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OPERACIONES BÁSICAS DE CÁLCULO Índice INTRODUCCIÓN OBJETIVOS LOS NÚMEROS ÁLGEBRA FORMAS Y ESPACIO REPRESENTACIÓN DE DATOS UN POCO DE HISTORIA
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INTRODUCCIÓN
Las funciones profesionales que se desempeñan en el sector de la Hostelería y la
Restauración implican la ejecución de un sin fin de operaciones básicas de cálculo
(cómputo de productos, medición de cantidades, preparación de cuentas de servicios
consumidos, compra de materiales, etc.)
Este material te ofrece una preparación para adquirir en lengua castellana los
conocimientos necesarios para realizar operaciones básicas de cálculo relacionadas con
el trabajo en el sector hostelero.
Para facilitar este aprendizaje hemos estructurado el material de una forma sencilla y
accesible, situando en primer lugar las explicaciones y fundamentos de cada operación
matemática y a continuación la presentación de ejercicios de aplicación práctica (con las
soluciones incluidas en el manual del profesorado).
OBJETIVOS
Adquirir las nociones fundamentales para realizar las operaciones básicas de cálculo requeridas en las distintas cualificaciones del sector de hostelería (nivel 1 a nivel 2).
Aplicar de forma práctica los conocimientos adquiridos a las situaciones
cotidianas de trabajo propias del sector hostelero.
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MÓDULO 1
LOS NÚMEROS
Las operaciones realizadas con los números forman una de las bases de lo que hoy
conocemos como Matemáticas. Esta parte de las matemáticas se conoce también con el
nombre de Aritmética, porque es la ciencia que enseña a realizar operaciones con
números, como la adición o suma; sustracción o resta; multiplicación; división, etc.
La Suma La suma o adición consiste en juntar dos o más cantidades para obtener una cantidad
final. En el lenguaje matemático se representa esta operación con el símbolo + y se lee
más. Las cantidades que se suman se llaman sumandos.
Para realizar una suma, por ejemplo en la cuenta para unos clientes, han de ordenarse
las cantidades de derecha a izquierda. En este orden, las primeras por la derecha serán
las unidades, las segundas las decenas, las terceras las centenas, las siguientes los
millares, etc.
El número 1.347
1 3 4 7
millar centenas decenas unid
En la operación de la suma ordenamos todas las cantidades poniéndolas de derecha a
izquierda y cada cantidad debajo de la anterior:
1 3 4 7
7 5 0
6 9
____________
2 1 6 6
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Las filas formadas por los números del mismo color indican el modo de sumar las
cantidades situadas en la fila de las unidades, las decenas, las centenas, los millares, etc.
Cuando en la fila de las unidades la cifra del resultado es mayor de 10, se acumula la
decena en la fila de las decenas, y se continúa sumando. En el ejemplo la suma de 7 + 0
+ 9 da el resultado de 16. La cifra de 16 se compone de seis unidades y 1 decena: 6 +
10. La cifra 6 se marca como resultado de la suma de la fila de las unidades, y la decena
se añade a la cifra de las decenas ya ordenadas. En el ejemplo la suma de las decenas
será: 1 decena (de la anterior fila) + 4 + 5 + 6. El resultado vuelve a ser mayor de 10, en
este caso es 16. Se continúa de la misma forma, descomponiendo 16 en 6 + 10.
Escribimos en la fila de las decenas 6 y pasamos 10 a la fila de las centenas. Así vamos
acumulando hasta llegar a la última fila.
Cuando tenemos que sumar números decimales (3, 98 + 7,19 ) procedemos de la
misma forma a la hora de ordenar las cantidades según su posición respecto a la coma y
realizamos la acumulación cuando el resultado sea mayor de 10 unidades.
3, 98
7, 19 ____________
11, 17
La Resta
La resta o sustracción es la operación contraria a la suma. Consiste en quitar una o
más cantidades a otra inicial. Su símbolo en el lenguaje matemático es - , y se lee
menos. La primera cantidad se llama minuendo, la segunda sustraendo y el resultado
diferencia.
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Para realizar la resta se colocan las cantidades según el orden de unidades, decenas,
centenas etc igual que en la suma.
1 3 4 7
7 5 0
___________ 0 5 9 7
Se van restando unidades, teniendo en cuenta que si la cifra del minuendo es menor que
la del sustraendo se suma a la cifra 10 unidades, colocando en la fila siguiente sobre las
centenas el 1 como cantidad de la fila de las unidades. Esta centena se añade a la cifra
del sustraendo de las centenas, procediendo de igual forma que en la columna de las
unidades, y así sucesivamente. La cifra 0 en el minuendo se considera como una decena,
mientras que en el sustraendo no tiene ningún efecto.
Podemos comprobar el resultado si sumamos la Diferencia al Sustraendo. El resultado
de la suma debe ser el minuendo.
Cuando tenemos que restar números decimales (3, 98 - 7,19 ) procedemos de la
misma forma a la hora de ordenar las cantidades según su posición respecto a la coma y
realizamos la operación igualmente que en el caso de los números naturales.
7, 19
3, 98 ____________
3, 21
Ejercicio 1
1 euro lo forman 100 céntimos. 1 euro = 100 céntimos
1 euro = 1, 00 céntimos
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Coloca en el casillero correspondiente las cantidades a sumar diferenciando
la fila de unidades, decenas y centenas para los céntimos de euro, y la fila
de unidades, decenas y centenas para los euros.
__ __ , __ __ EUROS CÉNTIMOS
8,50 -- , --
1,17 -- , --
4,99 -- , --
72,94 -- , --
1.379,02 ---- , --
Realiza la suma de todas las cantidades y lee correctamente la cantidad
total de euros y céntimos.
Ejercicio 2
Unos clientes te piden la cuenta al finalizar su servicio. Esta es su cuenta:
22,50
7
31,50
4,37
46,21
2,15
34,69
Te entregan 170 euros. ¿Cuánto tendrás que devolverles?
Realiza primero la operación para calcular la cuenta, y a continuación la
operación para saber el cambio que has de devolver.
____________ ______________ OPERACIÓN 1 OPERACIÓN 2
La Multiplicación
La multiplicación es una operación aritmética que consiste en sumar dos cantidades
tantas veces como indica la segunda. En el lenguaje matemático la multiplicación se
indica con dos símbolos “ x “ o “ · “ . Ejemplo: 5 x 3
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En el ejemplo, la cantidad primera 5 va a ser sumada tantas veces como indica la
segunda cantidad. Así, 5 + 5 + 5 o lo que es lo mismo multiplicar 5 × 3.
Para nuestros cálculos utilizamos las Tablas de multiplicar, porque así nos facilitan la
obtención de resultados más rápidamente. Existen 10 tablas, de 1 a 10 y contienen los
resultados de todas las operaciones de multiplicación que pueden darse si combinamos
series de dos números entre 1 y 10.
Reglas útiles para manejar la multiplicación
Aprender las tablas de multiplicar puede ser algo rápido y hasta divertido, si adquieres
una buena destreza en cálculo mental. Fíjate en estas reglas:
Existen más de 100 pares de números para aprender. La ventaja es que sólo
necesitas aprender la mitad, ya que el resultado es el mismo aunque cambien el
orden de los pares en cada serie. 2 x 9 = 9 x 2
Las tablas más fáciles son :
La tabla del 1………………………. 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 , 9, 10
La tabla del 2……………….... 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
La tabla del 5…………….. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
La tabla del 10………….10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Las tablas más difíciles son:
La tabla del 9……………. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
La tabla del 8……………..8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
La tabla del 7……………...7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
La División
Se llama División a la operación de repartir una cantidad determinada entre un número
o un grupo de números hasta que no quede nada o casi nada de resto. Se simboliza con
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los signos “ ·/· ” o “ : “. Por ejemplo, repartimos 15 platos entre 5 personas. Este
reparto tiene un resultado exacto.
Sin embargo, puede ser que una división no tenga un resultado exacto y tengamos que
aproximarnos a él sacando decimales, es decir, añadiendo una coma y un cero al resto
continuando la operación hasta reducirlo al máximo posible.
Ejercicio 1 Has de preparar la compra para el día con los productos necesarios para la
cocina y el economato. En el establecimiento de compras encuentras varias
ofertas.
3 x 2 = 3 paquetes de pan al precio de 2 Calcula a cuánto te sale la oferta si 1 paquete vale 1,18 euros. _____ = 1,18 euros _____ = 1,18 euros TOTAL OFERTA = _____ = 1,18 euros Ejercicio 2 Encuentras en el establecimiento de compras una oferta que te ofrece todo
a 2 euros. Ves que te interesa y has de calcular cuánto vale la unidad.
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5 botellas de agua = 2 euros
4 paquetes de harina = 2 euros
2 botes de salsa = 2 euros
2 piezas de pan = 2 euros
A continuación te marcamos el precio de cada unidad por separado.
Calcula el ahorro que te supone si compras estos productos aprovechando
la oferta.
1 botella de agua = 0, 59 euros
1 paquete de harina = 0, 68 euros
1 bote de salsa = 1, 20 euros
1 pieza de pan = 1,30 euros
Calcula el ahorro que te supone en el caso de cada producto y también en el
caso de comprar todo el lote.
______________ __________________ ________________ precio del lote sin oferta precio del lote con oferta AHORRO
Las Fracciones
Las fracciones se utilizan para representar partes iguales de una cosa.
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Partes de un grupo
De los cuatro astros, uno de ellos es de color. Podemos representar esta
idea también así: ¼ es de color.
Con ello queremos expresar dos ideas importantes:
El conjunto se divide en partes iguales
La parte que nos interesa destacar nos indica qué parte forma del
conjunto.
Si nuestro conjunto de astros está formado por 4 elementos:
4 será el conjunto completo, o sea TODO
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2 será la mitad del conjunto
1 será un cuarto
Y 3 nos indicará casi todo el conjunto pero no todo.
En lenguaje matemático se dirá un cuarto, mitad, tres cuartos y todo. Y se
representa así:
Un cuarto ¼
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La mitad ½
Tres cuartos ¾
En una fracción existen dos partes: 2 NUMERADOR 3 DENOMINADOR
Para sumar 2 fracciones con el mismo denominador (fracciones
homogéneas) se deja el mismo denominador y se suman los numeradores:
2 + 5 = 10 3 3 3
Para sumar 2 fracciones con distinto denominador (fracciones
heterogéneas)
1 + 4 6 9
1. Se calcula el mínimo común mútiplo mcm (6,9) = 18
2. Se calculan los numeradores
Numerador de la primera fracción: 1 x 18 = 3
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Numerador de la segunda fracción: 4 x 18 = 8
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La suma se reduce a las siguientes fracciones: 3 + 8 • 18 18
3. Se suman los numeradores:
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Se calcula el mínimo común múltiplo, que en este caso es 18. Se ponen las fracciones
con el mcm como denominador para las dos fracciones. A continuación, se divide el
mcm en el denominador inicial y el resultado se multiplica en el numerador inicial, y ya
tenemos el numerador de la fracción cuyo denominador es el mínimo común múltiplo.
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MÓDULO 2
ÁLGEBRA
El álgebra se conoce como la ciencia de las matemáticas donde se utilizan letras del
alfabeto para representar números y realizar operaciones con ellos.
En álgebra a menudo se plantea el problema de encontrar el valor de un número
desconocido (llamado incógnita). Por ejemplo, si se dice que 7 + x = 12, se utilizan
estos números para realizar operaciones numéricas y averiguar cuál es.
Una de las operaciones más útiles en álgebra es la regla de tres.
La regla de tres simple
La regla de tres simple es una relación que se establece entre tres valores conocidos y
una incógnita, donde se puede establecer una relación de linealidad (son proporcionales)
entre los valores dados.
Normalmente se representa así la proporcionalidad entre ellos:
Y se lee matemáticamente: A es a B como x es a Y.
De ellos, sólo conocemos A, B y X. La incógnita a averiguar es Y.
Donde conocemos ya la relación que existe entre las cantidades A y B, y queremos
calcular Y dado que existe la misma relación entre X y Y.
Sabemos que la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que:
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Donde k es la constante de proporcionalidad. Resolviendo la operación se obtiene que:
Es fácil averiguar entonces que si X= 0 entonces Y= 0.
Una técnica útil para encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente:
X es igual a la multiplicación de los términos cruzados dividido por el término que está
frente a X. En el ejemplo anterior la prueba sería X = Y x A y dividido por B.
El porcentaje
El porcentaje es una forma de expresar una cantidad como una fracción de
100 (por ciento, que significa “cada 100”). En el lenguaje matemático se
indica con el signo %.
Se calcula dividiendo el valor correspondiente entre el total que lo
comprende y multiplicándolo por cien. Así el 5% de 200 se obtiene
realizando el cálculo: 5:100 x 200 = 0.05 x 200 = 10.
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Ejercicio 1
Calcula cuántos minutos hay en 7 horas.
Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que planteamos la regla de
tres:
Ejercicio 2
Calcula mediante la regla de tres la equivalencia en euros de 65.000
pesetas, si 1 euro son 166,386 pesetas.
Al resultado (precio real del artículo) aplícale el 10 % como descuento
sobre el precio total.
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MÓDULO 3
FORMAS Y ESPACIO
Área de las formas planas
El área de una figura es la superficie que cubre. Podemos averiguar su
superficie utilizando la siguiente fórmula: A = base x altura.
Por ejemplo, en un rectángulo el Área = largo x ancho. El resultado lo
expresamos en unidades cuadradas (cm2, por ejemplo).
Esta área sirve de base para calcular el área de otras figuras.
En la figura del cuadrado se resume en: A = lado x lado.
Y en el triángulo la fórmula A = ½ x base x altura.
Volumen de una figura
El volumen de una figura es el espacio que ocupa. Según esta fórmula para
calcular el volumen de cualquier figura uniforme (cubo, cilindro, prisma,
paralelepípedo) hemos de medir el largo, el ancho y su altura.
En lenguaje matemático, Volumen (V) = A x h
Donde Área = largo x ancho
h = altura.
El resultado se representa en unidades cúbicas (cm3, por ejemplo).
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Ángulos
Un ángulo es un giro que mide su apertura en grados (º). Podemos
encontrar cuatro grandes grupos de ángulos:
Ángulo Agudo: Ángulo Recto: 90º
Menos de 90º
Ángulo Llano: 180º Ángulo Obtuso:
Entre 90º y 180º
Terminar con informática el relleno de cada área en cada tipo de
ángulo
Polígonos
Un polígono es una figura regular que tiene igual número de lados y de
ángulos. Las figuras más conocidas son:
Cubo Cilindro
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Terminar con informática otras formas (cono, esfera, pirámide, hexágono, octógono) (anfora)
Ejercicio 1 Calcula el área que ocupa una caja rectangular que has de almacenar cuyas medidas son: Base: 1,2 m2 Altura: 0,59 m2 Ejercicio 2
Calcula el volumen que ocupa un depósito que has de rellenar de líquido
para almacenarlo y cuyas medidas son:
Ancho: 0,97 cm Largo: 2,31 cm Alto: 1,70 cm
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MÓDULO 4
REPRESENTACIÓN DE DATOS
Toda aquella información numérica sobre temas de interés general recibe el
nombre de Estadística. La estadística es la ciencia matemática que se
ocupa del recuento de hechos y su interpretación en cifras o números.
La información que nos rodea puede ser convertida en datos numéricos,
formando conjuntos de datos (número de turistas en un año, número de
hoteles ocupados, número medio de consumo al día, número de
ocupaciones respecto al año anterior, etc).
Podemos encontrar tres tipos básicos de representación de datos numéricos:
El pictograma, es quizás la forma más gráfica de representación de datos
mediante símbolos que refieren cantidades distintas y son fácilmente
comprensibles.
Promedio de días de lluvia (34 días) Promedio de días de sol (301 días) El gráfico de barras utiliza columnas o barras horizontales o verticales,
donde el extremo superior corresponde a las medidas que se representan.
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Número de contrataciones en Hostelería Mujeres Hombres Terminar con informática las cantidades (0, 50, 80) representando porcentajes anuales (anfora)
El gráfico de queso es un círculo dividido en sectores que muestran
fracciones o sectores ocupados por los datos que se representan.
Terminar con informática los mismos conceptos en sectores (hombres y mujeres) y sus cantidades (0, 50, 80) representando porcentajes anuales (anfora)
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Un poco de historia
La matemática como ciencia comenzó a desarrollarse en civilizaciones
arcaicas cuya vigencia perdura hasta hoy día en la era de la tecnología,
utilizándose fórmulas de cálculo que fueron inventadas hace miles de años.
Las primeras ideas matemáticas surgieron de la necesidad de contar y
escribir números. A lo largo de la historia, todas las sociedades conocidas
han desarrollado fórmulas para contar.
Los primeros sistemas numéricos se basaban en cuentas donde los objetos
contables se correspondían uno a uno con algún tipo de marca o señal
realizada sobre una superficie.
La actividad de contar nos habla de formas de vida en las que las
necesidades se concretaban en registrar el número de animales como vacas
o caballos que se poseía. Cada vez que el animal pasaba por una cuerda u
otro referente de registro. A su paso de metía una piedra en un recipiente o
se ataba un nudo a una cuerda.
Hace 11.000 años, en África Central se utilizaban instrumentos manuales
para contar como el Hueso de Ishango. Desde entonces, las matemáticas
como pensamiento del manejo de los números han evolucionado con las
aportaciones de numerosas civilizaciones y ampliando las fórmulas
numéricas y geométricas hasta la actualidad.
Uno de los ejemplos más duraderos y sorprendentes de la aplicación de
estas ideas son las construcciones arquitectónicas de civilizaciones como
las precolombinas en Latinoamérica o la egipcia, hace más de 4.000 años.
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El sistema de numeración egipcio se basaba en una agrupación de diez
cifras, como el nuestro, salvo que los números se escribían de forma
distinta. Los números aumentaban de tamaño de izquierda a derecha. Y
disponían de símbolos para representar fracciones más pequeñas que la
unidad.
Una de las ramas de las matemáticas que más temprano se desarrolló fue la
geometría. La geometría procede de dos palabras griegas que significan
“tierra” y “medida”, y que aluden a la necesidad práctica de calcular la
longitud y las áreas de terreno.
En la civilización egipcia esta necesidad se refería a los problemas
concretos derivados de las inundaciones anuales de las riberas del Nilo. El
sistema de impuestos egipcio obligaba a los ocupantes de terrenos a pagar
según el área de tierra que explotaban. Cada año, las aguas del río borraban
las marcas de los límites señalados, creando la necesidad de medir cada año
nuevamente. Existían “expertos medidores” conocidos como los extensores
de la cuerda que se encargaban de realizar de forma fiable esta tarea. En
esta actividad ya se utilizaban sistemas sofisticados para calcular las áreas y
realizar las medidas correctas, cuya base fue sin duda empleada en la
construcción de las pirámides egipcias, y de ahí trasvasada a posteriores
civilizaciones.