operemos con monomios y polinomios

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

OPERACIONES CON MONOMIOS Y

POLINOMIOS

UNIDAD IV IV.1 OPERACIONES CON MONOMIOS Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera. Un coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a una variable. Una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado. Expresiones algebraicas son todas aquellas que combinan constantes y variables mediante operaciones. Ejemplos.

1) 4329 zyx , el coeficiente es 9 y las variables son

432 zyx

2) 485

7

2

3

4

d

cba +− , los coeficientes son

3

4− y 7

2; las variables son 85ba y 4d

c

Un término algebraico es cada sumando de una expresión algebraica. Los términos poseen grados de dos tipos: • Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de las literales que forman al término. • Grado relativo. Es aquel exponente que tiene una literal específica. Ejemplos.

1) En el término 4325 zyx , el grado absoluto es 9 y el grado relativo de la literal x es 2 .

2) En el término 657 bca , el grado absoluto es 12 y el grado relativo de la literal b es 1 . Se define como monomios a las expresiones algebraicas que constan de un solo término. Ejemplos.

1) cba 245

2) ( )433

11

2yx−

3) 75 a

El valor numérico de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las literales por valores específicos, después de efectuar las operaciones indicadas.


2

Ejemplos.

1) Si en el monomio ba24 , las literales toman los valores 2=a y 3−=b , su valor numérico es:

( )( ) 48324 2 −=−

2) Si en el monomio 23

3

4yzx− , las literales toman los valores 1−=x , 9=y y

2

1=z , su valor

numérico es: ( ) 32

191

3

42

3 =

−−

Términos semejantes. Son aquellos que tienen la parte literal igual. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Ejemplos.

1) 23x y 27x son términos semejantes

2) 342

2

5npmk y

43212 mpnk− son términos semejantes

3) ba22 y 26ab no son términos semejantes Suma de monomios Para sumar monomios tienen que ser semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma de los coeficientes de cada monomio. Ejemplos. Sumar los siguientes monomios:

1) 44444 194825 xxxxx =+++

2) cbabcacbacba 52525252 1027 =++

3) 3333

12

7

4

5

2

1

3

4yzyzyzyz =

−++

Resta de monomios Para restar monomios también es necesario que sean semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la resta de los coeficientes de cada monomio. Ejemplos.

1) 22222 42411 xxxxx =−−−

2) 34433434 7121015 mkkmmkmk −=−−

3) cabacbcabcab 2222

10

112

2

1

5

2 −=−

−−


3

Multiplicación de monomios Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los exponentes que se requieran, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada literal. Ejemplos.

1) ( )( ) 853 1052 xxx =

2) ( )( )( ) 6384552232 84734 hgfehfhgegfe −=−

3) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2520161236624433223 00021612525 zy,zyzyzyzyzyyz −=−=−− División de monomios Para dividir dos monomios, tampoco es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los exponentes que se requieran, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de cada literal. Ejemplos.

1) 3

2

5

26

12a

a

a =

2) zxzyx

zyx 252

254

416

64 =

3) 4

33343

72

435 66

8

48

m

nknmk

nmk

nmk −=−=−

−

IV.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS Un polinomio en x de grado n es una expresión del tipo:

( ) nno xaxaxaxaxaaxP ++++++= L

44

33

221

donde ∈n N y no a,,a,a,a L21 son coeficientes reales y se lee como “ P de x ”.

El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus términos. Ejemplos. 1) 32 8625 xxx +−+ el grado es 3

2) 243 101282 xxxx +−+− el grado es 4

3) 235243 57812714 xmmxmxmmx +−+++ el grado con respecto a x es 5 Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de manera descendente (posicionándola de mayor a menor grado) o de forma ascendente (ubicándola de menor a mayor grado). Ejemplos.


4

1) El polinomio xxxx 105692 342 +−+− ordenado de forma descendente es:

910256 234 −++− xxxx

2) El polinomio 3322 57128 xyyxyx +−+ ordenado de forma ascendente con respecto a x es:

yxyxxy 3223 78512 −++ Completar un polinomio es añadir los términos intermedios que falten poniendo de coeficiente 0 . Ejemplo.

El polinomio 463 513928 xxxx −−−− ordenado de forma descendente y completándolo es:

29085013 23456 −−++−+− xxxxxx Suma de polinomios Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo ( )+ , dejando el mismo

signo de cada uno de los términos que se hallan dentro de él y se simplifican los términos que sean semejantes. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 4911247351124735 22222 −−=−+++−=−+++− xxxxxxxxxx

2) ( ) ( ) kkkkkkkkkkkkkk 421258736421258736 5324253242 −+++−−+=−+++−−+

8281272 2345 −+++−= kkkkk

3) ( ) ( ) ( )27119358416 3333222233 +−+−+−++−+ abbabaabbababaab

12413627119358416 32233333222233 +−+=+−+−+−++−+= abbabaabbabaabbababaab

4)

+−+

+++

+− xxxxxx5

61

4

3

2

11

5

84

2

5

3

4

6

7 222

3

17

15

58

20

97

5

61

4

3

2

11

5

84

2

5

3

4

6

7 2222 ++=+−+++++−= xxxxxxxx

Resta de polinomios Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (-), cambiando el signo de cada uno de los términos del sustraendo y se simplifican los términos que sean semejantes. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 5627254956272549 23232323 −++−−++=+−−−−++ xxxxxxxxxxxx

71162 23 −++= xxx

2) ( ) ( )aaaaaaaaa 394573144925 4632354 +−−+−−+−−+

aaaaaaaaa 394573144925 4632354 −++−+−+−−+=

212391194 23456 ++−−+−= aaaaaa

3) ( ) ( ) ( )pkpkkppkpkkppkpk 22342234232 3615524484105 −+−−+−−+−+


5

pkpkkppkpkkppkpk 22342234232 3615524484105 +−−+−+−+−+=

7131214 4223 −++−= kppkpk

4)

+−−−

+−−

+− 73

1

4

11

2

9

5

12

3

4

7

8

6

5

3

2 222 xxxxxx

15

59

7

1

12

317

3

1

4

11

2

9

5

12

3

4

7

8

6

5

3

2 2222 −+−=−++−+−+− xxxxxxxx

Producto de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los términos del polinomio por el monomio, es decir, es una suma de producto de monomios. Ejemplos.

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8222723252827352 222232422342 xxxxxxxxxxxxxx −++−=−++−

23456 16414610 xxxxx −++−=

2) ( )( )2253423 73621095 bababaabba −++−+−

432423357664 351530105045 babababababa +−−+−−=

3) ( )32342534342 1022612842

3ehghehfgehefgfe −++−−

334324423454362845383 1533918126 hgfehgfegfehgfegfehgfe −++−−=

4) 543543322

52

15156

15152

31

53 aaaaaaaaaa +−=+−=

+−

Multiplicación de dos polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, esto es, se multiplican todos los términos del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero y se reducen los términos semejantes. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Ejemplos.

1) ( )( ) 12422410352062112274653 22323422 +−+−+−+−=+−+− xxxxxxxxxxxx

1252654112 234 +−+−= xxxx

2) ( )( ) 422332242222 361444819216644169124 bbaabbabaabababa −++−−=−+−

432234 364812819264 babbabaa −++−=

3) ( )( ) 4472224346223432 2515215106653152 zyzyzyyzzyzyyzzyyzyzyz −−−−+=−−+−−

yzzyzyyz ++−++ 23325 65530 División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del dividendo por el divisor, es decir, es una suma de cociente de monomios.


6

Ejemplos.

1) xxxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx7425

12

84

12

48

12

24

12

60

12

84482460 2342

3

2

4

2

5

2

6

2

3456

+−−=+−−=+−−

2) 3131885

155659040 422333

353253643

−+++−=−

+−−−yywywy

yw

ywywywywyw

3) 342

344546653376445

6

9024366054

rqp

rqprqprqprqprqp −−−−

2243343 1546109 prppqrqprp −−−−=

Cociente de dos polinomios Para dividir dos polinomios se efectúa el siguiente procedimiento: • Se ordenan los polinomios de forma descendente con respecto al grado de una misma variable. • Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene el primer

término del cociente. • Se resta del dividendo el producto del primer término del cociente por el divisor y se obtiene el primer

residuo (esto implica cambiar todos los signos del producto efectuado y reducir términos semejantes con el dividendo).

• Se bajan los términos restantes del dividendo sumándolos al residuo anterior. • Se divide el primer término del residuo por el primer término del divisor, obteniendo así el segundo

término del cociente. • Se procede de forma análoga hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior al del divisor. • Comprobar el resultado mediante el algoritmo: ( )( ) dividendoresiduodivisorcociente =+ Ejemplos.

1) Dividir 95256 234 +−−− xxxx por 3+x Solución.

1129

42

3311

911

62

952

279

95259

3

952563

23

2

2

23

23

34

234

−+−

++−

−−

+−

+

+−−−

−−

+−−−+xxx

x

x

xx

xx

xx

xxx

xx

xxxxx

Comprobación: ( )( ) 4233627311294211293 2323423 +−+−+−+−=+−+−+ xxxxxxxxxxx

95256 234 +−−−= xxxx


7

2) Dividir 14232 234 ++−+ xxxx por 12 +− xx Solución.

152

0

1

1

555

1445

222

142321

2

2

2

23

23

234

2342

++

−+−

+−

−+−

++−

−+−

++−++−

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

Comprobación: ( )( ) 0152525201521 22323422 ++++−−−++=++++− xxxxxxxxxxxx

14232 234 ++−+= xxxx 3) Dividir 83 +x por 2+x Solución. Completando el polinomio y efectuando la división:

42

0

84

84

42

802

2

8002

2

2

2

23

23

+−

−−+

+

++−

−−

++−+xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

Comprobación: ( )( ) 80842420422 32232 +=++−++−=++−+ xxxxxxxxx

83 += x

4) Dividir 9142230 23 +−− kkk por 35 +k Solución.


8

286

3

610

910

2440

91440

1830

914223035

2

2

2

23

23

+−

−−+

+

+−−

−−+−−+

kk

k

k

kk

kk

kk

kkkk

Comprobación: ( )( ) 362418104030328635 2232 ++−++−=++−+ kkkkkkkk

9142230 23 +−−= kkx

5) Dividir 3223 422430 babbaa +−+ por ba 46 − Solución. La división se ejecutará respecto a la variable a :

22

32

32

22

322

23

3223

45

0

46

46

1624

42224

2030

42243046

baba

bab

bab

abba

babba

baa

babbaaba

−+

−

+−

+−+−

+−+−+−

Comprobación: ( )( ) 32222322 416206243004546 babbaabbaabababa +−−−+=+−+−

3223 422430 babbaa +−+= IV.3 VALOR Y GRÁFICA DE POLINOMIOS EN UNA SOLA VARI ABLE Dado un polinomio de la forma:

( ) nn

nno xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −

−1

13

32

21

Se conoce como valor de un polinomio ( ) nn

nno xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −

−1

13

32

21 para cx = , al valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la variable, x , por el número c y se

realizan las operaciones. Se denota como ( )cP y se lee “ P de c ”.


9

Ejemplos.

1) Evaluar el polinomio ( ) 1485 2 ++−= xxxP para 3=x . Solución.

( ) ( ) ( ) 71424451438353 2 −=++−=++−=P

2) Evaluar el polinomio ( ) 5674 234 ++++= xxxxxP para 2−=x . Solución.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5512283216526272422 234 =+−+−=+−+−+−+−=−P

3) Evaluar el polinomio ( ) 27108 23 +−+= xxxxP para 4

1=x .

Solución.

=+−+=+−+=+

−

+

=

24

7

8

5

8

12

4

7

16

10

64

82

4

17

4

110

4

18

4

123

P

18

8

8

161451 ==+−+=

Como se definió en el subtema I.6, el plano cartesiano es un sistema formado por dos ejes numéricos

reales perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. El eje horizontal ( )x recibe el

nombre de eje de las abscisas y el eje vertical ( )y recibe el nombre de eje de las ordenadas.

La gráfica de un polinomio está formada por el conjunto de parejas coordenadas ( )y,x que cumplen o

satisfacen la regla de correspondencia ( )xP .

Los polinomios ( )xP pueden evaluarse para todo ∈x R y por ello se unen los puntos obtenidos para obtener sus gráficas.

Para fines prácticos, para valores diferentes de x se pueden obtener los valores de ( )xP , generando

puntos de coordenadas ( )[ ]xP,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman su

gráfica.

La variable x recibe el nombre de variable independiente y a ( )xP se le conoce como variable

dependiente, es decir, que está en función de la variable x . Ejemplo. Tabular y graficar los siguientes polinomios en los intervalos pedidos:

1) ( ) 62 −−= xxxP en el intervalo [ ]65,− Solución. Tabulando con los valores enteros del intervalo:


10

x ( )xP

5− ( ) ( ) 246525655 2 =−+=−−−−

4− ( ) ( ) 146416644 2 =−+=−−−−

3− ( ) ( ) 6639633 2 =−+=−−−−

2− ( ) ( ) 0624622 2 =−+=−−−−

1− ( ) ( ) 4611611 2 −=−+=−−−−

0 ( ) 6600600 2 −=−−=−−

1 66116112 −=−−=−−

2 46246222 −=−−=−−

3 06396332 =−−=−−

4 664166442 =−−=−−

5 1465256552 =−−=−−

6 2466366662 =−−=−−

x

15

-4 6

10

-5

-10

4

20

25

-6 2-2 531-3-5 -1

5

y

2) ( ) 896 23 +−+−= xxxxP en el intervalo [ ]51,− Solución. Tabulando con los valores enteros del intervalo:

x ( )xP

1− ( ) ( ) ( ) 248961819161 23 =+++=+−−−+−−

0 ( ) ( ) 88000809060 23 =+−+=+−+

1 ( ) ( ) ( ) 48961819161 23 =+−+−=+−+−

2 ( ) ( ) ( ) 6818248829262 23 =+−+−=+−+−

3 ( ) ( ) ( ) 88275427839363 23 =+−+−=+−+−

4 ( ) ( ) ( ) 48369664849464 23 =+−+−=+−+−

5 ( ) ( ) ( ) 12845150125859565 23 −=+−+−=+−+−


11

x

16

-8

y

2 5

-16

8

4

12

-4

-12

1 4

20

24

-1 3

3) ( ) 59 24 +−= xxxP en el intervalo [ ]33,− Solución. Tabulando con los valores enteros del intervalo:

x ( )xP

3− ( ) ( ) 5581815393 24 =+−=+−−−

2− ( ) ( ) 15536165292 24 −=+−=+−−−

1− ( ) ( ) 35915191 24 −=+−=+−−−

0 ( ) ( ) 55005090 24 =+−=+−

1 ( ) ( ) 35915191 24 −=+−=+−

2 ( ) ( ) 15536165292 24 −=+−=+−

3 ( ) ( ) 5581815393 24 =+−=+−

x

10

-5

y

-3 -2 -1 1 2 3

-10

5

-15


12

4) ( ) 92 +−= xxP en el intervalo [ ]44,− Solución. Tabulando en con los valores enteros del intervalo:

x ( )xP

4− ( ) 791694 2 −=+−=+−−

3− ( ) 09993 2 =+−=+−−

2− ( ) 59492 2 =+−=+−−

1− ( ) 89191 2 =+−=+−−

0 ( ) 99090 2 =+=+−

1 ( ) 89191 2 =+−=+−

2 ( ) 59492 2 =+−=+−

3 ( ) 09993 2 =+−=+−

4 ( ) 791694 2 −=+−=+−

x

6

-6

y

-2 3

-10

2

-2

4

-4

-8

-1 2

8

10

-3 1-4 4

operemos con monomios y polinomios

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