optimizaciÓn de los parÁmetros de corte en la rugosidad …
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OPTIMIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE CORTE EN LA
RUGOSIDAD EN UN ACERO AISI SAE 1045
LÓPEZ CESPEDES LUIS CARLOS
CASTRO AYALA HECTOR DUVIER
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE TECNOLOGÍA, MATERIALES Y PROCESOS DE
MANUFACTURA
BOGOTÁ
JUNIO 27 de 2016
OPTIMIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE CORTE EN LA
RUGOSIDAD EN UN ACERO AISI SAE 1045
LÓPEZ CESPEDES LUIS CARLOS
CASTRO AYALA HECTOR DUVIER
Tecnología mecánica
Monografía para optar el título de tecnólogos mecánicos
ING. JONNY RICARDO DUEÑAS ROJAS
Tutor
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE TECNOLOGIA, MATERIALES Y PROCESOS DE
MANUFACTURA
BOGOTA
JUNIO 27 de 2016
Nota de aceptación
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________
Ing. Jonny Ricardo Dueñas Rojas
____________________________
Ing. Alexander Alvarado Moreno
Bogotá 27 de junio de 2016
ÍNDICE DE CONTENIDO
RESUMEN…………………………………………………………………...7
ABSTRACT……………………………………………………………….....8
PALABRAS CLAVE………………………………………………………..9
1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………..10
2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………..12
2.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA…………………………..12
2.2. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA……………………………..13
3. OBJETIVOS…………………………………………………………..…14
3.1. OBJETIVO GENERAL…………………………………………….14
3.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS…………………………………...…14
4. MARCO TEÓRICO……………………………………………………..15
4.1. ACERO………………………………………………………………15
4.1.1. CLASIFICACIÓN……………………………………………....15
4.1.2. ACERO AISI SAE 1045……………………………………….16
4.2. PARÁMETROS DE CORTE……………………………………....17
4.3. HERRAMIENTAS DE CORTE……………………………………18
4.4. RUGOSIDAD………………………………………………………..18
4.4.1. RUGOSÍMETRO………………………………………….……21
4.5. INTERPOLACIÓN MULTIVARIADA…………………………….22
4.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE………………………….24
4.6.1. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA
FUNCIONES DE DOS VARIABLES…………………………….24
4.6.2. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA
FUNCIONES DE TRES VARIABLES DE SUPERFICIE……..25
4.6.3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA
FUNCIONES DE TRES VARIABLES EN UNA CURVA….…26
4.7. MÉTODO DEL GRADIENTE……………………………………...27
4.8. DISEÑO DE TAGUCHI…………………………………………….29
5. MATERIALES Y MÉTODOS…………………………………………..31
5.1. OBTENCIÓN DE LOS PARÁMETROS DE CORTE Y LAS
VARIABLES A ANALIZAR………...…………………………….31
5.2. PROCEDIMIENTO EXPERIEMNTAL…………………………....32
5.3. ANÁLISIS MATEMÁTICO………………………………………...41
6. CONCLUSIONES……………………………………………………….65
7. GLOSARIO………………………………………………………………67
8. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………69
ÍNDICE DE TABLAS
TABLA 1. PROPIEDADES MECÁNICAS DEL ACERO AISI SAE 1045…………..16
TABLA 2. PROPIEDADES QUÍMICAS DEL ACERO AISI SAE 1045……………..17
TABLA 3. APLICACIONES MÁS USUALES DE LOS ESTADOS
SUPERFICIALES………………………………………………………………………..21
TABLA 4. ARREGLO ORTOGONAL L9 (3)3………………………………………....29
TABLA 5. PARÁMETROS DE CORTE (VARIABLES CONTROLABLES)……….30
TABLA 6. PARÁMETROS DE CORTE (VARIABLES NO CONTROLABLES)…..31
TABLA 7: CARACTERÍSTICAS Y ESPECIFICACIONES DE LOS INSERTOS….33
TABLA 8: RESULTADOS OBTENIDOS EN LAS PRUEBAS………………………39
TABLA 9: RESULTADOS PRUEBAS DE OPTIMIZACIÓN EN EL
LABORATORIO.....................................................................................................63
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 1. DESVIACIÓN MEDIA ARITMÉTICA DE LA RUGOSIDAD [Ra]....….20 FIGURA 2. CENTRO DE MECANIZADO LEADWELLV20-i...……………….…....31 FIGURA 3. HERRAMIENTA DE CORTE T2 DE 20 MM DE DIÁMETRO...………32 FIGURA 4. INSERTOS MITSUBISHI AOMT123608PEER-M VP15TF.…………..33 FIGURA 5. PROBETA DE ACERO AISI SAE 1045………………………………...34 FIGURA 6. RUGOSÍMETRO MARSURF PS1…………………….………………....35 FIGURA 7. ESTEREOSCOPIO ZEISS……………….……………………………….36 FIGURA 8. INSERTOS SIN DESGASTE (NUEVOS) A DIFERENTES NIVELES DE AUMENTO………………………………….........................................................37 FIGURA 9. FLANCOS DE LOS INSERTOS SIN DESGASTE (NUEVOS) A DIFERENTES NIVELES DE AUMENTO…………………………......……..………..37 FIGURA 10. INSERTOS DESPUÉS DE REALIZADAS LA MITAD DE LAS PRUEBAS (18) A DIFERENTES NIVELES DE AUMENTO……..…………………38 FIGURA 11. INSERTOS DESPUÉS DE REALIZADAS TODAS LAS PRUEBAS (36) A DIFERENTES NIVELES DE AUMENTO………………….....……..………..38
7
RESUMEN
En este proyecto se realizaron varias operaciones de planeado al azar con
diferentes parámetros de corte (velocidad de corte, avance y profundidad), además
con variables no controlables (presión del refrigerante, insertos nuevos y con
desgaste) sobre un acero AISI SAE 1045, en el centro de mecanizado de la
universidad Distrital Francisco José de Caldas; donde se tomaron los resultados de
rugosidad superficial a medida que se cambiaron los parámetros mencionados con
un rugosímetro, el cual suministraba los datos de Ra y Rz, la obtención de estos
datos se realizó según el método de Taguchi, en el cual se menciona el número de
pruebas y la combinación para obtener los mejores resultados, de los cuales se
obtuvo el promedio y de ahí los datos finales.
Después de realizado esto, se implementó el método de polinomios por medio de
la interpolación multivariada de Lagrange, con los cuales se pudieron realizar las
respectiva pruebas para comprobar que los polinomios estaban planteados
correctamente, y se pudieron optimizar por medio del método del gradiente, todo
esto se logró bajo las medidas establecidas y aunque los procesos no funcionaron
de la manera esperada estuvieron dentro del promedio obtenido.
8
ABSTRACT
In this project several operations planned random with different cutting parameters
(cutting speed, feed and depth), along with uncontrollable variables (pressure of the
refrigerant, inserts new and wear) on a AISI SAE 1045 steel were performed in the
machining center of the District university Francisco José de Caldas; where the
results of surface roughness were taken as parameters mentioned a profilometer,
which supplied the data of Ra and Rz, obtaining this data was performed according
to the method of Taguchi changed, in which the number mentioned and testing the
combination for best results, of which the average and hence the final data was
obtained.
After this is done, the method of polynomials are implemented by means of
multivariate Lagrange interpolation, with which could perform the respective tests to
check polynomials were raised properly, and could be optimized by the gradient
method, all this was achieved under the established measures and although the
process did not work as expected were within the average obtained.
9
PALABRAS CLAVE
CNC Control numérico computarizado.
RA Valor de rugosidad media.
RZ Profundidad de la rugosidad media.
µm Micrómetro
µin Micro pulgada
µN Micro Newton
s Velocidad de husillo
Vc Velocidad de corte
f Velocidad de avance
P Profundidad
k Desgaste
r Presión del refrigerante
L Arreglo ortogonal
kW kilovatio
H Hessiano
10
1. INTRODUCCIÓN
La optimización de los parámetros de corte es un tema muy importante para la
industria, ya que del mecanizado dependen varios factores que pueden ser
determinantes al momento de hacer uso de cualquier material, por ejemplo la
rugosidad. Deben considerarse muchos factores al momento de mecanizar una
pieza, por ejemplo saber en qué se utilizará y bajo qué condiciones, porque un
deficiente mecanizado puede causar un aumento de los esfuerzos en la superficie
del material y por ende su ruptura, ésta se puede evitar dándole un mejor manejo a
los parámetros de corte usados en el mecanizado.
Es por esto que hoy en día se busca aumentar la vida útil de las herramientas de
corte y al hacer esto reducir costos y aumentar la eficiencia de la pieza que se esté
utilizando, esto puede lograrse variando parámetros como la velocidad de
alimentación, velocidad de avance, profundidad de corte o la geometría en el radio
de la herramienta; no son solo las variables que se tienen en cuenta al mecanizar,
son más que eso, son parámetros de corte que cada vez más se están investigando,
modificando y combinando para lograr un perfecto acabado superficial.
Para el desarrollo de este proyecto se pretende analizar un acero AISI SAE 1045,
tomando parámetros como las mencionadas previamente las cuales pueden afectar
la rugosidad de este material al momento de mecanizarlo, se examinaran los valores
recomendados para mejorar el acabado superficial de la pieza y con éstos se
pretende encontrar un conjunto de medidas que satisfagan las expectativas.
El pertinente análisis se pretende hacer por medio de una maquina CNC en varias
pruebas y además con variables no controladas como la presión del refrigerante e
insertos nuevos y unos que se desgastaron en su flanco por abrasión, ya que es la
perdida de material de la herramienta más común y ocurre cuando materiales más
11
duros que la herramienta toman contacto con ésta rayándola y desgastándola1;
donde se evidencie la forma en que la variación de parámetros afecte el acabado
superficial de la pieza, logrando una combinación óptima de dichos parámetros, lo
anterior se pretende hacer utilizando un rugosímetro, instrumento de medida
bastante preciso en la medición de pequeñas irregularidades e imperfecciones en
la superficie de los materiales.
1http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:dLywQlswWNEJ:campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/43278/mod_fold
er/content/0/Unidad%25203_A.pdf%3Fforcedownload%3D1+&cd=2&hl=es&ct=clnk&gl=co
12
2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
2.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Para mecanizar una pieza de metal (en este caso un acero AISI SAE 1045), se
necesitan diferentes elementos y tomar en cuenta varias recomendaciones al
momento de darle el acabado superficial que se desea, no solo del fabricante o del
material, también la integridad de la herramienta con la que se van a realizar las
pruebas; pero a su vez se deben considerar factores como los económicos, de
tiempo y el problema de la rugosidad que termina siendo determinante al momento
de llegar al acabado que se desea obtener.
En este proyecto de grado se busca estimar la rugosidad final del acero AISI SAE
1045, dependiendo de los valores inicialmente tomados por medio de funciones
polinómicas, todo esto para evitar un desgaste innecesario de la herramienta de
corte y un acabado superficial no deseado en un procesos de planeado realizado
en un centro de mecanizado.
13
2.2. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
En la industria, se destina mucho dinero a los procesos de mecanizado, en los
cuales se desperdicia gran cantidad de recursos por la mala distribución, los
parámetros de corte erróneos, no se tiene en cuenta la vida útil de las herramientas
o porque se desconocen varios factores que influyen en estos procesos; todo esto
se encuentra principalmente en las empresas más pequeñas, donde no cuentan con
modelos avanzados o conocimientos sobre las problemáticas mencionadas
anteriormente; también porque no suele tenerse en cuenta además de los
parámetros tecnológicos, la herramienta que se va a utilizar, la rugosidad que se
desea obtener y el tiempo que se tiene. A menudo se realizan pruebas
experimentales para saber los parámetros óptimos para lo que se desea o lo que
se quiere de ese material pero éstas suelen llevar mucho tiempo y aumentan los
gastos.
Para prevenir los inconvenientes descritos anteriormente debe realizarse un estudio
riguroso, definir lo que se tiene para realizarlo y lo que se necesita para conseguir
que el resultado final sea el esperado. Es por esto que en este proyecto se busca
establecer unos modelos matemáticos de una sencilla comprensión para que sean
utilizados en la estimación de la rugosidad, en un acero comúnmente usado en la
industria como lo es el acero al carbono AISI SAE 1045, con la herramienta de corte
que más adelante se mencionará para obtener el mejor acabado superficial que este
acero puede ofrecer y para reconocer el comportamiento del material a diferentes
cambios que se hagan en un proceso de manufactura.
14
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL
Determinar la influencia de los parámetros de corte en la rugosidad superficial en
un acero AISI SAE 1045.
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Definir los parámetros tecnológicos de avance, velocidad de corte y
profundidad óptimos de acuerdo a las condiciones de mecanizado
establecidas.
Analizar la variación de rugosidad en un acero AISI SAE 1045 por medio de
pruebas de mecanizado y expresiones matemáticas que nos lleven a la
aplicación del método de interpolación multivariada de Lagrange.
Minimizar la rugosidad en función de los parámetros tecnológicos utilizando
formulaciones matemáticas por el método de multiplicadores de Lagrange
que nos lleven a la optimización esperada.
15
4. MARCO TEÓRICO
4.1. ACERO
El acero es una aleación de hierro principalmente y un porcentaje de carbono, en
proporción inferior al 2%. Es dúctil, tenaz, conductor de electricidad, con
magnetismo permanente, y maleable. Es además, duro, dependiendo su dureza de
la cantidad de carbono que forme parte de su composición2.
4.1.1. Clasificación
Según la norma AISI (American Iron and Steel Institute) utiliza un esquema general
para realizar la especificación de los aceros mediante 4 números:
AISI ZYXX
Además de los números anteriores, las especificaciones AISI pueden incluir un
prefijo mediante letras para indicar el proceso de manufactura. Decir que las
especificaciones SAE emplean las mismas designaciones numéricas que las AISI,
pero eliminando todos los prefijos literales.
El significado de los anteriores campos de numeración es la siguiente:
XX indica el tanto por ciento (%) en contenido de carbono (C) multiplicado por 100;
Y indica, para el caso de aceros de aleación simple, el porcentaje aproximado del
elemento predominante de aleación; Z indica el tipo de acero (o aleación)3. El acero
AISI SAE 1045 es un acero corriente, no aleado y con un 0.45% de carbono.
2 http://deconceptos.com/ciencias-naturales/acero 3 http://ingemecanica.com/tutorialsemanal/tutorialn101.html#seccion35
16
4.1.2. Acero AISI SAE 1045.
Es un acero de medio carbono, posee baja soldabilidad y buena maquinabilidad,
responde al tratamiento térmico y al endurecimiento por llama o inducción, pero no
es recomendado para cementado y cianurado. Por su dureza y tenacidad es
utilizado para la fabricación de componentes de maquinaria.
Por sus características de temple, se tiene una amplia gama de aplicaciones
automotrices y de maquinaria en general de resistencia media, tales como: ejes,
semiejes, cigüeñales, engranajes, piñones, cuñas, tornillos, pernos, martillos,
pasadores, remaches, partes mecánicas y herramientas agrícolas4.
TABLA 1. PROPIEDADES MECÁNICAS DEL ACERO AISI SAE 10454
4 http://www.acerosbravo.cl/imgmodulo/Imagen/112.pdf
17
TABLA 2. PROPIEDADES QUÍMICAS DEL ACERO AISI SAE 10454
4.2. PARÁMETROS DE CORTE
Velocidad de corte: Esta se define como la velocidad tangencial de un punto
situado específicamente en la superficie o cara externa de la herramienta,
normalmente sus unidades de medida son m/min y se calcula mediante la
ecuación:
𝑽𝒄 =𝑺. 𝑫. 𝝅
𝟏𝟎𝟎𝟎
S: velocidad de giro de la herramienta
La velocidad de giro de la herramienta está dada normalmente en Rev. /min
D: diámetro de la herramienta en mm
Velocidad de avance: es la velocidad lineal del centro de la herramienta, es
decir es la velocidad con que el centro de giro de la herramienta se desplaza
linealmente sobre la superficie del material; sus unidades de medida están
dadas en unidades de velocidad lineal (mm/min).
Profundidad: se puede definir como el punto más hondo al cual llega la
herramienta de corte en el mecanizado.
18
4.3. HERRAMIENTAS DE CORTE
Las herramientas de corte son aquellas que se encargan de la remoción de viruta
en el mecanizado, dichas herramientas deben cumplir con ciertos requerimientos
para su correcto funcionamiento y para que su vida útil sea óptima. Algunas de estas
características son:
• Alta dureza y resistencia al desgaste a alta temperatura
• Debe tener una adecuada rigidez y ductilidad
• Adecuadas propiedades térmicas
• Baja fricción con la pieza de trabajo
Algunos materiales que cumplen con estos requerimientos son los aceros de alto
carbono, aceros aleados, aceros rápidos, carburos metálicos, materiales cerámicos,
diamantes y materiales abrasivos5.
4.4. RUGOSIDAD
La rugosidad consiste en una serie de pequeñas irregularidades presentes en las
superficies físicas las cuales caracterizan el acabado y textura de esta, a su vez
presenta un conjunto de patrones los cuales son dejados por distintas razones.
Existen dos tipos de errores en las irregularidades superficiales los macro-
geométricos y los micro-geométricos, los macro-geométricos son aquellos que
pueden ser definidos por medios e instrumentos convencionales de medición como
micrómetros, relojes comparadores, etc. Los micro-geométricos son aquellos que
5 http://www.salacam.unal.edu.co/descargas/PM%20HC.pdf
19
no se pueden determinar de este modo y por ende son los conocidos como
rugosidad.
Dentro de las irregularidades superficiales que son comúnmente causadas en el
mecanizado se pueden encontrar distintos tipos como lo son:
Rugosidades: Este tipo de irregularidades son dejadas por la herramienta en el
momento de la fabricación de la pieza la forma en que se presentan varían según
el tipo de mecanizado, máquina-herramienta o proceso realizado en la fabricación.
Ondulaciones: Son causadas por los desajustes en las maquinas-herramientas
utilizadas en el mecanizado, estos pueden ser vibraciones, falta de calibración, etc.
Imperfecciones mixtas: En este tipo se presentan los dos tipos de imperfecciones
mencionadas previamente de manera conjunta
Dentro de los métodos utilizados para la medición de la rugosidad se encuentran
aquellos que son de contacto y los que no. En los métodos de contacto se
encuentran los que son hechos por instrumentos de medición como el rugosímetro,
instrumento principal de medida en el desarrollo de este proyecto; en los métodos
que no requieren contacto se utilizan herramientas mucho más especializadas tales
como métodos ópticos y de visualización computarizada que a su vez usan distintos
tipos de algoritmos o redes neuronales computarizadas para su correspondiente
análisis y correcta visualización.
En el momento de hablar de rugosidad se deben tener en cuenta varios
componentes de la misma a pesar de que comúnmente en la medición de esta solo
se tome en cuenta su valor promediado. Los principales son:
Altura máxima del perfil (Ry): esta es la distancia que hay entre el pico más
alto y el valle más bajo en las irregularidades presentadas a lo largo de la
superficie medida.
20
Altura de las irregularidades en diez puntos, Rz: es la media de los valores
de las cinco crestas más altas (yp) y los cinco valles más bajos (yv)
encontrados a lo largo de la superficie medida (l), además puede calcularse
por medio de la siguiente ecuación:
𝑅𝑧 =∑ |𝑦𝑝𝑖| + ∑ |𝑦𝑣𝑖|
5𝑖=𝑙
5𝑖=𝑙
5
Valor de la rugosidad media aritmética del perfil (Ra): es la media de los
valores correspondientes a las irregularidades encontradas a lo largo de la
superficie medida (l)
𝑅𝑎 =1
𝑙∫ |𝑦(𝑥)|𝑑𝑥
𝑙
0
Figura 1: Desviación media aritmética de la rugosidad [Ra]6
Desviación media cuadrática del perfil (Rq): es el valor medio cuadrático de
las irregularidades presentes en la superficie, está dado por6:
𝑅𝑞 = √1
𝑙∫ 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
6 http://ocw.upm.es/expresion-grafica-en-la-ingenieria/ingenieria-grafica-metodologias-de-diseno-para-
proyectos/Teoria/PDFs/3_INFORMACION_TECNICA/3.2_ACABADOS_SUPERFICIALES_DE_PROTECCION_FUNCIONALES_Y_DECORATIVOS/3-2-1_acabados_rugosidad.pdf
21
4.4.1. Rugosímetro
El rugosímetro es un instrumento de medida el cual se utiliza para medir la rugosidad
superficial de una superficie, metálica en este caso, dicha medida es dada en
micrómetros (µm), la rugosidad comúnmente entregada por el instrumento es el
valor de la altura máxima del perfil (Ry), rugosidad media aritmética (Ra) o la altura
de las irregularidades en diez puntos (Rz) dependiendo del rugosímetro, este
instrumento posee un palpador el cual se desplaza a lo largo de la superficie del
material y así detecta los valores de rugosidad y nos da su valor promediado como
se mencionó previamente.
Existen varios tipos de rugosímetro de acuerdo al tipo de palpador que poseen
algunos de estos son el palpador inductivo, capacitivo, piezoeléctrico, rugosímetro
de patín mecánico, rugosímetro laser con palpador y el rugosímetro con palpador
laser.
CONTROL DE LA RUGOSIDAD
Sin sobre
medida para
mecanizado y
sin arranque
de viruta
Clase de
Rugosidad
Profundidad
de Aspereza
micras (µm)
Estado
Superficial
Procedimiento Aplicaciones
N 12
N 11
50
25
Basto sin
eliminación
de rebabas
Basto, pero sin
rebabas
Forja, fundición.
Forja, fundición y
oxicorte
de calidad
Bastidores de
máquinas
agrícolas.
Maquinaria
agrícola en
general
N 10
N 9
12.5
6.3
Desbastado,
marcas
apreciables al
tacto y visibles
Lima
Torno
Fresadora
Agujeros
Avellanados
Superficies no
funcionales.
Con sobre
medida para
mecanizado y
arranque de
viruta
N 8
N 7
3.2
1.6
Marcas
ligeramente
perceptibles al
tacto.
Lima, torno o
fresadora con mayor
precisión.
Ajustes duros
Caras de piezas.
N 6
N 5
0.8
0.4
Acabado muy
fino,
marcas no
visibles ni
perceptibles al
tacto.
Preparación previa
en torno o fresadora
para acabar con
rasqueteado,
escareado, etc
Ajustes
deslizantes
Correderas
Aparataje de
medida y
control.
22
N 4
N 3
N 2
N 1
0.2
0.1
0.05
0.025
Acabado
finísimo,
especular.
Marcas
totalmente
visibles
Acabado final
mediante lapeado
(acabado con
abrasivo), bruñido o
rectificado de calidad
Calibres y piezas
especiales de
precisión.
Tabla 3: Aplicaciones más usuales de los estados superficiales7.
4.5. INTERPOLACIÓN MULTIVARIADA
En general, el problema de interpolación polinómica podemos plantearlo de la
siguiente forma:
Dado el conjunto cerrado �̅� de puntos dato (𝑥1𝑖1 , 𝑥2
𝑖2,…, 𝑥ℎ𝑖ℎ), y sus valores dato
asociados 𝑓(𝑥1𝑖1 , 𝑥2
𝑖2 , … , 𝑥ℎ𝑖ℎ), con 𝑖1 , 1,…, 𝑛1 , 𝑖2 = 0,1,…, 𝑛2 ,…, 𝑖ℎ = 0,1,…, 𝑛ℎ , se
quiere encontrar un polinomio 𝑝 ∈ 𝒫𝑛1,𝑛2,…,𝑛ℎ del espacio vectorial:
𝒫𝑛1,𝑛2,…,𝑛ℎ= {𝑝 ∶ 𝑝 (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥ℎ) = ∑ 𝑎𝑐1,𝑐2,… ,𝑐ℎ
𝑥1𝑐1
0≤𝑐1≤𝑛10≤𝑐2≤𝑛2
⋮0≤𝑐ℎ≤𝑛ℎ
𝑥2𝑐2 ⋯ 𝑥ℎ
𝑐ℎ , 𝑎𝑐1,𝑐2,… ,𝑐ℎ 𝜖 ℝ}
(11)
de todos los polinomios de grado menor o igual que 𝑛1 en 𝑥1, que 𝑛2 en 𝑥2,…, y
que 𝑛ℎ en 𝑥ℎ tal que,
𝑝(𝑥1𝑖1 , 𝑥2
𝑖2 , … , 𝑥ℎ𝑖ℎ ) = 𝑓 (𝑥1
𝑖1 , 𝑥2𝑖2 , … , 𝑥ℎ
𝑖ℎ )
Para todo punto dato del conjunto �̅�, los valores 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐ℎ son exponentes,
mientras que 𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖ℎ son índices que referencian a un elemento dentro de la
malla de puntos dato �̅�. Además, se cumple que 𝒫𝑛1,𝑛2,…,𝑛ℎ⊂ 𝒫𝑚 con 0 ≤ 𝑐1 +
7 http://www.monografias.com/trabajos70/diferentes-tipos-acabados/diferentes-tipos-acabados3.shtml
23
𝑐2 + ⋯ + 𝑐ℎ ≤ 𝑚, y si los puntos dato son distintos entre si, entonces el polinomio
que cumple (11) es único.
Para resolver este problema de interpolación podemos escoger el subespacio
vectorial de los polinomios de Lagrange.
Sea el espacio vectorial,
ℒ𝑛1,𝑛2 ,…,𝑛ℎ=
{𝑝 ∶ 𝑝 (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥ℎ) = ∑ 𝑎𝑖1,𝑖2,… ,𝑖ℎ 0≤𝑖1≤𝑛1
0≤𝑖2≤𝑛2⋮
0≤𝑖ℎ≤𝑛ℎ
𝑙𝑛1
𝑖1 (𝑥1) ⋯ 𝑙𝑛1
𝑖1 (𝑥ℎ) , 𝑎𝑖1,𝑖2,… ,𝑖ℎ 𝜖 ℝ}
formado por polinomios de grado menor o igual que 𝑛1 en 𝑥1, …, de grado menor o
igual que 𝑛ℎ en 𝑥ℎ , siendo,
𝑙𝑛1
𝑖1 (𝑥1) = ∏ (𝑥1 − 𝑥1
𝑗)
𝑛1𝑗=0,𝑗≠𝑖1
∏ (𝑥1𝑖1 − 𝑥1
𝑗)𝑛1𝑗=0,𝑗≠𝑖1
, … , 𝑙𝑛ℎ
𝑖ℎ (𝑥ℎ) = ∏ (𝑥ℎ − 𝑥ℎ
𝑗)𝑛ℎ𝑗=0,𝑗≠𝑖ℎ
∏ (𝑥ℎ𝑖ℎ − 𝑥ℎ
𝑗)𝑛ℎ𝑗=0,𝑗≠𝑖ℎ
los polinomios de Lagrange correspondientes a cada una de las dimensiones del
punto dato. Se puede demostrar, que, una solución al problema de interpolación
planteado en (11) es
𝑝 (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥ℎ) = ∑ 𝑓(𝑥1𝑖1 , 𝑥2
𝑖2 , … , 𝑥ℎ𝑖ℎ)
, 0≤𝑖1≤𝑛1
0≤𝑖2≤𝑛2⋮
0≤𝑖ℎ≤𝑛ℎ
𝑙𝑛1 ,…,𝑛ℎ
𝑖1 ,…,𝑖ℎ (𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥ℎ)
Con
𝑙𝑛1 ,…,𝑛ℎ
𝑖1 ,…,𝑖ℎ (𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥ℎ) = 𝑙𝑛1
𝑖1 (𝑥1) ⋯ 𝑙𝑛ℎ
𝑖ℎ (𝑥ℎ)
La base {𝑙𝑛1 ,…,𝑛ℎ
𝑖1 ,…,𝑖ℎ (𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥ℎ)} ,𝑖1=0 ,… ,𝑛1
⋮𝑖ℎ=0 ,… ,𝑛ℎ
del espacio vectorial ℒ𝑛1,𝑛2 ,…,𝑛ℎ verifica
que la matriz generalizada de Gram es la matriz idéntica. Además, la solución es
única por tener matriz de Gram regular8.
8 http://campus.usal.es/~3cm/sites/default/files/3CM-18.pdf
24
4.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
4.6.1. Multiplicadores de Lagrange para funciones de dos variables
Sea 𝑓: (𝑥, 𝑦) ∈ U ⊆ ℝ2 → 𝑓: (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ una función y sea C ⊆ U una curva de
ecuación implícita 𝑔 (𝑥, 𝑦) = 0. Se dice que 𝑓 alcanza en 𝑥0, 𝑦0 ∈ C un máximo
relativo sujeto (condicionado) a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, si existe un disco D
centrado en (𝑥0, 𝑦0 ) tal que 𝑓 (𝑥0, 𝑦0 ) ≥ 𝑓 (𝑥, 𝑦) para todo (𝑥, 𝑦) ∈ D ∩ C ((𝑥, 𝑦) ∈
D y g(𝑥, 𝑦) = 0).
Se dice que 𝑓 alcanza en (𝑥0, 𝑦0 ) ∈ C un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la
restricción g(𝑥, 𝑦) = 0, si existe un disco D centrado en (𝑥0, 𝑦0 ) tal que 𝑓 (𝑥0, 𝑦0 ) ≤
𝑓 (𝑥, 𝑦) Para todo (𝑥, 𝑦) ∈ D ∩ C ((𝑥, 𝑦) ∈ D y g(𝑥, 𝑦) = 0).
En ambos casos decimos que 𝑓 alcanza en (𝑥0, 𝑦0 ) ∈ C un extremo relativo sujeto
(condicionado) a la restricción g(𝑥, 𝑦) = 0.
En las condiciones anteriores, supongamos que 𝑓 alcanza un extremo relativo en el
punto (𝑥0, 𝑦0 ) sujeto a la restricción g(𝑥, 𝑦) = 0 y que las funciones 𝑓 y 𝑔 tienen
derivadas parciales continuas en un disco D centrado en (𝑥0, 𝑦0 ). Si 𝐷𝑔(𝑥0, 𝑦0 ) ≠
0, entonces existe un numero 𝜆 ∈ ℝ (llamado multiplicador de lagrange) tal que
𝐷𝑓(𝑥0, 𝑦0 ) = 𝜆 ∙ 𝐷𝑔(𝑥0, 𝑦0 ) es decir, se verifica que {𝑓𝑥 (𝑥0, 𝑦0 ) = 𝜆 𝑔𝑥 (𝑥0, 𝑦0 ),
𝑓𝑦 (𝑥0, 𝑦0 ) = 𝜆 𝑔𝑦 (𝑥0, 𝑦0 ).}
25
4.6.2. Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en
una superficie
Sea 𝑓: (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ U ⊆ ℝ3 → 𝑓: (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ una función y sea S ⊆ U una curva de
ecuación implícita 𝑔 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Se dice que 𝑓 alcanza en 𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ∈ S un máximo
relativo sujeto (condicionado) a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, si existe una bola B
centrado en(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) tal que
𝑓 (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ≥ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) para todo (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ B ∩ S (o sea, (x, y, z) ∈ B y g(x, y, z) =
0).
Se dice que 𝑓 alcanza en (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ∈ S un mínimo relativo sujeto (condicionado)
a la restricción g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, si existe una bola B centrada en (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) tal que
𝑓 (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ≤ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) para todo (x, y, z) ∈ B ∩ S (o sea, (x, y, z) ∈ B y g(x, y, z) =
0).
En ambos casos decimos que 𝑓 alcanza en (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ∈ S un extremo relativo
sujeto (condicionado) a la restricción g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0.
En las condiciones anteriores, supongamos que 𝑓alcanza un extremo relativo en el
punto (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) sujeto a la restricción g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 y que las funciones 𝑓 y 𝑔 tienen
derivadas parciales continuas en una bola B centrada en (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ). Si
𝐷𝑔(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ≠ 0, entonces existe un numero 𝜆 ∈ 𝑅 (llamado multiplicador de
lagrange) tal que 𝐷𝑓(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) = 𝜆 ∙ 𝐷𝑔(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) es decir, se verifica que
{
𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ): 𝜆𝑔𝑥(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0)𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ): 𝜆𝑔𝑦(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0)
𝑓𝑧(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ): 𝜆𝑔𝑧(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0)
}
26
4.6.3. Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en
una curva
Sea 𝑓: (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ U ⊆ ℝ3 → 𝑓: (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ una función y sea 𝐶 ∶= S1 ∩ S2 ⊆ U
una curva intersección de dos superficies de ecuaciones implícitas 𝑔 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
0 y ℎ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 respectivamente. Se dice que 𝑓 alcanza en 𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ∈ C un
máximo relativo sujeto (condicionado) a la restricción 𝑔 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 y ℎ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 ,
si existe una bola B centrada en (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) tal que
𝑓 (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ≥ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) para todo (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ B ∩ C ( (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ B y g(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
ℎ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0).
Se dice que 𝑓 alcanza en (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ∈ C un mínimo relativo sujeto (condicionado)
a la restricción g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝑦 ℎ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, si existe una bola B centrada en
(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) tal que
𝑓 (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ≤ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) para todo (x, y, z) ∈ B ∩ C (o sea, (x, y, z) ∈ B y g(x, y, z) =
h (x, y, z) = 0).
En ambos casos decimos que 𝑓 alcanza en (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ∈ C un extremo relativo
sujeto (condicionado) a la restricción g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝑦 ℎ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0.
En las condiciones anteriores, supongamos que 𝑓alcanza un extremo relativo en el
punto (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) sujeto a la restricción g(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝑦 ℎ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. y que las
funciones 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ tienen derivadas parciales continuas en una bola B centrada en
(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ). Si 𝐷𝑔(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) 𝑦 𝐷ℎ(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ), son linealmente independientes
entonces existen dos números 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ (llamado multiplicador de lagrange) tales
que 𝐷𝑓(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) = 𝜆 ∙ 𝐷𝑔(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝜇 ∙ 𝐷ℎ(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ) es decir9
9 http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1328695759_1992907084.pdf
27
{
𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ): 𝜆𝑔𝑥(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0)+ ) + 𝜇𝑔𝑥(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ),𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ): 𝜆𝑔𝑦(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0)+ ) + 𝜇𝑔𝑦(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ),
𝑓𝑧(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ): 𝜆𝑔𝑧(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0)+ ) + 𝜇𝑔𝑧(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 ).
}
Este método no se utilizará para optimizar los resultados, ya que se debe plantear
una restricción al problema inicial, la cual no se tiene y no fue planteada desde el
inicio del proyecto.
4.7. MÉTODO DEL GRADIENTE
Este es otro método de optimización, el cual se incluye debido a que no se puede
utilizar el método de multiplicadores de Lagrange por la razón expuesta
anteriormente. Dado que el método del gradiente no necesita una restricción para
su desarrollo, se utilizará para cumplir con lo propuesto. A continuación se describe:
Si f es una función en varias variables, por ejemplo n variables, con derivadas
parciales de segundo orden en x0 ∈ ℝn (es decir, x0 tiene n componentes), se define
el Hessiano de f en x0 como la función
𝐻𝑓(𝒙0) (h) =1
2∑
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
𝑛
𝑖, 𝑗=1
(𝒙0)ℎ𝑖ℎ𝑗
donde 𝑥𝑖 son las componentes de x0 y ℎ𝑖 las de h.
Forma matricial del hessiano:
Dada una función real 𝑓 de n variables reales:
𝑓 ∶ ℝ𝑛 → ℝ
𝑥 → 𝑓(𝑥)
Si todas las segundas derivadas parciales de 𝑓 existen, se define la matriz
hessiana de 𝑓 como: 𝐻𝑓(𝑥), donde
28
𝐻𝑓(𝑥)𝑖,𝑗 =𝜕2𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
tomando la siguiente forma
Además, se tiene que si: , entonces la matriz hessiana está bien
definida, es una matriz simétrica10.
El hessiano tiene la particularidad de ser una función cuadrática. En general, una
función cuadrática se dice definitivamente positiva si al evaluarla en cualquier
punto el resultado es positivo y ella es cero únicamente al evaluarla en cero. Y se
dice definitivamente negativa si al evaluarla en cualquier punto el resultado es
negativo y ella es cero únicamente al evaluarla en cero.
Con el hessiano puede saberse si una función tiene máximo o mínimo, es decir, si
es óptima en un punto dado.
Un punto crítico de una función es aquel que hace cero cada una de las primeras
derivadas de la función (también donde las derivadas no existen, pero esa parte no
nos interesa por continuidad).
Teorema. Si f en n variables es continua y derivable hasta 3 veces y x0 es un punto
crítico, y 𝐻𝑓(𝒙0) (𝐡) es el hessiano de f en x0, entonces,
10 https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_hessiana#cite_ref-1
29
1. Si 𝐻𝑓(𝒙0) (𝐡) es definitivamente positivo, entonces en x0, f es mínima.
2. Si 𝐻𝑓(𝒙0) (𝐡) es definitivamente negativo, entonces en x0, f es máxima.
En el caso de que el hessiano no es ni definitivamente positivo ni definitivamente
negativo, tenemos un punto de silla en el punto crítico usado para calcular el
hessiano.
4.8. DISEÑO DE TAGUCHI
También denominado arreglo ortogonal es un experimento diseñado que permite
elegir un producto o proceso que funciona con mayor consistencia en el entorno
operativo. Los diseños de Taguchi reconocen que no todos los factores que causan
variabilidad pueden ser controlados. Estos factores que no se pueden controlar se
denominan factores de ruido. Los diseños de Taguchi intentan identificar factores
controlables (factores de control) que minimicen el efecto de los factores de ruido.
Durante el experimento, usted manipula los factores de ruido para hacer que haya
variabilidad y luego determina la configuración óptima de los factores de control para
que el proceso o producto sea robusto o resistente ante la variación causada por
los factores de ruido. Un proceso diseñado con esta meta producirá una salida más
consistente. Un producto diseñado con esta meta tendrá un rendimiento más
consistente, independientemente del entorno en el que se utilice.
Los diseños de Taguchi utilizan arreglos ortogonales, que estiman los efectos de los
factores en la media y la variación de la respuesta. Un arreglo ortogonal significa
que el diseño es balanceado, así que los niveles de los factores se ponderan
equitativamente. Por eso, cada factor puede evaluarse independientemente de
todos los demás factores, de modo que el efecto de un factor no afecta la estimación
de otro factor. Esto puede reducir el tiempo y el costo asociados con el experimento
30
cuando se utilizan diseños fraccionados. Los diseños de arreglo ortogonal se
concentran principalmente en los efectos principales11.
Arreglos ortogonales
Los arreglos ortogonales son utilizados para determinar la matriz de diseño que
proporciona las corridas a realizar para evaluar los factores controlables y los de
ruido con sus niveles correspondientes. Existen diferentes arreglos ortogonales, por
ejemplo el L8 tiene ocho corridas y se pueden estudiar de dos hasta siete factores
con dos niveles cada uno, el L4 tiene cuatro corridas y se pueden estudiar dos y tres
factores con dos niveles cada uno. Cuando no se estudian todos los factores
posibles en el arreglo es necesario asignar las columnas según el número de
factores, por ejemplo, si desean estudiar 3 factores con un L8 las columnas
asignadas serán 1,2, 4 para cada factor. Para factores con dos niveles cada factor
se utilizan L4, L8, L12 y L16 y para tres niveles cada factor se utilizan L9 y L1812.
De acuerdo a lo deseado en nuestro proyecto, utilizaremos el arreglo ortogonal L9
(3)3, donde en su respectivo orden L indica que es un arreglo ortogonal, 9 es el
número de corridas, 3 el número de niveles (bajo 1, medio 2 y alto 3) y 3 el número
de factores (velocidad de corte, avance y profundidad), se observa el arreglo en la
tabla 4.
L VC ƒ P
1 1 1 1
2 1 2 2
3 1 3 3
4 2 1 2
5 2 2 3
6 2 3 1
11 http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/modeling-statistics/doe/taguchi-designs/taguchi-designs/ 12 http://www.academia.edu/6887572/Diseno_de_Experimentos_Robusto_Metodo_de_Taguchi
31
7 3 1 3
8 3 2 1
9 3 3 2 Tabla 4: Arreglo ortogonal L9 (3)3.
5. MATERIALES Y MÉTODOS
Estos son los pasos hechos para la obtención de los resultados del proyecto:
5.1. OBTENCIÓN DE LOS PARÁMETROS DE CORTE Y LAS
VARIABLES A ANALIZAR.
Para las pruebas se tomó en cuenta la operación de corte a realizar según el
“catálogo general Walter de capacidad concentrada para el arranque de viruta”13,
en este caso específico se escogió el planeado, ya que es la operación con mejores
resultados en cuanto a acabado superficial y aquella en la que se facilitaría la toma
de mediciones, además para la escogencia de los parámetros de corte se siguieron
los pasos del catálogo, donde se indican unos parámetros de corte recomendados
según el material y las condiciones de mecanizado.
Los parámetros de corte seleccionados de acuerdo al material, a la herramienta de
corte y a la operación a realizar los vemos en la tabla 5.
VARIABLES CONTROLABLES
Velocidad de husillo (rpm)
Velocidad de corte (m/min.)
Velocidad de avance (mm/min.)
Profundidad (mm)
Baja 2389 150 48 0,1
Media 3503 220 210 0,15
Alta 4777 300 490 0,2 Tabla 5: Parámetros de corte (variables controlables).
13http://www.walter-tools.com/SiteCollectionDocuments/downloads/global/catalogues/es-es/general-catalogue-2012-es.pdf
32
También se tomaron variables no controlables en un proceso de esta magnitud
mostrados en la tabla 6.
VARIABLES NO CONTROLABLES
Desgaste Presión del refrigerante (ml/min)
Nuevo 2500
Usado 7200 Tabla 6: Parámetros de corte (variables no controlables).
5.2. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.
Teniendo unos valores definidos para los parámetros de corte, se procedió a la
realización de las pruebas para las cuales se tuvo en cuenta las herramientas del
centro de mecanizado Leadwell V20-i de la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas mostrado en la figura 2, que cuenta con una capacidad de recorrido del eje
(x, y, z) de 510, 350 y 400 (mm) respectivamente, un máximo peso de carga de 200
kilos, una velocidad máxima de husillo de 8000 (RPM), un máximo avance en corte
de 10000 (mm/min), una capacidad máxima de 20 herramientas y con unos motores
de husillo de 5.5 y de ejes de 1.2 kW14.
Figura 2: Centro de mecanizado Leadwell V20-i13
14http://www.udistrital.edu.co:8080/web/laboratorio-mecanica/fresa-cnc-leadwell-v20
33
La herramienta escogida fue la T2 de 20 mm de diámetro para tres insertos, la cual
se acoplaba de buena manera con los planeados a realizar y con los insertos que
se usarían, la cual observamos en la figura 3.
Figura 3: Herramienta de corte T2 de 20 mm de diámetro
Los insertos necesarios debían ser para la herramienta de 20 mm de diámetro y
debían cortar el acero con el que se estaba trabajando sin ningún problema, los
escogidos fueron los Mitsubishi AOMT123608PEER-M VP15TF, mostrado en la
figura 4, de material carburo de tungsteno para alto rendimiento con una dureza de
92HRC y un tamaño de grano aproximado de 0.5-0.6 mm15, los cuales cumplieron
a cabalidad con su objetivo y los requerimientos que se necesitaban, a continuación
se presenta la tabla 5 con sus propiedades.
15http://www.alibaba.com/product-detail/Mitsubishi-Lathe-Cutter-AOMT123608PEER-M-VP15TF_60093383855.html
34
Figura 4: Insertos Mitsubishi AOMT123608PEER-M VP15TF16
CARACTERÍSTICAS Y ESPECIFICACIONES DE LOS
INSERTOS
Largo 0.472"
Espesor 0.142"
Anchura 0.26"
Estilo del inserto AOMT
Material Carburo
Acabado / Revestimiento AlTiN
Grado VP15TF
Forma Paralelogramo
Radio de la esquina 0.031"
Rompevirutas M
Ángulo incluido 85°
Grado del material M30, H10, H20, K20, K30
Dirección de corte Mano derecha
Tabla 7: Características y especificaciones de los insertos17
16 http://www.mitsubishicarbide.net/mmus/enus/rotating_inserts/no_srs/20051655 17 https://www.motionindustries.com/productDetail.jsp?sku=05566788
35
Se tomó una probeta de acero AISI SAE 1045 mostrada en la figura 5 cuyas
dimensiones son: 6.17 cm (2.43 in) de alto, 1.98 cm (0.78 in) de ancho y 11.76 cm
(4.63 in) de largo, estas medidas son definidas en base a que era necesario que la
probeta no tuviera ningún tipo de inconveniente al momento de sujetarla dentro de
la máquina o al momento de realizar los planeados y además se acoplaba al
diámetro de la herramienta de corte. Con el fin de que el rugosímetro pudiera medir
sin necesidad de mover la probeta de la máquina, evitando errores o alteraciones
en la toma de mediciones se adecuaron dos placas de aluminio de 4 mm de espesor
a cada lado de un tamaño, peso y posición igual para evitar vibraciones inesperadas
en la pieza que pudieran afectar el proceso de mecanizado o las mediciones de
cualquier modo, el uso de estas era el de servir de bases fijas para posicionar el
rugosímetro en el momento de la medición.
Figura 5: Probeta de acero AISI SAE 1045
Las mediciones se hicieron con un rugosímetro Mahr MarSurf PS1, el cual es un
instrumento pequeño y ligero (400 g / 0.88 libras), con una precisión muy alta en un
tiempo muy corto y de simple operación, con una punta de diamante que mide 2 µm
36
(80 µin) de rugosidad y una fuerza de medición de 0.7 mN18 mostrado en la figura
6.
Figura 6: Rugosímetro MarSurf PS1
Para el desgaste de la herramienta, se tomó como referencia el método de desgaste
por abrasión, donde se desgastara el flanco de la herramienta ya que esta es la
superficie de incidencia con la probeta y es la que infringe un daño significativo a
nuestros insertos, la norma ASTM G40-92 define el desgaste abrasivo como la
pérdida de masa resultante de la interacción entre partículas o asperezas duras que
son forzadas contra una superficie y se mueven a lo largo de ella. La diferencia entre
desgaste abrasivo y desgaste por deslizamiento es el “grado de desgaste” entre los
cuerpos involucrados (mayor en el desgaste abrasivo), ya sea por la naturaleza, tipo
de material, composición química, o por la configuración geométrica19.
18http://datasheet.octopart.com/6910214-Mahr-Federal-datasheet-8616887.pdf 19http://www.utp.edu.co/~dhmesa/pdfs/desgaste.pdf
37
Las imágenes de los insertos antes, durante y después de las pruebas fueron
tomadas con el estereoscopio Zeiss de la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas, mostrado en la figura 7, el cual mostró las imágenes con un aumento desde
10x hasta 80x, por medio del cual se logró ver el grado de desgaste que tenían y la
diferencia entre insertos nuevos y usados.
Figura 7: Estereoscopio Zeiss20.
Las figuras 8, 9, 10 y 11, muestran los insertos y su flanco a diferentes aumentos,
además se sabe que la vida útil de la herramienta de corte ha sido definida como el
tiempo de maquinado transcurrido antes de que falle. Como criterio para definir la
vida útil de la herramienta recomendado por ANSI/ASME B94.55M, para
herramientas de carburo y de cerámica es de 300 µm21, en este caso los insertos
tienen un desgaste final de 194.44 µm.
20 http://www.udistrital.edu.co:8080/web/laboratorio-mecanica/equipos-de-laboratorio3 21http://scielo.sld.cu/scielo.php?pid=S1815-59442012000100002&script=sci_arttext#t1
38
39
40
Después de realizados los mecanizados, se hicieron dos mediciones por cada
planeado realizado, según el método de Taguchi en total son 36 pruebas; se prefirió
no hacerlas en orden y si cada una al azar para que fueran más precisos y no
consecutivos los resultados. En la tabla 8 se relacionan todas las variables
controlables y no controlables, además se dan los resultados obtenidos que son el
promedio de dos mediciones hechas por cada planeado al material.
Tabla 8: Resultados obtenidos en las pruebas
41
5.3. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Realizados los mecanizados, para el análisis de los datos se utiliza el método de
interpolación multivariada de Lagrange, con el cual se obtiene una función
polinómica que satisface los puntos que componen el sistema. Con esos polinomios
se busca estimar valores de la rugosidad para parámetros generales; pero que
debido a la complejidad en las fracciones halladas, se tuvo la necesidad de utilizar
Derive versión 6.10, el cual es un programa de cálculo matemático.
Se plantean cuatro polinomios que corresponden a las condiciones no controlables
planteadas al inicio, y se ven en las columnas de la tabla 8 en orden de izquierda a
derecha, donde se intercambian las condiciones para obtener menores y mejores
resultados según el método de Taguchi.
El desarrollo del primer polinomio fue el siguiente:
Tenemos los puntos
Velocidad de corte 𝑥1= x= (150, 220, 300); 𝑖 = 0, 1, 2; 𝑛1= 2
Velocidad de avance 𝑥2= y= (48, 210, 490); 𝑖 = 0, 1, 2; 𝑛2= 2
Profundidad 𝑥3= z= (0.1, 0.15, 0.2); 𝑖 = 0, 1, 2; 𝑛2= 2
𝑙 (𝑥1, 𝑥2,𝑥3)= 𝑙 (x, y, z)= ∑ f (xi1, yi2, zi3); “0≤ 𝑖1≤ 𝑛1, 0≤ 𝑖2≤ 𝑛2, 0≤ 𝑖3≤ 𝑛3”
donde
𝑙𝑛1𝑖1 =
∏ (𝑥1−𝑥1𝑗
)𝑛1𝑗=0, 𝑗≠𝑗1
∏ (𝑥1𝑖1−𝑥1
𝑗)𝑛1
𝑗=0, 𝑗≠𝑗1
42
para (𝑥1)= (x); 𝑥10 = 150, 𝑥1
1 = 220, 𝑥12 = 300
𝑖1= 0
𝑙20(𝑥1) =
∏ (𝑥1 − 𝑥1𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠0
∏ (𝑥10 − 𝑥1
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠0
=(𝑥1 − 220)(𝑥1 − 300)
(150 − 220)(150 − 300)
=(𝑥1
2)
10500−
520𝑥1
10500+
66000
10500=
(𝑥12)
10500−
26
525𝑥1 +
44
7
𝑖2= 1
𝑙21(𝑥1) =
∏ (𝑥1 − 𝑥1𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠1
∏ (𝑥11 − 𝑥1
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠1
=(𝑥1 − 150)(𝑥1 − 300)
(220 − 150)(220 − 300)
= −(𝑥1
2)
5600+
450𝑥1
5600−
45000
5600 = −
(𝑥12)
5600+
9
112𝑥1 −
225
28
𝑖3= 2
𝑙22(𝑥1) =
∏ (𝑥1 − 𝑥1𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠2
∏ (𝑥12 − 𝑥1
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠2
=(𝑥1 − 150)(𝑥1 − 220)
(300 − 150)(300 − 220)
=(𝑥1
2)
12000−
370𝑥1
12000+
33000
12000 =
(𝑥12)
12000−
37
1200𝑥1 +
11
4
43
para (𝑥2)= (y); 𝑥20 = 48, 𝑥2
1 = 210, 𝑥22 = 490
𝑖1= 0
𝑙20(𝑥2) =
∏ (𝑥2 − 𝑥2𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠0
∏ (𝑥20 − 𝑥2
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠0
=(𝑥2 − 210)(𝑥2 − 490)
(48 − 210)(48 − 490)
=(𝑥2
2)
71604−
700𝑥2
71604+
102900
71604=
(𝑥22)
71604−
175
17901𝑥2 +
102900
71604
𝑖2= 1
𝑙21(𝑥2) =
∏ (𝑥2 − 𝑥2𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠1
∏ (𝑥21 − 𝑥2
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠1
=(𝑥2 − 48)(𝑥2 − 490)
(210 − 48)(210 − 490)
= −(𝑥2
2)
45360+
538𝑥2
45360−
23520
45360 = −
(𝑥22)
45360+
269
22680𝑥2 −
14
27
𝑖3= 2
𝑙22(𝑥2) =
∏ (𝑥2 − 𝑥2𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠2
∏ (𝑥22 − 𝑥2
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠2
=(𝑥2 − 48)(𝑥2 − 210)
(490 − 48)(490 − 210)
=(𝑥2
2)
123760−
258𝑥2
123760+
10080
123760 =
(𝑥22)
123760−
129
61880𝑥2 +
18
221
44
para (𝑥3)= (z); 𝑥30 = 0.1, 𝑥3
1 = 0.15, 𝑥32 = 0.2
𝑖1= 0
𝑙20(𝑥3) =
∏ (𝑥3 − 𝑥3𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠0
∏ (𝑥30 − 𝑥3
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠0
=(𝑥3 − 0.15)(𝑥3 − 0.2)
(0.1 − 0.15)(0.1 − 0.2)
=(𝑥3
2)
1200⁄
−0.35𝑥3
1200⁄
+0.03
1200⁄
= 200𝑥32 − 70𝑥3 + 6
𝑖2= 1
𝑙21(𝑥3) =
∏ (𝑥3 − 𝑥3𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠0
∏ (𝑥31 − 𝑥3
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠0
=(𝑥3 − 0.1)(𝑥3 − 0.2)
(0.15 − 0.1)(0.15 − 0.2)
=(𝑥3
2)
− 1400⁄
−0.35𝑥3
− 1400⁄
+0.03
− 1400⁄
= −400𝑥32 + 120𝑥3 − 8
𝑖3= 2
𝑙22(𝑥3) =
∏ (𝑥3 − 𝑥3𝑗)2
𝑗=0, 𝑗≠0
∏ (𝑥32 − 𝑥3
𝑗)2𝑗=0, 𝑗≠0
=(𝑥3 − 0.1)(𝑥3 − 0.15)
(0.2 − 0.1)(0.2 − 0.15)
=(𝑥3
2)
1200⁄
−0.25𝑥3
1200⁄
+0.015
1200⁄
= 200𝑥32 − 50𝑥3 + 3
Entonces
𝑙 (𝑥1, 𝑥2,𝑥3)= ∑ (𝑖1, 𝑖2, 𝑖3) f (𝑥1, 𝑥2,𝑥3) 𝑙𝑛1𝑖1 (𝑥1) 𝑙𝑛2
𝑖2 (𝑥2) 𝑙𝑛3𝑖3 (𝑥3)
Los puntos donde k= 1 y r= 1 son constantes:
45
f (𝑥10, 𝑥2
0, 𝑥30)= 0.802; f (𝑥1
0, 𝑥21, 𝑥3
1)= 1.5535; f (𝑥10, 𝑥2
2, 𝑥32)= 1.8455; f (𝑥1
1, 𝑥20, 𝑥3
1)= 0.2965;
f (𝑥11, 𝑥2
1, 𝑥32)= 0.7035; f (𝑥1
1, 𝑥22, 𝑥3
0)= 0.2685; f (𝑥12, 𝑥2
0, 𝑥32)= 0.085; f (𝑥1
2, 𝑥21, 𝑥3
0)= 0.225;
f (𝑥12, 𝑥2
2, 𝑥32)= 0.228
𝑙 (𝑥1, 𝑥2,𝑥3)= 0.802 𝑙20(𝑥1) 𝑙2
0(𝑥2) 𝑙20(𝑥3)+ 1.5535 𝑙2
0(𝑥1) 𝑙21(𝑥2) 𝑙2
1(𝑥3)+ 1.8455
𝑙20(𝑥1) 𝑙2
2(𝑥2) 𝑙22(𝑥3)+ 0.2965 𝑙2
1(𝑥1) 𝑙20(𝑥2) 𝑙2
1(𝑥3)+ 0.7035 𝑙21(𝑥1) 𝑙2
1(𝑥2) 𝑙22(𝑥3)+
0.2685 𝑙21(𝑥1) 𝑙2
2(𝑥2) 𝑙20(𝑥3)+ 0.085 𝑙2
2(𝑥1) 𝑙20(𝑥2) 𝑙2
2(𝑥3)+ 0.225 𝑙22(𝑥1) 𝑙2
1(𝑥2) 𝑙20(𝑥3)+
0.228 𝑙22(𝑥1) 𝑙2
2(𝑥2) 𝑙21(𝑥3)
El procedimiento de obtención de los polinomios es el mismo en los cuatro, los
resultados son los siguientes:
P. 1: Condición (inserto nuevo - nivel de refrigerante bajo)
46
P. 2: condición (inserto nuevo - nivel de refrigerante alto)
47
P. 3: condición (inserto usado - nivel de refrigerante bajo)
48
P. 4: condición (inserto usado-nivel de refrigerante alto)
Para aplicar el método del gradiente primero se deriva, luego se obtienen los puntos
críticos igualando a cero esas derivadas; obtenemos las segundas derivadas y por
último los hessianos de los polinomios. Este es el procedimiento realizado:
49
P. 1:
∂p
∂x = 0.802 (
2x
10500−
26
525) + 1.5535 (
2x
10500−
26
525)
+ 1.8455 (2x
10500−
26
525) + 0.2965 (−
2x
5600+
9
112)
+ 0.7035 (−2x
5600+
9
112) + 0.2685 (−
2x
5600+
9
112)
+ 0.085 (2x
12000−
37
1200) + 0.225 (
2x
12000−
37
1200)
+ 0.228 (2x
12000−
37
1200)
∂p
∂y = 0.802 (
2y
71604−
175
17901) + 1.5535 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 1.8455 (2y
123760−
129
61880) + 0.2965 (
2y
71604−
175
17901)
+ 0.7035 (−2y
45360+
269
22680) + 0.2685 (
2y
123760−
129
61880)
+ 0.085 (2y
71604−
175
17901) + 0.225 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 0.228 (2y
123760−
129
61880)
50
∂p
∂z = 0.802 (400𝑧 − 70) + 1.5535 (−800𝑧 + 120) + 1.8455 (400𝑧 − 50)
+ 0.2965 (−800𝑧 + 120) + 0.7035 (400𝑧 − 50) + 0.2685 (400𝑧 − 70)
+ 0.085 (400𝑧 − 50) + 0.225 (400𝑧 − 70) + 0.228 (−800𝑧 + 120)
Simplificando e igualando a cero se tiene:
∂p
∂x =
3(4077x − 1145245)
28000000= 0
𝑥 = 280.9
∂p
∂y =
929848 − 2759y
71604000= 0
𝑦 = 337.02
∂p
∂z =
1079 − 3624z
40= 0
𝑧 = 0.3
El punto crítico es (280.9, 337.02, 0.3), es un punto de silla ya que éste no
corresponde a un valor mínimo ni un máximo al reemplazarlo en el polinomio, por lo
cual es un punto que sirve poco en el desarrollo del proyecto, ya que da un valor de
rugosidad de 3.2671 µm, siendo un valor muchísimo mayor a los de los resultados
de las pruebas y no satisface el valor deseado (menor a 0.085 µm), se tuvo que
hacer un ajuste en el valor de 280.9 e incrementarlo a 299.895, se decide tomar
51
este valor porque es el que más se aleja del rango manejado inicialmente, además
en este valor la rugosidad es mínima cuando reemplazamos e igualamos a cero el
polinomio 1. Entonces el punto al hacer este cambio quedó (299.895, 337.02, 0.3)
y su rugosidad es 0.00015408074 µm.
Cabe aclarar que al hacer la modificación dejo de ser un punto crítico, pues no es
la solución de igualar a cero las primeras derivadas y se tomara como un valor de
referencia, además que todas las consideraciones tomadas con este polinomio
serán las mismas con los demás.
∂p
∂x ∂x = 0.802 (
2
10500) + 1.5535 (
2
10500) + 1.8455 (
2
10500)
+ 0.2965 (−2
5600) + 0.7035 (−
2
5600) + 0.2685 (−
2
5600)
+ 0.085 (2
12000) + 0.225 (
2
12000) + 0.228 (
2
12000) =
273
625000
∂p
∂x ∂y = 0
∂p
∂x ∂z = 0
∂p
∂y ∂x = 0
∂p
∂y ∂y = 0.802 (
2
71604) + 1.5535 (−
2
45360) + 1.8455 (
2
123760)
+ 0.2965 (2
71604) + 0.7035 (−
2
45360) + 0.2685 (
2
123760)
+ 0.085 (2
71604) + 0.225 (−
2
45360) + 0.228 (
2
123760)
= −3.8531 ∗ 10−5
52
∂p
∂y ∂z = 0
∂p
∂z ∂x = 0
∂p
∂z ∂y = 0
∂p
∂z ∂z = 0.802 (400) + 1.5535 (−800) + 1.8455 (400) + 0.2965 (−800)
+ 0.7035 (400) + 0.2685 (400) + 0.085 (400) + 0.225 (400)
+ 0.228 (−800) = −453
5
Se aplica la fórmula para hallar el hessiano,
𝐻𝑓(𝒙0) (𝐡) =1
2∑
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
𝑛
𝑖, 𝑗=1
(𝒙0)ℎ𝑖ℎ𝑗
Y se obtiene
𝐻1 = 1
2(
273
625000ℎ1ℎ1 + 0ℎ1ℎ2 + 0ℎ1ℎ3 + 0ℎ2ℎ1 − 3.8531 ∗ 10−5ℎ2ℎ2
+ 0ℎ3ℎ1 + 0ℎ3ℎ2 −453
5ℎ3ℎ3)
𝐻1 = 1
2(
273
625000ℎ1
2 − 3.8531 ∗ 10−5ℎ22 −
453
5ℎ3
2)
53
P. 2:
∂p
∂x = 0.193 (
2x
10500−
26
525) + 1.233 (
2x
10500−
26
525)
+ 1.484 (2x
10500−
26
525) + 0.1095 (−
2x
5600+
9
112)
+ 0.246 (−2x
5600+
9
112) + 0.913 (−
2x
5600+
9
112)
+ 0.1155 (2x
12000−
37
1200) + 0.166 (
2x
12000−
37
1200)
+ 0.311 (2x
12000−
37
1200)
∂p
∂y = 0.193 (
2y
71604−
175
17901) + 1.233 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 1.484 (2y
123760−
129
61880) + 0.1095 (
2y
71604−
175
17901)
+ 0.246 (−2y
45360+
269
22680) + 0.913 (
2y
123760−
129
61880)
+ 0.1155 (2y
71604−
175
17901) + 0.166 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 0.311 (2y
123760−
129
61880)
∂p
∂z = 0.193 (400𝑧 − 70) + 1.233 (−800𝑧 + 120)
+ 1.484 (400𝑧 − 50) + 0.1095 (−800𝑧 + 120) + 0.246 (400𝑧 − 50)
+ 0.913 (400𝑧 − 70) + 0.1155 (400𝑧 − 50) + 0.166 (400𝑧 − 70)
+ 0.311 (−800𝑧 + 120)
54
Simplificando:
∂p
∂x =
4x − 1209
20000= 0
𝑥 = 302.25
∂p
∂y =
16338571 − 28559y
1670760000= 0
𝑦 = 572.09
∂p
∂z =
3421 − 15160z
200= 0
𝑧 = 0.23
El punto crítico es (302.25, 572.09, 0.23) siendo otro punto de silla ya que éste no
corresponde a un valor mínimo ni un máximo, por lo cual es un punto que sirve poco
en el desarrollo del proyecto, lo que da un valor de rugosidad de -0.642 µm, siendo
un valor negativo que no es posible medir y no satisface el valor deseado (menor a
0.1095 µm), se tuvo que realizar un ajuste en el valor de 572.09 y disminuirlo a
221.1, se decide tomar este valor porque es el que más se aleja del rango manejado
inicialmente, ya que en este valor la rugosidad es mínima según el polinomio 2.
Entonces el punto al hacer este cambio quedó (302.25, 221.1, 0.23) y su rugosidad
correspondiente es 0.000031675 µm.
55
∂p
∂x ∂x = 0.193 (
2
10500) + 1.233 (
2
10500) + 1.484 (
2
10500)
+ 0.1095 (−2
5600) + 0.246 (−
2
5600) + 0.913 (−
2
5600)
+ 0.1155 (2
12000) + 0.166 (
2
12000) + 0.311 (
2
12000) =
1
5000
∂p
∂x ∂y = 0
∂p
∂x ∂z = 0
∂p
∂y ∂x = 0
∂p
∂y ∂y = 0.193 (
2
71604) + 1.233 (−
2
45360) + 1.484 (
2
123760)
+ 0.1095 (2
71604) + 0.246 (−
2
45360) + 0.913 (
2
123760)
+ 0.1155 (2
71604) + 0.166 (−
2
45360) + 0.311 (
2
123760)
= −28559
1670760000
∂p
∂y ∂z = 0
∂p
∂z ∂x = 0
∂p
∂z ∂y = 0
56
∂p
∂z ∂z = 0.193 (400) + 1.233 (−800) + 1.484 (400) + 0.1095 (−800)
+ 0.246 (400) + 0.913 (400) + 0.1155 (400) + 0.166 (400)
+ 0.311 (−800) = −379
5
Se aplica la fórmula para hallar el hessiano y se obtiene
𝐻2 = 1
2(
1
5000ℎ1
2 −28559
1670760000ℎ2
2 −379
5ℎ3
2)
P. 3:
∂p
∂x = 1.6795 (
2x
10500−
26
525) + 1.2795 (
2x
10500−
26
525)
+ 1.6795 (2x
10500−
26
525) + 1.079 (−
2x
5600+
9
112)
+ 1.42 (−2x
5600+
9
112) + 1.1275 (−
2x
5600+
9
112)
+ 0.8465 (2x
12000−
37
1200) + 1.084 (
2x
12000−
37
1200)
+ 0.839 (2x
12000−
37
1200)
57
∂p
∂y = 1.6795 (
2y
71604−
175
17901) + 1.2795 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 1.6795 (2y
123760−
129
61880) + 1.079 (
2y
71604−
175
17901)
+ 1.1275 (−2y
45360+
269
22680) + 1.42 (
2y
123760−
129
61880)
+ 0.8465 (2y
71604−
175
17901) + 1.084 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 0.839 (2y
123760−
129
61880)
∂p
∂z = 1.6795 (400𝑧 − 70) + 1.2795 (−800𝑧 + 120)
+ 1.6795 (400𝑧 − 50) + 0.1079 (−800𝑧 + 120) + 1.1275 (400𝑧 − 50)
+ 1.42 (400𝑧 − 70) + 0.8465 (400𝑧 − 50) + 1.084 (400𝑧 − 70)
+ 0.839 (−800𝑧 + 120)
Simplificando:
∂p
∂x =
8279x − 2307415
42000000= 0
𝑥 = 278.71
∂p
∂y =
6961y − 1368257
668304000= 0
𝑦 = 195.56
58
∂p
∂z =
28840z − 4591
50= 0
𝑧 = 0.16
El punto crítico es (278.71, 195.56, 0.16), este es un punto mínimo y da un valor de
rugosidad de -0.1014, pero como es un valor negativo que no es posible medir y no
satisface el valor deseado (menor a 0.839 µm), se tuvo que hacer un nuevo ajuste
en el valor de 278.71 y disminuirlo a 246.7, se decide tomar este valor porque es el
que más se aleja del rango manejado inicialmente, ya que en este valor la rugosidad
es mínima según el polinomio 3. Entonces el punto quedó (246.7, 195.56, 0.16) y
su rugosidad es 0.00021924 µm.
∂p
∂x ∂x = 1.6795 (
2
10500) + 1.2795 (
2
10500) + 1.6795 (
2
10500)
+ 1.079 (−2
5600) + 1.42 (−
2
5600) + 1.1275 (−
2
5600)
+ 0.8465 (2
12000) + 1.084 (
2
12000) + 0.839 (
2
12000) =
699
14000000
∂p
∂x ∂y = 0
∂p
∂x ∂z = 0
∂p
∂y ∂x = 0
59
∂p
∂y ∂y = 1.6795 (
2
71604) + 1.2795 (−
2
45360) + 1.6795 (
2
123760)
+ 1.079 (2
71604) + 1.1275 (−
2
45360) + 1.42 (
2
123760)
+ 0.8465 (2
71604) + 1.084 (−
2
45360) + 0.839 (
2
123760)
=6961
668304000
∂p
∂y ∂z = 0
∂p
∂z ∂x = 0
∂p
∂z ∂y = 0
∂p
∂z ∂z = 1.6795 (400) + 1.2795 (−800) + 1.6795 (400) + 1.079 (−800)
+ 1.1275 (400) + 1.42 (400) + 0.8465 (400) + 1.084 (400)
+ 0.839 (−800) =2884
5
Se aplica la fórmula para hallar el hessiano y se obtiene
𝐻3 = 1
2(
699
14000000ℎ1
2 −6961
668304000ℎ2
2 −2884
5ℎ3
2)
60
P. 4:
∂p
∂x = 0.9765 (
2x
10500−
26
525) + 0.9695 (
2x
10500−
26
525)
+ 1.1155 (2x
10500−
26
525) + 1.119 (−
2x
5600+
9
112)
+ 1.228 (−2x
5600+
9
112) + 1.299 (−
2x
5600+
9
112)
+ 0.9095 (2x
12000−
37
1200) + 1.113 (
2x
12000−
37
1200)
+ 1.138 (2x
12000−
37
1200)
∂p
∂y = 0.9765 (
2y
71604−
175
17901) + 0.9695 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 1.1155 (2y
123760−
129
61880) + 1.119 (
2y
71604−
175
17901)
+ 1.228 (−2y
45360+
269
22680) + 1.299 (
2y
123760−
129
61880)
+ 0.9095 (2y
71604−
175
17901) + 1.113 (−
2y
45360+
269
22680)
+ 1.138 (2y
123760−
129
61880)
∂p
∂z = 0.9765 (400𝑧 − 70) + 0.9695 (−800𝑧 + 120)
+ 1.1155 (400𝑧 − 50) + 1.119 (−800𝑧 + 120) + 1.228 (400𝑧 − 50)
+ 1.299 (400𝑧 − 70) + 0.9095 (400𝑧 − 50) + 1.113 (400𝑧 − 70)
+ 1.138 (−800𝑧 + 120)
61
Simplificando:
∂p
∂x =
32816x − 4296345
28000000= 0
𝑥 = 228.4
∂p
∂y =
23168y − 75684267
5012280000= 0
𝑦 = 536.99
∂p
∂z =
15080z − 2533
200= 0
𝑧 = 0.17
El punto crítico es (228.4, 536.99, 0.17), este es un punto de silla y da un valor de
rugosidad de -0.0978, pero como es un valor negativo que no es posible medir y no
satisface el valor deseado (menor a 0.9095 µm), se tuvo que hacer un ajuste en el
valor de 536.99 y disminuirlo a 328.6, se decide tomar este valor porque es el que
más se aleja del rango manejado inicialmente, ya que en este valor la rugosidad es
mínima según el polinomio 4. Entonces el punto quedó (228.4, 328.6, 0.17) y su
rugosidad es 0.0000958243 µm.
62
∂p
∂x ∂x= 0.9765 (
2
10500) + 0.9695 (
2
10500) + 1.1155 (
2
10500)
+ 1.119 (−2
5600) + 1.228 (−
2
5600) + 1.299 (−
2
5600)
+ 0.9095 (2
12000) + 1.113 (
2
12000) + 1.138 (
2
12000) =
293
250000
∂p
∂x ∂y = 0
∂p
∂x ∂z = 0
∂p
∂y ∂x = 0
∂p
∂y ∂y = 0.9765 (
2
71604) + 0.9695 (−
2
45360) + 1.1155 (
2
123760)
+ 1.119 (2
71604) + 1.228 (−
2
45360) + 1.299 (
2
123760)
+ 0.9095 (2
71604) + 1.113 (−
2
45360) + 1.138 (
2
123760)
= −362
78316875
∂p
∂y ∂z = 0
∂p
∂z ∂x = 0
∂p
∂z ∂y = 0
63
∂p
∂z ∂z = 0.9765 (400) + 0.9695 (−800) + 1.1155 (400) + 1.119 (−800)
+ 1.228 (400) + 1.299 (400) + 0.9095 (400) + 1.113 (400)
+ 1.138 (−800) =377
5
Se aplica la fórmula para hallar el hessiano y se obtiene
𝐻4 = 1
2(
293
250000ℎ1
2 −362
78316875ℎ2
2 +377
5ℎ3
2)
Todo los cálculos y resultados anteriores se hicieron de acuerdo a los métodos
matemáticos mencionados anteriormente y calculados con el programa derive. Ya
con toda esta información se comprobó que la parte teórica y la práctica dieran
resultados iguales o similares; se hicieron 4 planeados en el centro de mecanizado
con los puntos obtenidos de los polinomios y arrojaron los resultados mostrados en
la tabla 9.
POLINOMIO RUGOSIDAD TEÓRICA
Ra (µm)
RUGOSIDAD MEDIDA EN
EL LABORATORIO Ra (µm)
1 0.00015408074 0.229
2 0.000031675 0.286
3 0.00021924 1.215
4 0.0000958243 1.268
Tabla 9: Resultados pruebas de optimización en el laboratorio.
Estos resultados, comparándolos con los teóricos no son los deseados, ya que se
esperaba que fueran o estuvieran muy cerca de los valores obtenidos
matemáticamente, por lo cual se observa que el método matemático utilizado no es
64
concluyente, pero si aporto cifras importantes y datos para el proyecto, pero cabe
aclarar que estos resultados están dentro del promedio de medidas obtenidos al
principio de las pruebas, los cuales no resultan siendo ni mínimos ni máximos, son
solo valores a mitad del rango.
65
6. CONCLUSIONES
- Se definieron los parámetros tecnológicos de avance, velocidad de corte y
profundidad óptimos de acuerdo a las condiciones de mecanizado
establecidas por medio de distintos parámetros preestablecidos.
- Se logró analizar la variación de rugosidad en un acero AISI SAE 1045 por
medio de pruebas de mecanizado y expresiones matemáticas que llevaron a
la aplicación del método de interpolación multivariada de Lagrange y la
obtención de cuatro polinomios, además no fue posible aplicar el método de
multiplicadores de Lagrange ya que no se tenía una restricción que permitiera
realizar la optimización, por esta razón se optó por utilizar el método del
gradiente para realizar la optimización.
- Se modificó de manera drástica los puntos críticos, ya que no se obtuvieron
los resultados mínimos que se esperaban para así hallar el valor más bajo
de rugosidad. Debe aclararse que debido a que la solución de la optimización
no es igualar a cero las primeras derivadas, no son puntos críticos, por tanto
se puede afirmar que no se pueden utilizar para optimizar la función
analizada y se usaron como referencia para cumplir los objetivos, esto porque
los distintos métodos desarrollados para su optimización no fueron
satisfactorios o posibles de realizar, por ende se decidió igualar a cero los
polinomios y hallar los valores de (x, y, z), obteniendo como resultado los
valores teóricos con los que se trabajó en el proyecto.
66
- Aunque no se logró minimizar la rugosidad hasta su punto más bajo y óptimo,
los resultados obtenidos se encuentran por debajo o en el promedio de la
rugosidad que se logró en las distintas pruebas realizadas para la creación
de los polinomios, esto pudo ser afectado por varios factores como por
ejemplo las condiciones de la máquina, factores externos como la vibración
en la toma de datos, el montaje de los insertos y/o los parámetros
seleccionados, los cuales estaban en un rango muy amplio y eso afectó la
parte matemática, pero que son los recomendados por el catálogo y el
fabricante de la herramienta de corte, entre otros.
- De acuerdo a los resultados, se puede afirmar que los métodos matemáticos
bajo las condiciones propuestas anteriormente de mecanizado nos
suministraron información muy importante a pesar de no haber conseguido
un resultado ideal, ya que pudo ser impreciso debido a los rangos tan amplios
que tenían los valores de mecanizado en el momento de tomar las muestras,
y de resultados de tan compleja medida, como por ejemplo la rugosidad.
67
7. GLOSARIO
Optimización: Es un proceso sistemático de resolución seguido para alcanzar la
solución óptima (máximo o mínimo) de la función objetivo y verificar las restricciones
de todo tipo que limitan la consecución de ese objetivo22.
Nitruro de aluminio titanio (AlTiN): Son recubrimientos extra duros (PVD)
basados en nitruro de titanio aluminio que destacan por su dureza, estabilidad
térmica y resistencia a ataques químicos. Protegen las aristas de corte por abrasión
y adhesión así como por carga térmica23.
Estereoscopio: Los estereoscopios permiten hacer estudios de objetos y
especímenes demasiado pequeños para ser estudiados a simple vista, pero
demasiado grandes para ser estudiados bajo el microscopio compuesto. Su
magnificación va desde cerca de 5x hasta más de 60x24.
22 http://www.economia48.com/spa/d/optimizacion/optimizacion.htm 23 http://campusvirtual.edu.uy/archivos/mecanica-general/MATERIAL%20BIBLIOGRAFICO%20TECNICO%20PARA%20APOYO%20DOCENTE/Material%20Didactico/tecnologia-de-corte_parte-2.pdf 24 https://microscopico.wordpress.com/estereoscopio/
68
Hessiano: Es el que contiene a las segundas derivadas y que sirve para verificar
si el punto crítico del que estamos hablando es máximo, mínimo, punto silla o no
puede determinarse. Primero recordemos que los puntos críticos son aquellos que
anulan el gradiente25.
Punto de silla: Es el punto sobre una superficie en el que la pendiente es cero
pero no se trata de un extremo local (máximo o mínimo). Es el punto sobre una
superficie en el que la elevación es máxima en una dirección y mínima en la
dirección perpendicular26.
Cementado: Es un tratamiento termoquímico en el que se aporta carbono a la
superficie de una pieza de acero mediante difusión, modificando su composición,
impregnando la superficie y sometiéndola a un tratamiento térmico27.
Cianurado: Es un tratamiento consistente en endurecer la superficie exterior de
las piezas introduciendo carbono y nitrógeno; es como una mezcla de carburación
y nitruración26.
25 http://es.slideshare.net/Cerveza13/matriz-hessiana 26 https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_silla 27 http://es.slideshare.net/tango67/cementacin-carbonitrurado-cianurado-y-nitrurado
69
8. BIBLIOGRAFÍA
ABOUELATTA, Ob y MÁDL, J. “Predicción de rugosidad de la superficie en base a
los parámetros de corte y vibraciones de la herramienta en operaciones de
torneado”, Facultad de Ingeniería Mecánica, Departamento de Tecnología
Mecánica, Technická 4, CTU, 166 07 Praha 4, República Checa, (2001).
ASILTÜRK, İlhan y AKKUS, Harun. “Determinar el efecto de los parámetros de
corte en la rugosidad de la superficie en el torneado utilizando el método Taguchi”,
Universidad de Selcuk, Facultad de Educación Técnica, 42075 Konya, Turquía,
(2011).
GÖKKAYA, Hasan y NALBANT, Muammer. “Los efectos de la geometría de corte
y procesamiento de parámetros de la herramienta en la rugosidad de la superficie
de un acero AISI 1030”, Safranbolu Profesional High School, Universidad
Karaelmas, Karabük 78600, Turquía, Universidad Gazi de la Facultad de
Educación Técnica, Beşevler-Ankara 06500, Turquía, (2005).
MAKADIA, Ashvin J. y NANAVATI J.I. “Optimización de los parámetros de
mecanizado para operaciones de torneado basado en la metodología de superficie
de respuesta”, Instituto Darshan de Ingeniería y Tecnología, Universidad de
Tecnología de Gujarat, At. Hadala, Rajkot-Morbi Highway, Nr.Sumidero de agua,
Rajkot 363 650, Gujarat, India, Facultad de Ingeniería y Tecnología, Universidad
de MS, Kalabhavan, Baroda 390 001, Gujarat, India, (2012).
70
Marsden J., & Tromba A., calculo vectorial, tercera edición, Addison-Wesley
Iberoamericana. Estados Unidos, 1991.
"Herramientas de corte". Disponible en
<http://www.salacam.unal.edu.co/descargas/PM%20HC.pdf>
"Rugosímetro". Disponible en
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“Interpolación multivariable de funciones”. Disponible en
<http://campus.usal.es/~3cm/sites/default/files/3CM-18.pdf>
“Evaluación de la rugosidad superficial”. Disponible en
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“Evaluación de Parámetros de Rugosidad usando Análisis de Imágenes de
Diferentes Microscopios Ópticos y Electrónicos”. Disponible en
<http://www.scielo.cl/pdf/infotec/v22n4/art14.pdf>
“Características técnicas centro de mecanizado Leadwell V20-i”. Disponible en
<http://www.udistrital.edu.co:8080/web/laboratorio-mecanica/fresa-cnc-leadwell-
v20>
71
“Catálogo de herramientas disponibles centro de mecanizado”. Disponible en
<http://www.udistrital.edu.co:8080/web/laboratorio-mecanica/herramientas>