INGENIERIA CIVIL

PRIMERA PARTE

Algunas Aplicaciones de las CalculadorasProgramables en el Anallsis EstructuralLas calculadoras programables permiten la solucion de un amplio grupo deproblemas de anal isis estructural, comprendidos entre los que requieren eluso del computador y los que pueden tratarse por metodos manu ales.En muchos casas se requiere la presentacion del problema de anal isis enuna forma especial que permita la utilizacion mas eficiente de las caracte-risticas operativas de la calculadora.En este trabajo se presentan algunos algoritmos que pueden programarsefacilmente en una calculadora y que pueden utilizarse en el anal isis de es-tructuras a flexion y en problemas del tipo antes mencionado.

Alfonso Ramirez RiveraIngeniero Civil, MSc. Ph.D., D.I.C.Profesor de Estructuras

1. Las calculadoras programables deque hoy se dispone permiten resol-ver eficientemente ciertos proble-mas de anal isis estructural cuvo ta-mario y complejidad no se prestanpara un tratamiento convenientepor metod os manuales 0 mediantela computadora.

2. En el anal isis de estructuras pla-nas de barras a flexion se presentanmuchos ejemplos de los problemasantes mencionados. Consideremosinicialmente el caso de una de estasestructuras con nudos interiores enconexion topoloqica simple, 0 seasi los nudos se designan ordenada-mente con la serie de los nurnerosnaturales 1: n, un nudo i esta direc-tamente conectado solo con los nu-d os i - 1 e i+ 1 (n > i > 1 ), co mol aestructura mostrada en la Figura 1.

i-1

3. Los rnetodos de anal isis de estasestructuras hacen uso de los siguien-tes conceptos:

3.1. Coeficiente de rigidez. EI coe-ficiente de rigidez en un punto yen una direccion dada de una estruc-tura sometida a condiciones deter-minadas de borde, se define comola accion (fuerza 0 momento) endicho punto y direccion que produ-ce un desplazamiento unitario co-rrespondiente (translacion para fuer-za. rotacion para momento) en elmismo punto.

Ejemplo 1

EI coeficiente de rigidez (K) en unextremo articulado (A) de una ba-rra prismatica de seccion transver-sal con un eje de sirnetr ia, de un.

i+ 1

Figura 1 29

....material elastico con modu 10 E, co-rrespondiente a un momento flec-tor M normal al eje de simetr fa, tie-ne un valor de 4 E IlL cuando el otroextremo esta empotrado, y de 3 E IlLcuando dicho extrema esta articula-do. Es el correspondiente momentade inercia qeornetrico de la secciony L la longitud de la barra. (Fig. 2).

RA =@M2L

RS = (-31m

2L

k L, EI

K=M=4EI(7 L(0\

3.2. Coeficiente de transmisi6n. EIcoeficiente de transm ision entre unpunto y en una direccion dada, Yotro punto Y otra direccion de unaestructura sometida a condicionesdeterm inadas de borde se defi ne co-mo el efecto (fuerza 0 momento)producido en el segundo punto poruna accion unitaria (fuerza 0 rno-mento) aplicada en el prirnero.

Ejemplo 2

Con referencia al caso de la figura 2a), el coeficiente de transrnision en-tre el punto A en la direccion delmomento flector Myel punto Bvale 1/2 para momenta flector (m)y -3/2L para la fuerza RB.

4. EI anal isis de una estructura co-mo la descrita en 2, en el caso denudos interiores con restriccion detranslacion. se puede lIevar a caboen los siquientes pasos:

4.1. lntroduccion de restriccionesficticias de rotacion en los nudos in-teriores i.

4.2. Calculo de los momentos pro-ducidos por las cargas externas enlos extremes de cada barra (Momen-tos de empotramiento).4.3. Aplicacion de rotaciones 8i encada nudo i, las cuales correspon-den a momentos K.· e. en el extre-

IJ I •mo i de cada una de las barras J que

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concurren en el nudo i, y a momen-tos t.. KoO 8. en el otro extremo. KIJ IJ IY t son los coericientes de rigidez yde translacion respectivamente.

4.4. Calculo de las r otaciones O, quecorresponden al equilibrio de rno-mentos en los nudos i, mediante lasecuaciones

Rs = (- 1 1ML

L, EI

K=M=3EIo L

(b)

Figura 2

st K 8 +~K ..8.+t. ·K·i-i i i-i i i-I / IJ I It-! ,I 1+1,, , L--

j=1

MoO=OIJ

en donde s es el nurnero de barrasque concurren en i, y Mij el mo-mento de empotramiento en el ex-tremo i de la barra ij.

4.5. Calculo de los momentos fina-les. EI momenta en el extrema 9 deuna barra gh vale

en donde M h es el momento deempotramien10, y 8g Y 8h trenensignificado solo si corresponden arotaciones de nudos interiores.

5. Las ecuaciones (1) son caracter fs-ticas de este tipo de estructuras, yse pueden expresar como un siste-ma de n ecuaciones sirnultaneas dela forma

b. X. + a· X· + b'l X'I 1 = c'lt-I t-1 I I +

i=2:(n-1)

cuya solucion se puede obtener me-diante el siquiente algoritmo, tacit-mente programable en una calcula-dora:

5.1. Iterando la elirninacion de unaincognita entre las prirneras dosecuaciones, se Ilega a un sistema dela forma

a~X·+b·X. =c~i=l:(n-d (4)I I I 1+1 I

* X - *an n - cn

en donde

a":=a·+a~I I I

(5)i = l:n

C~ = c, + c'·I I I

a'l = 0C'I = 0

a' - b. (b.fa": )i+1 I I I i=l:(n-l)

c' - c" (b·/a": )i+1 I I I

(6)

5.2. EI sistema (4) permite el calcu-lode la i ncoqn ita Xn como

(1 )

5.3. Una vez conocida la incognitaX ,las otras incognitas pueden calcu-la~e del sistema (3) mediante susti-tuciones sucesivas de arras haciaadelante,

X· = (c·-b.x. - a.X·)/b.t-1 I I 1+1 I I t-I

i = (n-l) : 2(2)

5.4. Alternativa y mas convenientese puede usar de nuevo el procedi-miento indicado en 5.1, observando :que el sistema (3) mantiene su for-ma si se escribe en sentido inverso,esto es. con las incognitas en ordendecreciente.

b-X. + a.X. + b. X· = c,I 1+1 I I t-1 t-I I

i= (n-1):2 (7)

(3)

Este sistema se transforma entoncesen

X· = (c~- a~ X.)/ b.~I I I I H

a~X. + b. X· = c~ i= n:2 (8)I I H H I

y como cornprobacion. XI tarnbienpuede calcularse de (9),

(9)

con la notacion indicada en (5) y (6)con los correspondientes cambiosen los indices.

Las incognitas Xi-I '

calculan de (8),

5.5. Conociendo las rotaciones, losmornentos en los extremos de lasbarras se obtienen de las ecuacio-nes (2).

n:2, se6. La proqrarnacion puede hacerseal macenado todos los coeficientes

(MO. MS)

ai' bj Y ci para ser utilizados de nue-vo en el proceso de sustitucion unavez calculada la incognita Xn, percesto al tarnario del sistema que sepuede resolver sequn la capacidadde memoria de la calculadora.

Alternativamente, los coeficientespueden ser leidos dos veces, utili-zando cada vez '3010 tres memorias,Y en tal caso el programa perm iteresolver cualquier nurnero de ecua-ciones. EI diagrama de flujo de unprograma para esta alternative se in-dica a continuacion. •

Entrildadedilto5i11;1ITlPmorlaM,

o SahdadedillO$

IndtcadorActivo

V Indioador

InlLCtivo

r

(M2)

(+Ml)

(+M3)

(M3-MlxM4) M2 = (M4)

In -i): 1

-M2:Ml =(Ml)x M3= 1M3)M2xM3=(Ml)

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Ejemplo 3 Fig. 3, en donde se dan adem as delos datos del problema, los momen-tos de empotram iento en los extre-

/\nalizar el p6rtico mostrado en la mos de cada barra y las rigideces.

3m

-'~-.]. 6m --J-- 8m

160

-f- 8m

Vigas EI = 180Columnas EI = 120

I; .r:;::) Posicion de los

+valores de losmomentos en

• __ _ __ cada nuda.

III

Las ecuaciones (1) y (3) de las rota-ciones son entonces

500X 1 + 45 X2 = -8.345X1 +300X2 +45X3 = 0.0

45X2 + 282 X3 + 36X4 =n30.036X3 + 232X4=63.3

Figura 3

cuya solici6n es

Xl = n.018854X2 = .025050X3 =-.148146X4 = .295833

y los momentos finales se obtienende la ecuaci6n (2), y se indican enlaFig.4.

o

o

1.51

48.89 83.28

- 67.33 47.33- 3.02 52.73

- 46.70- 3.02 - 51.89 3.01 - 65.51 - 17.78

oX 1.51

Figura 4

32

20

23.67