orígenes e historia de la topología
DESCRIPTION
Un resumen de lo qué es la Topología, sus orígenes, sus primeros exponentes y una serie de biografías de estos pioneros.TRANSCRIPT
CAÑAVERAL – TURBACONoviembre de 2011
ORÍGENES E HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA
LA TOPOLOGÍA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DE CAÑAVERAL
PONENTE
Gustavo A. Sanabria De ArcoIngeniero Civil
Docente Matemáticas y Física
Especialista en Pedagogía para la Docencia Universitaria
La topología es probablemente la más jovende las ramas clásicas de las matemáticas.
En contraste con el álgebra, la geometríay la teoría de los números, cuyasgenealogías datan de tiempos antiguos, latopología aparece en el siglo diecisiete(XVII), con el nombre de Analysis Situs,esto es, análisis de la posición.
ORÍGENES DE LA TOPOLOGÍA
Se suele decir que la topología es la “geometríade los trozos de hule (goma elástica)”, puestoque se puede dibujar en tales trozos, estirar,deformar, apretar sin romperlos, manteniendolas propiedades topológicas de tales dibujos.
Las distancias, los ángulos, el paralelismo no semantienen; pero sí se mantienen las ideas defrontera, de corte entre curvas, deencerramiento, de orden, etcétera.
HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA1
Históricamente, las primeras ideastopológicas conciernen al concepto de límite yal de completitud de un espacio métrico, y semanifestaron principalmente en la crisis delos inconmesurables descubiertos porPitágoras ante la aparición de números realesno racionales.
El primer acercamiento concreto al conceptode límite y también al de integral aparece enel método de exhaución de Arquímedes.
HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA2
La aparición del Análisis Matemático en elsiglo XVII puso en evidencia la necesidadde formalizar el concepto de proximidad ycontinuidad, y la incapacidad de laGeometría para tratar este tema.
Fue precisamente la fundamentación delCálculo Infinitesimal, así como los intentosde formalizar el concepto de variedad enGeometría lo que llevó a la aparición de laTopología, a finales del siglo XIX yprincipios del XX.
HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA3
El término topología lo acuña por primeravez Johan Bennedict Listing, en 1836 enuna carta a su antiguo profesor Müller, yposteriormente en su libro Estudios previosa la Topología (Vorstudien zur Topologie )publicado en 1847.
Anteriormente se la denominaba analysissitus. Maurice Frechet introdujo elconcepto de espacio métrico en 1906.
HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA4
El origen de la Topología como disciplinacientífica lo inaugura la resolución por partede Euler del problema de los Puentes deKönigsberg, en 1735. Ciertamente, laresolución de Euler del problema utiliza unplanteamiento topológico.
La situación es exactamente análoga a ladel cálculo del área de la elipse porArquímedes.
Fue el matemático y físico suizo Leonard Euler(1707-1783), que entonces trabajaba en lacorte rusa, quien dio presentación formal aalgunos aspectos de la topología tal como hoy sela concibe.
Esto fue realizado en un famoso estudio sobrelos puentes de Königsberg, ciudad alemana-rusa(también llamada Kaliningrado) en cuyauniversidad trabajó, más o menoscontemporáneamente, el filósofo alemánEmmanuel Kant (1721-1804).
¿Cuál era el problema estudiado por Euler?
La ciudad de Königsberg era atravesada por unrío (Pregel), que luego de formar una isla sedividía en dos ramas.
Siete puentes permitían ir de un lado a otro yla gente se preguntaba si era posible caminarpor la ciudad pasando una sola vez por cadapuente.
El trabajo de Euler no sólo mostró que larespuesta es negativa, sino que generalizó elproblema a otros tipos de recorridos.
¿Qué es la Topología?
Rama de las matemáticas que estudia laspropiedades de las figuras geométricas o losespacios que no se ven alteradas por ningunaclase de transformaciones.
Es decir, la topología es un tipo de geometríadonde está permitido doblar, estirar, encoger,retorcer los objetos, pero siempre que se hagasin romper ni separar lo que estaba unido (latransformación debe ser continua), ni pegar loque estaba separado (la inversa también debe sercontinua).
Ramas de la Topología 1
Hay dos clases de topología bien diferenciadas
Topología primitiva:
Un ejemplo de topología primitiva es el problema de los puentes de Konigsberg.
Ramas de la Topología 2
Topología actual:
La topología es un campo muy activo de las matemáticas modernas.
Un problema famoso de la topología, que sólo ha sido resuelto recientemente, es el de determinar el número mínimo de colores distintos, necesarios para colorear un mapa corriente, de manera que no haya dos regiones limítrofes con el mismo color.
Ramas de la Topología 3
En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Hakendemostraron, usando un ordenador, que essuficiente con cuatro colores, sin depender deltamaño o del número de regiones.
La teoría de nudos es una rama de la topologíaque tiene todavía muchos problemas por resolver.Un nudo se puede considerar como una curvacerrada sencilla, hecha de goma y que se puederetorcer, alargar o deformar de cualquier formaen un espacio tridimensional (R3), aunque no sepuede romper.
Ramas de la Topología 4
Dos nudos son equivalentes si se puede deformar uno de ellos para dar el otro (homeomorfismo); si esto no es posible, los nudos son distintos.
Todavía no se ha podido encontrar un conjunto completo de características suficiente para distinguir los distintos tipos de nudos.
Ramas de la Topología 5
Se consideran actualmente tres ramas:
•Topología General o Topología Conjuntista.
•Topología Algebraica.
•Topología Diferencial o Geometría Diferencial.
Ramas de la Topología 6
Además de estas tres ramas propiamentetopológicas, la implicación en mayor o menormedida en otras disciplinas matemáticas hacenque muchos consideren parte de la Topología al:
Análisis Funcional
La Teoría de la Medida
La Teoría de Nudos (parte de la Topología de dimensiones bajas)
La Teoría de Grupos Topológicos
Ramas de la Topología 7
Es fundamental su contribución en:
Teoría de Grafos
Análisis Matemático
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Funcionales
Variable Compleja
Geometría Diferencial
Ramas de la Topología 8
Geometría Algebraica
Álgebra Conmutativa
Estadística
Teoría del Caos
Geometría Fractal
Incluso tiene aplicaciones directas en Biología,Sociología, Biosociología, etc.
ALGO DE TOPOLOGÍA
Por ejemplo, en topología un círculo es lo mismoque un cuadrado, ya que podemos transformaruno en otro de forma continua, sin romper nipegar.
Pero una circunferencia no es lo mismo que unsegmento (ya que habría que partirla por algúnpunto).
Un chiste habitual entre los topólogos (losmatemáticos que se dedican a la topología) esque «un topólogo es una persona incapaz dedistinguir una taza de una rosquilla»: Perodistingue una taza de un balón.
El Cilindro
Topológicamente, un cilindro es equivalente a uncuadrado en el que hemos pegado dos de los ladosopuestos.
El Toro (Torus o Toroide)
Es la superficie de una rosquilla.
Topológicamente es como un cuadrado en el quehemos pegado los dos pares de lados opuestos.
La Banda de Möebius
Es una superficie no orientable.
Se construye pegando una tira de papel por sus extremos, habiendo dado medio giro a uno de ellos.
¡Sólo tiene una cara!
¡Sólo tiene un lado!
¡Al cortarla por la mitad sigue siendo de una pieza!
¿Qué pasa al cortarla en tres partes?
La Botella de Klein 1
Dos lados están identificados como en un cilindro.
Los otros como una banda de Möebius.
Son dos bandas de Möebius pegadas por su únicoLado.
La Botella de Klein 2
Es una superficie tan retorcida que no cabe en elespacio.... ...
Aunque hay quien las fabrica.
¿Servirá para algo?
Pocos de los conceptos habituales de lageometría, como ángulo, línea recta, área,etc.,tienen sentido en topología.
Entonces ¿para qué sirve la topología?
Observemos la siguiente imagen:
Es un trozo de plano del metro de Madrid.
Aquí están representadas las estaciones y laslíneas del metro que las unen.
Pero no es geométricamente exacto.
La curvatura de las líneas del metro no coincide,ni su longitud a escala, ni la posición relativa delas estaciones.
Pero aun así es un plano perfectamente útil(de hecho, si fuera exacto sería bastantemás difícil de utilizar).
Sin embargo este plano es exacto en cierto sentido; representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red del metro:
Información topológica
BIOGRAFÍAS 1
Leonhard Euler (1707-1783)Matemático suizo (Basilea, 1707 - SanPetersburgo, 1783). Creador del análisismatemático moderno, trabajó mucho enastronomía, mecánica y óptica. Reorganizó elanálisis matemático en torno al concepto defunción y puso las bases del cálculo infinitesimalmoderno.
Además de eso, determinó la base е de loslogaritmos neperianos y fue pionero en laformulación de la trigonometría esférica y en elcálculo de variaciones.
El artículo que escribió en 1736 sobre la solucióndel problema de los puentes de Königsberg seconsidera el punto de partida de la Topología.
BIOGRAFÍAS 2
Georg Cantor (1845-1918)Matemático alemán (San Petersburgo, 1845 - Halle,
1918). Creó conjuntamente con Dedekind lateoría de conjuntos. Partiendo de ella investigó latopología de la recta.
Henri Poincaré (1854-1912)
Matemático francés (Nancy, 1854 - París, 1912).Investigó las ecuaciones diferenciales y las aplicó ala Física Matemática y a la Mecánica Celeste. Se leconsidera fundador de la Topología Algebraica.
BIOGRAFÍAS 3
Maurice Fréchet (1878-1973)
Matemático francés (Maligny, 1878 - Paris, 1973).Investigó el cálculo diferencial, el integral y el deprobabilidades; presentó propuestas referentes alespacio topológico y métrico.
Jacques Solomon Hadamard (1865-1963)
Matemático francés (Versalles, 1865-París, 1963). Demostró el teorema de los números primos. Se vio involucrado en el asunto Dreyfus, a continuación de lo cual participó en política en defensa de los judíos. Introdujo el concepto de problema bien planteado en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales.
BIOGRAFÍAS 4
Felix Hausdorff (1868-1942)
Matemático alemán (Breslau, 1868 - Bonn, 1942).Basándose en el concepto de proximidad ysintetizando planteamientos distintos sobreespacios abstractos, creó la teoría de los espaciostopológicos y métricos.
BIOGRAFÍAS 5
Benoit Mandelbrot
Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia dentro de una familia judíaculta de origen lituano. Fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeñogracias a sus dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936 su tío SzolemMandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor deHadamardost en este puesto, toma responsabilidad de su educación. Después derealizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a la “École Polytechnique”, atemprana edad, en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy quien también lo influyófuertemente. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952.En 1967 publicó en Science ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?, donde seexponen sus ideas tempranas sobre los fractales.Fue profesor de economía en la Universidad Harvard, ingeniería en Yale, fisiología en elColegio Albert Einstein de Medicina, y matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958trabajó en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York.
BIOGRAFÍAS 6
Gastón Maurice Julia (3 de febrero de 1893, Sidi Bel Abes, Argelia - 19 de marzo de1978, París, Francia. Fue un matemático francés.
Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero enestudiar el tema, y explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puedefabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya fronteraes imposible de dibujar a pulso (por ser de longitud infinita, entre otras propiedades).
Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo informe sobre la iteración de lasfunciones racionales (Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles) en la revistafrancesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este artículode 199 páginas le permitió ser galardonado por la Academia de las Ciencias Francesa.
BIOGRAFÍAS 6
Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes que se volvieranmuy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que siguevivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático también francés BenoitMandelbrot, quién tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudoaprovechar la invención del ordenador.
Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos ydeducciones, con papel y lápiz, las podían observar en su pantalla Mandelbrot y losmillones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico.
A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y enmenor medida en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.
Tampoco tuvo mucha suerte Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpirsus prometedores estudios a los 20 años a causa de la Primera Guerra Mundial, dondeperdió su nariz. Numerosas operaciones de cirugía no pudieron recomponerla, y tuvoque llevar una pequeña máscara el resto de su vida.
BIOGRAFÍAS 7
August Ferdinand Möbius
(Schulpforta, actual Alemania, 1790-Leipzig, id., 1868)Matemático y astrónomo alemán. Ayudante de Gauss, enseñóastronomía desde 1816 en la Universidad de Leipzig y dirigió elobservatorio de cuya construcción se había encargado. Estáconsiderado como el pionero de la topología, ya que en sustrabajos matemáticos anticipó muchos conceptos de lamoderna geometría proyectiva, en especial la algebraica.
En particular, en su obra El cálculo baricéntrico (1827), introdujo las coordenadasproyectivas homogéneas y aportó una concepción general de las correspondenciasproyectivas, aplicada posteriormente al estudio de las secciones cónicas.
Describió una superficie de una sola cara, conocida como cinta de Möbius, y en su obraLos elementos de la Mecánica Celeste (1843) ofreció una completa exposición de lamecánica celeste sin necesidad de recurrir a las matemáticas superiores.
GLOSARIO 1
• Límite: El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculoinfinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valoral que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinadoo al infinito.
• Continuidad: En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente,para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de lafunción. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una funcióncontinua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología.
• Homeomorfismo: Formalmente dos espacios son topológicamente equivalentes si hayhomeomorfismo entre ellos. Dicho de un modo más informal, dos espacios sontopológicamente equivalentes si uno de ellos se puede deformar hasta que coincida con laforma del otro sin añadir ni quitar ningún trozo.
GLOSARIO 2
• Completitud: La propiedad de completitud de IR dice que los números reales ``rellenan larecta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir, a cada punto de la recta lecorresponde un número real.
• Dimensión Topológica: La dimensión topológica de un conjunto del espacio topológico es elmínimo valor de n para el que toda cubierta abierta admite una cubierta abierta más fina deorden no superior a n+1. Si no existe valor mínimo de n, entonces se dice que el conjunto esde dimensión infinita. El orden de una cubierta es el máximo número de subconjuntos de lacubierta al que pertenece cualquier punto del conjunto. Una cubierta más fina es aquella enla que cada subconjunto está incluido en algún subconjunto de otra cubierta, menos fina eneste caso.
La dimensión topológica es la que nos resulta más intuitiva y pragmática para comprender.Esta establece la dimensión de un punto = 0, la de una curva = 1, la de una superficie = 2 etc.
Más formalmente escrito, un objeto tiene dimensión topológica m cuando cualquierrecubrimiento de ese objeto, tiene como mínimo una dimensión topológica = m+1(estableciendo previamente que el punto tiene dimensión topológica = 0).
GLOSARIO 3
• Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch: Esta dimensión es comúnmente confundiblecon la entropía de Kolmogórov o la dimensión de Minkowski Bouligand. La dimensión deHausdorff-Besicovitch se obtiene como un punto de inflexión del valor de la potencia elegidaen la longitud de Hausdorff cuando esta pasa de ser infinita a ser nula. La longitud deHausdorff es la suma del diámetro topológico elevado a una potencia "s" de unrecubrimiento entero del objeto a partir de entornos o cubrimientos de diámetro delta omenor a este del propio objeto.
• Conjunto de Julia: Los conjuntos de Julia (así llamados por el matemático Gastón Julia) sonuna familia de conjuntos fractales, que se obtienen al estudiar el comportamiento de losnúmeros complejos al ser iterados por una función holomorfa.
Una familia muy notable de conjuntos de Julia se obtienen a partir de funciones cuadráticassimples: fc(z) = z2 + c, donde c es un número complejo.
El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denota Jc.Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia de fc(z) = z2 + c es el siguiente:Para todo complejo z se construye por la siguiente sucesión:
z0 = z Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que z pertenece al conjunto de Julia deparámetro c, denotado por Jc; de lo contrario, z queda excluido de éste.
z0 = z
WEBGRAFÍA 1
• es.wikipedia.org
• www.topología.org
• www.colombiaaprende.com
• www.superchicos.net/index.htm
WEBGRAFÍA 2
• http://www.astrocosmo.cl/anexos/p-p_konigsberg.htm
• http://www.acanomas.com/DatoMuestra.php?Id=477
• http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/geometr2.htm
• http://ochoa.mat.ucm.es/~guzman/