OPERACIÓN BINARIA

Sea un conjunto S = {a, b, c, ...}, la operación * es una operación

binaria en S, si y sólo si a cada par ordenado (a, b) ∈ S x S, donde a ∈ S

y b ∈ S, le corresponde un elemento único a*b ∈ S, donde a*b se lee

“a operación b”.

La operación binaria puede ser considerada como una función

*: S x S → S

DOMINIO DE VARIABLE

La expresión 1

x − 1x

no está definida para (x = 0) ∨ (x = 1) ∨ (x = −1).

ORDEN Z

∀ a, b∈ (a > b ) ⇔ c ∈ +, (a = b + c)

EJM

5 > 3 5 = 3 + 2, siendo 2 ∈ +

− 4 > −7 − 4 = −7 + 3, siendo 3 ∈ +

TICOTROMIA DE LOS NUMEROS REALES

Dados dos números reales, siempre es posible relacionar su orden, de

tal manera que uno es mayor que el otro o son iguales.

Además, se puede observar que el conjunto cumple con las siguientes

propiedades:

1. ∀ n∈ (n ≤ n) Reflexiva

2. ∀m, n, p ∈ [(m ≤ n) ∧ (n ≤ p)] ⇒ (m ≤ p) Transitiva

3. ∀m, n ∈ [(m ≤ n) ∧ (n ≤ m)] ⇒ (m = n) Antisimétrica

∀ a, b ∈ [(a > b) (a = b) (a < b)]

DIVISORES Y MULTIPLICADORES DE NUMEROS ENTEROS

Si a, b, c ∈ cumplen la relación c = a . b, entonces decimos que a y b

son factores o divisores de c. En tal caso, c es múltiplo de a y b.

NUMEROS PRIMOS

Un número entero positivo p > 1 es primo, si y sólo si sus únicos factores

son exactamente 1 y p.

NUMERO COMPUESTO

Un número entero positivo n > 1 es compuesto si y sólo si no es primo

TEOREMA FUNDAMENTAL DE ARITMETICA

Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como

el producto de números primos

MAXIMO COMUN DIVISOR

El M.C.D. de un conjunto de números enteros es el mayor entero

positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto.

MINIMO COMUN MULTIPLO

El m.c.m. de un conjunto de números enteros es el menor entero

positivo que es el múltiplo de cada uno de los números dados

NUMEROS PARES E IMPARES

Se dice que a es:

Número Par ⇔ a = 2n, n ∈

Número Impar ⇔ a = 2n + 1, n

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de las

diferentes operaciones fundamentales. Los términos de la expresión

algebraica corresponden a cada una de sus partes, las cuales están

separadas entre sí por los signos + o −.

VALOR ABSOLUTO

En el entero −5, el valor absoluto es 5 y el signo es negativo.

En el entero 7, el valor absoluto es 7 y el signo es positivo.

En el entero 0, el valor absoluto es 0 y no tiene signo.

El valor absoluto de un número x se representa por | x | y es un número

no negativo, tal que:

| x | = x, x ≥ 0

− x, x < 0

IDENTIDAD

Una identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dos

expresiones matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos

los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

ECUACION

Una ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera sólo

para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial

que corresponda.

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal o de primer grado, corresponde al tipo más simple de

ecuación, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:

p(x): ax + b = 0 a, b ∈ ∧ a ≠ 0

ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede

representarse con un predicado de la forma:

p(x) : ax2 + bx + c = 0 a, b, c ∈ ∧ a ≠ 0

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Una ecuación con valor absoluto es una expresión algebraica que incluye

el valor absoluto, y las más simples pueden representarse con uno de los

siguientes predicados: Sea Re = y p(x): 5 − |x − 1| = 3, determine Ap(x).

Solución:

|x − 1| = 5 − 3 Despejamos el valor absoluto

DESIGUALDAD

Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones

matemáticas. Dichas expresiones están separadas por alguno de los

siguientes símbolos: >, <, ≤, ≥.

INECUACION

Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad

condicionada, y resolverla significa encontrar todos los valores del

conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una

proposición verdadera.

INECUACION LINEAL

Una inecuación lineal es aquella que puede representarse con un predicado

definido en el conjunto de los reales, mediante una de las siguientes formas:

1. p(x): ax + b > 0.

2. p(x): ax + b < 0.

INECUACION CUADRATICA

Una inecuación cuadrática es aquella que puede ser reducida a un predicado definido

en el conjunto de los números reales, mediante una de las siguientes formas:

1. p(x) : ax2 + bx + c > 0

2. p(x) : ax2 + bx + c < 0

INECUACION CON VALOR ABSOLUTO

Para resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas

del valor absoluto, las cuales se deducen a continuación.

Considere los siguientes predicados:

TEOREMA DE INDUCCION

Si p(n) es una propiedad sobre el conjunto de los números naturales ,

tal que:

p(1) ≡ 1 (Caso base)

∀ n [ p(n) ⇒ p(n + 1)] (Paso inductivo)

Entonces, ∀ n ∈ p(n) ≡ 1, es decir, Ap(n) =

FACTORIAL

Sea n un entero no negativo, su factorial se calcula de la siguiente

manera:

A este esquema de definición se lo denomina recursivo. La recursión es la

forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.

n! =

n(n − 1)! ; n ≥ 1

{ 1 ; n = 0

COMBINATORIA

Sean n, m enteros no negativos tales que n ≥ m, el símbolo nm

que

se lee “combinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vez”, se

calcula de la siguiente manera:

nm

= n!

m!(n − m)!

PRINCIPIOS DE SUMA ADICTIVOS

Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes,

y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, además, no es

posible que ambos eventos se realicen juntos (A ∩ B = ∅ ), entonces el evento

A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras diferentes

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes

y otro evento B de n maneras diferentes, entonces el número de maneras

distintas en que pueden suceder ambos eventos es m . n.

PERMUTACIONES

Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto

de objetos, considerando el orden en su ubicación. El número de

permutaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez, se

simboliza como Pnm

y se lo calcula así:

Pnm

= n!

(n − m)! , n ≥ m

COMBINACIONES

Una combinación es cada uno de los diferentes arreglos que se

pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado,

sin considerar el orden en su ubicación. El número de combinaciones

posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez, se simboliza como

Cnm

y se calcula así:

Cnm = n!

m!(n − m)!

, n ≥ m