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Escuela Nutica ALAVELA: Curso Capitn de Yate / Derrota Ortodrmica

ORTODROMICA

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DERROTA ORTODROMICA GENERALIDADES Cuando dos puntos se encuentran sobre una superficie esfrica, la lnea recta no es la distancia ms corta entre ellos, debido a la imposibilidad de seguir un trazado rectilneo. La distancia ms corta, entonces, ser un arco de crculo mximo, menor de 180, que pase por ambos puntos. Y ser as ya que el crculo mximo que pase por ambos puntos ser el crculo que tendr mayor radio y por tanto menor curvatura, aproximndose, dentro de la esfera considerada, lo mximo posible a una lnea recta.

Fig. 1 Derrota ortodrmica

Se da el nombre de derrota ortodrmica entre dos puntos de la superficie de la Tierra a aquella que sigue un buque que navega sobre el menor arco del crculo mximo que los une. Dicho crculo mximo quedar determinado cuando se conoce el ngulo que forma con el Ecuador y la longitud del punto de corte de dicho crculo con el mismo. Se llamar ganancia a la diferencia entre las distancias loxodrmica y ortodrmica. La ganancia ser nula cuando se navega siguiendo un meridiano o el Ecuador. La ganancia ser importante en largas travesas ocenicas y sobre todo en latitudes altas, cuando los puntos de salida y llegada corresponden al mismo paralelo o cuando su diferencia en latitud es pequea.

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Fig. 2 Derrota ortodrmica Puntos importantes

Fig. 3 Derrota ortodrmica y loxodrmica Representacin en una carta mercatoriana

El Ecuador y los meridianos son ortodrmicas. No lo son los paralelos. CONSTANTES DE LA ORTODROMICA Las constantes de la ortodrmica se denominan ( , ), siendo la longitud de los puntos de corte de la ortodrmica con el Ecuador y el ngulo que forma la ortodrmica con el Ecuador. Habr, por tanto, dos valores de que se diferenciarn en 180:

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= 180 Uno estar al Este y el otro al Oeste. A estos dos puntos se les denomina nodos. La otra constante de la ortodrmica, , es igual a la latitud mxima que toma la derrota ortodrmica. Habr dos valores de , uno ser de latitud Norte y el otro Sur. A estos puntos N y S, se les denomina vrtices. ECUACION DE LA ORTODROMICA Se denomina ecuacin de la ortodrmica a aquella ecuacin que relaciona las constantes de la misma, denominadas y , y ya estudiadas, y un punto A de ella, definido por sus coordenadas geogrficas (l, L). De la observacin de la figura 2, vemos que el meridiano de lugar de un punto A de la ortodrmica, la propia ortodrmica y el Ecuador forman el tringulo rectngulo Amc en el que: La latitud de A es igual a mA. La longitud de A es igual a gm. Tambin se deduce que gm gc = cm. Siendo gc =

Sustituyendo valores:

L = gm L = gc + cm = + cm L = cmEn el tringulo Amc se tiene:

tg (mA) = sen(cm)tg tgl = sen( L )tgExpresin, esta ltima, que es la ecuacin de la ortodrmica y que se estudia dando valores a la longitud del punto de corte del crculo mximo que determina la ortodrmica con el Ecuador y hallando el correspondiente valor de la latitud. A los puntos V y V se les llama vrtices del crculo mximo y los puntos C y C son los puntos de corte del crculo mximo con el Ecuador. La longitud (L) puede tener cualquier valor, pero la latitud (l) solo puede variar entre los valores + y - , excepto cuando el crculo mximo es un meridiano, en el que la latitud puede tener cualquier valor y, en cambio, la longitud solo 4


puede tener dos valores, que coincidirn con C y C , puntos de corte del crculo mximo con el Ecuador. La situacin de los vrtices es: lv = y Lv = +90, contados ambos en el mismo sentido del rumbo inicial y empleando el ms prximo al punto de salida. PUNTO C V C V C L 90+ 180+ 270+ 360+ l 0 + 0 - 0

CALCULO DE LAS CONSTANTES EN FUNCION DE LA SITUACION DE DOS PUNTOS Las expresiones que se trabajan y que no se desarrollarn por no ser de importancia en el estudio que nos ocupa, son: Clculo de : La expresin a usar es:

tg 1 ( L+ L) = sen(l+l ) cos ec(ll ) tg 1 ( L L) 2 2

[

]

[

]

Se deber tomar siempre 1 ( L+ L) 90, p es positivo Si L < 90, p es negativo Si p resulta positivo, el Ri se cuenta desde el mismo nombre que la latitud de salida Si p resulta negativo, el Ri se cuenta desde el distinto nombre que la latitud de salida

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El Ri ser al E o al W igual que L, es decir segn que la longitud de llegada est ms al E o al W que la de salida.

RUMBO FINAL O RUMBO DE RECALADA Se llama as al ltimo rumbo con el que tericamente se llegara al punto de arribada, punto B en nuestra figura. Para calcularlo lo que se hace es hallar el rumbo inicial entre el punto de llegada (B) y el punto de salida (A); el rumbo de recalada ser, entonces, el opuesto a este. Si se ha hallado en forma cuadrantal, el valor numrico ser igual, cambiando solamente los puntos cardinales. Si se ha hallado en forma circular, deberemos restar 180.

Fig. 6 Rumbo de recalada

CALCULO DE LA DISTANCIA ORTODROMICA Del tringulo PAB de la figura 5, la distancia ortodrmica es el arco de crculo mximo que une los puntos A y B. Conociendo el valor de este lado, conoceremos la distancia que separa ambos puntos. Aplicando la expresin del coseno de un lado, tendremos:

cos D = cos(90 l ) cos(90 l) + sen(90 l ) sen(90 l) cos L cos D = senl senl+ cos l cos l cos LTrabajando la expresin anterior de la forma acostumbrada, tendremos:

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senl senl= A cos l cos l cos L = B cos D = A + B A ser positivo si l y l del mismo nombre A ser negativo si l y l de distinto nombre B ser positivo si L < 90 B ser negativo si L > 90 Si cosD es positivo, entonces D < 90 Si cosD es negativo, entonces D > 90

FORMA DE SEGUIR LA DERROTA ORTODROMICA Como ya se explic brevemente habr dos formas de seguir una derrota ortodrmica: 1. Por puntos, siguiendo secantes a la curva ortodrmica. 2. Por rumbo inicial, siguiendo tangentes a la curva ortodrmica. Veamos cada una de ellas:

Derrota por puntos: Con la situacin de salida y de llegada se obtienen las constantes de la ortodrmica. A continuacin se obtienen puntos de la ortodrmica, para lo que se pueden fijar la latitud o la longitud. Si se fija la longitud (L1) se obtendr la latitud correspondiente (l1) con la expresin:tgl1 = tg sen( L1 )

Si se fija (l1) se podr obtener la longitud correspondiente (L1) con la expresin:senl ( L1 ) = tgl1 cot g

De donde L1 = (L1 - ) + Normalmente se fija la longitud variando su valor de 5 en 5. Una vez obtenido un punto (l1, L1) se navega entre el anterior y ste por loxodrmica, siguiendo secantes de la ortodrmica.

Derrota por rumbo inicial: Se calcula el Ri entre la situacin de salida y de llegada, navegando a ese rumbo una distancia de 200 300 millas, obteniendo la situacin del buque en ese momento. Desde el punto as obtenido se vuelve a calcular un nuevo rumbo inicial entre dicho punto y el de llegada, navegando otra distancia anloga con ese nuevo Ri. Se repite la 12


operacin tantas veces como sea necesario, hasta llegar a las proximidades de la situacin de llegada, en cuyo momento ya se hace rumbo directo loxodrmico. En este caso se ha navegado mediante tangentes a la ortodrmica. Se debe tener en cuenta que, a veces, los primeros Ri no son del mismo nombre (N o S) que los loxodrmicos correspondientes, debido a que el Ri va siguiendo la curvatura del crculo mximo. Esto ocurre cuando entre la situacin de salida y llegada se encuentra un vrtice de la ortodrmica. Por ejemplo, aunque la situacin de llegada est ms al sur que la de salida, el Ri puede ser contado desde el norte. CALCULO DE LA SITUACION DE UN PUNTO DETERMINADO Se pueden presentar tres casos:

Clculo de la latitud conociendo la longitud: Ya explicado, se emplea la expresin: tgl1 = tg sen( L1 ) Clculo de la longitud conociendo la latitud: Ya explicado. Se calculan las constantes y se trabaja la expresin: sen( L1 ) = tgl1 cot g L1 = ( L1 ) + Clculo de la situacin despus de haber navegado una distancia D: Se obtiene el Ri. La distancia D se pasa a grados dividiendo por 60 y se trabaja la frmula: senl1 = senl cos D + cos lsenD cos Ri Conviene conocer el Ri lo ms exactamente posible. Se hace:A = senl cos D

Con el signo que resulte (lN+, lS - ); D90 - .B = cos lsenD cos Ri

1 y 4 cuadrante + y 2 y 3 cuadrante - . Si senl resulta + la latitud es N y si resulta es Sur. Conocida la latitud se calcula la longitud como se explic en el epgrafe anterior.

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DERROTA MIXTA Es la navegacin ms corta que se hace para no pasar de un determinado paralelo o latitud llamada (ln).

Fig. 7 Derrota mixta

La navegacin se realiza de la siguiente forma: 1. Derrota ortodrmica entre la situacin de salida (S) y el punto tangente al paralelo que no se quiere rebasar (M). 2. Derrota loxodrmica por el paralelo de latitud mxima (ln) hasta el punto (N). 3. Derrota ortodrmica entre el punto (N) de tangencia del paralelo con la derrota ortodrmica, hasta el punto de llegada (S). Lo primero que hay que hacer es calcular las coordenadas de los puntos de tangencia (M) y (N), que por ser tangentes al paralelo (ln) son los vrtices de dichas ortodrmicas.

Coordenadas de los puntos de tangencia: Se denominar situacin de salida (l, L), situacin de llegada (l, L) y latitud mxima (ln).

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L1 ser la diferencia de longitud entre la longitud de salida y la de M. L2 ser la diferencia en longitud entre la longitud de llegada y la de N. Las frmulas a trabajar son:

cos L1 = tgl cot g ln cos L2 = tgl cot g lnNo se tienen en cuenta los signos ya que como M y N se encuentran entre las longitudes de salida y llegada, los incrementos en longitud (L) tienen que estar de acuerdo para que las longitudes de M y N estn comprendidas entre ambas longitudes. Puede suceder que aunque la ortodmica pase por puntos de latitudes mayores que la del paralelo que no se quiere rebasar, en la navegacin entre los puntos de salida y llegada no se pase por dicha latitud (ln). Para comprobarlo, una vez conocidos L1 y L2 , y llamando L=L- L , se comprobar si: L > L1 + L2 , se podr hacer derrota mixta. L < L1 + L2 , se har ortodrmica normal. La latitud de M y de N ser siempre igual a (ln).

Clculo de los rumbos en la derrota mixta: Se ha dicho que dicha derrota se compone de una ortodrmica, una loxodrmica y una ortodrmica. Entonces: o Ri en la primera ortodrmica: La frmula a trabajar es:

senRi = cos ln sec l

Los signos son: (lN+, lS - ), Si senRi es + se cuenta desde el N y si es se cuenta desde el S. El Ri es hacia el E u W dependiendo de donde se encuentre la situacin de llegada respecto de la de salida. o Rd de la loxodrmica: Por navegar por un paralelo siempre ser hacia el E u W de acuerdo con la situacin de llegada respecto de la de salida. o Ri en la segunda ortodrmica: Se emplea la misma frmula pero hay que tener en cuenta que lo que se obtiene es (180 - Ri), por lo que habr que cambiar los nombres N por S y viceversa. El nombre E u W es igual que en las derrotas anteriores. o Rumbo final (Rf) de la ltima ortodrmica: Se trabaja la misma frmula y tambin se cambia el nombre N por S y viceversa.

senRi = cos ln sec l

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CALCULO DE LAS DISTANCIAS EN LA DERROTA MIXTA Conocidas las coordenadas de los puntos de tangencia M y N la derrota mixta se compone como se sabe de tres derrotas parciales. Para calcular las distancias de las derrotas ortodrmicas se trabajan las frmulas:

cosD1 = senl cos c ln cosD2 = senl cos c lnDonde (lN+, lS - ). Si cosD es + se toma menor de 90 y si es negativo se toma mayor de 90. Para el clculo de la distancia loxodrmica remitirse a lo estudiado para dicho captulo. CONSTANTES DE LA DERROTA MIXTA Una vez conocidas las situaciones de los puntos de tangencia (M y N), las constantes de las dos ortodrmicas sern:

= ln = LM 90 = ln = LN 90

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