operacionesmonpoli

Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

1

OPERACIONES CON MONOMIOS Y

POLINOMIOS

UNIDAD IV

IV.1 OPERACIONES CON MONOMIOS

Una variable es un elemento de una frmula, proposicin o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera.

Un coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a una variable.

Una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado.

Expresiones algebraicas son todas aquellas que combinan constantes y variables mediante operaciones.

Ejemplos.

1) 4329 zyx , el coeficiente es 9 y las variables son 432 zyx

2) 485

72

34

dcba + , los coeficientes son 3

4

y 72

; las variables son 85ba y 4dc

Un trmino algebraico es cada sumando de una expresin algebraica.

Los trminos poseen grados de dos tipos:

Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de las literales que forman al trmino.

Grado relativo. Es aquel exponente que tiene una literal especfica.

Ejemplos.

1) En el trmino 4325 zyx , el grado absoluto es 9 y el grado relativo de la literal x es 2 . 2) En el trmino 657 bca , el grado absoluto es 12 y el grado relativo de la literal b es 1 .

Se define como monomios a las expresiones algebraicas que constan de un solo trmino.

Ejemplos.

1) cba 245 2) ( )433112 yx 3) 75 a

El valor numrico de un monomio es el nmero que se obtiene al sustituir las literales por valores especficos, despus de efectuar las operaciones indicadas.


2

Ejemplos.

1) Si en el monomio ba24 , las literales toman los valores 2=a y 3=b , su valor numrico es: ( )( ) 48324 2 =

2) Si en el monomio 2334 yzx , las literales toman los valores 1=x , 9=y y

21

=z , su valor

numrico es: ( ) 32191

34 23

=

Trminos semejantes. Son aquellos que tienen la parte literal igual. Dos o ms trminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas literales elevadas a los mismos exponentes.

Ejemplos.

1) 23x y 27x son trminos semejantes 2) 3422

5npmk

y 43212 mpnk son trminos semejantes

3) ba22 y 26ab no son trminos semejantes

Suma de monomios

Para sumar monomios tienen que ser semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma de los coeficientes de cada monomio.

Ejemplos. Sumar los siguientes monomios:

1) 44444 194825 xxxxx =+++ 2) cbabcacbacba 52525252 1027 =++

3) 3333 127

45

21

34 yzyzyzyz =

++

Resta de monomios

Para restar monomios tambin es necesario que sean semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la resta de los coeficientes de cada monomio.

Ejemplos.

1) 22222 42411 xxxxx = 2) 34433434 7121015 mkkmmkmk = 3) cabacbcabcab 2222

10112

21

52

=


3

Multiplicacin de monomios

Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los exponentes que se requieran, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada literal.

Ejemplos.

1) ( )( ) 853 1052 xxx = 2) ( )( )( ) 6384552232 84734 hgfehfhgegfe = 3) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2520161236624433223 00021612525 zy,zyzyzyzyzyyz ==

Divisin de monomios

Para dividir dos monomios, tampoco es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los exponentes que se requieran, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de cada literal.

Ejemplos.

1) 325

26

12a

a

a=

2) zxzyxzyx 2

52

2544

1664

=

3) 433

34372

435 668

48m

nknmk

nmknmk

==

IV.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS

Un polinomio en x de grado n es una expresin del tipo:

( ) nno xaxaxaxaxaaxP ++++++= L4433221

donde n N y no a,,a,a,a L21 son coeficientes reales y se lee como P de x .

El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus trminos.

Ejemplos.

1) 32 8625 xxx ++ el grado es 3 2) 243 101282 xxxx ++ el grado es 4 3) 235243 57812714 xmmxmxmmx ++++ el grado con respecto a x es 5

Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de manera descendente (posicionndola de mayor a menor grado) o de forma ascendente (ubicndola de menor a mayor grado).

Ejemplos.


4

1) El polinomio xxxx 105692 342 ++ ordenado de forma descendente es: 910256 234 ++ xxxx

2) El polinomio 3322 57128 xyyxyx ++ ordenado de forma ascendente con respecto a x es:

yxyxxy 3223 78512 ++

Completar un polinomio es aadir los trminos intermedios que falten poniendo de coeficiente 0 .

Ejemplo.

El polinomio 463 513928 xxxx ordenado de forma descendente y completndolo es: 29085013 23456 +++ xxxxxx

Suma de polinomios

Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupacin precedidos del signo ( )+ , dejando el mismo signo de cada uno de los trminos que se hallan dentro de l y se simplifican los trminos que sean semejantes.

Ejemplos.

1) ( ) ( ) 4911247351124735 22222 =+++=+++ xxxxxxxxxx 2) ( ) ( ) kkkkkkkkkkkkkk 421258736421258736 5324253242 ++++=++++

8281272 2345 +++= kkkkk

3) ( ) ( ) ( )27119358416 3333222233 ++++++ abbabaabbababaab

12413627119358416 32233333222233 ++=++++++= abbabaabbabaabbababaab

4)

++

+++

+ xxxxxx

561

43

211

584

25

34

67 222

317

1558

2097

561

43

211

584

25

34

67 2222 ++=++++++= xxxxxxxx

Resta de polinomios

Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupacin precedidos del signo (-), cambiando el signo de cada uno de los trminos del sustraendo y se simplifican los trminos que sean semejantes.

Ejemplos.

1) ( ) ( ) 5627254956272549 23232323 ++++=+++ xxxxxxxxxxxx

71162 23 ++= xxx

2) ( ) ( )aaaaaaaaa 394573144925 4632354 ++++

aaaaaaaaa 394573144925 4632354 +++++=

212391194 23456 +++= aaaaaa

3) ( ) ( ) ( )pkpkkppkpkkppkpk 22342234232 3615524484105 ++++


5

pkpkkppkpkkppkpk 22342234232 3615524484105 +++++=

7131214 4223 ++= kppkpk

4)

+

+

+ 7

31

411

29

512

34

78

65

32 222 xxxxxx

1559

71

12317

31

411

29

512

34

78

65

32 2222

+=++++ xxxxxxxx

Producto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los trminos del polinomio por el monomio, es decir, es una suma de producto de monomios.

Ejemplos.

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8222723252827352 222232422342 xxxxxxxxxxxxxx ++=++

23456 16414610 xxxxx ++= 2) ( )( )2253423 73621095 bababaabba +++

432423357664 351530105045 babababababa ++=

3) ( )32342534342 10226128423 ehghehfgehefgfe ++

334324423454362845383 1533918126 hgfehgfegfehgfegfehgfe ++= 4) 543543322

5215

15615

152

3153 aaaaaaaaaa +=+=

+

Multiplicacin de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, esto es, se multiplican todos los trminos del segundo polinomio por cada uno de los trminos del primero y se reducen los trminos semejantes. La multiplicacin de polinomios es distributiva respecto a la adicin.

Ejemplos.

1) ( )( ) 12422410352062112274653 22323422 ++++=++ xxxxxxxxxxxx

1252654112 234 ++= xxxx

2) ( )( ) 422332242222 361444819216644169124 bbaabbabaabababa ++=+

432234 364812819264 babbabaa ++=

3) ( )( ) 4472224346223432 2515215106653152 zyzyzyyzzyzyyzzyyzyzyz +=+ yzzyzyyz ++++ 23325 65530

Divisin de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada trmino del dividendo por el divisor, es decir, es una suma de cociente de monomios.


6

Ejemplos.

1) xxxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx 74251284

1248

1224

1260

1284482460 234

2

3

2

4

2

5

2

6

2

3456

+=+=+

2) 3131885

155659040 422333

353253643

+++=

+ yywywyyw

ywywywywyw

3) 342344546653376445

69024366054

rqprqprqprqprqprqp

2243343 1546109 prppqrqprp =

Cociente de dos polinomios

Para dividir dos polinomios se efecta el siguiente procedimiento:

Se ordenan los polinomios de forma descendente con respecto al grado de una misma variable. Se divide el primer trmino del dividendo por el primer trmino del divisor y se obtiene el primer

trmino del cociente. Se resta del dividendo el producto del primer trmino del cociente por el divisor y se obtiene el primer

residuo (esto implica cambiar todos los signos del producto efectuado y reducir trminos semejantes con el dividendo).

Se bajan los trminos restantes del dividendo sumndolos al residuo anterior. Se divide el primer trmino del residuo por el primer trmino del divisor, obteniendo as el segundo

trmino del cociente. Se procede de forma anloga hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior al del divisor. Comprobar el resultado mediante el algoritmo: ( )( ) dividendoresiduodivisorcociente =+

Ejemplos.

1) Dividir 95256 234 + xxxx por 3+x

Solucin. 1129

423311911

62952

27995259

3952563

23

2

2

23

23

34

234

+

+

+

+

+

+

++

xxx

x

x

xx

xx

xx

xxx

xx

xxxxx

Comprobacin: ( )( ) 4233627311294211293 2323423 ++++=+++ xxxxxxxxxxx 95256 234 += xxxx


7

2) Dividir 14232 234 +++ xxxx por 12 + xx

Solucin.

152

01

1

5551445

222

142321

2

2

2

23

23

234

2342

++

+

+

+

++

+

++++

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

Comprobacin: ( )( ) 0152525201521 22323422 ++++++=++++ xxxxxxxxxxxx 14232 234 +++= xxxx

3) Dividir 83 +x por 2+x

Solucin. Completando el polinomio y efectuando la divisin:

42

08484

42802

28002

2

2

2

23

23

+

+

+

++

+++

xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

Comprobacin: ( )( ) 80842420422 32232 +=++++=+++ xxxxxxxxx 83 += x

4) Dividir 9142230 23 + kkk por 35 +k

Solucin.


8

286

3610910

244091440

1830914223035

2

2

2

23

23

+

+

+

+

++

kk

kkkkkk

kkkkkk

Comprobacin: ( )( ) 362418104030328635 2232 ++++=+++ kkkkkkkk 9142230 23 += kkx

5) Dividir 3223 422430 babbaa ++ por ba 46

Solucin. La divisin se ejecutar respecto a la variable a :

22

32

32

22

322

23

3223

45

04646

162442224

203042243046

baba

babbab

abbababba

baababbaaba

+

+

+

+

+

++

Comprobacin: ( )( ) 32222322 416206243004546 babbaabbaabababa ++=++

3223 422430 babbaa ++=

IV.3 VALOR Y GRFICA DE POLINOMIOS EN UNA SOLA VARIABLE

Dado un polinomio de la forma:

( ) nnnno xaxaxaxaxaaxP ++++++= 1133221

Se conoce como valor de un polinomio ( ) nnnno xaxaxaxaxaaxP ++++++= 1133221 para cx = , al valor numrico que toma el polinomio cuando se sustituye la variable, x , por el nmero c y se

realizan las operaciones. Se denota como ( )cP y se lee P de c .


9

Ejemplos.

1) Evaluar el polinomio ( ) 1485 2 ++= xxxP para 3=x . Solucin.

( ) ( ) ( ) 71424451438353 2 =++=++=P

2) Evaluar el polinomio ( ) 5674 234 ++++= xxxxxP para 2=x . Solucin.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5512283216526272422 234 =++=++++=P

3) Evaluar el polinomio ( ) 27108 23 ++= xxxxP para 41

=x.

Solucin.

=++=++=+

+

=

247

85

812

47

1610

6482

417

4110

418

41 23P

188

8161451

==

++=

Como se defini en el subtema I.6, el plano cartesiano es un sistema formado por dos ejes numricos reales perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. El eje horizontal ( )x recibe el nombre de eje de las abscisas y el eje vertical ( )y recibe el nombre de eje de las ordenadas.

La grfica de un polinomio est formada por el conjunto de parejas coordenadas ( )y,x que cumplen o satisfacen la regla de correspondencia ( )xP .

Los polinomios ( )xP pueden evaluarse para todo x R y por ello se unen los puntos obtenidos para obtener sus grficas.

Para fines prcticos, para valores diferentes de x se pueden obtener los valores de ( )xP , generando puntos de coordenadas ( )[ ]xP,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman su grfica.

La variable x recibe el nombre de variable independiente y a ( )xP se le conoce como variable dependiente, es decir, que est en funcin de la variable x .

Ejemplo. Tabular y graficar los siguientes polinomios en los intervalos pedidos:

1) ( ) 62 = xxxP en el intervalo [ ]65, Solucin. Tabulando con los valores enteros del intervalo:


10

x ( )xP

5 ( ) ( ) 246525655 2 =+= 4 ( ) ( ) 146416644 2 =+= 3 ( ) ( ) 6639633 2 =+= 2 ( ) ( ) 0624622 2 =+= 1 ( ) ( ) 4611611 2 =+=

0 ( ) 6600600 2 == 1 66116112 == 2 46246222 == 3 06396332 == 4 664166442 == 5 1465256552 == 6 2466366662 ==

x

15

-4 6

10

-5

-10

4

20

25

-6 2-2 531-3-5 -1

5

y

2) ( ) 896 23 ++= xxxxP en el intervalo [ ]51, Solucin. Tabulando con los valores enteros del intervalo:

x ( )xP

1 ( ) ( ) ( ) 248961819161 23 =+++=++ 0 ( ) ( ) 88000809060 23 =++=++ 1 ( ) ( ) ( ) 48961819161 23 =++=++ 2 ( ) ( ) ( ) 6818248829262 23 =++=++ 3 ( ) ( ) ( ) 88275427839363 23 =++=++ 4 ( ) ( ) ( ) 48369664849464 23 =++=++ 5 ( ) ( ) ( ) 12845150125859565 23 =++=++


11

x

16

-8

y

2 5

-16

8

4

12

-4

-12

1 4

20

24

-1 3

3) ( ) 59 24 += xxxP en el intervalo [ ]33,

Solucin. Tabulando con los valores enteros del intervalo:

x ( )xP

3 ( ) ( ) 5581815393 24 =+=+ 2 ( ) ( ) 15536165292 24 =+=+ 1 ( ) ( ) 35915191 24 =+=+

0 ( ) ( ) 55005090 24 =+=+ 1 ( ) ( ) 35915191 24 =+=+ 2 ( ) ( ) 15536165292 24 =+=+ 3 ( ) ( ) 5581815393 24 =+=+

x

10

-5

y

-3 -2 -1 1 2 3

-10

5

-15


12

4) ( ) 92 += xxP en el intervalo [ ]44, Solucin. Tabulando en con los valores enteros del intervalo:

x ( )xP

4 ( ) 791694 2 =+=+ 3 ( ) 09993 2 =+=+ 2 ( ) 59492 2 =+=+ 1 ( ) 89191 2 =+=+

0 ( ) 99090 2 =+=+ 1 ( ) 89191 2 =+=+ 2 ( ) 59492 2 =+=+ 3 ( ) 09993 2 =+=+ 4 ( ) 791694 2 =+=+

x

6

-6

y

-2 3

-10

2

-2

4

-4

-8

-1 2

8

10

-3 1-4 4

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