OPERADORES NORMALES EN ESPACIOSCON PRODUCTO INTERNO

David Choez

10 de Diciembre del 2014

Ejercicio 10: Supongamos que V es un espacio vectorial complejo conproducto interno y T ∈ L(V ) es un operador normal y T 9 = T 8. Probar queT es auto-adjunto y T 2 = T.

SoluciA3n : PorelTeoremaEspectralComplejo∃ base orthonormal asA de-finimos (e1, e2, ..., en) que consisten en vectores propios ,y sean λ1, λ2, ..., λn suscorrespondientes vectores propios ,tenemos entonces:

Tvj = λjvj

donde j=1,2,...,n.Multiplicamos por T a ambos lados de la igualdad y obtenemos :T (Tvj) = T (λjvj) = λjT (vj) como

Tvj = λjvj ⇒ T (Tvj) = λj(λjvj) = λ2vj

nuevamente aplicamos T: T (T (Tvj)) = T (λ2jvj) = λ2jT (vj) = λ2j(λjvj)) = λ3jvjde donde

T 3vj = λ3jvj

asA aplicamos hasta T 9 y obtenemos:

T 9vj = λ9jvj

de nuestra hipA3tesisT8 = T 9 asA T 9vj = λ8jvj de donde λ9j = λ8j ⇒ λ8j(λj −1) = 0 ⇒ λj = 0, λj = 1

T =

1 0 0 0 .. 00 1 0 0 .. 00 0 0 0 .. 0.....0 0 0 λj .. 0.....0 0 0 0 .. 0

T ∗ =

1 0 0 0 .. 00 1 0 0 .. 00 0 0 0 .. 0.....0 0 0 λj .. 0.....0 0 0 0 .. 0

λj = 0 o λj = 1

1

note que los valores propios son 0 y 1 en la diagonal que al transponer esla misma con respecto a ONB,asA podemos concluir que T = T ∗ ademasTT = T 2 = T debido a que es diagonal.

Ejercicio 13: Probar o dar un contra-ejemplo :Cada operador auto-adjuntoen V tiene un raAz cAobica.(Un operador S ∈ L(V ) es llamado raAz cAobicade T ∈ L(V ) si T = S3)

SoluciA3n :

si V = C,como cada operador de dimension finita en un espacio vectorialcomplejo tiene un valor propio,y por tanto siempre un raAz.Si V = R,ahorapor el Teorema Espectral Real ,dado que es auto-adjunto,existe una base(e1, e2, ..., en) ,y sus correspondientes valores propios λ1, λ2, ..., λn tal que:

Tvj = λjvj

con j=1,2,...,n.

S =

3√λ1 0 0 .. 00 0 0 .. 00 3

√λ2 0 0 .. 0

......

0 0 1 3√λj .. 0

........0 0 0 0 .. 3

√λn

⇒ SSS = S3 = T

debido a que Cada valor propio de un operador auto-adjunto es real ,tenemosque λj es real ,asA existe por lo menos una raAz definida en R+ Ahora pode-mos definir Svj = 3

√λjvj con S ∈ L(V ) como vemos en nuestra matriz S es

diagonal ,y si multiplicamos S(Svj) = S( 3√λjvj) = 3

√λjS(vj) = 3

√λj( 3

√λjvj)

= 3

√λ2jS(vj) ⇒ SSS(vj) = S( 3

√λ2jvj)) = 3

√λ2jS(vj)) = 3

√λ2j(

3√λjvj) = λj(vj)

de donde S3 = TEjercicio 18: Probar que si T ∈ L(V ) es positiva ,entonces T k es po-

sitiva para todo k ∈ Z SoluciA3n : PordefiniciA3n, SiTespositiva, esauto −adjunta, SeaTTTTT···TT = T k⇒ (TTTTT ···TT )∗ = (T k)∗ ahora (T ∗T ∗T ∗T ∗·· · T ∗T ∗ = (T ∗)k como T es auto-adjunta T ∗T ∗T ∗T ∗ · · · T ∗T ∗ = (T ∗)k lue-go (T ∗)k = (T k)∗ de donde T k es auto-adjunta. Se demostrarA¡ por Induc-ciA3nqueespositiva :

Si k=1 ,〈T 1v, v〉 = 〈Tv, v〉 ≥ 0 por definiciA3ndepositivadeT.si k=2 ,〈T 2v, v〉 = 〈Tv, Tv〉 ≥= ‖Tv‖2 ≥ 0

hipA3tesisdeInducciA3n : sik=p∈ Z suponiendo que Hi : T p es positiva

hay que probar que si k=p+1 : T p+1 es positiva para esto sea 〈T p+1v, v〉 =〈TT pv, v〉 = 〈T pv, T ∗v〉 = 〈T pv, Tv〉 de nuestra hipA3tesisdeinducciA3nTp espositiva ,y de la hipA3tesisdelenunciadoTespositivaluego〈T pv, Tv〉 ≥ 0

por tanto T k es positiva.

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