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ORDEN DE UN SISTEMA
Orden de un sistema
• El orden de un sistema está definido por el grado de su ecuación característica
• Normalmente la ecuación característica (denominador) de un sistema tiene mayor grado que el numerador de la F. T.
• El orden de un sistema está determinado por el número de polos que hay en su F. T.
Identifique el orden de los sistemas
Sistema de primer orden• Sistema con un polo dominante
−1/�
� = ����� � �� ��� ���
� = ��������� �������� ����������
Sistema de Segundo orden
• Sistema con un par de polos dominantes
�� = ���� �!�"#$#% �#&"no#*+�%", #-#+.��� �!�"#-���/+/!#!�"#"(rad/s)
ζ = 6+�."�"�!%�-�#*+�%", #*"�!%+(nepers/s)7 = ,#!#!�"#+#%�! #�"+!# !#�!%�#-#�+!/%#!%�
Sistema de Segundo orden
• Sistema con un par de polos dominantes
8"��/�- 9&"�#%#*:"�!&+;#�#&#-"/%#!�"#-�&9+&+;#�"#�&�<�<�
Sistema de Segundo orden
• Amortiguamiento critico frente a una entrada escalón unitario
Sistema de Segundo orden
• Sobreamortiguamiento frente a una entrada escalón unitario
ζ > 1
= / =>��
?
/ / + A�� − �� A? − 1
BC
/ + A�� + �� A? − 1
BD
E % = [GH+G?��BCI + G?�
�BDI] K(%)
= / =GH
/+
G?
/ + #H+
GL
/ + #?
GH = >
G? =>��
?
−#H(#? − #H)
GL =>��
?
−#?(#H − #?)
Sistema de Segundo orden• Subamortiguamiento frente a una entrada
escalón unitario
ζ < 1
= / =>��
?
/ / + A�� − �� A? − 1
B�MN
/ + A�� + �� A? − 1
BOMN
=>��
?
/[ / + # ? + P?]
E % = > 1 − ��BI cos P% +#
P/�! P% K(%)
Sistema de Segundo orden
�+/R = AR = 45° = V/4
Efecto de duplicar �� Sin modificar el valor de ζ
Sistema de Segundo orden
Se sabe que de la ecuacion de arriba la deribada se hara cero para:
Por lo cual y(t) presenta pendiente cero para:
W&%"�*9+9"�+/�9��/�!%#�#�!%X
W&9+���!%#<�-�/+:���&+!,#�"+!/�-�."!�-�&#/", "�!%�*#!��#
Sistema de Segundo orden
Sistema de Segundo orden
Sistema de Segundo orden
Sistema con dos polos y un cero dominantes
�� = ���� �!�"#$#% �#&"no#*+�%", #-#+.��� �!�"#-���/+/!#!�"#"(rad/s)
Y = Z�&#�"+!-�9+/"/�"+!-�&���+�+!��/9��%+#&#.��� �!�"#!#% �#&
ζ = 6+�."�"�!%�-�#*+�%", #*"�!%+(nepers/s)7 = ,#!#!�"#+#%�! #�"+!# !#�!%�#-#�+!/%#!%�
Y > 1
Y < 1
Y =/]
��
/]/]
Sistema con dos polos y un cero dominantes caso sobre amortiguado
/] /]/]
Y > A + A? − 1 Y [ A � A? � 1 Y \ A � A? � 1
Y � ∞
Y � 0.4Y � 0.5
Y � 0.67
Y � 0.33
Y � 1.0Y � 1.5
��
Y/ @ 100
8? @ 258 @ 100
Sistema con dos polos y un cero dominantes caso críticamente amortiguado
/] /]
Y = ∞
Y = 0.4
Y � 0.5
Y � 0.67
Y � 0.33
Y � 1.0
Y � 1.5
��
Y/ @ 100
8? @ 208 @ 100
Y [1 Y \1
Sistema con dos polos y un cero dominantes caso críticamente amortiguado
Y = ∞
Y = 0.4
Y � 0.5
Y � 0.67
Y � 0.33
Y � 1.0
Y � 1.5
��
Y/ @ 100
8? @ 108 @ 100
Y [ 1
Y \ 1/]
/]
Porcentaje de sobreelongacion y tiempo de asentamiento.
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO• Cuando a un sistema sin excitar se le aplica repentinamente una
entrada, un sistema bien diseñado proporcionara una rápida transición y a la vez suave desde el estado inicial a la respuesta forzada, existirá un tiempo en el que la salida del sistema no este asentada o estable, este tiempo corresponde a la respuesta natural del sistema, cuando la salida es estable le llamaremos respuesta forzada, y es ahí en donde podemos tener un error que idealmente debe de ser cero o casi cero, pero en muchas ocasiones dependiendo del tipo de sistema será imposible que el error sea cero para un tipo característico de entrada.
Natural
Forzada
Natural Forzada
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
• Cosiderese el sistema para controlar el ángulo de un telescopio para visualizar un objeto particular, se obtiene la operación deseada si el ángulo del telescopio se mantiene exactamente igual a la línea de vista del objeto
• Si la entrada es un escalón de valor 0.5 (� % = 0.5 K(%))
• Siendo el error inicial de 0.5 y el error en estado estacionario (cuando % → ∞) de 0.02, bien para este caso el error representa un 20% lo cual no es muy aceptable
• Existe una forma de calcular el valor del error en estado estacionario que es aplicando el teorema del valor final
Aplicado al error
limi→]
/W(/) = limi→]
0,5 / + 2
/ + 50= 0.02
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
• Considérese que en el mismo sistema se cambia la función de transferencia de camino directo
• Si la entrada es un escalón de 0.5 (� % = 0.5 K(%))
limi→]
/W(/) = limi→]
0.5/ / + 2
(/?+2/ + 4)= 0
W / =0.5 / + 2
(/?+2/ + 4)
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
• Considérese que en el mismo sistema se cambia la función de transferencia de camino directo
• Si la entrada es una rampa con pendiente de 0.1 (� % = 0.1% K(%))
limi→]
/W(/) = limi→]
0.1 / + 2
(/?+2/ + 4)= 0.05
W / =0.1 / + 2
/(/? + 2/ + 4)
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
• En los ejemplos anteriores se observó que el sistema de primer orden fue capaz de seguir una entrada escalón, pero con un error constante en estado estacionario aproximadamente del 20% de la amplitud de la señal
• Mientras que este otro sistema logro un error cero frente a la misma entrada escalón, sin embargo al aplicarle una entrada rampa también presento un error en estado estacionario
Constantes de error y números de tipo
• El número de tipo se define por la cantidad de polos en el origen que tiene la función G(s)
• Se asume que N(s) y D(s) son polinomios con todas sus raíces distintas de cero, el número de tipo para el sistema mostrado es entonces igual a “k”, por lo tanto el número de tipo depende de las operaciones de integración (1/s) que aparecen en el camino directo de la función
= /
Z /=
$ /
/kl / + $(/)
Errores en estado estacionario con entradas polinomiales y constantes de posición, velocidad
y aceleración
s
s
s
Estos errores se deben al teorema de L’Hopital y del valor final
Numero de tipo
• En pocas palabras un sistema detipo n+1 puede aceptar entradaspolinomiales hasta de n-esimogrado y compensar con un erroren estado estacionario de valornulo, una entrada de grado n+1produciría un error en estadoestacionario constante, y unaentrada polinomial de mayorgrado produce un error noacotado, por lo tanto el sistemano puede seguir este tipo deentrada.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN1. El siguiente modelo representa el control de uno de los ejes de un sistema de seguimiento óptico (se puede usar en antenas fotoreceptoras, lanzadores de misiles para interceptar aviones enemigos, antenas de embarcaciones de seguimiento de satélites, etc.), Suponer que el comportamiento de seguimiento deseado se obtiene sólo si el error angular en estado estacionario es menor o igual que 0,01 rad, la señal de entrada es mn % = 0.05% para obtener un grado deseado de estabilidad transitoria el sistema también debe presentar A > 0.6, determinar el rango de valores de >] para que esto se cumpla
o / =12>]
/(/ + 10)
/o / =/12>]
/(/ + 10)
7p = limK→]
/o / =12>]
10= 1.2>]
mq /
mn /=
o /
1 + o(/)=
12>]/(/ + 10)
1 +12>]
/(/ + 10)
=12>]
/? + 10/ + 12>]
10 = 2Aωs = 2A 12>] ∴ A =5
12>]
7p = 1.2>]
A =5
12>]
�&/"/%�*#�/-�%"9+1E�&���+�/��#9#�# !#�!%�#-#
�#*9# 9+&"!+*"#&-�9�"*��,�#-+ mn % = 0.05% K(%)
limI→u
mv % = limK→]
/mv / =0.05
1.2>]0.05
1.2>]< 0.015 < 1.2>] ∴ 7p > 5
1.2>] > 5⋀5
12>]> 0.6
>]>5
1.2⋀
12>]
5<
1
0.6
>] > 4.16x⋀ 12>] <5
0.6
>] > 4.16x⋀12>] < 8. 3x ?
>] > 4.16x⋀>] < 8. 3x ?/12
>] > 4.167⋀>] < 5.787
∴
4.167 < >] < 5.787
• Supongase ahora que se escoge >] = 5
• Al verificar en simulink se observa que el error se encuentra entre 0.009 y 0.008 lo cual es menor que lo especificado, por otro lado el valor de A > 0.6 garantiza que no se tenga un %OS menor al 10% por ser un sistema de segundo orden, el utilizar un valor de >] menor al rango determinado produciría que el error no sea menor al especificado, y por el contrario si se usa un valor mayor al rango se producirá un máximo sobreimpulso por encima del 10% presentando muchas oscilaciones.
5
>] = 3, mvzz > 0.01 >] = 4, mvzz > 0.01 >] = 6,%|8 > 10% >] = 6,%|8 > 10%
Ejercicio de Tarea
• Encuentre el rango de los valores de >] para que el sistema tenga un error menor al 0.008 y no exceda del 25% de sobre elongación, seleccione los valores límite y simule el comportamiento
Aumento del número de tipo• Se puede pensar que si al sistema anterior se le podría realizar
un aumento del número de tipo colocando otro integrador en el camino directo, sin embargo el sistema se volvería inestable debido a que la función de transferencia presentaría un coeficiente nulo en su ecuación característica.
• existe una manera de que esto se pueda cumplir y consiste en añadir un integrador en un camino paralelo a el controlador proporcional, a esto se le llama controlador PI
Analisis de la funcion de transferencia al aumentar el numero de tipo
• o / =H?k}
KD(KOH])
•~� K
~� K=
� K
HO�(K)=
CD�}
zD(z�C�)
HOCD�}
zD(z�C�)
=H?�}
K�OH]KDOH?�}
• Como ya se explico este sistema es inestable ya que la ubicación de dos de los polos es siempre en el semiplano derecho de Laplace
• En la gráfica se incrementa juntamente 7� desde 0 hasta infinito
x
x
x
Analisis de la funcion de transferencia al aumentar el numero de tipo
• o / =H?(��KOk})
KD(KOH])
•~� K
~� K=
CD(��z��})
zD(z�C�)
HOCD(��z��})
zD(z�C�)
=H?(��KOk})
K�OH]KDOH?k�KOH?�}
• Este sistema no puede considerarse inestable ya que el lugar de las raíces siempre está en el semiplano izquierdo de Laplace
• En la gráfica se incrementan juntamente 7� E>] desde 0 hasta infinito se observa que el cero no se mueve pero si se incrementaran en forma no proporcional el comportamiento sería diferente, una ganancia infinita cancelaria el cero con un polo
xxx
x
x
xoo
o
Ejemplo 2
• Suponga que el sistema de seguimiento óptico trata de seguir un avión para derribarlo el sistema debe poder lanzar un misil con el mínimo error hacia el objetivo, la velocidad del avión es de 530m/s a una altura de 3400m, la posición de reposo del sistema es vertical como se muestra y el avión es detectado en t=0s
Ejemplo 2
• Obsérvese que el error máximo se obtiene justo cuando el avión pasa por encima del detector a los 15 segundos, es importante considerar que el valor de >]para este sistema es de 5 y se simulo en simulink con estos parametros
Ejemplo 2
• Si la función de transferencia de Laplace que relaciona el error y la entrada se expande en serie de potencias como función de s entonces:
En este caso:
• Debido a que el valor de c2 es muy pequeño considerando el valor de K0 de 5 solo tomaremos el primer coeficiente diferente de cero
0.1260.833
5= 0.0259896
�KK % = �]� % + �H�� % + �?��(%)+…
Ejemplo 2
G *�!%#��&! *��+-�%"9+
��- ���&���+�
Tarea
• Encuentre por serie de potencias la línea punteada de la gráfica y realice la gráfica en un graficador como geogebra
Tarea
• Suponga que el sistema de seguimiento óptico trata de seguir un avión para derribarlo el sistema debe poder lanzar un misil con el mínimo error hacia el objetivo, la velocidad del avión es de 530(1+0.05t)m/s a una altura de 3000m, la posición de reposo del sistema es vertical como se muestra y el avión es detectado en t=0s
• A) Realice el análisis del error considerando los sistemas de abajo para los cuales >] = 4.7 y 7� = 5.2
• B) Obtenga por series de potencias el error usando una serie de potencias truncada considerando el primer coeficiente diferente de cero y graficar en geogebra
• C) Realizar la simulación de ambos casos
Tarea
• Introducir las entradas sinusoidales a cada uno de los dos sistemas de abajo y determinar el error usando fasores, realizar la simulación, no considerar el error en el transitorio de la respuesta natural, revisar el ejemplo de la página 193 del libro de Paul H. Lewis.
• A) mq / = 5 cos 10% K I
• B) mq / � 7 sen 20% K I
• C) mq / = 6 cos 30% − 36° K I
• D) mq / = [7/�! 10% @ 3 cos 10% ] K I
Una técnica feedfodward
• Dada la función de transferencia que relaciona el error con la entrada si oX / = 1/o�(/) es evidente que el numerador de dicha función se volvería cero, sin embargo no es un método muy usual ni practico realizarlo, pero se puede realizar una cancelación parcial para aumentar al número de tipo si por ejemplo o� = />�, es decir se utiliza una ganancia proporcional y un derivador en lugar de una función de transferencia reciproca de oX /
Una técnica feedfodward• En el siguiente ejemplo la función de
transferencia y la relación de error con la entrada son:
• Si el valor de >� /�#< /%##4
• Se hace evidente el aumento del número de tipo ya que si >� no está presente o vale cero
el sistema es de tipo 1, una buena sintonización de >� hará que el sistema pase
a ser de tipo 2
/>�
= /
Z /=
8/ + 16
/? + 8/ + 16 = /
Z /=
$ /
/kl / + $(/)
Una técnica feedfodward• La desventaja de esta técnica para aumentar el número de tipo radica en que es
muy difícil sintonizar con exactitud el valor de >� para aumentar el número de tipo,
sin embargo aunque no se logre hacer con exactitud producirá una gran disminución en el error en estado estacionario, y no alterara demasiado el carácter de la respuesta debido a que el orden del sistema permanece inalterado ya que la ecuación característica del sistema no se alterara, lo cual si ocurre al colocar un controlador PI en el camino directo para aumentar el número de tipo, se aumenta el número de tipo juntamente con la ecuación característica.
/>�
TAREA• Utilizando la técnica feedfodward y considerando que >] = 5 (sistema de la
izquierda) modifique el sistema para que se vuelva de tipo 2, determinar el valor de >� y simular en simulink y medir el error para una entrada mn % = 0.05% K(%),
simule usando un valor de >� 10% superior y 10% inferior, simular también el
sistema de tipo 2 que esta abajo y diga cuál considera que es la mejor opción para aumentar el número de tipo.