b

=

+ +

Considerando que las especificaciones de las incertidumbres expresadas por los fabricantes son confiables en 25 %, entonces los grados de libertad de la incertidumbre estndar tipo B de la resistencia del vltmetro es,

20,25 82RV

= =

Puesto que hemos considerado una distribucin normal en la determinacin del punto de intercepcin y la pendiente de la recta ajustada entonces,

a b = =

Sustituyendo valores en la ecuacin de los grados de libertad efectivos tenemos,

( )( ) ( ) ( )

2633

2 2 224 9 6

9,76301 101,3398 10

754, 409 10 8,36268 10 9,75465 108

eff

= =

+ +

Con el valor de los grados de libertad efectivos y el nivel de confianza escogido se entra a la tabla de la distribucin de Student para encontrar un valor de tP igual con,

( ) 2Pt =

Y la incertidumbre expandida es,

( ) 3 32 3,12458 10 6, 24916 10 0,006U R = =



EXPRESIN DEL VALOR DE LA RESISTENCIA CON SU INCERTIDUMBRE DE MEDICIN.

TABLA NMERO 11. EXPRESIN DEL VALOR DE LA RESISTENCIA DE LA BATERA CON SU INCERTIDUMBRE DE MEDICIN.

R = 0,218 0,006 = 0,218 2,8 %

Donde el nmero que sigue al signo es el valor de la incertidumbre expandida, obtenida a partir de una incertidumbre estndar de 3,124 58 10-3 y un factor de cobertura de 2, con un nivel de confianza de 95,45 % y 1,339 8 1033 grados de libertad efectivos.

GUA DE LA PRCTICA.

Determinar el valor ms probable de la resistencia de una batera de 6 V, utilizando el mtodo indirecto del vltmetro y la resistencia de carga, as como las tcnicas de anlisis grfico.

Calcule la incertidumbre de la medicin.

PROCEDIMIENTO.

1. Eleccin del vltmetro.

Elija el alcance del vltmetro teniendo en cuenta la tensin indicada en la pila.

2. Medicin de los valores de la resistencia de carga.

Utilizando un puente de Wheatstone de una exactitud, cuando menos, mejor a 10 veces la exactitud del vltmetro que se va a utilizar, mida los valores del resistor de carga. Anote los valores obtenidos en la tabla nmero 12.

TABLA NMERO 12. RESULTADOS DE LA MEDICIN DE LAS RESISTENCIAS DE CARGA.

POSICIN RC

MULTIPLICADOR M

VALOR RS

VALOR RC

10 9 8 7 6 5



3. Conexin de aparatos.

Conecte los aparatos como se muestra en el diagrama elctrico de la figura nmero 1.

4. Posiciones iniciales.

Los desconectadores DES1 y DES2 deben estar abiertos.

Lleve el conmutador del resistor de carga RC a una posicin tal que no demande una intensidad de corriente excesiva de la pila, en este caso llvelo a la posicin correspondiente a 10.

Anote en la tabla nmero 13 las caractersticas de los aparatos, de las posiciones empleadas.

TABLA NMERO 13. DATOS DE LOS APARATOS UTILIZADOS EN LA MEDICIN.

MULTMETRO DIGITAL COMO VLTMETRO DE CD. Alcance, ALV: Exactitud, EXV: Impedancia de entrada, RV = Intervalo INV,

RESISTOR DE CARGA De once pasos de ---, cada uno. Multiplicador X. Clase de exactitud, CL:

PUENTE DE WHEATSTONE Alcance ALW: Exactitud, EXW: Intervalo, INW:

TERMMETRO ANALGICO Alcance, ALT: - Clase de exactitud, Divisiones de la escala: Incertidumbre en la lectura, uE(LT):

5. Lecturas.

Cierre el desconectador DES1 y lea la indicacin del vltmetro, anote esta lectura en la tabla nmero 14, como la tensin sin carga de la pila. Abra el desconectador DES1.

Cierre los desconectadores DES1 y DES2 simultneamente y lea la indicacin del vltmetro. Anote esta lectura en la tabla nmero 14. Abra los desconectadores DES1 y DES2 inmediatamente despus de haber tomado la lectura del vltmetro. Anote en la tabla nmero 14 las indicaciones del resistor de carga y el termmetro.



TABLA NMERO 14. LECTURAS. LECTURA NMERO

RESISTENCIA RC

POSICIN

VLTMETRO VM V

TERMMETRO TM 0C

1 SIN CARGA 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5

Espere un minuto antes de realizar las lecturas siguientes.

Disminuya la posicin del resistor de carga en una posicin.

Cierre los desconectadores DES1 y DES2 simultneamente y lea la indicacin del vltmetro, anote est lectura en la tabla nmero 14. Abra los desconectadores DES1 y DES2 inmediatamente despus de haber tomado la lectura del vltmetro. Anote en la tabla nmero 14 las indicaciones del resistor de carga y el termmetro.

Repita los pasos anteriores, el nmero de veces que sea necesario, hasta tener en el resistor de carga una indicacin igual a 5.

Tenga cuidado de no disminuir el resistor de carga ms alla de la posicin 5.

Clculos.

Ajuste de la recta de carga por el mtodo de mnimos cuadrados.

Con auxilio de las lecturas anotadas en las tablas nmeros 12 y 14, calcule los valores de las resistencias de carga, as como los inversos de las tensiones y las resistencias de carga. Anote los valores obtenidos en la tabla nmero 15.

TABLA NMERO 15. PUNTOS DETERMINADOS EXPERIMENTALMENTE PARA OBTENER LA GRFICA DE LA LNEA DE CARGA DE LA BATERA.

RESISTENCIA RC

TENSIN V V

1/RC xi

1/V yi

SIN CARGA



Con los datos de las columnas 3 y 4 de la tabla nmero 15, calcule los valores necesarios para determinar la recta de carga ms probable, utilizando el mtodo de mnimos cuadrados. Anote los valores obtenidos en la tabla nmero 16.

TABLA NMERO 16.PARMETROS PARA LA DETERMINACIN DE LA RECTA DE CARGA AJUSTADA.

n = 7 xi yi (xi)2 (yi)2 xi yi

= = = = =

Con los datos de la tabla nmero 16 y aplicando las ecuaciones (9) y (10) determine los parmetros de la recta ajustada. Anote los valores obtenidos en la tabla nmero 17 y la ecuacin de la recta ajustada.

TABLA NMERO 17. PARMETROS DE LA RECTA AJUSTADA. a b ECUACIN

Determinacin de la incertidumbre en los parmetros que definen la recta ajustada.

Con los valores de la tabla nmero 15 y utilizando la ecuacin de la recta ajustada dada en la tabla nmero 17, calcule los valores para la determinacin de la desviacin estndar de las variable. Anote los resultados obtenidos en la tabla nmero 18.

TABLA NMERO 18. VALORES PARA LA DETERMINACIN DE LA DESVIACIN ESTNDAR DE LAS VARIABLES.

xi yi yiajust yi - yiajust (yi - yiajust)2

= = - - =



Con los valores anotados en la tabla nmero 18, el nmero de juego de lecturas y las ecuaciones nmeros (11), (12), (13) y (14); calcule la desviacin estndar de las variables, la desviacin estndar promedio y las incertidumbres en los parmetros de la recta de carga. Anote los valores obtenidos en la tabla nmero 19.

TABLA NMERO 19. DESVIACIN ESTNDAR.

sy smy sma smb

Tomando en cuenta las especificaciones del vltmetro, calcule su incertidumbre tipo B y comprela con la desviacin estndar promedio de las variables. Anote sus valores en la tabla nmero 20.

TABLA NMERO 20. INCERTIDUMBRES DEL VLTMETRO Y DE LOS PARMETROS DE LA RECTA AJUSTADA.

VLTMETRO PARMETROS DE LA RECTA uE(RV)

uB(RV)

uB(a)

uB(b)

Anote en la tabla nmero 21 los valores de los parmetros de la recta, as como sus incertidumbres, anotadas en las tablas nmeros (17) y (20).

TABLA NMERO 21. INFORME DE LOS PARMETROS DE LA RECTA CON SUS INCERTIDUMBRES.

PUNTO DE INTERCEPCIN PENDIENTE a sma b smb

Determinacin de la resistencia ms probable de la batera.

Calcule la resistencia ms probable de la batera utilizando la ecuacin nmero (7), teniendo en cuenta la resistencia del vltmetro y los parmetros de la lneas de carga ajustada. Anote el valor obtenido en la tabla nmero 22.

TABLA NMERO 22. RESISTENCIA MS PROBABLE DE LA BATERA.

R =



Clculo de la incertidumbre en la medicin interna de la batera.

Tomando en cuenta el modelo matemtico de la resistencia de la batera, calcule la incertidumbre estndar combinada. Anote los valores obtenidos en la tabla nmero 23.

TABLA NMERO 23.INCERTIDUMBRE COMBINADA.

COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD uC(R)) C1 C2 C3

Calcule la incertidumbre expandida, considerando un intervalo de confianza de 95,45 %. Anote el valor obtenido en la tabla nmero 24.

TABLA NMERO 24. INCERTIDUMBRE EXPANDIDA.

U(R) =

Anote en la tabla nmero 25 la expresin del valor de la resistencia de la batera con su incertidumbre de medicin. Y en la parte inferior de ella las condiciones correspondientes.

TABLA NMERO 25. EXPRESIN DEL VALOR DE LA RESISTENCIA DE LA BATERA CON SU INCERTIDUMBRE DE MEDICIN.

R = = %



BIBLIOGRAFA.

1. Cedeo Aguilar Benjamn. Metrologa elctrica. Distrito Federal, Mxico. 2000.

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7. Fox Valley. Instruction Manual. Auto range digital multimiter. Modelo ET-590.

8. Yokogawa. Instruction Manual 2768. Precision Wheatstone Bridge. IM 2768-01E, 2nd edition.

p6 medición de la resistencia interna de una bateria

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